2014中考数学专题复习动点问题
中考数学专题复习---动点问题
最后一题并不可怕，更要有信心！
图形中的点、线运动，构成了数学中的一个新问题---动态几何。它通常分为三种类型：动点问题、动线问题、 动形问题。在解这类问题时，要充分发挥空间想象的能力， 不要被“动”所迷惑，而是要在“动”中求“静”，化 “动”为“静”，抓住它运动中的某一瞬间，寻找确定的 关系式，就能找到解决问题的途径。 本节课重点来探究动态几何中的第一种类型----动点问 题。
' ' 问题：连接 PE ,当 t为何值时，△ PDE 为直角三角形？
A
4
B
A
B'
B
5
5
5
P
C
D
4
E
6
D
E'
E
C
A
4
B
DP=t
5 5 4 5
DE'=4-t
C
A B' B
D
4
A
E
3
B' B
3
P
P D E' C
D
E
E'
E
C
t 3 4t 5
∴t=1.5
4t 3 t 5
∴t=2.5
小结：
1、比例
D C
D C
P
A
4
B
A
4
7
B
P
7
Hale Waihona Puke D当BP=BC时 (钝角)
4
30°
当BP=BC时 (锐角)
C
D
E
C
4
P
A
7
B
2 3
E
当CB=CP时 ∴t=3或11或7+ 4 3 或 4 3 /3
探究动点关键：化动为静，分类讨论，关注全过程
∟
P
A
7
B
当PB=PC时 时 △PBC为等腰三角形
1.如图：已知
ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30°
收获一：化动为静
收获二：分类讨论 收获三：数形结合 收获四：构建函数模型、方程模型
∵点D在线段PQ的中垂线上
∟G
∴DQ=DP
DQ 2 DP 2
t 2 42 (2t 3) 2
3t 12t 25 0
2
∵ △ = —156<0 ∴方程无解。 即点D都不可能在线段QP的中垂线 上。
3、如图在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边 的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ,则 △ＰＢＱ 周长的最小值是-----cm (结果不取近似值）
1t
3t
5.1)解： ∵AD∥BC，∴只要QC=PD，则四边形PQCD为 平行四边形， ∵CQ=3t，AP=t ∴3t=24-t ∴t=6，∴当t=6秒时，四边形PQCD为平行四边 形
5.2)解：
由题意，只要PQ=CD，PD≠QC，则四边形PQCD为等腰梯形
过P、D分别作BC的垂线交BC于E、F， 则EF=PD，QE=FC=2
（3）当t＞7时，是否存在某一时刻t,使得线段 DP将线段BC三等分？ 解决动点问题 D C 的好助手：
E
A B
P
数形结合定相似 比例线段构方程
D
C
E
A
B
P
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm, 点P由点A出发 ，沿AC向C匀速运动，速度为2cm/s，同时 点Q由AB中点D出发，沿DB向B匀速运动，速度为1cm/s， 连接PQ，若设运动时间为t(s) (0＜t ≤3) （1）当t为何值时，PQ∥BC?
AQ AP AB AC
D
Q
B
P
C
5t 2t 10 6 15 t 7
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm， BC=8cm， 点P由点A出发 ，沿AC向C运动，速度为2cm/s，同时 点Q由AB中点D出发，沿DB向B运动，速度为1cm/s， 连接PQ，若设运动时间为t(s) (0＜t ≤3) (2)设△ APQ的面积为y( cm2 )，求y与t之间的函数关系。
D
P
C
y S ABC
Q
B
7 15
4 2 7 t 4t 24 5 15
计算要仔细
t 5t 14 0 (t 7)(t 2) 0
2
t 7(舍去） ,t 2
∴当t=2时， △ APQ的面积与△ ABC的面积比为7︰15
2.（4）连接DP,得到△QDP，那么是否存在某一时刻t，使得点 D在线段QP的中垂线上？若存在，求出相应的t的值；若不存在， 说明理由。
D C
积累就是知识
2、平行
A
3、求面积
A
4、最值问题（二次函数、 两点之间线段最短） M
A
P
D
A B
Q
B
C
P
Q
B
D
C
5、平行四边形 等腰梯形
6、直角三角形
A B' B
A
B'
B
P
P D E' C
E
D
E'
E
C
思 路
化动为静
分类讨论
数形结合
构建函数模型、方程模型
小结：
动点问题 动点题是近年来中考的的一个热点问题，解这类题目要“以静制动”， 即把动态问题，变为静态问题来解。一般方法:首先根据题意理清题目中两个变量X、Y 及相关常量。第二找关系式。把相关的量用一个自变量的表达式表达出来，再解出。 第三，确定自变量范围，画相应的图象。 必要时，多作出几个符合条件的草图也是解决问题的好办法。
D C
P
A
4
B
7
小组合作交流讨论
D
C
D
C
P
A
4
B
A
4 7
B
P
7
D
当BP=BC时 （钝角）
C
4
30°
当BP=BC时 （锐角)
D
E
C
4
P
A
7
B
2 3
E
当CB=CP时
∟
P
A
7
B
当PB=PC时
1、如图：已知 ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30° (2)若点P从点A沿射线AB运动，速度仍是1cm/s。 当t为何值时，△PBC为等腰三角形？
A
D
P
Q
B C
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm， BC=8cm， 点P由点A出发 ，沿AC向C运动，速度为2cm/s，同时 点Q由AB中点D出发，沿DB向B运动，速度为1cm/s， 连接PQ，若设运动时间为t(s) (0＜t ≤3) （1）当t为何值时，PQ∥BC?
A
若PQ∥BC 则△ AQP～△ABC
A
D
P
B
Q
C
4. 例 1 、 如 图 ， 已 知 在 直 角 梯 形 ABCD 中 ， AD∥BC ， ∠B=90°，AD=24cm，BC=26cm，动点P从点A开始沿AD边向点D， 以1cm/秒的速度运动，动点Q从点C开始沿CB向点B以3厘米/秒的 速度运动，P、 Q 分别从点 A 点 C 同时出发，当其中一点到达端点 时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒，求： 1）t为何值时，四边形PQCD为平行四边形 2) t为何值时，等腰梯形？
1、如图：已知
ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30°
(1)点P从点A沿AB边向点B运动，速度为1cm/s。 若设运动时间为t(s)，连接PC,当t为何值时，△PBC为等腰三 角形？
若△PBC为等腰三角形
D C
则PB=BC
A
30°
P 7
B
4
∴7-t=4
∴t=3
如图：已知 ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30° (2)若点P从点A沿射线 AB运动，速度仍是1cm/s。 当t为何值时，△PBC为等腰三角形？
2 1 [3t ( 24 t )] 2
∴t=7，∴当t=7秒时，四边形PQCD为等腰梯形。
┌
E F
┐
3.如图(1):在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC=5cm, AB=4cm,CD=10cm,BE∥AD。 如图(2):若整个△BEC从图(1)的位置出发，以1cm/s的速度沿射线CD方向平移， 在△BEC平移的同时，点P从点D出发，以1cm/s的速度沿DA向点A运动，当 △BEC的边BE与DA重合时，点P也随之停止运动。设运动时间为t(s)（0＜t≤4）
2.(2)
D
A
在RtABC中，C 90
SinA 8 10
P
∟ N
Q
B
QN 8 AQ 10
C
QN 8 5t 10
QN 4 4 t 5
三角函数法
y
1 4 2t 4 t 2 5 4 2 y t 4t 5
2.(3)是否存在某一时刻t，使△ APQ的面积与△ ABC的面积 比为7︰15？若存在，求出相应的t的值；不存在说明理由。 1 S 8 6 24 A ABC 2
A A
M D
P Q
C B
D ∟
P
N
C
Q
B
2.(2)
D
A
∵△AQN∽ △ABC
QN AQ BC AB
P
∟ N
Q
B
C
QN 5t 8 10
4 QN 4 t 5
相似法
1 4 y 2t 4 t 2 5 4 2 y t 4t 5
2014中考数学动点最值问题归纳及解法
中考数学动点最值问题归纳及解法最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。
利用一次函数和二次函数的性质求最值。
动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
“坐标几何题”（动点问题）分析近几年共同点： ⑤探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。
小类知识归纳：一、问题原型：如图1-1，要在燃气管道上修建一个泵站，分别向、两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？这个“确定最短路线”问题，是一个利用轴对称解决极值的经典问题。
解这类问题 二、基本解法：对称共线法。
利用轴对称变换，将线路中各线段映射到同一直线上（线路长度不变），确定动点位置，计算线路最短长度。
三、一般结论：(在线段上时取等号)（如图1-2）线段和最小，常见有三种类型：（一）“|定动|+|定动|”型：两定点到一动点的距离和最小通过轴对称，将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个，映射到直线的另一侧，当动点在这个定点的对称点及另一定点的线段上时，由“两点之间线段最短”可知线段和的最小值，最小值为定点线段的长。
1.两个定点+一个动点。
如图1-3，作一定点关于动点所在直线的对称点，线段（是另一定点）与的交点即为距离和最小时动点位置，最小距离和。
①特殊四边形为背景； ②点动带线动得出动三角形；③探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）； ④求直线、抛物线解析式；例1（2006年河南省中考题）如图2，正方形的边长为，是的中点，是对角线上一动点，则的最小值是。
2014中考数学总复习专题7动点问题
QB BM ∴△B Q M ~ △O P M , ∴ OP OM ,
图5
12 at t ∴
4 7
2 7 7 2 7 , t 7
4 ≤8. t . t的取值范围是 6≤t
整理得 t - at = 2, ∴a= 1-
2 4 综上所述: a= 1+ t ( 0< t ≤8) 或 a= 1- t ( 6≤t ≤8) .
专题突破区
专题视点· 考向解读
分三种情况讨论: ①当 C M = C N 时,
重点解析
真题演练
2 2 42+ ( 2+ b ) = ( 6+ b ) , 解得 b = - 2, 此时 M ( 2, 0) ;
专题突破区
专题视点· 考向解读
重点解析
真题演练
1. (2013·龙岩中考)如图, 四边形 A B C D 是菱形, 对角线 A C 与 B D 交于点 O , 且 A C = 80, B D = 60. 动点 M 、N 分别以每秒 1 个单位的速度从点 A 、D 同时出发, 分别沿 A O D 和 D O A 运动, 当点 N 到达点 A 时, M、 N 同时停止运动. 设运动时间 为 t 秒. ( 1) 求菱形 A B C D 的周长; ( 2) 记△D M N 的面积为 S, 求 S 关于 t的 解析式, 并求 S 的最大值; ( 3) 当t = 30 秒时, 在线段 O D 的垂直平分线上是否存在点 P , 使得∠D P O = ∠D O N ? 若存在, 这样的点 P 有几个?并求出点 P 到线段 O D 的距离; 若不存在, 请说明理 由.
专题视点· 考向解读
重点解析
真题演练
专题七
动点问题
2014届人教版中考数学复习方案(42)点运动型问题(18页)
考点聚焦
归类探究
回归教材
第42课时┃ 点运动型问题
解题方法点析 二次函数动点问题解题技巧： (1)以静化动，把问的某某秒后的那个时间想想成一个
点，然后再去解； (2)对称性，如果是二次函数的题，一定要注意对称性； (3)关系法：通过画图，把该要的条件列成一些关系，列
出一些代数式、方程等．
考点聚焦
归类探究
第42课时┃ 点运动型问题
探究二 点运动型问题 例2 [2013·黄冈] 如图 42－2，在平面直角坐标系中， 四边形 ABCO 是梯形，其中 A(6，0)，B(3， 3)，C(1，
3)，动点 P 从点 O 以每秒 2 个单位的速度向点 A 运动，
动点 Q 也同时从点 B 沿 B→C→O 的线路以每秒 1 个单 位的速度向点 O 运动，当点 P 到达 A 点时，点 Q 也随 之停止，设点 P、Q 运动的时间为 t(秒)．
则△A PF≌ △MPH ，∴PF＝PH .
设 F 的横坐标为 x，则点 P 的坐标为(x，－x－1)，代入 y＝
－x2－2x＋3，得－x－1＝－x2－2x＋3，解得 x1＝－1－ 17， 2
x2＝－1＋
－1－ 17(舍去)，∴P 2
17，
17－1 2.
2
考点聚焦
归类探究
回归教材
第42课时┃ 点运动型问题
第42课时┃ 点运动型问题
考向互动探究
探究一 动点与二次函数综合型问题 例1 [2013·广安]如图42－1，在平面直角坐标系xOy中，抛 物线y＝ax2＋bx＋c经过A，B，C三点，已知点A(－3，0)， B(0，3)，C(1，0)．
(1)求此抛物线的解析式； (2)点P是直线AB上方的抛物线上一动点(不与A，B重合)， 过 点 P 作 x 轴 的 垂 线 ， 垂 足 为 点 F ， 交 直 线 AB 于 点 E ， 作 PD⊥AB于点D.
2014年中考数学复习专项练习卷动点型问题(附答案解析)
算推理的过程。 在变化中找到不变的性质是解决数学 “动点 ”探究题的基本思路 , 这也是动态几
何数学问题中最核心的数学本质。
三、中考考点精讲
考点一：建立动点问题的函数解析式（或函数图像）
函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律
,是初中数学的重要容 . 动点问题反映
的是一种函数思想 ,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化
双动点问题更成为中考试题的热点中的热点，双动点问题对同学们获取信息和处理信息的能
力要求更高高 ;解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题
, 挖掘运动、变化的全过程 ,
并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系
, 动中取静 , 静中求动 .
例 5 （2013 ?）如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 是梯形， AB ∥ CD ，点 B（ 10 ，
过点 Q 作 QE ⊥ x 轴于点 E，则 BE =BQ ?cos ∠ CBF =5 t ?3 =3 t． 5
∴ PE= PB －BE =（ 14 －2 t ） －3 t =14 －5 t ，
S= 1 PM?PE= 1 ×2 t ×（ 14 －5 t ） =－ 5 t 2+14 t ；
2
2
② 当 1 ＜t ≤2 时，如答图 2 所示：
过点 C、 Q 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 F， E，
则 CQ =5 t－5 ， PE=AF －AP－EF =11 －2 t－（ 5 t －5 ）=16 －7 t，
S= 1 PM?PE= 1 ×2 t ×（ 16 －7 t ） =－ 7 t 2+16 t ；
13
1
30
此时 y= EF ×PM = t ，为一次函数；
2014中考数学二次函数与四边形的动点问题(含答案)
72x =B(0,4)A(6,0)EFxyO二次函数与四边形一．二次函数与四边形的形状例1.(浙江义乌市) 如图，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2．（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式； （2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平 行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值；（3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．例1.解：（1）令y=0，解得11x =-或23x =∴A （-1，0）B （3，0）；将C 点的横坐标x=2代入223y x x =--得y=-3，∴C （2，-3）∴直线AC 的函数解析式是y=-x-1 （2）设P 点的横坐标为x （-1≤x ≤2）则P 、E 的坐标分别为：P （x ，-x-1）， E （2(,23)x x x --∵P 点在E 点的上方，PE=22(1)(23)2x x x x x -----=-++ ∴当12x =时，PE 的最大值=94（3）存在4个这样的点F ，分别是1234(1,0),(3,0),(470),(47,0)F F F F -+-， 练习 1.解：（1）由抛物线的对称轴是72x =，可设解析式为27()2y a x k =-+．把A 、B 两点坐标代入上式，得227(6)0,27(0) 4.2a k a k ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 解之，得225,.36a k ==- 故抛物线解析式为22725()326y x =--，顶点为725(,).26- （2）∵点(,)E x y 在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合22725()326y x =--， ∴y<0，即 －y>0,－y 表示点E 到OA 的距离．∵OA 是OEAF 的对角线， ∴2172264()2522OAE S S OA y y ==⨯⨯⋅=-=--+ ． 因为抛物线与x 轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量x 的 取值范围是1＜x ＜6． ①根据题意，当S = 24时，即274()25242x --+=．A72x =B(0,4) A(6,0)E FxyO化简，得271().24x -=解之，得123, 4.x x == 故所求的点E 有两个，分别为E 1（3，－4），E 2（4，－4）． 点E 1（3，－4）满足OE = AE ，所以OEAF 是菱形； 点E 2（4，－4）不满足OE = AE ，所以OEAF 不是菱形． ② 当OA ⊥EF ，且OA = EF 时，OEAF 是正方形，此时点E 的 坐标只能是（3，－3）．而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E ，使OEAF 为正方形．练习1.(河南省实验区) 23．如图，对称轴为直线72x =的抛物线经过点A （6，0）和B （0，4）． （1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA 为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；①当平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形？②是否存在点E ，使平行四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．练习 2.（四川省德阳市）25.如图，已知与x 轴交于点(10)A ，和(50)B ，的抛物线1l 的顶点为(34)C ，，抛物线2l 与1l 关于x 轴对称，顶点为C '．（1）求抛物线2l 的函数关系式；5- 4- 3- 2- 1- 1 234554321 A EBC '1- O2l1lxy（2）已知原点O ，定点(04)D ，，2l 上的点P 与1l 上的点P '始终关于x 轴对称，则当点P 运动到何处时，以点D O P P '，，，为顶点的四边形是平行四边形？（3）在2l 上是否存在点M ，使ABM △是以AB 为斜边且一个角为30的直角三角形？若存，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．练习3.（山西卷）如图，已知抛物线1C 与坐标轴的交点依次是(40)A -，，(20)B -，，(08)E ，． （1）求抛物线1C关于原点对称的抛物线2C 的解析式； （2）设抛物线1C 的顶点为M ，抛物线2C 与x 轴分别交于C D ，两点（点C 在点D 的左侧），顶点为N ，四边形MDNA 的面积为S ．若点A ，点D 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M ，点N 同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A 与点D 重合为止．求出四边形MDNA 的面积S 与运动时间t 之间的关系式，并写出自变量t 的取值范围；（3）当t 为何值时，四边形MDNA 的面积S 有最大值，并求出此最大值；（4）在运动过程中，四边形MDNA 能否形成矩形？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由．二．二次函数与四边形的面积例1.（资阳市）25.如图10，已知抛物线P ：y=ax 2+bx+c(a ≠0) 与x 轴交于A 、B 两点(点A 在x 轴的正半轴上)，与y 轴交于点C ，矩形DEFG 的一条边DE 在线段AB 上，顶点F 、G 分别在线段BC 、AC 上，抛物线P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：x…-3-212…5-4-3-2-1- 1 2 3 455 4 3 2 1 A EBC '1- O 2l 1lx yy …-52-4-520 …(1) 求A 、B 、C 三点的坐标；(2) 若点D 的坐标为(m ，0)，矩形DEFG 的面积为S ，求S 与m 的函数关系，并指出m 的取值范围；(3) 当矩形DEFG 的面积S 取最大值时，连接DF 并延长至点M ，使FM=k ·DF ，若点M 不在抛物线P 上，求k 的取值范围.练习1.（辽宁省十二市2007年第26题）．如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH ，点H 的坐标为（－8，0），点N 的坐标为（－6，－4）．（1）画出直角梯形OMNH 绕点O 旋转180°的图形OABC ，并写出顶点A ，B ，C 的坐标（点M 的对应点为A ， 点N 的对应点为B ， 点H 的对应点为C ）；（2）求出过A ，B ，C 三点的抛物线的表达式；（3）截取CE =OF =AG =m ，且E ，F ，G 分别在线段CO ，OA ，AB 上，求四边形BEFG 的面积S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；面积S 是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；（4）在（3）的情况下，四边形BEFG 是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m 的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．练习3.（吉林课改卷）如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，在对称中心O 处有一钉子．动点P ，Q 同时从点A 出发，点P 沿A B C →→方向以每秒2cm 的速度运动，到点C 停止，点Q 沿A D→方向以每秒1cm 的速度运动，到点D 停止．P ，Q 两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，设x 秒后橡图10皮筋扫过的面积为2cm y ．（1）当01x ≤≤时，求y 与x 之间的函数关系式； （2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求x 值；（3）当12x ≤≤时，求y 与x 之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时POQ ∠的变化范围；（4）当02x ≤≤时，请在给出的直角坐标系中画出y 与x 之间的函数图象．练习4.（四川资阳卷）如图，已知抛物线l 1：y =x 2-4的图象与x 轴相交于A 、C 两点，B 是抛物线l 1上的动点(B 不与A 、C 重合)，抛物线l 2与l 1关于x 轴对称，以AC 为对角线的平行四边形ABCD 的第四个顶点为D .(1) 求l 2的解析式；(2) 求证：点D 一定在l 2上；(3) □ABCD 能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积(若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积)；如果不能为矩形，请说明理由. 注：计算结果不取近似值.三．二次函数与四边形的动态探究例1.(荆门市)28. 如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC ，已知O (0，0)，A (4，0)，C (0，3)，点P 是OA 边上的动点(与点O 、A 不重合)．现将△PAB 沿PB 翻折，得到△PDB ；再在OC 边上选取适当的点E ，将△POE 沿PE 翻折，得到△PFE ，并使直线PD 、PF 重合．(1)设P (x ，0)，E (0，y )，求y 关于x 的函数关系式，并求y 的最大值；(2)如图2，若翻折后点D 落在BC 边上，求过点P 、B 、E 的抛物线的函数关系式；B C PO D QA BPCO DQ A y321O12 x(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q ，使△PEQ 是以PE 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标．例2.（2010年沈阳市第26题）、已知抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB <OC ）是方程x 2－10x ＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x ＝－2．（1）求A 、B 、C 三点的坐标； （2）求此抛物线的表达式；（3）连接AC 、BC ，若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、点B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连接CE ，设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（4）在（3）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由．例3..(湖南省郴州) 27．如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，将矩形ABCD 沿对角线A 平移，平移后的矩形为EFGH （A 、E 、C 、G 始终在同一条直线上），当点E 与C 重时停止移动．平移中EF 与BC 交于点N ，GH 与BC 的延长线交于点M ，EH 与DC 交于点P ，FG 与DC 的延长线交于点Q ．设S 表示矩形PCMH 的面积，S '表示矩形NFQC 的面积．（1） S 与S '相等吗？请说明理由．（2）设AE ＝x ，写出S 和x 之间的函数关系式，并求出x 取何值时S 有最大值，最大值是多少？图 2OC A Bxy DPE F 图 1FE P D y xBA C O（3）如图11，连结BE ，当AE 为何值时，ABE 是等腰三角形．练习1.（07年河池市）如图12， 四边形OABC 为直角梯形，A （4，0），B （3，4），C （0，4）． 点M 从O 出发以每秒2个单位长度的速度向A 运动；点N 从B 同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C 运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N 作NP 垂直x 轴于点P ，连结AC 交NP 于Q ，连结MQ ．（1）点 （填M 或N ）能到达终点；（2）求△AQM 的面积S 与运动时间t 的函数关系式，并写出自 变量t 的取值范围，当t 为何值时，S 的值最大；（3）是否存在点M ，使得△AQM 为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标， 若不存在，说明理由．练习2..(江西省) 25．实验与探究（1）在图1，2，3中，给出平行四边形ABCD 的顶点A B D ，，的坐标（如图所示），写出图1，2，3中的顶点C 的坐标，它们分别是(52)，， ， ； x NM QP H G FE D C B A 图11 Q P N M H GF E D C B A 图10图12yxPQBCNMOA（2）在图4中，给出平行四边形ABCD 的顶点A B D ，，的坐标（如图所示），求出顶点C 的坐标（C 点坐标用含a b c d e f ，，，，，的代数式表示）；归纳与发现（3）通过对图1，2，3，4的观察和顶点C 的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD 处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为()()()()A a b B c d C m n D e f ，，，，，，，（如图4）时，则四个顶点的横坐标a c m e ，，，之间的等量关系为 ；纵坐标b d n f ，，，之间的等量关系为 （不必证明）；运用与推广（4）在同一直角坐标系中有抛物线2(53)y x c x c =---和三个点15192222G c c S c c ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，(20)H c ，（其中0c >）．问当c 为何值时，该抛物线上存在点P ，使得以G S H P ，，，为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的P 点坐标．答案：一．二次函数与四边形的形状例1.解：（1）令y=0，解得11x =-或23x =∴A （-1，0）B （3，0）；yC()A(40)D ，(12)B ，O x图1yC()A(0)D e ，()B c d ，O x图2yC()A a b ， ()D e b ，()B c d ，Ox图3y C()A a b ，()D e f ，()B c d ，Ox图472x =B(0,4)A(6,0)EFxyO将C 点的横坐标x=2代入223y x x =--得y=-3，∴C （2，-3）∴直线AC 的函数解析式是y=-x-1 （2）设P 点的横坐标为x （-1≤x ≤2）则P 、E 的坐标分别为：P （x ，-x-1）， E （2(,23)x x x --∵P 点在E 点的上方，PE=22(1)(23)2x x x x x -----=-++ ∴当12x =时，PE 的最大值=94（3）存在4个这样的点F ，分别是1234(1,0),(3,0),(470),(47,0)F F F F -+-， 练习 1.解：（1）由抛物线的对称轴是72x =，可设解析式为27()2y a x k =-+．把A 、B 两点坐标代入上式，得227(6)0,27(0) 4.2a k a k ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 解之，得225,.36a k ==- 故抛物线解析式为22725()326y x =--，顶点为725(,).26- （2）∵点(,)E x y 在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合22725()326y x =--， ∴y<0，即 －y>0,－y 表示点E 到OA 的距离．∵OA 是OEAF 的对角线， ∴2172264()2522OAE S S OA y y ==⨯⨯⋅=-=--+ ． 因为抛物线与x 轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量x 的 取值范围是1＜x ＜6． ③根据题意，当S = 24时，即274()25242x --+=．化简，得271().24x -=解之，得123, 4.x x == 故所求的点E 有两个，分别为E 1（3，－4），E 2（4，－4）． 点E 1（3，－4）满足OE = AE ，所以OEAF 是菱形； 点E 2（4，－4）不满足OE = AE ，所以OEAF 不是菱形． ④ 当OA ⊥EF ，且OA = EF 时，OEAF 是正方形，此时点E 的 坐标只能是（3，－3）．而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E ， 使OEAF 为正方形．练习2.解：（1）由题意知点C '的坐标为(34)-，．设2l 的函数关系式为2(3)4y a x =--．又 点(10)A ，在抛物线2(3)4y a x =--上，2(13)40a ∴--=，解得1a =． ∴抛物线2l 的函数关系式为2(3)4y x =--（或265y x x =-+）． 4-3-2- 1-1 2 3 4554 3 2 1 AEBC '1- O 2lxy5-4-3-2-1-12 3D554 32 1 ACEMBC '1-O2l 1l xy（2）P 与P '始终关于x 轴对称， PP '∴与y 轴平行．设点P 的横坐标为m ，则其纵坐标为265m m -+，4OD = ，22654m m ∴-+=，即2652m m -+=±．当2652m m -+=时，解得36m =±．当2652m m -+=-时，解得32m =±．∴当点P 运动到(362)-，或(362)+，或(322)--，或(322)+-，时，P P OD '∥，以点D O P P '，，，为顶点的四边形是平行四边形． （3）满足条件的点M 不存在．理由如下：若存在满足条件的点M 在2l 上，则90AMB ∠= ，30BAM ∠= （或30ABM ∠= ）， 114222BM AB ∴==⨯=．过点M 作ME AB ⊥于点E ，可得30BME BAM ∠=∠=．112122EB BM ∴==⨯=，3EM =，4OE =． ∴点M 的坐标为(43)-，．但是，当4x =时，246451624533y =-⨯+=-+=-≠-．∴不存在这样的点M 构成满足条件的直角三角形．练习3. [解] （1）点(40)A -，，点(20)B -，，点(08)E ，关于原点的对称点分别为(40)D ，，(20)C ，，(08)F -，． 设抛物线2C 的解析式是2(0)y ax bx c a =++≠，则16404208a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，，．解得168a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，，．所以所求抛物线的解析式是268y x x =-+-．（2）由（1）可计算得点(31)(31)M N --，，，． 过点N 作NH AD ⊥，垂足为H ．当运动到时刻t 时，282AD OD t ==-，12NH t =+．根据中心对称的性质OA OD OM ON ==，，所以四边形MDNA 是平行四边形．所以2AD NS S =△．所以，四边形MDNA 的面积2(82)(12)4148S t t t t =-+=-++． 因为运动至点A 与点D 重合为止，据题意可知04t <≤．所以，所求关系式是24148S t t =-++，t 的取值范围是04t <≤．（3）781444S t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，（04t <≤）． 所以74t =时，S 有最大值814． 提示：也可用顶点坐标公式来求．（4）在运动过程中四边形MDNA 能形成矩形． 由（2）知四边形MDNA 是平行四边形，对角线是AD MN ，，所以当AD MN =时四边形MDNA 是矩形．所以OD ON =．所以2222OD ON OH NH ==+．所以22420t t +-=．解之得126262t t =-=--，（舍）． 所以在运动过程中四边形MDNA 可以形成矩形，此时62t =-．[点评]本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。
中考数学复习--动点问题题型方法归纳
A BD
2) ，连结 EF，当 t 为何值时，△ BEF为直角三角形．
C
C
F
F
图（ 3）
注意：第（ 3）问按直角位置分类讨论
3. 如图，已知抛物线 y a( x 1)2 3 3( a 0) 经过点 A( 2，0) ，抛物线的顶点为 D ，过 O 作射线 OM ∥ AD ．过顶点 D 平行于 x 轴的直线交射线 OM 于点 C ， B 在 x 轴正半轴上，连结 BC ．
（ 1）直接写出 A、 B 两点的坐标；
P
（ 2）设点 Q 的运动时间为 t 秒， △OPQ 的面积为 S ，求出 S 与 t 之间 O Q
Ax
的函数关系式；
（ 3）当 S
坐标．
48 时， 求出点 P 的坐标， 并直接写出以点 O、P、Q 为顶点的平行四边形的第四个顶点
5
M的
提示：第（ 2）问按点 P 到拐点 B 所有时间分段分类；
动点问题
题型方法归纳
动态几何特点 ---- 问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析
过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）
动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、
相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或
（ 1）求该抛物线的解析式；
（ 2）若动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个长度单位的速度沿射线 OM 运动，设点 P 运动的时间为 t( s) ．问
当 t 为何值时，四边形 DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （ 3）若 OC OB ，动点 P 和动点 Q 分别从点 O 和点 B 同时出发，分别以每秒 1 个长度单位和 2 个长度 单位的速度沿 OC 和 BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间 为 t (s) ，连接 PQ ，当 t 为何值时，四边形 BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时 PQ 的长．
2014年学业水平考试数学专题复习(压轴)
2014年中考数学压轴题专题复习1.1 因动点产生的相似三角形问题例1 2013年上海市中考第24题如图1，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM ，求∠AOM 的大小；（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．图1满分解答（1）如图2，过点A 作AH ⊥y 轴，垂足为H ．在Rt △AOH 中，AO ＝2，∠AOH ＝30°，所以AH ＝1，OH A (1-．因为抛物线与x 轴交于O 、B (2,0)两点，设y ＝ax (x －2)，代入点A (1-，可得a = 图2所以抛物线的表达式为2(2)y x x x x =-=．（2）由221)3333y x x x =-=--得抛物线的顶点M 的坐标为(1,．所以tan BOM ∠=．所以∠BOM ＝30°．所以∠AOM ＝150°．（3）由A (1-、B (2,0)、M (1,，得tan ABO ∠=AB =OM =所以∠ABO ＝30°，OA OM = 因此当点C 在点B 右侧时，∠ABC ＝∠AOM ＝150°．△ABC 与△AOM 相似，存在两种情况：①如图3，当BA OABC OM ==时，2BC ===．此时C (4,0)．②如图4，当BC OA BA OM ==时，6BC ===．此时C (8,0)．图3 图4考点伸展在本题情境下，如果△ABC 与△BOM 相似，求点C 的坐标．如图5，因为△BOM 是30°底角的等腰三角形，∠ABO ＝30°，因此△ABC 也是底角为30°的等腰三角形，AB ＝AC ，根据对称性，点C 的坐标为(－4,0)．图5例2 2013年苏州市中考第29题如图1，已知抛物线211(1)444b y x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．图1思路点拨1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC 暗示了点P 到两坐标轴的距离相等．2．联结OP ，把四边形PCOB 重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b 的式子表示．3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q 最大的可能在经过点A 与x 轴垂直的直线上．满分解答（1）B 的坐标为(b , 0)，点C 的坐标为(0,4b )． （2）如图2，过点P 作PD ⊥x 轴，PE ⊥y 轴，垂足分别为D 、E ，那么△PDB ≌△PEC ． 因此PD ＝PE ．设点P 的坐标为(x, x)．如图3，联结OP ．所以S 四边形PCOB ＝S △PCO ＋S △PBO ＝1152428b x b x bx ⨯⋅+⨯⋅=＝2b ． 解得165x =．所以点P 的坐标为(1616,55)．图2 图3（3）由2111(1)(1)()4444b y x b x x x b =-++=--，得A (1, 0)，OA ＝1． ①如图4，以OA 、OC 为邻边构造矩形OAQC ，那么△OQC ≌△QOA ． 当BA QA QA OA=，即2QA BA OA =⋅时，△BQA ∽△QOA ．所以2()14b b =-．解得8b =±Q 为(1,2．②如图5，以OC为直径的圆与直线x＝1交于点Q，那么∠OQC＝90°。
(完整word版)2014年中考数学专题复习：与圆有关的动点问题(精品含答案)
2014年中考数学专题复习：与圆有关的动点问题1、如图，⊙O的直径AB=4，C为圆周上一点,AC=2，过点C作⊙O的切线DC，P点为优弧CBA上一动点（不与A．C重合）．（1）求∠APC与∠ACD的度数；（2）当点P移动到CB弧的中点时，求证：四边形OBPC是菱形．(3）P点移动到什么位置时，△APC与△ABC全等，请说明理由．2、如图，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，AC=12AB,点P在半圆弧AB上运动(不与A、B两点重合），过点C作直线PB的垂线CD交PB于D点．（1）如图1,求证：△PCD∽△ABC；(2）当点P运动到什么位置时，△PCD≌△ABC？请在图2中画出△PCD并说明理由；（3)如图3，当点P运动到CP⊥AB时，求∠BCD的度数．3、如图，在半径为2的扇形AOB中,∠AOB=90°,点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，（2)在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在,请指出并求其长度,如果不存在，请说明理由；（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．4、如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB=60°．点P从A点出发，以cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动；与此同时,点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动．当P运动到C点时,P、Q都停止运动．设点P运动的时间为ts．（1）当P异于A．C时，请说明PQ∥BC；（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问:在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？5、如图，在菱形ABCD中,AB＝2错误!,∠A＝60º，以点D为圆心的⊙D与边AB相切于点E．（1)求证：⊙D与边BC也相切；(2）设⊙D与BD相交于点H，与边CD相交于点F，连接HF，求图中阴影部分的面积（结果保留π)；(3)⊙D上一动点M从点F出发，按逆时针方向运动半周,当S△HDF＝错误!S△MDF时,求动点M经过的弧长(结果保留π）．6、半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧,⊙O与l相切于点F，DC在l上．（1)过点B作的一条切线BE，E为切点．①填空：如图1，当点A在⊙O上时，∠EBA的度数是；②如图2,当E，A，D三点在同一直线上时，求线段OA的长；(2)以正方形ABCD的边AD与OF重合的位置为初始位置，向左移动正方形(图3）,至边BC与OF重合时结束移动，M，N分别是边BC，AD与⊙O的公共点，求扇形MON的面积的范围．7、如图,Rt△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且∠ACB=90°，AB=5,BC=3,点P在射线AC上运动，过点P作PH⊥AB，垂足为H．（1）直接写出线段AC、AD及⊙O半径的长；（2）设PH=x,PC=y，求y关于x的函数关系式；（3）当PH与⊙O相切时，求相应的y值．8、如图1，正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点（不与M、C重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线，交AD于点F,切点为E．（1)求证：OF∥BE;(2）设BP=x，AF=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）延长DC、FP交于点G，连接OE并延长交直线DC与H（图2)，问是否存在点P，使△EFO∽△EHG（E、F、O与E、H、G为对应点)？如果存在,试求（2）中x和y的值；如果不存在，请说明理由．9、如图，⊙O的半径为1,直线CD经过圆心O，交⊙O于C、D两点，直径AB⊥CD，点M是直线CD上异于点C、O、D的一个动点,AM所在的直线交于⊙O于点N，点P是直线CD上另一点,且PM=PN．（1）当点M在⊙O内部，如图一,试判断PN与⊙O的关系,并写出证明过程；(2）当点M在⊙O外部，如图二，其它条件不变时，(1)的结论是否还成立？请说明理由；（3）当点M在⊙O外部,如图三，∠AMO=15°，求图中阴影部分的面积．10、如图，在⊙O 中，直径AB⊥CD，垂足为E ，点M 为OC 上动点,AM 的延长线交⊙O 于点G,交过C 的直线于F ，∠1=∠2，连结CB 与DG 交于点N ． （1）求证:CF 是⊙O 的切线；(2）点M 在OC 上移动时（点M 不与O 、C 点重合），探究△ACM 与△DCN 之间关系，并证明（3）若点M 移动到CO 的中点时,⊙O 的半径为4，cos∠BOC=41,求BN 的长．11、如图,已知AB 是圆O 的直径，BC 是圆O 的弦,弦ED ⊥AB 于点F,交BC 于点G,过点C 作圆O 的切线与ED 的延长线交于点P ． (1)求证：PC ＝PG;（2）点C 在劣弧AD 上运动时,其他条件不变,若点G 是BC 的中点,试探究CG 、BF 、BO 三者之间的数量关系,并写出证明过程；(3)在满足(2）的条件下，已知圆为O 的半径为5，若点O 到BC 的距离为5时，求弦ED 的长．12、如图1，已知⊙O 的半径长为3，点A 是⊙O 上一定点，点P 为⊙O 上不同于点A 的动点．（1）当1tan A 时，求AP 的长；（3）在(2）的条件下，当4tan3A 时（如图3），存在⊙M与⊙O相内切，同时与⊙Q相外切，且OM⊥OQ，试求⊙M的半径的长．图1 图2 图3答案:1、解：(1）连接AC，如图所示:∵AB=4，∴OA=OB=OC=12AB=2。
2014年中考数学试题分类汇编42 动态问题
动态问题一、选择题1. （2014•安徽省,第9题4分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记P A=x，点D到直线P A的距离为y，则y关于x 的函数图象大致是（）A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．分析：①点P在AB上时，点D到AP的距离为AD的长度，②点P在BC上时，根据同角的余角相等求出∠APB=∠P AD，再利用相似三角形的列出比例式整理得到y与x的关系式，从而得解．解答：解：①点P在AB上时，0≤x≤3，点D到AP的距离为AD的长度，是定值4；②点P在BC上时，3＜x≤5，∵∠APB+∠BAP=90°，∠P AD+∠BAP=90°，∴∠APB=∠P AD，又∵∠B=∠DEA=90°，∴△ABP∽△DEA，∴=，即=，∴y=，纵观各选项，只有B选项图形符合．故选B．点评：本题考查了动点问题函数图象，主要利用了相似三角形的判定与性质，难点在于根据点P的位置分两种情况讨论．2. （2014•广西玉林市、防城港市，第12题3分）如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（）A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．分析：根据题目提供的条件可以求出函数的解析式，根据解析式判断函数的图象的形状．解答：解：①t≤1时，两个三角形重叠面积为小三角形的面积，∴y =×1×=，②当1＜x≤2时，重叠三角形的边长为2﹣x ，高为，y =（2﹣x）×=x ﹣x +，③当x≥2时两个三角形重叠面积为小三角形的面积为0，故选：B．点评：本题主要考查了本题考查了动点问题的函数图象，此类题目的图象往往是几个函数的组合体．3．（2014年山东泰安，第14题3分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16．点P是斜边AB上一点．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP=x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（）A B C．D分析：分点Q在AC上和BC上两种情况进行讨论即可．解：当点Q在AC上时，∵∠A=30°，AP=x，∴PQ=xtan30°=∴y=×AP×PQ=×x×=x2；当点Q在BC上时，如图所示：∵AP=x，AB=16，∠A=30°，∴BP=16﹣x，∠B=60°，∴PQ=BP•tan60°=（16﹣x）．∴==．∴该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下．故选：B．点评：本题考查动点问题的函数图象，有一定难度，解题关键是注意点Q在BC上这种情况．4.（2014•菏泽第8题3分）如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，C、D两点不重合，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（）数学试卷及试题A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．专题：数形结合．分析：分类讨论：当0＜x≤1时，根据正方形的面积公式得到y=x2；当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，利用重叠的面积等于正方形的面积减去等腰直角三角形MNE的面积得到y=x2﹣2（x﹣1）2，配方得到y=﹣（x﹣2）2+2，然后根据二次函数的性质对各选项进行判断．解答：解：当0＜x≤1时，y=x2，当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，如图，CD=x，则AD=2﹣x，∵Rt△ABC中，AC=BC=2，∴△ADM为等腰直角三角形，∴DM=2﹣x，∴EM=x﹣（2﹣x）=2x﹣2，∴S△ENM=（2x﹣2）2=2（x﹣1）2，∴y=x2﹣2（x﹣1）2=﹣x2+4x﹣2=﹣（x﹣2）2+2，∴y=，故选A．二.填空题三.解答题1. （2014•广东，第25题9分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥AB于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t 秒（t＞0）．（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．考点：相似形综合题．分析：（1）如答图1所示，利用菱形的定义证明；（2）如答图2所示，首先求出△PEF的面积的表达式，然后利用二次函数的性质求解；（3）如答图3所示，分三种情形，需要分类讨论，分别求解．解答：（1）证明：当t=2时，DH=AH=2，则H为AD的中点，如答图1所示．又∵EF⊥AD，∴EF为AD的垂直平分线，∴AE=DE，AF=DF．∵AB=AC，AD⊥AB于点D，∴AD⊥BC，∠B=∠C．∴EF∥BC，∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∴AE=AF=DE=DF，即四边形AEDF为菱形．（2）解：如答图2所示，由（1）知EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴，即，解得：EF=10﹣t．S△PEF=EF•DH=（10﹣t）•2t=﹣t2+10t=﹣（t﹣2）2+10∴当t=2秒时，S△PEF存在最大值，最大值为10，此时BP=3t=6．（3）解：存在．理由如下：①若点E为直角顶点，如答图3①所示，此时PE∥AD，PE=DH=2t，BP=3t．∵PE∥AD，∴，即，此比例式不成立，故此种情形不存在；②若点F为直角顶点，如答图3②所示，此时PE∥AD，PF=DH=2t，BP=3t，CP=10﹣3t．∵PF∥AD，∴，即，解得t=；③若点P为直角顶点，如答图3③所示．过点E作EM⊥BC于点M，过点F作FN⊥BC于点N，则EM=FN=DH=2t，EM∥FN∥A D．∵EM∥AD，∴，即，解得BM=t，∴PM=BP﹣BM=3t﹣t=t．在Rt△EMP中，由勾股定理得：PE2=EM2+PM2=（2t）2+（t）2=t2．∵FN∥AD，∴，即，解得CN=t，∴PN=BC﹣BP﹣CN=10﹣3t﹣t=10﹣t．在Rt△FNP中，由勾股定理得：PF2=FN2+PN2=（2t）2+（10﹣t）2=t2﹣85t+100．在Rt△PEF中，由勾股定理得：EF2=PE2+PF2，即：（10﹣t）2=（t2）+（t2﹣85t+100）化简得：t2﹣35t=0，解得：t=或t=0（舍去）∴t=．综上所述，当t=秒或t=秒时，△PEF为直角三角形．点评：本题是运动型综合题，涉及动点与动线两种运动类型．第（1）问考查了菱形的定义；第（2）问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值；第（3）问考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知识点，重点考查了分类讨论的数学思想．2.（2014•武汉2014•武汉，第24题10分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值；（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．考点：相似形综合题分析：（1）分两种情况讨论：①当△BPQ∽△BAC时，=，当△BPQ∽△BCA 时，=，再根据BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，代入计算即可；（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB=5t，PM=3t，MC=8﹣4t，根据△ACQ∽△CMP，得出=，代入计算即可；（3）作PE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，先得出DF=，再把QC=4t，PE=8﹣BM=8﹣4t代入求出DF，过BC的中点R作直线平行于AC，得出RC=DF，D在过R的中位线上，从而证出PQ的中点在△ABC的一条中位线上．解答：解：（1）①当△BPQ∽△BAC时，∵=，BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，∴=，∴t=1；②当△BPQ∽△BCA时，∵=，x§k§b 1∴=，∴t=，∴t=1或时，△BPQ与△ABC相似；（2）如图所示，过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB=5t，PM=3t，MC=8﹣4t，∵∠NAC+∠NCA=90°，∠PCM+∠NCA=90°，∴∠NAC=∠PCM且∠ACQ=∠PMC=90°，∴△ACQ∽△CMP，∴=，∴=，解得：t=；（3）如图，仍有PM⊥BC于点M，PQ的中点设为D点，再作PE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，∵∠ACB=90°，∴DF为梯形PECQ的中位线，∴DF=，xk|b|1∵QC=4t，PE=8﹣BM=8﹣4t，∴DF==4，∵BC=8，过BC的中点R作直线平行于AC，∴RC=DF=4成立，∴D在过R的中位线上，∴PQ的中点在△ABC的一条中位线上．点评：此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、中位线的性质等，关键是画出图形作出辅助线构造相似三角形，注意分两种情况讨论．. 3．（2014·浙江金华，第23题10分）等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连结AF，BE相交于点P.（1）若AE=CF.①求证：AF=BE，并求∠APB的度数.②若AE=2，试求AP AF⋅的值.（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长.【答案】（1）①证明见解析，120°；②12；（2）433π.【解析】（注：没学习四点同圆和切割线定理的可由△APE∽△ACF得比例式求解）（2）如图，作△ABP外接圆满⊙O，在⊙O的优弧上取一点G，连接AG，BG，AO，BO，过点O作OH⊥AB于点H。
2014数学中考数学试题精选之一四边形中的动点问题
有关四边形的一类动点数学中考试题1.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，CB⊥AB，AB=20cm，BC=4cm，CD=15cm．点P、Q 分别以A、C同时出发，以v P=4cm/s，v Q=1cm/s在AB、CD边上移动，设运动时间为t（s），求：（1）t为何值时，四边形APQD是平行四边形？（2）t为何值时，四边形APQD是直角梯形？（3）t为何值时，四边形APQD是等腰梯形？2.如图，ABCD是直角梯形，AB=18cm，CD=15cm，AD=6cm，点P从B点开始，沿BA边向点A以1cm/s的速度移动，点Q从D点开始，沿DC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从B、D同时出发，P、Q有一点到达终点时运动停止，设移动时间为t．（1）t为何值时四边形PQCB是平行四边形？（2）t为何值时四边形PQCB是矩形？（3）t为何值时四边形PQCB是等腰梯形？3.如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P 从A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3cm/s 的速度运动，P、Q别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，四边形ABQP为矩形？（2）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？（3）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？4.如图所示，梯形ABCD，AD∥BC，AB在y轴上，B在原点，BC在x轴上．（1）若A（0，8），AD长20cm，BC长26cm，求梯形的一腰CD的长度；（2）若动点P从点A开始沿AD边向点D以1 cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB 边向点B以3 cm/s的速度运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（单位：s）．①当t为何值时，四边形PQCD为直角梯形；②当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形；③当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形；（3）用t表示四边形PQCD的面积S，并求出S的最大值．。