高中数学论文浅谈不等式问题的优化策略

浅谈不等式问题的优化策略
不等式问题一直是高考命题中的一个热点，对有些不等式的求解，常有同学因不会变通或思维定势，导致因运算过繁而计算终止或弃而不解。

针对这种情况，本文就结合教学中的实例谈谈不等式问题的优化策略。

1.逆向思考，执果索因
例1. 已知适合不等式5≤3++42－－x p x x 的x 的最大值为3,求p 的
值.
解析:按先去绝对值后解不等式再求最值的常规方法,势必很繁琐.由x 的最大值为3注意到“3”是不等式解的一个端点值,利用不等式的性质得“3”是对应方程5=3++42－－x p x x 的一个解,代入得8=p 或－２=p .
当8=p 时,不等式为5≤3++42－８－x x x ,因为08+2 x x －４ 所以{
5≤3+8+3≥2－－４x x x x ,或{3≤≤2⇒5
≤3+8+432x x x x x －－ 满足题意.
当－２=p 时,不等式为5≤3+42－－２－x x x .
易知5是不等式的解,故不等式有大于3的解,不满足题意. 所以8=p
注意:先待定p 后验证p ,解法令人“拍案叫绝”。

2．挖掘隐含条件，避开复杂讨论
例2．已知二次函数()x x x f +2
1=2－，是否存在n m ,使()x f 的定义域和
值域分别为[]n m ,和[]n m 2,2？说明理由。

解析：若就函数的对称轴和区间的相对位置来讨论，势必很繁。

注
意到函数()()21≤21+121=+21=22－－－x x x x f ，从而由2
1≤2n ，即
4
1≤n ，又可知在区间[]n m ,上函数()x f 为增函数，根据已知条件得{()(){n n n m m m n n f m m f 2=+212=+21⇒2=2=22－－,因为41≤n m ，解得{0=2=n m －。

3．积零为整，各异特征总体说明
例3．已知函数()()()0≥+=,=2x a x x g x x f ，若不等式
()()()
1≤x f x ag x f －在[]2,1∈x 上恒成立，求整数a 的取值范围。

解析：将()()x g x f ,代入得，不等式()1≤+2x a x a x －在[]2,1∈x 上恒成立，整理后即:(
)2≤+≤0x a x a 对[]2,1∈x 上恒成立。

设()()x a
x a x h +=。

因为0,0≥ a x ，只须证[]2,1∈x 时()2≤max x h 即可，()x h 的最大值的讨论要考虑到a 与区间[]2,1的关系，此时不妨放缓讨论，总体分析其特征，注意到()(){()}2,1max =max h h x h ，故问题的解只需{()()2≤22
≤1h h ，解得22+2≤0－a 。

注：本题的解答实际上是一种“化整为零”分析，“积零为整”解决
的解题方法。

4．构建函数，实现高次问题的常规处理
例4．问是否存在5.02.0 x ，使得0≥25.0+25.16x x －成立？
解析：从高次不等式出发显然无法完成解答，不妨转换视角从函数
的角度、利用函数的性质来解决。

设()25.0+25.1=6x x x f －，考虑()x f 在()5.0,2.0上的单调性。

因为()456=5'－x x f ，显然当()5.0,2.0∈x 时()04
56=5' －x x f ， 所以()x f y =为单调减函数。

又因为()02.0=25.0+2.0•25.12.0=2.066 －f ，
所以存在5.02.0 x ，使得0≥25.0+25.16x x －成立。

注：避开高次不等式，运用导数来研究函数性质是一种新解。

5．等价转化、回避参数
例5．已知0 a 且10,1≠ x a ，求证()()x x a a +1log 1log －： 解析：对于本题，很多人都会按先去绝对值符号，后按10 a 和1 a
进行分类讨论来解，事实上，正因为有绝对值利用换底公式即可得到解答与参数无关。

()()()()
()[()]x x a a x a x x x a a +1lg 1lg lg 1
lg +1lg lg 1lg =+1log 1log －－＝－－－－,
因为10 x ，所以110 x －，110,2+112 x x －
所以()()()()()01lg =+1lg 1lg =+1lg 1lg 2 x x x x x －－－－－－－。

所以()()x x a a +1log 1log －。

6．避重就轻，巧用性质
例6．设定义在[]2,2－上的偶函数()x f 在区间[]2,0上单调递减，若
()()m f m f －1，求实数m 的取值范围。

分析：函数的单调区间为[]2,0和[]0,2－，那么m m 1，－在某个区间内
还是分别在两个区间内？如果就此展开讨论将比较复杂而且不易完整，巧用偶函数的性质()()()x f x f x f ==－，就大可不必讨论变量可能所在的区间了。

解：因为已知()x f 为偶函数，所以()()()x f x f x f ==－，
由()()m f m f －1，得()()m f m f －1，
根据单调性得{21≤1⇒2≤1≤02≤≤0 m m
m m m －１－－。

7．转换视角、变更主元
例7．若()()1++log 6log 1=323a x a x a x f －－在[]1,0∈a 时恒为正数，求实
数x 的取值范围。

分析：本题如果当成是关于x 3log 的二次函数，这样就等于走进了一
个讨论的大圈子，而且很难顺利地走出来。

变更主元把原函数当成是关于a 的一个函数，则问题的解决就仅与两个端点有关了。

解析：设关于a 的函数
()()()1
+log 1+log 6log =1++log 6log 1=23323323x a x x a x a x a a h －－－－
当[]1,0∈a 时()0 a h 恒成立。

即{()(){331⇒31log 1⇒0
2+log 601+log ⇒010033323 x x x x h h －－－。

不等式问题的解法还有很多，我们在解决不等式的问题时要善于观察，勤于思考，能够把复杂问题简单化，从而有效的提高解题的速度和准确率。