青岛市青大附中学年第一学期期初检测九年级数学试题(图片版、无答案)
青岛青大附中九年级上册期中试卷检测题
青岛青大附中九年级上册期中试卷检测题一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）1．某连锁超市派遣调查小组在春节期间调查某种商品的销售情况，下面是调查后小张与其 他两位成员交流的情况．小张：“该商品的进价为 24元/件．”成员甲：“当定价为 40元/件时，每天可售出 480件．”成员乙：“若单价每涨 1元，则每天少售出 20件；若单价每降 1元，则每天多售出 40件．” 根据他们的对话，请你求出要使该商品每天获利 7680元，应该怎样合理定价？ 【答案】要使该商品每天获利7680元，应定价为36元/件、40元/件或48元/件 【解析】 【分析】设每件商品定价为x 元，则在每件40元的基础上涨价时每天的销售量是[]48020(40)x --件，每件商品的利润是(24)x -元，在每件40元的基础上降价时每天的销量是[]48040(40)x +-件，每件的利润是(24)x -元，从而可以得到答案．【详解】解：设每件商品定价为x 元．①当40x ≥时，[](24)48020(40)7680x x ---= ， 解得：1240,48;x x ==②当40x <时，[](24)48040(40)7680x x -+-=， 解得：1236,40x x ==（舍去），.答：要使该商品每天获利7680元，应定价为36元/件、40元/件或48元/件． 【点睛】本题考查的是一元二次方程中的升降价对销售量产生影响方面的应用，用含有未知数的代数式表示销售量是这一类题的关键．2．计算题（1）先化简，再求值：21x x -÷（1+211x -），其中x=2017．（2）已知方程x 2﹣2x+m ﹣3=0有两个相等的实数根，求m 的值． 【答案】（1）2018；（2）m=4 【解析】分析：（1）根据分式的运算法则和运算顺序，先算括号里面的，再算除法，注意因式分解的作用；（2）根据一元二次方程的根的判别式求解即可.详解：（1）21x x -÷（1+211x -）=22211 11 x xx x-+÷--=()() 2211 1x xxx x+-⋅-=x+1，当x=2017时，原式=2017+1=2018（2）解：∵方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣2）2﹣4×1×（m﹣3）=0，解得，m=4点睛：此题主要考查了分式的混合运算和一元二次方程的根的判别式，关键是熟记分式方程的运算顺序和法则，注意通分约分的作用.3．近几年，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也在逐年增加．某商场从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，两种净化器的销售相关信息见下表：（1）每台A型空气净化器和B型空气净化器的销售利润分别是多少？（2）该公司计划一次购进两种型号的空气净化器共100台，其中B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍，为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，请你设计相应的进货方案；（3）已知A型空气净化器的净化能力为300 m3/小时，B型空气净化器的净化能力为200 m3/小时．某长方体室内活动场地的总面积为200 m２，室内墙高3 m．该场地负责人计划购买5台空气净化器每天花费30分钟将室内空气净化一新，如不考虑空气对流等因素，至少要购买A型空气净化器多少台？【答案】（1）每台A型空气净化器的利润为200元，每台B型空气净化器的利润为100元；（2）为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，应购进A型空气净化器33台，购进B型空气净化器67台；（3）至少要购买A型空气净化器2台.【解析】解：（1）设每台A型空气净化器的利润为x元，每台B型空气净化器的利润为y元，根据题意得：5102000,200, {{ 1052500.100. x y xx y y+==+==解得答：每台A型空气净化器的利润为200元，每台B型空气净化器的利润为100元. （2）设购买A型空气净化器m台，则购买B型空气净化器（100﹣m）台，∵B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍，∴100-m≥2m，解得：m ≤100.3设销售完这100台空气净化器后的总利润为W 元. 根据题意，得W =200m +100（100﹣m ）=100m +10000. ∵要使W 最大，m 需最大，∴当m =33时，总利润最大，最大利润为W ：100×33+10000=13300（元）. 此时100﹣m=67.答：为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，应购进A 型空气净化器33台，购进B 型空气净化器67台.（3）设应购买A 型空气净化器a 台，则购买B 型空气净化器（5﹣a ）台，根据题意得：12[300a +200(5-a )]≥200×3. 解得：a ≥2.∴至少要购买A 型空气净化器2台.4．在等腰三角形△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中ɑ＝4，若b 、c 是关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +4（k ﹣12）＝0的两个实数根，求△ABC 的周长． 【答案】△ABC 的周长为10． 【解析】 【分析】分a 为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k 值，将k 值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出△ABC 的周长；当a=4为底边长时，由根的判别式△=0可求出k 值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c 的值，由b+c=a 可得出此种情况不存在．综上即可得出结论． 【详解】当a ＝4为腰长时，将x ＝4代入原方程，得：()214421402k k ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭解得：52k = 当52k =时，原方程为x 2﹣6x +8＝0， 解得：x 1＝2，x 2＝4，∴此时△ABC 的周长为4+4+2＝10；当a ＝4为底长时，△＝[﹣（2k +1）]2﹣4×1×4（k ﹣12）＝（2k ﹣3）2＝0， 解得：k ＝32， ∴b +c ＝2k +1＝4．∵b+c＝4＝a，∴此时，边长为a，b，c的三条线段不能围成三角形．∴△ABC的周长为10．【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分a为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键．5．如图，正方形ABCD的四个顶点分别在正方形EFGH的四条边上，我们称正方形EFGH 是正方形ABCD的外接正方形．探究一：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍？如图，假设存在正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD的2倍．因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为2，所以EF＝FG＝GH＝HE2EB＝x，则BF2﹣x，∵Rt△AEB≌Rt△BFC∴BF＝AE2﹣x在Rt△AEB中，由勾股定理，得x2+2﹣x）2＝122解得，x1＝x2∴BE＝BF，即点B是EF的中点．同理，点C，D，A分别是FG，GH，HE的中点．所以，存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍探究二：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍？（仿照上述方法，完成探究过程）探究三：已知边长为1的正方形ABCD，一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的4倍？（填“存在”或“不存在”）探究四：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍？（n＞2）（仿照上述方法，完成探究过程）【答案】不存在，详见解析【解析】【分析】探究二，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程计算即可；探究三，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答；探究四，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答．【详解】探究二：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为3，所以EF=FG=GH=HE，设EB=x，则BF x，∵Rt△AEB≌Rt△BFC，∴BF=AE﹣x，在Rt△AEB中，由勾股定理，得，x2+x）2=12，整理得x2x+1=0，b2﹣4ac=3﹣4＜0，此方程无解，不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍；探究三：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为4，所以EF=FG=GH=HE=2，设EB=x，则BF=2﹣x，∵Rt△AEB≌Rt△BFC，∴BF=AE=2﹣x，在Rt△AEB中，由勾股定理，得，x2+（2﹣x）2=12，整理得2x2﹣4x+3=0，b2﹣4ac=16﹣24＜0，此方程无解，不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍，故答案为不存在；探究四：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为n，所以EF=FG=GH=HE，设EB=x，则BF﹣x，∵Rt△AEB≌Rt△BFC，∴BF=AE﹣x，在Rt△AEB中，由勾股定理，得，x2+﹣x）2=12，整理得2x2﹣+n﹣1=0，b2﹣4ac=8﹣4n＜0，此方程无解，不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的解法等知识.读懂探究一的解答过程、正确运用一元二次方程根的判别式是解题的关键．二、初三数学二次函数易错题压轴题（难）6．图①，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），并且与直线y＝1 2 x﹣2相交于坐标轴上的B、C两点，动点P在直线BC下方的二次函数的图象上．（1）求此二次函数的表达式；（2）如图①，连接PC，PB，设△PCB的面积为S，求S的最大值；（3）如图②，抛物线上是否存在点Q，使得∠ABQ＝2∠ABC？若存在，则求出直线BQ的解析式及Q点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝12x2﹣32x﹣2；（2）﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值为4；（3）Q的坐标为（53，﹣289）或（﹣113，929）．【解析】【分析】（1）根据题意先求出点B、C的坐标，进而利用待定系数法即可求解；（2）由题意过点P作PH//y轴交BC于点H，并设点P（x，12x2﹣32x﹣2），进而根据S＝S△PHB+S△PHC＝12PH•（x B﹣x C），进行计算即可求解；（3）根据题意分点Q在BC下方、点Q在BC上方两种情况，利用解直角三角形的方法，求出点H的坐标，进而分析求解．【详解】解：（1）对于直线y＝12x﹣2，令x＝0，则y＝﹣2，令y＝0，即12x﹣2＝0，解得：x＝4，故点B、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣2），抛物线过点A、B两点，则y＝a（x+1）（x﹣4），将点C的坐标代入上式并解得：a＝12，故抛物线的表达式为y＝12x2﹣32x﹣2①；（2）如图2，过点P作PH//y轴交BC于点H，设点P（x，12x2﹣32x﹣2），则点H（x，12x﹣2），S＝S△PHB+S△PHC＝12PH•（x B﹣x C）＝12×4×（12x﹣2﹣12x2+32x+2）＝﹣x2+4x，∵﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值为4；（3）①当点Q在BC下方时，如图2，延长BQ交y轴于点H，过点Q作QC⊥BC交x轴于点R，过点Q作QK⊥x轴于点K，∵∠ABQ＝2∠ABC，则BC是∠ABH的角平分线，则△RQB为等腰三角形，则点C是RQ的中点，在△BOC中，tan∠OBC＝OCOB＝12＝tan∠ROC＝RCBC，则设RC＝x＝QB，则BC＝2x，则RB22(2)x x5＝BQ，在△QRB中，S△RQB＝12×QR•BC＝12BR•QK，即122x•2x＝125，解得：KQ5∴sin∠RBQ＝KQBQ55x＝45，则tanRBH＝43，在Rt △OBH 中，OH ＝OB•tan ∠RBH ＝4×43＝163，则点H （0，﹣163）， 由点B 、H 的坐标得，直线BH 的表达式为y ＝43（x ﹣4）②， 联立①②并解得：x ＝4（舍去）或53， 当x ＝53时，y ＝﹣289，故点Q （53，﹣289）； ②当点Q 在BC 上方时，同理可得：点Q 的坐标为（﹣113，929）； 综上，点Q 的坐标为（53，﹣289）或（﹣113，929）． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形、面积的计算等，注意分类讨论思维的应用，避免遗漏．7．在平面直角坐标系中，抛物线22(0)y ax bx a =++≠经过点(2,4)A --和点(2,0)C ，与y 轴交于点D ，与x 轴的另一交点为点B ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接BD ，在抛物线上是否存在点P ，使得2PBC BDO ∠=∠？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，连接AC ，交y 轴于点E ，点M 是线段AD 上的动点（不与点A ，点D 重合），将CME △沿ME 所在直线翻折，得到FME ，当FME 与AME △重叠部分的面积是AMC 面积的14时，请直接写出线段AM 的长． 【答案】（1）22y x x =-++；（2）存在，（23，209）或（103，529-）；（3）5或 【解析】 【分析】（1）根据点A 和点C 的坐标，利用待定系数法求解；（2）在x 轴正半轴上取点E ，使OB=OE ，过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ，构造出∠PBC=∠BDE ，分点P 在第三象限时，点P 在x 轴上方时，点P 在第四象限时，共三种情况分别求解；（3）设EF 与AD 交于点N ，分点F 在直线AC 上方和点F 在直线AC 下方时两种情况，利用题中所给面积关系和中线的性质可得MN=AN ，FN=NE ，从而证明四边形FMEA 为平行四边形，继而求解． 【详解】解：（1）∵抛物线22(0)y ax bx a =++≠经过点A （-2，-4）和点C （2，0），则44220422a b a b -=-+⎧⎨=++⎩，解得：11a b =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为22y x x =-++； （2）存在，理由是：在x 轴正半轴上取点E ，使OB=OE ，过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ， 在22y x x =-++中， 令y=0，解得：x=2或-1， ∴点B 坐标为（-1，0）， ∴点E 坐标为（1，0）， 可知：点B 和点E 关于y 轴对称， ∴∠BDO=∠EDO ，即∠BDE=2∠BDO ， ∵D （0，2），∴=， 在△BDE 中，有12×BE ×OD=12×BD ×EF ，即2×EF ，解得：，∴，∴tan ∠BDE=EF DF =55÷=43， 若∠PBC=2∠BDO ， 则∠PBC=∠BDE ，∵BE=2，则BD 2+DE 2＞BE 2， ∴∠BDE 为锐角， 当点P 在第三象限时， ∠PBC 为钝角，不符合； 当点P 在x 轴上方时，∵∠PBC=∠BDE ，设点P 坐标为（c ，22c c -++）， 过点P 作x 轴的垂线，垂足为G ， 则BG=c+1，PG=22c c -++，∴tan ∠PBC=PG BG =221c c c -+++=43， 解得：c=23， ∴22c c -++=209， ∴点P 的坐标为（23，209）；当点P 在第四象限时，同理可得：PG=22c c --，BG=c+1，tan ∠PBC=PG BG =221c c c --+=43，解得：c=103， ∴22c c -++=529-， ∴点P 的坐标为（103，529-）， 综上：点P 的坐标为（23，209）或（103，529-）；（3）设EF 与AD 交于点N ，∵A （-2，-4），D （0，2），设直线AD 表达式为y=mx+n ， 则422m n n -=-+⎧⎨=⎩，解得：32m n =⎧⎨=⎩，∴直线AD 表达式为y=3x+2， 设点M 的坐标为（s ，3s+2），∵A （-2，-4），C （2，0），设直线AC 表达式为y=m 1x+n 1，则11114202m n m n -=-+⎧⎨=+⎩，解得：1112m n =⎧⎨=-⎩，∴直线AC 表达式为y=x-2， 令x=0，则y=-2， ∴点E 坐标为（0，-2）， 可得：点E 是线段AC 中点， ∴△AME 和△CME 的面积相等， 由于折叠，∴△CME ≌△FME ，即S △CME =S △FME ， 由题意可得：当点F 在直线AC 上方时， ∴S △MNE =14S △AMC =12S △AME =12S △FME ，即S △MNE = S △ANE = S △MNF ， ∴MN=AN ，FN=NE ，∴四边形FMEA 为平行四边形， ∴CM=FM=AE=12AC=221442+22 ∵M （s ，3s+2）， ()()2223222s s -++=解得：s=45-或0（舍），∴M（45-，25-），∴AM=22422455⎛⎫⎛⎫-++-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=6105，当点F在直线AC下方时，如图，同理可得：四边形AFEM为平行四边形，∴AM=EF，由于折叠可得：CE=EF，∴AM=EF=CE=22，综上：AM的长度为105或22【点睛】本题是二次函数综合题，涉及到待定系数法，二次函数的图像和性质，折叠问题，平行四边形的判定和性质，中线的性质，题目的综合性很强．难度很大，对学生的解题能力要求较高．8．如图①抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（4，0），点C三点．（1）试求抛物线的解析式；（2）点D（3，m）在第一象限的抛物线上，连接BC，BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点N在抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）存在．P（﹣34，1916）．（3）1539(,)24M--21139 (,) 24M-3521 (,) 24M【解析】【分析】（1）将A,B,C三点代入y＝ax2+bx+4求出a,b,c值，即可确定表达式；（2）在y轴上取点G，使CG＝CD＝3，构建△DCB≌△GCB，求直线BG的解析式，再求直线BG与抛物线交点坐标即为P点，（3）根据平行四边形的对边平行且相等，利用平移的性质列出方程求解，分情况讨论.【详解】解：如图：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（4，0），点C三点．∴4016440a ba b-+=⎧⎨++=⎩解得13ab=-⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4．（2）存在．理由如下：y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣32）2+254．∵点D（3，m）在第一象限的抛物线上，∴m＝4，∴D（3，4），∵C（0，4）∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB＝45°．连接CD，∴CD∥x轴，∴∠DCB＝∠OBC＝45°，∴∠DCB＝∠OCB，在y轴上取点G，使CG＝CD＝3，再延长BG交抛物线于点P，在△DCB和△GCB中，CB＝CB，∠DCB＝∠OCB，CG＝CD，∴△DCB≌△GCB（SAS）∴∠DBC＝∠GBC．设直线BP解析式为y BP＝kx+b（k≠0），把G（0，1），B（4，0）代入，得k＝﹣14，b＝1，∴BP解析式为y BP＝﹣14x+1．y BP＝﹣14x+1，y＝﹣x2+3x+4当y＝y BP时，﹣14x+1＝﹣x2+3x+4，解得x1＝﹣34，x2＝4（舍去），∴y＝1916，∴P（﹣34，1916）．（3）1539 (,)24M--21139 (,) 24M-3521 (,) 24M理由如下，如图B(4，0),C(0，4) ，抛物线对称轴为直线32x=，设N(32，n)，M(m, ﹣m2+3m+4)第一种情况：当MN与BC为对边关系时，MN∥BC,MN=BC,∴4-32=0-m，∴m=52-∴﹣m2+3m+4=39 4 -,∴1539 (,)24M--；或∴0-32=4-m，∴m=11 2∴﹣m2+3m+4=39 4 -,∴21139 (,) 24M-；第二种情况：当MN与BC为对角线关系，MN与BC交点为K,则K(2,2)，∴322 2m∴m=5 2∴﹣m2+3m+4=21 4∴3521 (,) 24M综上所述，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，点M的坐标为1539 (,)24M--21139 (,) 24M-3521 (,) 24M.【点睛】本题考查二次函数与图形的综合应用，涉及待定系数法，函数图象交点坐标问题，平行四边形的性质，方程思想及分类讨论思想是解答此题的关键.9．如图1所示，抛物线223y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，已知C 点坐标为（0，4），抛物线的顶点的横坐标为72，点P 是第四象限内抛物线上的动点，四边形OPAQ 是平行四边形，设点P 的横坐标为m ． （1）求抛物线的解析式；（2）求使△APC 的面积为整数的P 点的个数；（3）当点P 在抛物线上运动时，四边形OPAQ 可能是正方形吗？若可能，请求出点P 的坐标，若不可能，请说明理由；（4）在点Q 随点P 运动的过程中，当点Q 恰好落在直线AC 上时，则称点Q 为“和谐点”，如图（2）所示，请直接写出当Q 为“和谐点”的横坐标的值．【答案】（1）2214433y x x =-+；（2）9个 ；（3）33,22或44，；（4）33【解析】 【分析】（1）抛物线与y 轴交于点C ，顶点的横坐标为72，则472223cb ，即可求解； （2）APC ∆的面积PHAPHCSSS，即可求解；（3）当四边形OPAQ 是正方形时，点P 只能在x 轴的下方，此时OAP 为等腰直角三角形，设点(,)P x y ，则0x y +=，即可求解； （4）求出直线AP 的表达式为：2(1)(6)3y m x ，则直线OQ 的表达式为：2(1)3ym x ②，联立①②求出Q 的坐标，又四边形OPAQ 是平行四边形，则AO 的中点即为PQ 的中点，即可求解． 【详解】解：（1）抛物线与y 轴交于点C ，顶点的横坐标为72，则472223cb ，解得1434b c，故抛物线的抛物线为：2214433y x x =-+； （2）对于2214433y x x =-+，令0y =，则1x =或6，故点B 、A 的坐标分别为(1,0)、(6,0)；如图，过点P 作//PH y 轴交AC 于点H ，设直线AC 的表达式为：y kx b =+ 由点A （6，0）、C （0，4）的坐标得460b kb，解得423b k， ∴直线AC 的表达式为：243y x =-+①， 设点2214(,4)33P x x x ，则点2(,4)3H x x ，APC ∆的面积221122146(44)212(16)22333PHAPHCSSSPH OA x x x x x，当1x =时，10S =，当6x =时，0S =， 故使APC ∆的面积为整数的P 点的个数为9个；（3）当四边形OPAQ 是正方形时，点P 只能在x 轴的下方， 此时OAP 为等腰直角三角形，设点(,)P x y ，则0x y +=， 即2214433yx x x ，解得：32x =或4， 故点P 的坐标为3(2，3)2或(4,4)-； （4）设点2214(,4)33P m m m ，为点(6,0)A ，设直线AP 的表达式为：y kx t =+，由点A ，P 的坐标可得260214433kt kmt m m ，解之得：2(1)326(1)3km tm∴直线AP 的表达式为：2(1)(6)3ym x ， //AP OQ ，则AP 和OQ 表达式中的k 值相同，故直线OQ 的表达式为：2(1)3ym x ②， 联立①②得：2(1)3243ym x yx ，解得：446mm y x ，则点6(Q m ，44)m， 四边形OPAQ 是平行四边形，则AO 的中点即为PQ 的中点， 如图2，作QC x ⊥轴于点C ，PD x ⊥轴于点D ，∴OC AD =, 则有，66m m ，解得：33m，经检验，33m 是原分式方程得跟，则633m，故Q 的横坐标的值为33 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形正方形的性质、面积的计算等，能熟练应用相关性质是解题的关键．10．在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2+bx +2的图象与x 轴交于A （﹣3，0），B （1，0）两点，与y 轴交于点C ． （1）求这个二次函数的关系解析式；（2）点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点P ，使△ACP 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q ，使△BCQ 是以BC 为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由；【答案】（1）224233y x x =--+；（2）存在，点P 35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，使△PAC 的面积最大；（3）存在点Q ，使△BCQ 是以BC 为腰的等腰直角三角形．Q 点坐标为：Q 1（2，3），Q 2（3，1），Q 3（﹣1，﹣1），Q 4（﹣2，1）． 【解析】 【分析】（1）直接把点A （﹣3，0），B （1，0）代入二次函数y ＝ax 2+bx+2求出a 、b 的值即可得出抛物线的解析式；（2）设点P 坐标为（m ，n ），则n ＝﹣23m 2﹣43m+2，连接PO ，作PM ⊥x 轴于M ，PN ⊥y 轴于N ．根据三角形的面积公式得出△PAC 的表达式，再根据二次函数求最大值的方法得出其顶点坐标即可；（3）以BC 为边，在线段BC 两侧分别作正方形，正方形的其他四个顶点均可以使得“△BCQ 是以BC 为腰的等腰直角三角形”，因此有四个点符合题意要求，再过Q 1点作Q 1D ⊥y 轴于点D ，过点Q 2作Q 2E ⊥x 轴于点E ，根据全等三角形的判定定理得出△Q 1CD ≌△CBO ，△CBO ≌△BQ 2E ，故可得出各点坐标． 【详解】（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx+2过点A （﹣3，0），B （1，0），∴093202a b a b =-+⎧⎨=++⎩2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得∴二次函数的关系解析式为y ＝﹣23x 2﹣43x+2； （2）存在．∵如图1所示，设点P 坐标为（m ，n ），则n ＝﹣23m 2﹣43m+2． 连接PO ，作PM ⊥x 轴于M ，PN ⊥y 轴于N ．则PM＝﹣23m2﹣43m+2．，PN＝﹣m，AO＝3．∵当x＝0时，y＝﹣23×0﹣43×0+2＝2，∴OC＝2，∴S△PAC＝S△PAO+S△PCO﹣S△ACO＝12AO•PM+12CO•PN﹣12AO•CO＝12×3×（﹣23m2﹣43m+2）+12×2×（﹣m）﹣12×3×2＝﹣m2﹣3m∵a＝﹣1＜0∴函数S△PAC＝﹣m2﹣3m有最大值∴当m＝﹣2ba＝﹣32时，S△PAC有最大值．∴n＝﹣23m2﹣43m+2＝﹣23×（﹣32）2﹣43×（﹣32）+2＝52，∴存在点P（﹣32，52），使△PAC的面积最大．（3）如图2所示，以BC为边在两侧作正方形BCQ1Q2、正方形BCQ4Q3，则点Q1，Q2，Q3，Q4为符合题意要求的点．过Q1点作Q1D⊥y轴于点D，过点Q2作Q2E⊥x轴于点E，∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，∠3+∠4＝90°，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，在△Q1CD与△CBO中，∵11324Q C BC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△Q1CD≌△CBO，∴Q1D＝OC＝2，CD＝OB＝1，∴OD＝OC+CD＝3，∴Q1（2，3）；同理可得Q4（﹣2，1）；同理可证△CBO≌△BQ2E，∴BE＝OC＝2，Q2E＝OB＝1，∴OE＝OB+BE＝1+2＝3，∴Q2（3，1），同理，Q3（﹣1，﹣1），∴存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形．Q点坐标为：Q1（2，3），Q2（3，1），Q3（﹣1，﹣1），Q4（﹣2，1）．【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数解析式，二次函数极值、全等三角形的判定与性质，正方形及等腰直角三角形的性质等知识，涉及面较广，难度较大．三、初三数学旋转易错题压轴题（难）11．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．【答案】（1）PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S△PMN最大＝492．【解析】【分析】（1）由已知易得BD CE =，利用三角形的中位线得出12PM CE =，12PN BD =，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线得出//PM CE 得出DPM DCA ∠=∠，最后用互余即可得出位置关系；（2）先判断出ABD ACE ∆≅∆，得出BD CE =，同（1）的方法得出12PM BD =，12PN BD =，即可得出PM PN =，同（1）的方法由MPN DCE DCB DBC ACB ABC ∠=∠+∠+∠=∠+∠，即可得出结论；（3）方法1：先判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大，进而求出AN ，AM ，即可得出MN 最大AM AN =+，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出BD 最大时，PMN ∆的面积最大，而BD 最大是14AB AD +=，即可得出结论．【详解】解：（1）点P ，N 是BC ，CD 的中点，//PN BD ∴，12PN BD =， 点P ，M 是CD ，DE 的中点，//PM CE ∴，12PM CE =， AB AC =，AD AE =，BD CE ∴=，PM PN ∴=，//PN BD ，DPN ADC ∴∠=∠，//PM CE ，DPM DCA ∴∠=∠，90BAC ∠=︒，90ADC ACD ∴∠+∠=︒，90MPN DPM DPN DCA ADC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，PM PN ∴⊥，故答案为：PM PN =，PM PN ⊥；（2）PMN ∆是等腰直角三角形．由旋转知，BAD CAE ∠=∠，AB AC =，AD AE =，()ABD ACE SAS ∴∆≅∆，ABD ACE ∴∠=∠，BD CE =，利用三角形的中位线得，12PN BD =，12PM CE =， PM PN ∴=，PMN ∴∆是等腰三角形，同（1）的方法得，//PM CE ，DPM DCE ∴∠=∠，同（1）的方法得，//PN BD ，PNC DBC ∴∠=∠，DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠，MPN DPM DPN DCE DCB DBC ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠BCE DBC ACB ACE DBC =∠+∠=∠+∠+∠ACB ABD DBC ACB ABC =∠+∠+∠=∠+∠，90BAC ∠=︒，90ACB ABC ∴∠+∠=︒，90MPN ∴∠=︒，PMN ∴∆是等腰直角三角形；（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，PMN ∆是等腰直角三角形，MN ∴最大时，PMN ∆的面积最大，//DE BC ∴且DE 在顶点A 上面，MN ∴最大AM AN =+，连接AM ，AN ，在ADE ∆中，4AD AE ==，90DAE ∠=︒，22AM ∴=在Rt ABC ∆中，10AB AC ==，52AN =22522MN ∴=最大，222111149(72)22242PMN S PM MN ∆∴==⨯=⨯=最大． 方法2：由（2）知，PMN ∆是等腰直角三角形，12PM PN BD ==， PM ∴最大时，PMN ∆面积最大，∴点D 在BA 的延长线上， 14BD AB AD ∴=+=，7PM ∴=，2211497222PMN S PM ∆∴==⨯=最大． 【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出12PM CE =，12PN BD =，解（2）的关键是判断出ABD ACE ∆≅∆，解（3）的关键是判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大．12．小明研究了这样一道几何题：如图1，在△ABC 中，把AB 点A 顺时针旋转α (0°＜α＜180°)得到AB ′，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC ′，连接B ′C ′．当α+β=180°时，请问△AB ′C ′边B ′C ′上的中线AD 与BC 的数量关系是什么？以下是他的研究过程：特例验证：(1)①如图2，当△ABC 为等边三角形时，AD 与BC 的数量关系为AD = BC ；②如图3，当∠BAC =90°，BC =8时，则AD 长为 ．猜想论证：(2)在图1中，当△ABC 为任意三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系，并给予证明． 拓展应用(3)如图4，在四边形ABCD ，∠C =90°，∠A +∠B =120°，BC =12，CD =6，DA =63，在四边形内部是否存在点P ，使△PDC 与△PAB 之间满足小明探究的问题中的边角关系？若存在，请画出点P 的位置(保留作图痕迹，不需要说明)并直接写出△PDC 的边DC 上的中线PQ 的长度；若不存在，说明理由．【答案】(1)①12；②4 (2) AD =12BC ，理由见解析 (3)存在，13【解析】【分析】(1)①由已知条件可得AD ⊥B ′C ′，由α+β=180°可得∠BAC +∠B ′AC ′=180°，已知∠BAC =60°，可求得∠B′AC′=120°继而∠B′=∠C′=30°，可得AD=12AB′=12BC②当∠BAC=90°时，可得∠B′AC′=∠BAC=90°，△B′AC′是直角三角形，可证得△BAC≌△B′AC′，推出对应边相等，已知BC=8求出AD的长.（2）先做辅助线，延长AD到M，使得AD=DM，连接B′M、C′M，如图1所示：因为B′D=DC′，AD=DM，对角线相互平分，可得四边形AC′MB′是平行四边形，得出对应边相等，由∠BAB′+∠CAC′=180°推得∠BAC=∠AB′M，可证明△BAC≌△AB′M，所以BC=AM，AD=12 BC；(3)先做辅助线，作线段BC的垂直平分线交BE于P，即为点P的位置；延长AD交BC的延长线于M，线段BC的垂直平分线交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PDC的中线PQ，连接DF交PC于O假设P点存在，再证明理由.根据已知角可得出△DCM是直角三角形，∠MDC=30°，可得出CM3DM3在；∵CD=6，∠DCM=90°，∠MDC=30°，∠M=90°﹣∠MDC=60°，可求得EM=12BM3DE=EM﹣DM3﹣33由已知DA3AE=DE且BE⊥AD，可得PF是线段BC的垂直平分线，证得PA=PD因为PB=PC，PF∥CD，可求得CF=12BC3，利用线段长度可求得∠CDF=60°利用全等三角形判定定理可证得△FCP≌△CFD(AAS)，进而证得四边形CDPF是矩形，得∠CDP=90°，∠ADP =60°，可得△ADP是等边三角形，求出DQ、DP，在Rt△PDQ中可求得PQ长度.【详解】(1)①∵△ABC是等边三角形∴AB=BC=AC=AB′=AC′，∠BAC=60°∵DB′=DC′∴AD⊥B′C′∵∠BAB′+∠CAC′=180°∴∠BAC+∠B′AC′=180°∴∠B′AC′=180°﹣∠BAC=180°﹣60°=120°∴∠B′=∠C′=30°∴AD=12AB′=12BC故答案：1 2②∵∠BAB′+∠CAC′=180°∴∠BAC+∠B′AC′=180°∵∠BAC=90°∴∠B′AC′=∠BAC=90°在△BAC和△B′AC′中，''"90"AB ABBAC B ACAC AC=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△BAC≌△B′AC′(SAS)∴BC=B′C′∵B′D=DC′∴AD=12B′C′=12BC=4故答案：4(2)AD与BC的数量关系：AD=12BC；理由如下：延长AD到M，使得AD=DM，连接B′M、C′M，如图1所示：∵B′D=DC′，AD=DM，∴四边形AC′MB′是平行四边形，∴∠B′AC′+∠AB′M=180°，AC′=B′M=AC，∵∠BAB′+∠CAC′=180°，∴∠BAC+∠B′AC′=180°，∴∠BAC=∠AB′M，在△BAC和△AB′M中，'''AC B MBAC AB MAB AB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAC≌△AB′M(SAS)，∴BC=AM，∴AD=12 BC；(3)存在；作BE⊥AD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，即为点P的位置；理由如下：延长AD交BC的延长线于M，线段BC的垂直平分线交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PDC的中线PQ，连接DF交PC于O，如图4所示：∵∠A+∠B=120°，∴∠ADC=150°，∴∠MDC=30°，在Rt△DCM中，∵CD=6，∠DCM=90°，∠MDC=30°，∴CM3DM3，∠M=90°﹣∠MDC=60°，在Rt△BEM中，∵∠BEM=90°，BM=BC+CM333，∠MBE=90°﹣∠M=30°，∴EM=12BM3∴DE=EM﹣DM333∵DA3∴AE=DE，∵BE⊥AD，∴PA=PD，∵PF是线段BC的垂直平分线，∴PB=PC，PF∥CD，在Rt△CDF中，∵CD=6，CF=12BC3∴tan∠CDF=CFCD633，∴∠CDF=60°，∴∠MDF=∠MDC+∠CDF=30°+60°=90°，∴∠ADF=90°=∠AEB，∴∠CBE=∠CFD，∵∠CBE=∠PCF，∴∠CFD=∠PCF=30°，∵∠CFD+∠CDF=90°，∠PCF+∠CPF=90°，∴∠CPF=∠CDF=60°，在△FCP 和△CFD中，CPF CDFPCF CFD CF CF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FCP≌△CFD(AAS)，∴CD=PF，∵CD∥PF，∴四边形CDPF是矩形，∴∠CDP=90°，∴∠ADP=∠ADC﹣∠CDP=60°，∴△ADP是等边三角形，∴∠APD=60°，∵∠BPF=∠CPF=90°﹣30°=60°，∴∠BPC=120°，∴∠APD+∠BPC=180°，∴△PDC与△PAB之间满足小明探究的问题中的边角关系；在Rt△PDQ中，∵∠PDQ=90°，PD=DA=63，DN=12CD=3，∴PQ=22DQ DP+=223(63)+=313．【点睛】本题考查了三角形的边旋转的问题，旋转前后边长不变，根据已知角度变化，求得线段之间关系.在证明某点知否存在时，先假设这点存在，能求出相关线段或坐标，即证实存在性. 13．（1）发现如图，点A为线段BC外一动点，且BC a=，AB b=.填空：当点A位于____________时，线段AC的长取得最大值，且最大值为_________.（用含a，b的式子表示）（2）应用点A为线段BC外一动点，且3BC=，1AB=.如图所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE.①找出图中与BE 相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE 长的最大值.（3）拓展如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()2,0，点B 的坐标为()5,0，点P 为线段AB 外一动点，且2PA =，PM PB =，90BPM ∠=︒，求线段AM 长的最大值及此时点P 的坐标.【答案】（1）CB 的延长线上，a+b ；（2）①DC=BE,理由见解析；②BE 的最大值是4;（3）AM 的最大值是2，点P 的坐标为（22）【解析】【分析】（1）根据点A 位于CB 的延长线上时，线段AC 的长取得最大值，即可得到结论； （2）①根据等边三角形的性质得到AD=AB ，AC=AE ，∠BAD=∠CAE=60°，推出△CAD ≌△EAB ，根据全等三角形的性质得到CD=BE ；②由于线段BE 长的最大值=线段CD 的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；（3）连接BM ，将△APM 绕着点P 顺时针旋转90°得到△PBN ，连接AN ，得到△APN 是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN=PA=2，BN=AM ，根据当N 在线段BA 的延长线时，线段BN 取得最大值，即可得到最大值为2+3；如图2，过P 作PE ⊥x 轴于E ，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【详解】解：（1）∵点A 为线段BC 外一动点，且BC=a ，AB=b ，∴当点A 位于CB 的延长线上时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为BC+AB=a+b ， 故答案为CB 的延长线上，a+b ；（2）①CD=BE ，理由：∵△ABD 与△ACE 是等边三角形，∴AD=AB ，AC=AE ，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC ，即∠CAD=∠EAB ，在△CAD 与△EAB 中，AD ABCAD EAB AC AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△CAD ≌△EAB ，∴CD=BE ；②∵线段BE 长的最大值=线段CD 的最大值，由（1）知，当线段CD 的长取得最大值时，点D 在CB 的延长线上， ∴最大值为BD+BC=AB+BC=4；（3）∵将△APM 绕着点P 顺时针旋转90°得到△PBN ，连接AN ， 则△APN 是等腰直角三角形，∴PN=PA=2，BN=AM ，∵A 的坐标为（2，0），点B 的坐标为（5，0），∴OA=2，OB=5，∴AB=3，∴线段AM 长的最大值=线段BN 长的最大值，∴当N 在线段BA 的延长线时，线段BN 取得最大值，最大值=AB+AN ，∵AN=2AP=22，∴最大值为22+3；如图2，过P 作PE ⊥x 轴于E ，∵△APN 是等腰直角三角形，∴2，∴22，∴P （22）．。
山东省青岛市青大附中2014-2015学年九年级数学上学期期末考试题(无答案)北师大版
x山东省青岛市青大附中2014-2015学年九年级数学上学期期末考试一、选择题（每题 3分）1、某种工件是由一个长方体钢块中间钻了一个上下通透的圆孔制作而成，其俯视图如图所 示，则此工件的左视图是（）2、下列命题中正确的是（ ） A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形D. 若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是矩形 3、已知二次函数y = - （x- 2）2 - 3,则y 的最大值是（ ）A.2B.-3C.3D.-24、已知一个布袋里装有 50个红球，75个白球和a 个黄球，这些球除颜色外其余都相同,若从布袋里任意摸出 1个球，是红球的概率是1/3，则a 等于（）A.20B.25C.35D.40> 0）的图象经过顶点 B,贝y k 的值为（ ） A.12B.20C.24D.32LUroiA.5、 反比例函数y = 4H 当x > 0时，y 随x 的增大而减小，则 k 的取值范围是（xA.k v 2B.k w 2C.k 6、 A ABC MA A B' C' 的面积是3,则厶A B'A.3B.6 C .9 I7、 么 B.6 如图，正方形 CH > 2 D.k > 2 是位似图形，且△ C'的面积是（D.12ABCD 和正方形的 ABC M^A B' C'的位似比是 1 : 2,已知△ ）ABCA.10 B.CEFG 中, 长 3,2 2点 D 在CG 上，BC=2 CE=4, H 是AF 的中点, 是（第7题k 8、如图，菱形OABC 勺顶点C 的坐标为（3 ,4）.顶点A 在x 轴的正半轴上，反比例函数y = — (x第8题结论：（2）你这样作图的道理是: _______ _________ 的平行四边形是菱形。
二、填空题：（每题3分）59、在厶ABC中，/ C=90，如果tanA= ，那么sinB的值等于1210、若关于x的一元二次方程mx- 2x+1=°有实数根，则m的取值范围是________________11、某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x,则可列方程为______________________12、如图，抛物线y = ax2 + bx + c（a>0）的对称轴是直线x=1,且经过点P（4,°）,则下列说法错误的有_____________ （1）c>0;（2）x=-2时y=0;（3）b2-4ac cO .13、小明沿着坡度为1:2的山坡向上走了500m,则他升高了____________m.14、如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为（8，4），阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1、S2、S3、…、S10,则S10的值为____________ .（用含n的代数式表示，n为正整数）三、解答题15、作图题（6分）用圆规和直尺作图，不写做法，但要保留作图痕迹已知：线段a,b（1）求作：菱形ABCD 使AC=a BD=ba b>'V=X16、用配方法解方程(4分)X2一4X-2 =017、(4分)如图所示，可以自由转动的转盘被3等分，指针落在每个扇形内的机会均等. 小明和小华利用这个转盘做游戏，若采用下列游戏规则，你认为对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由•游辻规则过 J哗止后飾邑猜冋一个如若网皿积为电飯’則小明腔；否则Ik如图，直线y=x-1与反比例函数y= 的图象交于A B两点，与x轴交于点C,已知点AX的坐标为(-1 , m)(1)求反比例函数的解析式；(2)若点P ( n, -1 )是反比例函数图象上一点，过点P作PE± x轴于点E,延长EP交直线AB 于点卩，求厶CEF的面积.19、（本题满分8分）如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，篮球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮筐。
2020-2021青岛青大附中九年级数学上期中第一次模拟试卷附答案
2020-2021青岛青大附中九年级数学上期中第一次模拟试卷附答案一、选择题1．﹣3的绝对值是（）A．﹣3B．3C．-13D．132．下列事件中，属于必然事件的是（）A．随时打开电视机，正在播新闻B．优秀射击运动员射击一次，命中靶心C．抛掷一枚质地均匀的骰子，出现4点朝上D．长度分别是3cm，5cm，6cm的三根木条首尾相接，组成一个三角形3．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列说法正确的是（）A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＜0，b＞0，c＞0 C．a＜0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＜0，c＞04．已知抛物线y=x2-2mx-4（m＞0）的顶点M关于坐标原点O的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M的坐标为（）A．（1，-5）B．（3，-13）C．（2，-8）D．（4，-20）5．下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．6．如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪．若草坪的面积为570m2，道路的宽为xm，则可列方程为（）A．32×20﹣2x2＝570B．32×20﹣3x2＝570C．（32﹣x）（20﹣2x）＝570D．（32﹣2x）（20﹣x）＝5707．如图，将三角尺ABC（其中∠ABC=60°，∠C=90°）绕点B按逆时针方向转动一个角度到△A1BC1的位置，使得点A1、B、C在同一条直线上，那么旋转角等于（）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°8．已知函数2(3)21y k x x =-++的图象与x 轴有交点．则k 的取值范围是( ) A ．k<4 B ．k≤4 C ．k<4且k≠3 D ．k≤4且k≠39．若关于x 的方程240kx x -+=有实数根，则k 的取值范围是( )A ．k 16≤B ．1k 16≤C ．k 16≤且k 0≠D ．1k 16≤且k 0≠ 10．设a b ，是方程220190x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ） A ．2017 B ．2018 C ．2019 D ．202011．如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为60︒，90︒，210︒．让转盘自由转动，指针停止后落在黄色区域的概率是( )A ．16B ．14C ．13D ．71212．在一个不透明的袋子中装有5个黑球和3个白球，这些球的大小、质地完全相同，随机地从袋子中摸出4个球，下列事件是必然事件的是（ ）．A ．摸出的4个球中至少有一个球是白球B ．摸出的4个球中至少有一个球是黑球C ．摸出的4个球中至少有两个球是黑球D ．摸出的4个球中至少有两个球是白球二、填空题13．某市政府为了改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，使绿地面积增加44%，则这两年平均绿地面积的增长率为______.14．我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题：“直田积（矩形面积），八百六十四（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少12步），问阔及长各几步．”如果设矩形田地的长为x 步，那么根据题意列出的方程为_____．15．如图，边长为3的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG ，EF 交AD 于点H ，那么DH 的长是______．16．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠D＝20°，则∠CBA的度数是__．17．一个正多边形的一个外角为30°，则它的内角和为_____．18．将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线的函数关系式为_____________ .19．a、b、c是实数，点A（a+1、b）、B（a+2，c）在二次函数y=x2﹣2ax+3的图象上，则b、c的大小关系是b____c（用“＞”或“＜”号填空）20．若抛物线的顶点坐标为(2,9)，且它在x轴截得的线段长为6，则该抛物线的表达式为________．三、解答题21．甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A、B分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示．游戏规定，转动两个转盘停止后，指针所指的两个数字之和为奇数时，甲获胜；为偶数时，乙获胜．（1）用列表法（或画树状图）求甲获胜的概率；（2）你认为这个游戏规则对双方公平吗？请简要说明理由．22．学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高．王老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分成四类（A：特别好，B：好，C：一般，D：较差）后，再将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图1,2）．请根据统计图解答下列问题：（1）本次调查中，王老师一共调查了名学生；（2）将条形统计图补充完整；（3）为了共同进步，王老师从被调查的A类和D类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．23．为响应市政府关于“垃圾不落地⋅市区更美丽”的主题宣传活动，郑州外国语中学随机调查了部分学生对垃圾分类知识的掌握情况，调查选项分为“A：非常了解；B：比较了.”四种，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图.请解；C：了解较少；D：不了解根据图中提供的信息，解答下列问题；()1求m=______，并补全条形统计图；()2若我校学生人数为1000名，根据调查结果，估计该校“非常了解”与“比较了解”的学生共有______名；()3已知“非常了解”的是3名男生和1名女生，从中随机抽取2名向全校做垃圾分类的知识交流，请画树状图或列表的方法，求恰好抽到1男1女的概率．24．如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝12cm，点D从点A出发沿边AB以2cm/s的速度向点B移动，移动过程中始终保持DE∥BC，DF∥AC（点E、F分别在AC、BC上）．设点D移动的时间为t秒．（1）试判断四边形DFCE的形状，并说明理由；（2）当t为何值时，四边形DFCE的面积等于20cm2？（3）如图2，以点F为圆心，FC的长为半径作⊙F，在运动过程中，当⊙F与四边形DFCE只有1个公共点时，请直接写出t的取值范围．25．某商店如果将进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件．现在采取提高售价，减少售货量的方法增加利润，已知这种商品每涨价0．5元，其销量减少10件．（1）若涨价x元，则每天的销量为____________件（用含x的代数式表示）；（2）要使每天获得700元的利润，请你帮忙确定售价．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案.【详解】根据绝对值的性质得：|-3|=3．故选B．【点睛】本题考查绝对值的性质，需要掌握非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数. 2．D解析：D【解析】分析：根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．详解：A．是随机事件，故A不符合题意；B．是随机事件，故B不符合题意；C．是随机事件，故C不符合题意；D．是必然事件，故D符合题意．点睛：本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．3．B解析：B【解析】【分析】利用抛物线开口方向确定a 的符号，利用对称轴方程可确定b 的符号，利用抛物线与y 轴的交点位置可确定c 的符号．【详解】∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵抛物线的对称轴在y 轴的右侧，∴x ＝﹣2b a＞0， ∴b ＞0， ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0，故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△＝b 2﹣4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△＝b 2﹣4ac ＝0时，抛物线与x 轴有1个交点；△＝b 2﹣4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．4．C解析：C【解析】【分析】【详解】解：22224=()4y x mx x m m =-----，∴点M （m ，﹣m 2﹣4），∴点M′（﹣m ，m 2+4），∴m 2+2m 2﹣4=m 2+4．解得m=±2．∵m ＞0，∴m=2，∴M （2，﹣8）． 故选C ．【点睛】本题考查二次函数的性质． 5．B解析：B【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐一判断即可得答案.【详解】A.不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意，B.是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意，C.不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意，D.是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意．故选：B．【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．6．D解析：D【解析】【分析】六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm，根据草坪的面积是570m2，即可列出方程．【详解】解：设道路的宽为xm，根据题意得：（32-2x）（20-x）=570，故选D．【点睛】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程．7．D解析：D【解析】根据题意旋转角为∠ABA1，由∠ABC=60°，∠C=90°，A、B、C1在同一条直线上，得到∠ABA1=180°-∠A1BC1=180°-60°=120°解：旋转角为∠ABA1，∵∠ABC=60°，∠C=90°，∴∠ABA1=180°-∠A1BC1=180°-60°=120°；故答案为D点评：本题考查了弧长的计算公式：l=n R180，其中l表示弧长，n表示弧所对的圆心角的度数．8．B解析：B 【解析】试题分析：若此函数与x 轴有交点，则2(3)21=0k x x -++，Δ≥0，即4-4(k-3)≥0,解得：k≤4,当k=3时，此函数为一次函数，题目要求仍然成立，故本题选B.考点：函数图像与x 轴交点的特点.9．B解析：B【解析】【分析】当0k =时，代入方程验证即可，当0k ≠时，根据方程的判别式△≥0可得关于k 的不等式，解不等式即得k 的取值范围，问题即得解决.【详解】解：当0k =时，40x -+=，此时4x =，有实数根；当0k ≠时，∵方程240kx x -+=有实数根，∴△2(1)440k =--⨯⨯…，解得：116k „，此时116k „且0k ≠； 综上，116k „．故选B. 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟知一元二次方程的根的判别式与根的关系是解题的关键.10．B解析：B【解析】【分析】根据题意，把x a =代入方程，得22019a a +=，再由根与系数的关系，得到1a b +=-，即可得到答案．【详解】解：∵设a b ，是方程220190x x +-=的两个实数根，∴把x a =代入方程，得：22019a a +=，由根与系数的关系，得：1a b +=-，∴222()201912018a a b a a a b ++=+++=-=；故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，以及根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系，正确求出代数式的值． 11．B解析：B【解析】【分析】求出黄区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率．【详解】∵黄扇形区域的圆心角为90°，所以黄区域所占的面积比例为901= 3604，即转动圆盘一次，指针停在黄区域的概率是14，故选B．【点睛】本题将概率的求解设置于转动转盘游戏中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．12．B解析：B【解析】【分析】必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可作出判断．【详解】解：A、是随机事件，故A选项错误；B、是必然事件，故B选项正确；C、是随机事件，故C选项错误；D、是随机事件，故D选项错误．故选B．【点睛】本题考查随机事件．二、填空题13．20【解析】【分析】本题可设这两年平均每年的增长率为x因为经过两年时间让市区绿地面积增加44则有（1+x）2=1+44解这个方程即可求出答案【详解】解：设这两年平均每年的绿地增长率为x根据题意得（1解析：20%【解析】【分析】本题可设这两年平均每年的增长率为x，因为经过两年时间，让市区绿地面积增加44%，则有（1+x）2=1+44%，解这个方程即可求出答案．【详解】解：设这两年平均每年的绿地增长率为x，根据题意得，（1+x）2=1+44%，解得x1=-2.2（舍去），x2=0.2．答：这两年平均每年绿地面积的增长率为20%．故答案为20%【点睛】此题考查增长率的问题，一般公式为：原来的量×（1±x）2=现在的量，增长用+，减少用-．但要注意解的取舍，及每一次增长的基础．14．x（x﹣12）＝864【解析】【分析】如果设矩形田地的长为x步那么宽就应该是（x﹣12）步根据面积为864即可得出方程【详解】解：设矩形田地的长为x步那么宽就应该是（x﹣12）步根据矩形面积＝长×宽解析：x（x﹣12）＝864【解析】【分析】如果设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x﹣12）步，根据面积为864，即可得出方程．【详解】解：设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x﹣12）步．根据矩形面积＝长×宽，得：x（x﹣12）＝864．故答案为：x（x﹣12）＝864．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，读懂题意根据面积公式列出方程是解题的关键．15．【解析】【分析】思路分析：把所求的线段放在构建的特殊三角形内【详解】如图所示连接HCDF且HC与DF交于点P∵正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG∴∠BCF=∠DCG=30解析：3．【解析】【分析】思路分析：把所求的线段放在构建的特殊三角形内【详解】如图所示．连接HC、DF，且HC与DF交于点P∵正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG∴∠BCF=∠DCG=30°，FC =DC，∠EFC=∠ADC=90°∠BCG=∠BCD+∠DCG=90°＋30°=120°∠DCF=∠BCG－∠BCF－∠DCG=120°－30°－30°=60°∴△DCF是等边三角形，∠DFC=∠FDC=60°∴∠EFD=∠ADF=30°，HF=HD∴HC是FD的垂直平分线，∠FCH=∠DCH=12∠DCF=30°在Rt△HDC中，HD=DC·tan∠DCH=3∵正方形ABCD的边长为3∴HD=DC·tan∠DCH=3×tan30°=3×3=3试题点评：构建新的三角形，利用已有的条件进行组合．16．70°【解析】【分析】根据圆周角定理可得：∠ACB=90°∠A=∠D＝20°根据三角形内角和定理可求解【详解】因为AB为⊙O的直径所以∠ACB=90°因为∠D＝20°所以∠A=∠D＝20°所以∠CB解析：70°【解析】【分析】根据圆周角定理可得：∠ACB=90°，∠A=∠D＝20°，根据三角形内角和定理可求解．【详解】因为AB为⊙O的直径，所以∠ACB=90°因为∠D＝20°所以∠A=∠D＝20°所以∠CBA=90°-20°=70°故答案为：70°【点睛】考核知识点：圆周角定理．熟记圆周角定理是关键．17．1800°【解析】试题分析：这个正多边形的边数为=12所以这个正多边形的内角和为（12﹣2）×180°=1800°故答案为1800°考点：多边形内角与外角解析：1800°【解析】试题分析：这个正多边形的边数为=12，所以这个正多边形的内角和为（12﹣2）×180°=1800°．故答案为1800°．考点：多边形内角与外角．18．【解析】【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标为（00）然后根据向左平移横坐标加向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标然后写出即可【详解】抛物线的顶点坐标为（00）∵向左平移1个单位长度后向下平移2个单 解析：25(1)1y x =-+-【解析】 【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标为（0，0），然后根据向左平移横坐标加，向下平移纵坐标减，求出新抛物线的顶点坐标，然后写出即可． 【详解】抛物线251y x =-+的顶点坐标为（0，0）， ∵向左平移1个单位长度后，向下平移2个单位长度， ∴新抛物线的顶点坐标为（-1，-2）， ∴所得抛物线的解析式是()2511y x =-+-． 故答案为：()2511y x =-+-． 【点睛】本题主要考查的是函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利用顶点的变化确定图形的变化是解题的关键．19．＜【解析】试题分析：将二次函数y ＝x2－2ax ＋3转换成y ＝(x-a)2-a2＋3则它的对称轴是x=a 抛物线开口向上所以在对称轴右边y 随着x 的增大而增大点A 点B 均在对称轴右边且a+1<a+2所以b<解析：＜ 【解析】试题分析：将二次函数y ＝x 2－2ax ＋3转换成y ＝(x-a)2-a 2＋3,则它的对称轴是x=a,抛物线开口向上，所以在对称轴右边y 随着x 的增大而增大，点A 点B 均在对称轴右边且a+1<a+2,所以b <c.20．【解析】【分析】设此抛物线的解析式为：y=a （x-h ）2+k 由已知条件可得h=2k=9再由条件：它在x 轴上截得的线段长为6求出a 的值即可【详解】解：由题意设此抛物线的解析式为：y=a （x-2）2+9 解析：2(2)9y x =--+【解析】 【分析】设此抛物线的解析式为：y=a （x-h ）2+k ，由已知条件可得h=2，k=9，再由条件：它在x 轴上截得的线段长为6，求出a 的值即可． 【详解】解：由题意,设此抛物线的解析式为： y=a （x-2）2+9， ∵且它在x 轴上截得的线段长为6，令y=0得，方程0=a （x-2）2+9， 即：ax 2-4ax+4a+9=0，∵抛物线ya （x-2）2+9在x 轴上的交点的横坐标为方程的根，设为x 1，x 2， ∴x 1+x 2=4，x 1•x 2=49a a+ ， ∴|x 1-x 2|=21212()46x x x x +-=即16-4×49a a+=36 解得：a=-1， y=-（x-2）2+9，故答案为：y=-（x-2）2+9． 【点睛】此题主要考查了用顶点式求二次函数的解析式和一元二次方程与二次函数的关系，函数与x 轴的交点的横坐标就是方程的根．三、解答题21．(1)12；（2）公平，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了概率问题中的公平性问题，解决本题的关键是计算出各种情况的概率，然后比较即可． 【详解】 方法一画树状图：由上图可知，所有等可能的结果共有12种，指针所指的两个数字之和为奇数的结 果有6种．∴P （和为奇数）= 12． 方法二列表如下：由上表可知，所有等可能的结果共有12种，指针所指的两个数字之和为奇数的结果有6种．∴P（和为奇数）= 12；（2）∵P（和为奇数）= 12，∴P（和为偶数）=12，∴这个游戏规则对双方是公平的．【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22．（1）20；（2）作图见试题解析；（3）12．【解析】【分析】（1）由A类的学生数以及所占的百分比即可求得答案；（2）先求出C类的女生数、D类的男生数，继而可补全条形统计图；（3）首先根据题意列出表格，再利用表格求得所有等可能的结果与恰好选中一名男生和一名女生的情况，继而求得答案．【详解】（1）根据题意得：王老师一共调查学生：（2+1）÷15%=20（名）；故答案为20；（2）∵C类女生：20×25%﹣2=3（名）；D类男生：20×（1﹣15%﹣50%﹣25%）﹣1=1（名）；如图：（3）列表如下：A类中的两名男生分别记为A1和A2，男A 1 男A 2 女A 男D 男A 1男D 男A 2男D 女A 男D 女D男A 1女D男A 2女D女A 女D一位女生的概率为：3162=． 23．（1）20（2）500（3）12【解析】 【分析】()1先利用A 选项的人数和它所占百分比计算出调查的总人数为50，再计算出B 选项所占的百分比为42%，从而得到m%20%=，即m 20=，然后计算出C 、D 选项的人数，最后补全条形统计图；()2用1000乘以()8%42%+可估计该校“非常了解”与“比较了解”的学生数；()3画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出抽到1男1女的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】()1调查的总人数为48%50÷=，B 选项所占的百分比为21100%42%50⨯=， 所以m%18%42%30%20%=---=，即m 20=， C 选项的人数为30%5015(⨯=人)， D 选项的人数为20%5010(⨯=人)， 条形统计图为：故答案为20；()()210008%42%500⨯+=，所以估计该校“非常了解”与“比较了解”的学生共有500名； 故答案为500；()3画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中抽到1男1女的结果数为6，所以恰好抽到1男1女的概率61 122 ==【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率.也考查了统计图．24．（1）平行四边形，理由见解析；（2）1秒或5秒；（3）12﹣2＜t＜6【解析】【分析】（1）由两组对边平行的四边形是平行四边形可证四边形DFCE是平行四边形；（2）设点D出t秒后四边形DFCE的面积为20cm2，利用BD×CF＝四边形DFCE的面积，列方程解答即可；（3）如图2中，当点D在⊙F上时，⊙F与四边形DECF有两个公共点，求出此时t的值，根据图象即可解决问题．【详解】解：（1）∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DFCE是平行四边形；（2）如图1中，设点D出发t秒后四边形DFCE的面积为20cm2，根据题意得，DE＝AD＝2t，BD＝12﹣2t，CF＝DE＝2t，又∵BD×CF＝四边形DFCE的面积，∴2t（12﹣2t）＝20，t2﹣6t+5＝0，（t﹣1）（t﹣5）＝0，解得t1＝1，t2＝5；答：点D出发1秒或5秒后四边形DFCE的面积为20cm2；（3）如图2中，当点D在⊙F上时，⊙F与四边形DECF有两个公共点，在Rt△DFB中，∵∠B＝90°，AD＝DF＝CF＝2t，BD＝BF＝12﹣2t，∴2t2（12﹣2t），∴t＝12﹣2，由图象可知，当12﹣2＜t＜6时，⊙F与四边形DFCE有1个公共点．【点睛】本题考查圆综合题，考查了圆的有关知识，平行四边形的判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．25．（1）200－20x；（2）15元．【解析】试题分析：（1）如果设每件商品提高x元，即可用x表示出每天的销售量；（2）根据总利润=单价利润×销售量列出关于x的方程，进而求出未知数的值．试题解析：解：（1）200－20x；（2）根据题意，得（10－8＋x）（200－20x）=700，整理得x2－8x＋15=0，解得x1=5，x2=3，因为要采取提高售价，减少售货量的方法增加利润，所以取x=5．所以售价为10+5=15（元），答：售价为15元．点睛：此题考查了一元二次方程在实际生活中的应用．解题的关键是理解题意，找到等量关系，列出方程．。
2019年山东青岛初三上第一次抽考数学试卷含详细解析.doc
2019年山东青岛初三上第一次抽考数学试卷含详细解析【一】单项选择题〔共9小题〕1、关于x的一元二次方程有一个根为0，那么a的值是〔〕A、±1B、－1C、1D、0考点：解一元二次方程答案：B试题解析：∵一元二次方程有一个根为0，∴将x=0代入方程得，∵方程为一元二次方程，∴∴，应选B2、如图，由∠1=∠2，BC=DC，AC=EC，得△ABC≌△EDC的根据是〔〕A、SASB、ASAC、AASD、SSS考点：全等三角形的判定答案：A试题解析：∵∠1=∠2，∴∠1+∠DCA=∠2+∠DCA，即∠BCA=∠DCE，在△ABC和△ECD中∴△ABC≌△ECD〔SAS〕，应选A3、如果一元二次方程x2-2－3=0的两根为x1、x2，那么x12x2＋x1x22的值等于〔〕A、-6B、6C、-5D、5考点：一元二次方程的根的判别式答案：A试题解析：根据根与系数的关系可得，∵一元二次方程x2-2－3=0的两根为x1、x2∴应选A4、不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是〔〕A、∠A=∠C ∠B=∠DB、AB∥CD AD=BCC、AB∥CD ∠A=∠CD、AB∥CD AB=CD考点：平行四边形的判定答案：B试题解析：A、∠A=∠C ∠B=∠D 两组对角分别相等的四边形是平行四边形B、AB∥CD AD=BC 不能判断此图形是否为平行四边形C、AB∥CD ∠A=∠C ∵AB∥CD ，∴∠C+∠B=180º，又∵∠A=∠C，∴∠A+∠B=180º，∴AD//BC,两组对边分别平行的四边形的平行四边形D、AB∥CD AB=CD 两组对边平行且相等的四边形是平行四边形应选B5、用配方法解方程，配方后的方程是〔〕A、B、C、D、考点：解一元二次方程答案：D试题解析：应选D、6、以下图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是〔〕A、正三角形B、平行四边形C、等腰梯形D、菱形考点：轴对称与轴对称图形中心对称与中心对称图形答案：D试题解析：A、是轴对称图形、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义、故错误；B、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能够重合；即不满足轴对称图形的定义、是中心对称图形、故错误；C、是轴对称图形、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义、故错误、D、是轴对称图形，也是中心对称图形、故正确；应选D、7、如果顺次连接一个四边形各边中点所得新的四边形是菱形，那么对这个四边形的形状描述最准确的是〔〕A、矩形B、等腰梯形C、菱形D、对角线相等的四边形考点：平行四边形及多边形答案：D试题解析：矩形，等腰梯形均能得到菱形但不够全面，菱形各边中点所得新的四边形无法得到菱形，即只要对角线相等不管是什么形状均可，应选D、8、如图∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA交OB于C，PD⊥OA垂足为D，假设PC=4,那么PD=〔〕A、4B、3C、2D、1考点：三角形中的角平分线、中线、高线答案：C试题解析：作PE⊥OB于E，∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PE=PD，∵PC∥OA∴∠BCP=∠AOB=2∠BOP=30°，∴在Rt△PCE中，PE=应选C、9、等腰三角形的腰长、底边长分别是一元二次方程x2-7x＋10=0的两根，那么该等腰三角形的周长是〔〕A、9或12B、9C、12D、21考点：三角形的性质及其分类解一元二次方程答案：C试题解析：∵x 2 -7x＋10=0，∴〔x-2〕〔x-5〕=0，∴x 1 =2，x 2 =5、∵三角形是等腰三角形，必须满足三角形三边的关系，∴腰长是5，底边是2，周长为：5+5+2=12、应选C、【二】填空题〔共10小题〕10、方程〔x-1〕〔x+4〕=1转化为一元二次方程的一般形式是、考点：解一元二次方程答案：试题解析：〔x-1〕〔x+4〕=1答案：到角的两边距离相等的点在角平分线上的点在角平分线上”、12、假设菱形的周长为16，一个内角为120°，那么它的面积是、考点：菱形的性质与判定答案：试题解析：∵菱形的周长为16，∴菱形的边长=16÷4=4，∵一个内角为120°，∴与它相邻的内角为180°-120°=60°，∴菱形的高为，∴它的面积=、13、等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，那么腰上的高为、考点：等腰三角形答案：a试题解析：如图，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，CD⊥AB∴∠DAC=2∠ABC=30°∴CD=×AC=A、14、如下图，某小区规划在一个长为40m、宽为26m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草、假设使每一块草坪的面积为144m2，求甬路的宽度、假设设甬路的宽度为xm，那么x满足的方程为、考点：一元二次方程的应用答案：〔40-2x〕〔26-x〕=144×6试题解析：设甬路的宽度为xm，那么草坪的总长度和总宽度应该为40-2x，26-x；根据题意即可得出方程为：〔40-2x〕〔26-x〕=144×6、15、我国政府为解决老百姓看病难问题，决定下调药品价格、某种药品经过两次降价，由每盒50元调至32元、那么平均每次降价的百分率为、考点：一元二次方程的应用答案：20%试题解析：设该药品平均每次降价的百分率是x，根据题意得出：50〔1-x〕2=32、x=20%16、如图，∠ACB=∠BDA=90o，要使△ABC≌△BAD，还需要添加一个条件，这个条件可以是_____________或_____________或_____________或_____________、考点：全等三角形的判定答案：AC=BD或BC=AD或∠ABC=∠BAD或∠CAB=∠DBA试题解析：∵∠ACB=∠BDA=90°，AB=BA，∴可以添加AC=BD或BC=AD利用HL判定△ABC≌△BAD；添加∠ABC=∠BAD或∠CAB=∠DBA利用AAS判定△ABC≌△BAD、17、等边三角形的一边上的高线长为，那么这个等边三角形的中位线长为、考点：等边三角形答案：2cm试题解析：如图，在Rt△ABD中，∠B=60°，设BD=x，那么AB=2x，AD=cm，∴x=2，AB=4、∴BC=4cm，EF=2cm、18、∠C的度数的比是1:2:3，AB边上的中线长2cm，那么△ABC的面积是______________、考点：三角形的面积答案：试题解析：∵∠A+∠B+∠C=180°，∵在△ABC中，∠A、∠B、∠C的度数之比为1：2：3，∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，∵AB边上的中线DC=2，∴AB=2CD=4，∴BC=AB=2，由勾股定理得：AC=，∴S△ABC=AC×BC=19、如图△ABC中，∠C=90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC交AC于D，假设CD＝2cm，那么AC=、考点：三角形中的角平分线、中线、高线答案：6cm试题解析：∵∠C=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°，又∵BD是角平分线，∴∠ABD=∠DBC=30°，在Rt△BCD中，BD=2CD=4cm，又∵∠A=∠ABD=30°，∴AD=BD=4cm，∴AC=6cm、【三】解答题〔共9小题〕20、x2+2x-3=0〔用配方法〕考点：解一元二次方程答案：试题解析：x2+2x-3=021、〔用公式法〕考点：解一元二次方程答案：试题解析：所以22、2〔x－3〕²＝x²－9考点：解一元二次方程答案：x1=3,x2=9试题解析：2〔x－3〕²＝x²－9∴2〔x－3〕²＝〔x+3〕〔x-3〕∴2〔x－3〕²-〔x+3〕〔x-3〕=0〕∴〔x-3〕[2〔x-3〕-〔x+3〕]=0∴x-3=02〔x-3〕-〔x+3〕=0所以x1=3,x2=923、考点：解一元二次方程答案：试题解析：24、：如图，在矩形ABCD中，点E、F在BC边上，且BE＝CF，AF、DE交于点M、求证：AM ＝DM、考点：梯形的有关概念和性质答案：见解析试题解析：证明：∵四边形ABCD是矩形∴AB=CD∠BAD＝∠B=∠C=∠ADC＝90º∵BE=CF∴BE+EF=CF+EF∴△ABF≌△DCE∴∠BAF=∠CDE∴∠DAF=∠ADE∴AM=DM25、如图，在平行四边形中，为的中点，连接并延长交的延长线于点、〔1〕求证：；〔2〕当与满足什么数量关系时，四边形是矩形，请说明理由、考点：梯形的有关概念和性质答案：见解析试题解析：〔1〕证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//CD，AB=CD∴∠BAE=∠CFE，∠ABE=∠FCE，∵E为中点，∴EB=EC∴△ABE≌△FCE∴AB=CF〔2〕解：当BC=AF时，四边形ABFC是矩形、理由如下：∵AB//CF，AB=CF∴四边形是平行四边形∵BC=AF∴ABFC四边形是矩形、26、某商店进了一批服装，进货单价为50元，如果按每件60元出售，可销售800件，如果每件提价1元出售，其销售量就减少20件、现在要获利12000元，且销售成本不超过24000元，问这种服装销售单价应定多少为宜？这时应进多少件服装？考点：一元二次方程的应用答案：价为80元，应进400件试题解析：设提价x元依题意得〔60-50+x〕〔800-20x〕=12000化简得〔x-20〕〔x-10〕=0所以x1=20，x2=10因为50×〔800-400〕=20000<2400050×〔800-200〕=30000>24000〔舍去〕∴60+20=80800-400=400答：单价为80元，应进400件。
9上期初2015-2016青附——银西
青大附中2015-2016学年度第一学期九年级数学期初测试题（90分钟 120分）一、单选题（本大题满分24分，共8小题，每小题3分）1.若a<b ，则下列各式中不成立的是（ ）A.a+2<b+2B.-3a<-3bC.2-a>2-bD.3a<3b2.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）C D.3.如图所示零件的左视图是（ ）4.如图，已知AB ⊥CD ，∠E= 28，∠C=52，则∠EAB 的度数是（ ）A. 28B. 52C. 70D. 805.下列命题，正确的是（ ）A.如果b a=，那么a=b B.矩形的对角线互相垂直 C.有一边长为2cm 的两个等腰直角三角形全等D.顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形 6.若不等式⎩⎨⎧->+<m x m x 712无解，则m 的取值范围是（ ） A.m=2 B.m<2 C.m ≤2 D.m 2≥A B C D7.学校建围栏，要为24000根栏杆油漆，由于改进了技术，每天比原计划多油400根，结果提前两天完成了任务，请问原计划每天油多少根栏杆？如果设原计划每天油x 根栏杆，根据题意列方程为（ ）A.24002400024000+-=x xB.24002400024000--=x xC.24002400024000-+=x xD.24002400024000++=x x 8.如图由边长为1cm 的正方形组成的56⨯的方格阵，点O 、A 、B 、P 都在格点上（即行和列的交点处），M 、N 分别是OA 、OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值是（ ）A.32B.52C.521++D.222+二、填空题（本大题满分18分，共6小题，满分3分）9、当1=x 时，分式n x m x -+2无意义；当4=x 时分式的值为0，则2015)(n m +的值是______________.10、因式分解：=-+-)()(2x y y x x ____________________.11、甲、乙两人各打靶5次，甲、乙所中的环数的平均数均为8，方差2甲S =0.6，2乙S =0.5，那么成绩较为稳定的是_______.12、若742c b a ==，则=++bc b a __________. 13、如图，在长方形ABCD 中，AB=4cm ，BC=8cm ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，则E 到DF 的距离是___________cm.第8题图第13题图14、对于实数x ，我们规定[x]表示不大于x 的最大整数，如[4]=4,[3]=1，[-2.5]=-3,现对82进行如下操作：1333399828282321=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−→−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−→−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−→−次第次第次第，这样对82只需进行3次操作后变为1；类似的，按照以上操作，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的正整数是 。
山东省青岛大学附属中学2024年九年级数学第一学期开学质量跟踪监视模拟试题【含答案】
山东省青岛大学附属中学2024年九年级数学第一学期开学质量跟踪监视模拟试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是()A ．1，2，3B ．3，4，5C ．4，5，6D ．7，8，92、（4分）若实数a 、b 满足ab ＜0，则一次函数y ＝ax+b 的图象可能是()A ．B ．C ．D ．3、（4分）若代数式x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（）A ．1x >-B ．1x ≥-C ．0x ≠D ．1x ≥-且0x ≠4、（4分）在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（）A ．AC ＝BD ，AB ∥CD ，AB ＝CD B ．AD ∥BC ，∠A ＝∠CC ．AO ＝BO ＝CO ＝DO ，AC ⊥BD D ．AO ＝CO ，BO ＝DO ，AB ＝BC5、（4分）下列说法中，正确的是（）A ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B ．对角线相等的四边形是矩形C ．有一组邻边相等的矩形是正方形D ．对角线互相垂直的四边形是菱形6、（4分）关于x 的一元二次方程22(3)90m x x m -++-=有一个根为0，则m 的值为（）A ．3B ．－3C ．3±D ．07、（4分）的结果为（）A ．B ．±5C ．-5D ．58、（4分）如图所示图形中既是中心对称图形，又能镶嵌整个平面的有（）A ．①②③④B ．①②③C ．②③D ．③二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）如图，已知直线l 的解析式为2y x =．分别过x 轴上的点1(1,0)A ，2(2,0)A ，3(3,0)A ，…，(,0)n A n 作垂直于x 轴的直线交l 于1B ，2B ，3B ，，n B ，将11OA B ∆，四边形1221A A B B ，四边形2332A A B B ，，四边形n 1n n n 1A A B B --的面积依次设为1S ，2S ，3S ，，n S ．则n S ＝_____________．10、（4分）将等腰直角三角形AOB 按如图所示放置，然后绕点O 逆时针旋转90°至△A′OB′的位置，点B 的横坐标为2，则点A′的坐标为．11、（4分）如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交点O ，，P 、Q 分别为AO 、AD 的中点，则PQ 的长度为________．12、（4分）若O 是四边形ABCD 的对角线AC 和BD 的交点，且OB ＝OD ，AC ＝14cm，则当OA ＝_____cm 时，四边形ABCD 是平行四边形．13、（4分）已知点(1,2)P 关于x 轴的对称点为P'，且P'在直线3y kx =+上，则k =____．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，请用尺规过点C 作直线l ，使其将Rt ABC 分割成两个等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法．并把作图痕迹用黑色签字笔加黑）．15、（8分）A 、B 两种机器人都被用来搬运化工原料，A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运30kg ，A 型机器人搬运900kg 与B 型机器人搬运600kg 所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？16、（8分）如图，直线111:2l y x b =-+分别与x 轴、y 轴交于点A 、点B ，与直线22:l y x =交于点(2,2)C .(1)若12y y <，请直接写出x 的取值范围；(2)点P 在直线111:2l y x b =-+上，且OPC ∆的面积为3，求点P 的坐标？17、（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 的三个顶点坐标分别是()1,1A ，()4,1B ，()3,3C ．（1）先作出ABC ，再将ABC 向下平移5个单位长度后得到111A B C △，请画出ABC ，111A B C △；（2）将ABC 绕原点O 逆时针旋转90°后得得到222A B C △，请画出222A B C △；（3）判断以O ，1A ，B 为顶点的三角形的形状．（无需说明理由）18、（10分）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点,，(1)求反比例函数与一次函数的函数表达式(2)请结合图像直接写出不等式的解集;(3)若点P 为x 轴上一点，△ABP 的面积为10,求点P 的坐标，B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）八个边长为1的正方形如图所示的位置摆放在平面直角坐标系中，经过原点的直线l 将这八个正方形分成面积相等的两部分，则这条直线的解析式是_____．20、（4分）如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A 滑行至B ，已知AB ＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降了_____米．（参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）21、（4分）将直线y ＝﹣2x ﹣2向上平移5个单位后，得到的直线为_____．22、（4分）一组数据12345、、、、，则这组数据的方差是__________.23、（4分）已知一等腰三角形有两边长为6，4，则这个三角形的周长为_______.二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）(1)因式分解：9(m+n)2﹣(m ﹣n)2(2)已知：x+y ＝1，求12x 2+xy+12y 2的值．25、（10分）取一张长与宽之比为5:2的长方形纸板，剪去四个边长为5cm 的小正方形（如图），并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒，要使包装盒的容积为3200cm （纸板的厚度略去不计），这张长方形纸板的长与宽分别为多少厘米？26、（12分）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点M 是BC 的中点，且MA ＝MD ．求证：四边形ABCD 是等腰梯形．一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、B【解析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【详解】解：A、因为12+22≠32，故不是勾股数；故此选项错误；B、因为32+42=52，故是勾股数．故此选项正确；C、因为42+52≠62，故不是勾股数；故此选项错误；D、因为72+82≠92，故不是勾股数．故此选项错误；故选B．2、B【解析】分析：利用ab＜0，得到a＜0，b＞0或b＜0，a＞0，然后根据一次函数图象与系数的关系进行判断．详解：因为ab＜0，得到a＜0，b＞0或b＜0，a＞0，当a＜0，b＞0，图象经过一、二、四象限；当b＜0，a＞0，图象经过一、三、四象限，故选B．点睛：本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）．3、D【解析】分析：根据被开方数大于等于1，分母不等于1列式计算即可得解．详解：由题意得，x+1≥1且x≠1，解得x≥-1且x≠1．故选D．点睛：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为1；二次根式的被开方数是非负数．4、C 【解析】试题分析：根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案．解：A ，不能，只能判定为矩形；B ，不能，只能判定为平行四边形；C ，能；D ，不能，只能判定为菱形．故选C ．5、C 【解析】根据平行四边形、矩形、正方形、菱形的判定方法以及定义即可作出判断.【详解】解：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A 错误；对角线相等的平行四边形是矩形，故B 错误；有一组邻边相等的矩形是正方形，故C 正确；对角线互相垂直平分的四边形是菱形或对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故D 错误；故本题答案应为：C.平行四边形、矩形、正方形、菱形的判定方法以及定义是本题的考点，熟练掌握其判定方法是解题的关键.6、B 【解析】把x ＝1代入方程22(3)90m x x m -++-=中，解关于m 的一元二次方程，注意m 的取值不能使原方程对二次项系数为1．【详解】把x ＝1代入方程22(3)90m x x m -++-=中，得m 2−9＝1，解得m ＝−3或3，当m ＝3时，原方程二次项系数m−3＝1，舍去，故选：B ．本题考查的是一元二次方程解的定义．能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，同时，考查了一元二次方程的概念．7、D 【解析】根据二次根式的性质进行化简即可判断．【详解】=1．故选：D ．本题考查了二次根式的化简，关键是理解以下几点：①(a≥0)的代数式叫做二次根式．当a ＞0a 的算术平方根；当a=0=0；当a ＜0时，②．8、C 【解析】当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角和为360°时，就能够拼成一个平面图形．符合此条件的中心对称图形即可选.【详解】正三角形不是中心对称图形，圆是中心对称图形但不能镶嵌，正六边形和平行四边形是中心对称图形也能镶嵌.故选C判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角和为360°时，就能够拼成一个平面图形．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、21n -【解析】根据梯形的面积公式求解出n S 的函数解析式即可．【详解】根据梯形的面积公式，由题意得1112112S =⨯⨯⨯=()212222112212S =⨯⨯+-⨯=⨯-⎡⎤⎣⎦()312323112312S =⨯⨯+-⨯=⨯-⎡⎤⎣⎦故我们可以得出21n S n =-∵当1,2,3n =均成立∴21n S n =-成立故答案为：21n -．本题考查了解析式与坐标轴的几何规律题，掌握梯形的面积公式是解题的关键．10、(-1,1).【解析】解：过点A 作AC ⊥x 轴于点C,过点A′作A′D ⊥x 轴，因为ΔOAB 是等腰直角三角形，所以有OC=BC=AC=1,∠AOB=∠AOB′=45°，则点A 的坐标是（1,1），,又∠A′OB′=45°，所以∠A′OD=45°，,在RtΔA′OD 中，cos ∠A′OD=2OD A D =',所以OD=1，A′D=1，所以点A′的坐标是（-1,1）.考点：1、旋转的性质；2、等腰三角形的性质.11、1【解析】根据矩形的性质可得AC=BD=8，BO=DO=BD=4，再根据三角形中位线定理可得PQ=DO=1．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴AC=BD=8，BO=DO=BD ，∴OD=BD=4，∵点P 、Q 是AO ，AD 的中点，∴PQ 是△AOD 的中位线，∴PQ=DO=1．故答案为：1．主要考查了矩形的性质，以及三角形中位线定理，关键是掌握矩形对角线相等且互相平分．12、1【解析】根据OB ＝OD ，当OA ＝OC 时，四边形ABCD 是平行四边形，即可得出答案．由题意得：当OA ＝1时，OC ＝14﹣1＝1＝OA ，∵OB ＝OD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，故答案为：1．本题考查平行四边形的判定，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形，难度一般．13、5-【解析】根据点P 的坐标可求出点P′的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征可得到关于k 的一元一次方程，解之即可求出k 值．【详解】解：∵点(1,2)P 关于x 轴的对称点为P'∴点P'的坐标为（1，-2）∵点P'在直线3y kx =+上，∴-2=k+3解得：k=-5，故答案为：-5.本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键.三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、见解析【解析】作斜边AB 的中垂线可以求得中点D ，连接CD ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CD ＝12AD ＝DB ．解如图所示：，△ACD 和△CDB 即为所求．此题主要考查了应用设计与作图，关键在于用中垂线求得中点和运用直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，把Rt △ABC 分割成两个等腰三角形．15、A 型机器人每小时搬运90kg 化工原料，B 型机器人每小时搬运60kg 化工原料.【解析】设B 种机器人每小时搬运x 千克化工原料，则A 种机器人每小时搬运（x+30）千克化工原料，根据A 型机器人搬运900kg 原料所用时间与B 型机器人搬运600kg 原料所用时间相等，列方程进行求解即可.【详解】设B 型机器人每小时搬运x kg 化工原料，则A 型机器人每小时搬运()30x +kg 化工原料，由题意得，90060030x x =+，解此分式方程得：60x =，经检验 60x =是分式方程的解，且符合题意，当60x =时，3090x +=，答：A 型机器人每小时搬运90kg 化工原料，B 型机器人每小时搬运60kg 化工原料.本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，解答时根据A 型机器人搬运900kg 原料所用时间与B 型机器人搬运600kg 原料所用时间相等建立方程是关键．16、(1)x ＞2；(2)(0，3)或(4，1)．【解析】(1)依据直线l 1：y 1＝12-x+b 与直线l 2：y 2＝x 交于点C(2，2)，即可得到当y 1＜y 2时，x ＞2；(2)分两种情况讨论，依据△OPC 的面积为3，即可得到点P 的坐标．解：(1)∵直线l1：y1＝12-x+b与直线l2：y2＝x交于点C(2，2)，∴当y1＜y2时，x＞2；(2)将(2，2)代入y1＝12-x+b，得b＝3，∴y1＝12-x+3，∴A(6，0)，B(0，3)，设P(x，12-x+3)，则当x＜2时，由12×3×212-×3×x＝3，解得x＝0，∴P（0，3）；当x＞2时，由12×6×2﹣12×6×(12-x+3)＝3，解得x＝4，∴12-x+3＝1，∴P(4，1)，综上所述，点P的坐标为(0，3)或(4，1)．故答案为(1)x＞2；(2)(0，3)或(4，1)．本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，设P(x，12-x+3)，利用三角形的面积的和差关系列方程是解题的关键．17、（1）见解析；（2）见解析；（3）等腰直角三角形【解析】（1）利用描点法作出△ABC，再利用点平移的坐标特征写出A、B、C的对应点A1、B1、C1，然后描点得到△A1B1C1；（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2，C2，从而得△A2B2C2；（3）利用勾股定理和勾股定理的逆定理可证明△OA1B为等腰直角三角形．【详解】解：（1）如图所示，△A 1B 1C 1即为所求．（2）如图所示，△A 2B 2C 2即为所求．（3）三角形的形状为等腰直角三角形．∵OA 1BA 1，∴OB 2+OA 12=BA 12，∴△OA 1B 为等腰直角三角形．本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．18、（1）；；（2）或；（3）点P 的坐标为（3，0）或（-5，0）．【解析】（1）根据反比例函数的图象经过，利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；进而求得的坐标，根据、点坐标，进而利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）根据、的坐标，结合图象即可求得；（3）根据三角形面积求出的长，根据的坐标即可得出的坐标．【详解】解：（1）反比例函数的图象经过，．反比例函数的解析式为．在上，所以．的坐标是．把、代入．得：，解得，一次函数的解析式为．（2）由图象可知：不等式的解集是或；（3）设直线与轴的交点为，把代入得：，，的坐标是，为轴上一点，且的面积为10，，，，，当在负半轴上时，的坐标是；当在正半轴上时，的坐标是，即的坐标是或．本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次和图象上点的坐标特征，三角形的面积的应用，主要考查学生的计算能力．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、y =910x 【解析】设直线l 和八个正方形的最上面交点为A ，过点A 作AB ⊥y 轴于点B ，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，易知OB =1，利用三角形的面积公式和已知条件求出A 的坐标，再利用待定系数法可求出该直线l 的解析式．【详解】设直线l 和八个正方形的最上面交点为A ，过点A 作AB ⊥y 轴于点B ，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，如图所示．∵正方形的边长为1，∴OB =1．∵经过原点的一条直线l 将这八个正方形分成面积相等的两部分，∴两部分面积分别是4，∴三角形ABO 面积是5，∴12OB •AB =5，∴AB =103，∴OC =103，∴点A 的坐标为（103，1）．设直线l 的解析式为y =kx ，∵点A （103，1）在直线l 上，∴1=103k ，解得：k =910，∴直线l 解析式为y =910x ．故答案为：y =910x ．本题考查了待定系数法求一次函数解析式、正方形的性质以及三角形的面积，利用三角形的面积公式和已知条件求出A 的坐标是解题的关键．20、1．【解析】试题解析：在RtΔABC 中，sin34°=AC AB∴AC=AB×sin34°=500×0.56=1米.故答案为1.21、y＝﹣2x+3【解析】一次函数图像,即直线平移的原则是:上加下减,左加右减,据此即可求解.【详解】将直线y＝﹣2x﹣2向上平移5个单位，得到直线y＝﹣2x﹣2+5，即y＝﹣2x+3；故答案为：y＝﹣2x+3；该题主要考查了一次函数图像,即直线平移的方法:上加下减,左加右减,准确掌握平移的原则即可解题.22、1【解析】分析：先求出这5个数的平均数，然后利用方差公式求解即可．详解：平均数为=（1+1+3+4+5）÷5=3，S1=15[（1-3）1+（1-3）1+（3-3）1+（4-3）1+（5-3）1]=1．故答案为：1．点睛：本题考查了方差的知识，牢记方差的计算公式是解答本题的关键，难度不大．23、14或16.【解析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为4和6，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】(1)若4为腰长，6为底边长，由于6−4<4<6+4，即符合三角形的两边之和大于第三边.所以这个三角形的周长为6+4+4=14.(2)若6为腰长，4为底边长，由于6−6<4<6+6，即符合三角形的两边之和大于第三边.所以这个三角形的周长为6+6+4=16.故等腰三角形的周长为：14或16.故答案为：14或16.此题考查三角形三边关系，等腰三角形的性质，解题关键在于分情况讨论二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、(1)4(2m+n)(m+2n)；(2)12.【解析】（1）直接利用平方差公式分解因式得出答案；（2）直接提取公因式12，再利用完全平方公式分解因式，进而把已知代入求出答案．【详解】解：(1)9(m+n)2﹣(m ﹣n)2＝[3(m+n)+(m ﹣n)][3(m+n)﹣(m ﹣n)]＝(4m+2n)(2m+4n)＝4(2m+n)(m+2n)；(2)12x 2+xy+12y 2＝12(x 2+2xy+y 2)＝12(x+y)2，当x+y ＝1时，原式＝12×12＝12．此题主要考查了公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．25、长为30厘米，宽为12厘米【解析】设该长方形纸板的长为5x cm ，宽为2x cm ，根据题意列出一元二次方程即可进行求解.【详解】解：设该长方形纸板的长为5x cm ，宽为2x cm ，根据题意得：()()5510210200x x --=，即2760x x -+=，解得：16x =，21x =（不合题意舍去），∴530x =，212x =.答：这张长方形纸板的长为30厘米，宽为12厘米此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程进行求解.26、证明见解析【解析】解：∵MA ＝MD ，∴△MAD 是等腰三角形，∴∠DAM ＝∠ADM ．∵AD ∥BC ，∴∠AMB ＝∠DAM ，∠DMC ＝∠ADM ．∴∠AMB ＝∠DMC ．又∵点M 是BC 的中点，∴BM ＝CM ．在△AMB 和△DMC 中，,{,,AM DM AMB DMC BM CM =∠=∠=∴△AMB ≌△DMC ．∴AB ＝DC ，四边形ABCD 是等腰梯形．。
山东省青岛市市南区青岛大学附属中学2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷(含解析)
山东省青岛大学附中2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）1．（3分）下列四个图形中，不是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．2．（3分）据交通运输部发布消息，某年春节期间，全国共发送旅客29.06亿人次，将29.06亿这个数据用科学记数法可以表示为（ ）A．29.06×108B．2.906×108C．29.06×109D．2.906×1093．（3分）下列运算正确的是（ ）A．3a2+5a2＝8a4B．（﹣a3）4÷（﹣a4）3＝1C．（﹣2a2）3﹣（﹣a4）（3a）2＝﹣17a6D．（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b34．（3分）不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是（ ）A．m＜1B．m＞1C．m≤1D．m≥15．（3分）如图，将△ABC向下平移2个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，点A的对应点A′的坐标是（ ）6．（3分）如图，AD，AE分别是△ABC的角平分线和中线，交AB于G，连接EF，AC＝6，则AB的长为（ ）A．10B．9C．8D．67．（3分）将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图（ ）8．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，BD＝12，则EF的最小值为（ ）二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）9．（3分）（1）计算：（﹣1）2023+（﹣）﹣1﹣×＝ ；（2）分解因式：3m2﹣6m+3＝ ．10．（3分）为响应“绿色奥运”的号召，九年级（1）班全体师生义务植树300棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，则x的值为 ．11．（3分）如图所示，若∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝620°，则∠G+∠H＝ ．12．（3分）一次函数y＝﹣3x+b和y＝kx+1的图象如图所示，其交点为P（3，4），则不等式（3+k） ．13．（3分）如图，在四边形ABCD中∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，若∠BAD＝56°，则∠BED的度数为 ．14．（3分）对于正数x，规定，例如，则 ．三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.15．（4分）尺规作图：已知线段a ，b ，求作菱形ABCD ，使菱形边长等于a 结论：四、解答题：（本题满分74分，共有9道小题）16．（6分）计算：（1）化简：；（2）解不等式组：．17．（6分）近年来网约车十分流行，初三某班学生对“美团”和“滴滴”两家网约车公司各10名司机月收入进行了一项抽样调查，司机月收入（单位：千元）根据以上信息，整理分析数据如下：平均月收入/千元中位数/千元众数/千元方差/千元2“美团”① 66 1.2“滴滴”6② 4③ （1）完成表格填空；（2）若从两家公司中选择一家做网约车司机，你会选哪家公司，并说明理由．18．（8分）小明同学三次到某超市购买A 、B 两种商品，其中仅有一次是有折扣的，购买数量及消费金额如下表：类别次数购买A 商品数量（件）购买B 商品数量（件）消费金额（元）第一次45320第二次26300第三次57258解答下列问题：（1）第 次购买有折扣；（2）求A、B两种商品的原价；（3）若购买A、B两种商品的折扣数相同，求折扣数；（4）小明同学再次购买A、B两种商品共10件，在（3）中折扣数的前提下，消费金额不超过200元19．（8分）“节能减排，绿色出行”，越来越多的人喜欢骑自行车出行．某自行车车行经营的A型自行车去年销售总额为60000元，那么今年的销售总量需要比去年增加20%．请解答以下问题：（1）A型自行车今年每辆售价为多少？（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共80辆，且B型进货数量不超过A型车数量的3倍．A型车和B型车每辆的进价分别为400元和500元，B型车每辆的售价为700元20．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数，与y轴交于点B，且与正比例函数y＝kx 的图象交点为C（3，4）．（1）请直接写出k、b的值；k＝ ，b＝ ．（2）若D线段OC上的动点，过D作DE∥y轴交AC于点E．①设D点的横坐标为x，线段DE的长为y，则y与x的函数关系式为 ；②若△AOD为等腰三角形，请求出点D的坐标．（3）平面内是否存在一点P，使以O、A、C、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标，请说明理由．21．（8分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E为OC中点，连接CH与DH．（1）求证：△BCE≌△HOE；（2）当四边形ABCD是怎样的特殊四边形时，四边形OCHD为菱形？请说明理由．22．（8分）甲、乙两名同学沿直线进行登山，甲、乙沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶甲同学到达山顶休息1h后再沿原路下山，他们离山脚的距离S（km）（h）变化的图象如图所示，根据图象中的有关信息回答下列问题：（1）甲同学上山过程中S甲与t的函数解析式为 ；点D的坐标为 ．（2）若甲同学下山时在点F处与乙同学相遇，此时点F与山顶的距离为0.75km．①求甲同学下山过程中S与t的函数解析式；②相遇后甲、乙各自继续下山和上山，求当乙到达山顶时，甲与乙的距离是多少千米．23．（10分）【问题提出】如果从1，2，3……m，m个连续的自然数中选择n个连续的自然数（n≤m）【问题探究】为发现规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的问题入手，最后得出一般性的结论探究一：如果从1，2，3……m，m个连续的自然数中选择2个连续的自然数如图1，当m＝3，n＝2时；如图2，当m＝4，n＝2时，2；2，3；3，4这3种不同的选择方法；如图3，当m＝5，n＝2时 种不同的选择方法；……由上可知：从m个连续的自然数中选择2个连续的自然数，有 种不同的选择方法．探究二：如果从1，2，3……100，100个连续的自然数中选择3个（n≤100）个连续的自然数，分别有多少种不同的选择方法？我们借助下面的框图继续探究，发现规律并应用规律完成填空123 (93949596979899100)从100个连续的自然数中选择3个连续的自然数，有 种不同的选择方法；从100个连续的自然数中选择4个连续的自然数，有 种不同的选择方法；……从100个连续的自然数中选择8个连续的自然数，有 种不同的选择方法；……由上可知：如果从1，2，3……100，100个连续的自然数中选择n（n≤100），有 种不同的选择方法．【问题解决】如果从1，2，3……m，m个连续的自然数中选择n个连续的自然数（n≤m） 种不同的选择方法．【实际应用】我们运用上面探究得到的结论，可以解决生活中的一些实际问题．（1）今年国庆七天长假期间，小亮想参加某旅行社组织的青岛两日游，在出行日期上 种不同的选择．（2）星期天，小明、小强和小华三个好朋友去电影院观看《我和我的祖国》，售票员李阿姨为他们提供了第七排3号到15号的电影票让他们选择，则一共有 种不同的选择方法．【拓展延伸】如图4，将一个2×2的图案放置在8×6的方格纸中，使它恰好盖住其中的四个小正方形 种不同的放置方法．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，B分别在x轴与y轴上，已知OA＝6，其坐标为（0，2），点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿线段AC﹣CB的方向运动，运动时间为t秒．（1）当点P经过点C时，求直线DP的函数解析式；（2）求△OPD的面积S关于t的函数解析式；（3）点P在运动过程中是否存在使△BDP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在答案解析一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）1．（3分）下列四个图形中，不是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的定义（绕一个点旋转180°能够与自身重合的图形）判断即可．【解答】解：选项A、C、D中的图形都能找到一个点，所以是中心对称图形．选项B中的图形不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合．故选：B．【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．2．（3分）据交通运输部发布消息，某年春节期间，全国共发送旅客29.06亿人次，将29.06亿这个数据用科学记数法可以表示为（ ）A．29.06×108B．2.906×108C．29.06×109D．2.906×109【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．【解答】解：29.06亿＝2906000000＝2.906×109，故选：D．【点评】本题考查科学记数法，熟练掌握其定义是解题的关键．3．（3分）下列运算正确的是（ ）A．3a2+5a2＝8a4B．（﹣a3）4÷（﹣a4）3＝1C．（﹣2a2）3﹣（﹣a4）（3a）2＝﹣17a6D．（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3【分析】利用整式的混合运算法则计算并判断．【解答】解：3a2+4a2＝8a3，A选项错误；（﹣a3）4÷（﹣a2）3＝﹣1，B选项错误；（﹣5a2）3﹣（﹣a5）（3a）2＝﹣5a6+9a8＝a6，C选项错误；（a﹣b）（a2+ab+b4）＝a3﹣b3，D选项正确．故选：D．【点评】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算法则．4．（3分）不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是（ ）A．m＜1B．m＞1C．m≤1D．m≥1【分析】根据解不等式，可得每个不等式的解集，再根据每个不等式的解集，可得不等式组的解集，根据不等式的解集，可得答案．【解答】解：∵不等式组的解集是x＞2，解不等式①得x＞8，解不等式②得x＞m+1，∵不等式组的解集是x＞2，∴m+5≤2，m≤1，故选：C．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．5．（3分）如图，将△ABC向下平移2个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，点A的对应点A′的坐标是（ ）【分析】根据平移和旋转的性质，将△ABC向下平移2个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，即可得点A的对应点A′的坐标．【解答】解：如图，则△A'B'C'为所求，∴点A的对应点A′的坐标是（2，4），故选：A．【点评】本题考查了坐标与图形变换﹣旋转、平移，解决本题的关键是掌握旋转的性质．6．（3分）如图，AD，AE分别是△ABC的角平分线和中线，交AB于G，连接EF，AC＝6，则AB的长为（ ）A．10B．9C．8D．6【分析】首先证明△ACG是等腰三角形，则AG＝AC＝6，FG＝CF，则EF是△BCG的中位线，利用三角形的中位线定理即可求解．【解答】解：∵AD为△ABC的角平分线，CG⊥AD，∴△ACG是等腰三角形，∴AG＝AC，∵AC＝6，∴AG＝AC＝6，FG＝CF，∵AE为△ABC的中线，∴EF是△BCG的中位线，∴BG＝7EF＝2，∴AB＝AG+BG＝8，故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定以及三角形的中位线定理，正确证明FG＝CF是关键．7．（3分）将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图（ ）A．3cm B．6cm C．cm D．cm【分析】过另一个顶点C作垂线CD如图，可得直角三角形，根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，可求出有45°角的三角板的直角边，再由等腰直角三角形求出最大边．【解答】解：过点C作CD⊥AD，∴CD＝3cm，在直角三角形ADC 中，∵∠CAD ＝30°，∴AC ＝2CD ＝2×3＝6cm ，又∵三角板是有45°角的三角板，∴AB ＝AC ＝5cm ，∴BC 2＝AB 2+AC 5＝62+52＝72，∴BC ＝6，故选：D ．【点评】此题考查的知识点是含30°角的直角三角形及等腰直角三角形问题，关键是先求得直角边，再由勾股定理求出最大边．8．（3分）如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O （不与点A ，B 重合），PE ⊥OA 于点E ，PF ⊥OB 于点F ，BD ＝12，则EF 的最小值为（ ）A ．8B ．6C ．4.8D ．2.4【分析】连接OP ，作OH ⊥AB 于点H ，由菱形的性质得AC ⊥BD ，OA ＝OC ＝AC ＝8，OB ＝OD ＝BD ＝6，由勾股定理得AB ＝＝10，由×10OH ＝×8×6＝S △AOB ，求得OH ＝4.8，再证明四边形PEOF 是矩形，则EF ＝OP ，因为OP ≥OH ，所以EF ≥4.8，则EF 的最小值为4.8，于是得到问题的答案．【解答】解：连接OP ，作OH ⊥AB 于点H ，∵四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，∴AC ⊥BD ，OA ＝OC ＝×16＝8BD ＝，∴∠AOB ＝90°，∴AB ＝＝＝10，∵AB•OH＝△AOB，∴×10OH＝，解得OH＝6.8，∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，∴∠PEO＝∠PFO＝∠EOF＝90°，∴四边形PEOF是矩形，∴EF＝OP，∴OP≥OH，∴EF≥4.5，∴EF的最小值为4.8，故选：C．【点评】此题重点考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度、垂线段最短等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）9．（3分）（1）计算：（﹣1）2023+（﹣）﹣1﹣×＝ ﹣4﹣2 ；（2）分解因式：3m2﹣6m+3＝ 3（m﹣1）2 ．【分析】（1）原式利用乘方的意义，负整数指数幂法则，以及二次根式乘法法则计算即可得到结果；（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣3﹣＝﹣1﹣7﹣2＝﹣7﹣2；（2）原式＝7（m2﹣2m+4）＝3（m﹣1）6．故答案为：（1）﹣4﹣2；（2）3（m﹣1）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，实数的运算，负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．（3分）为响应“绿色奥运”的号召，九年级（1）班全体师生义务植树300棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，则x的值为 ﹣＝ ．【分析】原计划每小时植树x棵，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，故每小时植1.2x棵，原计划植300棵树可用时小时，实际用了小时，根据关键语句“结果提前20分钟完成任务”可得方程﹣＝．【解答】解：原计划每小时植树x棵，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，由题意得：﹣＝，故答案为：﹣＝．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是弄清题意，表示出原计划植300棵树所用时间与实际所用时间．11．（3分）如图所示，若∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝620°，则∠G+∠H＝ 100° ．【分析】根据多边形内角和定理可得∠MAF+∠MFA＝100°，从而可得答案．【解答】解：连接AF，如图：∵六边形ABCDEF的内角和为（6﹣2）×180°＝720°，∠MAB+∠B+∠C+∠D+∠E+∠MFE＝620°，∴∠MAF+∠MFA＝720°﹣620°＝100°，∴∠AMF＝180°﹣（∠MAF+∠MFA）＝80°，∴∠GMH＝∠AMF＝80°，∴∠G+∠H＝100°，故答案为：100°．【点评】本题考查多边形内角和，解题的关键是求出∠MAF+∠MFA＝100°．12．（3分）一次函数y＝﹣3x+b和y＝kx+1的图象如图所示，其交点为P（3，4），则不等式（3+k） x≥3 ．【分析】由于不等式（3+k）x≥b﹣1就是不等式kx+1≥﹣3x+b，观察图象，直线y＝kx+1落在直线y＝﹣3x+b上方的部分对应的x的取值范围即为所求．【解答】解：∵一次函数y＝﹣3x+b和y＝kx+1的图象交点为P（8，4），∴当x≥3时，kx+3≥﹣3x+b，∴不等式（3+k）x≥b﹣8的解集为x≥3．故答案为x≥3．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b 的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．13．（3分）如图，在四边形ABCD中∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，若∠BAD＝56°，则∠BED的度数为 112° ．【分析】由直角三角形斜边中线的性质得到DE＝BE＝AE，推出∠DAE＝∠ADE，∠BAE＝∠ABE，得到∠ADE+∠ABE＝∠BAD＝56°，由三角形外角的性质得到∠DEC＝∠DAE+∠ADE，∠BEC＝∠BAE+∠ABE，即可推出∠BED＝∠BAD+∠ADE+∠ABE＝56°+56°＝112°．【解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，∴DE＝AC AC，∴DE＝BE＝AE，∴∠DAE＝∠ADE，∠BAE＝∠ABE，∴∠ADE+∠ABE＝∠DAE+∠BAE＝∠BAD＝56°，∵∠DEC＝∠DAE+∠ADE，∠BEC＝∠BAE+∠ABE，∴∠DEC+∠BEC＝∠DAE+∠ADE+∠BAE+∠ABE，∴∠BED＝∠BAD+∠ADE+∠ABE＝56°+56°＝112°．故答案为：112°．【点评】本题考查直角三角形斜边的中线，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，关键是由直角三角形斜边中线的性质得到DE＝BE＝AE，由等腰三角形的性质，三角形外角的性质即可求解．14．（3分）对于正数x，规定，例如，则 ．【分析】计算出f（2），f（），f（3），f（）的值，总结出其规律，再求所求的式子的值即可．【解答】解：∵f（2）＝，f（，f（3）＝）＝，…，∴f（2）+f（）＝，f（3）+f（＝8，∴f（x）+f（）＝1，∴＝[f（2021）+f（）]+[f（2020）+f（）]+f（1）＝1×（2021﹣5）+f（1）＝2020+＝．故答案为：．【点评】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，代数式求值，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新规定解答．三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.15．（4分）尺规作图：已知线段a，b，求作菱形ABCD，使菱形边长等于a结论：【分析】①作直线m，在m上截取线段AC＝b；②作线段AC的垂直平分线EF，交线段AC于点O；③以点A为圆心，线段a的长为半径画弧，交直线EF于点B，D；④分别连接AB，BC，CD，DA；则四边形ABCD就是所求作的菱形．【解答】解：如图，四边形ABCD即为所求．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的作法、菱形的判定．四、解答题：（本题满分74分，共有9道小题）16．（6分）计算：（1）化简：；（2）解不等式组：．【分析】（1）先计算括号，再计算乘除即可；（2）分别求出两个不等式的解集，寻找公共部分即可．【解答】解：（1）原式＝×＝﹣；（2），由①可得﹣5+2x＜3x+6，∴x＞﹣12，由②可得3x﹣2x+2≥6，∴x≥4，∴不等式组的解集为：x≥5．【点评】本题考查分式的混合运算，解一元一次不等式组等知识，解题的关键是掌握分式的混合运算法则，属于中考常考题型．17．（6分）近年来网约车十分流行，初三某班学生对“美团”和“滴滴”两家网约车公司各10名司机月收入进行了一项抽样调查，司机月收入（单位：千元）根据以上信息，整理分析数据如下：平均月收入/千元中位数/千元众数/千元方差/千元2“美团”① 6 66 1.2“滴滴”6② 4.5 4③ 7.6 （1）完成表格填空；（2）若从两家公司中选择一家做网约车司机，你会选哪家公司，并说明理由．【分析】（1）利用平均数、中位数、众数及方差的定义分别计算后即可确定正确的答案；（2）根据平均数一样，中位数及众数的大小和方差的大小进行选择即可．【解答】解：（1）①美团平均月收入：1.4+4.8+0.5+1+2.3＝6千元；②滴滴中位数为4.2千元；③方差：[5×（4﹣4）2+8×1+2×7+36]＝7.6千元7；故答案为：6，4.5；（2）选美团，因为平均数一样、众数美团大于滴滴，更稳定．【点评】本题考查了统计的有关知识，解题的关键是能够了解有关的计算公式，难度不大．18．（8分）小明同学三次到某超市购买A 、B 两种商品，其中仅有一次是有折扣的，购买数量及消费金额如下表：类别次数购买A 商品数量（件）购买B 商品数量（件）消费金额（元）第一次45320第二次26300第三次57258解答下列问题：（1）第 三 次购买有折扣；（2）求A 、B 两种商品的原价；（3）若购买A 、B 两种商品的折扣数相同，求折扣数；（4）小明同学再次购买A 、B 两种商品共10件，在（3）中折扣数的前提下，消费金额不超过200元【分析】（1）由第三次购买的A 、B 两种商品均比头两次多，总价反而少，可得出第三次购物有折扣；（2）设A 商品的原价为x 元/件，B 商品的原价为y 元/件，根据总价＝单价×数量结合前两次购物的数量及总价，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（3）设折扣数为z ，根据总价＝单价×数量，即可得出关于z 的一元一次方程，解之即可得出结论；（4）设购买A 商品m件，则购买B 商品（10﹣m ）件，根据总价＝单价×数量结合消费金额不超过200元，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之取其中的最小整数即可得出结论．【解答】解：（1）观察表格数据，可知：第三次购买的A ，总价反而少，∴第三次购买有折扣．故答案为：三．（2）设A 商品的原价为x 元/件，B 商品的原价为y 元/件，根据题意得：，解得：．答：A商品的原价为30元/件，B商品的原价为40元/件．（3）设折扣数为z，根据题意得：5×30×+2×40×，解得：z＝6．答：折扣数为6．（4）设购买A商品m件，则购买B商品（10﹣m）件，根据题意得：30×m+40×，解得：m≥，∵m为整数，∴m的最小值为3．答：至少购买A商品7件．【点评】本题考查了一元一次方程的应用、二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）观察三次购物的数量及总价，找出哪次购物有折扣；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（4）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．19．（8分）“节能减排，绿色出行”，越来越多的人喜欢骑自行车出行．某自行车车行经营的A型自行车去年销售总额为60000元，那么今年的销售总量需要比去年增加20%．请解答以下问题：（1）A型自行车今年每辆售价为多少？（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共80辆，且B型进货数量不超过A型车数量的3倍．A型车和B型车每辆的进价分别为400元和500元，B型车每辆的售价为700元【分析】（1）设A型自行车今年每辆售价为x元，则去年每辆售价为（x+100）元，根据题意列出分式方程，解方程即可求解；（2）设购进A型车a辆，则购进B型车共（80﹣a）辆，求得a≥20，设利润为y元，根据题意，列出函数关系式，根据一次函数的性质即可求解．【解答】解：（1）设A型自行车今年每辆售价为x元，则去年每辆售价为（x+100）元，，解得：x＝500，经检验，x＝500是原方程的解，答：A型自行车今年每辆售价为500元；（2）解：设购进A型车a辆，则购进B型车共（80﹣a）辆，依题意，80﹣a≤3a，解得：a≥20，根据题意，A型车和B型车每辆的进价分别为400元和500元；B型车每辆的售价为700元，设利润为y元，则y＝（500﹣400）a+（700﹣500）（80﹣a），即y＝16000﹣100a，∵﹣100＜5，∴当a＝20时取得最大值，最大值为16000﹣100×20＝14000（元），∴购进A型车20辆，购进B型车共60辆，获利最多14000元．【点评】本题考查了分式方程的意义，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意找到等量关系，列出方程与不等式是解题的关键．20．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数，与y轴交于点B，且与正比例函数y＝kx 的图象交点为C（3，4）．（1）请直接写出k、b的值；k＝ ，b＝ 2 ．（2）若D线段OC上的动点，过D作DE∥y轴交AC于点E．①设D点的横坐标为x，线段DE的长为y，则y与x的函数关系式为 y＝﹣x+2 ；②若△AOD为等腰三角形，请求出点D的坐标．（3）平面内是否存在一点P，使以O、A、C、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标，请说明理由．【分析】（1）把点C的坐标代入即可解答．（2）①由D（x，x），E（x，x+2），可得y＝x+2﹣x＝﹣x+2；②求出A（﹣3，0），根据D为线段OC上的动点，△AOD为等腰三角形，可得x2＝9，即可求得D （，）；（3）设P（m，n），分三种情况：①当PO，AC为对角线，则PO，AC的中点重合，②当PA，OC为对角线时，PA，OC的中点重合，③当PC，OA为对角线，则PC，OA的中点重合，分别列出方程组，即可解得答案．【解答】解：（1）把点C的坐标代入y＝中可得b＝3，故答案为：，6；（2）①直线CD的解析式为y＝x，∵DE∥y轴，D点的横坐标为x，∴D（x，x），x+2），∴y＝DE＝x+2﹣x+5，故答案为：y＝﹣x+8，②在y＝x+7中，∴A（﹣3，0），∵D（x，x），0），∴DO6＝x2+（x）2＝x8，OA2＝9，∵D为线段OC上的动点，△AOD为等腰三角形，∴x2＝9，解得：x＝或x＝﹣，舍去），∴D（，）；（3）存在一点P，使以O，A，C，理由如下：设P（m，n），又O（0，0），2），4），①当PO，AC为对角线，AC的中点重合，∴，解得，∴P（0，4）；②当PA，OC为对角线时，OC的中点重合，∴，解得，∴P（6，5）；③当PC，OA为对角线，OA的中点重合，∴，解得，∴P（﹣7，﹣4）；综上所述，P的坐标为（0，7）或（﹣6．【点评】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰三角形，平行四边形等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．21．（8分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E为OC中点，连接CH与DH．（1）求证：△BCE≌△HOE；（2）当四边形ABCD是怎样的特殊四边形时，四边形OCHD为菱形？请说明理由．【分析】（1）由ASA证明△BCE≌△HOE即可；（2）先证四边形BCHO是平行四边形，得CH＝OB，CH∥OB，再证四边形OCHD是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论．【解答】（1）证明：∵OH∥BC，∴∠BCE＝∠HOE，∵E是OC的中点，∴CE＝OE，在△BCE和△HOE中，，∴△BCE≌△HOE（ASA）；（2）解：当四边形ABCD是矩形时，四边形OCHD为菱形由（1）可知，△BCE≌△HOE，∴BE＝HE，∵CE＝OE，∴四边形BCHO是平行四边形，∴CH＝OB，CH∥OB，∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，OB＝OD，∴CH＝OD，OC＝OD，∴四边形OCHD是平行四边形，又∵OC＝OD，∴平行四边形OCHD是菱形．【点评】本题考查了菱形的判定、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．22．（8分）甲、乙两名同学沿直线进行登山，甲、乙沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶甲同学到达山顶休息1h后再沿原路下山，他们离山脚的距离S（km）（h）变化的图象如图所示，根据图象中的有关信息回答下列问题：（1）甲同学上山过程中S甲与t的函数解析式为 S甲＝t ；点D的坐标为 （9，4） ．（2）若甲同学下山时在点F处与乙同学相遇，此时点F与山顶的距离为0.75km．①求甲同学下山过程中S与t的函数解析式；②相遇后甲、乙各自继续下山和上山，求当乙到达山顶时，甲与乙的距离是多少千米．【分析】（1）由图可知，甲同学登山过程中路程s与时间t成正比例函数，设S甲＝kt，用待定系数法可求解，当S甲＝4时，可得t＝8，即可得D的坐标；（2）①把y＝4﹣0.75代入（1）中乙同学上山过程中S与t的函数解析式，求出点F的横坐标，再利用待定系数法求解即可；②把y＝4代入（1）中乙同学上山过程中S与t的函数解析式，求出乙到山顶所用时间，再代入①的关系式求解即可．【解答】解：（1）设甲同学登山过程中，路程s（千米）与时间t（时）的函数解析式分别为S甲＝kt，由图象得2＝4k，∴k＝，∴解析式为S甲＝t；当S甲＝4时，t＝8，∴甲到达山顶时间是3小时，而甲同学到达山顶休息1小时后再沿原路下山，∴D（9，2），故答案为：S甲＝t；（7；（2）①当y＝4﹣0.75＝时，t＝，解得t＝，∴点F（，），设甲同学下山过程中S与t的函数解析式为s＝kt+b，将D（9，）代入得：则：，解答，答：甲同学下山过程中S与t的函数解析式为S＝﹣t+13；②乙到山顶所用时间为：8÷＝12（小时），当t＝12时，S＝﹣12+13＝2，当乙到山顶时，甲离乙的距离是：4﹣1＝8（千米）．答：甲与乙的距离是3千米．【点评】本题考查学生利用待定系数法求解一次函数关系式，并利用关系式求值的运算技能和从坐标系中提取信息的能力，是一道综合性较强的代数应用题，有一定的能力要求．23．（10分）【问题提出】如果从1，2，3……m，m个连续的自然数中选择n个连续的自然数（n≤m）【问题探究】为发现规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的问题入手，最后得出一般性的结论探究一：如果从1，2，3……m，m个连续的自然数中选择2个连续的自然数如图1，当m＝3，n＝2时；如图2，当m＝4，n＝2时，2；2，3；3，4这3种不同的选择方法；如图3，当m＝5，n＝2时 4 种不同的选择方法；……由上可知：从m个连续的自然数中选择2个连续的自然数，有 m﹣1 种不同的选择方法．探究二：如果从1，2，3……100，100个连续的自然数中选择3个（n≤100）个连续的自然数，分别有多少种不同的选择方法？我们借助下面的框图继续探究，发现规律并应用规律完成填空123 (93949596979899100)从100个连续的自然数中选择3个连续的自然数，有 98 种不同的选择方法；从100个连续的自然数中选择4个连续的自然数，有 97 种不同的选择方法；……从100个连续的自然数中选择8个连续的自然数，有 93 种不同的选择方法；……由上可知：如果从1，2，3……100，100个连续的自然数中选择n（n≤100），有 （100﹣n+1） 种不。
山东省青岛市市南区青岛大学附属中学2022—2023学年九年级上学期期初考试数学试题(含答案)
2022-2023学年山东省青岛大学附中九年级（上）期初数学试卷(附答案与解析)一.选择题（共8小题）（每小题0分）1．2022年北京冬奥会在北京，张家口等地召开，在此之前进行了冬奥会会标征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列运算正确的是（）A．（﹣3xy）2＝3x2y2B．3x2+4x2＝7x4C．t（3t2﹣t+1）＝3t3﹣t2+1D．（﹣a3）4÷（﹣a4）3＝﹣13．下列命题：①的算术平方根是2；②菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；③天气预报说明天的降水概率是95%，则明天一定会下雨；④若一个多边形的各内角都等于108°，则它是正五边形，其中真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．34．射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式v＝进行计算，其中a为子弹的加速度，s为枪筒的长．如果a＝5×105m/s2，s＝0.64m，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（）A．0.4×103m/s B．0.8×103m/s C．4×102m/s D．8×102m/s5．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B 重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F．若AC＝20，BD＝10，则EF的最小值为（）A．B．C．4D．6．如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为1，△ABC 经过平移后得到△A1B1C1，若AC上一点P（1.2，1.4）平移后对应点为P1，点P1绕原点顺时针旋转180°，对应点为P2，则点P2的坐标为（）A．（2.8，3.6）B．（﹣2.8，﹣3.6）C．（3.8，2.6）D．（﹣3.8，﹣2.6）7．如图，直角三角形ABC纸片中，∠ACB＝90°，点D是AB边上的中点，连结CD，将△ACD沿CD折叠，点A落在点E处，此时恰好有CE⊥AB．若CB＝1，那么CE＝．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，M，N分别是AB，AC的中点，D，E为BC上的点，连接DN，EM．若AB＝13cm，BC＝10cm，DE＝5cm，则图中阴影部分面积为（）cm2．A．25B．35C．30D．42二.填空题（共6小题）（每小题0分）9．分解因式：a﹣ax2＝．10．如图，在正六边形ABCDEF中，连接AC，CF，则∠ACF＝度．11．若关于x的分式方程+2的解为正数，则m的取值范围是．12．“市长杯”青少年校园足球联赛的比赛规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某校足球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分，那么该队胜了几场，平了几场？设该队胜了x场，平了y场，根据题意可列方程组为．13．如图，直线y1＝k1x+b与y轴交于点A（0，4），与直线y2＝k2x相交于点B（3，2）．则关于x的不等式组的解集是．14．如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a1，第2幅图形中“●”的个数为a2，第3幅图形中“●”的个数为a3，…，以此类推，则＝．三.作图题（本题满分0分）15．（1）如图，请用尺规在△ABC的边BC，AC，AB上分别取点D，E，F使得四边形BDEF 为菱形；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的菱形BDEF中，若∠ABC＝60°，BE＝6，求菱形BDEF的面积．四、解答题16．（8分）（1）化简：；（2）解不等式组：．17．（6分）孔子曾说：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者”兴趣是最好的老师．阅读、书法、绘画、手工、烹饪、运动、音乐…各种兴趣爱好是打开创新之门的金钥匙．某校为了解学生兴趣爱好情况，组织了问卷调查活动，从全校2200名学生中随机抽取了200人进行调查，其中一项调查内容是学生每周自主发展兴趣爱好的时长，对这项调查结果使用画“正”字的方法进行初步统计，得到下表：学生每周自主发展兴趣爱好时长分布统计表人数累计人数组别时长t（单位：h）第一组1≤t＜2正正正正正正30第二组2≤t＜3正正正正正正正正正正正正6070第三组3≤t＜4正正正正正正正正正正正正正正第四组4≤t＜5正正正正正正正正40根据以上信息，解答下列问题：（1）补全频数分布直方图；（2）这200名学生每周自主发展兴趣爱好时长的中位数落在第组；（3）若将上述调查结果绘制成扇形统计图，则第二组的学生人数占调查总人数的百分比为，对应的扇形圆心角的度数为°；（4）学校倡议学生每周自主发展兴趣爱好时长应不少于2h，请你估计，该校学生中有多少人需要增加自主发展兴趣爱好时间？18．（6分）为了落实水资源管理制度，大力促进水资源节约，某地实行居民用水阶梯水价，收费标准如下表：居民用水阶梯水价表单位：元/立方米分档户每月分档用水量x（立方米）水价第一阶梯0≤x≤15 5.00第二阶梯15＜x≤217.00第三阶梯x＞219.00（1）小明家5月份用水量为14立方米，在这个月，小明家需缴纳的水费为元；（2）小明家6月份缴纳水费110元，在这个月，小明家缴纳第二阶梯水价的用水量为立方米；（3）随着夏天的到来，用水量将会有所增加，为了节省开支，小明家计划7月份的水费不超过180元，在这个月，小明家最多能用水多少立方米？19．（6分）如图，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，点E，F在BC上且BE＝CF．（1）求证：AF＝DE；（2）若OM平分∠EOF，求证：OM⊥EF．20．（8分）某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/kg、12元/kg，这两种苹果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的关系如图所示．（1）写出图中点B表示的实际意义；（2）分别求甲、乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为akg时，它们的利润和为1500元，求a的值．21．（8分）如图，在▱ABCD中，E为CD边的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，延长ED至点G，使DG＝DE，分别连接AE，AG，FG．（1）求证：△BCE≌△FDE；（2）当BF平分∠ABC时，四边形AEFG是什么特殊四边形？请说明理由．22．（8分）某书店为了迎接“读书节”制定了活动计划，以下是活动计划书的部分信息：“读书节”活动计划书书本类别A类B类进价（单位：元）1812备注1、用不超过16800元购进A、B两类图书共1000本；2、A类图书不少于600本；…（1）陈经理查看计划数时发现：A类图书的标价是B类图书标价的1.5倍，若顾客用540元购买的图书，能单独购买A类图书的数量恰好比单独购买B类图书的数量少10本，请求出A、B两类图书的标价；（2）经市场调查后，陈经理发现他们高估了“读书节”对图书销售的影响，便调整了销售方案，A类图书每本标价降低a元（0＜a＜5）销售，B类图书价格不变，那么书店应如何进货才能获得最大利润？23．（10分）提出问题：在4×4的正方形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的等腰直角三角形共有几个？问题探究：为了解决上面的问题，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法．探究一：如图1在1×1的正方形方格纸上，以格点为顶点的线段长度可取2个数值：1，，以这些线段组成的等腰直角三角形按三边长来考虑可以分为以下一种情况：1、1、．当斜边长为时，斜边一定是1×1正方形的对角线，这样的线段有2条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有2×2＝4个．故在1×1的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为4个．探究二：在2×2的正方形方格纸上，以格点为顶点的线段长度可取5个数值：1，2，，，．以这些线段组成的等腰直角三角形按三边长来考虑可以分为以下三种情况：1、1、；、、2；2、2、．（1）当斜边长为时，斜边一定是1×1正方形的对角线，这样的线段有8条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有8×2＝16个．（2）当斜边长为2时，图形中长为2的线段有6条，其中有4条在2×2正方形的四周上，每条这样的线段对应着一个等腰直角三角形；另有2条在2×2正方形的内部，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有4×1+2×2＝8个．（3）当斜边长为时，斜边一定是2×2正方形的对角线，这样的线段有2条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有2×2＝4个．故在2×2的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为16+8+4＝28个．探究三：如图2在3×3的正方形方格纸上，以格点为顶点的线段长度可取个数值．以这些线段组成的等腰直角三角形按三边长来考虑可以分为以下五种情况：1、1、；、、2；2、2、；、、；3、3、．（1）当斜边长为时，斜边一定是1×1正方形的对角线，这样的线段有18条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有18×2＝36个．（2）当斜边长为2时，图形中长为2的线段有16条，其中有条在3×3正方形的四周上，每条这样的线段对应着一个等腰直角三角形；另有条在3×3正方形的内部，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有个．（3）当斜边长为时，斜边一定是2×2正方形的对角线，这样的线段有8条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有8×2＝16个．（4）当斜边长为时，图形中长为的线段有12条，其中有8条对应着一个等腰直角三角形；有4条对应着两个等腰直角三角形，共有8×1+4×2＝16个．（5）当斜边长为时，斜边一定是3×3正方形的对角线，这样的线段有2条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有2×2＝4个．故在3×3的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为个．问题解决：如图3在4×4的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为个．拓展延伸：如图4在2×2×1的长方体中，以格点为顶点（每个1×1×1小正方体的顶点均为格点），并且以等腰直角三角形为底面的直三棱柱的个数为个．24．（12分）已知：如图，在矩形ABCD和等腰Rt△ADE中，∠ABD＝30°，AE＝AD＝6cm，∠DAE＝90°，点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s．过点Q作QM∥BE，交AD于点H，交DE于点M，过点Q作QN∥BC，交CD于点N．分别连接PQ，PM，设运动时间为t（s）（0＜t＜18），解答下列问题：（1）当点P在BD垂直平分线上时，求t的值；（2）当PQ⊥BD时，求t的值；（3）设五边形PMDNQ的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式；（4）当PQ＝PM时，求t的值．2022-2023学年山东省青岛大学附中九年级（上）期初数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（共8小题）（每小题0分）1．2022年北京冬奥会在北京，张家口等地召开，在此之前进行了冬奥会会标征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【解答】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故选：B．【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．下列运算正确的是（）A．（﹣3xy）2＝3x2y2B．3x2+4x2＝7x4C．t（3t2﹣t+1）＝3t3﹣t2+1D．（﹣a3）4÷（﹣a4）3＝﹣1【分析】A、根据积的乘方与幂的乘方运算判断即可；B、根据合并同类项法则计算判断即可；C、根据单项式乘多项式的运算法则计算判断即可；D、根据积的乘方与幂的乘方、同底数幂的除法法则计算即可．【解答】解：A、原式＝9x2y2，不合题意；B、原式＝7x2，不合题意；C、原式＝3t3﹣t2+t，不合题意；D、原式＝﹣1，符合题意；故选：D．【点评】此题考查的是积的乘方与幂的乘方运算、合并同类项法则、单项式乘多项式的运算、同底数幂的除法法则，掌握其运算法则是解决此题的关键．3．下列命题：①的算术平方根是2；②菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；③天气预报说明天的降水概率是95%，则明天一定会下雨；④若一个多边形的各内角都等于108°，则它是正五边形，其中真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】利用算术平方根的定义、菱形的对称性、概率的意义及多边形的内角和等知识分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：①的算术平方根是，故原命题错误，是假命题，不符合题意；②菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，正确，是真命题，符合题意；③天气预报说明天的降水概率是95%，则明天下雨可能性很大，但不确定是否一定下雨，故原命题错误，是假命题，不符合题意；④若一个多边形的各内角都等于108°，各边也相等，则它是正五边形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；真命题有1个，故选：B．【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解算术平方根的定义、菱形的对称性、概率的意义及多边形的内角和等知识，难度不大．4．射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式v＝进行计算，其中a为子弹的加速度，s为枪筒的长．如果a＝5×105m/s2，s＝0.64m，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（）A．0.4×103m/s B．0.8×103m/s C．4×102m/s D．8×102m/s【分析】把a＝5×105m/s2，s＝0.64m代入公式v＝，再根据二次根式的性质化简即可．【解答】解：v＝＝＝8×102（m/s），故选：D．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简以及科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n的值．5．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B 重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F．若AC＝20，BD＝10，则EF的最小值为（）A．B．C．4D．【分析】连接OP，由菱形的性质得AC⊥BD，AO＝10，BD＝5，则AB＝5，再由矩形的性质得EF＝OP，然后由三角形的面积求出OP的长，即可得到结论．【解答】解：如图，连接OP，∵四边形ABCD是菱形，AC＝20，BD＝10，∴AC⊥BD，AO＝AC＝10，BO＝BD＝5，∴∠AOB＝90°，在Rt△ABO中，由勾股定理得：AB＝＝＝5，∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，∴∠OEP＝∠OFP＝90°，∴四边形OEPF是矩形，∴EF＝OP，当OP取最小值时，EF的值最小，∴当OP⊥AB时，OP最小，此时，S△ABO＝OA•OB＝AB•OP，∴OP＝＝2，∴EF的最小值为2，故选：D．【点评】本题考查了矩形的判定和性质，垂线段最短，菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．6．如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为1，△ABC 经过平移后得到△A1B1C1，若AC上一点P（1.2，1.4）平移后对应点为P1，点P1绕原点顺时针旋转180°，对应点为P2，则点P2的坐标为（）A．（2.8，3.6）B．（﹣2.8，﹣3.6）C．（3.8，2.6）D．（﹣3.8，﹣2.6）【分析】由题意将点P向下平移5个单位，再向左平移4个单位得到P1，再根据P1与P2关于原点对称，即可解决问题；【解答】解：由题意将点P向下平移5个单位，再向左平移4个单位得到P1，∵P（1.2，1.4），∴P1（﹣2.8，﹣3.6），∵P1与P2关于原点对称，∴P2（2.8，3.6），故选：A．【点评】本题考查坐标与图形变化，平移变换，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．7．如图，直角三角形ABC纸片中，∠ACB＝90°，点D是AB边上的中点，连结CD，将△ACD沿CD折叠，点A落在点E处，此时恰好有CE⊥AB．若CB＝1，那么CE＝．【分析】如图，设CE交AB于点O．证明∠ACD＝∠DCE＝∠BCE＝30°，求出CO，证明CO＝OE，可得结论．【解答】解：如图，设CE交AB于点O．∵∠ACB＝90°，AD＝DB，∴CD＝AD＝DB，∴∠A＝∠ACD，由翻折的性质可知∠ACD＝∠DCE，∵CE⊥AB，∴∠BCE+∠B＝90°，∵∠A+∠B＝90°，∴∠BCE＝∠A，∴∠BCE＝∠ACD＝∠DCE＝30°，∴CO＝CB•cos30°＝，∵DA＝DE，DA＝DC，∴DC＝DE，∵DO⊥CE，∴CO＝OE＝，∴CE＝．故答案为：．【点评】本题考查翻折变换，解直角三角形，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，M，N分别是AB，AC的中点，D，E为BC上的点，连接DN，EM．若AB＝13cm，BC＝10cm，DE＝5cm，则图中阴影部分面积为（）cm2．A．25B．35C．30D．42【分析】连接MN，根据中位线定理，可得出MN＝DE＝5cm；图中阴影部分的面积就是图中三个三角形的面积，由图可知，这三个三角形的底相等都是5cm，这三个三角形的高之和是从A点到BC的垂线段的长，利用勾股定理可求得高的值，据此可求出图中阴影部分的面积．【解答】解：连接MN，过点A作AF⊥BC于F，则MN是△ABC的中位线，因此MN＝BC＝5cm；则AF＝＝12cm．∵图中阴影部分的三个三角形的底长都是5cm，且高的和为12cm；因此S阴影＝×5×12＝30cm2．故选：C．【点评】本题主要考查了中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．二.填空题（共6小题）（每小题0分）9．分解因式：a﹣ax2＝a（1+x）（1﹣x）．【分析】直接提取公因式a，再利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：a﹣ax2＝a（1﹣x2）＝a（1+x）（1﹣x）．故答案为：a（1+x）（1﹣x）．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键．10．如图，在正六边形ABCDEF中，连接AC，CF，则∠ACF＝30度．【分析】设正六边形的边长为1，正六边形的每个内角为120°，在△ABC中，根据等腰三角形两底角相等得到∠BAC＝30°，从而∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝120°﹣30°＝90°，过点B作BM⊥AC于点M，根据含30°的直角三角形的性质求出BM，根据勾股定理求出AM，进而得到AC的长，根据tan∠ACF＝＝＝即可得出∠ACF＝30°．【解答】解：设正六边形的边长为1，正六边形的每个内角＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，∵AB＝BC，∠B＝120°，∴∠BAC＝∠BCA＝×（180°﹣120°）＝30°，∵∠BAF＝120°，∴∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝120°﹣30°＝90°，如图，过点B作BM⊥AC于点M，则AM＝CM（等腰三角形三线合一），∵∠BMA＝90°，∠BAM＝30°，∴BM＝AB＝，∴AM＝＝＝，∴AC＝2AM＝，∵tan∠ACF＝＝＝，∴∠ACF＝30°，故答案为：30．【点评】本题考查了正多边形与圆，根据tan∠ACF＝＝＝得出∠ACF＝30°是解题的关键．11．若关于x的分式方程+2的解为正数，则m的取值范围是m＜﹣2且m≠﹣3．【分析】利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解，由方程的解为正数列出不等式，；又分式方程有可能产生增根x＝1，所以分式方程的解不等于1，根据上述条件得到不等式组，解不等式组得到m的取值范围．【解答】解：去分母，得：3x＝﹣m+2（x﹣1），去括号，移项，合并同类项，得：x＝﹣m﹣2．∵关于x的分式方程+2的解为正数，∴﹣m﹣2＞0．又∵x﹣1≠0，∴x≠1．∴﹣m﹣2≠1．∴，解得：m＜﹣2且m≠﹣3．故答案为：m＜﹣2且m≠﹣3．【点评】本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式组．利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解并注意分式方程可能产生增根的情形是解题的关键．12．“市长杯”青少年校园足球联赛的比赛规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某校足球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分，那么该队胜了几场，平了几场？设该队胜了x场，平了y场，根据题意可列方程组为．【分析】利用得分＝3×胜的场数+1×平的场数，结合“该校足球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：∵该足球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，∴x+y+2＝9；∵胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，该足球队在第一轮比赛中共得17分，∴3x+y＝17．∴所列方程组为．故答案为：．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找出等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．13．如图，直线y1＝k1x+b与y轴交于点A（0，4），与直线y2＝k2x相交于点B（3，2）．则关于x的不等式组的解集是0＜x＜3．【分析】先利用函数图象写出直线y1在直线y2上方所对应的自变量的范围，然后确定直线k1x+b＜4的解集为x＞0，最后确定不等式组的解集．【解答】解：当x＜3时，k1x+b＞k2x，∴关于x的不等式k1x+b＞k2x的解集为x＜3．当x＞0时，k1x+b＜4∴关于x的不等式组的解集为0＜x＜3．故答案为：0＜x＜3．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．14．如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a1，第2幅图形中“●”的个数为a2，第3幅图形中“●”的个数为a3，…，以此类推，则＝．【分析】根据给定几个图形中黑点数量的变化可找出变化规律“a n＝n（n+2）（n为正整数）”，进而可得出＝（﹣），将其代入+++…+中即可求出结论．【解答】解：观察图形，可知：a1＝3＝1×3，a2＝8＝2×4，a3＝15＝3×5，a4＝24＝4×6，…，∴a n＝n（n+2）（n为正整数），∴＝（﹣），∴+++…+＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝（1+﹣﹣）＝．故答案为：．【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，根据图形中黑点数量的变化找出变化规律“a n＝n（n+2）（n为正整数）”是解题的关键．三.作图题（本题满分0分）15．（1）如图，请用尺规在△ABC的边BC，AC，AB上分别取点D，E，F使得四边形BDEF 为菱形；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的菱形BDEF中，若∠ABC＝60°，BE＝6，求菱形BDEF的面积．【分析】（1）作△ABC的角平分线BE，作线段BE的垂直平分线交AB于F，交BC于D，连接DE，EF，四边形BDEF即为所求．（2）根据菱形的性质和含30°角的直角三角形的性质解答即可．【解答】解：（1）D，E，F的位置如图所示．（2）∵四边形BDEF是菱形，∴∠EBD＝∠ABC＝30°，DF⊥BE，∵BE＝6，∴DF＝，∴菱形BDEF的面积＝．【点评】本题考查了菱形的判定和性质以及作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的判定与折叠的性质．四、解答题16．（8分）（1）化简：；（2）解不等式组：．【分析】（1）先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再把分子分母因式分解，然后约分即可；（2）分别解两个不等式得到x＜3和x≥2，然后根据大小小大中间找确定不等式组的解集．【解答】解：（1）原式＝÷＝•＝；（2），解①得x＜3，解②得x≥2，所以不等式组的解集为2≤x＜3．【点评】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．也考查了解一元一次不等式组．17．（6分）孔子曾说：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者”兴趣是最好的老师．阅读、书法、绘画、手工、烹饪、运动、音乐…各种兴趣爱好是打开创新之门的金钥匙．某校为了解学生兴趣爱好情况，组织了问卷调查活动，从全校2200名学生中随机抽取了200人进行调查，其中一项调查内容是学生每周自主发展兴趣爱好的时长，对这项调查结果使用画“正”字的方法进行初步统计，得到下表：学生每周自主发展兴趣爱好时长分布统计表组别时长t（单人数累计人数位：h）第一组1≤t＜2正正正正正正30第二组2≤t＜3正正正正正正正正正正正正60第三组3≤t＜4正正正正正正正正正正正正正70正第四组4≤t＜5正正正正正正正正40根据以上信息，解答下列问题：（1）补全频数分布直方图；（2）这200名学生每周自主发展兴趣爱好时长的中位数落在第三组；（3）若将上述调查结果绘制成扇形统计图，则第二组的学生人数占调查总人数的百分比为30%，对应的扇形圆心角的度数为108°；（4）学校倡议学生每周自主发展兴趣爱好时长应不少于2h，请你估计，该校学生中有多少人需要增加自主发展兴趣爱好时间？【分析】（1）根据频数分布表可得第三组和第四组的频数，进而补全频数分布直方图；（2）根据中位数的定义解答即可；（3）用第二组的学生人数除以总人数即可得出第二组的学生人数占调查总人数的百分比，再用其乘360°即可得出对应的扇形圆心角的度数；（4）用样本估计总体即可．【解答】解：（1）补全频数分布直方图如下：（2）这200名学生每周自主发展兴趣爱好时长的中位数落在第三组，故答案为：三；（3）若将上述调查结果绘制成扇形统计图，则第二组的学生人数占调查总人数的百分比为：；对应的扇形圆心角的度数为：360°×30%＝108°，故答案为：30%；108；（4）2200×＝330（人），答：估计该校学生中有330人需要增加自主发展兴趣爱好时间．【点评】本题考查中位数、频数分布表以及频数分布直方图，掌握频数统计的方法是解决问题的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．18．（6分）为了落实水资源管理制度，大力促进水资源节约，某地实行居民用水阶梯水价，收费标准如下表：居民用水阶梯水价表单位：元/立方米分档户每月分档用水量x（立方米）水价第一阶梯0≤x≤15 5.00第二阶梯15＜x≤217.00第三阶梯x＞219.00（1）小明家5月份用水量为14立方米，在这个月，小明家需缴纳的水费为70元；（2）小明家6月份缴纳水费110元，在这个月，小明家缴纳第二阶梯水价的用水量为5立方米；（3）随着夏天的到来，用水量将会有所增加，为了节省开支，小明家计划7月份的水费不超过180元，在这个月，小明家最多能用水多少立方米？【分析】（1）利用表格中数据直接求出小明家5月份用水量为14立方米应需缴纳的水费即可；（2）利用表格中数据得出小明家6月份使用水量超过15立方米但小于21立方米，进而求出即可；（3）利用表格中数据得出水费不超过180元时包括第三阶梯水价费用，进而得出不等关系求出即可．【解答】解：（1）由表格中数据可得：0≤x≤15时，水价为：5元/立方米，故小明家5月份用水量为14立方米，在这个月，小明家需缴纳的水费为：14×5＝70（元）；（2）∵15×5＝75＜110，75+6×7＝117＞110，∴小明家6月份使用水量超过15立方米但小于21立方米，设小明家6月份使用水量为x立方米，∴75+（x﹣15）×7＝110，解得：x＝20，故小明家缴纳第二阶梯水价的用水量为：20﹣15＝5（立方米），故答案为：5；（3）设小明家能用水a立方米，根据题意可得：117+（a﹣21）×9≤180，解得：a≤28．答：小明家计划7月份的水费不超过180元，在这个月，小明家最多能用水28立方米．【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，根据表格中数据得出正确不等关系是解题关键．19．（6分）如图，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，点E，F在BC上且BE＝CF．（1）求证：AF＝DE；（2）若OM平分∠EOF，求证：OM⊥EF．。