《概率论与数理统计》第1章§4概率的公理化定义及其性质
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1-4概率的公理化定义及性质
因而
P(B A)
P(B)
P( AB)
1 2
1 8
3. 8
A AB B S
三、小结
概率的主要性质 (1) 0 P(A) 1, P(S) 1, P() 0; (2) P( A) 1 P( A); (3) P( A B) P( A) P(B) P( AB); (4) 设 A, B 为两个事件,且 A B,则 P( A) P(B), P( A B) P( A) P(B).
P( A1 A3 ) P( A1 A2 A3 ).
例1 设事件 A, B 的概率分别为1 和 1 , 求在下列 32
三种情况下 P(B A) 的值.
(1) A与B互斥; (2) A B; (3) P( AB) 1 . 8
解 (1)由图示得 P(B A) P(B),
故 P(B A) P(B) 1 .
但反过来，如果P（A）=0，未必有A=Φ 例如：
一个质地均匀的陀螺的圆周上均匀地刻有[0 , 5) 上诸数字，在桌面上旋转它，求当它停下来时，圆周 与桌面接触处的刻度为2的概率等于0，但该事件有可 能发生。
(2) 若A1, A2, , An是两两互不相容的事件,则有 P( A1 A2 An ) P( A1) P( A2 ) P( An ).
所以 1 P(S) P( A A)
P( A) P( A).
P( A) 1 P( A).
(6) (加法公式) 对于任意两事件 A, B 有 P( A B) P( A) P(B) P( AB).
证明 由图可得
A B A (B AB), 且 A (B AB) ,
概率论与数理统计：1-3概率的公理化体系及性质
率论有了迅速的发展.
柯尔莫哥洛夫资料
1. 概率的公理化定义 设E是随机试验, 是它的样本空间.对于E的
每一事件A赋予一个实数,记为P( A), 称为事件 A的概率.如果集合函数P()满足下列条件 : (1)有 界性 : 对于每一个事件 A, 有 0 P( A) 1; (2) 规范性: 对于必然事件 ,有 P( ) 1;
P( A1 A2 An ) P( A1) P( A2 ) P( An ).
概率的有限可加性 (3) 设 A, B 为两个事件,且 A B,则
P( A) P(B), P(B A) P(B) P( A). 一般情形：P(B A) P(B) P(AB). (4) 设 A 是 A 的 对 立 事 件, 则 P ( A) 1 P( A).
由（2）立刻得出，全班30人至少有2人生日相同
的概率等于1－0.294=0.706, 这个值大于70%！
例4 设有 N 件产品,其中有 D 件次品,今从中任取 n 件,问其中恰有 k(k D) 件次品的概率是多少?
解 在N件产品中抽取n件的所有可能取法共有
C
n N
种,
在 N 件产品中抽取n件,其中恰有k 件次品的取法
fn H
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
fn (H )
n的增大
1. 2
二、概率的统计定义
1.定义1.2.2 在随机试验中,若事件A出现的频率m/n随
着试验次数n的增加,趋于某一常数p, 0 p 1 则定义事件A的概率为p,记作P(A)=p . 性质
(1) 对任一事件A ,有 0 P( A) 1;
(3)某指定的一间房中恰有 m(m n) 人。
解 首先，把 n 个人分到N间房中去共有 N n 种分法，
《概率论与数理统计》全套课件PPT(完整版)
m?????若对于一随机试验每个样本点出现是等可能的样本空间所含的样本点个数为无穷多个且具有非零的有限的几何度量即则称这一随机试验是一几何概型的20义定义当随机试验的样本空间是某个区域并且任量意一点落在度量长度面积体积相同的子区域是等可能的则事件a的概率可定义为?mamap??说明当古典概型的试验结果为连续无穷多个时就归结为几何概率
P(B| A) P(AB) P(A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率2.9
2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件, 即
10 对于每一个事件B, 有 1 P(B | A) 0.
20 P(S | A) 1.
30 设B1 , B2 ,两两互不相容, 则
P( Bi | A) P(B i | A).
i1
i1
此外, 条件概率具有无条件概率类似性质.例如：
(1) P( | A) 0.
(2) 设B1 ,B2 ,, Bn两两互不相容,则
n
n
P( Bi | A) P(B i | A).
30
i1
i1
(3) P(B | A) 1 P(B | A).
(4) P(B C | A) P(B | A) P(C | A) - P(BC | A).
在其中计算B发生的概率, 从而得到P(B|A). 例2. 在1, 2, 3, 4, 5这5个数码中, 每次取一个数码, 取后不放回, 连取两次, 求在第1次取到偶数的条 件下, 第2次取到奇数的概率.
32
(二) 乘法公式: 由条件概率定义, 立即可得P(A) 0, 则有 P(AB) P(A)P(B | A).
注 当A＝S时, P(B｜S)=P(B), 条件概率化为无 条件概率, 因此无条件概率可看成条件概率.
P(B| A) P(AB) P(A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率2.9
2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件, 即
10 对于每一个事件B, 有 1 P(B | A) 0.
20 P(S | A) 1.
30 设B1 , B2 ,两两互不相容, 则
P( Bi | A) P(B i | A).
i1
i1
此外, 条件概率具有无条件概率类似性质.例如：
(1) P( | A) 0.
(2) 设B1 ,B2 ,, Bn两两互不相容,则
n
n
P( Bi | A) P(B i | A).
30
i1
i1
(3) P(B | A) 1 P(B | A).
(4) P(B C | A) P(B | A) P(C | A) - P(BC | A).
在其中计算B发生的概率, 从而得到P(B|A). 例2. 在1, 2, 3, 4, 5这5个数码中, 每次取一个数码, 取后不放回, 连取两次, 求在第1次取到偶数的条 件下, 第2次取到奇数的概率.
32
(二) 乘法公式: 由条件概率定义, 立即可得P(A) 0, 则有 P(AB) P(A)P(B | A).
注 当A＝S时, P(B｜S)=P(B), 条件概率化为无 条件概率, 因此无条件概率可看成条件概率.
概率论与数理统计教程(茆诗松)第1章
A = “针与平行线相交” 的充要条件是: x ≤ l/2 sin ϕ . 针是任意投掷的，所以这个问题可用几何方法 求解得
SA ∫0 P( A) = = SΩ
27 July 2011
π
l sinϕdϕ 2l 2 = d(π / 2) dπ
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
第9页
§1.3 概率的性质
= (3/10)×(2/9)+(7/10)×(3/9) = 3/10
27 July 2011
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
第24页 24页
1.4.4
贝叶斯公式
乘法公式是求“几个事件同时发生”的概率； 全概率公式是求“最后结果”的概率； 贝叶斯公式是已知“最后结果” ，求“原因” 的概率.
27 July 2011
第一章 随机事件与概率
第19页 19页
条件概率的三大公式
乘法公式; 全概率公式； 贝叶斯公式.
27 July 2011
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
第20页 20页
1.4.2
性质1.4.2
乘法公式
(1) 若 P(B)>0，则 P(AB) = P(B)P(A|B)； 若 P(A)>0，则 P(AB) = P(A)P(B|A). (2) 若 P(A1A2 ······An−1)>0，则 P(A1A2 ······An) = P(A1)P(A2|A1) ······ P(An|A1A2 ······An−1)
古典方法 设 Ω 为样本空间，若
① Ω只含有限个样本点; ② 每个样本点出现的可能性相等， 则事件A的概率为: P(A) = A中样本点的个数 / 样本点总数
SA ∫0 P( A) = = SΩ
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π
l sinϕdϕ 2l 2 = d(π / 2) dπ
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第一章 随机事件与概率
第9页
§1.3 概率的性质
= (3/10)×(2/9)+(7/10)×(3/9) = 3/10
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第一章 随机事件与概率
第24页 24页
1.4.4
贝叶斯公式
乘法公式是求“几个事件同时发生”的概率； 全概率公式是求“最后结果”的概率； 贝叶斯公式是已知“最后结果” ，求“原因” 的概率.
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第一章 随机事件与概率
第19页 19页
条件概率的三大公式
乘法公式; 全概率公式； 贝叶斯公式.
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第一章 随机事件与概率
第20页 20页
1.4.2
性质1.4.2
乘法公式
(1) 若 P(B)>0，则 P(AB) = P(B)P(A|B)； 若 P(A)>0，则 P(AB) = P(A)P(B|A). (2) 若 P(A1A2 ······An−1)>0，则 P(A1A2 ······An) = P(A1)P(A2|A1) ······ P(An|A1A2 ······An−1)
古典方法 设 Ω 为样本空间，若
① Ω只含有限个样本点; ② 每个样本点出现的可能性相等， 则事件A的概率为: P(A) = A中样本点的个数 / 样本点总数
《概率论》第1章§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
第一章 事件与概率
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
3/29
(约会问题) 两人相约7点到8点在某地会面，先 到者等候另一人20分钟，过时离去。试求这两人能会面 的概率。 设 x, y分别表示两人达到的时间， 则两人能会面的充要条件是
| x y | 20
20 x y 20
y
m
n m
条件： m n ,
即 m = 0, 1, 2, ……, n.
第一章 事件与概率
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
26/29
常见模型(3) —— 盒子模型
n 个不同球放入 N 个不同的盒子中. 每个盒子中所放球数不限. 求恰有n 个盒子中各有一球的概率 n PN N! (nN)
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
1/29
古典概型的特点：
有限个样本点 基本事件的等可能性
怎样推广到“无限个样本点”而又 有某种“等可能性” ？ 某5万平方公里的海域中，大约有40平方公里的 大陆架贮藏有石油。若在这海域中任选一点进行钻探， 问能够发现石油的概率是多少？ 认为任一点能钻探到石油是等可能的, 则所求概 率为
第一章 事件与概率
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
24/29
思考题
口袋中有5 个白球、7个黑球、4个红球.
从中不返回任取3 个. 求取出的 3 个球为不同颜色的球的概率.
5 7 4 1 1 1 140 1 560 4 16 3
第一章 事件与概率
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
11/29
对于 n 个事件，有
n i 1
1i j n
减二
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
3/29
(约会问题) 两人相约7点到8点在某地会面，先 到者等候另一人20分钟，过时离去。试求这两人能会面 的概率。 设 x, y分别表示两人达到的时间， 则两人能会面的充要条件是
| x y | 20
20 x y 20
y
m
n m
条件： m n ,
即 m = 0, 1, 2, ……, n.
第一章 事件与概率
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
26/29
常见模型(3) —— 盒子模型
n 个不同球放入 N 个不同的盒子中. 每个盒子中所放球数不限. 求恰有n 个盒子中各有一球的概率 n PN N! (nN)
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
1/29
古典概型的特点：
有限个样本点 基本事件的等可能性
怎样推广到“无限个样本点”而又 有某种“等可能性” ？ 某5万平方公里的海域中，大约有40平方公里的 大陆架贮藏有石油。若在这海域中任选一点进行钻探， 问能够发现石油的概率是多少？ 认为任一点能钻探到石油是等可能的, 则所求概 率为
第一章 事件与概率
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
24/29
思考题
口袋中有5 个白球、7个黑球、4个红球.
从中不返回任取3 个. 求取出的 3 个球为不同颜色的球的概率.
5 7 4 1 1 1 140 1 560 4 16 3
第一章 事件与概率
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
11/29
对于 n 个事件，有
n i 1
1i j n
减二
概率论与数理统计-第1章-第3讲-概率的公理化定义与运算性质
解法一 设A表示至少有一件不合格品，Ai表示恰好有i件不合格品，则
A A1 A2 A3 P( A) P( A1 A2 A3)
性质1
P( Ai
)
C3iC447i C540
P( A1) P( A2 ) P( A3) 0.2255
13
02 概率的运算性质ຫໍສະໝຸດ 解法二 因为A表示全是合格品，则
（2）规范性 P(S ) 1
（3）可列加性 对任意个两两互不相容事件
A1, A2 ,
, An ,
,
有P
Ai
P( Ai ).
i1 i1
它给出了概率所必须满足的最基本的性质，为
建立严格的概率理论提供了一个坚实的基础.
5
本章内容
01 概率的公理化定义 02 概率的运算性质
02 概率的运算性质
主讲教师 |
本章内容
01 概率的公理化定义 02 概率的运算性质
01 概率的公理化定义
1.概率的公理化定义
什么是概率？
研究随机现象，我们不仅要关心会出现哪些事件，更关心这些事件出 现的可能性大小，所谓事件的概率就是度量事件出现可能性大小的数值.
① 古典定义
概率的最初定义
历史上概率 的三次定义
② 统计定义
下一讲我们将学习一种新的概率——条件概率.
18
概率论与数理统计
学海无涯，祝你成功！
主讲教师 |
19
P( A) 1 P( A)
性质2
P( A )
C447 C540
1
C447 C540
0.2255
计算事件A的概率不容易，而计算其对立事件的概率较易时， 可以利用性质2。
14
02 概率的运算性质
概率的公理化定义及概率的性质
例1
设P（A） P（B） P（C） 1/ 4，P（AB） 0，P（AC） P（BC） 1/ 16
则A,B,C中至少发生一个的概率是多少？ A,B,C都不发生的概率 是多少？
例2 生日问题
1）500个人中至少有一人的生日在7月1日的概率是多少？ 2）n个人中至少有两个人生日相同的概率是多少？
n 10
15
20
23
50 55
p 0.12 0.25 0.41 0.51 0.97 0.99
例3 从1-9这9个数字中有放回地抽取n个数字，求:这n个数字
的乘积能被10整除的概率.
例4 从一副扑克牌（52张）中任取10张，求下列事件的概率： A1 : 至少有一张A。 A2 : 至多有两张A
例5（配对问题）
在一个有n个人参加的晚会上，每个人带了一件礼物，假设每 个人带的礼物都不相同，晚会期间各人从放在一起的礼物中随 机地抽取一件，问 1）至少有一个人抽到自己的礼物的概率是多少？ 2）恰好有r 个人拿到自己礼物的概率是多少？
定义： 对于 F上集合函数P，若对于F中的任一单调
不减(增）的事件序列 {A均n}成立:
lim P( An ) P( lim An ) (8)
n
n
则称函数为下（上）连续的.
性质：若P是F上的非负、规范的集函数，则P具有可列可
加性的充要条件是 1) P是有限可加的；
2）P在F上是下连续的.
六、应用概率性质计算概率
解 设Ai 表示i 号球与抽取顺序相同. 利用公式
n
n
P（ Ai） P（Ai）
P（Ai Aj）
P（Ai Aj Ak）
i 1
i 1
1i <j n
1i<j<k N
设P（A） P（B） P（C） 1/ 4，P（AB） 0，P（AC） P（BC） 1/ 16
则A,B,C中至少发生一个的概率是多少？ A,B,C都不发生的概率 是多少？
例2 生日问题
1）500个人中至少有一人的生日在7月1日的概率是多少？ 2）n个人中至少有两个人生日相同的概率是多少？
n 10
15
20
23
50 55
p 0.12 0.25 0.41 0.51 0.97 0.99
例3 从1-9这9个数字中有放回地抽取n个数字，求:这n个数字
的乘积能被10整除的概率.
例4 从一副扑克牌（52张）中任取10张，求下列事件的概率： A1 : 至少有一张A。 A2 : 至多有两张A
例5（配对问题）
在一个有n个人参加的晚会上，每个人带了一件礼物，假设每 个人带的礼物都不相同，晚会期间各人从放在一起的礼物中随 机地抽取一件，问 1）至少有一个人抽到自己的礼物的概率是多少？ 2）恰好有r 个人拿到自己礼物的概率是多少？
定义： 对于 F上集合函数P，若对于F中的任一单调
不减(增）的事件序列 {A均n}成立:
lim P( An ) P( lim An ) (8)
n
n
则称函数为下（上）连续的.
性质：若P是F上的非负、规范的集函数，则P具有可列可
加性的充要条件是 1) P是有限可加的；
2）P在F上是下连续的.
六、应用概率性质计算概率
解 设Ai 表示i 号球与抽取顺序相同. 利用公式
n
n
P（ Ai） P（Ai）
P（Ai Aj）
P（Ai Aj Ak）
i 1
i 1
1i <j n
1i<j<k N
1.4概率的公理化定义及概率的性质
Ω的度量
这个定义称为概率的几何定义，由 式确定的概率 （） 称为几何概率。
例1 某公共汽车站每隔5分钟来一辆汽车，设乘客在 间隔的两辆车到站之间的任一时刻都可能到达车站，试 求乘客等车不超过3分钟的概率。 解 设A=“乘客等车不超过3分钟”
t : 0 t 5 ，L 5
A t : 0 t 3 ，LA 3
位于x1与 x3 之间”，
O C y x
线段AB的长为a
Ax1 , Ax2 , Ax3 的长度分别为 x, y, z
A
B
则 x, y, z 0 x a,0 y a,0 z a
点x2位于 x1与x3之间，则必须满足 x y z 或 z y x
z
1.0
0.75 0.83 0.5419
600
1030 3408 2520
382
489 1808 859
3.137
3.1595 3.1415929 3.1795
例4．从0,1中随机地取两个数，求其积不小于 3 ，其 16 和不大于1的概率。 解： 设所取的两个数为x、y，则样本空间为
x, y 0 x 1,0 y 1 ，S 1
B=“取出的2件产品中有两件不合格品”， C=“取出的2件产品中有不合格品”， 则C=A+B，且A、B是互不相容事件，
CC C 则P( A) P( B) P(C ) 2 0.192 C50 C
C 或PC 1 PC 1 0.192 C
2 45 2 50
1i j k n
P Ai Aj Ak 1 P A1 A2 An
n 1
n
这个定义称为概率的几何定义，由 式确定的概率 （） 称为几何概率。
例1 某公共汽车站每隔5分钟来一辆汽车，设乘客在 间隔的两辆车到站之间的任一时刻都可能到达车站，试 求乘客等车不超过3分钟的概率。 解 设A=“乘客等车不超过3分钟”
t : 0 t 5 ，L 5
A t : 0 t 3 ，LA 3
位于x1与 x3 之间”，
O C y x
线段AB的长为a
Ax1 , Ax2 , Ax3 的长度分别为 x, y, z
A
B
则 x, y, z 0 x a,0 y a,0 z a
点x2位于 x1与x3之间，则必须满足 x y z 或 z y x
z
1.0
0.75 0.83 0.5419
600
1030 3408 2520
382
489 1808 859
3.137
3.1595 3.1415929 3.1795
例4．从0,1中随机地取两个数，求其积不小于 3 ，其 16 和不大于1的概率。 解： 设所取的两个数为x、y，则样本空间为
x, y 0 x 1,0 y 1 ，S 1
B=“取出的2件产品中有两件不合格品”， C=“取出的2件产品中有不合格品”， 则C=A+B，且A、B是互不相容事件，
CC C 则P( A) P( B) P(C ) 2 0.192 C50 C
C 或PC 1 PC 1 0.192 C
2 45 2 50
1i j k n
P Ai Aj Ak 1 P A1 A2 An
n 1
n
01.3概率的公理化定义及概率的性质
P
i1
Ai
i 1
P( Ai
)
其中 A1, A2 , 为任意互不相容事件。
概率函数（或者称为规范测度函数）是定 义在事件域上的非负、 规范、可列可加的集 合函数。
A F,称P(A)为事件A的概率。
概率空间：
设E为随机试验， S--样本空间 ，
F—事件域，
P—概率，
称三元总体（S , F , ）为概率空间.
概率空间举例。
概率的性质 P() 0
证：S S ，
P(S) P(S) P() P()
故 P() 0；
有限可加性: 设 A1, A2, An为两两互斥事件，
P n
i1
Ai
n i1
P( Ai )
证明： 取 An1 An2 ,
i
则称F为事件域。
事件域举例。
概率的公理化定义
概率的公理化理论由前苏联数学家柯尔莫 戈洛夫(A.H.Колмогоров)于1933年所建立.
定义 设P是定义在事件域F上的实值函 数，称P为概率函数，如果满足：
非负性：A F,0 P(A) 1 规范性： P(S) 1
可列可加性：
2题答案1 (5)4 , 1 (35)24 。
6
36
3题答案1
A162 126
。
例4：一批产品共50件，其中5件是次品，另外45件是正品。 从这批产品中任取3件，求其中有次品的概率。
解： 法1： 设Ai 第i次取到次品，i 1,2,3. B 取出的3件中有次品 则B A1 A2 A3
概率论与数理统计—第一章概率论的基本概念
例如在E 4中，如果用A 表示事件“掷出奇点数”，那么A 是一个随机事件.由于在一次投掷中,当且仅当掷出的点数是1，3,5中的任何一个时才称事件A 发生了，所以我们把事件A 表示为{}1,3,5=A 。
同样地,若用B 表示事件“掷出偶点数"，那么B 也是一个随机事件,{}2,4,6B =。
对于一个试验E ，在每次试验中必然发生的事件，称为E 的必然事件；在每次试验中都不发生的事件,称为E 的不可能事件.例如在3E 中，“掷出的点数不超过6"就是必然事件，用集合表示这一事件就是3E 的样本空间{}31,2,3,4,5,6S =。
而事件“掷出的点数大于6"是不可能事件，这个事件不包括3E 的任何一个可能结果，所以用空集φ表示。
对于一个试验E ，它的样本空间S 是E 的必然事件；空集φ是不可能事件。
必然事件与不可能事件虽已无随机性可言,但在概率论中，常把它们当作两个特殊的随机事件，这样做是为了数学处理上的方便。
（三）事件间的关系与运算因为事件是一个集合，因而事件间的关系和运算是按集合间的关系和运算来处理的.下面给出这些关系和运算在概率中的提法。
并根据“事件发生"的含义，给出它们在概率中的含义。
设试验E 的样本空间为S ，而),2,1(,, =k A B A k 是S 的子集。
1°事件的包含与相等 事件“若事件A 发生必然导致事件B 发生”称事件B 包含事件A ，记为A B ⊃或者B A ⊂。
若B A ⊂且A B ⊂，则称事件A 与事件B 相等,记B A =.2°事件的和 事件“A 与B 至少有一个发生”称为事件A 与事件B 的和，记为B A .事件B A 发生意味着:或事件A 发生，或事件B 发生,或事件A 与事件B 都发生。
事件的和可以推广到多个事件的情景。
设有n 个事件n A A A ,,,21 ,定义它们的和事件{n A A A ,,,21 中至少有一个发生｝为k nk A 1= 。
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第一章 随机事件及其概率
§4 概率的公理化定义及其性质 1.阅读课本P17-P22, P41-P42 2.作业 课本习题一 P46 T16 T17 T18 T21
设试验为从装有三个白球（记为1,2,3 号）与两个黑球（记为4,5号）的袋中任取
两球．（1）如果观察取出的两球的颜色；
（2）如果观察取出的两球的编号．试写出 （1）和（2）两种情形的样本空间．
第一章 随机事件及其概率
§4 概率的公理化定义及其性质 例1 已知
P( A ,)
1 1 P ( B ) , ,求 3 2
P( AB) 1 6
（1）P( AB ,（ ) 2）
解（1）由性质4
,P （ 3） ( AB )
1 5 6 6
P( A B)
P( AB)
1 P ( AB ) 1
第一章
随机事件及其概率
§4 概率的公理化定义及其性质 对于 n 个事件，有
P( A1
n i 1
1i j n
减二
A2 An ) P( Ai ) P( Ai A j )
全加
P( Ai A j Ak ) 1 i j k n
加三 减四
P( Ai A j Ak Al ) 1 i j k l n
第一章 随机事件及其概率
2 3 6 3
§4 概率的公理化定义及其性质
设A为事件：“甲答出第一道题” 设B为事件：“甲答出第二道题” P( A) ，P( B) . P( AB ) P( A AB) P( A) P( AB) 0.8 0.2 0.6 1 P( AB) 1 0.2 0.8 P( AB ) P( A B) 1 P( A B) 1 P( A) P(B) P( AB) 1 0.8 0.3 0.2 0.1
第一章 随机事件及其概率
§4 概率的公理化定义及其性质
P( ) 0 P( ) P( ) P( )
因为概率为实数,故 P( ) 0 若 A1, A2 , An 是两两不相容的事件,则
P(
n k 1
n
k 1
Ak ) P( Ak )
k 1
n
有限可加性
Ak A1
An
故由可列可加性，有
P(
n k 1
Ak ) P( A1) P( An ) P( ) P( ) 0
P( A1) P( An )
第一章 随机事件及其概率
§4 概率的公理化定义及其性质
（2）P( B) P( A) 再由概率非负性得 P( ) P( A)
事件解释 为区域
S
B
A
第一章
概率解释为 区域面积 随机事件及其概率
§4 概率的公理化定义及其性质
0 P( A) 1
P( A) 1 P( A) 由定义 A S 对任何事件 有 (加法公式) B1 P( A) P( SA ) ,
§4 概率的公理化定义及其性质
1.概率的统计定义、概率的古典定义和几何概率。 2. 这些定义的共性和缺陷
第一章
随机事件及其概率
§4 概率的公理化定义及其性质
在概率论发展的历史上，曾经有过概率的古典定义、概 设S是试验E的样本空间， A S, 若存在实数 P( A) 率的几何定义、概率的频率定义和概率的主观定义，这 与之对应, 且满足 事件的概率实质就是定义以 些定义各适合一类随机现象，那么如何给出适合一切随 非负性：P( A) 0 样本空间的任一子集为自变 机现象的概率的最一般的定义呢？ 1900年数学家希尔伯 特（1862-1943 ）提出要建立概率的公理化定义以解决这 规范性： P( S ) 1 量的实数值函数，即A→P(A). 其值域为[0,1]. 个问题，即以最少的几条本质特性出发去刻画概率的概 可列可加性：对两两不相容的事件列{ Ak } k 1有 念。1933年前苏联数学家柯尔莫哥洛夫（ 1903-1987）首 P( Ak ) P( Ak ) σ可加性 次提出了概率的公理化定义，这个定义既概括了历史上 k 1 k 1 几种概率定义中的共同特性，又避免了各自的局限性和 则称 P( A) 为事件 A 的 概率。 含混之处，不管什么随机现象，只有满足定义中的三条 公理，才能说它是概率。
推论 若 A B, 则 （ 1）P( ) P( B) P( AB) P( B) P( A)
（2）P( B) P( A) 0 P( A) 1
P( A) 1 P( A)
(加法公式) 对任何事件 A, B 有
P( A B) P( A) P( B) P( AB)
P( A B) P( AB) P( A) P( AB)
A AB AB AB AB B 因 AB, AB 互不相容,故由有限可加性有 A P( ) P( AB ) P( AB) S 所以 P( AB) P( A) P( AB) 推论 若 A B, 则 （ 1）P( ) P( B) P( AB) P( B) P( A)
（2）因 A A(B B，且 ) AB AB 由性质3， ，故有 P( A) P( AB ) P( AB)
1 1 1 P ( AB ) P ( A) P ( AB ) 2 6 3
( AB)( AB)
（3）由性质4、6得
P( A B) 1 P( A B) 1 [ P( A) P( B) P( AB)] 1 1 1 1 1 第一章 随机事件及其概率
A SA , A S B) P( A) P( B) P( AB) P( A) P( S ) P( A)
P( A 对于三事件 A1, A2, A3 有
挖
A3 BA1 A2 AB
A
A2
挖
S A 1
挖
P( A1
A1 A2 A3
A1 A2
A2 A3
S
A2
补
A3) P( A1) P( A2 ) P( A3) P( A1A2 ) P( A2 A3) P( A1A3) P( A1A2 A3)
(1)n 1 P( A1 A2 An )
挖补规律: 加奇减偶
第一章
随机事件及其概率
§4 ห้องสมุดไป่ตู้率的公理化定义及其性质
P( ) 0
若 A1, A2 , An 是两两不相容的事件,则
P(
n k 1
Ak ) P( Ak )
k 1
n
P( A B) P( AB) P( A) P( AB)
§4 概率的公理化定义及其性质 1.阅读课本P17-P22, P41-P42 2.作业 课本习题一 P46 T16 T17 T18 T21
设试验为从装有三个白球（记为1,2,3 号）与两个黑球（记为4,5号）的袋中任取
两球．（1）如果观察取出的两球的颜色；
（2）如果观察取出的两球的编号．试写出 （1）和（2）两种情形的样本空间．
第一章 随机事件及其概率
§4 概率的公理化定义及其性质 例1 已知
P( A ,)
1 1 P ( B ) , ,求 3 2
P( AB) 1 6
（1）P( AB ,（ ) 2）
解（1）由性质4
,P （ 3） ( AB )
1 5 6 6
P( A B)
P( AB)
1 P ( AB ) 1
第一章
随机事件及其概率
§4 概率的公理化定义及其性质 对于 n 个事件，有
P( A1
n i 1
1i j n
减二
A2 An ) P( Ai ) P( Ai A j )
全加
P( Ai A j Ak ) 1 i j k n
加三 减四
P( Ai A j Ak Al ) 1 i j k l n
第一章 随机事件及其概率
2 3 6 3
§4 概率的公理化定义及其性质
设A为事件：“甲答出第一道题” 设B为事件：“甲答出第二道题” P( A) ，P( B) . P( AB ) P( A AB) P( A) P( AB) 0.8 0.2 0.6 1 P( AB) 1 0.2 0.8 P( AB ) P( A B) 1 P( A B) 1 P( A) P(B) P( AB) 1 0.8 0.3 0.2 0.1
第一章 随机事件及其概率
§4 概率的公理化定义及其性质
P( ) 0 P( ) P( ) P( )
因为概率为实数,故 P( ) 0 若 A1, A2 , An 是两两不相容的事件,则
P(
n k 1
n
k 1
Ak ) P( Ak )
k 1
n
有限可加性
Ak A1
An
故由可列可加性，有
P(
n k 1
Ak ) P( A1) P( An ) P( ) P( ) 0
P( A1) P( An )
第一章 随机事件及其概率
§4 概率的公理化定义及其性质
（2）P( B) P( A) 再由概率非负性得 P( ) P( A)
事件解释 为区域
S
B
A
第一章
概率解释为 区域面积 随机事件及其概率
§4 概率的公理化定义及其性质
0 P( A) 1
P( A) 1 P( A) 由定义 A S 对任何事件 有 (加法公式) B1 P( A) P( SA ) ,
§4 概率的公理化定义及其性质
1.概率的统计定义、概率的古典定义和几何概率。 2. 这些定义的共性和缺陷
第一章
随机事件及其概率
§4 概率的公理化定义及其性质
在概率论发展的历史上，曾经有过概率的古典定义、概 设S是试验E的样本空间， A S, 若存在实数 P( A) 率的几何定义、概率的频率定义和概率的主观定义，这 与之对应, 且满足 事件的概率实质就是定义以 些定义各适合一类随机现象，那么如何给出适合一切随 非负性：P( A) 0 样本空间的任一子集为自变 机现象的概率的最一般的定义呢？ 1900年数学家希尔伯 特（1862-1943 ）提出要建立概率的公理化定义以解决这 规范性： P( S ) 1 量的实数值函数，即A→P(A). 其值域为[0,1]. 个问题，即以最少的几条本质特性出发去刻画概率的概 可列可加性：对两两不相容的事件列{ Ak } k 1有 念。1933年前苏联数学家柯尔莫哥洛夫（ 1903-1987）首 P( Ak ) P( Ak ) σ可加性 次提出了概率的公理化定义，这个定义既概括了历史上 k 1 k 1 几种概率定义中的共同特性，又避免了各自的局限性和 则称 P( A) 为事件 A 的 概率。 含混之处，不管什么随机现象，只有满足定义中的三条 公理，才能说它是概率。
推论 若 A B, 则 （ 1）P( ) P( B) P( AB) P( B) P( A)
（2）P( B) P( A) 0 P( A) 1
P( A) 1 P( A)
(加法公式) 对任何事件 A, B 有
P( A B) P( A) P( B) P( AB)
P( A B) P( AB) P( A) P( AB)
A AB AB AB AB B 因 AB, AB 互不相容,故由有限可加性有 A P( ) P( AB ) P( AB) S 所以 P( AB) P( A) P( AB) 推论 若 A B, 则 （ 1）P( ) P( B) P( AB) P( B) P( A)
（2）因 A A(B B，且 ) AB AB 由性质3， ，故有 P( A) P( AB ) P( AB)
1 1 1 P ( AB ) P ( A) P ( AB ) 2 6 3
( AB)( AB)
（3）由性质4、6得
P( A B) 1 P( A B) 1 [ P( A) P( B) P( AB)] 1 1 1 1 1 第一章 随机事件及其概率
A SA , A S B) P( A) P( B) P( AB) P( A) P( S ) P( A)
P( A 对于三事件 A1, A2, A3 有
挖
A3 BA1 A2 AB
A
A2
挖
S A 1
挖
P( A1
A1 A2 A3
A1 A2
A2 A3
S
A2
补
A3) P( A1) P( A2 ) P( A3) P( A1A2 ) P( A2 A3) P( A1A3) P( A1A2 A3)
(1)n 1 P( A1 A2 An )
挖补规律: 加奇减偶
第一章
随机事件及其概率
§4 ห้องสมุดไป่ตู้率的公理化定义及其性质
P( ) 0
若 A1, A2 , An 是两两不相容的事件,则
P(
n k 1
Ak ) P( Ak )
k 1
n
P( A B) P( AB) P( A) P( AB)