排列组合应用题的解法
完整版)排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)
完整版)排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)教学目标：1.理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略，能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力。
3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题。
复巩固：1.分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。
2.分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法。
3.分类计数原理和分步计数原理区别：分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件。
解决排列组合综合性问题的一般过程如下：1.认真审题弄清要做什么事。
2.确定采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合问题（无序），元素总数是多少及取出多少个元素。
4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略。
一、特殊元素和特殊位置优先策略：例1：由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数。
解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置。
先排末位共有C3，然后排首位共有C4，最后排其它位置共有A4^3.由分步计数原理得C4×C3×A4^3=288.位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法，若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其它元素。
若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置。
解排列组合应用题的21种策略
解排列组合应用题的21种策略排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1.相邻问题绑定方法：标题规定将几个相邻元素绑定成一个组，作为一个大元素参与安排例1.a,b,c,d,e五人并排站成一排，如果a,b必须相邻且b在a的右边，那么不同的排法种数有a、 B类60种，C类48种，D类36种，D类24种2.不相邻问题插空法:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2七个人并排站成一排。
如果甲方和乙方不得相邻，则不同的安排类型为A、1440 B、3600 C、4820 D和48003.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3 a.B、C、D和e并排站成一排。
如果B必须站在a的右边（a和B不能相邻），有多少种不同的安排a、24种b、60种c、90种d、120种4.标签排序问题的分步方法：将元素排列到指定位置，首先按照规定排列一个元素，然后在第二步排列另一个元素。
如果你继续这样做，你可以依次完成例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有a、6种b、9种c、11种d、23种5.有序分配问题：有序分配问题是指将元素分成若干组，可以逐步分成若干组例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是a、 1260种B，2025种C，2520种D，5040种（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同样的分配方案也是如此44c12c84c4a、ccc种b、3ccc种c、cca种d、种3a34124844412484441248336.全员分配的分组方法：例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？2）五本不同的书将分发给四名学生，每个学生至少一本。
解排列组合应用题的26种策略
解排列组合应用题的26种策略排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握.解排列组合问题的基础是两个基本原理，分类用加法原理，分步用乘法原理，问题在于怎样合理地进行分类、分步，特别是在分类时如何做到既不重复，又不遗漏，正确分每一步，这是比较困难的。
要求我们周密思考，细心分析，理解并掌握解题的常用方法和技巧，掌握并能运用分类思想、转化思想、整体思想、正难则反等数学思想解决排列组合问题。
实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1、相邻排列——捆绑法：n个不同元素排列成一排，其中某k个元素排在相邻位置上，有多少种不同排法？先将这k个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其它元素一起排列，共有种排法．然后再将“捆绑”在一起的元素进行内部排列，共有种方法．由乘法原理得符合条件的排列，共种．例1.五人并排站成一排，如果必须相邻且在的右边，那么不同的排法种数有（）A、60种B、48种C、36种D、24种解析：把视为一人，且固定在的右边，则本题相当于4人的全排列，种，答案：.例2 有3名女生4名男生站成一排，女生必须相邻，男生必须相邻，共有多少种不同的站法？解：先把3名女生作为一个整体，看成一个元素，4名男生作为一个整体，看成一个元素，两个元素排列成一排共有种排法；女生内部的排法有种，男生内部的排法有种．故合题意的排法有种．2.相离排列——插空法：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.将n个不同元素排成一排，其中k个元素互不相邻，有多少种排法？先把个元素排成一排，然后把k个元素插入个空隙中，共有排法种．例3 五位科学家和五名中学生站成一排照像，中学生不相邻的站法有多少种？解：先把科学家作排列，共有种排法；然后把5名中学生插入6个空中，共有种排法，故符合条件的站法共有种站法．例4.七位同学并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为种，再用甲乙去插6个空位有种，不同的排法种数是种，选.3、定序问题---倍缩法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.此法也被叫消序法.将n个不同元素排列成一排，其中某k个元素的顺序保持一定，有多少种不同排法？n个不同元素排列成一排，共有种排法；k个不同元素排列成一排共有种不同排法．于是，k个不同元素顺序一定的排法只占排列总数的分之一．故符合条件的排列共种．例5.五人并排站成一排，如果必须站在的右边（可以不相邻）那么不同的排法种数是（）A、24种B、60种C、90种D、120种解析：在的右边与在的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即种，选.例6. A，B，C，D，E五个元素排成一列，要求A在B 的前面且D在E的前面，有多少种不同的排法？解：5个不同元素排列一列，共有种排法． A，B两个元素的排列数为；D，E两个元素的排列数为．因此，符合条件的排列法为种．4、标号排位问题---分步法：把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例7.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A、6种B、9种C、11种D、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选.5、留空排列——借元法例8、一排10个坐位，3人去坐，每两人之间都要留空位，共有种坐法。
(完整版)解排列组合应用题的解法技巧
解排列组合应用题的解法•技巧引言：1、本资料对排列、组合应用题归纳为8种解法、13种技巧2、解排列组合问题的“16字方针”：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合一般先选再排，即先组合再排列，先分再排。
弄清要完成什么样的事件是前提，解决这类问题通常有三种途径（1）以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素（2）以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置即采用“先特殊后一般”的解题原则（3）先不考虑附加条件，计算岀排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数前两种方式叫直接解法，后一种方式叫间接（剔除）解法注：数量不大时可以逐一排出结果。
3、解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得岀的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得岀的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列,无序组合.（一）排列组合应用题的解法排列组合应用题的解题方法既有一般的规律，又有很多特别的技巧，它要求我们要认真地审题，对题目中的信息进行科学地加工处理。
下面通过一些例题来说明几种常见的解法。
一.运用两个基本原理二.特殊元素（位置）优先三.捆绑法四.插入法五.排除法六.机会均等法七.转化法八.隔板法一.运用两个基本原理加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我们都要考虑在记数的时候进行分数或分步处理。
例1: n个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？解法1：用分类记数的原理，没有人通过，有C0种结果；1个人通过，有c n种结果，……；n个人通过，有C；种结果。
所以一共有C： C n C：2n种可能的结果。
解法2 :用分步记数的原理。
第一个人有通过与不通过两种可能，第二个人也是这样，……，第n个人也是这样。
所以一共有2n种可能的结果。
排列组合问题的几种巧解方法
排列组合问题的几种巧解方法排列组合应用问题是历年高考必考题目，因其内容比较抽象、题型繁多、灵活多变、解题方法独特，与学生原有解题经验甚不相同，而成为高中数学教学的一个难点。
但只要我们认真审题，明确题目属于排列还是组合问题，或是排组混合问题，抓住问题本质特征，把握基本思想，灵活应用基本原理，注意讲究一些基本策略和方法技巧，善于分类讨论，适当转化，就能开拓思路，化难为易，使问题迎刃而解。
求解排列组合问题除了掌握两个基本原理(加法原理和乘法原理)外，没有现成的方法可套，只能根据具体问题灵活采用各种技巧。
本文就此通过一些实例介绍一下解决此类问题的一些常见的技巧。
一、对等法。
在有些问题中，某种限制条件的肯定与否定是对等的，各占全体的二分之一，在求解中只要求出全体，就可以得到所求。
例如：期中安排考试科目9门，语文要在数学之前考，有多少种不同的安排顺序？分析：对于任何一个排列问题，就其中的两个元素来讲的话，他们的排列顺序只有两种情况，并且在整个排列中，他们出现的机会是均等的，因此要求其中的某一种情况，能够得到全体，那么问题就可以解决了。
并且也避免了问题的复杂性。
解：不加任何限制条件，整个排法有种，“语文安排在数学之前考”，与“数学安排在语文之前考”的排法是相等的，所以语文安排在数学之前考的排法共有种。
二、插入法。
对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题，可以用插入法，即先排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素后的空档之中即可。
例如：学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。
8个学生，4个老师，要求老师在学生中间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法?分析：此题涉及到的是不相邻问题，并且是对老师有特殊的要求，因此老师是特殊元素，在解决时就要特殊对待。
所涉及问题是排列问题。
解：先排学生共有种排法，然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插，选其中的4个空档，共有种选法。
根据乘法原理，共有的不同坐法为种。
怎样解排列组合应用题
怎样解排列组合应用题摘要排列组合问题是中学数学的重要内容之一,是学习概率的基础。
该部分内容,不论其思考方法和解题方法都有特殊性:概念性强,抽象性强,思维方法新颖,解题过程极易犯“重复”和“遗漏”的错误,并且结果数目较大,无法一一检验,因此给学习带来一定困难。
如何解决排列组合应用题呢，笔者谈一点自己的见解。
关键词排列组合元素一、首先审题只有认真审题，才能把握问题的实质，分清是排列问题还是组合问题，还是综合问题，分清是用分类计数原理还是分步计数原理。
二、解排列组合的应用题，通常具有以下途径（１）以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他的元素。
（２）以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；（３）先不考虑附加条件，计算出排列组合数，再减去不合要求的排列组合数。
三、解排列、组合应用题的常用方法有如下几种（一）相邻问题——捆绑法所谓“捆绑法”就是对某几个元素要求相邻问题时，可整体考虑将相邻元素作为一个“大”元素和其它元素进行排列，再进行内部排列。
例１: 6名同学排成一排，其中甲乙两人必须排在一起的不同排法有几种？析：甲乙两人要求排在一起，故将他们捆在一起，视为一人，与其余４人进行全排列，有种排法，甲乙两人之间有种排法，由乘法原理知，共有.种不同的排法。
例２：９人排成一排，甲乙之间必须间隔２人，有多少种排法？析：先将甲乙与间隔的２人共４人捆绑在一起，有种排法，再与其它５人共６人作全排列有种排法，由分步原理得，共有不同的排列方法。
（二）分离问题——插空法当题中要求某些元素必须不相邻时，此类问题可以先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的间隙及两端位置，即为插空法。
例3：要排一张有６个唱歌节目和４个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法？析：先将６个歌唱节目排好，其不同的排法有种，这６个歌唱节目的空隙及两端共７个位置排４个舞蹈节目有种排法，由乘法原理得不同的排法有。
排列组合的应用题解法
5 5 7 7 11 11 13 11 13 13 11 15 11 13 13 5 5 7 7 11
解：因为从六个数字中任选两个作为分子分母的分数中，其中 真分数出现的机会与出现假分数的机会是均等的，因此真分 P 数的个数为 个。 ②5名运动员参加100米决赛，如果每人到达终点的顺序不相同, 2P 5 答 : 1 5 问甲比乙先到达终点的可能有几种? 小结：在排列或组合中若某两个元素出现的机会是相同的，在 求解中我们只要求出它的全体，那么，所求种数为全体的 二分之 一，这种方法叫机会均等法。（概率法）
例1：7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种 在中间，也不种在两端的花盆中，问有多少不同的种法？
解一：分两步完成； 3 第一步选两葵花之外的花占据两端和中间的位置 有P 5 种排法 4 3 4 第二步排其余的位置： 有P 种排法 共有 P 4 5 P 4 种不同的排法 2 有P 解二：第一步由葵花去占位： 4 种排法 第二步由其余元素占位： 5 2 5 有P 种排法 共有 P 5 4 P 5 种不同的排法
5
例3：某工厂制造的一台机器要按装一排8个不同的按钮，其中 3个方按 钮一定要装在一起，而且红色方钮必在另两方钮 中间，有多少种装法？ 【图示】
解：先把三个方按钮排好，有 P22 种排法， 然后把三个方按 钮“捆绑”在一起看成一个按钮，与其余5个按钮相当于6个 按 P66 所以共有 P66 P22 1440 种装法。 钮排成一排，有 种排法，
小结：在中学数学中，解答数学问题常用的数学思想方法很 多如数形结合思想；分类讨论思想；化归的思想……等等。 而我们以上的：特殊元素（位置）分析法，插入法，捆绑 法，排除法，转化法，机会均等法，隔板法都是运用这些 思想在解排列组合应用题时所得到的各种解法，当然，这 些 解法要灵活运用，而且有时要联合运用才能把问题解决。
解答排列组合的常用方法
N A55 . A22
（七）分排问题用“直接法”
把n个元素排成若干排的问题，若没有其 他的特殊要求，可采取统一排成一排的方法 来处理.
[例6] 7人坐两排座位，第一排坐3人，第二排 坐4人，则有多少种排法？
N A73 A44.
N A77.
（八）试验
题中附加条件增多，直接解决困难时， 用试验逐步寻找规律有时也是行之有效的方 法. [例7]将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、 4的四个方格内，每个方格填1个，则每个方 格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种？
将各数字1、2、3、4分别填入编号为1、2、3、4的格子的方案分别记为： 2143、2341、2413；3142、3412、3421；4123、4312、4132.从而共9种.
各位数字值和为3的倍数.偶数就需要个位数字为
2、4、6.而被3整除就需要各位数字值和为3的倍数. 又 2+1+3+4+5=15，2+1+4+5+6=18.
满足题意的个数为N N1 N2 C21 A44 C31 A44 120.
以上介绍了排列组合应用题的几种常见求解 策略.这些策略不是彼此孤立的，而是相互依 存、相互为用的.有时解决某一问题时要综合 运用几种求解策略.
[例题1]用0、1、2、3、4、这五个数 字，组成没有重复数字的三位数，其中 偶数共有＿＿＿个.
分析：由于该三位数都是偶数，故末尾数字 必是偶数，又因为0不能排在首位，故0就是 其中的“特殊”元素，应先安排，按0排在 末尾和0不排在末尾分为两类：
①0排末尾时，有 A42个；②0不排在末尾时，有 A21 A31A31 个,由分类计数原理共有30个.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
排列组合应用题的解法
湖北省京山县第五高级中学高二（3） 李敏
排列组合应用题的解题方法既有一般的规律，又有很多特别的技巧，它要求我们要认真地审题，对题目中的信息进行科学地加工处理。
下面通过一些例题来说明几种常见的解法。
一、运用两个基本原理
加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我们都要考虑在记数的时候进行分类或分步处理。
例1：n个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？
分析1：用分类记数的原理：没有人通过，有种结果；1个人通过，有种结果，……；n个人通过，有种结果。
所以一共有种可能的结果。
分析2：用分步记数的原理：第一个人有通过与不通过两种可能，第二个人也是这样，……，第n个人也是这样。
所以一共有种可能的结果。
二、特殊元素（位置）用优先法
把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。
例2：6人站成一排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？
分析：解有限制条件的元素（位置）这类问题常采取特殊元素（位置）优先安排的方法。
因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在中间四个位置的任一位置上，有种站法；第二步再让其余的5人站在其他5个位置上，有种站法，故站法共有：=480（种）
三、相邻问题用捆绑法
对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑法”：即将这几个元素看作一个整体，视为一个元素，与其他元素进行排列，然后相邻元素内部再进行排列。
例3：5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？
分析：把3个女生视为一个元素，与5个男生进行排列，共有种，然后女生内部再进行排列，有种，所以排法共有：=4320（种）。
四、相离问题用插空法
元素相离（即不相邻）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。
例4：7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法？
分析：先将其余4人排成一排，有种，再往4人之间及两端的5个空位中让甲、乙、丙插入，有种，所以排法共有：=1440 （种）
五、定序（同元）问题用除法
对于在排列中，当某些元素次序一定（或元素相同）时，可用此法。
解题方法是：先将n个元素进行全排列有种，m个元素的全排列有种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，则有种排列方法。
例5：由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的六位数有多少个？
分析：不考虑限制条件，组成的六位数有种，其中个位与十位上的数字一定，所以所求的六位数有：=300（个）
六、分排问题用直排法
对于把几个元素分成若干排的排列问题，若没有其他特殊要求，可采取统一排成一排的方法求解。
例6：9个人坐成三排，第一排2人，第二排3人，第三排4人，则不同的坐法共有多少种？
分析：9个人可以在三排中随意就坐，无其他限制条件，所以三排可以看作一排来处理，不同的坐标共有种。
七、复杂问题用排除法（间接法）
对于某些比较复杂的或抽象的排列问题，可以采用转化思想，从问题的反面去考虑，先求出无限制条件的方法种数，然后去掉不符合条件的方法种数。
例7：四面体的顶点和各棱中点共有10个点，取其中4个不共面的点，则不同的取法共有（）
A. 150种
B. 147种
C. 144种
D. 141种
分析：从10个点中任取4个点有种取法，其中4点共面的情况有三类。
第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有4 种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4个点共面，有3种。
以上三类情况不合要求应减掉，所以不同的取法共有：- 4-6-3=141种。
八、排列、组合综合问题用先选后排的方法
处理排列、组合综合性问题一般是先选元素，后排列。
例8：将4名教师分派到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分派方案共有多少种？
分析：可分两步进行：第一步先将4名教师分为三组（1，1，2）
有：（种），第二步将这三组教师分派到3种中学任教有种方法。
由分步计数原理得不同的分派方案共有：=36 （种）。
九、名额分配问题用隔板法
例9：有10个三好学生名额，分配到6个班，每班至少1个名额，共有多少种不同的分配方案？
分析：6个班，可用5个隔板，将10个名额并排成一排，名额之间有9个空，将5个隔板插入9个空，每一种插法，对应一种分配方案，故方案有：种
十、排列数字问题用查字典法
例10：由1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字，并且比13000大的正整数？
分析：从高位起逐位考察，寻找比13000大的数。
第一步，查首
位，有2××××，3××××，4××××和5××××，共个；第二步，查前两
位，有13×××，14×××和15×××，共个。
由分类计数原理得=114个。
（指导教师：郝保国）。