第二章二维线性系统解析
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第二章 线性不变系统.
§1.7 傅里叶变换 Fourier Transform
常用傅里叶变换对
5. {d (x-a)}=exp(-j2pfxa) {exp(j2pfax)}= d (fx-fa)
6.
1 {cos (2pf 0 x) [d ( f x f 0 ) d ( f x f 0 )] 2 1 {sin(2pf 0 x) [d ( f x f 0 ) d ( f x f 0 )] 2j
0
圆对称函数的F.T. 仍是圆对称函数, 称为F-B (傅-贝)变 换,记为
-1{G()}
G() =
{g(r)}, g(r) =
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
傅里叶-贝塞尔变换
例: 利用F-B变换求圆域函数的F.T.
1, r 1 , 定义: circ(r ) 0, 其它 r x2 y 2
1
是圆对称函数
{circ(r )} 2p rJ 0 (2pr )dr
0
作变量替换, 令r’ =2pr, 并利用:
J
0
2p 0
x
0 ( )d
xJ1 ( x)
J1 (2p )
{circ(r )}
1 2p
2
r ' J 0 (r ' )dr'
§1.7 傅里叶变换 Fourier Transform
用算符表示系统
g(x, y) = ℒ{f(x, y)}
线性系统定义:
输入
f(x, y)
ℒ{
}
输出
g(x, y)
令 g1(x, y) = ℒ{f1(x, y)}， g2(x, y) = ℒ{f2(x, y)} 若对任意复常数a1， a2有： ℒ{a1 f1 (x, y) + a2 f2 (x, y) } = ℒ{a1 f1 (x, y)} + ℒ{a2 f2 (x, y) } = a1 ℒ{f1 (x, y)} + a2 ℒ{f2 (x, y) } = a1 g1 (x, y) + a2 g2 (x, y)
06-二维线性系统分析2-傅里叶变换定理、线性系统
× × × ×
-1
f 0 1
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
四、 F.T.定理 定理
自相关与功率谱的关系: 6. 相关定理 设 g(x,y) F.T. G(fx,fy),
{g(x,y)☆ g(x,y)}= |G(fx,fy)|2
反过来有:
{|g(x,y)|2}= G(fx,fy) ☆G(fx,fy)
交换积分顺序,先对x求积分:
=∫
=∫
+∞ +∞
−∞ −∞
+∞ +∞
∫
G ( f )G * ( f ' )dfdf ' ⋅ ∫ exp[ j 2π ( f − f ' ) x]dx
−∞
+∞
利用复指函数的F.T.
−∞ −∞
∫
G ( f )G * ( f ' )δ ( f − f ' )dfdf '
利用δ 函数的筛选性质
G(fx,fy),
H(fx,fy),
空域中两个函数的卷积, 是各自F.T.的乘积 的乘积. 空域中两个函数的卷积 其F.T.是各自 是各自 的乘积
{g(x,y)* h(x,y)}= G(fx,fy) . H(fx,fy)
空域中两个函数的乘积, 是各自F.T.的卷积 的卷积. 空域中两个函数的乘积 其F.T.是各自 是各自 的卷积
§1-1
线性系统
线性系统具有叠加性质 线性系统对各个输入的响应是互相独立的。 线性系统对各个输入的响应是互相独立的。
系统对某个输入的响应不会因为其它输入的存 系统对某个输入的响应不会因为其它输入的存 某个输入的响应不会因为其它输入 在而改变 系统的响应性质不会因为输入幅度的增大而改变 系统的响应性质不会因为输入幅度的增大而改变 不会因为输入幅度的增大
二维线性系统的通解及其轨线性态
,
统(
1 )之 标 川
七 未 解矩 阵 为
尸
ù 产 t
`. k , . 月 于 产
祖 一 Q
尸 e
汗 口
e o
s
t一 日
`
白 一 ,工
曰a
R s 一 i
r s f
t
t
r
补
邓 t+
n
号
,
, ,n 日
。。
针
S`
。,
{
x
( 9
)
证明
1
“
一
当△
一
,
卜 O
时
,
方程
( 3 ) 有 两 个 相 异 实 根 入 入石
(
,
必 存 在 非 奇 异 实 线 性 变 换父= T x
:
这里x
二
y )
,
使 ( 1 ) 飞北成 若 当 系
( 2 )
1〕 ) 参见 〔
卒
U
二
( T A T 一 ) 义一
坟
,
I
杏
1〕 ) 由于 系 统 ( 1 ) 与 系统 ( 2 ) 是 拓扑 等价的 ( 参见 〔
1〕 吕兰兰 〔4 n ) 所 以通 常 ( 如 〔
4 ) 考 虑方程
.
y互换
,
所 得 不统 中 的 c 就
相 当 」系 统 ( 1 ) 中 的 b
C
。
亦可 代替 (
二
日
’
一
卜
(
a
一
一 b d ) 日
。
O
二
所 得 结 果 具 有相 同 形 式 引理
t 为系统 设中( )
线性系统理论讲义
对于线性系统
X A(t)X B(t)u Y C(t)X D(t)u
1/2,12/50
时变系统和时不变系统
若向量f,g不显含时间变量t,即
f
g
f (x, u) g(x, u)
该系统称为时不变系统
若向量f,g显含时间变量t,即
f
g
f (x, u, t) g(x, u, t)
该系统称为时变系统
x t ,K , x t 为坐
1
n
标轴构成的 n 维空间。
(5)状态方程：描述系统状态与输入之间关系
的、一阶微分方程（组）：x&(t) Ax(t) Bu(t)
(6) 输出方程：描述系统输出与状态、输入之间关
系的数学表达式： y(t) Cx(t) Du(t)
(7)状态空间表达式： (5)+ (6). 状态变量的特点： (1)独立性：状态变量之间线性独立. (2)多样性：状态变量的选取并不唯一，实
4/18,17/50
写成矩阵形式： x1
x2
0
0
xn1 xn
0
a0
1 0 0 1
0 0 a1 a2
0 0
x1 x2
0 0
1 an
1
xn1
xn
u 0 1
y b0 a0bn
b1 a1bn
bn2 an2bn
x1
x2
bn1 an1bn bnu
5/18,18/50
结论2 给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,其对应的状态空
uc
R2C
duc dt
R1iL
R1C
duc dt
L diL dt
L diL dt
二维线性规划的图解法
八、线性规划的基本定理
4、如果一个线性规划问题存在可行解，则一 定有基本可行解。 5、若线性规划问题存在最优解，则一定存在 最优基本可行解。 6、若线性规划问题可行域有界，则最优解一 定在极点上取得到。 7、线性规划可行域的极点的个数是有限的。
九、线性规划理论的小结
1. 一般意义上说： （1）如果线性规划问题有可行解，则一定有 基本可行解。 （2）线性规划问题如果有最优解，则最优解 一定可以从基本可行解中找得到。 （3）由于基本可行解的个数有限，所以经过 有限次迭代，就一定能找到最优解。
五、二维线性规划问题解的小结
无可行解 线性规划问题 有可行解 唯一最优解 无穷最优解 无界最优解 Return
第二部分 线性规划的基本理论
一、线性规划解的概念
1、解：满足线性规划主约束条件的点，称为线性 规划问题的解。 2、可行解：满足线性规划所有约束条件的点，称 为线性规划问题的可行解。 3、最优解：使目标函数得到极值的可行解，称为 线性规划问题的最优解。最优解包括：唯一最优 解和无穷最优解，有界最优解和无界最优解。
线性规划问题可行域中的每一个极点都 对应着一个基本可行解。 （2）由于最优解必定要从基本可行解中寻找， 所以所谓求解线性规划问题，实际上就是比 较极点处的目标函数值的大小。 （3）极点的个数是有限的，那么只要经过有 限次寻找就一定能够找到最优解。 Return
三、基本解、基本可行解与可行基
1、基本解 假设B为线性规划问题的基，对约束系 数矩阵A、目标函数系数向量C、决策向量X X 进行分块处理，则有： ( B , N )( X ) = b 。
B N
因此得： X B = B−1b − B−1NXN 。令非基变量的取 值等于零，则得： X B = B −1b 。一般称：
傅立叶光学第二章总结
第二章 二维线性系统第二章内容为傅里叶光学课程的理论基础。
主要介绍了线性系统理论，在一定条件下光学系统可看作线性系统，利用线性系统的叠加性质，可先将复杂的输入信号分解为若干个基本信号，求出每个基本信号的响应，再将所有响应进行线性组合即得到原信号经光学系统的响应。
在选取δ函数为基元函数时的响应就是系统的脉冲响应。
对于线性不变系统，系统的输出就是输入函数与系统脉冲响应的卷积。
也可选取复指数函数作为基元函数，这样的分解就是傅里叶分解。
脉冲响应的傅里叶变换称为系统的传递函数或频率响应。
常用基元函数：δ函数、阶跃函数、余弦函数、复指数函数。
δ函数常用于描述点光源；复指数函数常用于描述平行光。
○1以δ函数为基元函数时：在空间域讨论问题 脉冲分解：()()(),,,d d f x y f x y ξηδξηξη∞=--⎰⎰定义系统脉冲响应 ()(){},;,,h x y L x y ξηδξη=--对于空间不变的线性系统，脉冲响应()(),;,=;h x y h x y ξηξη--()()()(),,,d d (,),g x y f h x y f x y h x y ξηξηξη∞=--=*⎰⎰所以对于线性不变系统，系统的输出就是输入函数与系统脉冲响应的卷积。
○2以复指数函数作为基元函数时：在频率域计算 将()()(),,,g x y f x y h x y =*转换为频率域关系得()()(),,,x y x y x y G f f F f f H f f = 定义系统传递函数：()(){},,x y H f f h x y =传递函数描述了系统在频率域的特性。
线性不变系统的作用：。
二维线性系统
H(fx,fy)的模称振幅传递函数. H(fx,fy)的复角称相位传递函数. 的模称振幅传递函数 振幅传递函数. 的复角称相位传递函数 相位传递函数.
2.2. 3. 二维线性不变系统的本征函数: 二维线性不变系统的本征函数 本征函数
若ℜ{f(x ,y)}=a f(x ,y), 式中a为复常数，则称 ,y) 为算 , 式中a为复常数，则称f(x }表征的系统的本征函数 表征的系统的本征函数。 符ℜ{ }表征的系统的本征函数。 系统的本征函数是一特定的输入函数， 系统的本征函数是一特定的输入函数，输入输出之间仅差 别一个复常数，复指数基元就是线性空不变系统的本征函数。 别一个复常数，复指数基元就是线性空不变系统的本征函数。
叠加积分 一般写成
)
∫
∞
−∞
f (ξ 2 , η 2 )h ( x 2 − ξ 2 , y 2 − η 2 ) d ξ 2 d η 2
= f ( x2 , y2 ) ∗ h( x2 , y2 )
g(x, y) = f (x, y) ∗ h(x, y)
线性空不变系统
2.2. 2. 二维线性不变系统的传递函数: 二维线性不变系统的传递函数 传递函数
F( f x , f y ) = ∫
逆变换: 逆变换
若输入空间域函数f(x,y)，其付里变换为: ，其付里变换为 若输入空间域函数
∫ f ( x, , y) = ∫ ∫
∞
∞
−∞ −∞ ∞ ∞
f ( x, y) exp − j2π ( f x x + f y y) dxdy
[
−∞ −∞
F( f x , f y )exp j2π ( f x x + f y
[
] y)]df df
第03讲二维线性不变系统
f f H f rect rect 4 2
计算计算方法，首先求出输入函数的频谱，再用图解找出输出函数 的频谱，最后用反变换计算出系统的输出。
不变线性系统图解法（2）
输入函数的频谱为
1 x x F g x F com b rect * x 2 2 50 1 x x F com b rect F x 2 50 2 1 x x 2 F com b * F rect sinc f 2 50 2 2 f * 50 sinc50 f sinc2 f com b 2 f n * 50 sinc50 f sinc2 f n 25 f * sinc50 f sinc2 f 2
F f x , f y f x, y exp j f x x f y y d xdy
同时输出函数和脉冲响应函数的傅里叶变换分别为
G f x , f y g x, y exp j f x x f y y d xdy
空间频率的两种意义
空间频率类似于时域函数的时间频率，时间倒数称作频率，长度倒数 称作空间频率，即在单位长度内周期函数变化的周数（单位为：周 /mm，线对/mm，L/mm，等 ） 信息光学中有两种空间频率，一种是对二维图象进行频谱分析得到的 图象频谱对应的空间频率，这是一种空间强度分布，单位为：周/mm， 线对/mm，L/mm，等，其大小是没有限制的，可以是无穷大 另一种是对电磁波场进行频谱分析得到的平面波对应的空间频率，因 为电磁波在均匀介质中波长是常数，在其传播方向上空间频率是不变 的。因而其对应在三维空间坐标上的每个方向的空间频率（单位为： 光波数/mm ）表示出的意义实际上是电磁波的传播方向，或其传播方 向与坐标轴的夹角，而且大小受到光波长的限制，最大是波长的倒数。 下章再详细讲这两者区别
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对于给定的系统和输入, F (fx,fy) 和H (fx,fy) 较容易求出, 因此容易由输出的频谱推算出系统的输出, 可避免冗 繁的卷积积分求输出的运算. 例: P63, 2.5(3) 已知线性不变系统的脉冲响应为 h(x) = 7sinc(7x) 试用频域方法对下列每一个输入fi(x) ,求其输出 gi(x) （必要时，可做合理近似） (3) f3(x) =[1+cos(8px)]rect(x/75)
第二章 二维线性系统
主讲教师：刘 毅
太原理工大学物理与光电工程学院
本章主要内容
一．线性系统
二．线性不变系统 三．抽样定理
第一节 线性系统
1、系统的数学表示
g x, y L f x, y
用算符 L 描述系统的作用！
第一节 线性系统
2、线性系统的定义
若对于任意两个输入函数f1和f2
第一节 线性系统
举例：选取基元函数为脉冲函数 (函数) 根据脉冲函数的筛选性质，可将任意函数分解为：
f x, y
f(x) f( ) f() .......................................... x
f , x , y d d
任意函数都可以看作xy平面上不同位置处的很多 函数的线性组合，而每一个位于(,)坐标的函数 的权重因子就是函数在该点的数值f(,)。这种分 解方法称为脉冲分解。 于是系统的输出为：
一维函数的脉冲分解
g x, y L f x, y L f , x , y d d 由于系统是线性的，系统算符 L 可以写进积分号内(与积分算符交换顺序)，直 接作用到各个基元函数上：
g1 x, y L f1 x, y
g2 x, y L f2 x, y
对于任意复数常数a1和a2，均有如下关系成立：
L a1 f1 x, y a2 f2 x, y L a1 f1 x, y L a2 f2 x, y
g x, y
f , L x , y d d
第一节 线性系统
若令
f , L x , y d d h x, y; , L x , y
g x, y
第二节 线性不变系统
对于线性不变系统，系统的作用可以用统一的一个脉冲响应函数来表征，系 统的分析得到简化！ 叠加积分：
g x, y
f , h x, y; , d d
h x, y; , h x , y
卷积积分：
分 解
L ai fi x, y ai gi x, y
合 成
一系列的“基元函数”的和
对应的“基元函数”响应的和
f x, y ai fi x, y
i 1
m
a g x, y g x , y
i 1 i i
m
常用的基元函数有函数、阶跃函数、余弦函数、复指数函数等
a1L f1 x, y a2L f 2 x, y a1 g1 x, y a2 g 2 x, y
则表明该系统是线性系统！
均匀性、叠加性
第一节 线性系统
图例：线性系统的叠加性质
第一节 线性系统
3、基元函数的系统响应 （系统是一个线性系统）
第二节 线性不变系统
二、 线性不变系统的传递函数
脉冲响应 点扩散函数
g x, y f x, y h x, y
卷积定理
G fx , f y H fx , f y F fx , f y
G f x , f y = F g x, y
2）线性不变系统的定义
若
L t h t
若输入脉冲延迟时间，其相应h仅仅有相应的时间延迟，而函数形式不变， 这样的系统称为时不变系统。 若
L x , y h x, y; , h x , y
一个空间脉冲在输入平面位移，线性系统的响应函数形式不变，只是产生 了相应位移，这样的系统称为空间不变系统或位移不变系统。
它表示系统输出平面(x,y)点对应于输入平面坐标(,)点的函数响应，称为 系统的脉冲响应。
系统输出：
g x, y
f , h x, y; , d d
上式描述了线性系统输入和输出的关系，称其为“叠加积分”；
只要知道系统对位于输入平面上所有可能点的脉冲响应，就可以通过叠加积 分完全确定系统的输出；
g x, y
f , h x , y d d
f x, y h x, y
第二节 线性不变系统
空不变(二维)系统 : 等晕成像系统
(x,y)
h(x,y)
(x- ; y-)
( ;)
晕斑 y
x x
y
光学成像系统在等晕区内是空间不变的.
若系统输入和输出满足上述叠加积分关系，该系统必然是线性系统。
第二节 线性不变系统
一、线性不变系统——线性系统的一个子类
根据“叠加积分”原理，只要知道系统对位于输入平面上所有可能点的 脉冲响应，就可以通过叠加积 分完全确定系统的输出。但是，要得到输 入平面上所有可能位置上的脉冲响应是非常困难的，甚至是不可能的。
H f x , f y = F h x, y
F fx , f y
F f x, y
输出频谱 从空间域入手计算系统的输出频率ຫໍສະໝຸດ 应输入频谱传递函数
从频率域入手计算系统的输出
* 传递函数定义为系统脉冲响应的傅里叶变换.
第二节 线性不变系统
二、 线性不变系统的传递函数