实变函数复习提纲
(完整版)《实变函数》期末复习提要
《实变函数》期末复习提要内容包括集合、n R 中的点集、勒贝格测度、勒贝格可测函数、勒贝格积分等方面的知识。
第一章 集合1．考核要求：⑴了解集合的表示，子集，理解集合的并、交、差、补等概念，特别是一列集合的并与交的概念；⑵掌握集合的运算律，会求一列简单集合的并、交以及上极限和下极限； ⑶熟练掌握证明两个集合相等的方法（互为子集）并会具体应用；⑷了解单射、满射、双射及对等的概念，知道基数相等与大小的定义，会用伯恩斯坦定理；⑸理解可列集的定义及等价条件（可排成无穷序列的形式），了解可列集的运算性质，理解有理点集是可列集；⑹了解常见的连续集和连续集的运算，知道基数无最大者。
2．练习题单元练习题一、单项选择题1.)\(\)\(C B A C B A = 成立的充分必要条件是（ ）．(A) B A ⊂ (B) A B ⊂(C) C A ⊂ (D) A C ⊂2. A B B A = )\(成立的充分必要条件是（ ）．(A) B A = (B) ∅=B(C) B A ⊂ (D) A B ⊂二、填空题1.设)1,1(n n n n A n ++-=，则=∞= 1n n A ，=∞= 1n n A ． 2.设)1,1(++-=n n n n A n ，则=∞= 1n n A ，=∞= 1n n A ． 3.设]11,0(nA n +=，则=∞→n n A lim ，=∞→n n A lim ．4.设),2,1(,]211,0[,]1212,0[212 =+=--=-n nA n A n n ，则=∞→n n A lim ，=∞→n n A lim ． 三、证明题1.设)(x f 是1R 上的实值函数，证明对任意实数a ，有∞=+<≤==1}1)({})({n n a x f a x a x f x 2.设)(x f 是1R 上的实值函数，对任意实数a ，证明：∞=+<∈=≤∈111}1)(,{})(,{n n a x f R x x a x f R x x 第二章 n 维空间中的点集1．考核要求：⑴了解距离、收敛、邻域、孤立点、边界点、内核、导集、闭包等概念，会求简单集合的内核、导集和闭包，理解聚点的定义及其等价条件；⑵掌握波尔查诺——维尔斯特拉斯定理的条件和结论；⑶了解开集、闭集、完备集的定义以及开集、闭集在并、交运算之下的性质，开集与闭集互为补集，掌握直线上开集的构造；⑷了解波雷尔有限覆盖定理、距离可达定理和隔离性定理的条件和结论；⑸理解康托集的构造及其性质。
实变函数复习要点
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《实变函数论》总复习
可测集与开集、闭集只相差一小测度集； 可测集可由 G 型集去掉一零集，或 F 型集添上一零集得 到． 三、重点 外测度和可测集的定义；可测集的基本性质（定义 2.1.2） ；可测集的极限性质（定理 2.1.5；定理 2.1.6） ．
第三章
可测函数
一、考核知识点 1. 可测函数的定义及其等价定义、 可测函数的性质和可测函 数与简单函数的关系； 2. 叶果洛夫定理； 3. 依测度收敛的定义、性质、Riesz 定理、勒贝格定理； 4. 鲁津定理． 二、考核要求 1. 可测函数及其性质 （1）简单应用： 可测函数的定义及其等价定义； （2）综合应用：可测函数的性质． 零集上的任何函数都是可测函数； 简单函数是可测函数； 可测集 E 上的连续函数 f(x)必为可测函数； 在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性，
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《实变函数论》总复习
析)就是建立在勒贝格积分的基础上的． 由于有了具有可列可 加性的测度和建立在这种测度基础上的积分，导致了与微积 分中函数序列的点点收敛和一致收敛不同的一些新的重要 收敛概念的产生，它们是几乎处处收敛、依测度收敛、积分 平均收敛等．依测度收敛在概率论中就是依概率收敛，且具 有特别重要的地位．积分平均收敛在一般分析学科中也是常 用的重要收敛．傅里叶级数理论以及一般的正交级数理论就 是以积分的平方平均收敛为基本的收敛概念． 《实变函数论》的三大定理 1、Lebesgue 控制收敛定理； 2、Levi 控制收敛定理； 3、Fatuo 引理． 这三个定理是‘实变函数’的核心成果，集中地体现了 Lebesgue 积分相对于 Reimann 积分的优越性， 因而这三个定 理是‘实变函数’中最重要的定理，三大定理之说法当之无 愧． 《实变函数论》的三大原理 1. Every measurable set is nearly a finite sum of intervals; 2. every function (of class Lp) is nearly continuous; 3. every convergent sequence of functions is nearly uniformly convergent.
实变函数期末考试重点
实变函数考试重点题目第一章：求极限 Eg ：求1(,)n A n n=的上下极限下极限1111lim inf (,)(,)(0,)n nm n m m A n m n m ∞∞∞======+∞上极限1111lim sup (,)(,)(0,)n nm n mm A n m n m ∞∞∞======+∞P24页 第5题5、设F 是]1,0[上全体实函数所构成的集合,c F 2=.证明：(1)设)(x E χ为E 的示性函数,]}1,0[|{⊂=E E A ,F E x B E ⊂⊂=]}1,0[|)({χ,显然B A ~,于是F B A c ≤==2；(2)设]}1,0[|))(,{(∈=x x f x G f ,}|{F f G C f ∈=,}]1,0[|{R ⨯⊂=P P D ,显然D C F ⊂~,于是cD C F 2=≤=,总之,c F 2=.P30页 定理1 定理2 P35页 第2 12题2.设一元实函数)()(R C x f ∈⇒R ∈∀a ,})(|{a x f x G >=是开集,})(|{a x f x F ≥=是闭集.证明：(1)G x ∈∀0,取0)(0>-=a x f ε,因)()(0x C x f ∈,那么对于0>ε,0>∃δ,..t s δ<-||0x x 时, ε<-|)()(|0x f x f ,即a x f x f =->ε)()(0,从而G x N ⊂),(0δ,所以G 是开集.(2)F x '∈∀0,∃互异点列F x k ⊂}{..t s 0x x k →,显然a x f k ≤)(,因)()(0x C x f ∈,有a x f x f k k ≤=∞→)(lim )(0,即F x ∈0,于是F F ⊂',所以所以F 是闭集.12、设实函数)()(nC x f R ∈⇔O ∈∀G ,O ∈-)(1G f.证明：“⇒”O ∈∀G ,)(10G fx -∈∀,因O ∈∈G x f )(0,0>∃ε..t s G x f N x f ⊂∈)),(()(00ε,那么对于0>ε,0>∃δ,..t s ),(0δx N x ∈∀,均有G x f N x f ⊂∈)),(()(0ε, 从而)(1G fx -∈,于是)(),(10G fx N -⊂δ,所以O ∈-)(1G f.“⇐”n x R ∈∀0,0>∀ε,由于O ∈=)),((0εx f N G , 那么O ∈∈-)(10G fx ,这样0>∃δ..t s )(),(10G fx N -⊂δ,从而)(),(10G f x N x -⊂∈∀δ,均有)),(()(0εx f N x f ∈,即)()(nC x f R ∈.P42页 定理4P44页 定理2 定理3定理2：∀非空n E R ⊂,0>∀d ,}),(|{d E x x U <=ρ ⇒ O ∈⊂U E . 证明：显然U E ⊂.U x ∈∀,取0),(>-=E x d ρδ,),(δx U y ∈∀,有d E x E x x y E y =+<+≤),(),(),(),(ρδρρρ可见U y ∈,这样U x U x ⊂∈),(δ, ∴O ∈⊂U E .P45页 第5.6题5、设非空n E R ⊂,则),(E P ρ在n R 上一致连续.证明：0>∀ε,取εδ=,n Q P R ∈∀,,只要δρ<),(Q P ,由于),(),(),(E Q Q P E P ρρρ+≤,),(),(),(E P P Q E Q ρρρ+≤,有ερρρ<≤-),(|),(),(|Q P E Q E P ,所以, ),(E P ρ在n R 上一致连续.6、∀非空⊕C ∈21,F F ⇒)()(nC P f R ∈∃..t s 1)(0≤≤P f ,且0)(≡P f ,1F P ∈;1)(≡P f ,2F P ∈.证明：显然)(),(),(),()(211nC F P F P F P P f R ∈+=ρρρ,1)(0≤≤P f ,且0)(≡P f ,1F P ∈;1)(≡P f ,2F P ∈.P54页 定理（3）（4） P57页 第5 7题5、设实函数)(x f 在],[b a 上连续,}),(|),{(b x a x f y y x E ≤≤==,证明0*=E m . 证明：因为],[)(b a C x f ∈,于是)(x f 在],[b a 上一致连续,那么0>∀ε, 0>∃δ, ..t s 当δ<-||t s ,时,ε<-|)()(|s f t f .取δ<-na b ,将],[b a 进行n 等分,其分点为b x x x a n =<<<= 10,记],[1i i i x x I -=,])(,)([εε+-=i i i x f x f J ,显然,)(}),(|),{(11ni i ini i J II x x f y y x E ==⨯⊂∈==,∑∑==⨯=⨯≤≤ni i ini i iJ m Im J Im E m 11*)]()([)(0εε)(2)2(1a b na b ni -=⋅-=∑=,于是,由ε的任意性,知0*=E m .7、0*>E m ,证明必E x ∈∃,..t s 0>∀δ,都有0)),((*>δx N E m .证明：反证.假设E x ∈∀,0>∃x δ,使得0)),((*=x x N E m δ ,当然存在以有理数为端点的区间x I ..t s ),(x x x N I x δ⊂∈,由于}{x I 至多有可数个,记作}{k J ,有)(1∞=⊂k kJE E 那么0)(01**=≤≤∑∞=k k J E mE m ,这与条件0*>E m 不符,说明必E x ∈∃,..t s 0>∀δ,都有0)),((*>δx N E m .P65页 定理5 定理6 P68页 第4 5 9 11题4、设M ⊂}{m E ,证明m mm mmE E m inf lim )inf lim (≤.又+∞<∞=)(1m m E m ,证明m mm m mE E m sup lim )sup lim (≥.证明：因m m k k E E ↑⊂∞= ,有m mmk km m mk km mmE EEm E m inf lim lim)()inf lim (1≤==∞=∞→∞=∞=.又因m mk k E E ↓⊃∞= ,+∞<∞=)(1 m m E m ,有m mmk km m mk km mmE EEm E m sup lim lim)()sup lim (1≥==∞=∞→∞=∞=.5、设M ⊂}{m E ,+∞<∑∞=1)(m m E m ,证明0sup lim =m mmE .证明：因m mk k E E ↓⊃∞= ,+∞<≤∑∞=∞=11)()(m mm m Em E m ,有0)(lim)(lim )()sup lim (01=≤==≤∑∞=∞→∞=∞→∞=∞=mk km mk k m m mk km mEm E m E m E m,所以0sup lim =m mmE .P103页 第2题2、证明当)(x f 既是1E 上又是2E 上的非负可测函数时,)(x f 也是21E E 上的非负可测函数. 证明：由条件知 R ∈∀a ,n E x a x f x E M ∈∈>],)(;[1,n E x a x f x E M ∈∈>],)(;[2,于是],)(;[21E E x a x f x E ∈>n E x a x f x E E x a x f x E M ∈∈>∈>=],)(;[],)(;[11 所以)(x f 也是21E E 上的非负可测函数.P104页 第6 11题6、设实函数)()(n C x f R ∈,证明:M ∈∀E ,均有)()(E x f M ∈. 证明：M ∈∀E ,R ∈∀a ,显然O ∈+∞=),(a G ,下面证明M ∈-)(1G f.},)(|{)(10nx a x f x G fx R ∈>=∈∀-,因O ∈∈G x f )(0,0>∃ε..t s G x f N x f ⊂∈)),(()(00ε,这样对于0>ε,0>∃δ,..t s ),(0δx N x ∈∀,均有G x f N x f ⊂∈)),(()(0ε,从而)(1G f x -∈,于是)(),(10G f x N -⊂δ,那么M O ⊂∈-)(1G f.由于M ∈=∈>=--)(},)(|{)(11G f E E x a x f x G f,所以)()(E x f M ∈.11、设)(x f 是E 上的可测函数,)(y g 是R 上的连续函数,证明)]([x f g 是E 上的可测函数.证明：R ∈∀a ,因)()(R C y g ∈,若O ∈-∞=),(a G ,有O ∈<=-})(|{)(1a y g y G g由于})]([|{a x f g x x <∈⇔a x f g <)]([⇔)()(1G g x f -∈⇔)]([11G gfx --∈,于是M ∈=<--)]([})]([|{11G gf a x fg x ,所以)()]([E x f g M ∈.P117页 第2题2、设K x f k ≤|)(|..e a E ,)()(x f x f mk →E x ∈, 证明K x f ≤|)(|..e a E . 证明：+∈∀N m ,当mx f x f k 1|)()(|<-,K x f k ≤|)(|时,mK x f x f x f x f k k 1|)(||)()(||)(|+<+-≤,于是]1|)(|;[m K x f x m mE m +≥= ]|)(|;[]1|)()(|;[K x f x m m x f x f x m k k >+≥-≤0]1|)()(|;[→≥-≤mx f x f x m k ,∞→k ,有0=m mE ,因↑}{m E ,有0lim ]|)(|;[==≥∞→m m E K x f x m 所以K x f ≤|)(|..e a E .课件 第四章第四节 倒数第2~5题3、定理：设)()(x f x f mk →,)()(x g x f mk →E x ∈, 则)(~)(x g x f E. 证明： +∈∀N k m ,, 若mx f x f k 21|)()(|<-,mx g x f k 21|)()(|<-,有mx g x f x f x f x g x f k k 1|)()(||)()(||)()(|<-+-≤-,于是 ]1|)()(|;[m x g x f x E ≥-]21|)()(|;[]21|)()(|;[m x g x f x E m x f x f x E k k ≥-≥-⊂ ,从而]1|)()(|;[m x g x f x mE ≥-]21|)()(|;[]21|)()(|;[mx g x f x mE m x f x f x mE k k ≥-+≥-≤000=+→, 又因∞=≥-=≠1]1|)()(|;[)]()(;[m mx g x f x E x g x f x E ,有 0)]()(;[=≠x g x f x mE ,所以)(~)(x g x f E.1、设)()(x f x f mk →,)()(x g x g mk →,E x ∈, 证明)()()()(x g x f x g x f mk k ++→. 证明：已知,0>∀σ,当2|)()(|σ<-x f x f k ,2|)()(|σ<-x g x g k ,时,σ<-+-≤+-+|)()(||)()(||)]()([)]()([|x g x g x f x f x g x f x g x f k k k k ,由于)()(x f x f m k →,)()(x g x g mk →,E x ∈,有]|)]()([)]()([|;[0σ≥+-+≤x g x f x g x f x m k k0]2|)()(|;[]2|)()(|;[→≥-+≥-≤σσx g x g x m x f x f x m k k ,所以)()()()(x g x f x g x f mk k ++→.2、设)()(x f x f mk →,)()(E x g M ∈且几乎处处有限, 证明)()()()(x g x f x g x f mk →. 证明：已知,)()(x f x f mk →,)(x g 在E 上几乎处处有限,那么0>∀σ,0>∀ε,0>∃K ..t s2]|)()(|;[εσ<≥-Kx f x f x m k , 2]|)(|;[ε<≥K x g x m ]|)()()()(|;[σ≥-x g x f x g x f x m k ]]|)(||)()(|;[σ≥-≤x g x f x f x m k]|)(|;[]|)()(|;[K x g x m K x f x f x m k ≥+≥-≤σεσ<≥+≥-≤]|)(|;[]|)()(|;[K x g x m Kx f x f x m k ,所以)()()()(x g x f x g x f mk →.3、设0)(→mk x f ,证明0)(2→mk x f .证明：已知,0)(→mk x f ,那么0>∀σ,0>∀ε,..t s εσ<≥-]|)()(|;[x f x f x m k ,有εσσ<≥=≥-]|)(|;[]|0)(|;[2x f x m x f x m k k ,所以0)(2→mk x f .。
《实变函数》考试大纲
《实变函数》考试大纲一、课程说明本大纲适用数学专业。
1 本课程的目的和要求实变函数是数学专业重要的分析基础课之一这一部分内容为进一步学习分析数学中的一些专门理论，如函数论，泛函分析，概率论，微分方程，群上调和分析等提供必要的测度和积分论基础，通过本课程的学习，应使出学生较好的掌握测度和积分这个基本工具，特别是极限（或积分）和积分顺序的交换，并且在一定程度上掌握集的分析方法2 本课程的主要内容先介绍近代数学的基础——集与映射等有关概念，同时介绍实直线上的点集的性质，按着讲L-测度以及L-可测集的概念与性质，在介绍可测函数的概念与性质，接着是勒贝格积分的概念与性质，还有积分极限定理，R-积分与L-积分比较，Fubini定理，囿变函数，绝对连续函数及其中N-L公式，最后介绍Lp空间及其性质3 教学重点与难点本课程的重点是勒贝格测度与勒贝格积分。
实变函数的内容虽是微积分的继续深化，但在思想方法上确有较大的飞越，实变函数的一些概念比起数学分析来要抽象得多，这使得初学者对实变函数往往不太习惯，为使学生能较好地适应这一过度，教师在讲解时尽可能将主要概念的产生背景，以北及概念之间的内在联系加以介绍。
例如，教师应向学生交代，为什么要研究新的积分,为什么要研究可列可加测度等，讲解时既要严格论证又要形象说明，同时要配合典型例题，适当地加强对学生的基础训练，这是一个重要的学习环节，教师应当给学生布置一定数量的习题，使学生通过做习题，加深对课文的理解，也帮助学生提高自学能力和解题能力，并开阔思路。
4 本课程的知识范围与相关课程的关系本课是在数学分析的基础上发展而成，同时本课程又用到了高等代数和解析几何中的一些基本知识，故本课程应安排在第四学期或第五学期讲授。
5 教材的选用绍兴文理学院数学系主要选用下面的教材江泽坚、吴智泉编《实变函数论》(第二版)，北京：高等教育出版社，2001年(国优教材).该教材论证严谨，重点突出，思路清晰，是一本国优教材。
实变函数期末复习指导
实变函数期末复习指导（文本）实变函数题型比例单选题：5题，每题4分，共20分。
填空题：5题，每题4分，共20分。
计算与证明题：4题，每题15分，共60分。
第1章主要内容本章所讨论的集合的基本知识是集合论的基础，包括集合的运算和集合的基数两部分. 主要内容有：一、集合的包含关系和并、交、差、补等概念，以及集合的运算律．关于概念的学习，应该注意概念中的条件是充分必要的，比如，B A ⊂当且仅当A x ∈时必有B x ∈．有时也利用它的等价形式：B A ⊂当且仅当B x ∈时必有A x ∈．在证明两个集合包含关系时，这两种证明方式可视具体问题而选择其一．还要注意对一列集合并与交的概念的理解和掌握．n n A x ∞=∈1 当且仅当x 属于这一列集合中的“某一个”（即存在某个n A ，使n A x ∈），而n n A x ∞=∈1 当且仅当x 属于这一列集合中的“每一个”（即对每个n A ，都有n A x ∈）．要熟练地进行集合间的各种运算，这是学习本章必备的基本技能. 读者要多做些这方面的练习．二、映射是数学中一个基本概念，要弄清单射、满射和双射之间的区别与联系．对集合基数部分的学习，应注意论证两个集合对等技能的训练，其方法主要有下面三种：一是依对等的定义直接构造两集间的双射；二是利用对等的传递性，如欲证C A ~，已知B A ~，此时只须证C B ~；三是应用有关定理，特别是伯恩斯坦定理，它是判断两个集合对等的常用的有效方法．三、可列集是无限集中最重要的一类集合，它是无限集中基数最小者. 要掌握可列集的定义和运算性质，有理数集是可列的并且在直线上处处稠密，这是有理数集在应用中的两条重要性质.四、连续集及其运算性质.要掌握长见的连续集的例子，知道基数无最大者.第2章主要内容本章讨论的点集理论，不仅是以后学习测度理论和新积分理论的基础，也为一般的抽象空间的研究提供了具体的模型.R中的距离和邻域的概念出发，首先定义了相对于某个给定集一、本章我们从nnE⊂的几种不同类型的点：内点、聚点、孤立点、边界点.它们彼此之间的关系可用图R示如下：其中内点和聚点更常用些.关于聚点，我们还给出几个等价条件(定理2.1.1和定理2.1.2)，读者要熟练的掌握和运用.二、开集、闭集和完备集是本章的重要内容.在开集、闭集和完备集的性质和直线上开集构造的讨论中，开集是基础，因为闭集是开集的补集，完备集是一种特殊的闭集，所以弄清了开集的性质，闭集和完备集的性质和构造也就自然得到了.三、康托集是本章给出的一个重要例子.对它的一些特殊性质，在直观上是难以想象的，比如它既是不包含任何区间的完备集，同时它还具有连续基数c，第3章中我们还证明了它的测度为零.正是因为它的巧妙构思和奇特性质常常为构造一些重要的反例提供启示.四、本章中介绍的聚点存在定理，即波尔察诺一维尔斯特拉斯定理(定理2.1.5)，有限覆盖定理(定理2.2.5)和距离可达定理(定理2.4.1)，要弄清定理条件并会灵活运用.第3章主要内容R中点集的测度，它是建立勒贝格积分的基础.本章主要讨论n一、外测度和可测集是本章的两个主要概念，关于可测集的定义，主要使用的是定义3.2.3(即卡氏条件)．因为可测集的测度等于其外测度，所以外测度性质(定理 3.1.1)对可测集都适用．因此对外测的性质要熟练掌握．二、可测集的运算性质是本章的重要内容．可测集类在有限次或可列次并、交、补运算之下是封闭的．可测集的可列可加性(定理 3.2.4)和单调可测集列极限的测度(定理3.2.5和定理3.2.6)的结果在后面的学习中会时常用到．三、关于可测集的构造是本章的又一重要内容. 勒贝格可测集是由波雷尔集和测度为零G 的集的全体所构成的可加集族(定理3.3.8). 我们还讨论了勒贝格可测集同开集、闭集、δF型集之间的关系. 这些关系一方面从不同的角度划了勒贝格可测集，另一方面也型集和σ提供了用较简单的集合近似取代勒贝格可测集的途径.本章中，我们没有介绍勒贝格不可测集的例子.同学们只须知道：任何具有正测度的集合一定含有不可测子集.第4章主要内容为了建立勒贝格积分理论的需要，本章讨论一类重要的函数——可测函数.它一方面和我们熟悉的连续函数有密切的联系，同时又在理论上和应用上成为足够广泛的一类函数.一、可测函数的概念及其运算性质是本章的重要内容. 可测函数的定义及给出的一些充要条件(如定理4.2.1和定理4.2.2等)是判断函数可测的有力工具，应该熟练地掌握和应用它们.可测函数关于加、减、乘、除四则运算和极限运算都是封闭的.可测函数上、下确界函数和上、下极限函数还是可测的，所有这些性质反映了可测函数的优越性和应用中的方便之处.二、可测函数列的收敛性也是本章的重要内容之一. 几乎处处收敛和依测度收敛是勒贝格积分理论中经常使用的两种收敛形式.叶果洛夫定理揭示了可测函数列几乎处处收敛与一致收敛之间接关系. 通过这个定理，可以把几乎处处收敛的函数列部分地“恢复”一致收敛，而一致收敛在许多问题的研究中都起着重要作用.勒贝格定理(定理4.3.2)告诉我们：在测度有限的集合上，几乎处处收敛的可测函数列必是依测度收敛的，反之并不成立.然而，黎斯定理(定理 4.3.3)指出：依测度收敛的可测函数列必有几乎处处收敛的子序列.三、可测函数的构造是本章的又一重要内容. 一般常见的函数，如连续函数，单调函数等都是可测函数. 然而，可测函数却未必是连续的，甚至可以是处处不连续的(如迪里克雷函数). 所以，可测函数类比连续函数类要广泛得多.而鲁金定理指出了可测函数与连续函数之间的关系，通过这个定理，常常能把可测函数的问题转化为关于连续函数的问题来讨论，从而带来很大的方便.四、关于论证方法和技巧方面也有不少值得注意的. 如定理4.2.6证明中的构造方法是富有启发性的；叶果洛夫定理证明中的思想和分析的方法以及鲁金定理证明中先考虑简单函数、然后再往一般的可测函数过渡，这种由特殊到一般的证明方法在许多场合都是行之有效的.第5章主要内容本章的中心内容是建立一种新的积分−− 勒贝格积分理论．它也是实变函数数论研究的中心内容．一、关于勒贝格积分的建立．本章首先引入测度有限点集上有界函数的积分，这是全章的基础，建立有界函数的积分时应注意两点：一是黎曼积分意义下的积分区间，现已被一般点集所代替；二是分划的小区间长度，现已被点集的测度所代替．一般集合上一般函数的积分是通过两步完成的．第一步是建立非负函数的积分．它是通过非负函数表示为有界函数列的极限、把无穷测度集合表示为测度有限集列的极限来完成的．第二步是建立一般函数的积分，它是将其分解两个非负函数(正部与负部)的差的办法来完成的．二、勒贝格积分的性质．勒贝格积分的性质主要反映在以下几个方面：(1)勒贝格积分是一种绝对收敛积分，即)(x f 在E 上可积当且仅当)(x f 在E 上可积()(x f 在E 上可测)．这是它与黎曼积分重要区别之一．(2)勒贝格积分的绝对连续性．设)(x f 在E 上可积，则对任意0>ε，存在0>δ，使当E e ⊂且 δ<e m 时，恒有ε<⎰ex x f d )( (3)勒贝格积分的唯一性．即0d )(=⎰E x x f 的充要条件是..0)(e a x f =于E ．由此可知，若)(x f 与)(x g 几乎相等，则它们的可积性与积分值均相同．(4)可积函数可用连续函数积分逼近．设)(x f 是可积函数，对任意0>ε，存在],[b a 上的连续函数)(x ϕ，使εϕ<-⎰],[d )()(b a x x x f此外尚有许多与黎曼积分类似的性质，如线性性、单调性、介值性等，望同学们自己总结、比较．三、关于积分极限定理．积分极限定理是本章的重要内容，这是由于积分号下取极限和逐项积分，无论在理论上还是应用上都有着十分重要的意义．其中勒贝格控制收敛定理(定理5.4.1)，列维渐升函数列积分定理(定理5.4.2)和法都定理(定理5.4.4)在现代数学中都有广泛的应用．同学们不难发现，与黎曼积分相比较，勒贝格积分与极限换序的条件大大减弱，这也是勒贝格积分优越于黎曼积分的重要之处．四、关于勒贝格积分同黎曼积分之间的关系．我们知道，若],[b a 上的有界函数)(x f 黎曼可积，则必勒贝格可积且二者积分值相等．值得注意的是，上述结论对于广义黎曼积分并不成立．实际上，广义黎曼可积函数成为勒贝格可积的充要条件是该函数广义黎曼绝对可积．关于勒贝格积分的计算，一般是应用积分的定义借助于积分的性质将其转化为黎曼积分．五、勒贝格重积分换序的富比尼定理指出，只要),(y x f 在q p R R 上可积即可将重积分化为累次积分．特别是对非负可测函数来说，可无条件换序，这是勒贝格积分较黎曼积分的又一优越之处．六、本章的最后介绍了勒贝格积分理论中的“原函数”存在定理和牛顿—莱布尼兹公式．在这些关系的研究中，有界变差函数和绝对连续函数的概念起着重要作用．。
实变函数知识归纳总结
定理 6 若Ａ为无限集，Ｂ是至多可数集，则 A ∪ B ～ A 由证明归纳出两种证明对等的方法： （１）建立一一映射； 设 B = {b1 , b2 ,
} 为可数集， A ∩ B = ∅ ，由性质１知，Ａ存在可数子集
A1 = {a1 , a 2 ,
} ，作映射 f : A ∪ B → A
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
α ∈Λ
∩ ζ α 是 X 上的环（或代数） 。
, 有 ∩ En ∈ ζ ； n =1
, 有 lim En ∈ζ , lim En ∈ζ ； n→∞
n→∞
∞
(α ∈ Λ ) 为 X 上 σ
环（ σ 代数） ，则 ∩ ζα 是 X 上 σ 环（ σ
α∈Λ
代数） 。
定理 8 设 A 是由 X 的某些子集构成的集类， 则存在唯一的环 （或代数，
−1
( ∩ B )= ∩T
α∈Λ α α∈Λ
−1 c
−1
( Bα )( Bα ⊂ Y,α ∈Λ) ;
c
−1
( B ) = (T ( B ) )
由此看出原像集的性质保持比像集的性质保持要好 注解：①、 （3）中如：一个映射 f 把 X 全部映射成一个值，就可以造成左边为
空集即可； ②、 一般T -1 (T ( A) ) ⊃ A，当T为单射时,有T -1 (T ( A) ) = A ③、 一般T T −1 ( B ) ⊂ B，当T为满射时,有T T −1 ( B ) = B 定义 2 复合映射概念（舍）见教材 P10 二、集合的势 定义 3 设 A 和 B 为两集合， 若存在从 A 到 B 的一一映射， 则称集合 A 与Ｂ对等， 记为 A~B 注解：①、对等关系是等价关系 ②、设 {
α∈Λ α∈Λ
实变函数复习提纲
解：∵Q为一可数集合，∴=0.
对于，∵
∴ （外测度的次可列可加性）①
另一方面，∵，∴（单调性），
，∴。
又∵，∴（单调性）
∴
②
由①、②知： 即卡氏条件成立，
∴ Q为可测集，∴ .
第四章 可测函数
一、基本概念：可测函数.， 重要的可测函数：简单函数，连续函 数；依测度收钦，命题几乎处处成立
1、可测函数的定义：设是定义在可测集上的实函数，若对于任何
充分性：已知对任一有理数可测，下面只须证明对任一无理数， 点集E[f ＞]可测. 取一递增的有理数列：且， ∵，已知 可测，.∴ 可测（可测个可测集的交集仍可测）, 即可测, 由可 测函数的等价条件知点集E[f ＞] 也可测.
所以，对任意有限实数，点集都可测，由定义知在E上可测.充分 性成立.
综合两方面的证明知，命题得证. 2、试述可测函数的定义，答案见§1定义1.
1勒贝格外测度的定义：设E为中任一点集，对于每一列覆盖E的开 区间，作出它的体积和（可以等于+∞，不同的区间列一般有不同 的），所有这一切的组成一个下方有界的数集，它的下确量（由E完全 确定）称为E的勒贝格外测度，简称外测度或外测度，记为，即：
注：由定义1知：中的任一点集都有外测度（一个非负数）. 2勒贝格测度、可测集的定义：设E为中点集，若对任一点集T都有
注意：依测度收敛与收敛的不同，两者不能彼此包含.
二、基本理论 1可测函数的充要条件 定理1、设是定义在可测集E上的实函数，下列任一条件都是在E上 可测的充要条件： 1）对任何有限实数，E[≥]都可测； 2）对任何有限实数，E[＜]都可测； 3）对任何有限实数，E[≤]都可测； 4）对任何有限实数a ，b（a＜b），E [a≤f＜b ]都可测（充分性要假 定是有限函数）
实变函数大纲
课程号：20101340课程名称：实变函数总学时：68学分：4课程教学目的以Lebesgue测度与Lebesgue积分理论为核心内容，为学生提供近代分析的基础知识和基本训练，提高分析论证能力。
第一章第一章集合一、基本内容：集合以及集合列的上、下极限，集合的势，p进制表示法，n维空间中的点集，Bolzano —Weirstrass定理。
二、基本要求σ域的概念1、1、了解集合的基本运算及集合列的上、下限集、-2、2、了解势的定义与Bernstein定理、Zermelo选择公理3、3、可数集与连续势以及p进制表示4、4、了解聚点、内点、边界点以及Bolzano－Weirstrass定理5、5、了解开集、闭集以及Borel有限覆盖定理三、三、建议课时安排（15学时）σ域的概念 3学时1、集合的基本运算及集合列的上、下限集、-2、势的定义与Bernstein定理Zermelo选择公理3学时3、可数集与连续势以及p进制表示 3学时4、聚点、内点、边界点以及Bolzano－Weirstrass定理 3学时5、开集、闭集以及Borel有限覆盖定理3学时第二章测度论一、基本内容：外测度与可测集的定义及性质，开集的可测性，Lebesgue可测集的结构二、基本要求1、掌握外测度的定义及性质2、掌握可测集的定义及性质3、了解开集的可测性和L－可测集的结构三、建议课时安排（12学时）1、外测度的定义及性质4学时2、可测集的定义及性质4学时3、开集的可测性和L－可测集的结构4学时第三章可测函数一、一、基本内容：可测函数的定义及性质，可测函数的逼近理论二、二、基本要求：1、了解可测函数的定义及性质2、Egoroff定理、Lusin定理4、了解几乎处处收敛和依测度收敛三、三、建议课时安排：（11学时）1、可测函数及其运算3学时2、Egoroff定理、Lusin定理4学时3、几乎处处收敛与依测度收敛4学时第四章Lebesgue积分一、基本内容：可测函数的积分，Lebesgue积分的极限定理，Lebesgue积分与Riemann积分之间的关系，重积分与累次积分，Fubini定理，微分与积分的关系二、基本要求：1、1、了解非负可测函数的积分，Levi引理和Fatou引理2、2、掌握一般可测函数的积分，积分的绝对连续性以及Lebesgue积分极限定理3、3、了解积分的连续性4、4、弄清Lebesgue积分与Riemann积分的关系，以及Riemann可积的充要条件5、5、弄清重积分与累次积分之间的关系以及Fubini定理6、6、了解微分与积分的关系三、建议课时安排：（20学时）1、非负可测函数的积分，Levi引理和Fatou引理4学时2、一般可测函数的积分，积分的绝对连续性以及Lebesgue控制收敛定理4学时3、积分的连续性2学时4、4、Lebesgue积分与Riemann积分的关系，以及Riemann可积的充要条件3学时5、5、重积分与累次积分之间的关系以及Fubini定理3学时6、6、微分与积分的关系4学时第五章pL空间简介一、一、基本内容：pL空间定义，Holder不等式，Minkowski不等式，p L空间中的收敛与完备性、可分性，2L空间中的内积，正交系，广义Fourier级数，Bessel不等式与Parseval不等式二、二、基本要求：1、1、了解pL空间定义，Holder不等式，Minkowski不等式2、2、了解pL空间中的收敛与完备性、可分性3、3、了解2L空间中的内积，正交系4、了解广义Fourier级数，Bessel不等式与Parseval不等式三、三、建议课时安排（10学时）1、1、pL空间定义，Holder不等式，Minkowski不等式3学时2、2、pL空间中的收敛与完备性、可分性2学时3、3、2L空间中的内积，正交系2学时4、4、广义Fourier级数，Bessel不等式与Parseval不等式3学时教材及主要参考书1、1、周民强，实变函数论，北京大学出版社，2001年2、2、周性伟，实变函数，科学出版社，1998年3、3、江泽坚、吴智泉编著，实变函数论北京人民出版社1978。
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实 变 函 数 复 习 提 纲2006-7-14第一章 集合一、基本概念：集合、并集、交集、差集、余集；可数集合、不可数集合；映射、一一映射（对应）；集合的对等，基合的基数（势、浓度）．二、基本理论：1、集合的运算性质：并、交差、余集的运算性质；德一摩根公式；2、集合对等的性质；3、可数集合的性质、基数：a N =、a Q =（a ＞0）；4、不可数数集合的基数：c R =（c >a>0）． 三、基本题目1、集合对等的判定、求基合的基数例 证明I =（－1，1）和R =（－∞，+∞）是对等的，并求I . 证：作映射ф：()x x 2tan πφ=，x ∈（－1，1），其值域为R =（－∞，+∞）、 因()x x 2tanπϕ=，在（－1，1）是严格单调增的，∴ϕ：()x x 2tanπϕ=是（－1，1）到R上的一一对应, 即 I= (-1,1)xx 2tan)(11πϕ=-(),+∞∞-=R由对等的定义知：I ～R .∵I ～R ∴R I =，又c R =，∴c I =. 2 集合的运算，德。
摩根律的应用3 可数数集合的判定第二章 点集一、基本概念：距离、度量空间、n 维欧氏空间；聚点、内点、界点,开核、导集、闭包；开集、闭集、完备集；构成区间 二、基本理论1、开集的运算性质 ；2、闭集的运算性质3、直线上开集的构造；4、直线上闭集的构造 三、基本题目1 求集合的开核、导集、闭包，判定开集、闭集 例 设E 为[0，1]上的有理数点的全体组成的集1）求0E ，'E ，E ； 2）判定E 是开集还是闭集，为什么？解：1）对于E x ∈∀，x 的任意邻域)(x U 内有无数个无理点,∴)(x U E _⊂，∴x 不是E 的内点，由x 的任意性，知E 无内点,∴φ=0E .对于[]1,0∈∀x ，)(x U ∀内都有无数多个有理点，即有无数多个E 的点,∴x 为E 的聚点.又在[0，1]外的任一点都不是E 的聚点. ∴[]1,0='E . ∵[][]1,01,0=⋃='⋃=E E E E ， ∴[]1,0=E .2）E 不是开集，也不是闭集.因为ϕ=0E ，而E 是非空的，∴,0E E ≠ ∴E 不是开集.因为[]1,0='E ，而[0，1]中的无理点不在E 内，即E E __⊂'，∴由定义知，E 不是闭集. 2 直线上开集、闭集的构造第三章 测度论引入：把区间的长度、平面图形的面积、空间立体图形的体积推广到点集的度量—测度． 一、基本概念：勒贝格外测度，L 测度，可测集，可测集类1勒贝格外测度的定义：设E 为nR 中任一点集，对于每一列覆盖E 的开区间E I U i i ⊃∞=1，作出它的体积和∑∞==1i iIμ（μ可以等于+∞，不同的区间列一般有不同的μ），所有这一切的μ组成一个下方有界的数集，它的下确量（由E 完全确定）称为E 的勒贝格外测度，简称外测度或外测度，记为E m *，即：⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∑∞=⊂∞=1inf1*i i E I I E m i i注：由定义1知：nR 中的任一点集都有外测度（一个非负数）. 2勒贝格测度、可测集的定义：设E 为nR 中点集，若对任一点集T 都有)(*)(**CE T m E T m T m ⋂+⋂=（1）则称E 为L 可测的，这时E 的L 外测度E m *就称为E 的L 测度，记为mE ，条件（1）称为卡拉泰奥多里条件，也简称卡氏条件.L 可测集的全体记为μ.3可测集类1）零测度集类：2）一切区间I （开、闭、半开半闭）都是可测集合，且I mI = 3）凡开集、闭集皆可测 4）凡博雷尔集都是可测的二、基本理论1勒贝格外测度的性质（1）E m *≥0，当E 为空集时E m *=0（即0*=ϕm ）；（非负性）； （2）设A ⊂B ，则A m *≤B m *；（单调性） （3）)(*1∞=i i UA m ≤∑∞=1*i iAm ；（次可数可加性）2 勒贝格测度、可测集的性质及可测性 1）（定理1）集合E 可测←→对任意的A ⊂E ，B ⊂[CE ，总有B m A m B A m **)(*+=⋃2）余集的可测性：S 可测←→CS 可测3）并集的可测性：若S 1，S 2都可测，则S 1∪S 2也可测； 4）交集的可测性：若S 1，S 2都可测，则S 1∩S 2也可测； 5）差集的可测性：若S 1，S 2都可测，则S 1－S 2也可测；6）可列可加性：设{}i S 是一列互不相交的可测集，则i i S U ∞=1也是可测的，且∑∞=∞==11)(i i i i mS US m7）可列交的可测性：设{}i S 是一列可测集合，则i i S ∞=⋂1也是可测集合；8）递增的可测集列的极限的测度：设{}i S 是一列递增的可测集合：⊂⊂s s 21…sn⊂…，令S=ss nn i ilim 1∞→∞== 则n n mS mS ∞→=lim9）递减的可测集列的极限的测度：设{}i S 是一列递减的，可测集合： S 1⊃S 2⊃…⊃Sn…令n n i i S S S ∞→∞==⋂=lim 1，则当它1mS ＜∞时，n n mS mS ∞→=lim . 三 基本题目1、试述L 外测度的定义.（答案见第三章§1定义1）2、试给L 测度的定义（答案见第三章§2定义1）3、设点集n R E ⊂，0*=E m ，证明E 是可测集，并求mE .证：只须证明卡氏条件成立，即对nR T ⊂∀，有)(*)(**CE T m E T m T m ⋂+⋂=∵)()(CE T E T T =∴T m *≤)(*)(*CE T m E T m ⋂+⋂ （外测度的次可数可加性）①另一方面：∵E E T ⊂)( ，∴)(*E T m ≤E m *（单调性）∵已知0*=E m ，)(*E T m ≥0，∴0≤)(*E T m ≤0，必有)(*E T m =0 又：)(CE T T ⊃ ∴T m *≥)(*CE T m （单调性）∴ T m *≥)(*CE T m +)(*CE T m ②由①、②可知：T m *=)(*CE T m +)(*CE T m ，此即卡氏条件成立； ∴ E 是可测的， ∴ 0*==E m mE . 4、证明可数点集n R E ⊂的外测度0*=E m证明：E 为可数点集，∴{}⋯=,,,,,321m e e e e E ，其中ni n i i i i R e e e e e ∈=),,,,(321 ，,,,3,2,1m i =对于任意给定的ε＞0，不妨设ε�1，作开区间⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+-=++n j ＜e ＜x e x x x x I i i j i j i i j n i ,,3,2,1,22),,,,(11321 εεn i I inii ,,3,2,1,2)2(=≤=εε因E e i i i iI=⊃∞=∞=11，由外测度的单调性及次可列可加性得：εεε=-=≤=≤≤∑∑∑∞=∞=∞=∞=211212*)(**1111i i i i i i i i I I m I m E m又由ε的任意性及E m *≥0得：E m *=0，得证.注：本题可当作定理.5、设Q 为有理数集合，求Q m *，mQ . 解：∵Q 为一可数集合，∴Q m *=0. 对于T ∀，∵)()(cQ T Q T T =∴ )(*)(**cQ T m Q T m T m +≤ （外测度的次可列可加性）①另一方面，∵Q Q T ⊂)( ，∴0*)(*=≤Q m cQ T m （单调性），0)(*≥Q T m ，∴0)(*=Q T m 。
又∵)(cQ T T ⊃，∴)(**cQ T m T m ≥（单调性）∴)(*)(**cQ T m Q T m T m +≥ ② 由①、②知：)(*)(**cQ T m Q T m T m += 即卡氏条件成立， ∴ Q 为可测集，∴ 0*==Q m mQ .第四章 可测函数一、基本概念：可测函数.， 重要的可测函数：简单函数，连续函数；依测度收钦，命题几乎处处成立1、可测函数的定义：设)(x f 是定义在可测集nR E ⊂上的实函数，若对于任何有限实数a ，点集E[f ＞a ]={}a ＞x f E x x )(,|∈都是可测集，则称)(x f 为定义在E 上的可测函数.2简单函数定义：设E x x f ∈),(，把E 分为有限个互不相交的可测集),,3,2,1(n i E i =，i ni E E 1== ，使i C x f =)(（常数），i E x ∈时，则称)(x f 为定义在E 上的简单函数.例如在区间[0，1]上的狄利克雷函数便是一简单函数3 连续函数的定义（用邻域定义）：设)(x f ，nR E x ⊂∈，对于E x ∈0，若：1）)(00x f y =有限；2）对于0y 的任一邻域)(0y V V =都存在0x 的某邻域)(0x U U =，使得V E U f ⊂)( ；则称)(x f 在0x 点连续，若)(x f 在E 中每一点都连续，则称 )(x f 在E 上连续.4、命题几乎处处成立：设命题π是一个与点集E 有关的命题，若存在E 的子集M ⊂E ，mM=0，使π在E\M 上恒成立，即E\E[π成立]为零测度集，则称π在E 上几乎处处成立，简记为 .e a ⋅π于E 成立.5 依测度收敛的定义：设{}n f 是qR E ⊂上一列..e a 有限的可测函数列，若有E 上..e a 有限的可测函数)(x f 满足下列关系：对任意的δ＞0，有[]0lim =≥-∞→δf f mE n n ,则称函数列{}n f 依测度收敛于f ，记为：)()(x f x f n ⇒.注意：依测度收敛与收敛的不同，两者不能彼此包含.二、基本理论1可测函数的充要条件定理1、设)(x f 是定义在可测集E 上的实函数，下列任一条件都是)(x f 在E 上可测的充要条件：1）对任何有限实数a ，E[f ≥a ]都可测； 2）对任何有限实数a ，E[f ＜a ]都可测； 3）对任何有限实数a ，E[f ≤a ]都可测；4）对任何有限实数a ，b （a ＜b ），E [a ≤f ＜b ]都可测（充分性要假定)(x f 是有限函数）2可测函数的运算1）设)(),(x g x f 都在E 上可测，则下列函数（假定它们在E 上有意义）都在E 上可测：① )()(x g x f +；② )()(x g x f ⋅；③)(1x f ，④ )(x f . 2）可测函数列的确界函数仍可测，设{})(x f n 是在E 上可测函数列，则下确界函数{})(inf )(x f x n =μ和上确界函数{})(sup )(x f x n n=λ都在E 上可测3）可测函数列的上、下极限函数以及极限函数都是可测函数. 3、可测函数与简单函数的关系任何一个可测函数都可表示成一简单函数列的极限函数. 4、连续函数与可测函数的关系（定理2）连续函数一定是可测函数，但反之，不真.5 叶果洛夫定理（见书P87）定理告诉我们：满足定理假设的a.e.收敛的可测函数列，即使不一致收敛，也是“基本上”一致收敛的. 6可测函数的构造 定理1（鲁津）（见书P88）定理说明：一般的可测函数是“基本上连续”的函数. 7、依测度收敛与收敛的关系.定理1（黎斯）设在E 上{}n f 测度收敛于f ，则存在子列{}n f i，在E 上..e a 收敛于f .三 基本题目1、证明：)(x f 在E 上为可测函数的充要条件是对任一有理数r ，集E[f ＞r]是可测的. 证: 必要性：∵)(x f 在E 上可测,由定义对任意有限实数a, 点集E[f ＞a]是可测的，特别地当a 为任一有理数r 时，E[f ＞r]也可测.充分性：已知对任一有理数r 可测，下面只须证明对任一无理数a ，点集E[f ＞a ]可测. 取一递增的有理数列{}n r ：,,3,2,1, =<n a r n 且a r n n =∞→lim ，∵[]][1r nn f ＞E a f E ∞==≥ ，已知 []r nf ＞E 可测， ,3,2,1=n .∴[]r nn f E >∞=1可测（可测个可测集的交集仍可测）, 即[]a f E ≥可测, 由可测函数的等价条件知点集E[f ＞a ] 也可测.所以，对任意有限实数a ，点集[]a f E >都可测，由定义知)(x f 在E 上可测.充分性成立.综合两方面的证明知，命题得证.2、试述可测函数的定义，答案见§1定义1.第五章 积分论引入：为克服R-积分的不足，引入L-积分. 一、基本概念：黎曼积分（R 积分），勒贝格积分（L 积分），函数的下方图形.1黎曼积分的（确界式）定义黎曼积分、简记为R 积分，即数学分析中的定积分.回顾R 积分的确界式定义见书P100定义1.2勒贝格积分的定义1）对E 的任一可测分化{}i E D =，),,3,2,1(n i E i =为互不相交的可测集 2）令)(sup x f B iE x i ∈= )(inf x f b iE x i ∈作乘积i i mE B i i mE b 求和：),(1f D S mEB ni ii =∑= ——大和),(1f D s mEb ni ii=∑=——小和3）求L 上、下积分令：),(inf )(f D S dx x f DE =⎰ ——L 上积分),(sup )(f D S dx x f DE =⎰——L 下积分4）若dx x f dx x f EE )()(⎰=⎰，则称)(x f 在E 上L 可积，且称此共同值为)(x f 在E上的L 积分，记为：dx x f E )(⎰.2） 一般可积函数的勒贝格积分的定义把L 积分从mE 有限,f(x)在E 上有界,推广到mE 没有限制, f(x)在E 上是否有界不要求的情形,推广步骤分为:第一步 非负函数情形 见书P115第二步 一般函数(不限于非负)的情形 见书P116 推广后的L 积分的性质 见书P1173 函数的下方图形二、基本理论1 L 可积的充要条件1）设)(x f 在可测集)(∞<mE E 上有界，)(x f 在E 上L 可积⇔对0>∀ε，存在E 的可测分划D ，使 ∑=<=-ni ii mEf D S f D S 1),(),(εω，这里i i i b B -=ω.2)设f(x)在可测集E(mE ＜∞)上有界,则f(x)在E 上L 可积 ↔ f(x)在E 上可测. 2 L 积分的运算性质设f(x)、 g(x)可测集E(mE ＜∞)上有界且L 可积,则f(x)±g(x) 、 f(x)•g(x) 、 f(x) /g(x) (但0)(inf >∈x g Ex )及)(x f 在E 上都是可积的.3 L 积分与R 积分的关系设f(x)在[a,b]上R 可积,则f(x)在[a,b]上L 可积,且有相同的积分值, 即⎰=badx x f )(⎰],[)(b a dx x f4 L 积分的性质（1） 若 f(x)在E 上L 可积,则 f(x) 在E 的任何子集上也可积 （2）对积分区域的可加性: 若f(x)在E=A ⋃B 上有定义,A ⋂B=Φ,且在A,B 上分别可积,则⎰Edx x f )(=⎰Adx x f )(+⎰Bdx x f )(（3） 线性运算性质1) 设f(x) 、 g(x) 在E 上L 可积,则⎰+Edx x g x f )]()([=⎰Edx x f )(+⎰Edx x g )(2) 设f(x)在E 上L 可积,C 为常数,则⎰E dx x Cf )(=C ⎰Edx x f )(（4） 不等式性质: 设f(x) g(x) 在E 上L 可积,且f(x) ≤g(x),则⎰Edx x f )(≤⎰Edx x g )(特别地 当b ≤f(x)≤B 是有bmE ≤⎰Edx x f )(≤BmE（5） 绝对值可积性: 设f(x)在E 上L 可积,则)(x f 在E 上L 可积,且⎰⎰≤EEdx x f dx x f )()(（6） 设f(x)在E 上L 可积,f(x)≥0,且⎰Edx x f )(=0,则f(x)=0, a . e ．与E;（7） 绝对连续性: 设f(x)在E 上L 可积,则对于任何可测集A ⊂E,有 ⎰→AmA dx x f )(lim 0=05 积分的极限定理1 ） 勒贝格控制收敛定理(定理1) 设 (1){}f n是可测集E 上的可测函数列;(2))(x fn≤F(x) a e 与E,n=1,2……,且F(x) 在E 上可积分(3))(x fn⇒ f(x)则f(x) 在E 上可积分,且⎰∞→Enn dx x f)(lim=⎰Edx x f )(=dx x fnE n )(lim⎰∞→即极限运算与积分的运算可交换顺序 2） 列维定理 (定理2) 见书P126 3） L 逐项积分:dx x E n nf)(1⎰∑∞==)(1x n Enf∑⎰∞=4）L 积分的可数可加性 设f(x) 在E 上积分确定,E=∞=1i iE ,E i为互不相交的可测集,则⎰Edx x f )(=∑⎰∞=1)(i E dx x f i5） 法都引理 见书P1286 勒贝格积分的几何意义 设f(x)为可测集E Rn⊂上的非负可测函数,则⎰Edx x f )(=mG(E,f),其中G(E,f)为f(x)在E 上的下方图形.三 基本题目1, 设f(x)在可测集E(mE ＜∞)上有界,试给出f(x) 在E 上L 积分的定义 答案见§2 定义1 2 设D(x)=⎰为无理数为有理数x x 01 x ∈[0,1]， 1)证明D(x)在[0,1]上L 可积，2)求⎰]1,0[)(dx x D1) 证∵D(x)为[0,1]上简单函数 ∴D(x)在[0,1]上可测 又1)(≤x D 即D(x)在[0,1]上有界 而[0,1]为可测集∴D(x)在[0,1]上L 可积2) 解: ∵ D(x)在[0,1]上L 可积令E 为[0,1]上的有理数集合，则[0,1]\E 为[0,1]上的无理数集合,有L 积分的性质得⎰]1,0[)(dx x D =⎰Edx x D )(+⎰Edx x D \]1,0[)(∵ E 为[0,1]上的有理数m 全体组成的集合,它是全体有理数集合Q 的子集合 又 mQ=0∴ mE=0有差集的可测性知: m([0,1]\E)=m[0,1]－mE=1－0=1∴⎰]1,0[)(dx x D =⎰Edx x D )(+⎰Edx x D \]1,0[)(=⎰Edx 1+⎰Edx \]1,0[0=1•mE+0=1•0+0=0+0=03 试述非负有界函数的勒贝格积分的几何意义.。