一维辐射传递方程的谱方法求解

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一维热传导方程的数值解

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｕｓｅｉｎｇｔｈｅｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｔｏｇｏｏｎｎｕｍｅｒｉｃａｌｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｆｏｒｏｎｅ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｈｅａｔｃｏｎｄｕｃｔｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎ，ａｎｄｇｉｖｅａｎｉｌｌｕｓｔｒａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｍｅｔｈｏｄ；ｏｎｅ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｈｅａｔｃｏｎｄｕｃｔｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎ；ｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎ
ｉ，ｊ
Δｔ
（５）
以（４）、（５）代入（１）式得
ｕ－ｕｉ，ｊ＋１
ｉ，ｊ
Δｔ
＝
ａ２
ｕｉ－１，ｊ
－２ｕｉ，ｊ Δｘ２
＋
ｕｉ＋１，ｊ
＋
ｆ（ｉ，ｊ）
（６）
解得
ｕｉ，ｊ＋１＝ｃ（ｕｉ－１，ｊ＋ｕｉ＋１，ｊ）＋（１－２ｃ）ｕｉ，ｊ＋ Δｔｆ（ｉ，ｊ）
式处理即可．
２）如果是波动方程，那么初始条件中含有“初始速度” ，即ｕｔ（ｘ，ｔ）｜ｔ＝０＝宝（ｘ），利用向后差分法得
抄ｕ（ｉ，ｌ）抄ｔ
＝
ｕｉ，２－ｕｉ，０２ Δｔ
＝
宝（ｘ）
（３５）
则
ｕｉ，０＝ｕｉ，２－２ Δｔ宝（ｘ）
（３６）
利用（３６）式便得以求解．
用中心差分近似代替对空间的偏微分即2u抄用向前差分近似代替对时间的偏微分即uij1uij2uxxfxt0xl0t123抄2xui1j2uijui1jx24抄u抄tt5以45代入1式得uij1uijta2ui1j2uijui1jx2fij6解得uij1cui1jui1j12cuijtfij7其中ctax228根据式7如果已知j不同i坐标每一个格点的温度值并且由11类边界条件可知两边界i1及in上的温度值那么就可以求出j1坐标上每一个格点上的温度值

DRESOR法对含有边界的一维各向异性散射介质辐射传递方程的求解

1 DRESOR 法求解含有边界的各向异性散射问题
方向辐射信号时体现了该方法的优越性。 DRESO R法是一种求解辐射传递方程的新方法 , 它是基于蒙特卡洛方法提出的 ,继承了蒙特卡洛方法适应性强、能处理复杂几何形状的辐射传递问题的特点 ,同时 ,它还能够给出高方向分辨率的辐射强度 [5 ]。
表 1 无量纲反射热流
T ab. 1 Dimensio nless reflective hea t flux
辐射元法
蒙特卡洛法有限体积法
0. 355 53 0. 514 59
0. 719 48
0. 357 64 0. 515 33 0. 610 27 0. 674 42 0. 719 22 0. 754 02
Iη( r ,s ) =
1 π
{πX( rw ) I bη( rw
)+
∫s Rd
(
′
rw
,
r
w
,s )
[πX( r′w
)
Ibη(
′
rw
)
]dA′+
W
∫Rsd (r″, rw , s) V
[4πUZ( 1 -
kη) I bη(r″)
]dV″} ×
∫ ∫ exp -
s
_
ηds″
+
0
s 0
1 4π{
4πUη(
具体做法是: 将通过式 ( 5) 计算得到的辐射强度 IR ( r , s) 代入到式 ( 3) 和 ( 4) 的右边计算得到 IRw ( rw , s) 和 SR ( r , s) ,再将 IRw ( rw , s) 和 SR ( r , s) 代入到方程 ( 2) 的右边计算得到验证辐射强度 IV ( r , s)。这样将计算辐射强度 IR ( r, s) 和验证辐射强度 IV ( r, s) 作比较检验辐射传递方程求解结果的准确性。

一维热传导方程的差分法

一维热传导方程的差分法一维热传导方程是指在一维空间中，描述材料内部温度分布随时间的变化过程的方程式。

可以表示为：$$\frac{\partial u(x, t)}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2}$$其中，$u(x, t)$ 是空间坐标为 $x$，时间为 $t$ 时的温度，$\alpha$ 是热扩散系数。

在边界条件确定的情况下，可以得到一维热传导方程的解。

然而，在实际应用中，解析解并不总是容易或可行的，因此需要使用数值方法进行近似求解。

常用的数值方法有有限差分法、有限元法和谱方法等，其中有限差分法是最为简单、易于实现的方法之一。

有限差分法的基本思想是将连续的空间区间离散化为若干个节点，将时间轴离散化为若干个时间步。

在空间和时间轴两个方向上，分别对热传导方程进行差分，得到离散的差分方程组，从而可以求得数值解。

在一维热传导方程的差分过程中，我们首先需要将空间区间 $(0, L)$ 划分为 $N$ 个等间距的节点，每个节点间距为 $h = \frac{L}{N}$。

我们使用 $u_i^n$ 表示节点$i$ 在时间步 $n$ 时的温度，其中 $i = 0, 1, ..., N$，$n = 0, 1, ..., M$。

接下来，我们对一维热传导方程进行中心差分，得到：$$\frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t} = \alpha \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{h^2}$$其中，$\Delta t$ 是时间步长。

可以将上式改写为：其中，$r = \frac{\alpha \Delta t}{h^2}$。

由于在一维空间中，有两个边界，因此需要对边界进行特殊处理。

常见的边界处理方式有三种：1. 固定边界：将边界上的温度固定为某一值；2. 自然边界：假设边界处热通量为零，从而根据傅里叶定律可以求得边界处温度的梯度值，从而推算出边界的温度值；3. 第二类边界：将边界节点的温度根据边界条件与内部的节点做差分，从而计算出边界节点的温度值。

Chebyshev配置点谱方法直接求解离散坐标辐射传递方程

摘要：针对三维长方形炉内具有吸收一射介质的辐射换热，基于Ｃｅｙｈｖ配置点谱方法和Ｓｈｒ解开发了发ｈｂｓｅｅｕ分直接求解辐射离散坐标方程的求解器。针对离散后所得到的三维矩阵方程，分别用两种方法进行求解，一种是用张量积将三维转变成二维然后直接用Ｓｈｒ解求解；另一种是自行开发三维Ｓｈｒ解直接求解。数值实验ｅｕ分ｅｕ分表明，在相同的输入参数下，新求解器具有很好的精度，尤其相比于标准离散坐标法，新求解器能节省大量计
最近作者将chebyshev配置点谱方法成功应用于求解一维具有各向异性散射的辐射问题25一维梯度折射率辐射问题26半透明梯度折射率内辐射与导热耦合问题27一维瞬态各向异性散射梯度折射率介质内辐射与导热耦合问题28以及同心球内具有参与介质时辐射与导热耦合问题24作为chebyshev配置点谱方法计算辐射换2428的多维扩展本文开发了直接求解三维长方体炉内具有吸收发射介质情况下的离散坐标辐射方程组
算时间。特别是基于三维Ｓｈｒ解的直接求解器，在相同的输人参数下，计算时间只有标准离散坐标法的ｃｕ分
１Ｏ～１。
关键词：辐射换热；离散坐标法；Ｃｅｙｈｖ配置点谱方法；Ｓｈｒ解ｈｂｓｅｃｕ分
ＡｂｔａｔＢａｅｎｔｓｒｃ：ｓｄｏｈｅＣｈｅｓｅｏｌｃｔｏｐｅｔａｅｈｎｄＳｃｂｙｈｖｃｌｏａｉｎｓｃｒｌｍｔｏｄａｈｕｒｄｃｍｐｏｉｉｎ，ｔｉｅｔｓｌｅｓｅｏｓｔｏＷＯｄｒｃｏｖｒｆｒａａｉｅｉｃｅｅｏｒｄｉｔｖｄｓｒｔｏｒｉａｅｅａｉｓｏａｈｒｅｄｍｅｉａｒｃａｇｕａｆｒｃｗｉｈｂｓｒｎ — ｄｎｔｓｑｕｔｏｎｆｒｔｅ — ｉｎｓｏｎｌｅｔｎｌｒｕｎａｅｔａｏｂｉｇｅｉｔｎｇｍｔｉｍｅｉｍａｅｅｅｏｅ．ｒｈｅｈｒｅｄｉｅｉｎａｍａｒｘｑｕｔｏｎｒｍｄｓｒｔｚｔｏｏｔｅｄｕｒｄｖｌｐｄＦｏｔｔｅ — ｍｎｓｏｌｔｉｅａｉｆｏｉｃｅｉａｉｎｆｈｒｄａｉｅｔａｆｒｅｕａｉｎ，ｏｅｓｖｒｉａｅｎｔ — ｍｅｓｏｌＳｈｕｅｏｐｉｉｎａｔｒｔｒｎｓｏｒａｉｔｖｒｎｓｅｑｔｏｎｏｌｅｓｂｓｄｏｗｏｄｉｎｉｎａｃｒｄｃｍｏｓｔｏｆｅｈｅｔａｆｍｏｈｒｅｄｉｅｉｎａａｒｘｅｕｔｏｎｔｗｏｄｉｎｉｎａｎｅｕｓｎｇｔｎｓｒｐｏｕｃ，ａｈｈｅｓｂｓｄｆｔｅ — ｍｎｓｏｌｍｔｉｑａｉｏｔ～ｍｅｓｏｌｏｉｅｏｒｄｔｎｄｔｅｏｔｒｉａｅ

一维FDTD方法模拟电磁波传播ppt

十三、程序流程说明(FDTD程序)
提取波形注意事项： 1)第一次运行该程序，为了提取入射波，需要将计算空间全部设置为自由空间，并得到数据文件，如inc.dat 2)第二次运行程序，此时提取的波形为入射波和反射波叠加，并得数据文件，inc_ref.dat 3)两次数据相减，得到反射波波形，并生成数据文件ref.dat 4)透射波的提取是第二次运行程序时提取。
一维简易时域有限差分法(FDTD) 计算介质板反射和透射系数
汤炜
一、一维Maxwell方程
假设电场极化方向为x，磁场极化方向为y，波传播方向为z。所有物理量在x、y平面不变，而仅仅为z的函数，一维Maxwell方程为
Ex H y
z
t
H y Ex
z
t
二、时间，空间离散
•核心思想：将计算区域的空间和时间进行划分。空间：例如：三维空间划分为立方块，二维空间划分为正方柱，一维空间划分为平面板。划分的区域非常小，以至于可以认为场量在该区域是不变的。时间：将电磁波的与目标的作用时间划分为很多时间小段，可以认为场量在该时间段内是不变的。
0.5
t
s
Exn
k
1
Exn
k
五、差分与Maxwell方程的结合
H
n.5 y
k
0.5
H
n.5 y
k
0.5
t
s
Exn
k
1
Exn
k
同理根据另一Maxwell方程得：
E n1 x
k
Exn
k
t
s
H
n.5 y
k
0.5
H
n.5 y
k
0.5
两个迭代方程中右边：后时刻场量左边：前时刻场量即如果能够得到前一时刻的电场和磁场，根据方程即可得到后一时刻的场量。

一维谐振子的 Schrodinger 方程的解及 Hermite 多项式的性质

z →−m
lim (z + m)Γ(z ) lim
(z + m)(z + m − 1) · · · (z + 1)Γ(z + 1) z →−m (z + m − 1) · · · (z + 1)z Γ(z + m + 1) = lim z →−m (z + m − 1) · · · (z + 1)z 1 = (−1)m m!
ξ →+ ∞
因而在这种情况下, 原 Schrödinger 方程无有界解. 现讨论 v 是非负整数的情况, 即 v = m, m 为非负整数. 在式 (23), (24)的基础上, 若 m 为偶数, 则式 y1 变为未定式, 而 y2 仍为原无界函数. 这时由递推式 (19), am+2 = 0, y1 为 m 次多项式；同样, 若 m 为奇数, 则 y1 为无界函数, y2 为 m 次多项式. 现研究 Γ 函数在 0 和负整数附近的性质. 由于 Res[Γ(z ), −m] = =
ξ2
(10) (11)
y ′′ − 2ξy ′ + (ν − 1)y = 0. 式 (11)即为 Hermite 微分方程.
2
2 Hermite 方程的幂级数求解
下面用幂级数法对 Hermite 方程进行求解. 重写 Hermite 方程如下, 在其中令 λ = ν − 1： y ′′ − 2ξy ′ + λy = 0. 设 y (ξ ) 为如下幂级数形式： y (ξ ) = 那么有 y
l
(39)
变换求和哑元, 令 k = l − i, 则 y1 =
l ∑ (−1)l−i 22l−2i l! i=0
(2l − 2i)!i!

2.2辐射传输方程

其中 τ = u l ( z ) dz ，即 dτ ( z ) = ul ( z )dz
∂
∫
z
如果单片叶子的单次散射反照率是一个常数，那么辐射传输方程可变换为另一种形式。
Q
1
π
1
Γ ( Ω' → Ω ) =
1 2π
2π
∫ g l (Ω l ) | Ω l ⋅ Ω' | f (Ω' → Ω, Ω l )dΩ l
−µ
dL( Z , Ω) + σ e ( Z , Ω) L( Z , Ω) = ∫ σ s ( Z , Ω ' → Ω)L( Z , Ω ' )dΩ ' dz φπ
此处 L 代表光亮度，其中
σ e 称为消光系数，它代表光路介质对光子的吸收与散射致使
57
光亮度在传播方向上减弱，
σ s 称为散射削弱系数（包含了相位函数），它描述了经多次散射
f s = K ( k , µ ' ) F ( n, µ ' )δ ( µ − µ ' )
其中 K ( k , µ ) = exp −
'
2 kt gθ ' π
K 为描述叶子表面粗糙程度而引入的修正系数（0<K<1），其中 k 称为叶毛系数，取值范围为 0.1～0.3。
1 sin 2 (θ '−θ s ) t g (θ '−θ s ) F ( n, µ ' ) = 2 + 2 sin (θ '+θ s ) t g (θ '+θ s )
− +
↓
−
−
F + 与F − ，这样微分——积分辐射传输方程便可简化为一组线性微分方程。

第13章辐射传递方程

C p
DT Dt
div(gradT
qr ) qo
T
DP Dt
左端为瞬态能量的储存，称非稳态项
右端第一项为导热、辐射项
右端第二项为源项
右端第三项为粘性耗散项
2021/5/4 右端第四项为压缩膨胀式压力作的功10
辐射传递方程的积分形式 RTE积分法
di
dk
i
(k
,
)
I
(k
,
)
用expkλ乘全式，并从0到kλ(S)积分得
a
dv
, T, Peb , T i d
2021/5/4
18
辐射平衡
qr 0 或
0
a dv
, T, Peb , Td
0 a
dv
, T, Pi d
2021/5/4
19
普朗克平均吸收系数
aP T, P
0
a
,
T,
Peb
,
T
d
0
eb
,
T
d
0
a
,
T,
Peb
,
T
d
T 4
aP是一个用黑体发射光谱度量的光谱吸收系数的平均值。在考虑容积发射和一
些有限的辐射传递情况下，都证明它是
很有用的。 2021/5/4
20
包括散射的辐射流散度
, i
1 4
4 , , i d
i
1 4
i i 4 , i di
qr
40
a eb a s i
s
4
i
4
i
,
i
,
i
di
d
对各向同性散射，,,i 1，因而， ,i 1

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分类号密级UDC学位论文一维辐射传递方程的谱方法求解作者姓名：张大伟指导教师：李本文教授东北大学材料电磁过程研究教育部重点实验室申请学位级别：硕士学科类别：工学学科专业名称：工程热物理论文提交日期：2008年2月22日论文答辩日期：2008年2月25日学位授予日期：2008年3月答辩委员会主席：王恩刚教授评阅人：陈海耿（东北大学教授）聂宇宏（江苏科技大学副教授）东北大学2008年2月A Dissertation in Engineering ThermophysicsSPECTRAL METHOD FOR SOLVINGONE-DIMENSIONAL RADIATIVETRANSFER EQUATIONby Zhang DaweiSupervisor: Professor Li BenwenNortheastern UniversityFebruary 2008独创性声明本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。

论文中取得的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人己经发表或撰写过的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。

与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。

学位论文作者签名：日期：学位论文版权使用授权书本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。

本人同意东北大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索、交流。

（如作者和导师不同意网上交流，请在下方签名；否则视为同意。

）学位论文作者签名：导师签名：签字日期：签字日期：一维辐射传递方程的谱方法求解摘要对于辐射传递方程的求解已经发展了很多方法，区域法、热通量法、蒙特卡洛法、离散坐标法等。

综合看来，基于微分形式辐射传递方程离散的方法具有很好的适应性，上述传统方法在求解辐射传递方程时各有优点，但也有其本身不可克服的缺点。

发展一种高精度、高效率、简便的数值求解辐射传递方程的方法仍然必要。

谱方法可以很好的克服低阶方法的不足，能高效地得到高精度的计算结果，而其所用的计算方法简便。

本文利用谱方法解决半透明介质中的辐射换热问题，主要工作分两部分：1．利用谱方法求解一维直角坐标系下的辐射传递方程，分别对不考虑介质散射和考虑介质散射两种情况进行计算，研究了该方法的数值稳定性，并与精确解或其他方法的数值解进行比较。

结果表明，谱方法适用于一维直角坐标下辐射传递方程的求解，而且相对于其他方法具有较高的精度。

2．利用谱方法解决一维球面坐标系下的辐射换热问题以及一维球面坐标系下辐射与导热耦合问题。

通过对谱方法求解结果与文献的结果进行比较和误差分析，验证了谱方法能简便、高效、高精度的解决一维球面坐标系下辐射问题以及辐射与导热相耦合的问题。

关键词辐射换热；导热；Chebyshev配置点谱方法；半透明介质Spectral Method for Solving One Dimensional RadiativeTransfer EquationAbstractMany numerical methods have been developed for solving radiative heat transfer problems in semitransparent media, such as, zonal method, heat flux method, Monte-Carlo method, and discrete ordinates method, etc. By comprehensive comparison, the methods based on discretization of the differential form of radiative transfer equation possess very good flexibility. However, there are still some disadvantages existing in the former methods. It is necessary to develop a high accurate, efficient and simple numerical method to solve radiative transfer equations.Spectral methods can somewhat overcome the drawbacks of low order methods, and can provide accurate results, while their solution procedures of spectral methods are something efficient and simple. The author develops and studies the characteristics of spectral methods to solve radiative transfer equation in semitransparent media. The present research contains two parts:1. The spectral method is used to solve radiative transfer equation in one-dimensional Cartesian coordinate systems. The numerical stability of spectral methods is investigated for solving radiative heat transfer under the both cases of non-scattering media and scattering media. The present numerical solutions are compared with those of references by exact or other numerical methods. The results show that the spectral methods have good accuracy and efficiency for solving one-dimensional radiative heat transfer problems.2. Spectral methods are presented to solve radiative heat transfer equations and coupled conduction-radiation problems in spherical media. An error comparison is made between present results and those from references. The final conclusions can be obtained that: the spectral methods can be used to solve radiative heat transfer alone, and can also to solve the coupled conduction-radiation problems in one-dimensional spherical media system efficiently.Keywords: radiative heat transfer; conduction; Chebyshev collocation spectral method;semitransparent media目录独创性声明 (I)摘要 (I)Abstract (I)目录 (I)第1章绪论 (1)1.1研究背景及意义 (1)1.2辐射换热计算模型简介 (1)1.2.1区域法（Zone method） (1)1.2.2热通量法（Heat Flux method） (1)1.2.3蒙特卡洛法（Monte-Carlo method） (1)1.2.4离散坐标法（Discrete Ordinates method） (1)1.3谱方法介绍 (1)1.3.1谱方法的研究现状 (1)1.3.2谱方法的特点 (1)1.3.3谱方法的分类 (1)1.3.4谱方法的优缺点 (1)1.4 Chebyshev配置点谱方法简介 (1)1.4.1 Chebyshev 多项式 (1)1.4.2 Chebyshev 多项式的性质 (1)1.4.3几种Chebyshev配置点 (1)1.5本文的研究内容及意义 (1)第2章一维辐射传递方程的谱方法求解 (1)2.1 Chebyshev配置点谱方法求解辐射传递方程的准备工作 (1)2.1.1配置点的选择 (1)2.1.2配置点均匀化处理 (1)2.1.3计算区域的转化 (1)2.1.4系数矩阵的确定 (1)2.1.5边界条件的处理 (1)2.2辐射传递方程及其特性 (1)2.3辐射传递方程的Chebyshev配置点谱方法求解方案 (1)2.4几个算例的验证 (1)2.4.1不考虑介质散射的辐射换热 (1)2.4.2考虑介质散射的辐射换热 (1)2.5本章小结 (1)第3章一维辐射传递方程与导热方程耦合的谱方法求解 (1)3.1几种常见误差 (1)3.2导热方程及其特性 (1)3.3一维导热方程与辐射传递方程耦合的配置点谱方法求解 (1)3.3.1一维辐射传递方程配置点谱方法求解的准备工作 (1)3.3.2无量纲各物理量的设定 (1)3.3.3无量纲导热方程Chebyshev配置点谱方法求解方案 (1)3.3.4无量纲一维辐射传递方程的Chebyshev配置点谱方法求解 (1)3.4计算实现及求解步骤 (1)3.5几个算例的验证 (1)3.5.1算例一：只考虑辐射换热问题 (1)3.5.2算例二：导热与辐射换热耦合问题 (1)3.6本章小结 (1)第4章结论 (48)参考文献 (49)致谢 (1)个人简历 (1)第1章绪论1.1研究背景及意义热量传递有三种基本方式：导热、对流和热辐射。

在高温状态进行的热量传递中，辐射换热处于主导地位，如工程用燃烧设备中，由于火焰对周围壁面和介质有强烈的传热，燃烧温度一般较高，能量传递方式主要以辐射传递为主，此时辐射换热约占总换热量的70%-90%[1]。