数理方程第四章 格林函数法
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数理方程第四章
1 在区域 K 内直到边界上，v 可任意求导。 r
v u 在第二格林公式 (u v v u)dV (u v )dS n n
2 2
1 中, 取 u 为调和函数, 而令 v , 并以 K r 代替第二格林公式中的 . 则我们有
lim u( x, y, z ) 0,
r
(r x 2 y 2 z 2 ).
以保证解的唯一性。
§4.2
高斯(Gauss)公式
格林公式
设 是以光滑曲面 为边界的有界区域，P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) 在闭域 上连续, 在 内 1 P , Q , R C C 有一阶连续偏导数，即
两式相减, 得
2 2
第二格林公式
v u ( u v v u)dV ( u v )dS n n
利用格林公式, 可以得到调和函数的一些性质：
1) 牛曼内问题有解的必要条件
设 u 是以 为边界的区域 内的调和函数, 在 上有一阶连续偏导数, 则在第二格林公式 中取 u 为上述调和函数, 取 v 1, 有
3）调和函数的积分表达式
所谓调和函数的积分表达式 , 是指用调和函数及 其在区域 边界 上的法向导数沿 的积分来表 达调和函数在区域 内任一点的值。 设 M 0 x0 , y0 , z0 是 内的点, 下面求调和函数在 该点的值。 构造辅助函数
1 v r
1
x x0 y y0 z z0
2u 2u 2u 2 2 0 2 x y z
它描述了稳恒状态下的物理现象。 拉普拉斯方程 u 0的连续解，也叫调和 函数。
4第四章格林函数法
，于是有 除在 M 0 点外处处满足三维Laplace方程 u0 内调和,则 上有一阶连续偏导数,且在 定理:若函数 u 在 调和函数在区域内任一点的值可以通过积分表达式用这个函 数在区域边界上的值和边界上的法向导数来表示。
u ( M ) 1[ 1 1 u ( M ) u ( M ) ( ) ] dS 0 4 n r r n MM MM 0 0
3
P Q R { P , Q , R } n dS ( ) dV 由高斯公式 x y z v v v
2019/2/12
4.1.3 调和函数的积分表达式
由Green公式可导出调和函数的积分表示。由于函数：
1 1 2 2 2 r ( x x ) ( y y ) ( z z ) MM 0 0 0 0
为二维Laplace方程的基本解.
其通解为： 为任意常数)。 V ( r ) c ln r c , ( r 0 , c , c 1 2 1 2
4.1.2 格林公式
令P u , Q u ,R u ,则得到格林第一公式： x y z u v u v u v v u vdV ( ) dV u dS x x y y z z n u v u v u v u v udV ( ) dV vdS x x y y z z n 将以上两公式相减，得到格林第二公式： v u ( u v v u ) dV ( u v ) dS n n 调和函数：具有二阶偏导数并且满足拉普拉斯方程的连续函数。
1
2019/2/12
4.1.1 拉普拉斯方程的基本解 对拉普拉斯方程 , 其球坐标形式为： u u u u 0 xx yy zz
数理方程第四章 格林函数法
则 u(M 2 ) u(M1 ) 。以 M 2 为中心，以小于 d 的数为半径
在 内作球 k 2 ，在 k 2上u(M ) u(M 2 ) u(M1 ) ，…, n 次后，
点 N 一定包含在以某点 M n 为中心 ,半径小于 d 的球
kn 内 , 因而 u( N ) u(M n ) u(M1 ) , 由 N 的
性质1. 设 u(x, y, z) 是区域 内的调和函数，它在
上有一阶连续偏导数，则
udS n
0,
其中
,
n
是 的外法线方向。
证明 只要在Green公式中取 v 1即证。
注：此性质表明调和函数的法向导数沿区域边界的积分为零。 对稳定的温度场，流入和流出物体界面的热量相等，否则就 不能保持热的动态平衡，而使温度场不稳定。
3
下午9时12分
HUST 数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
对二维拉普拉斯方程 u uxx uyy 0 ,其极坐标形式为:
2u r 2
1 r
u r
1 r2
2u
2
0
(4.1.2)
求方程(4.1.2)的径向对称解 u V (r) (即与 无关的解) ,则有：
d 2V dr 2
1 r
dV dr
任意性 ,就得到整个 上有 u( N ) u( M 1 ) ,这与 u 不为
常数矛盾.
10
下午9时12分
HUST 数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
K1 M2 l M1 K2 M3
S1 S2
Kn N Mn Sn
图4.1
11
下午9时12分
HUST 数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
第四章_拉普拉斯方程的格林函数法
Laplace方程的连续解，即具有二阶连续偏导数并满足Laplace 方程的连续函数. (1.u ∈ C 2 (Ω) I C 0 (Ω) 2. ∇ 2u = 0)
边值问题的提法： 二. 边值问题的提法：
1）第一边值问题(Dirichlet问题/狄氏问题) ∇ 2u = 0, in Ω uΓ = f 数学解释： 在Ω内寻求一个调和函数u, 它在边界Γ上与已知
连续函数f 吻合，即u Γ = f .
2）第二边值问题( Neumann 问题/牛氏问题 ) ∇ 2 u = 0, in Ω (其中 n是 Γ 的外法向量, f 是 连续函数 ) ∂u = f ∂n Γ
数学解释： Ω内寻求一个调和函数，它在闭区域Ω上有一阶 在 连续偏导数,即u ∈ C 2 (Ω) I C1 (Ω)，且在边界上满足边界条件。 ，且在边界上满足边界条件。
∂u ∫∫ u (M )dS + 4π a ∫∫ ∂n dS Γ Γ 1
∫∫ u (M )dS
Γ
（4）Laplace方程解的唯一性问题 ） 方程解的唯一性问题
定理：狄氏问题在C 2 (Ω) I C 1 (Ω)内解唯一，牛曼问题除相差一个
常数外解也是唯一确定的。
证明：
设u1 , u2为上述两类问题的解，则它们的差v = u1 − u2必是原问题的
第四章 拉普拉斯方程的格林函数法
第一节 第二节 第三节 第四节 拉普拉斯方程边值问题的提法 格林公式 格林函数 两种特殊区域的格林函数及狄氏 问题的解
格 林 函 数 法
格林函数:又称点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念 格林函数 又称点源影响函数， 又称点源影响函数
格林函数代表一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的 格林函数代表一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的 知道了点源的场就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场。 场,知道了点源的场就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场。 知道了点源的场就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场
边值问题的提法： 二. 边值问题的提法：
1）第一边值问题(Dirichlet问题/狄氏问题) ∇ 2u = 0, in Ω uΓ = f 数学解释： 在Ω内寻求一个调和函数u, 它在边界Γ上与已知
连续函数f 吻合，即u Γ = f .
2）第二边值问题( Neumann 问题/牛氏问题 ) ∇ 2 u = 0, in Ω (其中 n是 Γ 的外法向量, f 是 连续函数 ) ∂u = f ∂n Γ
数学解释： Ω内寻求一个调和函数，它在闭区域Ω上有一阶 在 连续偏导数,即u ∈ C 2 (Ω) I C1 (Ω)，且在边界上满足边界条件。 ，且在边界上满足边界条件。
∂u ∫∫ u (M )dS + 4π a ∫∫ ∂n dS Γ Γ 1
∫∫ u (M )dS
Γ
（4）Laplace方程解的唯一性问题 ） 方程解的唯一性问题
定理：狄氏问题在C 2 (Ω) I C 1 (Ω)内解唯一，牛曼问题除相差一个
常数外解也是唯一确定的。
证明：
设u1 , u2为上述两类问题的解，则它们的差v = u1 − u2必是原问题的
第四章 拉普拉斯方程的格林函数法
第一节 第二节 第三节 第四节 拉普拉斯方程边值问题的提法 格林公式 格林函数 两种特殊区域的格林函数及狄氏 问题的解
格 林 函 数 法
格林函数:又称点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念 格林函数 又称点源影响函数， 又称点源影响函数
格林函数代表一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的 格林函数代表一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的 知道了点源的场就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场。 场,知道了点源的场就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场。 知道了点源的场就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场
4格林函数法
u( r ) f ( r0 ) dr0 4 | r r0 |
那么，如何求解某边界条件下的泊松方程呢？
格林函数法求解拉普拉斯方程的边值问题
边值问题与无界空间的问题不同，要受到边界的影响， 边值问题的解 u(r) 与格林函数 G 的关系就更复杂了，需要 用到格林第二公式。 格林第二公式 设函数 u(r)， v(r) 在区域 Ω 直到其边界 Γ 上具有连续一阶 微商，而在 Ω 中有连续二阶微商，有格林第二公式
若知道一个点源在一定的边界条件和(或)初值 条件下所产生的场（称为格林函数），就可用叠加 的方法计算出任意源产生的场。这就是格林函数法 的基本思想。故也称点源法。
δ – 函数（狄拉克函数）
用来描述物理中集中分布的量，如点电荷、点热源、质点、单 位脉冲等，这是通常的函数概念不能描述的。
0 x x0 ( x x0 ) x x0 0 x0 ( a , b ) a ( x x0 )dx 1 x0 (a , b)
r r0 o
2
R (x0, y0, z0)
G G x x 0 , x R R
2G 2G x x0 G 1 ( x x0 )2 2 2 3 x R R R R R
2G 2G 同样计算可 2 和 ，于是 2 y z 2G R 2 G 3 R 2 2G 2 G 2G 3 2 2 R R R 2 R R 0 R R R
于是有积分形式的解
拉普拉斯方程的格林函数
根据格林函数法的基本思想，先求解方程
(x, y, z) r r0 o
G ( r , r0 ) ( r r0 )
2
那么，如何求解某边界条件下的泊松方程呢？
格林函数法求解拉普拉斯方程的边值问题
边值问题与无界空间的问题不同，要受到边界的影响， 边值问题的解 u(r) 与格林函数 G 的关系就更复杂了，需要 用到格林第二公式。 格林第二公式 设函数 u(r)， v(r) 在区域 Ω 直到其边界 Γ 上具有连续一阶 微商，而在 Ω 中有连续二阶微商，有格林第二公式
若知道一个点源在一定的边界条件和(或)初值 条件下所产生的场（称为格林函数），就可用叠加 的方法计算出任意源产生的场。这就是格林函数法 的基本思想。故也称点源法。
δ – 函数（狄拉克函数）
用来描述物理中集中分布的量，如点电荷、点热源、质点、单 位脉冲等，这是通常的函数概念不能描述的。
0 x x0 ( x x0 ) x x0 0 x0 ( a , b ) a ( x x0 )dx 1 x0 (a , b)
r r0 o
2
R (x0, y0, z0)
G G x x 0 , x R R
2G 2G x x0 G 1 ( x x0 )2 2 2 3 x R R R R R
2G 2G 同样计算可 2 和 ，于是 2 y z 2G R 2 G 3 R 2 2G 2 G 2G 3 2 2 R R R 2 R R 0 R R R
于是有积分形式的解
拉普拉斯方程的格林函数
根据格林函数法的基本思想，先求解方程
(x, y, z) r r0 o
G ( r , r0 ) ( r r0 )
2
数学物理方程课件第四章拉普拉斯方程的格林函数法
r M 0 M
M 1
1
4 xx02 y y02 zz02
解：
1
4 xx02 y y02 zz02
u(M 0)G (M n,M 0)f(M )dS G(M z,M0)|z0 f(x,y)dS
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
1
1
G ( M , M 0 ) 4 x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 4 x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2
调和函数的积分表达式
k
拉 普l1r拉n 斯1
1 方x程2的基y本2 解z
ln 1
2
r
x2 y2
三维 二维
1 1 1 u
u (M 0)4 S(u n(r)r n)d S
调和函数在区域内任一点的值可以通过积分表达式用这个
函数在区域边界上的值和边界上的法向导数来表示。
2 牛曼内问题有解的必要条件
V (u 2 v v 2 u )d V S (u n v v u n )d S
一 拉普拉斯方程边值问
题 的 1提 第法一边值问题（狄氏问题）
第四章
拉普 u f
2 第二边值问题（牛曼问题）
拉斯方程的格 u f 林函数法 n
3 内问题与外问题
4 调和函数：具有二阶偏导数并且满足拉普拉斯方程 的连续函数。
二 格林公式及其结论
V (u 2 v )d V S u n vd S V u v d V 格V 林(u 公 2 式v 的v 结 2 论u )：d V S (u n v v u n )d S
半空间的格林函数
1 1 1
G(M,M0)4rM
r M 0 M
M 1
M0q d
04第四章格林函数法
（1）
西安理工大学应用数学系
u u 但在边界上， 未知，不能用上述公式求解，必须消去 n n
为此，引入Green函数的概念。
取 u, v 均为区域 内的调和函数，且在 上有一阶连续 的偏导数，则由第二Green公式，有
v u (u n v n )dS 0
西安理工大学应用数学系
P Q R ( x y z )d ( P cos Q cos R cos )dS
其中n {cos , cos , cos } 是 的外法线方向。 （2）第一Green公式：设 是有界区域， 是其边界曲面且 足够光滑，u( x, y, z ), v( x, y, z ) 及其一阶偏导数在 上连 续，在 内有二阶连续偏导数，则
u(M 0 ) 1 4
（2）
[u
（1）式＋（2）式，得
1 1 u ( ) ]dS n rMM 0 rMM 0 n
（1）
v 1 1 1 u u ( M 0 ) {u[ n 4 n ( rMM )] ( 4 rMM v) n}dS 0 0
（3）
西安理工大学应用数学系
选 v ，使 v
1 4 rMM 0
，则（3）式变成
称为Green函数
v 1 1 u ( M 0 ) u[ n 4 n ( rMM )]dS 0 1 u ( n 4 rMM v)dS 0 1 v 4 rMM 0
v u v u v u v uvd u n dS ( x x y y z z )d v v v 推导：令 Pu , Qu , Ru x y z
第四章格林函数法2
转化为求v满足：
2 v 0, in ; 1 . v 4 r MM 0
注1.格林函数法的优点:
格林函数仅依赖于区域，而与原问题的边界条件无关，因此， 只要求得某个区域的格林函数G ( M , M 0 ) C1()，就能一劳永 逸的解决这个区域上的一切边界条件的狄氏问题。
P R O
M1
rM1P 1 q q , 4 rM 0 P 4 rM1P rM 0 P 其中P是球面上任一点.
M0
在OM 0 P, OPM1有公共角M1OP，且0 1 R ，即
2
0
R
=
R
1
,
OM 0 OP 也即 = ，故OM 0 P与 OPM1相似。从而 OP OM1
2 2 ( u v v u)dV ( u
v u v )dS n n
取u, v为内的调和函数，且在上有一阶连续偏导数，则
1 u(M 0 ) 4 与调和函数的积分表达式相加
1 1 u ) u ( dS rMM 0 n n rMM 0
2 v 0，inD 其中v满足： 1 v 2 ln D rMM 0
D
2u 2u x 2 y 2 0, y 0, 上半平面内的狄氏问题： u f ( x), x y 0 y0 f ( x) u ( x0 , y0 ) dx 2 2 ( x x0 ) y0
令
则
1 G( M , M 0 ) v, 4 rMM 0
G G u ( M 0 ) u ( M ) dS f (M ) dS . n n
其中G(M , M 0 )称为Laplace方程的格林函数。
格林函数法
两种边值问题: 两种边值问题:
第一边值问题
u |Γ = f .
这类问题也叫做狄利克雷 问题。 这类问题也叫做狄利克雷(Dirichlet)问题。 狄利克雷 问题
拉普拉斯方程的连续解，也叫调和函数， 拉普拉斯方程的连续解，也叫调和函数，所以 调和函数 狄利克雷问题也可以叙述为： 狄利克雷问题也可以叙述为：在区域 Ω 内找 一个调和函数, 上的值已知。 一个调和函数 它在边界 Γ 上的值已知。 第二边值问题 在光滑的闭曲面 Γ 上给出连续函数 f，寻找函数 ， u(x,y,z) ：在 Γ 的内部 Ω 是调和函数 在 ( Ω + Γ ) 是调和函数, 上连续， 上连续，在 Γ 上任一点法向导数存在并且等于 已知函数 f ，即： ∂u =f ∂n Γ 这类问题也叫做纽曼 纽曼(Neumann)问题。 问题。 这类问题也叫做纽曼 问题
在球面坐标下, 拉普拉斯方程为: 在球面坐标下, 拉普拉斯方程为:
1 ∂ 2 ∂u 1 ∂ ∂u 1 ∂2u =0 r + 2 sin θ + 2 2 2 2 r ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r sin θ ∂ϕ
球对称解 u=u(x,y,z)在以原点为中心的同一球面的 在以原点为中心的同一球面的 值为常数。 的函数:u=u(r)。 值为常数。u 仅为半径 r 的函数 。
(
)
两式相减, 两式相减 得
2 2
第二格林公式
∂v ∂u ∫∫∫ (u∇ v − v∇ u)dV = ∫∫ (u ∂n − v ∂n )dS Ω Γ
利用格林公式, 可以得到调和函数的一些性质： 利用格林公式, 可以得到调和函数的一些性质： 1) 纽曼内问题有解的必要条件 内的调和函数, 设 u 是以 Γ 为边界的区域 Ω 内的调和函数, 在 上有一阶连续偏导数, Ω + Γ上有一阶连续偏导数, 则在第二格林公式 为上述调和函数 调和函数, 中取 u 为上述调和函数,取 v ≡ 1, 有
数学物理方程第四章_格林函数
1 ⎧ ⎪∆G (r , r0 ) = − δ (r − r0 ) ε ⎨ ⎪G Γ = 0 ⎩
(4.3.7) (4.3.8)
以 G (r , r0 ) 乘式 (4.3.5), u (r ) 乘式 (4.3.7), 二式相减后在 Ω 上对 r 积分 ,以 dr 表示 r 点处的体积微元,有
∫
Ω
(G∆u − u∆G )dr = −
第 4 章 格林函数
在这一章里,我们介绍数学物理方程中另外一种常用的方法—格林函数法.从物理上看, 一个数学物理方程是表示一种特定的“场”和产生这种场的“源”之间的关系.例如,热传导 方程表示温度场和热源之间的关系,泊松方程表示静电场和电荷分布的关系,等等.这样,当源 被分解成很多点源的叠加时,如果能设法知道点源产生的场,利用叠加原理,我们可以求出同 样边界条件下任意源的场,这种求解数学物理方程的方法就叫格林函数法.而点源产生的场就 叫做格林函数. 4.1
⎧0, T ( x) = ⎨ ⎩∞,
x≠0 x=0
且
∫Байду номын сангаас
所以有
+∞
−∞
cρT ( x)dx = Q
T ( x) =
Q δ ( x) cρ
通过以上两个例题,我们对 δ ( x) 有了进一步的认识.如果将坐标平移 x0 ,即集中量 出现在点 x = x 0 处,则有
δ ( x − x0 ) = ⎨
且
⎧0, ⎩∞,
∫
= ∫ (u∆v)dΩ + ∫ gradu ⋅ gradvdΩ
Ω Ω
=∫u
Γ
∂v dS ∂n
或表示为
∫
Ω
(u∆v)dΩ = ∫ u
Γ
∂v dS − ∫ gradu ⋅ gradvdΩ Ω ∂n
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HUST 数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
格林函数又称为点源函数或影响函数。顾名思 义，它表示一个点源在一定的边界条件和(或)初值条 件下所产生的场或影响。由于任意分布的源所产生的 场均可看成许许多多点源产生的场的叠加，因此格林 函数一旦求出，就可算出任意源的场。格林函数法以 统一的方式处理各类数学物理方程，既可以研究常微
1 2 u 1 u 1 2u (r ) 2 (sin ) 2 2 0 2 2 r r r r sin r sin
(4.1.1)
求方程(4.1.1)的球对称解u V (r ) (即与 和 无关的解) ,则有：
其通解为：V ( r )
d 2 dV (r )0 dr dr
若取 c1 1, c2 0,则得到特解 V0 ( r ) ,称此解为三维Laplace
r
c1 c2 , (r 0, c1 , c2 为任意常数)。 r 1
方程的基本解,它在研究三维拉普拉斯方程中起着重要的作用.
2
上午10时48分
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第4章格林函数法
对二维拉普拉斯方程 u uxx u yy 0 ,其极坐标形式为:
分方程，又可以研究偏微分方程；既可以研究齐次方 程又可以研究非齐次方程；既可以研究有界问题，又 可以研究无界问题。它的内容十分丰富，应用极其广 泛。这一章，我们主要介绍用格林函数求解拉普拉斯
方程的边值问题。
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第4章格林函数法
4.1 格林公式及其应用
4.1.1 基本解 对拉普拉斯方程 u uxx u yy uzz 0 , 其球坐标形式为：
调和函数在区域内任一点的值可以通过积分表达式用这个 函数在区域边界上的值和边界上的法向导数来表示。
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上午10时48分
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第4章格林函数法
若函数
内满足Poisson方程 u
1 u(M 0 ) 4
u 在 上有一阶连续偏导数，且在
F ，则同样有
0
除在 M 0 点外处处满足三维Laplace方程u
定理：若函数 内调和，则
0，于是有
u 在 上有一阶连续偏导数，且在
1 1 u ( M ) u(M ) ( ) dS n rMM 0 rMM 0 n
1 u(M 0 ) 4
证明 只要在Green公式中取 v 1 即证。 注：此性质表明调和函数的法向导数沿区域边界的积分为零。 对稳定的温度场，流入和流出物体界面的热量相等，否则就 不能保持热的动态平衡，而使温度场不稳定。
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上午10时48分
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第4章格林函数法
思考：Laplace方程Neumann问题有解的必要条件是什么？
若取 c1 1, c2
1 0 , 则得到特解 V0 (r ) ln , 称此解为二维 r
Laplace方程的基本解.
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第4章格林函数法
4.1.2 格林公式
由高斯公式 P Q R dV P cos(n, x) Q cos(n, y) R cos(n, z) d S x y z v v v 令P u , Q u , R u ,则得到格林第一公式： x y z
1 1 u ( M ) 1 u(M ) ( ) dS n rMM 0 rMM 0 n 4 F (M ) rMM dV 0
4.1.4 调和函数的性质
性质1. 设 u ( x, y, z ) 是区域 内的调和函数，它在 u 上有一阶连续偏导数，则 dS 0, 其中 , n n 是 的外法线方向。
将以上两公式相减，得到格林第二公式：
v u (uv vu )dV (u n v n )dS
调和函数：具有二阶偏导数并且满足拉普拉斯方程的连续函数。
4
上午10时48分
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第4章格林函数法
4.1.3 调和函数的积分表达式 由Green公式可导出调和函数的积分表示。由于函数： 1 1 rMM ( x x0 ) 2 ( y y 0 ) 2 ( z z 0 ) 2
2u 1 u 1 2u 2 0 2 2 r r r r
(4.1.2)
求方程(4.1.2)的径向对称解 u V (r ) (即与 无关的解) ,则有：
其通解为： V (r ) c1 ln r c2 , (r
d 2V 1 dV 0 2 dr r dr
0, c1 , c2 为任意常数)。
内任意一点，若 是以 M 为中心，a为半径 a 0
1 u(M 0 ) 4
及由性质1，有
7
1 1 u u ( ) dS a r n n r
上午10时48分
HUST 数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
又因为，在
u u 0, | f . n
性质2 (平均值定理)
Байду номын сангаас
u n dS f dS 0.
设函数 u( M ) 在区域 内调和，
M0 是
的球面，此球完全落在区域 的内部，则有
1 u(M 0 ) udS 2 a 4a 证明： 由调和函数的积分表示：
u v u v u v v uvdV ( x x y y z z )dV u ndS
vudV (
u v u v u v u )dV v dS n x x y y z z
第4章格林函数法
格林函数又称为点源函数或影响函数。顾名思 义，它表示一个点源在一定的边界条件和(或)初值条 件下所产生的场或影响。由于任意分布的源所产生的 场均可看成许许多多点源产生的场的叠加，因此格林 函数一旦求出，就可算出任意源的场。格林函数法以 统一的方式处理各类数学物理方程，既可以研究常微
1 2 u 1 u 1 2u (r ) 2 (sin ) 2 2 0 2 2 r r r r sin r sin
(4.1.1)
求方程(4.1.1)的球对称解u V (r ) (即与 和 无关的解) ,则有：
其通解为：V ( r )
d 2 dV (r )0 dr dr
若取 c1 1, c2 0,则得到特解 V0 ( r ) ,称此解为三维Laplace
r
c1 c2 , (r 0, c1 , c2 为任意常数)。 r 1
方程的基本解,它在研究三维拉普拉斯方程中起着重要的作用.
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第4章格林函数法
对二维拉普拉斯方程 u uxx u yy 0 ,其极坐标形式为:
分方程，又可以研究偏微分方程；既可以研究齐次方 程又可以研究非齐次方程；既可以研究有界问题，又 可以研究无界问题。它的内容十分丰富，应用极其广 泛。这一章，我们主要介绍用格林函数求解拉普拉斯
方程的边值问题。
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4.1 格林公式及其应用
4.1.1 基本解 对拉普拉斯方程 u uxx u yy uzz 0 , 其球坐标形式为：
调和函数在区域内任一点的值可以通过积分表达式用这个 函数在区域边界上的值和边界上的法向导数来表示。
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若函数
内满足Poisson方程 u
1 u(M 0 ) 4
u 在 上有一阶连续偏导数，且在
F ，则同样有
0
除在 M 0 点外处处满足三维Laplace方程u
定理：若函数 内调和，则
0，于是有
u 在 上有一阶连续偏导数，且在
1 1 u ( M ) u(M ) ( ) dS n rMM 0 rMM 0 n
1 u(M 0 ) 4
证明 只要在Green公式中取 v 1 即证。 注：此性质表明调和函数的法向导数沿区域边界的积分为零。 对稳定的温度场，流入和流出物体界面的热量相等，否则就 不能保持热的动态平衡，而使温度场不稳定。
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思考：Laplace方程Neumann问题有解的必要条件是什么？
若取 c1 1, c2
1 0 , 则得到特解 V0 (r ) ln , 称此解为二维 r
Laplace方程的基本解.
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4.1.2 格林公式
由高斯公式 P Q R dV P cos(n, x) Q cos(n, y) R cos(n, z) d S x y z v v v 令P u , Q u , R u ,则得到格林第一公式： x y z
1 1 u ( M ) 1 u(M ) ( ) dS n rMM 0 rMM 0 n 4 F (M ) rMM dV 0
4.1.4 调和函数的性质
性质1. 设 u ( x, y, z ) 是区域 内的调和函数，它在 u 上有一阶连续偏导数，则 dS 0, 其中 , n n 是 的外法线方向。
将以上两公式相减，得到格林第二公式：
v u (uv vu )dV (u n v n )dS
调和函数：具有二阶偏导数并且满足拉普拉斯方程的连续函数。
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4.1.3 调和函数的积分表达式 由Green公式可导出调和函数的积分表示。由于函数： 1 1 rMM ( x x0 ) 2 ( y y 0 ) 2 ( z z 0 ) 2
2u 1 u 1 2u 2 0 2 2 r r r r
(4.1.2)
求方程(4.1.2)的径向对称解 u V (r ) (即与 无关的解) ,则有：
其通解为： V (r ) c1 ln r c2 , (r
d 2V 1 dV 0 2 dr r dr
0, c1 , c2 为任意常数)。
内任意一点，若 是以 M 为中心，a为半径 a 0
1 u(M 0 ) 4
及由性质1，有
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1 1 u u ( ) dS a r n n r
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又因为，在
u u 0, | f . n
性质2 (平均值定理)
Байду номын сангаас
u n dS f dS 0.
设函数 u( M ) 在区域 内调和，
M0 是
的球面，此球完全落在区域 的内部，则有
1 u(M 0 ) udS 2 a 4a 证明： 由调和函数的积分表示：
u v u v u v v uvdV ( x x y y z z )dV u ndS
vudV (
u v u v u v u )dV v dS n x x y y z z