线性相关分析
线性相关分析和线性回归
相关关系从单变量从发，在一个样本数据中想知道某一指标在样本中的离散程度用方差（样本偏离均值的平均距离的平方数，也叫总变差）或者标准差（样本偏离均值的平均距离）表示。
两个变量的时候，这两个变量在样本中的离散程度用协方差（类比于方差）表示。
协方差表示的是总变差，描述的是两个变量的总体误差（总体误差的期望）。
协方差：协方差：cov(X,Y)=E[(X−E[X])(Y−E[Y])]数据点的协方差：2数据点的协方差：(x1−ux)(y1−uy)+(x2−ux)(y2−uy)2如果两个变量的变化趋势一致，也就是说如果其中一个大于自身的期望值时另外一个也大于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是正值（用上图公式表示的是每一个点与均值的误差值都是正数）；如果两个变量的变化趋势相反，即其中一个变量大于自身的期望值时另外一个却小于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是负值（用上图公式表示的是每一个点与均值的误差值都是负数）。
协方差为正值，表示两个变量正相关；协方差为负值，表示两个变量负相关；协方差为0则表示不相关(每一个点与均值的误差值有正有负）。
相关系数协方差的数值可以衡量两个变量的关系，在同一物理量纲之下有一定的作用，但同样的两个量采用不同的量纲使它们的协方差在数值上表现出很大的差异。
（举个向量的栗子，两个向量的夹角大小表示相关关系，但是两向量的长度不影响夹角的大小，协方差的计算类似于计算向量的距离，向量的距离也可以表示向量之间的关系，但是会受到向量长度的影响）。
因此，相关关系需要去掉量纲的影响，使用协方差同时除以X 和Y的标准差，这就是相关系数（皮尔逊相关系数）相关系数：相关系数r：cov(X,Y)σxσy相关系数r的取值范围是[-1,1]，正值表示正相关，负值表示负相关。
当相关系r>0.6时，可以认为两个变量之前强相关，0.3<=r<=0.6时，可以认为是中等相关，当r<0.3时认为弱相关，r=0时表示不相关。
第七章线性相关
n
i
x )( yi y )
n
2 2 ( x x ) ( y y ) i i i 1 Nhomakorabea
xy x y / n [ x ( x ) / n][ y ( y )
2 2 2 2
2
/ n]
2
576161 ( 3376)( 3407) / 20 [571728 ( 3376) / 20][581081 ( 3407) / 20]
药理研究:服药剂量与某代谢产物的关系
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
线性相关的概念 线性相关的统计学描述 线性相关的统计推断 等级相关 线性相关分析的注意事项
第一节 线性相关的概念
一、线性相关的概念：
独立是指一个指标的取值与另一指标取值多少无关。
两指标间不独立则为相关，即某一指标的取值与另 一指标的取值多少有关。 统计学中用一个统计量描述线性相关的密切程度， 称相关系数(Correlation coefficient)。
二、相关系数的区间估计
对样本相关系数r作变换 z tanh 1 r (反双曲正切函数变换) 按正态近似原理， 1 可得到 tanh 的1－置信区间
( z u n 3 , z u n3
对区间的上下限作反变换r=tanh z
样本相关系数r＝0.9296
z=tanh-10.9296=1.6554 1.6554 1.96 / 20 3 (1.1800，2.1308)
二、相关系数的特点
相关系数r的绝对值必然在0到1之间。 r=0，表示无相关; |r|=1，表示函数关系。 相关系数的符号表示相关的方向。 相关系数的绝对值表示相关的密切程度。
向量组的线性相关性分析
向量组线性相关性的性质
性质1、
1,2 , ,n
k11 k22
knn
仅有零解k1 = k2 = … = kn =0 ．
1,2 , ,n
, , , , , , 维向量组 1 2 n
，则向量组
1,,2,, ,n, 线性无关
低维线性无关 高维线性无关
所以向量组 1,
l ,l 1
,n 也线性相关
部分相关 整体相关， 整体无关 部分无关
例4 、
分析：
性质3、已知向量组 1,2 , 的线性组合，不妨假设
,n ，若其中至少有一个向量能表示成其余向量 kn 0n knn 0 有非零解
1 k202
则其次线性方程组
k2 2
kn n 即
仅有零解
1 0 0 1 k1 k2 0 0
0 0 0 0 kn 1 0
n维基本单位向量组线性无关
例 3：
性质2、考虑向量组1,
l ,l 1
,n(1 l n ) ，如果部分组 1, l
线性相关，则齐次线性方程组
k11 k22
kll 有非零解
因而，齐次线性方程组 也有非零解
k11
kll kl 1l 1
knn
n 的秩小于向量的个数 n ．
向量组线性无关性的判定定理 m维向量组 A： , , 1 2 如果 k11 k22
,n 线性无关
knn （零向量），则必有
k1 = k2 = … = kn =0 ． n 元齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解． 矩阵A = 1 2 即：r(A)=n
线性相关分析
二、秩相关（等级相关）
秩相关的适用条件及基本概念 秩相关系数 秩相关系数的显著性检验 进行秩相关分析的注意事项
1、秩相关的适用条件及基本概念
适用条件: 资料不服从双变量正态分布 总体分布型未知，一端或两端是不确定数值
秩相关是分析X与Y两变量等级间是否相关的
（如＜10岁，≥65岁）的资料； 原始数据用等级表示的资料
样误差的问题，故要推断总体中两变量间有 无线性相关关系，须做假设检验
数，k为有相同秩次的组数
TX = ∑ ( t i3 − t i ) / 12 ，ti 为第 i 组相同秩次的个
常用的方法有两种： 1.n≤50,直接查附表14，得到P值 2.
n>50用假设检验法，计算检验统计量，公 式为
1.将X、Y分别从小到大编秩，若观察值相
同，则取平均秩次。 2.差数d 3.算d2 4.带入公式计算
rs = 1 − n( n − 1)
2
6∑ d 2
= 1−
6 × 12.5 = 0.85 8(82 − 1)
秩相关系数为负，说明两变量间有负相关关系， 同样由样本算得的秩相关系数是否有统计学意 义，也应做检验
本章内容：
相关分析
南方医科大学生物统计学系
线性相关 秩相关
一、线性相关
线性相关的基本概念 线性相关系数 相关系数的显著性检验 进行线性相关分析的注意事项
1、线性相关的基本概念
线性相关(linear
correlation)又称简单相关 (simple correlation)，用于双变量正态分布 (bivariate normal distribution)资料。
6∑ d 2
线性相关判断方法总结
线性相关判断方法总结线性相关判断方法线性相关分析(Linear Correlation Analysis，简称LMA)是以判断两个变量之间是否具有相关性为目标的一种相关分析技术。
其基本思想是用一个已知的、连续的随机变量去估计另一个离散的、不相关的随机变量，因此，线性相关分析是一种统计技术。
线性相关分析的主要内容包括：单相关和回归、多相关和回归、一元线性回归、多元线性回归和非线性回归、回归预测、聚类分析等。
线性相关分析的基本步骤是：确定需要解决的问题，建立假设，构造模型，实证检验，做出决策。
为了解决实际问题，就必须从数据中提取信息，而获得信息的基础是了解各项指标的含义及其相互之间的关系。
对于离散型数据来说，可通过测定值与真实值的差异程度，找到它们之间的相关系数，进而判断两者之间的相关性质。
通常将数据用直线连接起来。
1、衡量相关系数值的高低。
一般情况下，若相关系数接近于1，表明这两个变量之间存在显著相关关系；如果相关系数小于1，则表明两个变量之间没有明显的相关关系。
如果在原始数据中发现变量X 和Y的关系，通常用“|”符号来表示两个变量之间的线性相关性质。
这样看来，变量X和Y之间有没有线性相关关系，只需判断它们是否相等或比较其相等的程度即可。
如果它们是相等的，则说明它们之间有线性相关关系。
2、观察两个变量在纵轴和横轴上是否成线性相关。
如果在纵轴上两个变量y与x的线性相关系数大于0.6，那么，我们称y与x线性相关；反之，如果在横轴上两个变量y与x的线性相关系数小于0.6，则我们称y与x线性相关性不好。
3、若要比较两个变量的相关性，还可以使用相关系数检验。
例如，将某厂的全部产品的销售收入按其产品的消耗定额比例折算为直线折算成百分数，然后与同类产品的销售收入作比较。
该厂的所有产品的累计销售收入与各种产品的累计销售收入的总和之间呈正比关系，即如果有n个产品，则累计销售收入是n×100，这就是说， n种产品的销售收入占全部产品的销售收入总和的份额为100%，即n种产品的销售收入的总和等于全部产品的销售收入。
统计学-线性相关分析
二、计算公式
样本相关系数 r 的计算公式为：
r ( X X )(Y Y ) l XY ( X X )2 (Y Y )2 l XX lYY
例13-2：
第三节 相关系数的假设检验
目的是推断总体相关系数 是否等于0 ？
检验统计量 t 的计算公式为：
tr
r 0 Sr
r ,v n2 1 r2 n2
零相关（r=0）
相关系数 r 的取值及两变量间相关关系的直观图示：
r=0
零相关（r=0）
相关系数 r 的取值及两变量间相关关系的直观图示：
r=0
零相关（r=0）
相关系数 r 的取值及两变量间相关关系的直观图示：
r=0
零相关（r=0）
第二节 线性相关系数
一、概念
相关系数又称pearson积差相关系数， 符号: 常用 r 表示样本相关系数，用 表示总体相 关系数。相关系数可用来说明具有直线关系 的两变量间相关的方向和密切程度。
第十二章 线性相关分析
第一节 线性相关的概念
一、散点图
例13-1 为研究中年女性体重指数和收缩压 之间的关系，随机测量了16名40岁以上女性 的体重指数和收缩压，见表13-1，试作分析。
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
合计
体重指数 X 2.86 3.41 3.62 3.20 2.79 2.96 3.84 4.01 3.75 3.96 3.36 3.62 3.91 4.12 3.33 3.76
4. 不能直接根据样本相关系数r绝对值的大小 来说明两事物间有无相关关系及相关的紧密方 向而需对总体相关系数作假设检验。
第六节 直线回归与直线相关的区别和联系
第八章SPSS的相关分析和线性相关分析
第八章SPSS的相关分析和线性相关分析在统计学中，相关分析是用来研究两个或多个变量之间关系的一种方法。
SPSS（Statistical Package for the Social Sciences）是一款常用的统计软件，可用于进行相关分析和线性相关分析。
本章将介绍如何使用SPSS进行相关分析和线性相关分析，以及如何解释分析结果。
一、相关分析相关分析是一种用于研究变量之间关系的统计方法。
通过相关分析可以确定两个或多个变量之间的关联程度，以及这种关联程度的方向（正相关或负相关）。
在SPSS中进行相关分析的步骤如下：1.打开SPSS软件，选择“文件”>“打开”>“数据”，选择要进行分析的数据文件，点击“打开”。
2.在菜单栏中选择“分析”>“相关”>“双变量”或“多变量”。
3. 在弹出的对话框中，将变量移动到“变量”框中。
可以选择自定义相关性系数的类型，如Pearson相关系数、Spearman相关系数等。
4.点击“OK”进行相关分析。
5.SPSS将生成一个相关矩阵和一个相关系数表格，展示了变量之间的关联程度。
在进行相关分析时，需要注意以下几点：1.相关系数的取值范围为-1到1，-1表示完全负相关，1表示完全正相关，0表示没有相关性。
2.根据相关系数的取值大小可以判断变量之间的关联程度，一般认为相关系数大于0.7为强相关，0.3到0.7为中等相关，小于0.3为弱相关。
3.相关分析只能判断变量之间是否存在关系，不能确定因果关系。
线性相关分析是一种用于研究两个变量之间线性关系的统计方法。
通过线性相关分析可以确定两个连续变量之间的关联程度，以及这种关联程度的方向（正相关或负相关）。
在SPSS中进行线性相关分析的步骤如下：1.打开SPSS软件，选择“文件”>“打开”>“数据”，选择要进行分析的数据文件，点击“打开”。
2.在菜单栏中选择“分析”>“相关”>“双变量”。
相关性分析
相关性分析相关性分析是一种统计方法，可以评估两个变量之间的关系强度和方向。
在土地资源调查中，相关性分析可以帮助识别和解释不同因素之间的联系，更好地理解土地资源变化和变化原因。
以下是土地资源调查中常见的几种相关性分析方法：1. 线性相关分析线性相关分析用于评估两个数值型变量之间的线性关系。
该方法通常基于斯皮尔曼等级相关系数或皮尔逊积矩相关系数进行计算。
这些指标量度输入变量与输出变量之间的相关性程度，值介于0和+1之间，具有直观含义。
当其等于+1时，表示两个变量完全正相关；当其等于-1时，表示两个变量完全负相关；当其等于0时，表示两个变量之间没有线性关系。
线性相关分析可用于判断土地利用情况、城市扩张等因素之间的关系。
2. 时间序列分析时间序列分析用于评估时间序列数据中变量之间的关系。
在土地资源调查中，时间序列分析可以用于识别和解释土地利用变化的趋势和季节性变化。
该方法常用ARIMA模型或线性回归模型进行建模和预测。
3. 地图相关性分析地图相关性分析可以帮助研究人员识别不同因素之间的关系，并将其表示在地图上。
该方法通常基于空间自相关性或空间结构相关性等指标来计算。
地图相关性分析可以用于研究土地利用类型之间的空间关系、地形和气候条件对土壤类型的影响等问题。
4.多元回归分析多元回归分析是一种多变量分析方法，可用于评估多个自变量（如土地利用类型、地形、气候条件等）与一个因变量（如林分等级）之间的关系。
该方法基于模型代表自变量和因变量之间的函数关系，然后通过拟合数据集的方式来确定函数中的参数。
多元回归分析可用于探索有助于理解土地资源变化的多个因素之间的复杂关系。
总之，相关性分析是在土地资源调查中非常重要的分析工具。
它可以帮助识别和解释不同因素之间的联系，更好地理解土地资源变化和变化原因，以及为制定合适的土地利用规划提供科学依据。
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Z的95%可信区间为：
1.5334 ± 1.96 / 16 − 3 = (0.9898,2.0770)
总体相关系数ρ的95%可信区间为 ：
−1 e −1 e ~ 2×2.0770 = (0.76,0.97 ) 2×0.9898 +1 e +1 e
TX = ∑ (t − t ) / 12
3
TY = ∑ (t − t ) / 12
3
48
秩相关的含义
• 秩相关反映的是两变量的秩之间的相关， 并不反映两变量间的数值关系
例1 例2 例3 例4
X 1 2 3 4 5
Y 1 2 3 4 5
X 1 2 3
Y 1 4 9
X 1
Y 1
X 1 2
Y 1 10
2 1.1 3 1.2 4 1.3 5 1.4
r= Σ( X − X )(Y − Y ) Σ( X − X )
2
Σ(Y − Y )
2
=
l XY l XX lYY
(ΣX )(ΣY ) l XY = Σ( X − X )(Y − Y ) = ΣXY − n 2 ( ΣX ) 2 2 l XX = Σ( X − X ) = ΣX − n
lYY = ∑ (Y − Y ) 2 = ∑ Y 2 − (∑ Y )2 n
3 100 4 1000 5 10000
49
4 16 5 25
本章重点内容
一、相关系数r的意义 二、相关系数r的计算和总体相关系数 ρ的假设检验 三、线性回归与相关的区别与联系 四、Spearman秩相关系数的应用
50
fx-3600PV型计算器的使用
1. 进入相关与回归模式： MODE 2 [(… χD,yD
相关
2.应用
相关——反映两变量间的相关关系； 回归——反映两变量间依存变化的数量关系，可 由一个变量值推算另一个变量值
38
线性回归与相关的区别与联系 联系:
1.方向一致。对于同一组资料，若同时计算
r与b，它们的正负号是一致的
2.假设检验等价。对同一样本，r和b的假设
检验得到的t值相等，结论完全等价
t=
0.9110 (1 − 0.9110 2 ) /(16 − 2)
= 8.2653
ν=16-2=14
3. 确定P值下结论 查界值表得t0.05/2,14=2.977，P＜0.05。按α=0.05水准拒 绝H0，接受H1，故可以认为体重指数和收缩压之间存 在正相关关系
第四节 相关系数的可信区间
20
3.相关系数与回归系数可以互相换算
r = b l XX / lYY
b = r lYY / l XX
39
4.用回归进一步解释相关
决定系数(coefficient of determination)，定 义为回归平方和与总平方和之比，其计算公 式为： 2 l 2 / l XX SS回 XY l XY 2 = = r = SS 总 lYY l XX lYY 决定系数取值在0到1之间，其数值大小反映 了回归贡献的相对程度，也就是在 Y 的总变 异中回归关系所能解释的百分比
60
体重(kg)
50403020 140 150 160 身高(cm) 170 180
208名14岁男中学生身高与体重的散点图
7
二、线性相关
线性相关：
如果两个变量的散点图呈直线趋势，一个增大， 另一个也增大；或是一个增大，另一个减小，表 明这两个变量间可能存在线性相关关系
线性相关分析: 线性相关分析
Z ± uα / 2 / n − 3
(3) 再将 Z变换回 r
22
相关系数的可信区间估计
Fisher’s 变换
r
Z
近似正态
ρ的95％CI
Fisher’s 反变换
Z的95％CI
23
总体相关系数ρ的区间估计
例13-4 例13-2 中已求得体重指数与收缩压的相 关系数r=0.9110，试求总体相关系数 ρ 的95%可 信区间
35
两图表明，收入与受教育程度间是有相关关系的， 而且在年老一些的人群中要强一些。(弱相关是社会 科学研究中的通例。问题：受教育程度对哪一组人 群收入的影响更大？)
36
貌似无相关性，实际上却 有相关性的分层资料
37
线性回归与相关的区别与联系 区别:
1.资料
回归 ①Y正态随机变量，X为选定变量 ② X、Y服从双变量正态分布
于-1与＋1之间，绝对值越大表示 相关程度越高
43
一、Spearman秩相关
基本思想：就是将成对的两组观察值 分别由小到大编秩，数据相同时取平 均秩次，再计算每对观察值的秩次之 差 d ，然后带入公式计算出Spearman 秩相关系数rs
6Σd rs = 1 − 2 n(n − 1)
2
44
表 14-7 10 个乡的钉螺密度与血吸虫感染率（%） 乡编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 螺密度 X 33 52 22 42 35 49 31 39 45 43 感染率 Y 17 24 13 27 19 23 18 18 24 20 X 的秩 V 3.0 10.0 1.0 6.0 4.0 9.0 2.0 5.0 8.0 7.0 Y 的秩 W 2 8.5 1 10 5 7 3.5 3.5 8.5 6 d 1.0 1.5 0.0 -4.0 -1.0 2.0 -1.5 1.5 -.5 1.0 30.0
（一） t 检验；（二）查表法
相关系数的假设检验——t 检验
t =
r−0
=
r 1−r
2
sr
ν=n－2
n−2
Sr ：样本相关系数的标准误
相关系数的假设检验步骤 ：
1. 建立假设检验并确定检验水准 H0：ρ＝0 （两变量间无线性相关关系）； H1：ρ≠0 （两变量间有线性相关关系）； α=0.05 2. 计算检验统计量t值
3. 下结论： t0.05/2,8=2.306，P<0.05。在α = 0.05 水准上，拒绝H0 ，接受H1 ，认为该地区钉螺 密度与感染率之间有相关关系
二、相同秩次较多时rs的校正
r =
' s
[(n − n) / 6] − (TX + TY ) − Σd
3 3 3
2
[(n − n) / 6] − 2TX [(n − n) / 6] − 2TY
2. 数据录入： 305.7
[(… χD,yD
23.6 RUN 188.6
14.7 RUN ……………… 200.6
40
第十四章 基于秩次的统计方法 第五节 Spearman秩相关
Spearman秩相关的适用范围
1.不服从双变量正态分布而不宜作
积差相关分析的资料 2.总体分布类型未知的资料 3.原始资料类型为等级资料
42
一、Spearman秩相关
概念：是用Spearman秩相关系数rs来 说明两个变量间相关关系的密切程度 与相关方向。rs 没有单位，其值介
描述两变量间是否有线性相关关系以及线性相关 关系的方向和密切程度的分析方法
条件： 条件
两变量（X,Y）都是来自正态分布的随机变量
70
60 抑 郁 得 分
50
40
30
20 0 5 10 15 TSB 20 25 30
50名患者TSB、抑郁得分散点图
9
第二节 线性相关系数
(linear correlation coefficient )
某地160名20岁男子身高与体重散点图 (双变量正态分布)
29
大白鼠进食量(X,g)与体重增加量(Y,g)的关系
30
离群值对相关的影响
31
相关系数应用的注意事项
4.不能仅根据相关系数r绝对值的大小来推断两 变量间有无相关及相关的密切程度，必须对 总体相关系数ρ进行假设检验 5. 不要把相关系数假设检验的 P 值的大小误解 为两事物或现象相关的强度 6.同一个观察指标的两次重复测量结果间的相 关系数表示测量结果的可靠性
rs 1− r n−2
2 S
, υ = n−2
对求得的Spearman秩相关系数进行检验：
1. 建立检验假设，确定检验水准 H0：ρs＝0（钉螺密度与血吸虫感染率无关） H1：ρs ≠ 0 （钉螺密度与血吸虫感染率有关） 2.计算t统计量 rs 0.8171 t= = = 4.01 1 − rS2 1 − (0.8171) 2 10 − 2 n−2 υ = n−2=8
第一节 线性相关的概念 (linear correlation )
3
8名健康成人血清胆固醇与低密度脂蛋白含量
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
X1 4.27 5.17 5.69 5.17 3.77 5.17 5.66 3.31
X2 0.80 1.23 1.31 1.33 0.68 1.12 1.29 0.46
32
相关系数应用的注意事项
7.应审慎对待相关分析的样本的合并与分 层问题 • 样本甲观察点
样本乙观察点
(a)
(b)
33
样本的合并可能对相关性造成的误导
貌似有相关性，实际上无相关性的 分层资料：某人关于一所小学的小学生 生长发育情况与家庭收入关系的调查
34
美国关于男子的收入与受教育程度关系的研究
2
25
收缩压(kPa)
20
15
正 相 关
10 2.5 3 3.5 体重指数(kg/m ) 图13-1 16名中年女性体重指数和收缩压的散点图
2
4
4.5
r = 0.9110
第三节 相关系数的假设检验