离散数学网上作业题

东北农业大学网络教育学院离散数学复习题复习题一一、证明1、对任意两个集合B A 和，证明 ()()A B A B A =⋂⋃-2、构造下面命题推理的证明如果今天是星期三，那么我有一次英语或数学测验；如果数学老师有事，那么没有数学测验；今天是星期三且数学老师有事，所以我有一次英语测验。

二 、计算1、(1)画一个有一条欧拉回路和一条汉密顿回路的图。

(2)画一个有一条欧拉回路但没有汉密顿回路的图 (3)画一个没有欧拉回路但有一条汉密顿回路的图2、设()(){}212,，，个体域为为，整除为<x x Q y x y x P ，求公式： ()()()()()x Q y x P y x →∃∀,的真值。

3、一棵树有2n 个结点度数为2 ，3n 个结点度数为3，… ，k n 个结点度数为k ，问它有几个度数为1的结点。

4、设集合{}A A ,4,3,2,1=上的关系 {4,33,21,22,1,1,1=R ，求出它的自反闭包，对称闭包和传递闭包。

三、设{}45,36,27,15,9,6,5,3,2,1=A 上的整除关系{}212121,,,a a A a a a a R 整除∈=， R 是否为A 上的偏序关系？若是，则：1、画出R 的哈斯图；2、求{}{}{}9,2glb 9,2lub 9,2和最大下界的最小上界。

四、用推导法求公式()()R Q P →→的主析取范式和主合取范式。

五、设实数集2R 上的关系{}c bd a R d c b a dc b a +=+∈,,,,,,2＝ρ，证明：ρ是2R 上的等价关系。

六、设+R R 和分别是实数集和正实数集，＋和×分别是普通加法和乘法，定义函数+→R R f :为r r f 2)(=，证明 ),(),(⨯++R R f 到是从的同构映射。

七、设R 是实数集合，}0{*-=R R ，在R R ⨯*上定义二元运算ο为：()()()d bc ac d c b a +=,,,ο，试证明>⨯<ο,*R R 是一个群。

>⨯<ο,*R R 是否阿贝尔群？复习题二一、设 上的整除关系完成下列各小题。

1、 证明ρ是L 上的偏序关系。

2、 画出偏序集,L ρ<>的哈斯图。

3、 在L 上定义两个二元运算∧和∨：对任意,a b L ∈，(,)a b glb a b ∧=，(,)a b lub a b ∨=。

请填空（在横线上填是或不是）：①代数系统,,L <∧∨> 格。

②代数系统,,L <∧∨> 有界格。

③代数系统,,L <∧∨> 有补格。

④代数系统,,L <∧∨> 分配格。

二、求布尔函数的析取范式和合取范式设°123122323(,,)()()()E x x x x x x x x x =∧∨∧∨∧是布尔代数{0,1},,,<∨∧>%上的一个布尔表达式。

试写出123(,,)E x x x 的析取范式和合取范式（用推导法或列函数表的方法均可）。

三、画出满足下列要求的图①有一条欧拉回路和一条汉密尔顿回路。

②有一条欧拉回路但没有汉密尔顿回路。

③没有欧拉回路但有汉密尔顿回路。

④既没有欧拉回路也没有汉密尔顿回路。

四、证明在完全二叉树中，边的总数等于2(n-1)，这里n 是叶子数。

五、计算求带权2、3、5、7、11、13的最优二叉树。

六、证明在一个连通平面图中，若它有n 个结点，m 条边，且每个面由k 条边围成。

试证(2)2k n m k -=-七、证明设V 是有限字母表，给定代数系统*,V <>o ，其中o 是串的连接运算。

对于任一串*V α∈，建立*V 到N 的映射f ，()||f αα=。

证明f 是*,V <>o 到,N <+>的一个满同态，且当||1V =时，f 是同构映射。

{}1,2,3,4,12L ={}121212,,,a aa a L a a ρ=∈整除八、应用给定有限状态机(,,,,,)s M Q S R f h A =，它的状态图如附图所示。

1、 求状态A 的011010的后继以及可接受状态序列。

2、 求s M 对于激励010110的响应。

3、构造一台与s M 相似的转换赋值机t M ，画出t M 的状态图。

九、证明考察一个（8，4）码C ，它的校验位a 5，a 6，a 7，a 8满足下列方程 a 5=a 1+ a 2+ a 4 a 6=a 1+ a 3+ a 4 a 7=a 1+ a 2+ a 3 a 8=a 2+ a 3+ a 4其中a 1，a 2，a 3，a 4为信息位。

求出这个码的一致校验矩阵。

证明0min x C x ∈≠()4W X =。

复习题三一、设集合完成下列各小题。

1求S 的幂集()P S 。

2证明(),P S <⊆>是偏序集。

3画出偏序集(),P S <⊆>的哈斯图。

4在()P S 上定义两个二元运算∧和∨：对任意,()A B P S ∈，A B A B ∧=⋂，A B A B ∨=⋃。

请填空（在横线上填是或不是并回答为什么）：①代数系统(),P S <⊆>格，因为 。

{},,S a b c =②代数系统(),P S <⊆> 有界格，因为 。

③代数系统(),P S <⊆> 有补格，因为 。

④代数系统(),P S <⊆> 分配格，因为 。

⑤代数系统(),,,~P S <⋂⋃> 布尔代数，因为 。

二、计算设°123122323(,,)()()()E x x x x x x x x x =∧∨∧∨∧是布尔代数{0,1},,,<∨∧>%上的一个布尔表达式。

试写出123(,,)E x x x 的析取范式和合取范式（用列函数表的方法）。

三、回答问题完全图n K 是否是欧拉图？是否是哈密尔顿图？为什么？ 四、画图对于下图，利用克鲁斯克尔算法求一棵最小生成树。

五、计算一棵树有两个结点度数为2 ，1个结点度数为3，3个结点度数为4 ，其余结点度数为1。

问该树有几个度数为1的结点。

六、证明(,)G V E =图是无向简单图，其中||||V n E m ==，，证明：2)1(-≤n n m 。

证明 因为G 是简单图，所以图G 中没有环和平行边，任意两结点间最多有一条边，故2(1)2n n n m C -≤=。

七、证明已知(,,,),{,,},{,,},:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)N T N T G V V P V B C V a b c P a BC aBC CB BC aB ab bB bb bC bc cC ccσσσσσ===→→→→→→→求证 *n n na b c σ⇒ 八、设计设计一台有限状态机M ，它的输出是已经输入符号数的模3数（即设计模3计数器）。

九、计算给定码C={00000,10001,01100,10101}，求码C 中任两个码字的海明距和min ()d C 。

复习题四一、填空1、设A 和B 为有限集，|A|=m ，|B|=n ，则有 个从A 到B 的关系，有 个从A 到B 的函数，其中当m ≤n 时有 个入射，当m=n 时，有 个双射。

2、集合2{|}A n n N =∈ （是/不是）可数的。

二、计算1、用推导法求下列公式的主合取范式和主析取范式：(())P Q R ⌝∨→2设A A },4,3,2,1{=上二元关系{1,2,2,2,2,4,3,4}R =<><><><>，求其自反闭包、对称闭包、传递闭包。

三、证明1、设C B A ,,是三个集合，证明：()()A B C A C B ⋂-=-⋂ 2证明等价式：()(()())()()()()x A x B x x A x x B x ∃→⇔∀→∃ 四、将下列命题推理符号化并给出形式证明：已知张三或李四的彩票中奖了；如果张三的彩票中奖了，那么你是知道的；如果李四的彩票中奖了，那么王五的彩票也中奖了；现在你不知道张三的彩票中奖。

所以李四和王五的彩票都中奖了。

五、设复数集合{|,,0}C a bi a b R a =+∈≠，定义C R 上二元关系：,a bi c di R <++>∈当且仅当0ac >，证明：R 为等价关系。

六、证明：若A B C D A B C D ⨯⨯:::和，则。

七、设集合{23|,}m nG m n I =∈，⨯是普通乘法，证明：,G <⨯>是一个群。

八、设实数集合R ，+和x 是普通加法和乘法，定义映射:f R R →，,()xx R f x e ∀∈=，证明,,f R R <+><⨯>是从到的单一同态。

复习题五一、填空1、实数集合R （是/不是）可数的。

2、设A 和B 为有限集，|A|=m ，|B|=n ，则有 个从A 到B 的关系，有 个从A 到B 的函数，其中当m ≤n 时有 个入射，当m=n 时，有 个双射。

二、计算1、用推导法求下列公式的主合取范式和主析取范式：(())P Q R ⌝∨→2设A A },4,3,2,1{=上二元关系{1,1,2,3,2,4,3,2,3,4}R =<><><><><>，求其自反闭包、对称闭包、传递闭包。

三、证明1、设C B A ,,是三个集合，证明：()()A B C A C B --=-- 2证明等价式：()(()())()()()()x A x B x x A x x B x ∀→⇔∃→∀ 四、将下列命题推理符号化并给出形式证明：已知今天下雨或刮风；如果今天下雨，那么我在家看书；如果今天刮风，那么我去放风筝；今天我没有在家看书。

所以今天刮风并且我去放风筝了。

五、设正整数集合I +上的二元关系{,|,,}2x yR x y x y I I +-=<>∈∈，证明：R 为等价关系。

六、证明：若A B C D A B C D ⨯⨯:::和，则。

七、设集合{5|}nG n I =∈，⨯是普通乘法，证明：,G <⨯>是一个群。

八、设正实数集合R +和实数集合R ，+和x 是普通加法和乘法，定义映射:f R R +→，,()ln x R f x x +∀∈=，证明,,f R R +<⨯><+>是从到的同构。

复习题六一、 求公式q ∧(p ∨┐q)的析取范式、合取范式及主析取范式、主合取范式。

二、用推理规则证明：前提 (∃x)(F(x)∧S(x))→(∀y)(M(y) →W(y))，(∃y)(M(y)∧┐W(y)) 结论 (∀x)(F(x)→┐S(x)) 三、计算题1.证明逻辑等价式A →(A →B)⇔A →B 成立。