14.2.1 轴对称变换(1)--
14.轴对称变换
14．2 轴对称变换1、轴对称变换定义：由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换。
2、轴对称变换的性质：（1）由一个平面图形可以得到它关于一条直线a对称的图形，这个图形与原图形的形状大小完全一样。
(2)新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线a的对称点。
（3）连接任意一对对应点线段被对称轴垂直平分。
3、作法：（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形。
（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要做出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。
（3）轴对称变换的基础和关键是“作一点关于某直线对称的对称点”。
4、注意（1）成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一个图形经过轴对称变换后得到。
（2）一个轴对称图形也可以看作由它的一部分为基础，经轴对称变换扩展而成的。
5、利用轴对称变换求解最值问题：6、关于坐标轴对称的点的坐标的特点：（1）关于x轴对称的点的坐标横坐标不变，纵坐标互为相反数。
（2）关于y轴对称的点的坐标横纵坐标不变，横坐标互为相反数。
简记为：“以谁为轴谁的坐标不变，另一坐标互为相反数。
”7、关于直线x=a对称的图形，对应点的坐标纵坐标不变，横坐标和的一半等于a.关于直线y=a对称的图形，对应点的坐标横坐标不变，纵坐标和的一半等于a.练习：1、由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做（）。
2、点（-2，3）在第（）象限，电（2，-3）在第（）象限，点（-2，-3）在第（）象限，点（2，3）在第（）象限，点（0，-2）在（），点（-2，0）在（），点（0，0）在（）。
3、点（-2，1）关于x轴对称点的坐标是（），关于y轴的对称点的坐标是（），点（0，-1）关于x轴对称点的坐标是（），关于y轴的对称点的坐标是（）.4、（）与（-2，-1）关于x轴对称，（）与（-2，-3）关于y轴对称。
轴对称变换要点全析
教师寄语春来春去，燕离燕归，枝条吐出点点新绿，红花朵朵含苞欲放，杨柳依依书写无悔年华，白云点点唱响人生奋斗的凯歌，微冷的春风淡去了烟尘与伤痛，沉淀在内心的却是缤纷的梦想以及那收获前的耕耘与奋斗。
轴对称变换·要点全析1．变换在《现代汉语词典》中，变换的意思是：事物的一种形式或内容换成另一种，如变换位置、变换手法．在前面学习全等三角形时，学习和介绍了全等变换．所谓全等变换，即把一个图形经过平移、翻折、旋转后，得到另一个图形的过程．在这个过程中，原来图形的形状、大小都没有改变，只是位置、方向发生了改变．如图 14-2-1 中，（1）图是△ ABC平移后得到△ DEF，（ 2）图是△ ABC翻折后得到△ DBC，（3）图是△ ABC 旋转一个角（即∠ BAD）后，得到△ ADE，（4）图是△ABC先平移（ BE），后翻折，得到△ DEF，以上这几种图形变化的过程都是全等变换．变换前后，两图形全等．2 ．轴对称变换由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．例如：图 14-2-2 中，△ DEF与△ ABC成轴对称，同样得到△ ABC的一系列对称图形△GHK、△ PQR、△ LMN等，并且△ ABC≌△ DEF≌△ GHK≌△ PRQ≌△LMN．以上这些图形的变化过程就是轴对称变换．3．轴对称变换的性质（1）变换前后的两个图形的形状、大小完全一样．（2）新图形的每一个点，都是原图形上每一个点关于某直线的对称点．（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．【说明】如图 14-2-2 中，以△ ABC与△ DEF关于直线 l 对称为例说明如下：①△ ABC与△ DEF全等，只是图形的位置与方向发生变化，而形状、大小没变．②点 A、B、 C 分别与点 D、E、F 关于直线 l 对称．③线段 AD、 CF被直线 l 垂直平分．（4）①当对称轴平行时，变换一次，方向改变；变换两次，与原图形方向相同．依此类推，当变换奇数次时，方向改变，当变换偶数次时，方向不变．如图 14-2-3 ．②当对称不平行时，方向改变的幅度随对称轴的倾斜程度而变化．如图14-2-4 ．4．轴对称变换的应用利用轴对称变换可以设计出精美的图案，在许多美术作品和工艺制品中，经常看到轴对称变换的例子．如图 14-2-5 中的设计图：再如图 14-2-6 中的剪纸图：5．如何作一个图形关于某直线的对称图形由轴对称图形的性质可知，对称点的连线被对称轴垂直平分．因此，先把一个几何图形看成由一些点组成，只要作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可得到原图形关于对称轴的对称图形．对于一些由特殊直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可得到原图形关于对称轴的对称图形．例如：如图 14-2-7 中，已知△ ABC和直线 l ．作出△ ABC关于直线 l 的对称图形．分析：在（ 1）图中，△ ABC的三个顶点已确定，只要作出三个顶点关于直线 l 的对称点，连接这三个对称点，就得△ ABC关于直线 l 对称图形．作法：（ 1）图中，（1）过点 A 作直线 l 的垂线，垂足为 G，在垂直线上截取 GA′＝ GA．则点A′，就是点 A 关于直线 l 的对称点（因 AA′被直线 l 垂直平分）．（2）同样道理和方法，分别作出点B、 C 关于直线 l 的对称点 B′、 C′．（3）连接 A′B′、 B′C′、 C′ A′，得到△ A′ B′ C′即为所求．在（ 2）图中，作法同（ 1）图的作法，图形如（ 2）图所示．再如一些几何图形的对称图形的画法，如图 14-2-8 所示．6．应用轴对称，寻找最佳方案问题例如：如图 14-2-9 ，在金水河的同一侧有两个村庄A、 B．要从河边同一点修两条水渠到 A、B 两村浇灌蔬菜，问抽水站应修在金水河MN何处使两条水渠最短？分析：先将具体问题抽象成数学模型．河流为直线MN，在直线 MN的同一侧有 A、B 两点．在直线 MN上找一点 P，使 P 点到 A、B 两点的距离之和为最小．这里就要充分运用轴对称图形的性质加以解决．解：如图 14-2-9 所示，作 B 点关于直线 MN的对称点 B′，连接 AB′与 MN 相交于点 P，则 P 点即为所求．事实上，如果不是 P 点而是 P′点时，则连接 AP′、P′B和 P′B′．由轴对称性可知， P′B＝P′B′， PB＝PB′，所以 P′到 A、B 的距离之和AP′＋P′B＝AP′＋ P′B′．而 P 到 A、B 的距离之和 AP＋ PB＝AP＋PB′＝ AB′，在△ AB′P′中，三角形两边之和大于第三边，即 AP′＋ P′B′＞AB′．所以 P 点即为所求的点．【说明】（1）此题为典型的最佳方案选择问题，问题的核心是如何节省材料，反映在数学上就是寻找最小值问题．（2）与此类型相似，前几节学过的利用角平分线、线段垂直平分线的性质解决等距问题，也是按此方法处理的．（3）解决这类问题时，先把具体问题抽象成数学模型，再用数学中学过的有关法则、定理等去解决．（4）在本例中，充分利用了轴对称的性质．7．轴对称的坐标表示方法点（ x， y）关于 x 轴对称点的坐标为（ x，－ y）；点（ x， y）关于 y 轴对称点的坐标为（－ x，y）．如图 14-2-10 中，点 P（2，3）关于 x 轴的对称点为P2（2，－ 3），关于 y轴的对称点为 P 1 ，（－ 2， 3）；点 P 2 关于 y 轴的对称点为 P 3（－ 2，－ 3）；而点 P 3 （－ 2，－ 3）与点 P 1（－ 2， 3）关于 x 轴对称．因此，我们得到规律：关于 x 轴对称的两个点的坐标， 横坐标不变， 纵坐标变成它的相反数； 关于y 轴对称的两个点，纵坐标不变，横坐标变成它的相反数．反过来，也成立．例如：判断下列各点的位置关系： C （－ ，－ ） D （－，）A （，－）B （，）2 5 2 5 2 5 2 5解：由坐标特点知， A 与 B 关于 x 轴对称， A 与 C 关于 y 轴对称， B 与 D 关于 y 轴对称．8 ．点 P （ x ， y ）关于直线 x ＝a 的对称点坐标如图 14-2-11中，点 P （ ， ）关于直线 x ＝ 2 的对称点为 P 1（ ， ）；关于1 43 4 直线 x ＝－ 1的对称点为 P 2（－ ， ）．3 4，而 P 1 、P 2 的横坐标发 由此可以看出，点 P 、P 1、P 2 的纵坐标都没变，都是 4生了变化，变化的规律是： P 1 点的横坐标比 A 点横坐标 2 多了一个 AP 1（即 AP ） 的长，而 AP 的长为 － ＝ ，∴ P 1 横坐标为 ＋（ － ）＝ ．2 1 1 2 2 1 3同样道理， P 2 点的横坐标是比 B 点横坐标－ 1 多了一个 BP 2（即 BP ）的长，而 BP 的长为｜－ － ｜＝ ，∴ P 2 横坐标为－ ＋（－ － ）＝－ ．1 12 1 1 1 3因此，得出规律：点 P （x ，y ）关于直线 x ＝ m 的对称点 P 1 的横坐标为 m ＋（ m － x ）＝ m － x ，纵坐标不变，即点 P 1、坐标为（m －x ，y ）．2 2P x ， y ）关于直线 y ＝ m 的对称点 P 2 的纵坐标为 m m y ）＝同样，点 （＋（ －m －y ，横坐标不变，即点 P 2 坐标为（x ， m － y ）．2 2 的对称点坐标为 P 1（ × － ，由此可以直接写出点 P （ ， ）关于直线 x ＝5 3 2 P 2（，） 2 5 3 2），即 P 1 （ ， ），关于 y ＝ 3的对称点 P 2 的坐标为7 2 3 4 例如：写出下列点关于直线 x ＝4 和直线 y ＝5 的对称点的坐标． A （2，3） B （4，5）C （－ 3， 1）D （－ 2，－ 1） 解：由上面的式子可知， 点关于直线 x ＝ 4 的对称点和关于直线 y ＝ 5 的对称 点坐标列表如下：A （2，3）B （4，5）C （－ 3，1）D （－ 2，－ 1） 关于直线 x ＝ 4 A 1（，）B 1（ ，５）C 1（，１）D 1（ ，－ ）的对称点6 341110 1关于直线 y ＝ 5A 2（ ，７）B 2（ ，５）C 2（－ ， ）D 2（－ ， ）的对称点243 9 2 11同样，关于 x 轴（y ＝0）对称的点的坐标中 x 坐标不变， y 坐标为其相反数；关于 y 轴（ x＝0）对称的点的坐标中， y 坐标不变， x 坐标为其相反数．9．轴对称在生产实际中的应用应用点的对称性质能解决生产实践中遇到的寻求最佳点的问题，看下面两个例子．例 1 ：如图 14-2-12 ，EFGH是一个长方形的台球桌面，有黑、白两球分别位于 A、B 位置上．试问：怎样撞击黑球 A，使黑球先撞击台边 EF，反弹后再击中白球 B？试画出黑球 A 的运动路线．画法：（ 1）作点 A 关于 EF 的对称点 A′．（2）连接 A′B 交 EF于点 M．点 M就是黑球 A 撞击边框 EF的位置，黑球 A 的运动路线为 AMB．根据物理知识，黑球 A 的入射角∠ AMC只有与黑球 A 撞击边框 EF反弹后的反射角∠ BMC相等，黑球 A 才能击中白球 B．证明：过点 M作垂线 CD．∵EF是线段 A′A 的中垂线，∴MA＝MA′，∴ ∠AMF＝∠ A′ MF．又∵∠FMC＝∠ FMD＝90°（已知），∴∠AMC＋∠ AMF＝ 90°，∠ A′MD＋∠ A′MF＝90°．∴∠AMC＝∠ A′MD（等角的余角相等）．又∵∠A′MD＝∠ BMC（对顶角相等）．∴∠AMC＝∠ BMC（等量代换）．例 2 ：如图 14-2-13 ，甲、乙、丙三人做接力游戏．开始时，甲站在∠ AOB 内的 P 点，乙站在 OA上，丙站在 OB上．游戏规则：甲将接力棒传给乙，乙将接力棒传给丙，最后丙跑到终点 P 处．如果甲、乙、丙三个人速度相同，试找出乙、丙站在何处，他们比赛所用的时间最短．画法：（ 1）作点 P 关于 OA的对称点 P1．（2）作点 P 关于 OB的对称点 P2．（3）连接 P1P2交 OA于点 M，交 OB于点 N．则点 M是乙所站的位置，点N 是丙所站的位置．证明：若在 OA上取一点 M′，连接 M′P1，M′P．∵P 和 P1关于 OA对称，∴M′ P1＝ M′ P，同理在 OB上取一点 N′，则 N′P＝N′P2．若乙站在 M′位置，丙站在 N′位置，接力棒传递路线为： PM′＋ M′N′＋ N′P．∵P1M′＝ PM′， N′ P2＝N′P，∴PM′＋ M′N′＋ N′ P＝ P1′＋ M′N′＋ N′P2．∵两点间直线段最短，∴P1M′＋ M′N′＋ N′P2＞P1P2＝P1M＋MN＋NP2＝PM＋MN＋NP．因此，乙站在 M点，丙站在 N 点，甲、乙、丙三人传递接力棒的距离最短．。
轴对称变换(含答案)-
§14．2 轴对称变换1.轴对称变换知识要点1．由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．•成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到．2．轴对称变换的性质：（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样（2）•经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点．（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．3．作一个图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：（1）作出一些关键点或特殊点的对称点．（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形．典型例题例：在锐角∠AOB内有一定点P，试在OA、OB上确定两点C、D，使△PCD的周长最短．分析：△PCD的周长等于PC+CD+PD，要使△PCD的周长最短，•根据两点之间线段最短，只需使得PC+CD+PD的大小等于某两点之间的距离，于是考虑作点P关于直线OA•和OB的对称点E、F，则△PCD的周长等于线段EF的长．作法：如图．①作点P关于直线OA Array的对称点E；②作点P关于直线OB的对称点F；③连接EF分别交OA、OB于点C、D．则C、D就是所要求作的点．证明：连接PC、PD，则PC=EC，PD=FD．在OA上任取异于点C的一点H，连接HE、HP、HD，则HE=HP．∵△PHD的周长=HP+HD+PD=HE+HD+DF>ED+DF=EF而△PCD的周长=PC+CD+PD=EC+CD+DF=EF∴△PCD的周长最短．练习题一、选择题1．下列说法正确的是（ ）A ．任何一个图形都有对称轴;B ．两个全等三角形一定关于某直线对称;C ．若△ABC 与△A ′B ′C ′成轴对称，则△ABC ≌△A ′B ′C ′;D ．点A ，点B 在直线1两旁，且AB 与直线1交于点O ，若AO=BO ，则点A 与点B•关于直线l 对称.2．已知两条互不平行的线段AB 和A ′B ′关于直线1对称，AB 和A ′B ′所在的直线交于点P ，下面四个结论：①AB=A ′B ′；②点P 在直线1上；③若A 、A ′是对应点，•则直线1垂直平分线段AA ′；④若B 、B ′是对应点，则PB=PB ′，其中正确的是（ ） A ．①③④ B ．③④ C ．①② D ．①②③④ 二、填空题3．由一个平面图形可以得到它关于某条直线对称的图形，•这个图形与原图形的_________、___________完全一样． 4．数的运算中会有一些有趣的对称形式，仿照等式①的形式填空，并检验等式是否成立．①12×231=132×21;②12×462=___________; ③18×891=__________; ④24×231=___________.5．如图，点P 在∠AOB 的内部，点M 、N 分别是点P 关于直线OA 、OB•的对称点，线段MN 交OA 、OB 于点E 、F ，若△PEF 的周长是20cm ，则线段MN 的长是___________． 三、解答题6．如图，C 、D 、E 、F 是一个长方形台球桌的4个顶点，A 、B•是桌面上的两个球，怎样击打A 球，才能使A 球撞击桌面边缘CF 后反弹能够撞击B 球？请画出A•球经过的路线，并写出作法．7．如图，A 、B 是两个蓄水池，都在河流a 的同侧，为了方便灌溉作物，•要在河边建一个抽水站，将河水送到A 、B 两地，问该站建在河边什么地方，•可使所修的渠道最短，试在图中确定该点（保留作图痕迹）8．如图，仿照例子利用“两个圆、•两个三角形和两条平行线段”设计一个轴对称图案，并说明你所要表达的含义．例:一辆小车四、探究题9．如图，已知牧马营地在P处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再带到草地吃草，然后回到营地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线．草地河流营地P答案:1．C 2．D 3．形状；大小4．264×21；198×81；132×42 5．20cm6．作点A关于直线CF对称的点G，连接BG交CF于点P，则点P即为A•球撞击桌面边缘CF的位置7．作点A关于直线a对称的点C，连接BC交a于点P，则点P就是抽水站的位置8．略9．分别作P点关于河边和草地边对称的点C、D，连接CD分别交河边和草地于A、B两点，则沿PA→AB→BP的线路，所走路程最短．2.用坐标表示轴对称知识要点1．点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）；点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y）；点P（x，y）关于原点对称的点的坐标是（-x，-y）．2．点P（x，y）关于直线x=m对称的点的坐标是（2m-x，y）；点P（x，y）关于直线y=n对称的点的坐标是（x，2n-y）；典型例题例：如图，请写出△ABC中各顶点的坐标．在同一坐标系中画出直线m：x=•-1，并作出△ABC关于直线m对称的△A′B′C′．若P（a，b）是△ABC中AC边上一点，•请表示其在△A′B′C′中对应点的坐标．分析：直线m：x=-1表示直线m上任意一点的横坐标都等于-1，因此过点（-1，0）•作y轴的平行线即直线m．画出直线m后，再作点A、C关于直线m的对称点A′、C′，•而点B在直线m上，则其关于直线m对称的点B′就是点B本身．解：（1）△ABC中各顶点的坐标分别是A（1，4）、B（-1，1）、C（2，-1）（2）如右图，过点（-1，0）作y轴的平行线m，即直线x=-1．（3）如右图，分别作点A、B、C关于直线m对称的点A′（-3，4）、B′（-1，1）、C′（-4，-1），并对顺次连接A′、B′、C′三点，则△A′B′C′即为所求．（4）观察发现三组对称点的纵坐标没有变化．而横坐标都可以表示为2×（-1）•减去对应点的横坐标．所以点P的对应点的坐标为（-2-a，b）。
八年级上册数学《轴对称》轴对称图形的变换 知识点整理
13.2轴对称图形的变换一、本节学习指导本节比较好学，同学们要多动动手和观察，本节配套免费学习视频。
二、知识要点1、轴对称变换：由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．•注：成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到．2、轴对称变换的性质（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样（2）经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点．（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．3、作一个图形关于某条直线的轴对称图形【重点】（1）作出一些关键点或特殊点的对称点．（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形．例：画出△ABC的轴对称变换后的得到的图形。
分析：我们找到能决定形状的点，①找到点A、B、C，②接着过点A、B、C分别作对称轴的垂线，并使得垂足到两个两个点的的距离相等，如：B、B＇到对称轴的距离相等③连接经过轴对称变换后的几个点A＇B＇C＇，得到△A＇B＇C＇，完毕。
4、找一点使距离之和最短【重点】条件：如下左图，Ａ、Ｂ是直线Ｌ同旁的两个定点．问题：在直线Ｌ上确定一点Ｐ，使PA＋PB的值最小．方法：作点A关于直线L的对称点A＇，连结A＇B交L于点P，则PA+PB=A＇B的值最小。
注：这个知识点非常有技巧，以后遇到的很多题型如果会运用这个方法就省很多事。
用坐标表示轴对称5、关于坐标轴对称【重点】点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y）点P（x，y）关于原点对称的点的坐标是（-x，-y）点P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y=x对称的点的坐标是（y，x）图1 图2三、经验之谈：上面的总结已经淋漓尽致了，基本上每个知识点都说的很清楚，剩下的就看同学们愿不愿意思考和动手了。
上图2中，同学们想一想P(x,y)关于y=-x轴对称点P2的坐标是什么。
轴对称变换1
A
B
C
小结 1.轴对称变换的定义 2.轴对称变换的性质 3.垂线的作法 4.对称点的作法 5.轴对称图形的作法
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是……为什么感觉现在的气氛那么奇怪呢……沉闷的气氛持续了好一会儿，百蝶才幽幽的开口。“凌娢，你是不是故意的 啊……”她危险的眯起了眼睛，“我可是在帮你套科举考试的信息啊，现在可好，我刚刚的努力都白费了！”“啊？不是，百 蝶姐姐我……”慕容凌娢的大脑仿佛进行了一次弯道超越，差点因为没刹住车而飞出悬崖，“你跟那个人好像很久之前就认识 吧？他是谁啊？”“他啊……晴国的六皇子，韩皓泽。”“那我现在狗带还来得及吗？”(古风一言)那时，谁渡江湖雨漂泊。 而今，征战沙场千里外。(注：筱玦的这部小说属于架空穿越，但大多数情况下都是仿照明朝的制度来写的。也包括科举制度。 会试：通过乡试以后，第二年春天在京城礼部，由礼部侍郎主持的考试，或由皇帝特派正、副总裁主考官主持。辰、戌、丑、 未年会试，为正科；也有恩科，叫会试因科。因为在春天考试，所以又称「春试」、「春闱」。考中的当「贡士」，第一名叫 「会元」。)第019章 惹了不该惹的人不是吧！不是吧！不会是吧……慕容凌娢此时的心情已经不能单单用激动来形容了。我 到底看见了什么！古代就这么开放了，居然能公开秀恩爱，是为了让我来当电灯泡的吗？话说这位大哥还真是撩得一手妹，这 么理所当然的就搂上了……让我一个什么都不懂得中学生情何以堪？这是要虐死单身狗的节奏啊！“百蝶当然不是这个意思 了……只不过让公子等了这么久还是有些过意不去呢。”百蝶也并没有反抗，温婉的依在那人的怀里，娇滴滴的解释着。旁边 被百蝶遗忘的慕容凌娢可谓是坐立不安，不知该怎么做，只好呆呆地看着他们沉浸在自己的“二人世界”之中。“韩公子，昨 天礼部张大人来过，百蝶听他说明年的会试定会由他主持……”百蝶突然转移了话题。“啪”的一声，那位公子猛然将手中杯 子放在桌上，茶水溅到了桌子。把正在发愣的慕容凌娢吓了一跳。喝茶就喝茶，怎么突然就生气了，我想喝还不行呢……说好 了回来就吃东西，可我都等了这么多章了，还只是坐在这里当背景……再不吃东西我就真的要挂了！“笑话！会试的主考官向 来是由圣上定夺，他一个礼部侍郎竟敢如此揣测圣意，真是太放肆了。”他皱了皱眉，然后脸上出现了不屑的笑，“倒是百蝶， 你怎么开始在意这种事了呢？”“百蝶不是有意要惹公子生气的。”百蝶低着头小声说，颇有一副无辜的样子，“只是……只 是那天张大人喝多了酒，说得话有些猖狂……”“无妨，我又不会怪你。”他爱抚的将百蝶搂在怀里，安慰她道，“这种人的 言论你不要太在意就是了。”猖狂也是要有本钱的，谁让人家权高位重，你们在这说这些有什么用？再说下去，一条人命就要 被你们给间接杀害了。慕容凌娢不满的撇
12.2.1轴对称变换
⑴过点A作直线l的垂线,垂足
B
为点O,在垂线上截取OA＝OA′
C ,点A′就是点A关于直线L的
A
对称点.
⑵. 同理,作出点B 、 C关于直线l
A′
的对称点B′C′.
B′
C′ ⑶连结A′B′、B′C′、C′A′,得到的
△A′B′C′为所求三角形
你能画出下列图形的 另一半吗?并猜想整个 图形的含义.
利用轴对称变换,你能设计一些 图案吗?
某开发区新建了两片住宅区:A区、B区 （如图）.现在要从煤气主管道的一个地方建 立一个接口,同时向这两个小区供气.请问,这个 接口应建在哪,才能使得所用管道最短?
B 小区
A小区
煤气主管
）
道）
已知:直线l和l的同侧两点A、B.
求作:点P,使它在直线l上,并使AP+BP最小.
作法: B
A
1.作点A关于直线l的对称
14.2.1第一课时
对称是一种思想，通过它，人们毕生追求， 并创造次序、美丽和完善……
------赫尔曼·外尔
自己动手在一张纸上画一个图形,将这张纸 折叠,描图,再打开纸,看看你得到了什么?改变
折痕的位置,你又得到了什么?
由一个平面图形得到它的轴对称 图形叫做轴对称变换.
思考: 如何作出已知图形关 于某条直线的对称图 形?
点 A′;
l
P P'
2.连结A′B,交l于点 P.
A'
∴ 点P就是所求的点.
已知:直线l和l的同侧两点A、B. 求作:点P,使它在直线l上,并使AP+BP最小.
B A
l P P'
A'
作法: 1.作点A关于直线l的对称 点 A’; 2.连结A’B,交l于点 P.
【精选】轴对称变换-(1)
A. l .A0
B0
B
如图：画A的对称点A0，画B的对称点B0，
线段A0B0 即为所求。
A. l A. 1
B
B1
C
C1
如图：画A的对称点A1，画B的对称点B1，
画C的对称点C1，△A1B1C1 即为所求。
.
.
A1
A2
对称轴
.. .. .. ..
对称轴
盛树宝地形可分为三带：北部临黄带，中部山前平原带，南部丘陵山区带。境内主要山峰有长城岭、跑马岭、梯子山、黑牛寨等等。山地丘陵
14.2.1 轴对称变换
临海中学初二备课组
情景创设
有时我们感觉两个平面图形是轴对称的， 如何验证呢？不折叠图形，你能比较准 确地作出轴对称图形的对称轴吗？
如果两个图形成轴对称，其对称轴是任何 一对对应点连线段的垂直平分线，因此， 我们只要找到一对对应点，做出连接它们 的线段的垂直平分线，Байду номын сангаас可以得到这两个 图形的对称轴。
3、 作直线CD。
D
CD就是所求的直线
思考：怎样得到图形的对称轴？
对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应 点所连线段的垂直平分线，就得到图形的对称轴
练一练，看看你能作下图的对称轴吗？能 作多少条？
①
②
③
⑤
④
①②
④ ③
①② ③ ④
① ②
① ② ③
√
l
A . o .A0
如图：画AA0l,而且OA=OA0
3000多平方千米，平原5000平方千米。最高海拔1108.4米，最低海拔5米，南北高差1100多米。
； / 盛树宝
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轴对称变换f
2、 如何画线段AB 关于直线 的 l 对称线段A′B′?
B
l
A A’
B’
找关键点作出其 对称点！
然后连结线段.
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已知对称轴 l 和一条线段AB，画出 线段AB 关于 l 的对称线段A´B´。
l
A A´ C B
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A
通过怎样轴对称变换，将图中的甲图案变成乙图案？
乙
甲
B
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A
路径的合理选择
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到达目的地可能有很多条路， 能找出一条合理的路径，并解释 为什么合理是人的智慧的展现。
老师寄语
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如图，一只蚂蚁，在正方体箱子的一个 顶点A，它发现另一个顶点B处有它感兴趣 的食物，这只蚂蚁想尽快得到食物，哪条 路径最短？试在图中将路线画出来。
.
B
在点B 发现食物
一只蚂蚁 在点A处
A
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.
如图，一只蚂蚁，在正方体箱子的一 个顶点A，它发现相距它很远的另一个顶 点B处有它感兴趣的食物，这只蚂蚁想尽 快得到食物，哪条路径最短？试在图中 将路线画出来。 B1
3、请画出△ ABC关于直线
B′ (A′) A D C′ E C B
l 的对称△ A’B’C’.
l
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通过怎样轴对称变换，将图中的甲图案变 成乙图案？
乙 甲
B
A
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通过怎样轴对称变换，将图中的甲图案变成乙图案？
乙
甲
B
A
B
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（2）他每天从住处A出发到河边取水去 大庙B，该怎么走路程最短呢？ 不考虑路程远近，该怎么走负重最少呢？
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A
P1
P2
N
B
答：如图 ，当汽车行驶到P1时，距村庄M最近，
当汽车行驶到P2时，距村庄N最近。
根据：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中， 垂线段最短。
例2 已知如图：一辆汽车在直线公路AB上由A向B 行驶，M、N分别表示位于公路AB两侧的村庄， （2）当汽车行驶到什么位置时，与村庄M、N的距 M 离相等？
答：如图 ，当汽车行驶到P4时，到村庄M、N的距离之 和最短。 根据：两点之间线段最短。 又问：若村庄M，N在公路AB 的同侧，则又如何解决此题？ M
N A P5 N1 B
N
答：若村庄M，N在公路AB的同侧时，当汽车行驶到P5时， 到村庄M、N的距离之和最短。
小结: 1、由一个平面图形可以得到它关于一条直线l 对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小 完全一样。 2、经轴对称变换后的图形与原图形上的对应 点连线被对称轴垂直平分。
2、延长AB至A´，使得B A´=AB
3、点A´就是点A关于线L的对应点 A´
B A A
已知对称轴L和一条线段AB， L 画出线段AB关于L的对应线段A´B´。
A´
1、同上作出A、B关于L的对应 点A´、B´
2、连接A´B´，线段A´B´就是关于直线L 的对应线段
B´
B
如图△ABC和直线ＭＮ，试画出△ABC 关于直线ＭＮ的对称图形。
将一张纸对折，按下面的图案剪下，剪好后展 开，会得到什么图形？
A
B
下图是在方格纸上画出的一棵树的一半，以树干为 对称轴画出树的另一半。
像上面那样，由一个平面图形得到它的轴对 称图形，叫做轴对称变换。
轴对称图形和轴对称变换的区别：
轴对称图形指的是一个图形，这个图形关于一条 直线成轴对称；如等腰三角形，正方形等
3、画一个图形经轴对称变换后的图形， 关键是找到图形上的一些关键点，作出这 些点的对称点。
（2）若小球在L1，L2间运动， A1
B A C A2
A1与A2 间的距离改变吗？
（2）答：不论A 在L1，L2间的哪个位置， A1与A2 间的距离都不会改变吗。
例2 已知如图：一辆汽车在直线公路AB上由A向B 行驶，M、N分别表示位于公路AB两侧的村庄， （1）当汽车行驶到什么位置时距村庄M最近？行 驶到什么位置时距村庄N最近？
如此漂亮的剪纸是如何剪出来的呢？相信 我们学习这节课后也能剪出漂亮的东西？
2
3
1 4
实际上：只要将一张纸两次折 叠，剪出第1部分的图案，再展 开就得到了这美丽的图案。
因此得到： ▲由一个平面图形可以得到它关于一条直线l 对称的图形, 这个图形与原图形的形状、大小完全一样。 ▲新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线l 的对称点。 ▲连接任意一对对称点的线段被对称轴垂直平分。
轴对称变换指的是一个图形改变为另一个图形， 原图形和它的变换后的图形关于一条直线成轴 对称，叙述一个轴对称变换，必须指出原图形 和对称轴
你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗?
画法
0 1 2 3 4 5
0
1
2
3
4
5
已知对称轴L和一个点A，你能画出点A关于L的对应点 L A´吗？你采用的是什么方法 ，为什么？ 1、过点A作对称轴L的垂线，垂足为B
M
A B C
N
已知对称轴L和四边形ABCD 经轴对称变换后所得的图形
D D' A' C C'
B
B' L
注：对称轴上的点的对应点是它本身
1 、分别以虚线为对称轴画出下列各图的另一半， 并说明完成后的图案可能代表什么含义。
A
2、画一个正方形，再任意 画一条直线，以这条直线为对称 轴，画出与正方形成轴对称的图 形。先猜一猜，再画一画。
A
P3
N
B
答：如图 ，当汽车行驶到P3时，与村庄M、N的距离相 等。
根据：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端 点的距离相等。
例2 已知如图：一辆汽车在直线公路AB上由A向B 行驶，M、N分别表示位于公路AB两侧的村庄， （3）当汽车行驶到什么位置时，到村庄M、N的距离 M 之和最短？
A P4 B
∴ A1 B=AB， A2 C=AC
∴A1A2=2BC=36厘米 答：A1与A2间的距离为36厘米。
例1 如图：设L1，L2是平行且镜面相对的 两面镜子，把一个小球A放在L1，L2之间， 小球在镜L1中的像为A1，A在镜L2中的像为 A2,当L1，L2间的距离为18厘米。 L1
L2
（1）试求A1与A2间的距离；
D
B
C
例1 如图：设L1，L2是平行且镜面 相对的两面镜子，把一个小球A放 在L1，L2之间，小球在镜L1中的像 为A1，A在镜L2中的像为A2,当L1， L1 L2间的距离为18厘米。
（1）试求A1与A2间的距离； A 1
B A
L2
C A2
解：如图，∵ A 与 A1关于L1对称， A 与 A2关于L2对称
民间剪纸艺术
2014-4-27
剪纸是一种民间传统工艺品。早在汉、唐时代，民间妇女即 有使用金银箔和彩帛剪成方胜、花鸟贴上鬓角为饰的风尚。后来 逐步发展，在节日中，用色纸剪成各种花草、动物或人物故事， 贴在窗户上（叫“窗花”）、门楣上（叫“门签”）作为装饰， 也有作为礼品装饰或刺绣花样之用的。剪纸的工具，一般只用一 把小剪刀，有的职业艺人则用一种特制的刻刀刻制，称为“刻 纸”。