二次方贝塞尔曲线
三次Bezier曲线原理及实现代码
Bezier曲线原理及实现代码（c++）一、原理：贝塞尔曲线于1962年，由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计。
贝塞尔曲线最初由Paul de Casteljau于1959年运用de Casteljau 算法开发，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。
线性贝塞尔曲线给定点P0、P1，线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线。
这条线由下式给出：且其等同于线性插值。
二次方贝塞尔曲线的路径由给定点P0、P1、P2的函数B(t) 追踪：。
TrueType字型就运用了以贝塞尔样条组成的二次贝塞尔曲线。
P0、P1、P2、P3四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝塞尔曲线。
曲线起始于P0走向P1，并从P2的方向来到P3。
一般不会经过P1或P2；这两个点只是在那里提供方向资讯。
P0和P1之间的间距，决定了曲线在转而趋进P3之前，走向P2方向的“长度有多长”。
曲线的参数形式为：。
现代的成象系统，如PostScript、Asymptote和Metafont，运用了以贝塞尔样条组成的三次贝塞尔曲线，用来描绘曲线轮廓。
一般化P0、P1、…、P n，其贝塞尔曲线即。
例如：。
如上公式可如下递归表达：用表示由点P0、P1、…、P n所决定的贝塞尔曲线。
则用平常话来说，阶贝塞尔曲线之间的插值。
一些关于参数曲线的术语，有即多项式又称作n阶的伯恩斯坦基底多项式，定义00 = 1。
点P i称作贝塞尔曲线的控制点。
多边形以带有线的贝塞尔点连接而成，起始于P0并以P n终止，称作贝塞尔多边形（或控制多边形）。
贝塞尔多边形的凸包（convex hull）包含有贝塞尔曲线。
线性贝塞尔曲线函数中的 t 会经过由 P 0 至P 1 的 B(t ) 所描述的曲线。
例如当 t=0.25 时，B(t ) 即一条由点 P 0 至 P 1 路径的四分之一处。
就像由 0 至 1 的连续 t ，B(t ) 描述一条由 P 0 至 P 1 的直线。
B样条曲线
Bezier曲线
给定P0、P1、P2、P3，三次曲线的参数形式如下：
三次曲线的动态图如下：
对于三次曲线，可由线性贝塞尔曲线描述的中介点 Q0、Q1、Q2，和由二次曲线描述的点R0、R1所建 构。P0、P1、P2、P3四个点在平面或在三维空间中 定义了三次方贝塞尔曲线。曲线起始于P0走向P1， 并从P2的方向来到P3。一般不会经过P1或P2；这两 个点只是在那里提供方向资讯。P0和P1之间的间距， 决定了曲线在转而趋进P3之前，走向P2方向的“长 度有多长”。
Bezier曲线
更高阶的贝塞尔曲线，可以用以下公式表示：用表示由点 P0、P1、…、Pn所决定的贝塞尔曲线。则有：
高阶曲线的动态图如下：
要“画”出贝塞尔曲线，一般需要进行 较多的计算，然后绘制出来。
Bezier曲线 Bezier曲线的一般化形式：
即：
其中多项式：
又称作 n 阶的伯恩斯坦基底多项式，定义 00 = 1。
B样条曲线
Bezier曲线改变一点曲线整体受影响
B样条曲线
B样条曲ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的优点：
易于进行局部修改； 更逼近特征多边形；
是低阶次的曲线。
B样条曲线改变一点曲线局部受影响
B样条曲线
均匀B样条曲线的参数表达式为：
式中为n次B样条基函数，其形式为：
其中
B样条曲线
B样条曲线的C语言实现
#include<graphics.h> #include<conio.h> float px[10]={50,90,150,120,220,300,380,320,450,500}; float py[10]={100,60,50,150,240,100,100,200,250,130}; void B_spline() { float a0,a1,a2,a3,b0,b1,b2,b3; int k,x,y; float i,t,dt,n=10; setcolor(15); dt=1/n; for(k=0;k<10;k++) { if(k==0) moveto(px[k],py[k]); lineto(px[k],py[k]); } setcolor(4); for(k=0;k<10-3;k++) { if(getch()==17)exit();
Bezier曲线原理及实现代码（c++）
Bezier曲线原理及实现代码（c++）Bezier曲线原理及实现代码（c++）2009-06-30 18:50:09| 分类： |字号⼀、原理：贝塞尔曲线于，由⼯程师（Pierre Bézier）所⼴泛发表，他运⽤贝塞尔曲线来为的主体进⾏设计。
贝塞尔曲线最初由于运⽤开发，以的⽅法求出贝塞尔曲线。
线性贝塞尔曲线给定点 P0、P1，线性贝塞尔曲线只是⼀条两点之间的。
这条线由下式给出：且其等同于。
⼆次⽅贝塞尔曲线的路径由给定点 P0、P1、P2的函数 B(t) 追踪：。
字型就运⽤了以组成的⼆次贝塞尔曲线。
P0、P1、P2、P3四个点在平⾯或在三维空间中定义了三次⽅贝塞尔曲线。
曲线起始于 P0⾛向 P1，并从 P2的⽅向来到 P3。
⼀般不会经过 P1或 P2；这两个点只是在那⾥提供⽅向资讯。
P0和 P1之间的间距，决定了曲线在转⽽趋进 P3之前，⾛向 P2⽅向的“长度有多长”。
形式为：。
现代的成象系统，如、和，运⽤了以组成的三次贝塞尔曲线，⽤来描绘曲线轮廓。
P0、P1、…、P n，其贝塞尔曲线即。
例如：。
如上公式可如下递归表达：⽤表⽰由点 P0、P1、…、P n所决定的贝塞尔曲线。
则⽤平常话来说，阶贝塞尔曲线之间的插值。
⼀些关于参数曲线的术语，有即多项式，定义 00 = 1。
点 P i称作贝塞尔曲线的控制点。
以带有的贝塞尔点连接⽽成，起始于 P0并以 P n终⽌，称作贝塞尔多边形（或控制多边形）。
贝塞尔多边形的（convex hull）包含有贝塞尔曲线。
线性贝塞尔曲线函数中的t会经过由 P0⾄P1的 B(t) 所描述的曲线。
例如当t=0.25时，B(t) 即⼀条由点 P0⾄ P1路径的四分之⼀处。
就像由0 ⾄ 1 的连续t，B(t) 描述⼀条由 P0⾄ P1的直线。
为建构⼆次贝塞尔曲线，可以中介点 Q0和 Q1作为由 0 ⾄ 1 的t：由 P0⾄ P1的连续点 Q0，描述⼀条线性贝塞尔曲线。
贝塞尔曲线公式
贝塞尔曲线公式贝塞尔曲线（Bézier Curve）是由法国数学家皮埃尔·贝塞尔提出的，其应用非常广泛，如CAD系统，图片处理，几何图案绘制等。
贝塞尔曲线具有很强的平滑性，可以用来描述任意曲线，可以更加精确地描述几何形状。
贝塞尔曲线公式是一种用于绘制贝塞尔曲线的方法，它可以用来描述任意曲线。
贝塞尔曲线公式也称为递推公式，它将多项式拆分为多边形，并用相应的贝塞尔曲线来表示这些多项式。
这种方法实现了在任意两个点之间平滑多边形的曲线，给我们一个非常高效地，强大而精确绘图方法。
贝塞尔曲线的通用公式为：B(t)=sum(k=0,n)PkCn,k(t)其中，Pk是贝塞尔曲线的控制点，t是参数，Cn,k（t）是贝塞尔基函数：C0,0(t)=1,Cn,0(t)=0,Cn,k(t)=Cn-1,k-1(t)+(n-k+1)Cn-1,k(t)而B（t）是控制点的一个线性函数，t的数值在[0,1]之间。
当t=0的时候，B(t)=P0，t=1的时候，B(t)=Pn，其间的某一点Q，坐标则有如下形式：Q(x,y)=B(t)=sum(k=0,n)PkCn,k(t)=(P0(t),Pn(t))Cn,k(t)由于贝塞尔曲线是一种几何数学概念，它还有基于几何理论的定义及绘图方法，如：1.控制点的定义：在二维空间内，贝塞尔曲线是由“控制点A”和“控制点B”两个点构成曲线。
2.贝塞尔曲线定义：采用参数t做函数变换后，以控制点A和控制点B为两个顶点，完成三次曲线的定义。
即所谓的B-Spline曲线（B样条曲线）。
3.贝塞尔曲线定向：从起点开始，控制点A和控制点B所代表的线条向曲线的延长方向，可以使到达终点的曲线更平滑，更优美。
4.贝塞尔曲线的绘制：一般来说，贝塞尔曲线的绘制可以分成三步：（1）通过各个控制点求得控制点对应的点对；（2）将此点对组合起来即可绘出相应的贝塞尔曲线；（3）根据公式依次计算出整条曲线上的点，最后完成贝塞尔曲线的精确绘制。
bezier曲线表达式
bezier曲线表达式
贝塞尔曲线（Bezier Curve）是一种常用的数学曲线，用于计算机图形学和动画制作等领域。
贝塞尔曲线可以使用参数形式表示，也可以使用矢量表示。
贝塞尔曲线的矢量表示形式是：P(t) = ∑_{i=0}^{n} B_{i,n}(t) * P_i其中，P(t)表示曲线上的点，B_{i,n}(t)是贝塞尔基函数，P_i 是控制点。
n表示控制点的个数，t是一个参数，取值范围是[0,1]。
对于2次贝塞尔曲线，其基函数为：B_{0,2}(t) = 1-t^2, B_{1,2}(t) = 2t*(1-t), B_{2,2}(t) = t^2在参数t=0时，曲线起点为P_0；在参数t=1时，曲线终点为P_2。
对于3次贝塞尔曲线，其基函数为：B_{0,3}(t) = 1-t^3, B_{1,3}(t) = 3t*(1-t)^2, B_{2,3}(t) = 3t^2*(1-t), B_{3,3}(t) = t^3在参数t=0时，曲线起点为P_0；在参数t=1时，曲线终点为P_3。
对于更高次的贝塞尔曲线，其基函数可以递推得到。
此外，贝塞尔曲线的参数形式表示为：C(t) = ∑_{i=0}^{n} C_i * t^i其中，C_i是控制点，t是一个参数，取值范围是[0,1]。
该公式可用于绘制贝塞尔曲线。
贝塞尔曲线详解
贝塞尔曲线详解贝塞尔曲线是一种数学曲线，它由法国数学家皮埃尔·贝塞尔在19世纪中期发明。
贝塞尔曲线在计算机图形学、工程学、设计和艺术等领域中得到了广泛应用。
本文将详细介绍贝塞尔曲线的定义、性质和应用。
一、贝塞尔曲线的定义贝塞尔曲线是由一系列控制点和一组权重值组成的曲线。
控制点是曲线上的点，它们决定了曲线的形状。
权重值是一个数值数组，它们控制了曲线在控制点之间的弯曲程度。
贝塞尔曲线的公式如下：B(t) = Σi=0n Pi * Bi,n(t)其中，B(t)是曲线上的点，t是参数，Pi是控制点，Bi,n(t)是贝塞尔基函数。
贝塞尔基函数是一个多项式函数，它的形式如下：Bi,n(t) = C(n,i) * ti * (1-t)n-i其中，C(n,i)是组合数，ti是t的i次方，(1-t)n-i是(1-t)的n-i次方。
二、贝塞尔曲线的性质1. 控制点的数量决定了曲线的阶数。
例如，如果有3个控制点，那么曲线的阶数为2。
2. 曲线的起点和终点分别是第一个和最后一个控制点。
3. 曲线在控制点处的切线方向与相邻控制点之间的连线方向相同。
4. 曲线的形状由控制点和权重值共同决定。
权重值越大，曲线在相应控制点之间的弯曲程度越大。
5. 贝塞尔曲线具有局部控制性。
这意味着，如果修改了一个控制点的位置或权重值，只会影响该控制点和相邻控制点之间的曲线段，而不会影响整个曲线。
三、贝塞尔曲线的应用1. 计算机图形学贝塞尔曲线在计算机图形学中得到了广泛应用。
它们可以用来绘制平滑的曲线和曲面，例如二维图形、三维模型和动画。
贝塞尔曲线还可以用来实现图形编辑工具，例如Photoshop和Illustrator。
2. 工程学贝塞尔曲线在工程学中也有很多应用。
例如，它们可以用来设计汽车、飞机和船舶的外形，以及建筑物的立面和室内设计。
贝塞尔曲线还可以用来优化机器人的运动轨迹和控制系统的响应速度。
3. 设计和艺术贝塞尔曲线在设计和艺术领域中也非常流行。
android二阶贝塞尔曲线公式
android二阶贝塞尔曲线公式Android二阶贝塞尔曲线公式（Formula for Quadratic Bezier Curve in Android）贝塞尔曲线是一种常用于图形设计和动画中的数学曲线。
在Android开发中，二阶贝塞尔曲线是一种经常被使用的类型，它由三个点共同决定。
以下是描述Android二阶贝塞尔曲线的公式。
公式：B(t) = (1-t)^2 * P0 + 2 * (1-t) * t * P1 + t^2 * P2在这个公式中，B(t)表示在t时刻曲线上的一个点，P0表示起始点，P1表示控制点，P2表示结束点。
t是取值范围为0到1的参数，用来表示曲线上的位置。
根据这个公式，我们可以计算出曲线上的任意一个点的坐标。
例如，当t等于0时，B(t)的值将是曲线的起始点P0。
当t等于1时，B(t)的值将是曲线的结束点P2。
二阶贝塞尔曲线相比一阶贝塞尔曲线更加复杂和灵活。
通过改变控制点P1的位置，我们可以改变曲线的形状。
当P1位于起始点和结束点之间时，曲线将呈现出弯曲的效果。
当P1位于起始点和结束点的外侧时，曲线将呈现出S形状。
在Android开发中，我们可以使用Canvas类的drawPath()方法来绘制二阶贝塞尔曲线。
首先，我们需要创建一个Path对象，并通过调用Path对象的quadTo()方法来设置曲线的起始点、控制点和结束点。
然后，我们可以使用Canvas的drawPath()方法将曲线绘制在屏幕上。
总结：Android二阶贝塞尔曲线公式是一个通过起始点、控制点和结束点来描述曲线形状的数学公式。
通过调整控制点的位置，我们可以创建出各种各样的曲线形状。
在Android开发中，我们可以使用Canvas类来绘制二阶贝塞尔曲线，为我们的应用程序增添更多的动画和设计效果。
贝塞尔曲线斜率
贝塞尔曲线斜率贝塞尔曲线斜率是指在贝塞尔曲线上某一点处的切线斜率。
贝塞尔曲线是一种经典的曲线表示方法，广泛应用于计算机图形学、动画和设计等领域。
在这篇文章中，我们将探讨贝塞尔曲线斜率的性质和应用。
一、贝塞尔曲线概述贝塞尔曲线是通过控制点来定义的曲线。
一般情况下，贝塞尔曲线由两个端点和若干个控制点组成。
通过调整控制点的位置和数量，可以得到不同形状的曲线。
贝塞尔曲线的优点之一是可以平滑地连接多个点，形成连续的曲线。
二、贝塞尔曲线的参数化表示贝塞尔曲线可以通过参数化表示来描述。
对于二次贝塞尔曲线，其参数化表示为：P(t) = (1-t)^2 * P0 + 2 * t * (1-t) * P1 + t^2 * P2其中P(t)是曲线上某一点的坐标，P0、P1和P2分别是起始点、控制点和结束点的坐标，t是参数，取值范围为0到1。
贝塞尔曲线的斜率可以通过求导来计算。
对于二次贝塞尔曲线，其斜率的计算公式为：k(t) = (P1.y - P0.y) * (1-t) + (P2.y - P1.y) * t其中k(t)是曲线在参数t处的斜率，P0、P1和P2同上述定义。
四、贝塞尔曲线斜率的性质1. 贝塞尔曲线在起始点和结束点处的斜率等于起始点和结束点连线的斜率。
2. 贝塞尔曲线的斜率在参数t取值为0和1时达到最大值或最小值。
3. 贝塞尔曲线的斜率可以用来判断曲线的凹凸性，当曲线斜率为正时，曲线凸向上方；当曲线斜率为负时，曲线凸向下方。
五、贝塞尔曲线斜率的应用1. 动画设计中可以利用贝塞尔曲线的斜率来控制物体的运动轨迹和速度变化，实现平滑的动画效果。
2. 计算机图形学中可以利用贝塞尔曲线的斜率来进行曲线插值，实现曲线的平滑绘制。
3. 模拟物理运动时，可以利用贝塞尔曲线的斜率来模拟物体的加速度和减速度变化，使得物体运动更加真实。
4. 在工程设计中，可以利用贝塞尔曲线的斜率来控制曲线的曲率，从而实现流线型或曲线型的设计效果。
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S (t ) P (t ) dt
10.1.1 曲线的表示 1. 显式表示
一个坐标变量能够显式地表示为另一个变量的函数 平面曲线显式表示的一般形式是 y f ( x) 一条直线方程 y mx b 每一个x值只对应一个y值
Computer Graphics
用显式方程不能表示封闭或多值曲线
10.1.1 曲线的表示
10.1.2 参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率
在三维空间中，曲线的参数方程为 t [0,1] P (t ) ( x(t ), y(t ), z(t )) 1.位置矢量 曲线上任一点的位置矢量可表示为 2.切矢量
P (t ) ( x(t ), y(t ), z(t ))
P(t) z y △P
P (t ) ( x(t ), y(t ), z(t )) ， t [0,1]
y(t )和 z (t )分别为 t的显式函数， 其中 x(t )， 即每一个 t 对应空间一个点 ( x(t ), y(t ), z(t ))
(10.3)
通常将参数区间规范化为[0,1]。参数方程中的参数可以代表多种不 同的量，如时间、角度等。 连接 P0 ( x0 , y0 ) 和 P1 ( x1 , y1 )两点的直线段的参数方程可写为
2 隐式表示
平面曲线隐式表示的—般形式：
f ( x, y) 0
Computer Graphics
例如，二次隐式方程的—般形式可写成
ax2 bxy cy 2 dx ey f 0
(10.1)
该隐式方程可以表示抛物线、双曲线和椭圆等。 三维空间曲线的隐式表示式为交面式:
f ( x, y, z ) 0 g ( x, y, z ) 0
cos (cos 2
sin 2 ) (cos 2 sin 2 ) (1 t 2 ) (1 t 2 ) 2 2 2 2
y y
取角度θ为参数时，x和 y的关系如图10.1(a)所 示；取t为参数时，x和 y的关系如图10.1(b)所 示，其中θ和t为等距取 值。
0
(a) 1.0 x
(10.2)
曲线的非参数表示存在的问题是： ①与坐标系相关； ②会出现斜率为无穷大的情况(如垂线)； ③非平面曲线难用常系数的非参数化函数表示，例如式（10.2）；
10.1.1 曲线的表示
3 参数表示
Computer Graphics
曲线的参数表示是指将曲线上各点的坐标变量显式地表示成参数的函 数形式。若取参数为 t ，则曲线的参数表示为
t
dt
dt
在 t 处的导矢，或切矢量。 设 s 表示 P (t ) 到 P (t t ) 的弧长，由于弦长 P 和弧长 s 的极限相同， 即 ds dP 则
dt
T lim
|
dt
|
(10.4) (10.5)
P dP s 0 s ds
T称为处切线方向的单位矢量。上式说明，如果以弧长为参数，曲线在任意点的 切矢量为单位矢量。
Computer Graphics
第十章 Bezier曲线曲面
Computer Graphics
Bezier曲线曲面操作实例
点击右面图标可以自己操作
综述
Computer Graphics
曲线曲面的表示是计算机图形学的重要研究内容之一。 在计算机图形学中，常用的曲线曲面的类型有
Bézier曲线曲面
本章讨论Bézier曲线曲面的重要性质和生成算法。
10.1 曲线曲面的基础知识
Computer Graphics
曲线、曲面的表示形式 参数表示： 非参数表示：（在CG&CAGD角度看，好一些） 显示表示 隐式表示 曲线和曲面的基础知识 位置矢量、切矢量、法矢量、法平面、曲率 以及连续性等
Computer Graphics
P′ (t) P(t+△t)
x 图10.2 参数曲线的切矢
设P (t ) 和 P (t t ) 是曲线上的两点，记 P P (t t ) P (t ) ，如图10.2所示。当t 0 时，导数矢量 P 的方向趋近于P点处的切线方向，记为 dP (t ) 。称 dP (t ) 为 P (t )
x x0 ( x1 x0 )t , P (t ) P0 ( P1 P0 )t y y0 ( y1 y0 )t ,
t 0,1
10.1.1 曲线的表示
3 参数表示
Computer Graphics
一条参数曲线的表示形式并不是惟一的，例如在第一象限内的单 位圆弧可表示成 x cos (1 t 2 ) (1 t 2 ) 0 ,0 t 1 y sin 2t (1 t 2 ) 2 其中：
0
(b)
1.0 x
图10.1 第一象限内单位圆弧的表示形式
参数表示的优越性
Computer Graphics
①参数方程的形式不依赖于坐标系的选取，具有形状不变 性； ②在参数表示中，变化率以切矢量来表示，不会出现无穷 大的情况； ③对参数表示的曲线、曲面进行平移、放缩和旋转等几何 变换比较容易； ④用参数表示的曲线曲面的交互能力强，参数表示式中系 数的几何意义明确，并提高了自由度，便于控制形状。
10.1.2 参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率
3.弧长 对于正则曲线P =P (t )（| P (t ) | 0 ），从点 P (0)到点 P (t )的弧长定义为
S (t ) P (t ) dt
0 t
Computer Graphics
其中| P (t ) | 是切矢量P (t ) 的长度。式Fra bibliotekP0P 1
P2
P3
B样条曲线曲面
孔斯曲面
优点
1 曲线曲面的形状不依赖于坐标系的选择 2 人机交互直观
y y P2 P1
Computer Graphics
3 易于计算
4 易于拼接
P1
P0 x P0
5 造型灵活等
P2
x
（a）过图示三点的参数 二次多项式图形
（ b ）原图三点绕原点逆转 45 度 后过三点的参数二次多项式图形