离散数学作业题

离散数学作业题
第2章集合、关系与映射
1.A⊆B，A∈B能否同时成立，说明原因
求集合A＝{a，{a}}的幂集
2.证明：若B⊆C，则P(B)⊆ P(C)
3.如果A∪B=A∪C，是否有B=C？
如果A⊕B=A⊕C，是否有B=C？
4.试求1到10000之间不能被4，5或6整除的整数个数.
5.列出所有从A={a,b,c}到B={s}的关系，并指出集合A上的恒等关系和从A到B的全
域关系.
6.给出A上的关系及其关系图和矩阵表示.{<x,y>|0≤x-y＜3} A={0，1，2，3，4}
7.已知S={a,b}. R⊆ ={〈x,y〉|x,y∈A∧x⊆y∧A为集合族ρ(S)}.试写出关系R⊆.
8.已知：A={a,b,c}, R={〈a,b〉,〈a,c〉,〈b,c〉}该关系具有什么性质？
(自反，反自反，对称，反对称，传递性)
9.设A={a,b,c},R={〈a,b〉,〈a,c〉} 计算：r(R)，sr(R)，tr(R)，str(R).
10.设A是含有4个元素的集合，试求：
(1)在A上可以定义多少种对称关系？
(2)在A上可以定义多少种既是自反的，又是对称的关系？
(3)在A上可以定义多少种既不是自反的，也不是反自反的二元关系？
11.设集合A={0，1，2，3，4}. R={<x,y>|x+y=4,x,y∈A} ，S={<x,y>|y-x=1,x,y∈A}.
试求：R◦S，R◦R，(R◦S)◦R，R◦(S◦R).
12.证明：R是A上的传递关系⇔R◦R⊆R.
13.A={1,2,3,4,5},R={<x,y>|x,y∈A∧x-y可被2整除}，试问R是否是A上的等价关系？
如果是，求出R的各等价类.
14.A={1,2,3,4,5},A上的划分∏={{1,2},{3,4},{5}}，给出由∏所诱导出的A上的等价关系
R的集合表达式.
15.试给出一个单射但非满射的函数.(对某一集合而言)
16.设f：N→N×N，f(n)=<n,n+1>,则：
(1)说明f是否为单射和满射，并说明理由.
(2) f的反函数是否存在？并说明理由.
(3)求ranf.
17.已知如果从无限集合A到集合B存在单射f，则B也是无限集合。

设X是无限集合，集合Y≠φ，证明：X与Y的笛卡儿积X×Y是无限集合。

第六章代数结构
P247 习题六：4（1）（3）、6、16、21
1.以下集合和运算是否构成代数系统？如果构成，说明该系统是否满足结合律、交换律？
求出该运算的幺元、零元和所有可逆元素的逆元.
1)P(B)关于对称差运算⊕，其中P(B)为幂集.
2)A={a,b,c}，*运算如下表所示：
2.设集合A={a,b}，那么（1）在A上可以定义多少不同的二元运算？（2）在A上可以
定义多少不同的具有交换律的二元运算？
3.设A={1,2},B是A上的等价关系的集合.
1)列出B的元素.
2)给出代数系统V=<B,∩>的运算表.
3)求出V的幺元、零元和所有可逆元素的逆元.
4)说明V是否为半群、独异点和群？
4.设A={a,b,c}，构造A上的二元运算*，使得a*b=c,c*b=b，且*运算满足幂等律、交换
律.
1)给出关于*运算的一个运算表.
2)*运算是否满足结合律，为什么？
5.设<R，*>是一个代数系统。

*是R上的一个二元运算，使得对于R(实数集合)中的任意元素a,b都有a*b=a+b+a·b (·和+为数集上的乘法和加法).
证明：:<R，*> 是独异点.
6.如果<S,*>是半群，且*是可交换的.
证明：如果S中有元素a,b,使得a*a=a和b*b=b，则(a*b)*(a*b)=a*b.
7.设<G,·,–1,e>是一个群,则∀a,b,c∈S。

试证明：群G中具有消去律,即成立: 如果
a·b=a·c ,b·a=c·a 那么b=c.
8.设<G，*>是群，a∈G .
现定义一种新的二元运算⊙：x⊙y=x*a*y，∀x,y∈G .
证明：<G，⊙>也是群.
9.试写出模6加法群<Z6，+6>的每个子群及其相应的左陪集.
10.设A={1,2,5,10,11,22,55,110}.
1)A关于整除关系是否构成偏序集？
2)如果构成偏序集合，画出其对应的哈斯图.
3)如果构成偏序集，该偏序集合构成哪种格？(分配格、有界格、有补格、布尔格). 第七题图论
1.是否存在7阶无向简单图G，其度序列为1、3、3、4、6、6、7.给出相应证明.
2.求下图的补图.(无答案)
3. 1）试画一个具有5个顶点的自补图
2）是否存在具有6个顶点的自补图，试说明理由。

4. 设图G为n(n>2且为奇数)阶无向简单图，证明：G与G的补图中奇度顶点个数相等.
5. 无向图G中只有2个奇度顶点u和v，u与v是否一定连通.给出说明或证明。

6.图G如下图所示：
1)写出上图的一个生成子图.（不唯一）
2)δ(G)，κ(G)，λ(G).
7. 在什么条件下无向完全图K n为欧拉图？
8. 证明：有割边的图不是欧拉图.
9.证明：有割边的图不是哈密尔顿图.
10.树T有2个4度顶点，3个3度顶点，其余顶点全为树叶，问T有几片树叶？
11.给出全部互不同构的4阶简单无向图的平面图形。

12.如果G是平面图, 有n个顶点、m条边、f个面，G有k个连通分支。

试利用欧拉公式证明:：n-m+f=k+1.。