复变函数第三章资料

·积分的定义:
设w f (z)定义在区域 D内，C为在区域 D内 从点A到点B的一条光滑有向曲线。
(1) 分割
把曲线C任意分成n个弧段， 设分点为
A z0 , z1, z2 ,...,zk1, zk ,...,zn B,
(2)求和
(
在每个弧段zk1zk (k 1,2....,n)上
任意取一点
k 1
10
n
Sn [u(k ,k )xk v(k ,k )yk ] k 1 n i [v(k ,k )xk u(k ,k )yk ] k 1
(2)求极限
f (z) u( x, y) i v( x, y) 在 C上连续,
u( x, y) 和 v( x, y) 在 C上连续,
当 n 无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,
在形式上可以看成是 f (z) u iv 与 dz dx idy 相乘后求积分得到 :
C f (z)dz C (u iv)(dx idy)
C udx ivdx iudy vdy
C udx vdy iC vdx udy.
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※ 积分计算：参数方程法
C f (z)dz C udx vdy iC vdx udy
zk zk zk1 xk iyk ( xk1 iyk1 )
( xk xk1 ) i( yk yk1 ) xk iyk ,
k k ik ,
f ( k ) u(k ,k ) iv(k ,k ) uk ivk
n
Sn f ( k ) zk k 1 n
[u(k ,k ) i v(k ,k )](xk iyk )
(2) 若C为闭曲线，则记为 f (z)dz.
C
(3) 如果 C 是 x 轴上的区间 a x b, 而 f (z) u( x),
这个积分定义就是一元实变函数积分的定义.
(4) 一般不能把 f (z)dz写成 b f (z)dz形式
C
a
因为:一般C f (z)dz的值不仅与起点a,终点b有关，
，并作和
k
y
A
1
2
z1
z2
o
B
C
zn1
k zk
zk 1
x
6
n
n
Sn f ( k ) (zk zk1 ) f ( k ) zk ,
k 1
k 1
这里 zk zk zk1。记sk为zk1zk的长度,
记 ( T ) m1kaxn{sk },
(3)取极限
当n 无限增加且 0时,
如果不论对 C 的分法及 k 的
u(
x(t
),
y(t
))
y(t
)
v(
x(t
),
y(t
))
x(t
)
dt
u(t
)
y(t )
v(t
)
x(t
)
dt
这样 : C f (z)dz 可以通过两个二元实变函数的线
积分来计算.
C
f
(z)dz
u(t)x(t) v(t) y(t)dt
i
v(t
)
x(
t
)
u(
t
)
y(t
)
dt
{u(t) iv(t)}{x(t) iy(t)}dt
·曲线方向的说明: 1、 一般曲线C的正方向总是指从起点到终点的方 向。那么终点到起点的方向就是曲线C的负向,记 为C 2、如果C是简单闭曲线，通常总规定逆时针方 向为正方向，顺时针方向为负方向。
4
3、简单闭曲线C的正向是指当曲线上的点P顺此方 向前进时, 邻近P点的曲线的内部始终位于P点的左 方.
更与积分路线C有关 8
2 、积分存在的条件
1. 必要条件
如果 积分 C f (z)dz 存在 f (z)沿C有界.
2. 充分条件 如果f(z)=u(x,y)+iv(x,y)沿曲线 C 连续，则 f(z)
沿C可积，且
C f (z)dz C (udx vdy) iC (vdx udy)
9
证明： (1) 所有复数展开成实部、虚部 设 zk xk iyk ,
第二章
1.f(z)在 z0 处可导的定义？ 2.f(z)在 z0 处解析的定义？
• f (z) u iv 解析的充要条件？
（C-R方程? f’=? ） •指数函数、对数函数的定义
ez ?
Lnz ?
1
2
1、积分的定义 2、积分存在的条件&计算 3、性质
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结束
铃3
1. 积分的定义
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例：已知两点z0，z1。求点z0到点z1的直线段的方程。
z z0 (z1 z0 )t, 0 t 1
y z1
z0
O
x
C f (z)dz f [z(t )]z(t )dt
若C的参数方程为:
C: z(t)=x(t)+iy(t) t
则因为C是光滑曲线x(t), y(t)C[,] :
又 u( x, y) 和 v( x, y) 在 C上连续,
C
udx
vdy
u(
x(t
),
y(t
))
x(t
)
v(
x(t
),
y(t
))
y(t
)
dt
u(t
)
x(t
)
v(
t
)
y(t
)
dt
14
C
vdx
udy
不论对 C 的分法任何, 点 (k , k )的取法如何,
下式两端极限存在,
11
n
n
f ( k )zk [u(k ,k )xk v(k ,k )yk ]
k 1
k 1
n
i [v(k ,k )xk u(k ,k )yk ]
k 1
C f (z)dz C udx vdy i C vdx udy
y
1 A
2
z1
z2
o
B
C zn1
k zk zk 1
x
取法如何, Sn有唯一有限的极限J , 则称f (z)沿着C的正
向可积,极限值J称为函数 f (z) 沿曲线 C 的积分,记为
C f (z)dz
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说明:
n
即:
C
f (z)dz
lim
0
n
k 1
f ( k ) zk .
(1) 用 C f (z)dz表示f (z)沿着曲线C的负向的积分
如果 C 是由 C1, C2, , Cn 等光滑曲线依次 相互连接所组成的按段光滑曲线, 记为 :
C C1 C2 C3 Cn 则
f (z)dz f (z)dz f (z)dz f (z)dz.
C
C1
C2
Cn
在今后讨论的积分中, 总假定被积函数是连 续的, 曲线 C 是按段光滑的.

f
(z)dz
f [z(t)]z(t)dt
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积分计算的参数方程法
1. 设曲线C的参数方程为:
z=z(t)=x(t)+iy(t) t
2. f(z)沿曲线C连续
C
f
(z)dz
u(t)
iv(t) (x(t) iy(t))dt
f [z(t)]z(t)dt.
C f (z)dz f [z(t )]z(t )dt