计算机图形学第7讲贝塞尔曲线
贝塞尔曲线 离散 曲率
贝塞尔曲线离散曲率贝塞尔曲线是计算机图形学中常用的曲线类型之一。
它由法国工程师皮埃尔·贝齐埃尔于1962年提出，被广泛应用于计算机图形、动画和设计领域。
贝塞尔曲线的离散化是指将连续曲线上的一系列点转化为离散的数据点，以便计算机能够处理和显示。
离散化的过程中，曲线的平滑度和曲率是非常重要的指标。
曲线平滑度表示曲线段之间的变化趋势，而曲率则描述了曲线在某一点处的弯曲程度。
在离散化贝塞尔曲线时，我们首先需要确定用于描述曲线的控制点。
控制点的位置和数量会直接影响到曲线的形状。
曲线上的每个离散点都是由控制点和贝塞尔曲线算法计算而来。
控制点的移动会改变曲线的形状，并且我们可以通过调整控制点的位置和数量来精确地控制曲线的弯曲程度和平滑度。
贝塞尔曲线的曲率是衡量曲线曲率半径变化率的数值。
曲率越大，意味着曲线在该点处的变化速率越大，曲线更加弯曲。
对于离散的贝塞尔曲线而言，计算曲率就需要借助数值方法，如数值微分或数值逼近。
曲率的计算可以帮助我们了解曲线在离散点上的变化情况，有效地进行曲线编辑和优化。
贝塞尔曲线的离散化曲率具有指导意义。
通过分析曲线在不同离散点上的曲率变化，我们可以得到有关曲线局部形状的重要信息。
这些信息对于计算机图形学和设计的应用非常有价值。
例如，我们可以根据曲率的变化来辅助生成曲线的曲面，使其看起来更加真实和自然。
此外，离散曲率还可以在曲线插值算法中使用，以便通过一组已知点来生成曲线。
总之，贝塞尔曲线的离散化曲率在计算机图形学和设计领域扮演着重要的角色。
通过离散化曲率的计算，我们可以精确控制和优化曲线的形状，提供生动、全面且有指导意义的视觉效果。
这种技术为计算机图形学和设计领域的发展带来了巨大的便利和创新空间。
nurbs 贝塞尔曲线
nurbs 贝塞尔曲线
NURBS（非均匀有理B样条）和贝塞尔曲线都是计算机图形学中常用的曲线表示方法。
NURBS是一种扩展的B样条曲线，它结合了非均匀（不是等距分布）和有理（包含分母）的特性。
NURBS曲线能够精确
表示自由曲线和曲面，并且在计算机图形学中广泛应用。
贝塞尔曲线则是由一系列线段或圆弧组成的参数曲线，其参数可以是时间和角度。
贝塞尔曲线通常用于计算机图形、动画、建模和设计等领域。
这两种曲线表示方
法各有特点，但都是计算机图形学中重要的工具。
贝塞尔曲线
贝塞尔曲线贝塞尔曲线（The Bézier Curves），是一种在计算机图形学中相当重要的参数曲线（2D，3D 的称为曲面）。
贝塞尔曲线于1962年，由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）所发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计。
线性曲线给定点P0、P1，线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线。
这条线由下式给出：当参数t变化时，其过程如下：线性贝塞尔曲线函数中的t会经过由P0至P1的B（t）所描述的曲线。
例如当t=0.25时，B （t）即一条由点P0至P1路径的四分之一处。
就像由0至1的连续t，B（t）描述一条由P0至P1的直线。
二次曲线二次方贝塞尔曲线的路径由给定点P0、P1、P2的函数B（t）追踪：为建构二次贝塞尔曲线，可以中介点Q0和Q1作为由0至1的t：* 由P0至P1的连续点Q0，描述一条线性贝塞尔曲线。
* 由P1至P2的连续点Q1，描述一条线性贝塞尔曲线。
* 由Q0至Q1的连续点B（t），描述一条二次贝塞尔曲线。
二次曲线看起来就是这样的：三次曲线为建构高阶曲线，便需要相应更多的中介点。
对于三次曲线，可由线性贝塞尔曲线描述的中介点Q0、Q1、Q2，和由二次曲线描述的点R0、R1所建构。
P0、P1、P2、P3四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝塞尔曲线。
曲线起始于P0走向P1，并从P2的方向来到P3。
一般不会经过P1或P2；这两个点只是在那里提供方向资讯。
P0和P1之间的间距，决定了曲线在转而趋进P3之前，走向P2方向的“长度有多长”。
曲线的参数形式为：看起来就是这样的：高阶曲线更高阶的贝塞尔曲线，可以用以下公式表示：用表示由点P0、P1、…、Pn所决定的贝塞尔曲线。
则有：更多的关于贝塞尔曲线的内容，你可以去查阅各种数学书。
加油，求知的骚年。
应用在几乎所有的高级图像软件中，均使用到了三次贝塞尔曲线来实现“平滑曲线”绘制功能。
例如Photoshop中的“钢笔”，CoralDraw中的“贝塞尔工具”，Fireworks中的“画笔”。
bezier曲线参数方程
bezier曲线参数方程贝塞尔曲线是计算机图形学中常用的一种曲线插值方法，它通过一系列的控制点来定义曲线的形状。
贝塞尔曲线的参数方程描述了曲线上每个点的位置，是使用参数来表示曲线的方程。
在二维空间中，贝塞尔曲线的参数方程可以表示为：B(t) = Σ [Pi * B(i,n,t)]其中，B(t)表示曲线上的某一点的坐标，Pi表示控制点的坐标，B(i,n,t)是贝塞尔基函数。
贝塞尔基函数是与参数t有关的函数，用来计算权重。
它是通过递归定义的，可以分为两种类型：线性基函数和二次基函数。
线性基函数表示为：B(i,1,t) = (1 - t) * Pi + t * P(i+1)其中，i表示控制点的索引，t表示参数，Pi和P(i+1)表示相邻的两个控制点的坐标。
二次基函数表示为：B(i,2,t) = (1 - t)^2 * Pi + 2 * t * (1 - t) * P(i+1) +t^2 * P(i+2)同样，i表示控制点的索引，t表示参数，而Pi、P(i+1)和P(i+2)分别表示相邻的三个控制点的坐标。
贝塞尔曲线的参数方程可以从一阶一直推导到任意阶的情况，这里只给出了二阶贝塞尔曲线的参数方程。
对于更高阶的曲线，基本原理是一样的，只是计算方法更加复杂。
贝塞尔曲线的参数t通常取值范围为[0,1]，当t=0时，曲线对应于起始点的坐标，当t=1时，曲线对应于结束点的坐标。
中间的参数值会在控制点之间插值，从而定义了曲线的形状。
贝塞尔曲线有很多应用，最常见的是在计算机图形学中用于绘制平滑的曲线和曲面。
控制点的位置决定了曲线的形状，通过控制点的调整，可以得到各种不同形状的曲线。
此外，贝塞尔曲线还可以用于动画和插值计算。
在动画中，可以通过调整控制点的位置，使得曲线在不同时间点上的形状发生变化，从而实现动态的效果。
在插值计算中，可以通过贝塞尔曲线来计算两个数值之间的插值，从而可以实现平滑的过渡效果。
贝塞尔曲线的参数方程是贝塞尔曲线计算的基础，它提供了一种便捷的方式来描述曲线的形状。
贝塞尔曲线 凸包 证明
贝塞尔曲线凸包证明贝塞尔曲线是由Paul de Casteljau在1962年发明的一种数学曲线，它是通过定义控制点之间的连线，并将其作为新的控制点，重复这个过程直到只剩一个点的方法来构造的。
贝塞尔曲线的凸包是指控制点集合的凸包与它们构成的贝塞尔曲线的凸包之间的关系。
下面我将详细介绍贝塞尔曲线和凸包之间的证明。
我们需要了解凸包的定义。
凸包是指包含了给定点集合中所有点的最小凸多边形。
也就是说，在凸包中的任意两个点之间的连线都包含在凸包内部。
接下来，我们来证明贝塞尔曲线的凸包是通过控制点的凸包构成的。
我们假设有一个具有n个控制点的贝塞尔曲线。
考虑只有一个控制点的情况。
这个时候，贝塞尔曲线将退化为一个点，同时这个点也是其控制点的凸包。
然后，我们通过递归的方式证明对于n>1的情况，贝塞尔曲线的凸包与控制点的凸包相同。
假设通过n-1个控制点构成的贝塞尔曲线的凸包与控制点的凸包相同。
我们将最后一个控制点添加到贝塞尔曲线上，并用所有的n个控制点来计算一个新的贝塞尔曲线。
我们可以观察到这个新的贝塞尔曲线始终位于上一个贝塞尔曲线的凸包内部。
我们考虑控制点的凸包是否在新的贝塞尔曲线内。
对于最后一个控制点，它必然位于上一个贝塞尔曲线的凸包内部。
对于其他n-1个控制点，根据假设，它们也是上一个贝塞尔曲线的凸包内部的一部分。
由于凸包的定义，在上一个贝塞尔曲线内部的连线上的任意两个点之间的连线也在该凸包内。
因此，控制点的凸包总是在新的贝塞尔曲线内部。
我们考虑新的贝塞尔曲线是否在上一个贝塞尔曲线的凸包内。
我们可以观察到，新的贝塞尔曲线上的点是通过上一个贝塞尔曲线的凸包上的点与最后一个控制点之间的连线得到的。
由于凸包的定义，上一个贝塞尔曲线的凸包上的任意两个点之间的连线都在凸包内。
因此，新的贝塞尔曲线上的点也在上一个贝塞尔曲线的凸包内部。
综上所述，我们通过递归的方式证明了贝塞尔曲线的凸包是通过控制点的凸包构成的。
在实际应用中，这个定理对于计算机图形学和计算机辅助设计具有重要意义。
课件 计算机图形学 贝塞尔曲线及B样条
二 B样条曲线的数学表达式 1 通常，给定m+n+1个顶点Pi(i=0，1，2，…，m+n”)，
可以定义m十1段n次的参数曲线为：
n
Pi,n (t) Pik • Fk,n (t)
(0 t 1)
k 0
式中：
Fk,n(t)为n次B样条基函数，也叫B样条分段混合函数。 其形式为：
C Fk,n
(t)
n
p(t) pi Bi,n (t)
(0 t 1)
i0
p(t) (1 t)3 p0 3t(1 t)2 p1 3t 2 (1 t) p2 t3 p3
其中混合函数分别为：
B0，3 = 1- 3t + 3t2 - t3 =
B1，3 = 3t - 6t2 + 3t3 =
B2，3 = 3t2 - 3t3 =
（二 ）起始点与终止点切矢量的方向 通过对基函数求导，可以证明起始点与终止点的 切矢量与第1和第n（最后）条边一致（走向一致）。
基函数的导数：
B'i,n
(t)
n! i!(n
i)!
t（i 1
t）ni
'
Bi ,n
(t)
n! i!(n
i)!
t（i 1
t）ni
n! i·ti（1 1 t）ni （n i）t（i 1 t）ni1 i!(n i)!
贝塞尔曲 线
起始点
终止点
五 贝塞尔曲线的数学表达式：
Bezier曲线的数学基础：在第1个和最后一个端点之间进行
插值的多项式混合函数(调和函数)
它可以参用数方程表示如下：
n
p(t) pi Bi,n (t)
(0 t 1)
计算机图形学第7讲贝塞尔曲线
并满足方程 Q"(0) 2P"(1) P'(1)。
我们将 、 Q"(0) P"(1) 和 P'(1) ，Q0 Pn 、 Q1 Q2 (Pn Pn1) 代入，并整理，
可以得到：
Q2
2
2
n 1
1
Pn
2 2
2
n
1
A([P(t)] A n Pi Bi,n (t) A[Pi ]Bi,n(t)
i0
即在仿射变换下，的形式不变。
计算机图形学
3.2.2 Bezier曲线的递推(de Casteljau)算法
计算Bezier曲线上的点，可用Bezier曲线方程，但使
用de Casteljau提出的递推算法则要简单的多。
n2
c.）二阶导矢 P(t) n(n 1) (Pi2 2Pi1 Pi )Bi,n2 (t) i0
当t=0时，P"(0) n(n 1)(P2 2P1 P0 )
当t=1时，P" (1) n(n 1)(Pn 2Pn1 Pn2 )
上式表明：2阶导矢只与相邻的3个顶点有关，事实上，
r阶导矢只与（r+1）个相邻点有关，与更远点无关。
(i 0,1,..., n)
即高一次的Bernstein基函数可由两个低一次的 Bernsteini t i (1 t)ni
(Cni 1
C i1 n1
)t
i
(1
t
)
ni
(1 t)Cni 1t i (1 t)(n1)i tCni11t i1(1 t)(n1)(i1)
计算机图形学
Bezier曲线的递推(de Casteljau)算法
P1
P11
贝塞尔曲线与形设计
贝塞尔曲线与形设计贝塞尔曲线是计算机图形学中常用的一种曲线类型，其具有优秀的数学性质和良好的平滑性，被广泛应用于形状设计领域。
贝塞尔曲线可以描述各种复杂的曲线路径，通过调整控制点的位置和权重，可以创建出各种形状，从而实现各种艺术设计和工程应用。
一、贝塞尔曲线的基本概念贝塞尔曲线由几个控制点和一组权重参数确定，通过这些参数可以精确描述出曲线的形状。
贝塞尔曲线可以是一维的直线，也可以是二维的曲线，甚至是三维的曲面。
在计算机图形学中，常用的贝塞尔曲线包括一次贝塞尔曲线、二次贝塞尔曲线和三次贝塞尔曲线，它们分别由2个、3个和4个控制点确定。
二、贝塞尔曲线的参数化表示贝塞尔曲线的参数化表示可通过以下公式进行计算：P(t) = Σ(i=0 to n)Bi,n(t)Pi其中，P(t)表示曲线上的点，Bi,n(t)是贝塞尔基函数，Pi表示控制点，n表示控制点的数量。
通过调整各个控制点的位置和权重参数，可以得到不同形状的曲线。
三、贝塞尔曲线在形设计中的应用在形设计中，贝塞尔曲线可以用来创建各种复杂的形状，如字形、图形等。
设计师可以通过调整贝塞尔曲线的控制点来实现不同形状的绘制和编辑，从而实现灵活多变的设计效果。
四、贝塞尔曲线的优点与局限性贝塞尔曲线具有良好的平滑性和数学性质，能够实现曲线的精确描述和编辑。
但在某些情况下，贝塞尔曲线也存在一些局限性，如不易绘制封闭曲线、不易编辑复杂曲线等。
总的来说，贝塞尔曲线是一种强大的设计工具，可以帮助设计师实现各种形状的创造和设计。
通过深入学习和应用贝塞尔曲线，设计师可以提升自己的设计水平，创作出更加出色的作品。
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i 0,1, , n;
（7）最大值。Bi ,n (t ) 在 t
i n
处达到最大值。
计算机图形学
2．Betnstein基函数的性质
（8）升阶公式
(1
t ) Bi ,n
(t
)
(1
n
i
) 1
Bi,n1
(t
)
i 1 tBi,n (t) n 1 Bi1,n1(t)
Bi,n
(t)
(1
n
i
) 1
计算机图形学
Bezier曲线的性质
n2
c.）二阶导矢 P(t) n(n 1) (Pi2 2Pi1 Pi )Bi,n2 (t) i0
当t=0时，P"(0) n(n 1)(P2 2P1 P0 )
当t=1时，P" (1) n(n 1)(Pn 2Pn1 Pn2 )
上式表明：2阶导矢只与相邻的3个顶点有关，事实上，
n 1 n
(Pn1
Pn2 ) (Pn Pn Pn1 3
Pn 1 )
计算机图形学
Bezier曲线的性质
d.）k阶导函数的差分表示
n次Bezier曲线的k阶导数可用差分公式为：
Pk
(t)
(n
n! k)!
nk i0
k
Pi Bi,nk
(t)
t [0,1]
其中高阶向前差分矢量由低阶向前差分矢量递推地定
Bi
,n1
(t
)
i 1 n 1
Bi 1,n 1 (t )
计算机图形学
2．Betnstein基函数的性质
（9）积分
1
0
Bi,n (t)
1 n 1
计算机图形学
Bezier曲线的性质
（1）端点性质 a）曲线端点位置矢量 由Bernstein基函数的端点性质可以推得，当t=0时，
P(0)=P0 ；当t=1时，P(1)=Pn。由此可见，Bezier曲 线的起点、终点与相应的特征多边形的起点、终点重 合。
Bi,n (t) Cniti (1 t)ni [(1 t) t]n 1
i0
i0
计算机图形学
Betnstein基函数的性质
（4）对称性
Bi,n (t) Bni,n (1- t)
因为
Bni,n
(1-
t
)
C ni n
[1
(1
t
)]n ( n i )
(1
t)ni
Cni t i (1 t)ni Bi,n (1 t)
(Cni 1
C i1 n1
)t
i
(1
t
)
ni
(1 t)Cni 1t i (1 t)(n1)i tCni11t i1(1 t)(n1)(i1)
(1 t)Bi,n1(t) tBi1,n1(t)
计算机图形学
2．Betnstein基函数的性质
（6）导函数
Bi,n (t) n[Bi1,n1 (t) Bi,n1 (t)],
Q0
P(t)
b1
Q1
Pn-2 b2
Q2
Q(t)
图3.1.13 Bezier曲线的拼接
计算机图形学
Bezier曲线的拼接
（1）要使它们达到G0连续的充要条件是：Pn= Q0；
（2）要使它们达到G1连续的充要条件是：Pn-1，Pn=Q，Q1三 点共线，即：b1 an ( 0)
（3）要使它们达到G2连续的充要条件是：在G1连续的条件下，
计算机图形学
Betnstein基函数的性质
(5）递推性。
Bi,n (t) (1 t)Bi,n1 (t) tBi1,n1 (t),
(i 0,1,..., n)
即高一次的Bernstein基函数可由两个低一次的 Bernstein调和函数线性组合而成。因为，
Bi,n (t)
Cni t i (1 t)ni
计算机图形学
Bezier曲线的拼接
给定两条Bezier曲线P(t)和Q(t)，相应控制点为Pi(i=0, 1, ..., n) 和Qj(j=0,1,..., m)，且令 ai Pi Pi1,bj Qj Qj1 ，如图3.1.13所 示，我们现在把两条曲线连接起来。
Pn-2
Pn-1
an
Pn
an-1
计算机图形学
Bezier曲线的性质
b)切矢量
n1
因为，P'(t) n Pi[Bi1,n1(t) Bi,n1(t)] 所以当t=0时， i0
P’(0)=n(P1-P0)，当t=1时，P’(1)=n(Pn-Pn-1)，这说明 Bezier曲线的起点和终点处的切线方向和特征多边形 的第一条边及最后一条边的走向一致。
这便是著名的de Casteljau算法。用这一递推公式，在给定参数
下，求Bezier曲线上一点P(t)非常有效。上式中：是定义Bezier
计算机图形学
Bezier曲线的递推(de Casteljau)算法
曲线的控制点，P0n 即为曲线 P(t)上具有参数t的点。de Casteljau算 法稳定可靠，直观简便，可以编出十分简捷的程序，是计算 Bezier曲线的基本算法和标准算法。 当n=3时，de casteljau算法递推出的Pki呈直角三角形，对应结 果如图3.1.11所示。从左向右递推，最右边点P30即为曲线上的 点。
3.2 Bezier 曲线与曲面
计算机图形学
Bezier曲线的定义和性质
1．定义 给定空间n+1个点的位置矢量Pi（i=0，1，2，…，
n），则Bezier曲线可定义为：
计算机图形学
Bezier曲线的定义和性质 其中，Pi构成该Bezier曲线的特征多边形， Bi,n(t)是n次Bernstein基函数：
分 别 由 前 、 后 n 个 控 制 点 定 义 的 两 条 (n-1) 次 Bezier 曲 线
P0n-1与P1n-1的线性组合：P0n
(1
t
)
P n 1 0
tP1n1
t [0,1]
由此得到Bezier曲线的递推计算公式：
Pi k
(1
t
)
Pi
Pi
k 1
tPik11
k 0 k 1,2,..., n,i 0,1,..., n k
为：
n
n
n
n
C *(t) Pi*Bi,n (t) Pni Bi,n (t) Pni Bni,n (1 t) Pi Bi,n (1 t),
i0
i0
i0
i0
t [0,1]
这个性质说明Bezier曲线在起点处有什么几何性质， 在终点处也有相同的性质。
计算机图形学
Bezier曲线的性质
（3）凸包性 n
计算机图形学
Bezier曲线的递推(de Casteljau)算法
P0
P1
P01
P2
P11
P3
图3.1.11 n=3时Pin 的递推关系
计算机图形学
Bezier曲线几何作图法
这一算法可用简单的几何作图来实现。给定参数 t [0,1]，就把定义域分成长度为 t : (1 t) 的两段。依次对 原始控制多边形每一边执行同样的定比分割，所得分 点就是由第一级递推生成的中间顶点 Pi1(i 0,1,, n 1) , 对这些中间顶点构成的控制多边形再执行同样的定比 分割，得第二级中间顶点 Pi2(i 0,1,, n 2) 。重复进行下 去，直到n级递推得到一个中间顶点 P0n 即为所求曲线上 的点 P(t)，如图3.1.12所示。
0=1, 0!=1
计算机图形学
Betnstein基函数的性质
（1）正性
0 t 0,1 Bi,n (t) 0 t (0,1),
（2）端点性质
i 1,2,, n 1;
计算机图形学
Betnstein基函数的性质
（3）权性
n
Bi,n (t) 1 t (0,1)
i0
由二项式定理可知：
n
n
t从0变到1，第一、二式就分别表示控制二边形的第一、二 条边，它们是两条一次Bezier曲线。将一、二式代入第三式得：
P02 (1 t)2 P0 2t(1 t)P1 t 2P2
当t从0变到1时，它表示了由三顶点P0、P1、P2三点定义的一 条二次Bezier曲线。并且表明：这二次Bezier曲线P20可以定义 为分别由前两个顶点（P0，P1）和后两个顶点（P1，P2）决定 的一次Bezier曲线的线性组合。依次类推，由四个控制点定
A([P(t)] A n Pi Bi,n (t) A[Pi ]Bi,n(t)
i0
即在仿射变换下，的形式不变。
计算机图形学
3.2.2 Bezier曲线的递推(de Casteljau)算法
计算Bezier曲线上的点，可用Bezier曲线方程，但使
用de Casteljau提出的递推算法则要简单的多。
并满足方程 Q"(0) 2P"(1) P'(1)。
我们将 、 Q"(0) P"(1) 和 P'(1) ，Q0 Pn 、 Q1 Q2 (Pn Pn1) 代入，并整理，
可以得到：
Q2
2
2
n 1
1
Pn
2 2
2
n
1
图3.1.9 Bezier曲线的凸包性 计算机图形学
Bezier曲线的性质
（4）几何不变性。这是指某些几何特性不随坐标变 换而变化的特性。Bezier曲线位置与形状与其特征多 边形顶点 Pi(i 0,1,,n)的位置有关，它不依赖坐标系的选 择。
计算机图形学
Bezier曲线的性质
（5）变差缩减性。若Bezier曲线的特征多边形