2017_2018学年北京石景山区高二上学期理科期末数学试卷解析
，离心率为 ．
（1） 求椭圆 的标准方程．
（2） 设 为坐标原点， 为直线
上一点，过 作 的垂线交椭圆于 ， ．当四边形
是平行四边形时，求四边形
的面积．
答案 （1） （2）
解析 （1） 由已知可得
， ，所以
，
又由
，解得
所以椭圆 的标准方程为
．
（2） 设 点的坐标为
，则直线 的斜率为
．
当
时，直线 的斜率为 ，直线 的方程为
B.
C.
D.
答案 A
解析 由 ， 为中点，所以
， 与平面
故 与平面
相交，故①错误；连结 ，由正方体，得源自，且所以，
面
，
面
所以
面
，故②错误；
由
，
面
，所以
平面
由 与平面
相交，
面，
所以平面 与平面
相交，故④错误．
相交，
，故 ，
为平行四边形，
，故③正确；
考点
立体几何与空间向量 立体几何初步 点、直线、平面间的位置关系
答案 C
解析 由双曲线方程可知，
，
，
又
，
所以
．
考点
解析几何 双曲线 双曲线的定义、图形及标准方程
双曲线的离心率
5 设 ， 是两个不同的平面， 是平面 内的一条直线，“ ”是“
”的（ ）．
A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件
B. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件
答案 A
解析 由面面平行的性质定理可知，充分性正确， 当线面平行时，过线的平面与已知平面可能相交，故不必要．
11 命题 :“
，
”,则 为
．
答案
，
解析 由存在命题的否定，得
：
，
．
考点
集合与常用逻辑用语 常用逻辑用语 简单的逻辑联结词
全称量词与存在量词
12 如果直线
与直线
平行，那么实数 的值为
．
答案
解析 两直线平行，所以斜率相等，故
．
考点
解析几何 直线与方程 直线的倾斜角与斜率
13 一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在 轴的负半轴上，则该圆的标准方程为
考点
集合与常用逻辑用语 常用逻辑用语 充要条件
立体几何与空间向量 立体几何初步 点、直线、平面间的位置关系
空间中的平行
6 若抛物线 A. C.
上的点 到焦点的距离为 ，则 到 轴的距离是（ ）． B. D.
答案 A
解析 由抛物线的定义， 到焦点的距离等于其到准线的距离，
故 到准线
的距离为 ，故到 轴的距离是 ．
B. 若 ，
，则
C. 若 ，
，
，则
D. 若 ，
，
，则
答案 A
解析 对于 ，若 对于 ，若 对于 ，若
，则不满足题意，故错误；
，则可能
，故错误；
，
，
，则 ， 可能异面．
考点
立体几何与空间向量 立体几何初步 点、直线、平面间的位置关系
空间中的平行
空间中的垂直
4 双曲线 A. C.
的离心率为（ ）． B. D.
．
的点的轨迹．给出
答案 ②③
解析 对于①，若 过原点，则
，但
，
，矛盾，故①错误；
对于②，对于 上任一点 ，其关于原点的对称点设为 ，由于 和 也关于原点对称，故
，于是
，故 点也在 上，②
正确
对于③，直接使用三角形面积公式有：
，③正
确．
考点
解析几何 曲线与方程
三、解答题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）
如果
，求直线 的方程．
答案 （1） （2）
解析 （1） 设 为
，
代入抛物线方程，
因为相切，故
所以
．
（2） 设 为
，
，即
，
，解得 ．
与抛物线联立
，得
．
设
，
，
所以
，
，
由直线方程可得，
，
又
，所以
故
故
．
， ，解得 （舍）或 ．
考点
解析几何 抛物线 抛物线的定义、图形及标准方程
抛物线的性质
直线与圆锥曲线
直线与圆锥曲线的位置关系 向量点乘问题
空间向量及其运算
19 如图 ，菱形 上， 图．
的对角线 与 交于点 ，
，
， 交 于点 ．将
沿 折到
，点 ， 分别在 的位置，使得
， ,如
（1） 证明： （2） 求二面角
平面
． 的余弦值．
答案 （1） 证明见解析 （2）
解析 （1） 因为菱形
折叠前，
又因为
，
所以
平面 ．
（2） 以 为原点， ， ，
，所以折叠后
又因为 是 的中点，
所以
，
平面
，
平面
，
所以
平面
.
考点
立体几何与空间向量 立体几何初步 点、直线、平面间的位置关系
空间中的平行
空间中的垂直
17 已知抛物线 ：
，直线 的斜率为 ．
（1） 若直线 与抛物线 相切，求直线 的方程．
（2） 设 为坐标原点，若直线 与抛物线 相交于 ， 两点（均不与原点重合），
．
答案
解析 依题意，则圆过 设圆方程为 则
，
，
，
，
，解得
，
．
故方程为
．
考点
解析几何 圆与方程 圆的方程
椭圆 椭圆的定义、图形及标准方程
14 曲线 是平面内与两个定点
和
的距离的积等于常数
下列三个结论：
①曲线 过坐标原点；
②曲线 关于坐标原点对称；
③若点 在曲线 上，则
的面积不大于 ．
其中，所有正确结论的序号是
，
当
时，直线 的方程为
，也符合
的形式，
设
，将直线 的方程与椭圆 的方程联立，
得
，
所以 因为四边形
，
，
，
，
是平行四边形，所以
，即
所以
解得， 因此四边形
， 的面积
．
考点
解析几何 椭圆 椭圆的定义、图形及标准方程
椭圆的离心率
直线与圆锥曲线 直线与圆锥曲线的位置关系
弦长或面积问题
空间中的平行
空间中的垂直
9 一直线过椭圆
（ ）的焦点 且垂直于 轴，与椭圆交于 ， 两点，以线段
为一边、椭圆的短半轴为另一边作一个四边形，这个四边形一定是（ ）．
A. 等腰梯形
B. 一般梯形
C. 菱形
D. 不是菱形的平行四边形
答案 D
解析 由方程可知，
，解得
，
所以线段
，短半轴长也为 ，
又因为
轴，所以四边形为平行四边形．
2017~2018学年北京石景山区高二上学期理科期末 数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1 已知点 A. C.
，
，如果直线 的倾斜角为 ，那么实数 等于（ ）．
B.
D.
答案 B 解析 直线 的斜率
，解得
．
考点
解析几何 直线与方程 直线的倾斜角与斜率
2 一个空间几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积为（ ）．
16 如图，在三棱柱
中，
底面 ，且
， 是 的中点.
（1） 求证： 平面
.
（2） 求证：
平面
.
答案 （1） 证明见解析． （2） 证明见解析．
解析 （1） 证明：因为
平面 ，
平面 ，
所以
，
又因为
，
且 是 的中点，
所以
，
，
平面
，
平面
，
所以 平面
．
（2） 证明：连结 ，设
，连结 ，
因为
为平行四边形，
所以 为 的中点，
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 设底面圆半径为 ，故 圆锥体积为 依题意，体积
，解得
，
，
，解得 ．
考点
立体几何与空间向量 立体几何初步 空间几何体体积和表面积的计算
8 在正方体
中， ， ， 分别是 ， ， 的中点．给出下列四个
推断：
①
平面
；②
平面
；
③
平面
；④平面
平面
，
其中正确推断的个数是（ ）．
A.
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 由此几何体的三视图可知： 几何体如图所示：
底面
为矩形，
与 交于 ，
平面
，
，
，
平行四边形 ， ， ．
， ，
考点
立体几何与空间向量 立体几何初步 空间几何体体积和表面积的计算
三视图
空间几何体
3 已知两条直线 ， 和平面 ， ，那么下列命题中的真命题为（ ）．
A. 若
， ，则
交，满足题意；
取
中点 ， ， ， ， 四点共面， ， 在平面
故 与平面相交，满足题意；
动点 在直线 （除 ， 两点）上运动的过程中，平面
是 ， ，．
的两侧，故 与平面相 的两侧，
可能经过的该正方体的顶点
考点
立体几何与空间向量 立体几何初步 空间几何体
点、直线、平面间的位置关系
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
北京人大附中2017-2018学年高二上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年北京人大附中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上.）1．已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B“的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知p：∀x∈R，2x＞0，则（）A．￢p：∃x∉R，2x≤0 B．￢p：∃x∈R，2x≤0 C．￢p：∃x∈R，2x＜0 D．￢p：∃x∉R，2x＞03．如图，在三棱锥O﹣ABC中，点D是棱AC的中点，若=， =， =，则等于（）A．﹣B． C．﹣+D．﹣﹣﹣4．给定原：“若a2+b2=0，则a、b全为0”，那么下列形式正确的是（）A．逆：若a、b全为0，则a2+b2=0B．否：若a2+b2≠0，则a、b全不为0C．逆否：若a、b全不为0，则a2+b2≠0D．否定：若a2+b2=0，则a、b全不为05．双曲线﹣=1的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A．x±2y=0 B．2x±y=0 C． x±y=0 D．x±y=06．已知点P是双曲线﹣=1上一点，若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为（）A．B．C．5 D．107．已知AB是经过抛物线y2=2px的焦点的弦，若点A、B的横坐标分别为1和，则该抛物线的准线方程为（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x= D．x=﹣8．在平面直角坐标系中，动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，记点P的轨迹为曲线W，则下列中：①曲线W关于原点对称；②曲线W关于x轴对称；③曲线W关于y轴对称；④曲线W关于直线y=x对称所有真的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸中.）9．以y=±x为渐近线且经过点（2，0）的双曲线方程为．10．已知=（2，﹣1，2），=（﹣4，2，x），且∥，则x= ．11．设F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上一点，若|PF1|﹣|PF2|=1，则|PF1|= ，||PF2|= ．12．已知△ABC的顶点A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，0，1），CD是AB边上的高，则点D的坐标为．13．已知p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的负根；q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若p∨q为真，（p∧q）为假，则m的取值范围为．14．已知点A（0，2），点B（0，﹣2），直线MA、MB的斜率之积为﹣4，记点M的轨迹为C （I）曲线C的方程为；（II）设QP，为曲线C上的两点，满足OP⊥OQ（O为原点），则△OPQ面积的最小值是．三、解答题（本大题共3小题，共38分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知向量=（2，﹣1，﹣2），=（1，1，﹣4）．（1）计算2﹣3和|2﹣3|；（2）求＜，＞16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=3，BC=CC1=4（1）求证：AB1⊥C1B（2）求直线C1B与平面ABB1A1所成的角的正弦值．17．已知抛物线C的顶点在坐标原点O，焦点为F（1，0），经过点F的直线l与抛物线C相交于A、B两点．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若△AOB的面积为4，求|AB|一、填空题（本题共2小题，每题10分，共20分.请把结果填在答题纸上.）18．已知点P为抛物线y2=2x上的一个动点，过点P作⊙A：（x﹣3）2+y2=1的两条切线PM、PN，切点为M、N（I）当|PA|最小时，点P的坐标为；（II）四边形PMAN的面积的最小值为．19．在四面体ABCD中，若E、F、H、I、J、K分别是棱AB、CD、AD、BC、AC、BD的中点，则EF、HI、JK相交于一点G，则点G为四面体ABCD的重心．设A（0，0，2），B（2，0，0），C （0，3，0），D（2，3，2）．（I）重心G的坐标为；（II）若△BCD的重心为M，则= ．二、解答题（本大题共2小题，满分30分.请把解答过程写在答题纸上.）20．已知椭圆C的中心在坐标原点O，两焦点分别为F1（﹣，0）、F2（，0），过点P（0，2）的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且△AF1F2的周长为4+2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若原点O关于直线l的对称点在椭圆C上，求直线l的方程．21．如图（1），在△ABC中，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是AB边上一点，沿CD将图形折叠成图（2），使得二面角B﹣CD﹣A是直二面角．（1）若D是AB边的中点，求二面角C﹣AB﹣D的大小；（2）若AD=2BD，求点B到平面ACD的距离；（3）是否存在一点D，使得二面角C﹣AB﹣D是直二面角？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．2015-2016学年北京人大附中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上.）1．已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B“的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；集合的包含关系判断及应用．【分析】先有a=3成立判断是否能推出A⊆B成立，反之判断“A⊆B”成立是否能推出a=3成立；利用充要条件的题意得到结论．【解答】解：当a=3时，A={1，3}所以A⊆B，即a=3能推出A⊆B；反之当A⊆B时，所以a=3或a=2，所以A⊆B成立，推不出a=3故“a=3”是“A⊆B”的充分不必要条件故选A．2．已知p：∀x∈R，2x＞0，则（）A．￢p：∃x∉R，2x≤0 B．￢p：∃x∈R，2x≤0 C．￢p：∃x∈R，2x＜0 D．￢p：∃x∉R，2x＞0【考点】的否定．【分析】直接利用全称的否定是特称，写出结果即可．【解答】解：因为全称的否定是特称，所以，p：∀x∈R，2x＞0，则￢p：∃x∈R，2x≤0．故选：B．3．如图，在三棱锥O﹣ABC中，点D是棱AC的中点，若=， =， =，则等于（）A．﹣B．C．﹣+D．﹣﹣﹣【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】利用向量的三角形法则，表示所求向量，化简求解即可．【解答】解：由题意在三棱锥O﹣ABC中，点D是棱AC的中点，若=， =，=，可知： =+， =，==，=﹣+．故选：C．4．给定原：“若a2+b2=0，则a、b全为0”，那么下列形式正确的是（）A．逆：若a、b全为0，则a2+b2=0B．否：若a2+b2≠0，则a、b全不为0C．逆否：若a、b全不为0，则a2+b2≠0D．否定：若a2+b2=0，则a、b全不为0【考点】四种间的逆否关系．【分析】根据四种之间的关系，分别写出原的逆、否、逆否，再写出原的否定即可得出结论．【解答】解：原：“若a2+b2=0，则a、b全为0”，所以逆是：“若a、b全为0，则a2+b2=0”，选项A正确；否是：“若a2+b2≠0，则a、b不全为0”，选项B错误；逆否是：“若a、b不全为0，则a2+b2≠0”，选项C错误；否定是：“若a2+b2=0，则a、b不全为0”，选项D错误．故选：A．5．双曲线﹣=1的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A．x±2y=0 B．2x±y=0 C． x±y=0 D．x±y=0【考点】双曲线的简单性质．【分析】通过双曲线的离心率，求出a，b的比值，然后求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：由已知，双曲线﹣=1的离心率为2，∴，∴．该双曲线的渐近线方程为：y=，即： x±y=0．故选：C6．已知点P是双曲线﹣=1上一点，若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为（）A．B．C．5 D．10【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用勾股定理，结合双曲线的定义，即可求出△PF1F2的面积．【解答】解：由题意得 a=2，b=，c=3，∴F1（﹣3，0）、F2（3，0），Rt△PF1F2中，由勾股定理得4c2=|PF1|2+|PF2|2=（|PF1|﹣|PF2|）2+2•|PF|•|PF2|=4a2+2•|PF1|•|PF2|，1∴36=4×4+2•|PF1|•|PF2|，∴|PF1|•|PF2|=10，∴△PF1F2面积为•|PF1|•|PF2|=5，故选：C．7．已知AB是经过抛物线y2=2px的焦点的弦，若点A、B的横坐标分别为1和，则该抛物线的准线方程为（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x=D．x=﹣【考点】抛物线的标准方程．【分析】求出A，B的坐标，利用两点间的距离公式结合弦长公式，即可得出结论．【解答】解：由题意，A（1，），B（，﹣），∴|AB|==，∴=1++p，∴p=1，∴抛物线的准线方程为x=﹣．故选：D．8．在平面直角坐标系中，动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，记点P的轨迹为曲线W，则下列中：①曲线W关于原点对称；②曲线W关于x轴对称；③曲线W关于y轴对称；④曲线W关于直线y=x对称所有真的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】轨迹方程．【分析】根据距离相等列出方程化简求出y关于x的函数，作出图象即可得出结论．【解答】解：曲线W的轨迹方程为|x|+|y|=，两边平方得：2|xy|=﹣2x﹣2y+2，即|xy|+x+y=1，①若xy＞0，则xy+x+y+1=2，即（x+1）（y+1）=2，∴y=，函数为以（﹣1，﹣1）为中心的双曲线的一支，②若xy＜0，则xy﹣x﹣y+1=0，即（x﹣1）（y﹣1）=0，∴x=1（y＜0）或y=1（x＜0）．作出图象如图所示：∴曲线W关于直线y=x对称；故选A．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸中.）9．以y=±x为渐近线且经过点（2，0）的双曲线方程为．【考点】双曲线的标准方程．【分析】根据题意设双曲线方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），代入题中的点的坐标，即可得到λ=4，将方程化成标准形式，即可得到该双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线以y=±x为渐近线，∴该双曲线为等轴双曲线，设方程为x2﹣y2=λ（λ≠0）∵点（2，0）是双曲线上的点，∴22﹣02=λ，可得λ=4由此可得双曲线方程为x2﹣y2=4，化成标准形式得故答案为：10．已知=（2，﹣1，2），=（﹣4，2，x），且∥，则x= ．【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直．【分析】利用向量共线的充要条件：坐标交叉相乘的积相等，列出方程求出x的值．【解答】解：∵∥，∴2×2=﹣2×x∴x=﹣4．故答案为：﹣411．设F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上一点，若|PF1|﹣|PF2|=1，则|PF1|= 2.5 ，||PF2|= 1.5 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a，结合|PF1|﹣|PF2|=1，可得结论．【解答】解：椭圆+=1中，a=2，∵P是椭圆+=1上的点，F1，F2是椭圆的两个焦点，∴由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=4，∵|PF1|﹣|PF2|=1，∴|PF1|=2.5，||PF2|=1.5．故答案为：2.5，1.5．12．已知△ABC的顶点A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，0，1），CD是AB边上的高，则点D的坐标为．【考点】空间中的点的坐标．【分析】=（﹣1，2，0）．设=λ，可得： =（1﹣λ，2λ，0）．有⊥，可得•=0，解得λ，即可得出．【解答】解： =（﹣1，2，0）．设=λ，可得： =+λ=（1﹣λ，2λ，0）．∴=（1﹣λ，2λ，﹣1）．∵⊥，∴•=﹣（1﹣λ）+4λ=0，解得：λ=，∴=．故答案为：．13．已知p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的负根；q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若p∨q为真，（p∧q）为假，则m的取值范围为（1，2]∪∪，∴＜，＞=．16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=3，BC=CC1=4（1）求证：AB1⊥C1B（2）求直线C1B与平面ABB1A1所成的角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）证明AC，CB，CC1两两垂直，以C为原点建立坐标系，求出，的坐标，计算其数量积为0得出AB1⊥C1B；（2）求出平面ABB1A1的法向量，则|cos＜＞|即为所求．【解答】（1）证明：连接B1C交BC1于点O．∵CC1⊥底面ABC，AC⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，∴CC1⊥AC，CC1⊥BC，又AC⊥BC，∴AC，CB，CC1两两垂直，以CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CC1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系．∵AC=3，BC=CC1=4，∴A（3，0，0），B（0，4，0），B1（0，4，4），C1（0，0，4）．∴=（﹣3，4，4），=（0，﹣4，4），∴=﹣3•0+4•（﹣4）+4•4=0，∴AB1⊥BC1．（2）解：∵A1（3，0，4），A（3，0，0），B（0，4，0），B1（0，4，4），C1（0，0，4）．∴=（﹣3，4，0），=（0，0，4），=（0，4，﹣4）．设平面ABB1A1的法向量=（x，y，z），则，∴．令x=4得=（4，3，0）．∴cos＜＞===．∴直线C1B与平面ABB1A1所成角的正弦值为．17．已知抛物线C的顶点在坐标原点O，焦点为F（1，0），经过点F的直线l与抛物线C相交于A、B两点．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若△AOB的面积为4，求|AB|【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】（1）设出抛物线的方程，求出p的值，从而求出抛物线的标准方程即可；（2）通过讨论直线l的斜率，求出|AB|的表达式，求出k的值，从而求出|AB|即可．【解答】解：（1）依题意可设：抛物线C的标准方程为y2=2px（p＞0），由其焦点为F（1，0）易得：2p=4，得：p=2，故所求抛物线C的标准方程为y2=4x；（2）①当直线l斜率不存在即与x轴垂直时，易知：|AB|=4，此时△AOB的面积为S△AOB=|OF|•|AB|=×1×4=2，不符合题意，故舍去．②当直线l斜率存在时，可设其为k（k≠0），则此时直线l的方程为y=k（x﹣1），将其与抛物线C的方程：y2=4x联立化简整理可得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，（k≠0），设A、B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）由韦达定理可得：，由弦长公式可得：|AB|=x1+x2+p=2++2=+4，由点到直线的距离公式可得：坐标原点O到直线l的距离为d=，故△AOB的面积为S△AOB=|AB|d=2（+|k|）==4，==16，解得：k=±，k2=，又|AB|=+4=12+4=16，因此，当△AOB的面积为4时，所求弦AB的长为16．一、填空题（本题共2小题，每题10分，共20分.请把结果填在答题纸上.）18．已知点P为抛物线y2=2x上的一个动点，过点P作⊙A：（x﹣3）2+y2=1的两条切线PM、PN，切点为M、N（I）当|PA|最小时，点P的坐标为（2，2）或（2，﹣2）；（II）四边形PMAN的面积的最小值为．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】（I）设P（x，y），则|PA|2=（x﹣3）2+y2=（x﹣3）2+2x=（x﹣2）2+5，即可求出当|PA|最小时，点P的坐标；（II）由圆的方程为求得圆心C（3，0）、半径r为：1，若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小，利用距离公式，结合配方法，即可得出结论．．【解答】解：（I）设P（x，y），则|PA|2=（x﹣3）2+y2=（x﹣3）2+2x=（x﹣2）2+5，∴x=2时，|PA|最小，此时y=±2，∴点P的坐标为（2，±2）；（II）圆C：（x﹣3）2+y2=1圆心C（3，0）、半径r为：1根据题意，若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小．由（I），|PA|最小为，∴四边形PMAN的面积的最小值为2×=故答案为：（2，2）或（2，﹣2）；．19．在四面体ABCD中，若E、F、H、I、J、K分别是棱AB、CD、AD、BC、AC、BD的中点，则EF、HI、JK相交于一点G，则点G为四面体ABCD的重心．设A（0，0，2），B（2，0，0），C （0，3，0），D（2，3，2）．（I）重心G的坐标为；（II）若△BCD的重心为M，则= 3 ．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】（I）利用重心的坐标计算公式即可得出．（II）利用重心的坐标计算公式可得M坐标，可得，，再利用模的计算公式即可得出．【解答】解：（I）x G==1，y G==，z G==1，∴重心G的坐标为．（II）M，即M．=， =，∴==3．故答案分别为：；3．二、解答题（本大题共2小题，满分30分.请把解答过程写在答题纸上.）20．已知椭圆C的中心在坐标原点O，两焦点分别为F1（﹣，0）、F2（，0），过点P（0，2）的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且△AF1F2的周长为4+2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若原点O关于直线l的对称点在椭圆C上，求直线l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）设椭圆C的标准方程为=1（a＞b＞0），由题意可得：c=，2a+2c=4+2，a2=b2+c2，联立解出即可得出；（2）由题意易知：直线l的斜率存在，可设直线l的方程为：y=kx+2，（k≠0）．设原点O关于直线l的对称点O′的坐标为（x0，y0）．线段OO′的中点D的坐标为，由题意可知： =k+2， +=1，×k=﹣1，联立解出即可得出．【解答】解：（1）设椭圆C的标准方程为=1（a＞b＞0），由题意可得：c=，2a+2c=4+2，a2=b2+c2，联立解得：c=，a=2，b=1．所求椭圆C的方程为=1．（2）由题意易知：直线l的斜率存在，可设直线l的方程为：y=kx+2，（k≠0）．设原点O关于直线l的对称点O′的坐标为（x0，y0）．则线段OO′的中点D的坐标为，由题意可知：点D在直线l上，故有=k+2，①点O在椭圆C上，故有+=1，②线段OO′与直线l垂直，故有×k=﹣1，③由①③可得：x0=﹣，，将其代入②可得：k=．故所求直线l的方程为：y=x+2．21．如图（1），在△ABC中，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是AB边上一点，沿CD将图形折叠成图（2），使得二面角B﹣CD﹣A是直二面角．（1）若D是AB边的中点，求二面角C﹣AB﹣D的大小；（2）若AD=2BD，求点B到平面ACD的距离；（3）是否存在一点D，使得二面角C﹣AB﹣D是直二面角？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．【分析】（1）取AB中点M，连结CM，DM，则∠CMD为所求二面角的平面角，计算出△CDM的边长，利用余弦定理求出∠CMD；（2）利用在余弦定理求出∠BCD，则B到平面ACD的距离为BC•sin∠BCD；（3）以A为原点建立空间直角坐标系，设，B到平面ACD的距离为h，求出，计算是否为0即可得出结论．【解答】解：（1）在图（1）中，∵AC=BC=1，∠ACB=90°，∴AB=．当D为AB边的中点时，AD=BD=CD==，且CD⊥AB．在图（2）中取AB的中点M，连结DM，CM．∵CA=CB=1，AD=BD=，AB=1，∴DM=，CM=，且CM⊥AB，DM⊥AB．∴∠CMD为二面角C﹣AB﹣D的平面角．在△CDM中，由余弦定理得cos∠CMD===．∴二面角C﹣AB﹣D的大小为arccos．（2）在图（1）中，当AD=2BD时，BD=AB=，在△BCD中，由余弦定理得：CD==．由正弦定理得：，∴sin∠BCD==．在图（2）中，∵二面角B﹣CD﹣A是直二面角，∴∠BCD为BC与平面ACD所成的角，∴点B到平面ACD的距离为BC•sin∠BCD=．（3）设=λ（λ＞0），则AD=，BD=．在平面ACD中过A作AC的垂线Ay，过A作平面ACD的垂线Az，以A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，如图所示：设B到平面ACD的距离为h，则A（0，0，0），C（1，0，0），D（，，0），B（，，h）．设AB的中点为M，则M（，，），∴=（，，），=（，，0）．∵CA=CB，M为AB的中点，∴CM⊥AB，假设二面角C﹣AB﹣D是直二面角，则CM⊥平面ABD，∴CM⊥AD．∵=•++0=≠0．与CM⊥AD矛盾．∴不存在一点D，使得二面角C﹣AB﹣D是直二面角．2016年10月28日。
2017-2018学年北京市西城区高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版含解析
北京市西城区2017— 2018学年度第一学期期末试卷高二数学（理科）一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】直线可化为：.斜率为-1，所以倾斜角为.故选D.2. 命题“对任意，都有”的否定是（）A. 存在,使得B. 对任意,都有C. 存在,使得D. 对任意,都有【答案】C【解析】根据命题的否定的写法，只否结论，不改变条件，且转化其中的量词，将任意改为存在。
即存在,使得.故答案为：C。
3. 双曲线的焦点到其渐近线的距离为（）A. 1B.C. 2D.【答案】A【解析】根据双曲线的方程得到焦点为，渐近线为：，根据点到直线的距离得到焦点到渐近线的距离为故答案为：A。
4. 设是两个不同的平面，是三条不同的直线，（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】D【解析】A.垂直于同一条直线的两条直线，可能是互相垂直的，比如墙角模型。
故不正确。
B.平行于同一个平面的两条直线可以是平行的，垂直的，共面异面都有可能。
故不正确。
C.直线b有可能在平面内。
故不正确。
D.垂直于同一条直线的两个平面是平行的。
正确。
故答案为：D。
5. “”是“方程表示的曲线为椭圆”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】易知“”时，方程表示的曲线为椭圆成立，充分性成立但当方程表示的曲线为椭圆时，或，必要性不成立.所以“”是“方程表示的曲线为椭圆”的充分不必要条件.故选A.6. 设是两个不同的平面，是一条直线，若，，，则（）A.与平行B.与相交C.与异面D. 以上三个答案均有可能【答案】A【解析】过l作平面与α、β相交，交线分别为a，b，利用线面平行的性质，可得l∥a，l∥b，∴a∥b，∵a⊄β，b⊂β，∴a∥β，∵a⊂α，α∩β=m，∴l∥m.故选A.7. 设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段的中点，则直线的斜率的最大值为（）A. B. 1 C. D. 2【答案】B【解析】设，，是线段的中点，所以.直线的斜率为：.显然时的斜率较大，此时，当且仅当，时，斜率最大为1.故选B.8. 设为空间中的一个平面，记正方体的八个顶点中到的距离为的点的个数为，的所有可能取值构成的集合为，则有（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】当为面时，A,C,,到面的距离相等，即，排除C;取E,F,G,H为，的中点，记为时，点，六个点到面的距离相等，即，排除A,B.故选D.点睛：两点到面的距离相等分为两种情况：（1）两点连线与平面平行；（2）两点连线的中点在面上.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9. 命题“若，则”的逆否命题为_______.【答案】若，则【解析】逆否命题即调换结论和条件的位置，并且将两者都否定。
石景山区高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
石景山区高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 设a 是函数x 的零点，若x 0＞a ，则f （x 0）的值满足（）A ．f （x 0）=0B ．f （x 0）＜0C ．f （x 0）＞0D ．f （x 0）的符号不确定2． 下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．3． 下列判断正确的是（）A ．①不是棱柱B ．②是圆台C ．③是棱锥D ．④是棱台4． 函数在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为（ ）sin()y A x ωϕ=+A ． B ． C ． D ．2sin(2)3y x π=+22sin(23y x π=+2sin()23x y π=-2sin(2)3y x π=-5． 在数列中，，，则该数列中相邻两项的乘积为负数的项是{}n a 115a =*1332()n n a a n N +=-∈（）A ．和B ．和C ．和D ．和21a 22a 22a 23a 23a 24a 24a 25a 6． 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x 的值是（）A ．2B ．C ．D ．37． 某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是（ ）A ．2日和5日B ．5日和6日C ．6日和11日D ．2日和11日8． 已知在平面直角坐标系中，点，（）.命题：若存在点在圆xOy ),0(n A -),0(n B 0>n p P 上，使得，则；命题：函数在区间1)1(3(22=-++y x 2π=∠APB 31≤≤n x xx f 3log 4)(-=内没有零点.下列命题为真命题的是（ ）)4,3(A ．B ．C ．D ．)(q p ⌝∧q p ∧q p ∧⌝)(qp ∨⌝)(9． 一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于P ，直线PF 1（F 1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知数列{a n }是等比数列前n 项和是S n ，若a 2=2，a 3=﹣4，则S 5等于（ ）A ．8B ．﹣8C ．11D ．﹣1111．抛物线x=﹣4y 2的准线方程为（ ）A ．y=1B ．y=C ．x=1D ．x=12．过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是原点，若|AF|=3，则△AOF 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．2二、填空题13．已知sin α+cos α=，且＜α＜，则sin α﹣cos α的值为 ．14．调查某公司的四名推销员，其工作年限与年推销金额如表推销员编号1234工作年限x/（年）351014年推销金额y/（万元）23712由表中数据算出线性回归方程为=x+．若该公司第五名推销员的工作年限为8年，则估计他（她）的年推销金额为 万元．15．若正方形P1P2P3P4的边长为1，集合M={x|x=且i，j∈{1，2，3，4}}，则对于下列命题：①当i=1，j=3时，x=2；②当i=3，j=1时，x=0；③当x=1时，（i，j）有4种不同取值；④当x=﹣1时，（i，j）有2种不同取值；⑤M中的元素之和为0．其中正确的结论序号为 ．（填上所有正确结论的序号）16．数列{ a n}中，a1＝2，a n＋1＝a n＋c（c为常数），{a n}的前10项和为S10＝200，则c＝________．17．一组数据2，x，4，6，10的平均值是5，则此组数据的标准差是 ．18．曲线在点（3，3）处的切线与轴x的交点的坐标为 ．三、解答题19．如图，已知椭圆C：+y2=1，点B坐标为（0，﹣1），过点B的直线与椭圆C另外一个交点为A，且线段AB的中点E在直线y=x上（Ⅰ）求直线AB的方程（Ⅱ）若点P为椭圆C上异于A，B的任意一点，直线AP，BP分别交直线y=x于点M，N，证明：OM•ON 为定值．20．已知集合A={x|x＜﹣1，或x＞2}，B={x|2p﹣1≤x≤p+3}．（1）若p=，求A∩B；（2）若A∩B=B，求实数p的取值范围．21．已知命题p：∀x∈[2，4]，x2﹣2x﹣2a≤0恒成立，命题q：f（x）=x2﹣ax+1在区间上是增函数．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．22．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超出A万元，则超出部分按log5（2A+1）进行奖励．记奖金为y（单位：万元），销售利润为x（单位：万元）．（1）写出奖金y关于销售利润x的关系式；（2）如果业务员小江获得3.2万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？23．（本题满分15分）已知抛物线的方程为，点在抛物线上．C 22(0)y px p =>(1,2)R C（1）求抛物线的方程；C （2）过点作直线交抛物线于不同于的两点，，若直线，分别交直线于(1,1)Q C R A B AR BR :22l y x =+，两点，求最小时直线的方程．M N MN AB 【命题意图】本题主要考查抛物线的标准方程及其性质以及直线与抛物线的位置关系等基础知识，意在考查运算求解能力.24．（文科）（本小题满分12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨）、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超过的部分按议价收费，为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．[)[)[)0,0.5,0.5,1,,4,4.5（1）求直方图中的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用量不低于3吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由．石景山区高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】C【解析】解：作出y=2x和y=log x的函数图象，如图：由图象可知当x0＞a时，2＞log x0，∴f（x0）=2﹣log x0＞0．故选：C．2．【答案】B【解析】【知识点】函数的单调性与最值函数的奇偶性【试题解析】若函数是奇函数，则故排除A、D；对C：在（-和（上单调递增，但在定义域上不单调，故C错；故答案为：B3．【答案】C【解析】解：①是底面为梯形的棱柱；②的两个底面不平行，不是圆台；③是四棱锥；④不是由棱锥截来的，故选：C．4． 【答案】B 【解析】考点：三角函数的图象与性质．()sin()f x A x ωϕ=+5． 【答案】C 【解析】考点：等差数列的通项公式．6． 【答案】C解析：由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x 的侧棱垂直于底面．则体积为=，解得x=．故选：C ．7． 【答案】C【解析】解：由题意，1至12的和为78，因为三人各自值班的日期之和相等，所以三人各自值班的日期之和为26，根据甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，据此可判断丙必定值班的日期是6日和11日，故选：C ．【点评】本题考查分析法，考查学生分析解决问题的能力，比较基础． 8． 【答案】A 【解析】试题分析：命题：,则以为直径的圆必与圆有公共点,所以p 2π=∠APB AB ()()11322=-++y x ,解得,因此,命题是真命题.命题：函数，,121+≤≤-n n 31≤≤n p ()xxx f 3log 4-=()0log 1443<-=f ,且在上是连续不断的曲线,所以函数在区间内有零点，因此,命题是()0log 34333>-=f ()x f []4,3()x f ()4,3假命题.因此只有为真命题．故选A ．)(q p ⌝∧考点：复合命题的真假．【方法点晴】本题考查命题的真假判断,命题的“或”、“且”及“非”的运算性质,同时也考查两圆的位置关系和函数零点存在定理,属于综合题.由于点满足,因此在以为直径的圆上,又点在圆P 2π=∠APB AB P 上，因此为两圆的交点,利用圆心距介于两圆半径差与和之间,求出的范围.函数1)1(3(22=-++y x P 是单调函数,利用零点存在性定理判断出两端点异号,因此存在零点.x xx f 3log 4)(-=9． 【答案】D【解析】解：设F 2为椭圆的右焦点由题意可得：圆与椭圆交于P ，并且直线PF 1（F 1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，所以点P 是切点，所以PF 2=c 并且PF 1⊥PF 2．又因为F 1F 2=2c ，所以∠PF 1F 2=30°，所以．根据椭圆的定义可得|PF 1|+|PF 2|=2a ，所以|PF 2|=2a ﹣c ．所以2a ﹣c=，所以e=．故选D ．【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握直线与圆的相切问题，以即椭圆的定义． 10．【答案】D【解析】解：设{a n }是等比数列的公比为q ，因为a 2=2，a 3=﹣4，所以q===﹣2，所以a 1=﹣1，根据S 5==﹣11．故选：D ．【点评】本题主要考查学生运用等比数列的前n 项的求和公式的能力，本题较易，属于基础题． 11．【答案】D【解析】解：抛物线x=﹣4y2即为y2=﹣x，可得准线方程为x=．故选：D．12．【答案】B【解析】解：抛物线y2=4x的准线l：x=﹣1．∵|AF|=3，∴点A到准线l：x=﹣1的距离为3∴1+x A=3∴x A=2，∴y A=±2，∴△AOF的面积为=．故选：B．【点评】本题考查抛物线的定义，考查三角形的面积的计算，确定A的坐标是解题的关键． 二、填空题13．【答案】 ．【解析】解：∵sinα+cosα=，＜α＜，∴sin2α+2sinαcosα+cos2α=，∴2sinαcosα=﹣1=，且sinα＞cosα，∴sinα﹣cosα===．故答案为：．14．【答案】 ．【解析】解：由条件可知=（3+5+10+14）=8，=（2+3+7+12）=6，代入回归方程，可得a=﹣，所以=x﹣，当x=8时，y=，估计他的年推销金额为万元．故答案为：．【点评】本题考查线性回归方程的意义，线性回归方程一定过样本中心点，本题解题的关键是正确求出样本中心点，题目的运算量比较小，是一个基础题．15．【答案】 ①③⑤ 【解析】解：建立直角坐标系如图：则P1（0，1），P2（0，0），P3（1，0），P4（1，1）．∵集合M={x|x=且i，j∈{1，2，3，4}}，对于①，当i=1，j=3时，x==（1，﹣1）•（1，﹣1）=1+1=2，故①正确；对于②，当i=3，j=1时，x==（1，﹣1）•（﹣1，1）=﹣2，故②错误；对于③，∵集合M={x|x=且i，j∈{1，2，3，4}}，∴=（1，﹣1），==（0，﹣1），==（1，0），∴•=1；•=1；•=1；•=1；∴当x=1时，（i，j）有4种不同取值，故③正确；④同理可得，当x=﹣1时，（i，j）有4种不同取值，故④错误；⑤由以上分析，可知，当x=1时，（i，j）有4种不同取值；当x=﹣1时，（i，j）有4种不同取值，当i=1，j=3时，x=2时，当i=3，j=1时，x=﹣2；当i=2，j=4，或i=4，j=2时，x=0，∴M中的元素之和为0，故⑤正确．综上所述，正确的序号为：①③⑤，故答案为：①③⑤．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查平面向量的坐标运算，建立直角坐标系，求得=（1，﹣1），==（0，﹣1），==（1，0）是关键，考查分析、化归与运算求解能力，属于难题．16．【答案】【解析】解析：由a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋c ，知数列{a n }是以2为首项，公差为c 的等差数列，由S 10＝200得10×2＋×c ＝200，∴c ＝4.10×92答案：417．【答案】 2 ．【解析】解：∵一组数据2，x ，4，6，10的平均值是5，∴2+x+4+6+10=5×5，解得x=3，∴此组数据的方差[（2﹣5）2+（3﹣5）2+（4﹣5）2+（6﹣5）2+（10﹣5）2]=8，∴此组数据的标准差S==2．故答案为：2．【点评】本题考查一组数据的标准差的求法，解题时要认真审题，注意数据的平均数和方差公式的求法． 18．【答案】 （，0） ．【解析】解：y ′=﹣，∴斜率k=y ′|x=3=﹣2，∴切线方程是：y ﹣3=﹣2（x ﹣3），整理得：y=﹣2x+9，令y=0，解得：x=，故答案为：．【点评】本题考查了曲线的切线方程问题，考查导数的应用，是一道基础题．三、解答题19．【答案】【解析】（Ⅰ）解：设点E （t ，t ），∵B （0，﹣1），∴A （2t ，2t+1），∵点A在椭圆C上，∴，整理得：6t2+4t=0，解得t=﹣或t=0（舍去），∴E（﹣，﹣），A（﹣，﹣），∴直线AB的方程为：x+2y+2=0；（Ⅱ）证明：设P（x0，y0），则，直线AP方程为：y+=（x+），联立直线AP与直线y=x的方程，解得：x M=，直线BP的方程为：y+1=，联立直线BP与直线y=x的方程，解得：x N=，∴OM•ON=|x M||x N|=2•||•||=||=||=||=．【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求直线的方程、线段乘积为定值等问题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．20．【答案】【解析】解：（1）当p=时，B={x|0≤x≤}，∴A∩B={x|2＜x≤}；（2）当A∩B=B时，B⊆A；令2p﹣1＞p+3，解得p＞4，此时B=∅，满足题意；当p≤4时，应满足，解得p不存在；综上，实数p的取值范围p＞4．21．【答案】【解析】解：∀x∈[2，4]，x2﹣2x﹣2a≤0恒成立，等价于a≥x2﹣x在x∈[2，4]恒成立，而函数g（x）=x2﹣x在x∈[2，4]递增，其最大值是g（4）=4，∴a≥4，若p为真命题，则a≥4；f（x）=x2﹣ax+1在区间上是增函数，对称轴x=≤，∴a≤1，若q为真命题，则a≤1；由题意知p、q一真一假，当p真q假时，a≥4；当p假q真时，a≤1，所以a的取值范围为（﹣∞，1]∪[4，+∞）．22．【答案】【解析】解：（1）由题意，当销售利润不超过8万元时，按销售利润的1%进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超出A万元，则超出部分按log5（2A+1）进行奖励，∴0＜x≤8时，y=0.15x；x＞8时，y=1.2+log5（2x﹣15）∴奖金y关于销售利润x的关系式y=（2）由题意知1.2+log5（2x﹣15）=3.2，解得x=20．所以，小江的销售利润是20万元．【点评】本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查学生的计算能力，属于中档题．23．【答案】（1）；（2）．24y x =20x y +-=【解析】（1）∵点在抛物线上，，…………2分(1,2)R C 22212p p =⨯⇒=即抛物线的方程为；…………5分C 24y x =24．【答案】（1）；（2）万；（3）.0.3a 3.6 2.9【解析】（3）由图可得月均用水量不低于2.5吨的频率为：；()0.50.080.160.30.40.520.7385%⨯++++=<月均用水量低于3吨的频率为：；()0.50.080.160.30.40.520.30.8885%⨯+++++=>则吨．10.850.732.50.5 2.90.30.5x -=+⨯=⨯考点：频率分布直方图．。
2017-2018年北京市十一学校高二(上)期末数学试卷和答案(理科)
16．（ 35 分）已知椭圆
的一个顶点为 B（0，1），半焦距
为 c，离心率
，又直线 l：y=kx+m（k≠ 0）交椭圆于 M （x1，y1），N（x2，
y2）两点，且 P（x0， y0）为 MN 中点． （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）若 k=1，m=﹣1，求弦 MN 的长；
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12．（ 4 分）已知直线 l 的参数方程为
（t 为参数），以平面直角坐标系的
坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C 的极坐标方程为 ρsin2θ ﹣ 4cosθ=（0 ρ≥0，0≤θ＜2π），则直线 l 与曲线 C 的位置关系是 相切 ．
【解答】 解：∵直线 l 的参数方程为
y2）两点，且 P（x0， y0）为 MN 中点． （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）若 k=1，m=﹣1，求弦 MN 的长；
三、解答题（共 2 道大题，共 44 分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过
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பைடு நூலகம்
程） . 15．（ 9 分）设函数 f （x）=
+ax﹣ lnx（ a∈ R）．
（ 1）当 a=1 时，求函数 f（x）的极值； （ 2）当 a≥2 时，讨论函数 f（x）的单调性．
【解答】 解：（1）函数的定义域为（ 0，+∞），
上是减函数； ，令 f' （ x）＞ 0，
得
，
当
，a＜2 时与已知矛盾，舍，
综 上 ， 当 a=2 时 ， f （ x ） 在 （ 0 ， + ∞ ） 单 调 递 减 ； 当 a ＞ 2 时 ，
上单调递减，在
上单调递增；
2017-2018年高二上期末数学试卷(理科)含答案解析 (4)
2017-2018学年高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={0，l，3}，B={x|x2﹣3x=0}，则A∩B=（）A．{0}B．{0，1}C．{0，3}D．{0，1，3}2．（5分）“x＞2“是“x2+2x﹣8＞0“成立的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）函数的最大值是（）A．﹣1 B．1 C．6 D．74．（5分）已知双曲线的中心为原点，F（3，0）是双曲线的﹣个焦点，是双曲线的一条渐近线，则双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．5．（5分）若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则可能使l∥α的是（）A．B．C．D．6．（5分）A（，1）为抛物线x2=2py（p＞0）上一点，则A到其焦点F的距离为（）A．B．+C．2 D．+17．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出的k的值为3，则输入的a的值可以是（）A．20 B．21 C．22 D．238．（5分）为得到函数的图象，只需要将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度9．（5分）若，，则sin2α等于（）A．B．C．D．10．（5分）若x，y满足约束条件，则的最大值是（）A．B．1 C．2 D．311．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A．B．9πC．D．10π12．（5分）函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，图象如图1所示；函数g（x）的定义域为[﹣2，2]，图象如图2所示，方程f（g（x））=0有m个实数根，方程g（f（x））=0有n个实数根，则m+n=（）A．6 B．8 C．10 D．12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知a＞0，b＞0，且a+b=1，则的最小值是．14．（5分）已知向量，，且⊥（+），则y的值为．15．（5分）已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为．16．（5分）椭圆上的任意一点P（短轴端点除外）与短轴上、下两个端点B1，B2的连线交x轴于点M和N，则|OM|+|ON|的最小值是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知p：函数y=x2﹣2x+a在区间（1，2）上有1个零点；q：函数y=x2+（2a﹣3）x+1图象与x轴交于不同的两点．若“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，求实数a的取值范围．18．（12分）在数列{a n}中，a1=，a n+1=•a n，n∈N*．（1）求证：数列{}为等比数列；（2）求数列{a n }的前n 项和S n ．19．（12分）已知顶点在单位圆上的△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2acosA=ccosB +bcosC ． （1）cosA 的值；（2）若b 2+c 2=4，求△ABC 的面积．20．（12分）某市电视台为了提高收视率而举办有奖问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了n 人，回答问题统计结果及频率分布直方图如图表所示．（1）分别求出a ，b ，x ，y 的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．21．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆E的方程；（2）设不过原点O的直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆E交于P，Q两点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，满足4k=k1+k2，试问：当k变化时，m2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．22．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，CD⊥BD，AB=AD，E为BC的中点．（1）求证：AE⊥BD；（2）设平面ABD⊥平面BCD，AD=CD=2，BC=4，求二面角B﹣AC﹣D的正弦值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={0，l，3}，B={x|x2﹣3x=0}，则A∩B=（）A．{0}B．{0，1}C．{0，3}D．{0，1，3}【解答】解：由B中方程变形得：x（x﹣3）=0，解得：x=0或x=3，即B={0，3}，∵A={0，1，3}，∴A∩B={0，3}，故选：C．2．（5分）“x＞2“是“x2+2x﹣8＞0“成立的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由x2+2x﹣8＞0解得x＞2，或x＜﹣4．∴“x＞2“是“x2+2x﹣8＞0“成立的充分不必要条件．故选：B．3．（5分）函数的最大值是（）A．﹣1 B．1 C．6 D．7【解答】解：函数，其定义域为{x|3≤x≤4}，显然存在最大值是大于0的，则，当=0时，y取得最大值为1．故选：B．4．（5分）已知双曲线的中心为原点，F（3，0）是双曲线的﹣个焦点，是双曲线的一条渐近线，则双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．【解答】解：∵双曲线的中心为原点，F（3，0）是双曲线的﹣个焦点，∴设双曲线方程为，a＞0，∵是双曲线的一条渐近线，∴=，解得a2=4，∴双曲线方程为．故选D．5．（5分）若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则可能使l∥α的是（）A．B．C．D．【解答】解：在A中，=﹣2，不可能使l∥α；在B中，=1+0+5=6，不可能使l∥α；在C中，=﹣1，不可能使l∥α；在D中，=0﹣3+3=0，有可能使l∥α．故选：D．6．（5分）A（，1）为抛物线x2=2py（p＞0）上一点，则A到其焦点F的距离为（）A．B．+C．2 D．+1【解答】解：把A（，1）代入抛物线方程得：2=2p，∴p=1．∴抛物线的焦点为F（0，）．∴抛物线的准线方程为y=﹣．∴A到准线的距离为1+=．∴AF=．故选：A．7．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出的k的值为3，则输入的a的值可以是（）A．20 B．21 C．22 D．23【解答】解：由题意，模拟执行程序，可得k=0，S=0，满足条件S≤a，S=2×0+3=3，k=0+1=1满足条件S≤a，S=2×3+3=9，k=1+1=2满足条件S≤a，S=2×9+3=21，k=2+1=3由题意，此时，应该不满足条件21≤a，退出循环，输出k的值为3，从而结合选项可得输入的a的值为20．故选：A．8．（5分）为得到函数的图象，只需要将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：由函数y=sin（2x﹣）=sin2（x﹣），且函数y=cos2（﹣x）=cos（﹣2x）=sin2x；为得到函数的图象，只需要将函数的图象向右平移个单位长度．故选：D．9．（5分）若，，则sin2α等于（）A．B．C．D．【解答】解：若，，则cosα+sinα=2（cos2α﹣sin2α），即1=4（cosα﹣sinα），平方可得1=16（1﹣sin2α），∴sin2α=，故选：A．10．（5分）若x，y满足约束条件，则的最大值是（）A．B．1 C．2 D．3【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．设k=，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象知OA的斜率最大，由，解得A（1，2），则k OA==2，即的最大值为2．故选：C．11．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A．B．9πC．D．10π【解答】解：由三视图可知几何体为圆柱与球的组合体．圆柱的底面半径为1，高为3，球的半径为1．所以几何体的表面积为π×12+2π×1×3+++=9π．故选B．12．（5分）函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，图象如图1所示；函数g（x）的定义域为[﹣2，2]，图象如图2所示，方程f（g（x））=0有m个实数根，方程g（f（x））=0有n个实数根，则m+n=（）A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：由图象可知，若f（g（x））=0，则g（x）=﹣1或g（x）=0或g（x）=1；由图2知，g（x）=﹣1时，x=﹣1或x=1；g（x）=0时，x的值有3个；g（x）=1时，x=2或x=﹣2；故m=7；若g（f（x））=0，则f（x）==﹣1.5或f（x）=1.5或f（x）=0；由图1知，f（x）=1.5与f（x）=﹣1.5无解；f（x）=0时，x=﹣1，x=1或x=0；故n=3；故m+n=10；故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知a＞0，b＞0，且a+b=1，则的最小值是4．【解答】解：∵a＞0，b＞0，且a+b=1，则=（a+b）=2+≥2+2=4，当且仅当a=b=时取等号．∴的最小值是4．故答案为：4．14．（5分）已知向量，，且⊥（+），则y的值为12．【解答】解：+=（﹣2，y﹣1，5），∵⊥（+），∴•（+）=﹣4﹣（y﹣1）+15=0，则y=12．故答案为：12．15．（5分）已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为．【解答】解：∵圆的方程为：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0∴圆心C（1，1）、半径r为：1根据题意，若四边形面积最小当圆心与点P的距离最小时，距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小圆心到直线的距离为d=3∴|PA|=|PB|=∴故答案为：16．（5分）椭圆上的任意一点P（短轴端点除外）与短轴上、下两个端点B1，B2的连线交x轴于点M和N，则|OM|+|ON|的最小值是2a．【解答】解：设P（x0，y0），⇒化为b2x02=a2（b2﹣y02）直线B1P的方程为：y=x+b，可得M（，0）；直线B2P的方程为：y=x﹣b，可得N（，0）．则|OM|•|ON|==（定值）则|OM|+|ON|≥2=2a．故答案为：2a．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知p：函数y=x2﹣2x+a在区间（1，2）上有1个零点；q：函数y=x2+（2a﹣3）x+1图象与x轴交于不同的两点．若“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，求实数a的取值范围．【解答】解：对于p：设f（x）=x2﹣2x+a．该二次函数图象开向上，对称轴为直线x=1，所以，所以0＜a＜1；对于q：函数y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，所以（2a﹣3）2﹣4＞0，即4a2﹣12a+5＞0，解得或．因为“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，所以p，q一真一假．①当p真q假时，有，所以；②当p假q真时，有，所以或a≤0．所以实数a的取值范围是．18．（12分）在数列{a n}中，a1=，a n+1=•a n，n∈N*．（1）求证：数列{}为等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．=a n知=•，【解答】解（1）证明：由a n+1∴{}是以为首项，为公比的等比数列．（2）由（1）知{}是首项为，公比为的等比数列，∴=（）n，∴a n=，∴S n=++…+，①则S n=++…+，②①﹣②得S n=+++…+﹣=1﹣，∴S n=2﹣．19．（12分）已知顶点在单位圆上的△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2acosA=ccosB+bcosC．（1）cosA的值；（2）若b2+c2=4，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵2acosA=ccosB+bcosC，由正弦定理得：2sinA•cosA=sinCcosB+sinBcosC⇒2sinA•cosA=sin（B+C）=sinA，又∵0＜A＜π⇒sinA≠0，∴．…（6分）（2）由，由于顶点在单位圆上的△ABC 中，2R=2，利用正弦定理可得：．由余弦定理可得：a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ⇒bc=b 2+c 2﹣a 2=4﹣3=1．…（10分） ∴．…（12分）20．（12分）某市电视台为了提高收视率而举办有奖问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了n 人，回答问题统计结果及频率分布直方图如图表所示．（1）分别求出a ，b ，x ，y 的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．【解答】解：（1）第1组人数5÷0.5=10，所以n=10÷0.1=100；第2组人数100×0.2=20，所以a=20×0.9=18；第3组人数100×0.3=30，所以x=27÷30=0.9；第4组人数100×0.25=25，所以b=25×0.36=9；第5组人数100×0.15=15，所以y=3÷15=0.2．（2）第2，3，4组回答正确的人的比为18：27：9=2：3：1，所以第2，3，4组每组应依次抽取2人，3人，1人．（3）记抽取的6人中，第2组的记为a1，a2，第3组的记为b1，b2，b3，第4组的记为c，则从6名学生中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c），（b1，b2），（b1，b3），（b1，c），（b2，b3），（b2，c），（b3，c），其中第2组至少有1人的情况有9种，它们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c），故所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率为p=．21．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆E的方程；（2）设不过原点O的直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆E交于P，Q两点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，满足4k=k1+k2，试问：当k变化时，m2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）依题意，得，解得a2=4，b2=1．所以椭圆E的方程是．（2）当k变化时，m2为定值．证明如下：由得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），，，（*）因为直线OP，直线OQ的斜率分别为k1，k2，且4k=k1+k2，所以，得2kx1x2=m（x1+x2），将（*）代入解得，经检验知成立．故当k变化时，m2为定值．22．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，CD⊥BD，AB=AD，E为BC的中点．（1）求证：AE⊥BD；（2）设平面ABD⊥平面BCD，AD=CD=2，BC=4，求二面角B﹣AC﹣D的正弦值．【解答】证明：（1）设BD的中点为O，分别连接AO，EO．又因为AB=AD，所以AO⊥BD．因为E为BC的中点，O为BD的中点，所以EO∥CD．又因为CD⊥BD，所以EO⊥BD．又因为OA∩OE=O，OA，OE⊂平面AOE，所以BD⊥平面AOE．又因为AE⊂平面AOE，所以BD⊥AE，即AE⊥BD．解：（2）由（1）求解知AO⊥BD，EO⊥BD．因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AO⊂平面ABD，所以AO⊥平面BCD．又因为EO⊂平面BCD，所以AO⊥EO．所以OE，OD，OA两两相互垂直．因为CD⊥BD，BC=4，CD=2，所以．因为O为BD的中点，AO⊥BD，AD=2，所以，．以O为坐标原点，OE，OD，OA分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，则O（0，0，0），A（0，0，1），，，，所以，，．设平面ABC的一个法向量为，则，．所以，取，解得．所以是平面ABC的一个法向量．同理可求平面ADC的一个法向量．设二面角B﹣AC﹣D的大小为θ，则．因为0＜θ＜π，所以，所以二面角B﹣AC﹣D的正弦值为．。
石景山区2017-2018学年第一学期高二期末试卷
石景山区2017-2018学年第一学期高二期末试卷英语二、单项填空（共15小题，15分。
每小题1分）21. Dancing with the feet is one thing, but dancing with the heart is .A. oneB. otherC. othersD. another22.---Madam, when is the next train? ---It at 5 this eveningA. was leavingB. leftC. leavesD. has left23. The moonlight came in the windows in the roof and lit up my room.A. aboveB. acrossC. overD. through24. Last month we spent so much to have the roof , for it was broken.A. replacedB. replacingC. to replaceD. being replaced25. you paid for the taxi fare, please let me pay for our dinner.A. UntilB. SinceC. UnlessD. Although26. ---Have I filled out the application correctly, Mr. Smith? ---Well, you one question here.A. missedB. missC. will missD. are missing27. Going camping in the desert will not be enjoyable you have prepared well.A. becauseB. whenC. unlessD. until28. My friend hasn’t answered my letter yet, and I for a reply.A. waitedB. have waitedC. am waitingD. will wait29. We have a learning center kids do self-learning activities.A. whichB. whenC. whoseD. where30. Y ou should answer the questions the information on your card.A. usedB. usingC. to useD. being used31.James was badly injured in the car accident---that’s he is absent today.A. thatB. whatC. howD. why32. ---Is there a room available for tonight? ---Sorry, sir, but all the rooms .A. have bookedB. have been bookedC. will bookD. will be booked33. We’d better go now, we’ll miss the train.A. butB. soC. orD. thus34. Y ou give me a lift. I want to walk home for exercise.A. needn’tB. couldn’tC. can’tD. mustn’t35. is willing to volunteer in the 2022 Beijing Winter Olympics is welcome to join us.A. WhateverB. WhoeverC. WheneverD. Wherever三、完形填空（共15小题，15分。
北京市石景山区高二数学上期末考试试卷 理(含解析)
石景山区2015—2016学年第一学期期末考试试卷高二数学（理科）本试卷共6页，满分为100分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡． 参考公式：球的表面积公式24S R =π，其中R 表示球的半径．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．下列命题中，真．命题是（ ） A ．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直 B ．若一个平面经过另一个平面的平行线，那么这两个平面相互平行 C ．若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于平面内的任意直线 D ．若一条直线同时平行于两个不重合的平面，则这两个平面平行 【考点】点线面的位置关系 【试题解析】因为A 是一个定理，当然正确。
而B 、C 、D 均与定理有不同的地方，都能找到反例，都不正确。
所以，只有A 正确 【答案】A 2．直线2y x b =-+一定通过（ ）A ．第一、三象限B ．第二、四象限C ．第一、二、四象限D ．第二、三、四象限 【考点】直线的倾斜角与斜率 【试题解析】因为斜率,倾斜角为钝角，所以，直线必过二、四象限【答案】B 3．某建筑由相同的若干个房间组成，该楼的三视图如右图所示， 最高一层的房间在什么位置（ ） A ．左前 B ．右前 C ．左后 D ．右后 【考点】空间几何体的三视图与直观图 【试题解析】因为由三视图可看出最高一层应在左后方,所以，C 正确【答案】C主视图4．双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的一条渐近线方程为34y x=，则双曲线的离心率为（）A．54B．43C．53D．45【考点】双曲线【试题解析】因为由渐近线方程得得所以，离心率为【答案】A 5． “命题p q ∧为真命题”是“命题p q ∨为真命题”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 【考点】充分条件与必要条件 【试题解析】因为由为真命题，得p 、q 均为真命题，能推出真命题，但反之不成立，所以，是充分不必要条件【答案】A6．棱长为2的正方体的内切球的表面积为（）A．23πB．43πC．2πD．4π【考点】空间几何体的表面积与体积【试题解析】因为棱长为2的正方体内切球半径为1，所以，s=r2=【答案】D7．抛物线28y x 上到其焦点F 距离为4的点有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．4【考点】抛物线 【试题解析】因为所以。
石景山区高二上期末理科数学参考答案
石景山区2015—2016学年第一学期期末考试试卷高二数学参考答案（理科）2分． 11． ∃2,10x R x x ∈-+≤使得成立；12．222)(2)4x y -+-=（或222)(2)4x y ++-=（；13． 2； 14． 14-,4 三、解答题：本大题共6个小题，共48分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分8分）解：联立方程组25020x y x y +-=⎧⎨-=⎩，可得21x y =⎧⎨=⎩． ………………2分（Ⅰ）由题意，直线l 的斜率为4，所以l 的方程为470x y --=；………………5分 （Ⅱ）由题意，直线l 的斜率为14-，所以l 的方程为460x y +-=．………………8分 16．（本小题满分8分）解：以D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系． ……………1分依题意，)0 , 0 , 0(D ，)0 , 0 , 1(A ，)0 , 1, 0(C ，)2 ,0 , 1(1A ， 设) , 0 , 0(a E ，则) , 0 , 1(a AE -=，因为⊥D B 1平面ACE ，⊂AE 平面ACE ，所以AE D B ⊥1，所以01=•AE DB ，所以021=+-a ，21=a 。
……………3分 （Ⅰ）所以)21, 0 , 1(-=，)2- , 0 , 1(1-=A , ………………4分所以01=•A ，AE D A ⊥1． ……………5分 （Ⅱ）平面ADE 的一个法向量为)0 , 1 , 0(1==DC n , ……………6分平面ACE 的一个法向量为)2 , 1 , 1(1=DB , ……………7分由图知，二面角C AE D --的平面角的余弦值为6661||||cos 1111==⋅=DB n θ． ……………8分 17．（本小题满分8分）解：画法：取棱AB 的中点F ，连接EF 即为交线． …………… 4分理由如下：平面11AA B B //平面11CC D D ，111CD CC D D ⊂面, 111//CD AA B B ∴面1//CD ∴交线． …………… 6分在正方体中，11//BC A D 且11=BC A D ，11BCA D ∴是平行四边形, 11//A B D C ∴在平面11AA B B 中，易证1//EF A B ，进而1//EF CD所以，EF 即为所求． …………… 8分 18．（本小题满分8分）（Ⅰ）证明：连结BD 交AC 于点O ，连结EO ．O 为BD 中点，E 为PD 中点，∴EO //PB ． …………………1分 EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， ……………………2分1A E A∴ PB //平面AEC ． ……………………3分（Ⅱ）如图，以A 为坐标原点，AP AD AB ,,所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系． ……………………4分由P A =AB =2可知A 、B 、C 、D 、P 的坐标分别为A (0 ,0, 0),B (2, 0, 0),C (2, 2, 0),D (0, 2, 0), P (0, 0, 2) ．)0,2,0(B 2),,0,-2(B ==,)0,0,2(2),,2,0(=-=． …………5分 设平面BCP 的法向量为1n =),,(111z y x ,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0,011n n 即⎩⎨⎧=++=++-.0020,0202111y z x ∴⎩⎨⎧==0.,111y x z 令1z 1=,则)1,0,1(1=n ． …………………………………6分 设平面DCP 的法向量为2n =),,(222z y x ,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0DC ,0DP 22n n 即⎩⎨⎧=++=+-.0002,0220222x z y ∴⎩⎨⎧==.0,222x y z 令1z 2-=,则)1,1,0(2--=n ． ……………7分 21221|n ||n |n ,n cos 212121-=⨯-=⋅<,∴二面角B —PC —D 的大小为 120． …………………………………8分19．（本小题满分8分）（Ⅰ）②; ………1分 （Ⅱ）（1）Ey ； ………3分 （2）2n，n -； ………5分 zyxCABDP22220p q npx y nx y q+-+--=． ………8分或（Ⅰ）①; ………1分 （Ⅱ）（1）Ey F +； ………3分 （2）2m n+，()m n -+； ……5分 222()0mn p x y m n x y mn p++-+-+=． ……8分20．（本小题满分8分）解：(Ⅰ)设椭圆的方程为22221x y a b+=，因为2e =，所以224a b =，又因为(4,1)M ，所以221611a b +=，解得225,20b a ==，故椭圆方程为221205x y +=． ………3分(Ⅱ)将y x m =+代入221205x y+=并整理,得22584200x mx m ++-=，22(8)20(420)0m m ∆=-->，解得55m -<<． ………5分（Ⅲ）设直线,MA MB 的斜率分别为1k 和2k ，只要证明120k k +=． ………6分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则212128420,55m m x x x x -+=-=． 12122112121211(1)(4)(1)(4)44(4)(4)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=---- , ………7分 122112122(1)(4)(1)(4)2(5)()8(1)2(420)8(5)8(1)055x m x x m x x x m x x m m m m m =+--++--=+-+----=---=分子所以，直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．………8分【若有不同解法，请酌情给分】。
北京市石景山区2017届高三第一学期期末考试数学(理)试卷(含答案)word版
北京市石景山区2012届高三第一学期期末考试数学（理）试卷第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}4,3,2,1=U ，{}2,1=A ,{}4,2=B ,则=⋃)(B A C U （ ）A ． }3{B ． }2{C ．}4,2,1{D ．}4,1{2．已知复数i1i1z -+=，则复数z 的模为（ ） A ． 2B ．2C ．1D ． 03．在极坐标系中，圆θρcos 2-=的圆心的极坐标是（ ）A ． )2,1(π B ． )2,1(π-C ．)0,1(D ．),1(π4．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图 为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角 边长为2，那么这个几何体的体积为（ ）A ．38 B ．34 C ．4 D ．25．执行右面的框图，若输出结果为21， 则输入的实数x 的值是（ ） A ．23 B ．41 C ．22 D ．2正视图侧视图俯视图6.设抛物线x y 82=上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线准线的距离为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．127.以下四个命题中，真命题的个数是（ ） ①命题“若0232=+-x x ，则1=x ”的逆否命题为“若1≠x ，则0232≠+-x x ”； ②若q p ∨为假命题，则p 、q 均为假命题；③命题p ：存在R x ∈,使得012<++x x ，则p ⌝：任意R x ∈,都有012≥++x x ；④在ABC ∆中,B A <是B A sin sin <的充分不必要条件. A ．1 B ．2 C ．3 D ．48.对于使M x x ≤+-22成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做22x x -+的上确界,若+∈R b a 、，且1=+b a ，则122a b--的上确界为（ ） A ．92B ．92-C ．41 D ．-4第Ⅱ卷 非选择题二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 9．在ABC ∆中，若32,120,2=︒=∠=a A c ，则=∠B ． 10．如图，从圆O 外一点P 引圆O 的切线PA 和割线PBC ，已知22PA =，4PC =，圆心O 到BC 的距离为3，则圆O 的半径为 ．11．已知向量)1,3(=a ，)1,0(=b ，)3,(k c =，若b a 2+与c 垂直，则=k ．12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518a a =-，则8S = ． 13．若把英语单词“good ”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有 种． 14.已知函数)1,0(log )(≠>+-=a a b x x x f a 且，当2131<<a 且43<<b 时， 函数)(x f 的零点*0),1,(N n n n x ∈+∈，则=n ．PABCO•三、解答题：本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数x x x f 2sin 21cos 3)(2+=．（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-46ππ，上的最大值和最小值．16．（本小题满分13分）甲、乙两名篮球运动员在四场比赛中的得分数据以茎叶图记录如下：甲 乙 1 8 6 0 02 4 4 23（Ⅰ）求乙球员得分的平均数和方差；（Ⅱ）分别从两人得分中随机选取一场的得分，求得分和Y 的分布列和数学期望． （注：方差[]222212)()()(1x x x x x x ns n -++-+-=其中x 为1x ，2x ，⋯n x 的平均数）MEFCD BA17．（本小题满分14分）如图，矩形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，A D C D ⊥，AB ∥CD ，2AB AD ==，4CD =，M 为CE 的中点． （Ⅰ）求证：BM ∥平面ADEF ； （Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面BEC ； （Ⅲ）若3=DE ，求平面BEC 与平面DEC 所成锐二面角的余弦值．18．（本小题满分14分） 已知.,ln )(R a x ax x f ∈-=（Ⅰ）当2=a 时，求曲线)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程； （Ⅱ）若)(x f 在1=x 处有极值，求)(x f 的单调递增区间；（Ⅲ）是否存在实数a ，使()f x 在区间(]e ,0的最小值是3，若存在，求出a 的值； 若不存在，说明理由.19．（本小题满分13分）已知椭圆12222=+by a x （0>>b a ）过点M （0，2），离心率36=e .（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过定点N （2，0）的直线l 与椭圆相交于B A 、两点，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点),求直线l 倾斜角的取值范围.20．（本小题满分13分）对于给定数列{}n c ，如果存在实常数q p 、,使得1n n c pc q+=+对于任意*n N ∈都成立，我们称数列{}n c 是 “κ类数列”．（Ⅰ）若n a n 2=，32nn b =⋅，*n N ∈，数列{}n a 、{}n b 是否为“κ类数列”？若是，指出它对应的实常数q p 、，若不是，请说明理由；（Ⅱ）证明：若数列{}n a 是“κ类数列”，则数列}{1++n n a a 也是“κ类数列”；（Ⅲ）若数列{}n a 满足12a =，)(23*1N n t a a n n n ∈⋅=++，t 为常数．求数列{}n a 前2012项的和．并判断{}n a 是否为“κ类数列”，说明理由．石景山区2016—2017学年第一学期期末考试试卷高三数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ACDBDBCB二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．三、解答题：本大题共6个小题，共80分． 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）x x x f 2sin 2122cos 13)(++=232sin 212cos 23++=x x 23)32sin(++=πx ……………5分π=T ……………7分（Ⅱ）因为46ππ≤≤-x ，所以ππ65320≤+≤x …………9分当232ππ=+x 时，即12π=x 时，)(x f 的最大值为231+,………11分当032=+πx 时，即6π-=x 时，)(x f 的最小值为23. ………13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由茎叶图可知，乙球员四场比赛得分为18,24,24,30，所以平均数24430242418=+++=x ； ……………………2分[]18)2430()2424()2424()2418(4122222=-+-+-+-=s ……5分题号 9 10 11 1213 14 答案 6π 2 -3 72 112（Ⅱ）甲球员四场比赛得分为20,20,26,32，分别从两人得分中随机选取一场的 得分，共有16种情况：（18，20）（18，20）（18，26）（18，32） （24，20）（24，20）（24，26）（24，32） （24，20）（24，20）（24，26）（24，32）（30，20）（30，20）（30，26）（30，32） …………8分 得分和可能的结果有：38,44,50,56,62 …………9分 得分和Y 的分布列为：Y3844505662p81165 165 163 161 …………11分 数学期望161621635616550165448138⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=EY 5.48= ………………13分17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）证明：取DE 中点N ，连结,MN AN ．在△EDC 中，,M N 分别为,EC ED 的中点， 所以MN ∥CD ，且12MN CD =． 由已知AB ∥CD ，12AB CD =， 所以MN ∥AB ，且MN AB =．所以四边形ABMN 为平行四边形． ………2分所以BM ∥AN ．又因为AN ⊂平面ADEF ，且BM ⊄平面ADEF ，所以BM ∥平面ADEF ． ………………………………4分 （Ⅱ）证明：在矩形ADEF 中，ED AD ⊥．AxyMCNEFDBz 又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF 平面ABCD AD =，所以ED ⊥平面ABCD ．所以ED BC ⊥． ………………………………5分 在直角梯形ABCD 中，2AB AD ==，4CD =，可得22BC =． 在△BCD 中，22,4BD BC CD ===， 因为222BD BC CD +=，所以BC BD ⊥．因为BD DE D ⋂=,所以BC ⊥平面BDE ．………………………7分 又因为BC ⊂平面BCE ，所以平面BDE ⊥平面BEC ．…………………………………………8分（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知ED ⊥平面ABCD ，且AD CD ⊥．以D 为原点，,,DA DC DE 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系． (2,2,0),(0,4,0),(0,0,3)B C E ． …………………………………9分易知平面DEC 的一个法向量为m )0,0,1(=．…………………………10分 设(,,)x y z =n 为平面BEC 的一个法向量，因为(2,2,0),BC =- (0,4,3)CE =-所以220430x y y z -+=⎧⎨-+=⎩，令1x =，得41,3y z ==． 所以4(1,1,)3=n 为平面BEC 的一个法向量． …………………………12分 设平面BEC 与平面DEC 所成锐二面角为θ． 则22213cos 34||||3441113||θ⋅===⋅⎛⎫⋅++ ⎪⎝⎭m n m n ． 所以平面BEC 与平面DEC 所成锐二面角的余弦值为33434．………14分3．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得)(x f 的定义域为(0)+∞，， 因为()ln f x ax x =-，所以'1()f x a x =-当2a =时，()2ln f x x x =-，所以(1)2f = 因为'1 ()2f x x =-，所以'1 (1)211f =-=……………………2分 所以曲线)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程为2(1)(1)y f x '-=-，即10x y -+= …………………………4分 （Ⅱ）因为)(x f 在1=x 处有极值，所以(1)0f '=， 由（Ⅰ）知(1)1f a '=-，所以1a =经检验，1a =时)(x f 在1=x 处有极值． …………………………6分 所以()ln f x x x =-，令'1()10f x x=->解得10x x ><或；因为)(x f 的定义域为(0)+∞，，所以'()0f x >的解集为(1)+∞，， 即)(x f 的单调递增区间为(1)+∞，. …………………………………………8分（Ⅲ）假设存在实数a ，使x ax x f ln )(-=（],0(e x ∈）有最小值3， ① 当0≤a 时，因为(]e x ,0∈，所以0)('<x f ， 所以)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，ea 4=，舍去. …………………………10分 ②当e a <<10时，)(x f 在)1,0(a 上单调递减，在],1(e a上单调递增，3ln 1)1()(min =+==a a f x f ，2e a =，满足条件. ………………………12分③ 当e a≥1时，因为(]e x ,0∈，所以0)('<x f ， 所以)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，ea 4=，舍去. 综上，存在实数2e a =，使得当],0(e x ∈时()f x 有最小值3. ……………14分19．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由题意得36,2==a c b 结合222c b a +=，解得122=a所以，椭圆的方程为141222=+y x . ………………4分 （Ⅱ） 设),(),,(2211y x B y x A ，则),(OB ),,(OA 2211y x y x ==. ①当221==x x 时，不妨令)362,2(OB ),362,2(OA -==034384OB OA >=-=⋅，当斜率不存在时，AOB ∠为锐角成立 ………………6分 ②当21x x ≠时，设直线l 的方程为：)2(-=x k y 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==+)2(141222x k y y x 得12)2(3222=-+x k x即0121212)31(2222=-+-+k x k x k . 所以22212221311212,3112kk x x k k x x +-=⋅+=+， ………………8分 ]4)(2[()2)(2(2121221221++-=--=⋅x x x x k x x k y y 22424224314123124311212k k k k k k k k ++++-+-= 22318kk +-= ………………10分 2121OB OA y y x x +=⋅03112422>+-=kk 解得33-<>k k 或. ……………………12分 综上，直线l 倾斜角的取值范围是)32,3(ππ . …………………13分20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为2,n a n =则有12,n n a a +=+*n N ∈故数列{}n a 是“κ类数列”，对应的实常数分别为1,2 …………… 1分因为32n n b =⋅，则有12n n b b +=，*n N ∈. 故数列{}n b 是“κ类数列”，对应的实常数分别为2,0. …………… 3分 （Ⅱ）证明：若数列{}n a 是“κ类数列”，则存在实常数q p 、，使得1n n a pa q +=+对于任意*n N ∈都成立，且有21n n a pa q ++=+对于任意*n N ∈都成立，因此()()1212n n n n a a p a a q ++++=++对于任意*n N ∈都成立， 故数列{}1n n a a ++也是“κ类数列”．对应的实常数分别为,2p q ． ……………6分（Ⅲ）因为 *132()n n n a a t n N ++=⋅∈ 则有1232a a t +=⋅，33432a a t +=⋅ ，20092009201032a a t +=⋅20112011201232a a t +=⋅故数列{}n a 前2012项的和2012S =()12a a ++()34a a ++ +()20092010a a ++()20112012a a +()320092011201232323232221t t t t t =⋅+⋅++⋅+⋅=- ……………9分 若数列{}n a 是 “κ类数列”， 则存在实常数q p 、使得1n n a pa q +=+对于任意*n N ∈都成立，且有21n n a pa q ++=+对于任意*n N ∈都成立，因此()()1212n n n n a a p a a q ++++=++对于任意*n N ∈都成立， 而*132()n n n a a t n N ++=⋅∈，且)(23*121N n t a a n n n ∈⋅=++++，则有132322n n t t p q +⋅=⋅+对于任意*n N ∈都成立，可以得到(2)0,0t p q -==， 当2,0p q ==时，12n n a a +=，2n n a =，1t =，经检验满足条件. 当0,0t q == 时，1n n a a +=-，12(1)n n a -=-，1p =-经检验满足条件. 因此当且仅当1t =或0t =时，数列{}n a 是“κ类数列”.对应的实常数分别为2,0或1,0-． ………………… 13分。
北京市朝阳区20172018学年高二上学期期末数学试卷理科Word版含解析
2017-2018 学年北京市旭日区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10 小题，每题5 分，共 50 分 .在每题给出的四个选项中，选出吻合题目要求的一项）1．圆（ x ﹣2） 2+y 2=4 被直线 x=1 截得的弦长为（ ）A ． 1B ．C ． 2D ．2的点的横坐标是（）2．抛物线 y =2x 上与其焦点距离等于 3 A ． 1B ． 2C ．D ．3．已知 p ： “x ＞ 2”， q ：“x 2＞ 4”，则 p 是 q 的（）A ．充分而不用要条件B ．必需而不充分条件C ．充分必需条件D ．即不充分也不用要条件 4．已知两条不一样的直线 a ， b ，三个不一样的平面 α，β， γ，以下说法正确的选项是（ ）A ．若 a ∥ α， b ⊥ a ，则 b ∥ αB ．若 a ∥ α， a ∥β，则 α∥ βC ．若 α⊥ β，a ⊥ α，则 a ∥ βD ．若 α⊥ γ，β∥ γ，则 α⊥ β5．在圆 x 2 +y 2=16 上任取一点 P ，过点 P 作 x 轴的垂线段 PD ，D 为垂足，当点 P 在圆上运动时，线段 PD 的中点 M 的轨迹方程是（）A ．B ． x 2+y 2=4 C ．D ．6．如图， 在平行六面体 ABCD ﹣ A 1B 1C 1D 1 中，M 为 AC 与 BD 的交点， 若 = ，= ，= ．则以下向量中与相等的向量是（）A ．﹣++B ．C ．D ．﹣﹣+2﹣ y22y b27．若由方程 x=0 和 x +（ ﹣ ） =2 所构成的方程组至多有两组不一样的实数解，则实数 b 的取值范围是（）A ．或B ． b ≥ 2 或 b ≤﹣ 2C ．﹣ 2≤ b ≤ 2D ．8．设 O 是坐标原点，若直线 l ： y=x +b （b ＞ 0）与圆 x 2+y 2、P ，且=4 交于不一样的两点P 1 2，则实数 b 的最大值是（ ） A ． B ． 2 C ． D ．9．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）A ．B ．C ．D ．10．已知动圆 C 位于抛物线 x 2=4y 的内部（ x 2≤ 4y ），且过该抛物线的极点，则动圆C 的周长的最大值是（ ）A ． πB ． 2πC ． 4πD ． 16π二、填空题（本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分，请把正确答案填在答题卡上） 11 p ： ”任意两个等腰直角三角形都是相似的p ；判断 ? p ．写出 ”的否定 ? ： 是 ．（后一空中填 “真 ”或 “假 ”） 12．已知 A （ 8，0）， B （ 0 ， 6），O （ 0， 0），则△ AOB 的外接圆的方程是．13．中心在原点，焦点在 y 轴上，虚轴长为而且离心率为 3 的双曲线的渐近线方程为．14．过椭圆 C ： +=1 的右焦点 F 2 的直线与椭圆C 订交于 A ，B 两点．若 =，则点 A 与左焦点 F 1 的距离 | AF 1| =．15．如图为四棱锥 P ﹣ ABCD 的表面睁开图，四边形 ABCD 为矩形，，AD=1 ．已知极点 P 在底面 ABCD 上的射影为点 A ，四棱锥的高为 ，则在四棱锥P ﹣ ABCD 中， PC与平面 ABCD 所成角的正切值为．16．如图，正方体 ABCD ﹣ A 1B1C1D1的棱长为 1，N 为 CD1中点， M 为线段 BC 1上的动点，（M 不与 B， C1重合）有四个：①CD1⊥平面 BMN ；②MN ∥平面 AB 1D1；③平面 AA 1CC1⊥平面 BMN ；④三棱锥 D﹣ MNC 的体积有最大值．此中真的序号是．三、解答题（本大题共 3 小题，共40 分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请写在答题卡上）17．如图，长方体ABCD ﹣ A 1B 1C1 D1中， AA 1=AB=1 ，AD=2 ， E 为 BC 的中点，点M ，N 分别为棱 DD 1， A 1D 1的中点．（Ⅰ）求证：平面CMN ∥平面 A 1DE ；（Ⅱ）求证：平面 A 1DE ⊥平面 A 1AE ．18．如图，四棱锥 P﹣ ABCD 的底面 ABCD 为直角梯形， AD ‖BC ，且，BC⊥ DC，∠BAD=60 °，平面 PAD⊥底面 ABCD ，E 为 AD 的中点，△ PAD 为等边三角形，M 是棱 PC上的一点，设（M 与 C 不重合）．（Ⅰ）求证：CD ⊥ DP；（Ⅱ）若 PA∥平面 BME ，求 k 的值；（Ⅲ）若二面角M ﹣ BE﹣A 的平面角为150°，求k 的值．19．已知椭圆W ：，过原点O 作直线l1交椭圆W 于A， B 两点，P 为椭圆上异于 A ，B 的动点，连接 PA， PB，设直线 PA，PB 的斜率分别为 k1， k2（k1， k2≠ 0），过 O 作直线 PA， PB 的平行线 l2， l3，分别交椭圆 W 于 C， D 和 E， F．（Ⅰ）若 A ， B 分别为椭圆W 的左、右极点，能否存在点P，使∠ APB=90 °？说明原由．（Ⅱ）求k1?k2的值；22（Ⅲ）求 | CD | +| EF|的值．2015-2016 学年北京市旭日区高二 （上）期末数学试卷（理科）参照答案与试题分析一、选择题（本大题共10 小题，每题 5 分，共 50 分 .在每题给出的四个选项中，选出吻合题目要求的一项）1．圆（ x ﹣2） 2+y 2=4 被直线 x=1 截得的弦长为（ ）A ．1B ．C ． 2D ． 【考点】 直线与圆的地点关系．【分析】 算出已知圆的圆心为C （ 2，0），半径 r=2 ．利用点到直线的距离公式，算出点C到直线直线 l 的距离 d=1，由垂径定理加以计算，可得直线 l 被圆截得的弦长．【解答】 解：圆（ x ﹣ 2） 2+y 2=4 的圆心为 C （ 3， 0），半径 r=2， ∵点 C 到直线直线 x=1 的距离 d=1 ，∴依据垂径定理，得圆（ x 2 2 y 22=2﹣ ） + =4 被直线 x=1 截得的弦长为 应选： D ．2．抛物线 y 2=2x 上与其焦点距离等于3 的点的横坐标是（）A ．1B ．2C ．D ．【考点】 抛物线的简单性质．【分析】 确立抛物线 y 2=2x 的焦点为（， 0），准线方程为 x= ﹣ ．设所求点 P 的坐标为x y 0），利用 PF =3，联合抛物线的定义即可得出．（0，| |【解答】 解：由抛物线方程2， 0），准线方程为 x= ﹣．y =2x 的焦点为（ 设所求点 P 的坐标为（ x 0， y 0），由抛物线的定义可得， | PF| =x 0+ =3 ．解得 x 0= ．应选： C ．3．已知 p ： “x ＞ 2”， q ：“x 2＞ 4”，则 p 是 q 的（ ）A ．充分而不用要条件B ．必需而不充分条件C ．充分必需条件D ．即不充分也不用要条件 【考点】 必需条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】 由 x 2＞ 4，解得 x ＞ 2 或 x ＜﹣ 2，即可判断出结论．【解答】 解：由 x 2＞ 4，解得 x ＞ 2 或 x ＜﹣ 2，∴ p 是 q 的充分不用要条件．应选： A ．4．已知两条不一样的直线 a ， b ，三个不一样的平面 α，β， γ，以下说法正确的选项是（）A ．若 a ∥ α， b ⊥ a ，则 b ∥ αB ．若 a ∥ α， a ∥β，则 α∥ βC ．若 α⊥ β，a ⊥ α，则 a ∥ βD ．若 α⊥ γ，β∥ γ，则 α⊥ β【考点】 空间中直线与平面之间的地点关系．【分析】 对 4 个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】 解：对于 A ，若 a ∥ α， b ⊥ a ，则 b ∥ α， b 与 α订交或 b? α，不正确；对于 B ，若 a ∥ α，a ∥ β，则 α∥ β或 α，β订交，不正确；对于 C ，若 α⊥ β， a ⊥ α，则 a ∥ β或 a? β，不正确；对于 D ，若 α⊥ γ，β∥ γ，在 β内存在直线与 α垂直，依据平面与平面垂直的判断，可得α⊥β，正确．应选： D ．2y 2P ，过点 P 作 x 轴的垂线段 PD ，D 为垂足，当点P 在圆上运5．在圆 x+ =16 上任取一点动时，线段 PD 的中点 M 的轨迹方程是（ ）A ．B ． x 2+y 2=4 C ．D ．【考点】 轨迹方程．x 2+y 2=16【分析】设出 M 点的坐标，由 M 为线段 PD 的中点获得 P 的坐标，把 P 的坐标代入圆 整理得线段 PD 的中点 M 的轨迹．【解答】 解：设 M （ x ， y ），由题意 D （ x ， 0），P （ x ，y 1） ∵M 为线段 PD 的中点，∴ y 1+0=2y ， y 1=2y ．P x y1）在圆 x 2y 2 2 y 2 又∵ （ ， + =16 上，∴ x + 1 =16 ，∴ x 2+4y 2=16，即=1．∴点 M 的轨迹方程为应选： C ．=1．6．如图， 在平行六面体ABCD﹣ A 1B 1C 1D 1 中，M为AC与BD的交点， 若= ，= ，= ．则以下向量中与相等的向量是（）A．﹣+ + B ．C D．﹣﹣+．【考点】 相等向量与相反向量．【分析】 由题意可得 =+ =+= + [ ﹣ ] ，化简获得结果．【解答】 解：由题意可得 =+=+=+= + （﹣）=+（﹣）=﹣ + + ，应选 A ．7．若由方程 x 2﹣ y 2=0 和 x 2+（ y ﹣ b ） 2=2 所构成的方程组至多有两组不一样的实数解，则实数 b 的取值范围是（ ）A ．或B ． b ≥ 2 或b ≤﹣ 2C ．﹣ 2≤ b ≤ 2D ．【考点】 曲线与方程．【分析】 由方程 x 2﹣ y 2=0 和 x 2+（ y ﹣ b ）2=2 所构成的方程组至多有两组不一样的实数解，直线与 x 2+（ y ﹣ b ） 2=2 相切或相离，利用点到直线的距离公式，即可得出结论．【解答】 解：由题意， x 2﹣ y 2=0 表示两条直线 x ± y=0．2222∵由方程 x ﹣y =0 和 x +（ y ﹣b ） =2 所构成的方程组至多有两组不一样的实数解，22∴直线与 x +（ y ﹣ b ） =2 相切或相离，∴≥ ，∴ b ≥ 2 或 b ≤﹣ 2，应选： B ．8．设 O 是坐标原点，若直线2y 2交于不一样的两点P 1、 Pl ： y=x +b （b ＞ 0）与圆 x + =4 2，且 ，则实数 b 的最大值是（ ）A ．B ． 2C ．D ．【考点】 直线与圆的地点关系．【分析】 设 P 1P 2 中点为 D ，则 OD ⊥P 1P 2，确立 | | 2≤ 2，即可求出实数b 的最大值．【解答】 解：设 P 1P 2 中点为 D ，则 OD ⊥ P 1P 2， ∵，∴| 2 | ，| ≥ | ∵||2+ || 2=4∴| | 2≤2∵直线 l ： y=x +b （ b ＞ 0）与圆 x 2+y 2、 P ，=4 交于不一样的两点 P 12∴| | 2＜4∴| | 2≤2∴（）2≤2∵ b ＞ 0 ∴ b ≤ 2．∴实数 b 的最大值是 2． 应选： B ．9．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）A ．B ．C ．D ．【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】 依据三视图作出三棱锥的直观图，依据三视图中的数据计算棱锥的体积． 【解答】 解：由三视图可知三棱锥是从边长为BC 的中点．4 的正方体中截出来的M ﹣ ADD ′，此中M为∴三棱锥的体积V===．应选：C ．10．已知动圆 C 位于抛物线 x 2=4y 的内部（ x 2≤ 4y ），且过该抛物线的极点，则动圆C 的周长的最大值是（ ）A ． πB ． 2πC ． 4πD ． 16π【考点】 抛物线的简单性质．【分析】设圆的方程为 x 2yb22x22 4 ﹣ 2b y=0 ，利用 4 ﹣ 2b=0 ， +（ ﹣ ） =b ，与 =4y 联立可得 y+（ ）求出 b ，即可求出动圆 C 的周长的最大值．【解答】 解：设圆的方程为 x 2 y b 2 2，+（ ﹣ ） =b22+（ 4﹣ 2b ） y=0，∴ 4﹣ 2b=0 ，与 x =4y 联立可得 y∴b=2 ，∴动圆 C 的周长的最大值是 2π× 2=4π．应选： C ．二、填空题（本大题共6 小题，每题 5 分，共 30 分，请把正确答案填在答题卡上）11．写出 p ：”任意两个等腰直角三角形都是相似的 ”的否定 ?p ： 存在两个等腰直角三角形，它们不相似 ；判断 ?p 是 假 ．（后一空中填 “真 ”或 “假”） 【考点】 的否定．【分析】 依据全称的否定是特称进行求解即可．【解答】 解：是全称，则的否定是：存在两个等腰直角三角形，它们不相似， ∵任意两个等腰直角三角形都是相似的为真． ，∴原为真，则的否定为假，故答案为：存在两个等腰直角三角形，它们不相似假12．已知 A （8， 0），B （ 0， 6），O （0， 0），则△ AOB 的外接圆的方程是 （x ﹣ 4）2+（ y﹣ 3） 2=25 ．【考点】 圆的标准方程．【分析】 依据题意，△ AOB 是以 AB 为斜边的直角三角形，因其他接圆是以 AB 为直径的圆．由此算出 AB 中点 C 的坐标和 AB 长度，联合圆的标准方程形式，即可求出△AOB 的外接圆的方程．【解答】 解：∵△ AOB 的极点坐标为 A （8， 0）， B （ 0， 6）， O （ 0， 0），∴OA ⊥ OB ，可得△ AOB 的外接圆是以 AB 为直径的圆∵ AB 中点为 C 4 3 AB =10（，），| |∴圆的圆心为 C （4， 3），半径为 r=5 22可得△ AOB 的外接圆的方程为（ x 4 y 3﹣ ） +（ ﹣ ） =25故答案为：（ x ﹣ 4）2 +（ y ﹣ 3）2=2513．中心在原点，焦点在y 轴上，虚轴长为 而且离心率为 3 的双曲线的渐近线方程为y=± x ．【考点】 双曲线的简单性质．【分析】 设双曲线的方程为﹣ =1（a ，b ＞ 0），由题意可得 b ，运用离心率公式和 a ，b ，c 的关系，可得 a=1，可得双曲线的方程，即可获得渐近线方程． 【解答】 解：设双曲线的方程为 ﹣=1（ a ， b ＞ 0），由题意可得 2b=4，即 b=2，又 e= =3， c 2=a 2+b 2，解得 a=1，可得双曲线的方程为 y 2﹣=1，即有渐近线的方程为y= ± x ．故答案为： y=±x ．14．过椭圆 C ：+=1 的右焦点 F 2 的直线与椭圆 C 订交于 A ，B 两点．若= ，则点 A 与左焦点 F 1的距离 | AF 1| =．【考点】 椭圆的简单性质．【分析】 求得椭圆的 a b c=，可得 F2 为 AB的中点，即有AB， ， ，右焦点坐标，由⊥x 轴，令 x=1 ，可得 | AF 2| ，再由椭圆的定义，即可获得所求值．【解答】 解：椭圆 C ：+=1 的 a=2， b=， c=1，右焦点 F 2 为（ 1， 0），由=，可得 F 2 为 AB 的中点，即有AB ⊥ x 轴，令x=1，可得y=±?=±，由椭圆的定义可得，| AF 1|+| AF 2| =2a=4，可得 | AF 1| =4﹣ | AF 2| =4﹣ = ．故答案为：．15．如图为四棱锥 P ﹣ ABCD 的表面睁开图，四边形极点 P 在底面 ABCD 上的射影为点A ，四棱锥的高为ABCD 为矩形，，则在四棱锥，AD=1 ．已知P ﹣ ABCD 中， PC与平面ABCD所成角的正切值为．【考点】直线与平面所成的角．【分析】作出四棱锥的直观图，依据 PA⊥平面 ABCD 即可得出∠ PCA 为所求角，利用勾股定理计算 AC ，即可得出线面角的正切值．【解答】解：作出四棱锥的直观图以以下图：∵极点 P 在底面 ABCD 上的射影为点 A ，∴ PA⊥平面 ABCD ，∴∠ PCA 为直线 PC 与平面 ABCD 所成的角， PA=．∵四边形ABCD为矩形，，AD=1 ，∴AC=，∴tan∠PCA=．故答案为：．16．如图，正方体 ABCD ﹣ A 1B1C1D1的棱长为 1，N 为 CD1中点， M 为线段 BC 1上的动点，（M 不与 B， C1重合）有四个：①CD1⊥平面 BMN ；②MN ∥平面 AB 1D1；③平面 AA 1CC1⊥平面 BMN ；④三棱锥 D﹣ MNC 的体积有最大值．此中真的序号是②③．【考点】棱柱的结构特色．【分析】直接利用空间中线线关系，线面关系及面面关系逐个判断 4 个得答案．【解答】解：① ∵ CD1与 BM 成 60°角，∴ CD 1与平面 BMN 不垂直，①错误；② ∵平面 BMN ∥平面 AB 1D1，∴ MN ∥平面 AB 1D 1，②正确；③ ∵平面 BMN 与平面 BC 1D 重合，而平面AA 1CC1⊥平面 BC1D，③正确；④ ∵M 与 B 重合时，三棱锥D﹣ MNC 的体积最大，而M 不与 B ，C1重合，④错误．∴z正确的序号为②③ ．故答案为：②③ ．三、解答题（本大题共 3 小题，共 40 分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请写在答题卡上）17．如图，长方体ABCD ﹣ A 1B 1C1D1中， AA 1=AB=1 ，AD=2 ， E 为 BC 的中点，点 M ，N 分别为棱 DD 1， A 1D 1的中点．（Ⅰ）求证：平面CMN ∥平面 A 1DE ；（Ⅱ）求证：平面 A 1DE ⊥平面 A 1AE ．【考点】平面与平面垂直的判断；平面与平面平行的判断．【分析】（ I ）由中位 定理可得MN ∥ A 1D ，由 方体的 构特色可得四 形A 1ECN 是平行四 形，故CN ∥ A 1E ，从而平面 CMN ∥平面 A 1DE ；（II ）由 AA 1⊥平面 ABCD 可得 AA 1⊥ DE ，由 段的 度可由勾股定理的逆定理得出AE⊥DE ，故 DE ⊥平面 A 1AE ，从而平面 A 1DE ⊥平面 A 1AE ．【解答】 解：（Ⅰ）∵ M ， N 分 棱 DD 1， A 1D 1 的中点，∴ MN ∥A 1D ，∵A D ? 平面 A 1 DE ， MN ?平面 A DE ，∴ MN ∥平面 A CD．1 1 1∵E 是 BC 中点， N 是 A 1D 1 的中点，∴ A 1N=CE ， A 1N ∥CE ， ∴四 形 A 1ECN 是平行四 形，∴ CN ∥A 1E ，∵A E 平面 A DE ， CN ?平面 A DE ，∴ CN ∥平面 A CD，1 ? 1 11又∵ MN CN=N ， MN ? 平面 MCN ， CN ? 平面 MCN ， ∩∴平面 CMN ∥平面 A 1DE ．（Ⅱ）∵ AA 1⊥平面 ABCD ， DE ? 平面 ABCD ，∴AA 1⊥ DE ． ∵ A B=1 ， AD=2 ， E BC 的中点， ∴，∴EA 2+ED 2=AD 2，即 AE ⊥ DE ．∵AA 1? 平面 AA 1E ， AE ? 平面 AA 1E ， AE ∩AA 1=A ，∴DE ⊥平面 A 1AE ．又 DE? 平面 A 1DE ，因此平面 A 1DE ⊥平面 A 1AE ．18P ABCD的底面 ABCD直角梯形， AD BCBC DC ， ．如 ，四棱‖ ，且 ， ⊥ ∠BAD=60 °，平面 PAD ⊥底面 ABCD ，E AD 的中点，△ PAD 等 三角形，M 是棱PC上的一点，（M 与 C 不重合）．（Ⅰ）求 ： CD ⊥ DP ；（Ⅱ）若 PA ∥平面 BME ，求 k 的 ； （Ⅲ）若二面角MBE A 的平面角150°，求 k 的 ．【考点】 二面角的平面角及求法；直 与平面平行的判断．【分析】（Ⅰ）推 出 PE ⊥ AD ，从而 PE ⊥平面 ABCD ， 而 PE ⊥CD ，再由 CD ⊥ DA ，得CD ⊥平面PAD ，由此能 明 CD ⊥ DP ． ⋯.. （Ⅱ） 接 AC 交 BE 于 N ， 接 MN ，推 出 PA ∥ MN ，从而∠ CBN= ∠AEN=90 °， 而 △CNB ≌△ ANE ．由此能求出 k=1． （Ⅲ）法一： 接CE ， 点 M 作 MF ∥ PE 交 CE 于 F ， A （ 0，1， 0）作接 MG ， ∠ MGF 二面角MBE C 的平面角，由此能示出k ．FG ⊥ BE于G ，法二：以 E 原点，射EB ，EA ，EP 分 x 正半， y 正半， z 正半建立空直角坐系，利用和量法能求出k．【解答】（本分14 分）明：（Ⅰ）因△ PAD 等三角形，E AD 的中点，因此PE⊥ AD ．因平面 PAD ⊥平面 ABCD ，且平面 PAD ∩平面 ABCD=AD ，PE? 平面 PAD ，因此PE⊥平面 ABCD ．又 CD? 平面 ABCD ，因此 PE⊥CD ．由已知得 CD ⊥ DA ， PE∩AD=E ，因此 CD⊥平面 PAD．双 DP? 平面 PAD，因此 CD⊥ DP．⋯..解：（Ⅱ）接AC 交 BE 于 N，接 MN ．因 PA∥平面 BME ， PA? 平面 PAC，平面 PAC∩平面 BME=MN ，因此 PA∥ MN ．因AD ∥BC ，BC⊥ DC ，因此∠ CBN= ∠ AEN=90 °．又 CB=AE ，∠ CNB= ∠ ANE ，因此△ CNB ≌△ ANE ．因此 CN=NA ， M PC 的中点， k=1 ．⋯..（Ⅲ）方法一：依意，若二面角M BE A 的大小 150°，二面角M BE C 的大小30°．接 CE，点 M 作 MF ∥ PE 交 CE 于 F， A （ 0，1， 0）作 FG⊥ BE 于 G，接 MG ．因 PE⊥平面 ABCD ，因此 MF⊥平面 ABCD ．又 BE? 平面 ABCD ，因此 MF⊥ BE．又 MF ∩FG=F ，MF ? 平面 MFG ， FG? 平面 MFG ，因此 BE⊥平面 MFG ，从而 BE ⊥ MG ．∠ MGF 二面角 M BE C 的平面角，即∠ MGF=30 °．在等△PAD中，．因为，因此．又，因此．在△ MFG 中，解得 k=3 ．⋯..方法二：因为EP⊥EA ， EP⊥ EB ， EA ⊥ EB ，以 E 原点，射 EB， EA ， EP 分 x 正半， y 正半， z 正半建立空直角坐系，如．∵，∠ BAD=60 °，A010，D0 10 E000∴ （，，），，（，，），（，，），平面 ABE 即 xoy 平面的一个法向量=（ 0， 0， 1）．M （ x， y， z），由条件可知：（ k＞ 0），即，∴，解得：即，．平面MBE的一个法向量=（ x'， y'， z'），，x'=0 ，令， z'=k ．即=（ 0，）．因二面角 M BE A 的平面角150°，因此 | cos＜＞ | =| cos150°|，即==，解得 k= ± 3．因 k＞ 0，因此 k=3．⋯..19．已知 W ：，原点 O 作直 l1交 W于 A， B 两点， P 上异于 A ，B 的点，接PA， PB，直 PA，PB 的斜率分k1， k2（k1， k2≠ 0）， O作直 PA， PB 的平行 l2， l3，分交 W 于 C， D 和 E， F．（Ⅰ）若 A ， B 分 W 的左、右点，能否存在点P，使∠ APB=90 °？明原由．（Ⅱ）求 k1?k2的；（Ⅲ）求 | CD | 2+| EF|2的．【考点】的性．【分析】（Ⅰ）不存在点 P，使∠ APB=90 °．原由以下： P（x P， y P），运用向量垂直的条件和数目的坐表示，合方程，即可判断；（Ⅱ） P（ x P，y P），A（ x A，y A），运用直的斜率公式和点差法，化整理可得所求；（Ⅲ）方法一：因为 l 2， l3分平行于直 PA， PB，求得直方程，立方程，求得弦，化整理，即可获得所求；方法二、 C（ x C，y C），E（ x E，y E），由直 l2，l 3都原点， D（ x C， y C），F（x E， y E）．因为 l2， l3分平行于直 PA， PB，由平行的条件，求得直方程，代入方程，化整理，即可获得所求．【解答】解：（Ⅰ）不存在点P，使∠ APB=90 °．明以下：P（ x P， y P）．依意，此 A （ 2， 0）， B（2， 0），，．若∠ APB=90 °，需使，即．⋯（ 1）又点P 在W 上，因此，把代入（ 1）式中解得， x =2y =0．P± ，且P然与 P 上异于 A ， B 的点矛盾，因此不存在；（Ⅱ） P（ x P，y P），A （ x A， y A），依意直l 1原点， B （ x A， y A）．因为 P 上异于 A ，B 的点，直 PA 的斜率，直 PB 的斜率．即．W的方程化x24y2P 和点 A 都 W 上的点，+=4 ，因为点，两式相减得，因点 P 和点 A 不重合，因此，即；（Ⅲ）方法一：因为l 2， l3分平行于直PA， PB，直 l2的斜率 k CD =k 1，直 l3的斜率 k EF=k 2．设直线 l2的方程为y=k 1x，代入到椭圆方程中，得，解得．设 C（ x C， y C），由直线l2过原点，则D（﹣ x C，﹣ y C）．则=．因为 y C=k 1x C，因此 | CD| 2=，即| CD|2=．直线 l3的方程为y=k 2x，代入到椭圆方程中，得，解得．同理可得．则|CD2+|EF2．|| =由（Ⅱ）问，且 k1≠ 0，则．即| CD | 2+| EF|2=16化简得|CD|2+|EF2．|=16即|CD2EF2| +||=20 ．方法二：设 C（ x C， y C）， E（ x E， y E），由直线 l2， l3都过原点，则D（﹣ x C，﹣ y C）， F（﹣ x E，﹣ y E）．因为 l2， l3分别平行于直线PA， PB，则直线 l2的斜率 k CD =k 1，直线 l3的斜率 k EF=k 2，由（Ⅱ）得，可得．因为 k CD =k1≠ 0，则．因为点 C 不行能在 x 轴上，即 y C≠ 0，因此，过原点的直线l 3的方程为，代入椭圆W 的方程中，得，化简得．因为点 C（ x C， y C）在椭圆 W 上，因此，因此，没关系设x E=2y C，代入到直线中，得．即，则．| CD| 2+| EF|2===．又，因此 | CD | 2+| EF|2=20．2016年8月1日。