04第三章 复变函数级数
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复变函数项级数
对未来研究的展望
深入研究复变函数项级数的性质和变化规律，进一步 拓展其在各个领域的应用范围。例如，在数学领域， 可以研究复变函数项级数的收敛性、可积性等性质， 以及其在复分析、微分方程等领域的应用。在工程领 域，可以研究复变函数项级数在信号处理、图像处理、 控制系统等领域的应用，并尝试将其应用于其他领域。
定义
对于形如∑an（z）的幂级数，其收敛半径R定义为满足∑an（z）收敛的z的集合中， 距离原点的最大距离。
计算方法
收敛半径R可以通过将幂级数的系数an代入到公式R=1/lim sup√[n] |a_n|中计算得 到。
复变函数项级数的收敛性判断
在复变函数、数学 分析和实变函数等 领域中，复变函数 项级数的收敛性判 断是一个重要的研 究课题。
在复数范围内的应用
解析 函数
函数 逼近
特殊 函数
复变函数项级数可以用于研究解析函数，例如通过 级数展开来研究函数的性质和行为。
在复数范围内，我们可以通过复变函数项级数来逼 近一个函数，从而得到该函数的近似表达式。
复变函数项级数可以用于定义和计算一些特殊函数， 例如贝塞尔函数、傅里叶级数等。
在物理和工程中的应用
06 单击此处添加标题 结论
复变函数项级数的意义与价值
意义
复变函数项级数在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用，它为解决复杂问题提供了有效的工具和方法。通过研究复变函数项级数，可 以深入了解函数的性质和变化规律，进一步推动相关领域的发展。
价值
复变函数项级数在解决实际问题中具有很高的价值。例如，在信号处理、图像处理、控制系统等领域，可以利用复变函数项级数对信号进 行分解、分析和处理，从而实现信号的滤波、降噪、调制和解调等功能。此外，在物理学中，复变函数项级数也被广泛应用于量子力学、 电磁学等领域，为解决物理问题提供了重要的思路和方法。
复变函数-级数
则∑ fn ( z ) = f1 ( z ) + f2 ( z ) + L + fn ( z ) + L为函数项级数
n=1
sn ( z ) = ∑ fk ( z ) —部分和函数
n
若 z 0 ∈ D , 有 lim sn ( z 0 ) = s ( z 0 ) ,
n→ ∞
k =1
收敛
称 ∑ f n ( z )在 z 0 点 收 敛 ， 且 ∑ f n ( z 0 ) = s ( z 0 )
∞ ∞ k
( −1) nπ 1 ∑ ln n sin 2 = ∑ ln ( 2k + 1) 条件收敛 n =2 k =1
∞ ∞ k
∴ 原级数条件收敛 .
第二节 幂级数
第 二 节 幂 级 数
1. 幂级数的概念
1) 函数项级 数： 设 { fn ( z )}
∞
( n = 1, 2 ,L) 为一复变函
数序列， z ∈ D
n n= 0
∞
∞
z < 1 q = z0
n= 0
2o 反证法
第 二 节 幂 级 数
综上得结论：幂级数 ( 2 ) 的收敛情况有三种
(1) 在复平面上处处收敛,
( 2 ) 只在z = 0收敛,
( 3) ∃R > 0 , 在圆C R：z
而 z = R上不定,
R = +∞
R=0
z = R内绝对收敛， > R 内发散，
n
( 2 ) ∑ ( cos in ) z n
n=0
c n +1 解： lim Q = lim n→∞ c n→∞ n
e n +1 + e − n −1 ) (
n=1
sn ( z ) = ∑ fk ( z ) —部分和函数
n
若 z 0 ∈ D , 有 lim sn ( z 0 ) = s ( z 0 ) ,
n→ ∞
k =1
收敛
称 ∑ f n ( z )在 z 0 点 收 敛 ， 且 ∑ f n ( z 0 ) = s ( z 0 )
∞ ∞ k
( −1) nπ 1 ∑ ln n sin 2 = ∑ ln ( 2k + 1) 条件收敛 n =2 k =1
∞ ∞ k
∴ 原级数条件收敛 .
第二节 幂级数
第 二 节 幂 级 数
1. 幂级数的概念
1) 函数项级 数： 设 { fn ( z )}
∞
( n = 1, 2 ,L) 为一复变函
数序列， z ∈ D
n n= 0
∞
∞
z < 1 q = z0
n= 0
2o 反证法
第 二 节 幂 级 数
综上得结论：幂级数 ( 2 ) 的收敛情况有三种
(1) 在复平面上处处收敛,
( 2 ) 只在z = 0收敛,
( 3) ∃R > 0 , 在圆C R：z
而 z = R上不定,
R = +∞
R=0
z = R内绝对收敛， > R 内发散，
n
( 2 ) ∑ ( cos in ) z n
n=0
c n +1 解： lim Q = lim n→∞ c n→∞ n
e n +1 + e − n −1 ) (
复变函数级数
(2) 称 fn (z) f1(z) f2 (z) fn (z) n1 为区域 G 内的复变函数项级数，简称为级数.
一、幂级数的定义
1.基本概念
(3) 称 sn (z) f1(z) f2 (z) fn (z) 为级数 fn (z) 的
n 1
部分和.
(4)
设
z0
G,
若级数
n1
f
n
(
∞
(3 4i) n (z 1)n .
n0
二、幂级数的收敛性
求下列幂级数的收敛半径及其收敛圆.
∞
(1) ∑(cosin) zn ； n0
解
(1) 因为
cn
cos i n 1 (en en ) , 2
故 lim cn1
n cn
lim
n
en1 en
e n 1 en
e, 则 R 1,
e
收敛圆是 | z | 1 .
n0
( Ⅰ)
其中 z0 , cn 为复常数. 特别地，当 z0 0 时，有
cn zn c0 c1z c2 z2 cn zn
( Ⅱ)
n0
二、幂级数的收敛性
1.收敛定理（阿贝尔定理）
如果幂级数 cn zn 在 z z0 ( 0) n0
处收敛，则对满足 z z0 的 z ,
级数必绝对收敛；
2.必要条件
定理
若复数项级数
n 1
zn
收敛，则
lim
n
zn
0.
定理的逆命题不成立.
1 1
如， n1
(
n
i
n2
).
作用：
若
lim
n
zn
0,
数学物理方法复变函数第三章幂级数
阿贝尔判别法是通过对幂级数的部分 和进行估计来确定收敛半径的方法， 适用于幂级数的系数随幂次增加而趋 于零的情况。
柯西判别法是基于幂级数的系数和幂 次之间的关系来确定收敛半径的方法， 适用于已知幂级数展开的系数的情况。
比较判别法是通过比较两个幂级数的 系数来确定收敛半径的方法，适用于 已知两个幂级数展开的情况。
详细描述
通过将微分方程转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数 的导数或积分，从而得到微分方程的解。这种方法在处理一 些复杂微分方程时具有明显的优势。
用幂级数求解积分方程
总结词
利用幂级数求解积分方程是一种有效的方法，能够得到精确的解或近似解。
详细描述
通过将积分方程转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数的积分，从而得到积 分方程的解。这种方法在处理一些复杂积分方程时具有明显的优势。
收敛半径的概念
收敛半径是指幂级数展开的收敛域的半径，即幂级数在收敛域内可以收敛到原函数 的范围。
收敛半径的大小取决于幂级数的系数和幂次，可以通过比较相邻项的系数来确定。
如果收敛半径为正无穷大，则表示幂级数在整个定义域内都收敛；如果收敛半径为 零或负无穷大，则表示幂级数不收敛。
收敛半径的确定方法
确定收敛半径的方法有多种，其中常 用的有柯西判别法、阿贝尔判别法和 比较判别法等。
04
幂级数的应用实例
用幂级数求解初值问题
总结词
幂级数在求解初值问题中具有重要作用，能够将复杂的数学问题转化为易于解 决的形式。
详细描述
通过将初值问题转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数的值，特别是在处 理一些难以直接求解的初值问题时，幂级数方法显得尤为重要。
用幂级数求解微分方程
总结词
利用幂级数求解微分方程是一种有效的方法，能够得到精确 的解或近似解。
柯西判别法是基于幂级数的系数和幂 次之间的关系来确定收敛半径的方法， 适用于已知幂级数展开的系数的情况。
比较判别法是通过比较两个幂级数的 系数来确定收敛半径的方法，适用于 已知两个幂级数展开的情况。
详细描述
通过将微分方程转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数 的导数或积分，从而得到微分方程的解。这种方法在处理一 些复杂微分方程时具有明显的优势。
用幂级数求解积分方程
总结词
利用幂级数求解积分方程是一种有效的方法，能够得到精确的解或近似解。
详细描述
通过将积分方程转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数的积分，从而得到积 分方程的解。这种方法在处理一些复杂积分方程时具有明显的优势。
收敛半径的概念
收敛半径是指幂级数展开的收敛域的半径，即幂级数在收敛域内可以收敛到原函数 的范围。
收敛半径的大小取决于幂级数的系数和幂次，可以通过比较相邻项的系数来确定。
如果收敛半径为正无穷大，则表示幂级数在整个定义域内都收敛；如果收敛半径为 零或负无穷大，则表示幂级数不收敛。
收敛半径的确定方法
确定收敛半径的方法有多种，其中常 用的有柯西判别法、阿贝尔判别法和 比较判别法等。
04
幂级数的应用实例
用幂级数求解初值问题
总结词
幂级数在求解初值问题中具有重要作用，能够将复杂的数学问题转化为易于解 决的形式。
详细描述
通过将初值问题转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数的值，特别是在处 理一些难以直接求解的初值问题时，幂级数方法显得尤为重要。
用幂级数求解微分方程
总结词
利用幂级数求解微分方程是一种有效的方法，能够得到精确 的解或近似解。
复变函数的级数
n0
收敛，则当 z z0 z1 z0 时绝对收敛；
n
cn (z z0 )n cn (z1 z0 )n
z z0 z1 z0
n
M z z0 z1 z0
• z1 z0•
z•
因为
z z0 1, z1 z0
n
所以
M z z0 z1 z0
收敛。
cn (z z0 )n 收敛。
n0
cn (z z0 )n 绝对收敛。
n0
如果级数 cn (z z0 )n 在 z z2
n0
则当 z z0 z2 z0 时发散。
处发散，
• z3
利用反证法可以说明：
如 果 在 z3 收 敛 ， 则 在 z2 收敛，矛盾。
z0• •z2
幂级数存在收敛半径 R
R
(1) R 0 时幂级数只在 z z0 点收敛
a
ba
b a
当 z a 1 即 z a ba 时
ba
1
zb
1 ba
n0
z b
a a
n
n0
(b
1 a)n1
(z
a)n
2. 幂级数的性质
定理３.9 级数 an zn 和 bn zn 的收
n0
n0
敛半径分别为 R1 和 R2 则在
z min{R1, R2}
内：
(1) an zn bn zn (an bn )zn
2
n
n0 n!
z 2n
n0 (2n)!
z
2 n 1
n0 (2n 1)!
都收敛
3.2 幂级数
1. 幂级数的概念
cn (z z0 )n c0 c1(z时
cn zn c0 c1z cn zn
收敛，则当 z z0 z1 z0 时绝对收敛；
n
cn (z z0 )n cn (z1 z0 )n
z z0 z1 z0
n
M z z0 z1 z0
• z1 z0•
z•
因为
z z0 1, z1 z0
n
所以
M z z0 z1 z0
收敛。
cn (z z0 )n 收敛。
n0
cn (z z0 )n 绝对收敛。
n0
如果级数 cn (z z0 )n 在 z z2
n0
则当 z z0 z2 z0 时发散。
处发散，
• z3
利用反证法可以说明：
如 果 在 z3 收 敛 ， 则 在 z2 收敛，矛盾。
z0• •z2
幂级数存在收敛半径 R
R
(1) R 0 时幂级数只在 z z0 点收敛
a
ba
b a
当 z a 1 即 z a ba 时
ba
1
zb
1 ba
n0
z b
a a
n
n0
(b
1 a)n1
(z
a)n
2. 幂级数的性质
定理３.9 级数 an zn 和 bn zn 的收
n0
n0
敛半径分别为 R1 和 R2 则在
z min{R1, R2}
内：
(1) an zn bn zn (an bn )zn
2
n
n0 n!
z 2n
n0 (2n)!
z
2 n 1
n0 (2n 1)!
都收敛
3.2 幂级数
1. 幂级数的概念
cn (z z0 )n c0 c1(z时
cn zn c0 c1z cn zn
复变函数级数收敛性
复变函数级数收敛性复变函数级数是指形如$\sum_{n=0}^{\infty} a_n(z-z_0)^n$的级数，其中$a_n$为复数系数，$z$为复变量，$z_0$为复常数。
研究复变函数级数的收敛性是复分析中的一个重要课题。
本文将讨论复变函数级数的收敛条件及其在复平面上的收敛域。
一、幂级数的收敛性幂级数是复变函数级数的一种特殊情况，其系数$a_n$为常数。
对于幂级数$\sum_{n=0}^{\infty} a_n(z-z_0)^n$，其在某个复数$z_0$附近的收敛性由收敛半径$R$决定。
收敛半径$R$的计算公式为：$$R = \frac{1}{\lim\sup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}}.$$当$|z-z_0| < R$时，幂级数绝对收敛；当$|z-z_0| > R$时，幂级数发散；当$|z-z_0| = R$时，幂级数可能收敛也可能发散。
收敛半径$R$可用来确定幂级数的收敛域，即收敛的$z$的取值范围。
二、复变函数级数的收敛性对于一般的复变函数级数$\sum_{n=0}^{\infty} a_n(z-z_0)^n$，其中系数$a_n$为复数，我们可以通过Cauchy-Hadamard公式求解其收敛半径$R$。
公式如下：$$\frac{1}{R} = \lim\sup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}.$$类似于幂级数的情况，当$|z-z_0| < R$时，级数绝对收敛；当$|z-z_0| > R$时，级数发散；当$|z-z_0| = R$时，级数可能收敛也可能发散。
三、收敛域的性质1. 收敛域是开集：对于给定的收敛半径$R$，收敛域是以$z_0$为中心、半径为$R$的开圆盘，即$\{z\in\mathbb{C}: |z-z_0| < R\}$。
2. 边界上的收敛性：当$|z-z_0| = R$时，级数可能收敛也可能发散。
复变函数复级数的基本性质讲义
zD
(3) fn( p)(z) f ( p)(z)(内闭). ( p 1, 2, 3,
n1
证 (1)设z0为D内任一点,则必有>0,使闭圆K:
|z-a|≤ 全含于D内、若C为圆K:|z-z0|< 内任一围
线,则由柯西积分定理得
c fn (z)dz 0, n 1,2,,
再由假设即知级数
n1
n1 n
n
解
因为
an
n1
n1
1 n
发散;
bn
n1
n1
1 n2
收敛.
所以原级 数发散、
(2)级数
1 n2
n1
(1
i) n
是否收敛？
因为
an
n1
1 n1 n2
收敛;
所以原级
1
bn
n1
n1
n3
收敛 .
数收敛、
定理4、2 (Cauchy准则)复级数(4、1)收敛得 充要条件为:对任给ε>0,存在正整数N(ε),当n>N且 p为任何正整数时
|fn+1(z)+…+fn+p(z)|<ε (p=1,2,…)、
Weierstrass优级数准则: 如果整数列Mn(n=1,2,…),
使级对数一 切Mnz收∈敛E,,有则|复fn(函z)|数≤M项n 级(n=数1,2 ,…fn(z)),在而点且集正E项上
n1
绝对收敛且一致收敛:
n1
这样得正向级数 M n称为函数项级数 fn(z)
π n
n
(1
1)(cos nn
i sin
), n
所以
an
(1
1 ) cos n
复变函数的幂级数展开
数学物理方法
双边幂级数
a n ( z z0 ) n a 2 ( z z0 ) 2 a1 ( z z0 ) 1 a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 ) 2 an ( z z0 ) n
其中
f 1 ( z) f 2 ( z) f 3 ( z) ... f k ( z) ...
称为复变函数项级数,记为 为级数的前n项部分和.
f
k 1
k
( z ) ,称 S n ( z )
f
k 1
n
n
( z)
数学物理方法
级数收敛和发散的定义
S n ( z0 ) 存在,则称级数 若对于z0∈ D,极限nlim 在z0处收敛; S n ( z0 )不存在,则称级数 若极限 nlim 处发散.
1 2 1 3 1 4 (1) z z z z ... 2 3 4 k
k 1
z ...
数学物理方法
k
例3.7 将 f(z)=arctan z在z=0处展开成Taylor级数
解：设 arctanz ak z
k 0 k
(arctanz ) kak z k 1
函数 f(z)=cos z 在z=0点的Taylor级数展开
z z (1) z (1) z cos z 1 ... ... 2! 4! (2n)! (2n)! n 0
2 4 n 2n n
2n
数学物理方法
§3.3洛朗级数展开
补充：问题的提出
已知结果：当 f(z)在圆|z-z0|<R内解析，Taylor定 理告诉我们，f(z)必可展开成幂级数。 问题是：当 f(z)在圆|z-z0|<R内有奇点时，能否展 开成幂级数或展开成类似于幂级数的形式。
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收敛圆 |z−b|=R (R<+) 上必有 f(z) 的奇点
例1：计算和函数 (1) zk , (2) (k 1) zk , | z | 1
k1 k
k0
解：几何级数 zk (1 z)1, | z | 1 k0
(1) 求导 d zk zk 1 (1 z)1
dz k 1 k k 1
以 b 为中心的最大解析圆盘：|zb| < dmin
• f(z) 在 b 处有泰勒展开
f(z) 在 b 处解析
对比实变函数：
exp( x2 ), f (x)
x 0,
f (k)(0) 0
0,
x0
3. 泰勒展开的方法
➢直接计算 k 阶导数
[ez ](k ) ez ,
[sin z](k) sin( z k ) 2
• 对洛朗展开的收敛环域，若其某个边界 是圆周，则此边界上必有 f(z) 的奇点
证明：对 zH，作圆 j : | b | rj , j H r r1 | z a | r2 R。复连通区域的柯西公式
1 f ( )d 1 f ( )d
f (z)
2 i 2 z 2 i 1 z
是环域 r< |z–b| < R，称之为收敛环域
• 阿贝尔定理 对 r < r1< R1<R
cn n 在 |ξ| ≤1/r1 一致收敛
n1
cn n 在 |η| ≤ R1 一致收敛
n0
R
b
R1
r1 r
C
• 在收敛环域 H：r< |z–b| < R 内，洛朗级数 (1) 在任意闭环域一致收敛，和函数 f(z) 解析； 沿环绕 b 的围线 C H 逐项积分
ez zk
k0 k!
代换 z iz 或 z iz
cos z ei z ei z [ (iz)k (iz)k ]/ 2
2
k0 k!
k0 k!
合并同类项
cos z
(1)n
z2n
n0
(2n)!
z
sin z cos z dz (1)k
z2k1
(cos z)
0
k0
(2k 1)!
斜对角线法则
n
n
cn a j bn j ank bk a0 bn a1 bn1 ... an b0
j0
k0
例1：求
f
(z)
1
1 z2
在
z=0
处的泰勒展开
方法1：变量替换 t z2 , (1 t )1 t k , | t | 1
k0
方法2：分式分解
1
1 z2
1( 1 2 1 z
[(1 z) ](k) ( 1)...( k 1)(1 z)k
ez zk , sin z sin(k / 2) zk ( z )
k0 k!
k0
k!
(1 z) 1 [1 ( 1)...( k 1) zk ] ( z 1)
k 1
k!
➢ 代数运算，逐项求导或逐项积分
(a (z
b)k b)k
k 1
(a b)k1 (z b)k
2. 洛朗定理
在环域 H：r < |z−b|< R 解析的函数 f(z) 可展开为
f (z) ck (z b)k ,
k
ck
1 2π i
f (z) C (z b)k1 dz
(洛朗展开)
其中：围线 C H 且环绕 b； 展开系数 ck 由 f(z) 和环域 H 唯一决定；
1/ z 1 2/
z
k0
1 zk1
k0
2k zk1
k 1
2k 1 zk1
例3：将函数 f (z) z3 sin z, g(z) ez e1/ z 在去心邻域
0 z 内作洛朗展开
目标：将 f(z), g(z)写成 z=0 处的洛朗级数 cn zn n
1
az
1/(a b) 1 (z b) /(a b)
a
1 (z b)k b k0 (a b)k
(z b)k k0 (a b)k1
情形②：|zb| > |ab|, q = (ab)/(zb), |q|<1
a
1
z
1
1/(z b) (a b) /(z
b)
1 zb
k0
k 0
收敛半径
R max{|
z b |,
ak (z b)k 收敛}
k0
幂级数 ak (z b)k 在收敛圆 |z−b|=R 的内部 k0
处处收敛，在收敛圆的外部处处发散
➢阿贝尔定理：若幂级数 ak (z b)k 在 z = z0 k0 收敛，则对 0<ρ < |z0−b|，该幂级数在闭圆盘
一致收敛级数的性质 + 阿贝尔定理
幂级数 ak (z b)k 的和函数 f(z) 在收敛圆内的 k0
任意闭圆盘 |z−b|≤ρ 一致收敛
逐项积分
z
f ()d
ak (z b)k1
b
k0 k 1
逐项求导 f ( p)(z) k (k 1)...( k p 1) ak (z b)k p k p
第三章 复变函数级数
Infinite series of complex functions
■复级数 ■幂级数 ■泰勒级数 ■洛朗级数 ■单值函数的孤立奇点
➢ 掌握复变函数的泰勒展开和洛朗展开 ➢ 判断复变函数的奇点种类
习题3.2：1(5);
习题3.3：1(1), 2(4), 3(3)
习题3.4：1(1), 2(1) 习题3.5：4(4)(8)(12)
➢幂级数的乘法运算：f (z) aj z j , g(z) bk zk
j0
k0
f (z) g(z)
a j bk z jk
j0 k0
b0 b1 b2 b3 …
合并同类项
f (z)g(z) cn zn n0
n j k, j 0, k 0
…
a0 a0b0 a0b1 a0b2 a0b3 a1 a1b0 a1b1 a1b2 a1b3 a2 a2b0 a2b1 a2b2 a2b3 a3 a3b0 a3b1 a3b2 a3b3
n 1
cn 1 k1 k !
§3.4 洛朗 (Laurant) 级数
1. 洛朗级数的收敛环域
以 b 为中心的洛朗级数：
def
ck (z b)k ck (z b)k ck (z b)k (1)
k
k 1
k0
设幂级数 ck k 和 ck k 的收敛半径分别
k 1
k0
为 1/r 和 R (r < R)，则洛朗级数 (1) 的收敛范围
zE
|
k0
fk(z)
f (z)|
2. 一致收敛级数逐项积分、逐项求导
设 fk(z) 在点集 E 上一致收敛于 f(z)。 k0
(1) 若 fk(z) 都连续， 则和函数 f(z) 连续，对 曲线 C E，C f (z)dz C fk (z)dz k0
(2) 若 fk(z) 都在 E 内的闭圆盘 |z−a| ≤r 解析，
(2) 积分 z (k 1) zkdz zk 1 (1 z)1 1 0
k0
k0
ln(1 z) zk ,
(1 z)2 (k 1) zk ,
| z | 1
k1 k
k0
2. 幂级数的收敛半径
比值法 R lim | ak |
a k k 1
ak (z b)k
M | z b |k r k 0 rk
M max | f ( ) |
• z• r •
b
此级数在圆 上一致收敛，可逐项积分：
f (z)
1 2 i
k0
(z b)k f ()d ( b)k1
k0
f (k)(b)(z b)k k!
2. 收敛范围，特性
• f(z) 在 b 处的泰勒展式收敛半径 R = dmin dmin = min{ |ab|：a 为 f(z) 的奇点或 ∞ }
①
②
ck (z b)k
k0
ck (z b)k
k 1
逐项积分
•
2
•z
•b 1
•
②
f z
()
k
1
f
()( (z
b)k b)k
1
在 1 上有强级数
例2：将函数 f (z) (z 1)1(z 2)1 在下列圆环上 作洛朗展开，并指出相应的收敛环域
1) 0
z1
1 ;
2) 1
z
3 ;
3) 1
z
2;
4) 2 z
44
4
解：1) 0 z 1 1
4
1
1
(z 1)k
z 2 1 (z 1) k0
(z 2)1
f (z)
1
(z 1)k ,
0 z1 1
(z 1)
z 1 k0
在 2)-4) 中 f (z) (1 z)1 (2 z)1
2) 1 z 3
(展开方式唯一)
证明的出发点：柯西公式
1 f ( )d
f (z) 2 i z
: | b | r
• z• r
• b
D
对 , 1
1
( b)1
,
q z b , | q | 1
z ( b) (z b) 1 q
b
f ( )
z
f
() b
k
(z 0(
b)k b)k
,
在 上该级数有强级数
§3.1 复级数
1. 强级数，一致收敛