现代控制理论第2章l
现代控制理论-绪论 PPT课件
控制系统的状态空间描述
系统数学描述的两种基本类型
系统是指由一些相互制约的部分所构成的整体，它可能 是一个由反馈闭合的整体，也可能是某一控制装置或受控对 象。
本章中所研究的系统均假定具有若干输入端和输出端，如图所示。图 中方块以外的部分为系统环境，环境对系统的作用为系统输入，系统对环 境的作用为系统输出，二者分别用向量 u = [u1, u2, …, up]T 和 y = [y1, y2, …, yq]T 表示，它们均为系统的外部变量。描述系统内部每个时刻所处状况的 变量为系统的内部变量，以向量 x = [x1, x2, …, xn]T 表示。
)
控制（输入）向量
y1(t)
y
(t
)
y2
(t
)
ym
(t
)
输出（量测）向量
f1(x1, x2
f
(
x,
u,
t
)
f
2
(
x1
,
x2
fn (x1, x2
, xn , u1, u2 , xn , u1, u2
, xn , u1, u2
,ur ,t)
控制变量 u1 , u2 ,, ur
状态变量 输出变量
x1 , x2 ,, xn 通常并不要求必须是可测量的 y1 , y2 ,, ym 可以直接测量的，又称为量测变量
26
DgXu 中南大学信息学院自动化系
系统的动力学特性一般可用一组一阶微分方程来描述
动态特性 xi (t) fi (x1, x2 , , xn;u1,u2, ur ;t) i 1, 2, , n
现代控制理论课件2
38
二、从系统的机理出发建立状态空间表达式
例1、求图示机械系统的状态空间表达式
外力 u(t)
K ---弹性系数 m
牛顿力学定律 my u by ky
阻 尼 系 数
y(t) b
位移 令
b u(t ) ky m y y
x1 y
x2 y
39
动态方程如下
x1 x2
x1 y 1 0 x2
41
例：设有如图所示的机 械系统。它由两个彼 此耦合的平台构成。 并借助于弹簧和阻尼 到达地基。试选择合 适的状态变量，写出 该系统的状态空间模 型。
42
解答：依题意，进行受力分析，可得如下的微分方程：
M1y1 = u -k1 (y1 - y 2 )-f1 (y1 - y 2 ) M2y 2 = k1 (y1 - y 2 ) + f1 (y1 - y 2 )-k 2y 2 -f 2y 2
其中： a11 a12 a1n a a22 a2 n 21 A — 系统内部状态的联系， an1 an 2 ann
18
称为系统矩阵 , 为n n方阵；
多输入——多输出定常系统： 用向量矩阵表示时的状态空间表达式为：
Ax Bu x y Cx Du
其状态变量为： x1 , x2 ,, xn , 则状态方程的一般形式 为：
1 a11x1 a12 x2 a1n xn b11u1 b12u2 b1r ur x 2 a21x1 a22 x2 a2 n xn b21u1 b22u2 b2 r ur x n an1 x1 an 2 x2 ann xn bn1u1 bn 2u2 bnr ur x
《现代控制理论》课后习题全部答案(最完整打印版)
第一章习题答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
11K s K K p +sK s K p 1+s J 11sK n 22s J K b -++-+-)(s θ)(s U 图1-27系统方块结构图解：系统的模拟结构图如下：)(s U )(s θ---+++图1-30双输入--双输出系统模拟结构图1K pK K 1pK K 1+++pK n K ⎰⎰⎰11J ⎰2J K b ⎰⎰-1x 2x 3x 4x 5x 6x系统的状态方程如下：u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x pp p p n p b1611166131534615141313322211+--=+-==++--===∙∙∙∙∙∙阿令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∙∙∙∙∙∙654321165432111111112654321000001000000000000010010000000000010x x x x x x y uK K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p pp npb1-2有电路如图1-28所示。
以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
R1L1R2L2CU---------Uc---------i1i2图1-28 电路图解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =有电路原理可知：∙∙∙+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=∙∙∙写成矢量矩阵形式为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡32121321222111321000*********x x x R y u L x x x CCL L R L L R x x x 。
《现代控制理论》第三版 第二章.习题答案
2－7. 证明 2－3 中，状态方程的解： 1. 即当u(t ) K (t )，x(0 ) x0时
x(t ) e At x0 e At BK , 式中K 与u(t )同维的常数矢量。
x e x0 e A( t ) BK ( )d
At 0 t
e x0 e A( t ) ( )d BK
得 1 0; 2 1.
1 0 据 1 I A P P 1 1 0 1 0
得到 P 1 0 1 ；
T
0 0 P2 0 得 到 根 据 2 I A P2 1 1
1 0 1 1 1 于是T ， P2 ， T 1 1 1 1 于是 T 1 0 e 1 G (T ) e AT T T T T e 1 0 e t T T e 0 K At H (T ) e dtB dt 0 0 1 et 1 0 1 0
1
e At 0 (t ) I 1 (t ) A
1 2cos 2t 2 4sin 2t
sin 2t 2cos 2t
1 1 （2） A 4 1
1 22 1 33 A t A t 2! 3! 直接法： 7 3 t 2 13 3 2 1 5 , t t t t t 2! 6 6 2 28 3 t 13 3 2 4 4 , 1 5 t t t t t 6 2! 6 e At I At
y 2 x1 x2
1 1 0 x1 K x x 2 1 0 x2 0 即 x1 y 2 1 x2 0 u1 u 1 2
现代控制理论 2-0
∫
t
0
e − Aτ f (τ )dτ =
e [ x(0) + ∫ e
At 0 At
t
− Aτ
f (τ )dτ ] + ∫ e A( t −τ ) Bu (τ )dτ
t1 − Aτ
当t = t1时，有 x(t1 ) = e [ x(0) + ∫ e
0
f (τ )dτ ] + ∫ e A( t −τ ) Bu (τ )dτ
λ − 1 0 det[λI − A] = det = (λ − 1)(λ + 3) = 0 λ + 3 2 λ1 = 1, λ2 = −3 0 0 rank [λ1 I − AMb] = rank 2 4 − 4 rank [λ2 I − AMb] = rank 0 系统能控。 1 =2 1 0 1 =2 0 1
0
t1
∫
t1
0
e − Aτ f (τ )dτ为一个确定的值，仅仅相当于把系统
原来的初态改变了一确定的常值。所以在讨论系统 的能控性时，不考虑系统存在的确定性干扰。
第二章 系统的可观性和可控性
(三)能控性判据
判据一： 判据一：若系统能控，则能控性矩阵
Qc = [B AB A 2 B ... A n −1 B ] 满秩，即
第二章 系统的可观性和可控性
现代控制理论基础
主讲人: 主讲人:荣军 mail:rj1219 163. 1219@ E-mail:rj1219@
第二章 系统的可观性和可控性
2-1 能能控性及其判据
－、线性定常系统的能观测性及其判据 －、线性定常系统的能观测性及其判据
线性定常系统状态方程为 x = Ax + Bu 其中x、u分别为n、 r维向量，A、B为满足矩阵运算的常值矩阵。若给定系统的 一个初始状态x0和任一状态x1,如果在的有限时刻tf>0,定义在 时间区间[0，tf]的输入u（t）使状态x(0)＝x0转移到x(tf)＝ x1 ，则称系统状态完全是能控的； 如果系统对任意一个初始状态都能控，则称系统是状态完全 能控的，简称系统是状态能控的或系统是能控的。
现代控制理论课后习题答案
现代控制理论课后习题答案第⼀章习题1.2求下列多项式矩阵()s D 和()s N 的两个不同的gcrd:()2223(),()1232s s s s s s s s s ??++== ? ?+-??D N 解：()()22232321s s s s s s s++ =++ ? ?D S N S ； ()3r 2,1,2E -：223381s s s s s s ??++ ?-- ? ???；()3r 2,3,3E ：223051s s s s s ??++ ?- ? ???；()3r 1,3,2E s --：01051s s ?? ?- ? ；()3r 2,1,5E s -：01001s ?? ?；()3r 3,1,1E -：01000s ?? ? ? ???；()1r 2,3E ：01000s ?? ? ? ???；()1r 1,2E ：00100s ?? ?；所以⼀个gcrd 为001s ??；取任⼀单模矩阵预制相乘即可得另⼀个gcrd 。
1.9 求转移矩阵t A e (1)已知1141??=A ，根据拉⽒反变换求解转移矩阵tA e 。
(2) 已知412102113-?? ?= ? ?-??A ，根据C-H 有限项展开法求解转移矩阵t A e 。
解：(1)11()41s s s --??-= ?--??I A1110.50.50.250.2511(3)(1)(3)(1)13131()4141110.50.5(3)(1)(3)(1)(3)(1)3131s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s --+---+-+??-+-+ ? ?-=== ? ?---+ ?-+ ? ?-+-+-+-+?I A 3311330.5e 0.5e 0.25e 0.25e e ()e e 0.5e 0.5e t t t t t t tt t s ------??+-??=-= ??? ?-+?A L I A (2)由2412()12(1)(3)0113λλλλλλ--?? ?=--=--= ? ?--??A I -，得1,233,1λλ== 对1,23λ=，可以计算1,2()2rank λ=A I -，所以该特征值的⼏何重数为1。
现代控制理论第二章
= α n −1 (t ) An −1 + α n − 2 (t ) An − 2 + ⋯ + α1 (t ) A + α 0 (t ) I
【例2-5】见板书
（3）α i (t )的计算公式 A的特征值互异时 α 0 (t ) 1 λ1 α1 (t ) 1 λ2 ⋮ = ⋮ ⋮ α (t ) 1 λ n −1 n
λ λ λ
பைடு நூலகம்
2 1 2 2
⋮
2 n
⋯ λ e λ1t λ2 t ⋯ λ e ⋮ ⋮ λn t n −1 ⋯ λn e
At
2.变换A为约旦标准型 （1）A特征根互异 Λ = T −1 AT 有
例2-2 ，同例2-1
e At = Te ΛtT −1
（2）A特征值有重根
J = T AT e At = Te JtT −1
0 1 0 [例2 - 3]已知A = 0 0 1 , 求e At 2 - 5 4
若
σ ω A= −ω σ
则
cos ωt sin ωt σt e = Φ(t ) = e − sin ωt cos ωt
At
2.2.4 计算
1.根据 e At 或 Φ (t ) 的定义直接计算
1 2 2 1 33 1 n n e = I + At + A t + A t ⋯ A t + ⋯ 2! 3! k! 1 0 [例2 - 1]已知A = , 求e At − 2 − 3
现代控制理论1-8三习题库
13.若矩阵A的n个特征值互异，则可通过线性变换将其化为 角阵，雅可比阵）。
14.状态变量是确定系统状态的（最小，最大）一组变量。
15.以所选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交（线性，非线性）
空间，称之为_,（传递函数，状态空间）。
1.试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
自动控制领域的科学研究方法，已经由最早的经典控制中以输入输出模型为主，发展为
现今的现代控制中以状态空间模型为主。因而，“现代控制理论”是从事自动化专业必备的
知识。“现代控制理论”的教学目标是使学生牢固树立线性系统中状态空间的概念、进一步 理解系统稳定性这一控制学科最为重要的概念，掌握能控与能观、状态反馈与状态估计等核
重点内容：逆矩阵、线性无关与线性相关定义、非齐次方程求解、哈密顿定理、定号性 理论等。
系统的数学描述可分为哪两种类型
自然界存在两类系统：静态系统和动态系统，有何区别 现代控制理论研究的主要内容是什么
现代控制理论研究对象
现代控制理论所使用的数学工具有哪些 现代控制理论问题的解决方法是什么
第二章（单元）：
心方法。通过本课程学习，使学生做到各章概念融会贯通，解题方法灵活运用，分析解决实 际问题。从宏观角度把握课程的体系结构，建立起现代控制理论的基本框架。主要培养学生
以下三个方面的能力：
1、分析建模能力
根据系统的工作原理或实验数据，建立合理的数学模型。
2、认知和理解能力理解与Leabharlann 握能控性、能观测性与系统设计的关系，
合。这些信息对于确定系统（过去，未来）的行为是充分且必要
的。
10.如果系统状态空间表达式中矩阵A, B, C, D中所有元素均为实常数时，
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第2章 线性系统理论线性系统是实际系统的一类理想化模型，通常用线性的微分方程或差分方程描述。
其基本特征是满足叠加原理，可分为线性定常系统和线性时变系统。
现代控制理论中，采用状态变量法描述系统，它既能反映系统内部变化情况，又能考虑初始条件，也为多变量系统的分析、综合提供了强有力的工具。
2.1 基本概念输入：外部施加到系统上的全部激励。
输出：能从外部测量到的来自系统的信息。
状态变量：确定动力学系统状态的最小的一组变量。
状态向量：若n 个状态变量)(1t x ，)(2t x ，…，)(t x n 是向量)(t x 的各个分量，即)(t x 为状态向量。
状态空间：以各状态变量作为基底组成的n 维向量空间。
在特定的时间，状态向量)(t x 在状态空间中只是一个点。
状态轨迹：状态向量)(t x 在状态空间中随时间t 变化的轨迹。
连续时间系统：)(t x 的定义域为某时间域],[f 0t t 内一切实数。
离散时间系统：)(t x 的自变量时间t 只能取到某实数域内的离散值。
状态方程：描述系统状态变量与输入变量之间动态关系的一阶微分方程组或一阶差分方程组。
一般形式为 或式中 u ——输入向量；k ——采样时刻。
状态方程表征了系统由输入引起的内部状态的变化。
输出方程：描述输出变量与系统输入变量和状态变量间函数关系的代数方程，具有形式 它是一个代数变换过程。
状态空间表达式：状态方程与输出方程联立，构成对动态系统的完整描述，总称为系统的状态空间表达式，又称动态方程。
线性系统的状态空间表达式具有下列一般形式： 1）连续时间系统⎭⎬⎫+=+=)()()()()()()()()()(t t t t t t t t t t u D x C y u B x A x & （2–1）式中 A (t )——系统矩阵或状态矩阵，n ⨯n 矩阵；B (t )——控制矩阵或输入矩阵，n ⨯p 矩阵；C (t )——观测矩阵或输出矩阵，q ⨯n 矩阵；D (t )——输入输出矩阵，q ⨯p 矩阵； x ——状态向量，n 维； u ——控制作用，p 维； y ——系统输出，q 维。
2）离散时间系统⎭⎬⎫+=+=+)()()()()()()()()()1(d d k k k k k k k k k k u D x C y u H x G x （2–2）式中 G d (k )——系统矩阵或状态矩阵，n ⨯n 矩阵；H d (k )——控制矩阵或输入矩阵，n ⨯p 矩阵； C (k )——观测矩阵或输出矩阵，q ⨯n 矩阵； D (k )——输入输出矩阵，q ⨯p 矩阵； x ——状态向量，n 维； u ——控制作用，p 维； y ——系统输出，q 维； k ——采样时刻。
线性连续时间系统的动态结构图如图2–1所示。
图2–1 线性连续时间系统的动态结构图若矩阵A 、B 、C 、D 各元素都是常数，则称为线性定常系统，若是时间的函数则称为线性时变系统。
2.2 状态空间表达式的建立2.2.1 直接根据系统机理建立针对具体对象，应用相应的物理机理与物理定律，列写对象满足的物理方程。
选取状态变量与输出变量，将物理方程转化为状态空间表达式的标准形式，如式（2–1）或式（2–2）所示。
例2–1 若以电容端电压)(t u C 为输出，试求图2–2所示电路的状态空间表达式，其中L 为电感，C 为电容，R 为电阻，)(t i 为电感电流，)(t u 为输入电压。
图2–2 RLC 电路解 根据电路定律，列写图2–2对应的动态方程为⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==++⎰)(d )(1)()()(d )(d 0t u t t i C t u t u t Ri t t i LC tt C （2–3）对于该系统，若已知i (t )与)(t u C 的初始条件及其在0t t ≥后的输入)(t u ，则可确定该电路任何时刻的行为，并称i (t )与)(t u C 为该系统的状态，而每一个变量被称为该电路的状态变量。
另一方面，状态变量应是完整的、最小的。
完整是指系统所有的运动情况都能被表达出来，最小则指变量个数最少。
具体地，若再加一个变量时对完整确定电路运动状态没有必要，但若去掉一个变量时又不足以完整确定系统的全部运动情况。
由式（2–3）可得图2–2电路的状态方程为 将电容电压)(t u C 作为输出量时，状态空间表达式为 式中 [][]T T 21)()(t i t u x x C ==x ；[]01=C ； []T/10L =B ；⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=L R L C //1/10A 。
对该电路系统而言，其某一时刻的状态可用状态空间中一点表示，状态轨迹则表征了系统运动的行为，如图2–3所示。
图2–3 状态空间及其轨迹此外，该系统为单输入/单输出系统，称为单变量系统，若是多输入/多输出系统，则称为多变量系统。
状态变量的选取应视所研究问题的性质而定，从便于监测、控制的角度，尽量选能测量的物理量为状态变量，无特殊要求时，一个物理系统常选取独立储能元件的特征量为状态变量。
但是，状态变量选取并非惟一，所选状态变量不同时将导致不同的状态空间表达式，但两者之间存在一种线性变换关系。
例如，对上例若取)(1t u x C =，C t i x /)(2=，则状态空间表达式中各系数矩阵分别为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=L R LC110A ，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=LC 10B ，[]01=C 显然，两者的状态变量选取不同，导致系统方程也各异，但是系统状态变量的数目是惟一的，它等于系统微分方程的阶数（延迟元件除外）。
2.2.2 由微分方程求状态空间表达式1. 微分方程中不含有输入信号导数项当微分方程中不包含输入信号导数项时，系统具有如下一般形式：取系统状态变量y x =1，y x &=2，⋅⋅⋅，)1(-=n n y x ，则可推导得到如下关系：相应的状态空间表达式为2. 微分方程中含有输入信号的导数项 以三阶系统为例，其一般形式为u b u b u b u b y a y a y a y 01)2(2)3(301)2(2)3(+++=+++&& (2–4)为了消除控制输入作用u 的导数项，取状态变量为 且定义对上式变换得代入式（2–4），使等号两端u 的同次幂项系数相等，于是需要满足 整理上列各式，得将上述内容推广到n 阶系统：则，取状态变量u y x 01β-=，u x x 112β-=&，…，u x x n n n 11---=β&时，状态空间表达式系数矩阵具有下列形式：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=-121100001000010n a a a a ΛΛM M M MΛΛA ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-n n ββββ121M B ，[]0001Λ=C ，][0β=D式中 n b =0β；0111ββ---=n n a b ；110222βββ-----=n n n a a b ；1111000------=n n n a a a b ββββΛ。
2.2.3 根据传递函数列写状态空间表达式一个n 阶线性系统的传递函数具有如下一般形式：1110111)()(a s a s a s b s b s b s b s U s Y n n nn n n n ++++++++=----ΛΛ （2–5） 式中 Y (s )——系统输出函数)(t y 的拉普拉斯变换；U (s )——系统输入函数)(t u 的拉普拉斯变换；110,,,-n a a a Λ——常系数； n b b b ,,,10Λ——常系数。
将式（2–5）变换为令 则)()()()()(02211s s a s s a s s a s U s n n n εεεε---------=Λ （2–6）())()()()()()(0)1(1110)1(111s s b s sb s s b s b s b s b s b b s s Y nn n n n n n n εεεεε----------++++=++++=ΛΛ （2–7）状态变量取为)(1s s x n ε-=，···，)(1s s x n ε-= 则整理上列各式，得状态空间表达式的各系数矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=-12110000100001n a a a a ΛΛM M M MΛΛA ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000M B ，][n b =D 2.3 线性变换2.3.1 等价系统方程1. 线性定常系统的等价变换 设以某状态向量x 为基底的系统方程为⎭⎬⎫+=+=Du Cx y Bu Ax x& （2–8）引入非奇异变换阵矩P ，对基底x 进行如下线性变换 则原系统方程被变换为 令1-=PAP A ，PB B =，1-=CP C ，D D =则基底变换后原系统的等价系统方程为⎭⎬⎫+=+=u D x C y u B x A x& （2–9）2. 线性时变系统的等价变换 设有一线性时变系统⎭⎬⎫+=+=u D x C y u B x A x)()()()(t t t t & （2–10）引入n n ⨯时变的变换矩阵P (t )，P (t )对所有t 都非奇异且连续可微，则存在线性变换 使 令)()]()()([)(1t t t t t -+=ΡA P P A &，)()()(t t t B P B =，)()()(1t t t -=P C C ，)()(t t D D =于是，原线性时变系统的等价状态空间表达式为⎭⎬⎫+=+=u D x C y u B x A x )()()()(t t t t & （2–11）由于P (t )非奇异，故系统方程之间的等价变换是可逆的。
2.3.2 线性变换的基本特性1. 不改变系统的特征值定义i λ为矩阵A 和系统的特征值，则 为A 或系统的特征方程，其特征多项式为将1-=PAP A 代入上述特征多项式，可求得经过线性变换后A 的特征多项式为可见，线性变换前后系统具有同样的特征多项式，线性变换不改变系统的特征值。
对于线性定常系统，特征值也是系统传递函数的极点，是描述系统动力学特性的一个重要参量。
2. 不改变系统的传递函数矩阵在零初始条件0)(0=t x 下，若线性定常系统的输入与输出拉普拉斯变换式满足式中 Y (s )——系统输出)(t y 的拉普拉斯变换；U (s )——系统输入)(t u 的拉普拉斯变换。
则称)(p s G 为该系统的传递函数矩阵，其与状态空间表达式系数矩阵的关系为将线性变换后的系数矩阵1-=PAP A 、PB B =、1-=CP C 与D D =代入，则可以证明线性变换不改变系统的传递函数矩阵。