平面应力公式的进一步推导及应力状态分析

2.1 最大正应力截面
由式(1.2)可以看出:
当 cos 2(α + ϕ) = 1时, σα 取得最大值。 此时: 2(α + ϕ) = 0
α
' 0
=
−ϕ
=
−
1 2
arctg
2τ xy σx −σ
y
(b)
这就是最大正应力截面外法线与 x 轴所夹
的角。
当τ xy
>
0
、σ x
>
σ
y
时:ϕ
>
0
,
α
' 0
<
代入式(1.2)可得正应力:
σα
= σx
+σ y 2
= σm
即最小剪应力作用面上的正应力为平均正
应力。
应力圆上 N 点纵坐标为最小, 这就是最小
剪应力截面的对应点。
作 ∠A1CJ = α + ϕ = 135D ，交圆于 J。
作∠GCQ=135°，交圆于 Q。
∠A1CQ = −ϕ +135D = α
射线 CQ 为最小剪应力截面的外法线方向。
0 。截
面沿顺时针转过角度ϕ ,即为最大正应力截面;
当τ xy
<
0
、σ x
>σ
y
时:ϕ
<
0
,
α
' 0
>
0
。截
面沿逆时针转过角度ϕ ,即为最大正应力截面。
把 cos 2(α + ϕ) = 1代入式(1.2)可得最大正
应力：
σ1
=
σx
+σ y 2
+
σ (
x
−σ 2
y
)2
+ τ xy2
(1.3)
式(b)是在 cos 2(α + ϕ) = 1的条件下解出来
OA1 为最大正应力截面上的正应力。
2.2 最小正应力截面
由式(1.2)可以看出:
当 cos 2(α + ϕ) = −1时, σα 取得最小值。 此时: 2(α + ϕ) = 180D
α
" 0
=
−ϕ
+
90D
(b1)
这就是最小正应力截面外法线与 x 轴所夹
的角。
把 cos 2(α + ϕ) = −1 代入式(1.2)可得最小
Chi Huanxi
Shandong Century Electric Power Development Co.Ltd，Longkou，Shandong (265700) Abstract
In this paper, formulae of new form is derived from classical ones for more easily and clearly anglicizing and calculating of the normal and shearing stress in plane stress-state, and thus the maximum and minimum values of the stress can be obtained without operation of differentiation. Keywords：stress formulae，deduction，stress circle
σmin=σ2
τO
σ=0
O
ϕ 45° −ϕ
τ=0
45°
τmin
45°
45°
α τmax
α
45°
图 4 斜截面上的应力变化曲线[1]
从原公式(1.1)、（2.1）看不出斜截面上的正
应力σα 、剪应力τα 的变化规律。
（2）从新公式(1.2)、（2.2）可以看出斜截面上
-4-

（2.4）
σ1 −σ2 = 2
σ (
x
−σ 2
y
)2
+ τ xy2
(1.5)
把式(2.3)、(2.4)分别与上式比较可得:
τ max
=
σ1
−σ2 2
（2.3a）
τ min
=
− σ1
−σ2 2
（2.4a）
由式(b) 、(c)两边分别相减可得:
α1 = α0 + 45D
由式(b1)、(c1)两边分别相减可得同样结果。
的，这时:
cos 2(α + ϕ) = 0
代入式(1.2)可得正应力:
σα
= σx
+σ y 2
= σm
即最大剪应力作用面上的正应力为平均正
应力。
应力圆上 M 点纵坐标为最大, 这就是最大
剪应力截面的对应点。
作 ∠GCP = 45D ，交圆于 P， 作 ∠A1CI = 45D ，交圆于 I。
∠A1CP = ∠A1CG + ∠GCP = −ϕ + 45D = α
cos 2α
=
a2
+τ
2 xy
(
a sin 2α
a2
+τ
2 xy
+
τ xy
cos 2α )
a2
+τ
2 xy
=
a2
+
τ
2 xy
(sin
2α
cos
2ϕ
+ cos 2α sin 2ϕ)
=
σ (
x
−σ 2
y
)2
+τ
2 xy
sin
2(α
+
ϕ)
(2.2)
可见,斜截面上的剪应力τα 可以表示为一个
关于α 的复合正弦函数。

平面应力公式的进一步推导及应力状态分析
迟焕玺
山东百年电力发展股份有限公司，山东龙口 （265700）
E-mail：chxi46@
摘 要：本文进一步推导了材料力学平面正应力、剪应力的计算公式, 用该公式分析正应力、剪应 力的变化更直观、更清晰. 不用求导数就可以算出正应力、剪应力的最大值、最小值. 关键词：应力公式，推导，应力圆
OC 为最小剪应力截面上的正应力。
CN 为最小剪应力截面上的剪应力。
3 新旧应力公式的比较
（1）从新公式(1.2)、（2.2）可以看出斜截面上
的正应力σα 是按复合余弦函数规律变化的，斜 截面上的剪应力τα 是按复合正弦函数规律变化
的。
斜截面上的正应力σα 、剪应力τα 的图象如
图 4 所示。
σ
σmax=σ1
令:
a = cos 2ϕ
a2
+τ
2 xy
τ xy
= sin 2ϕ
a2
+τ
2 xy
则： tg 2ϕ = τ xy = 2τ xy a σx −σy
ϕ = 1 arctg 2τ xy
2
σx −σy
代入式（1.1）得：
σα
=
σx
+σ y 2
+
a2
+
τ
2 xy
(cos
2α
cos
2ϕ
− sin 2α sin 2ϕ)
1.3 已知主截面主应力时，斜截面上的正 应力、剪应力表达式
当已知主截面主应力时，式（1.2）、（2.2）
中：
σ x =σ1 σ y = σ 2 τ xy = 0 ϕ = 0
式（1.2）变为：
σα
=
σ1
+σ2 2
+ σ1
−σ2 2
cos 2α
式（2.2）变为：
(1.2b)
τα
=
σ1
−σ2 2
sin 2α
作∠GCH=90°，交圆于 H。
∠A1CM = 90D
∠A1CH = ∠A1CG + ∠GCH = −ϕ + 90D = α
射线 CH 为最小正应力截面的外法线方向。
OA2 为最小正应力截面上的正应力。
2.3 最大剪应力截面
由式(2.2)可以看出:
当 sin 2(α + ϕ) = 1 时,剪应力τα 取得最大
α1" = −ϕ +135D
(c1)
这就是最小剪应力截面外法线与 x 轴所夹
的角。
由式(c)、(c1)可以看出最大、最小剪应力所
在的两个平面互相垂直。
把 sin 2(α + ϕ) = −1 代入式(2.2)可得最小
剪应力:
τ mБайду номын сангаасn = −
σ (
x
− 2
σ
y
)2
+τ
2 xy
把式(1.3)、(1.4)两边相减得:
由此可见,最大、最小剪应力所在的平面分
别与两个主平面互成 45°角。如图 3 所示。
y
τmax τmax
σm
τmin
σ2
σm
σ1
σ1
ϕ
x
σm
σ2
τmin
σm
图 3 最大、最小剪应力平面与主平面的位置关系图
α1〞是在 sin 2(α + ϕ) = −1 的条件下解出来 的，这时: cos 2(α + ϕ) = 0
值。
此时: 2(α + ϕ) = 90D
α1' = −ϕ + 45D
(c)
这就是最大剪应力截面外法线与 x 轴所夹
的角。
把 sin 2(α + ϕ) = 1 代入式(2.2)可得最大
剪应力: