(完整word版)现代控制理论习题解答(第二章)
现代控制理论习题解答(第二章)
第二章 状态空间表达式的解3-2-1 试求下列矩阵A 对应的状态转移矩阵φ（t ）。
（1） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2010A （2） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0410A （3） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2110A （4） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=452100010A（5）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0000100001000010A （6）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλ000100010000A 【解】：（1）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-=Φ-----)2(10)2(11}201{])[()(11111s s s s L s s L A sI L t ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++-=---t t e e s s s s L 22105.05.01)2(10)2(5.05.01（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=Φ-----t t t t s s s s s sL s s L A sI L t 2cos 2sin 22sin 5.02cos 444414}41{])[()(222211111 （3）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++-+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-=Φ-----222211111)1()1(1)1(1)1(2}211{])[()(s s s s s s L s s L A sI L t ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--+=Φ------t t tt tt te e te te e te t )(（4）特征值为：2,1321===λλλ。
由习题3-1-7(3)得将A 阵化成约当标准型的变换阵P 为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=421211101P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-1211321201P 线性变换后的系统矩阵为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==-200010011~1AP P A⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=t t t t tA e e te e e2~0000 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡===Φ-1211321200000421211101)(21~t t t ttA At e te e eP Pe e t ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--++-----++-----++--=Φt t t tt t t t t t t t t t t tt t t t t t t t tt e te e e te e e te e e te e e te e e te e e te e e te e te e t 34838424225342222322)(222222222 （5）为结构四重根的约旦标准型。
《现代控制理论》课后习题全部答案(最完整打印版)
第一章习题答案1-1试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
解：系统的模拟结构图如下：系统的状态方程如下：阿令，则所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为状态变量的状态方程，和以电阻上的电压作为输出量的输出方程。
解：由图，令，输出量有电路原理可知：既得写成矢量矩阵形式为：1-3参考例子1-3（P19）.1-4两输入，，两输出，的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。
解：系统的状态空间表达式如下所示：1-5系统的动态特性由下列微分方程描述列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。
解：令，则有相应的模拟结构图如下：1-6（2）已知系统传递函数,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图解：1-7给定下列状态空间表达式（1）画出其模拟结构图（2）求系统的传递函数解：（2）1-8求下列矩阵的特征矢量（3）解：A的特征方程解之得：当时，解得：令得（或令，得）当时，解得：令得（或令，得）当时，解得：令得1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）（2）解：A的特征方程当时，解之得令得当时，解之得令得当时，解之得令得约旦标准型1-10已知两系统的传递函数分别为W1(s)和W2(s)试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果解：（1）串联联结（2）并联联结1-11（第3版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解：1-11（第2版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解：1-12已知差分方程为试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u的系数b(即控制列阵)为（1）解法1：解法2：求T,使得得所以所以，状态空间表达式为第二章习题答案2-4用三种方法计算以下矩阵指数函数。
（2）A=解：第一种方法：令则，即。
求解得到，当时，特征矢量由，得即，可令当时，特征矢量由，得即，可令则，第二种方法，即拉氏反变换法：第三种方法，即凯莱—哈密顿定理由第一种方法可知，2-5下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的A阵。
《现代控制理论》第三版 第二章.习题答案
2－7. 证明 2－3 中，状态方程的解： 1. 即当u(t ) K (t )，x(0 ) x0时
x(t ) e At x0 e At BK , 式中K 与u(t )同维的常数矢量。
x e x0 e A( t ) BK ( )d
At 0 t
e x0 e A( t ) ( )d BK
得 1 0; 2 1.
1 0 据 1 I A P P 1 1 0 1 0
得到 P 1 0 1 ；
T
0 0 P2 0 得 到 根 据 2 I A P2 1 1
1 0 1 1 1 于是T ， P2 ， T 1 1 1 1 于是 T 1 0 e 1 G (T ) e AT T T T T e 1 0 e t T T e 0 K At H (T ) e dtB dt 0 0 1 et 1 0 1 0
1
e At 0 (t ) I 1 (t ) A
1 2cos 2t 2 4sin 2t
sin 2t 2cos 2t
1 1 （2） A 4 1
1 22 1 33 A t A t 2! 3! 直接法： 7 3 t 2 13 3 2 1 5 , t t t t t 2! 6 6 2 28 3 t 13 3 2 4 4 , 1 5 t t t t t 6 2! 6 e At I At
y 2 x1 x2
1 1 0 x1 K x x 2 1 0 x2 0 即 x1 y 2 1 x2 0 u1 u 1 2
现代控制理论第三版刘豹著第二章答案
2-4. 用三种方法计算以下矩阵指数函数Ate（1）0140A -⎛⎫= ⎪⎝⎭ （2）1141A ⎛⎫= ⎪⎝⎭解：（1）①约旦标准型特征方程为：21||404I A λλλλ⎛⎫-==+= ⎪-⎝⎭，求得 122,2i i λλ==-求得变换矩阵： 1122T i i ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，12124i T i -⎛⎫= ⎪-⎝⎭于是：2122222222222001120122240111122441122itAtit it it it it it it it itit it e e T T e i e i i i e e e ie ie ie ie e e -------⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫+- ⎪= ⎪ ⎪-++⎪⎝⎭②拉氏反变换法()11222221411441444441111224422221111222222s SI A s s s s ss s s s s i s i s i s i s i i s i s i s i s i --⎛⎫-= ⎪-⎝⎭-⎛⎫= ⎪+⎝⎭-⎛⎫ ⎪++= ⎪⎪ ⎪++⎝⎭⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪++ ⎪⎪+-+- ⎪ ⎪=⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪-+ ⎪ ⎪+-+-⎝⎭⎝⎭于是：()2222112222111122441122it itit it At it itit it e e ie ie e L SI A ie ie e e ------⎛⎫+- ⎪⎡⎤=-=⎪⎣⎦ ⎪-++ ⎪⎝⎭③凯莱哈密顿定理特征方程为：21||404I A λλλλ⎛⎫-==+= ⎪-⎝⎭，求得 122,2i i λλ==-。
根据定理有：121122012212222211222111242214t it it t it it it it it it i e e e i i i e e e e e ie ie λλαλαλ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫+= ⎪-+⎝⎭所以()()()()012222222222220111224044111122441122At it it it it it it it it it itit it e t I t Ae e I ie ie e e ie ie ie ie e e αα------=+-⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭⎛⎫+- ⎪= ⎪⎪-++ ⎪⎝⎭ （2）①约旦标准型特征方程为：11||(1)(3)041I A λλλλλ--⎛⎫-==+-= ⎪--⎝⎭，求得 121,3λλ=-=在求得变换矩阵：111211,22214T T --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭于是：133333300112101222140111122441122tAtt t t t tt t t tt t e e T T e e e e e e e e e e e -------⎛⎫= ⎪⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫+-+ ⎪= ⎪⎪-++ ⎪⎝⎭②拉氏反变换法()11114111141(1)(3)1111224413131111221313s SI A s s s s s s s s s s s s s ----⎛⎫-= ⎪--⎝⎭-⎛⎫= ⎪-+-⎝⎭⎛⎫- ⎪++ ⎪+-+-⎪=⎪ ⎪-++ ⎪+-+-⎝⎭于是：()331133111122441122t tt t At t tt t e e e e e L SI A e e e e ------⎛⎫+-+ ⎪⎡⎤=-=⎪⎣⎦ ⎪-++ ⎪⎝⎭③凯莱哈密顿定理首先求得特征值 121,3λλ=-= 于是12110133123311131111311431441144t t t t t t t t t t e e e e e e e e e e λλαλαλ-------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪= ⎪⎪-+ ⎪⎝⎭所以：()()01333333113111414444111122441122At t t t t t tt t t tt t e t I t Ae e I e e e e e e e e e e αα------=+⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+-+ ⎪= ⎪⎪-++ ⎪⎝⎭2-6．求下列状态空间表达式的解：010001x x u ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()10y x =初始状态()101x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，输入()u t 是单位阶跃函数。
现代控制理论 王金城 第二章答案
第2章习题参考答案：2-1 （1）①⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--t t t3200e e eA ， ②待定系数法122303231123213t t t t t t e e e e e e αα--------⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦201300t At t ee (t )I (t )A e αα--⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦（2）①约当标准形：2220tt At t e te e e ---⎡⎤=⎢⎥⎣⎦②122111221020t t At t s e te e L (sI A )L s e -------+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦+⎣⎦⎣⎦（3）①约当标准形：233300000t Att t t e e e te e ----⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦②1211133320000031000300t At tt t s e e L (sI A )L s e te s e --------⎡⎤+⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=-=+-=⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦（4）①21201001Att t e t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦②222121012001Att t e I At A t .....t !⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦2-2（1）113141I A ()()λλλλλ---==-+--1231,λλ==-313031131344111144t t tt t t e e e e e e αα----⎡⎤+⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦330133111122441122t tt t At t t t t e e e e e (t )(t )A e e e e αα----⎡⎤+-⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦（2）1011236116I A ()()()λλλλλλλ--=-=++++123123,,λλλ=-=-=-2310223132231662211111245832139122t t t tt t t t t t t t(e e e )(t )e (t )e (e e e )(t )e (e e e )ααα-------------⎡⎤--+-⎢⎥⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=--+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥--+-⎢⎥⎣⎦⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+-+--+--+--+-+-+-+-=---------t t t tt t t t t t t t t t t t t t t t t t t t tt t t3-2-3-2-3-2-3-2-3-2-3-2--3-2-3-2-3-2 4.540.513.5162.59123 1.520.54.582.53630.50.51.542.533e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e A 2-3 ①211012I A ()λλλλ--==+=+ 121λλ==-11010111P λ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ 11011P -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 11101A P AP --⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦ ②Laplace 变换法：1111112t t t At tt t s te e te e L (sI A )L s te e te -----------⎡⎤+⎡⎤⎡⎤=-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦+--⎣⎦⎣⎦③待定系数法：1011101t t t t t(t )e e te (t )te te αα-------⎡⎤⎡⎤+⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦01Ate (t )(t )A αα=+=t t t t t t te e te tee te ------⎡⎤+⎢⎥--⎣⎦ 2-4（1）1000001010()I ⎡⎤⎢⎥Φ=≠⎢⎥⎢⎥-⎣⎦∴不满足条件; (2)10001()⎡⎤Φ=⎢⎥⎣⎦ ∴满足条件11(0)41A ⎡⎤=Φ=⎢⎥⎣⎦2-5 2211120t t (e )(t )e --⎡⎤-⎢⎥Φ=⎢⎥⎣⎦①自身性 10001()I ⎡⎤Φ==⎢⎥⎣⎦② 传递性1021102122211020221111112200(t t )(t t )(t t )(t t )(e (e (t t )(t t )(t t )e e --------⎡⎤⎡⎤---⎢⎥⎢⎥Φ-⋅Φ-=⋅=Φ-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦③可逆性0000122100221111112200(t t )(t t )(t t )(t t )(e )(e (t t )(t t )e e ----------⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥Φ-=⋅=Φ-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1(t )(t )-Φ=Φ- ∴满足2-6 （1）000t A(t )⎡⎤=⎢⎥⎣⎦202000t tA()d ττ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰，141202100080000000t t d d τττττ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 42t t 1000(t,0)82010000⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥Φ=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ()t t t ⎡⎤++⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦241＋0，02801Φ （2）00t te A(t )e--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦0010010t t t e e d eeτττ----⎡⎤⎡⎤-=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎰ 1212121010100010t e e d d e eτττττττ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰ ∴⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++++++=-- 21＋00-00-021＋00，2--2tt tt t e e e e )(Φ 2-7 ∵1At 1111s 1cos 2t sin 2t e L (sI A )L 44s 2sin 2t cos 2t ----⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎡⎤=-==⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎣⎦∴1(t )(t )(0)-Φ=x x-1-2t -t 2t t 2t t 1-2t-t 2t t2t t 12e 2e e 2e 2e 2e (t )(t )(0)-1-1-e -e e e2e e ---------⎡⎤⎡⎤-+-+⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦Φ=x xt 2tt 2t t 0t 0t2tt 2t 42-2e -2e -2e -4e (t )13e -2e e -4e ----==-----⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦A =Φ2-8 e e e e ()e e e e t t t t ttt t t tt (t )(t )t -=-⎡⎤+-=-==⎢⎥+-+⎣⎦ΦΦΦ221222222 2-9 （1）AttA(t )0(t )e (0)e Bu()d τττ-+⎰x x =At 222100t 01011t 11I At A t t 010********!2⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++=+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦e 2t 0t 11t 01t (t )d 2110011t ττ⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦+⎢⎥⎣⎦⎰1t x =0（2）1t 2t t 2t At 111t 2tt 2t s 12e e e e e L (sI A )L 2s 32e 2e e 2e -------------⎡⎤--⎡⎤⎡⎤=-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦+-+-+⎣⎦⎣⎦At t A(t )0(t )e x(0)e Bu()d τττ-=+⎰x22154()2245tt t t e e x t e e ----⎡⎤+-⎢⎥=⎢⎥-+⎣⎦2-10 Att A(t )0(t )e x(0)e Bu()d τττ-=+⎰x1At 1111s 1cos 2t sin 2t e L (sI A )L 44s 2sin 2t cos 2t ----⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎡⎤=-==⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎣⎦∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t t t 22220.52cos sin sin cos )(x 2-11 121det(I A)(3)(1),1,334λλλλλλλ--==--==-∴11P 13⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1311P 112--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ ∴t 3tt 3t Att1t3tt 3t 3e e e e 1e Pe P 23e 3e e 3e Λ-⎡⎤--+==⎢⎥--+⎣⎦∵At(t )e (0)=x x ∴()t 3t At t 3t 0.5e 3.5e (0)e (t )0.5e 4.5e ⎡⎤+==⎢⎥+⎣⎦-1x x 2-1211i c U iR idt C U idtC=+=⎰⎰则 cc i dU RC U U dt+= 1,1R m C F μ=Ω=则()()()c c i U t U t U t +=()[1]c c i U t U U =-+[1][1][1]()At tA sI A s sI A s t e e -=-∴-=+-=+∴Φ==()()()()()01()0(1)0()010010--------=+=+⎡⎤=+-⎣⎦⎰⎰tAtA t c C i t t C t t tC u t e u e Bu d e u e d e u e e τττττ()323()0(3)(0)10()0(0)10(1)()10(1)------=+-=∴=-∴=-+⎰ c c c tt t c i u e u e e u e Vu t e e e u d τττ当t=0时，()c u t 10(1e)=- 当()tt(t )(t 1)c 00t 1,u t 10e (1e)10e|10(1e )---τ--<≤=-+=-当c t 1,u (t)0>=2-13 设()12x (kt )y(kt )x (kt )y k 1t =⎧⎪⎨=+⎡⎤⎪⎣⎦⎩∴ ()()()()12221x k 1T y k 1T x (kT )x k 1T y k 2T u(kT )0.5x (kT )0.1x (kT )⎧+=+=⎡⎤⎡⎤⎪⎣⎦⎣⎦⎨+=+=--⎡⎤⎡⎤⎪⎣⎦⎣⎦⎩ ∴状态空间表达式为：()010x k 1T x(kT )u(kT )0.10.51⎡⎤⎡⎤+=+⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦--⎣⎦⎣⎦()[]y k 1T 10x(kT )+=⎡⎤⎣⎦若初始值y(0)=1,y(T)=0逆推y(2T)+0.5y(T)+0.1y(0)=1∴y(2T)=0.9,y(3T)=0.55,y(4T)=0.635()()()()()()()()()()(0)=+-+-+-+-+-+-+-+-+-y kT δt δt T δt T δt T δt T δt T δt T δt T δt T δt T 0.920.5530.63540.627550.622760.625870.624780.625090.625012-14t 2tt 2t Att1t tt 2t 2e e e e (t )e Pe P 2e 2ee 2e ----Λ-----⎡⎤--===⎢⎥-+-+⎣⎦Φ 设x(k 1)x(k )u(k )+=+G H0.9670.148(T)0.2960.522⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦G Φt 2t T T 0t 2t 0.017e e (t )Bdt Bdt 0.148e 2e ----⎡⎤-⎡⎤===⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦⎰⎰H Φ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，G H 0.96710.14840.0170.29680.52190.148离散化状态方程 ：()()()0.9670.1480.017k 1k u k 0.2960.5220.148⎡⎤⎡⎤+=+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦x x 1z 0.5220.148(z 0.82)(z 0.669)(z 0.82)(z 0.669)(z )0.269z 0.967(z 0.82)(z 0.669)(z 0.82)(z 0.669)--⎡⎤⎢⎥----⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥----⎣⎦I G ()11(k)z z z --⎡⎤=-⎣⎦ΦI G∴k k 1kk k 1k k 1k k 1k 1k k 1(1)2(1)2(1)(1)2()(1)2(1)2(1)(1)2++++++⎡⎤-⋅+-⋅-+-⋅=⎢⎥-⋅+-⋅-+-⋅⎣⎦k Φ2-15（1）AT221T 1G eI AT A T 012⎡⎤==+++=⎢⎥⎣⎦2T T 00T 1t 0(t )Bdt dt 2011T ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰H Φ 当T=1s 时，()()()110.5k 1k u k 011⎡⎤⎡⎤+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦x x []10(k )=y x （2）()2T 1AT 112T 1s 1T (T e )e L sI A L 20s 20e -----⎡⎤--⎡⎤⎢⎥⎡⎤==-==⎢⎥⎣⎦⎢⎥+⎣⎦⎣⎦G 22T 2tT T002t 2T 1T 111(e )(t e )2224(t )Bdt dt 211ee 22----⎡⎤⎡⎤+-⎢⎥-⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰H Φ 当T=1时，222211e 1(1e )4(k )(k )u(k )2110e e 22----⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎢⎥+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎢⎥⎣⎦x x 1，)()(k k x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0110 2-16 （1）211G(s )(s 1)(s 2)s 3s 2==++++ 状态空间描述为：010x u 231⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦x[]y 10=x将其离散化--------⎡⎤--==⎢⎥-+-+⎣⎦T 2TT 2T ATT 2T T 2T 2e e e e G e2e 2ee 2e T 2T t 2t T T00t 2t T 2T 11e e e e (t )dtB dt 22e 2e e e --------⎡⎤⎡⎤-++-⎢⎥===⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦-⎣⎦⎰⎰H Φ ∴离散化状态方程为：------------⎡⎤⎡⎤-++--⎢⎥+=+⎢⎥⎢⎥-+-+⎣⎦-⎣⎦T 2T T 2TT 2T T 2TT 2T T 2T11e e 2e e e e x[(k 1)T ]x(kT )u(kT )222e 2ee 2e e e ()[]()y k T 10x k T= （2）2T T2T T T 2TT 2T 2111z e z e z e z e ()2221z e z e z e z e ---------⎡⎤--⎢⎥----=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥----⎣⎦Z I G 1-0.20.10.20.10.10.20.10.20.2k 0.1k 0.2k 0.1k0.1k0.2k0.1k 0.2k()[()]2zz z z z e z e z e z e =2z 2z 2z z z e z e z e z e 2(e )(e )(e )(e )2(e )2(e )2(e )(e )-------------------Φ=⋅⎡⎤--⎢⎥----⎢⎥⎢⎥--⎢⎥----⎣⎦⎡⎤--=⎢⎥--⎣⎦k Z Z ZZ 111-I G2-17 k=0时，10.510.3(1)(0)u(0)u(0)010.110.4⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦x Gx Hk=1时，(2)(1)u(1)=+x Gx H 带入(1)x 得，1.50.3u(0)0.550.2u(0)0.3u(1)(2)01.50.03u(0)0.110.04u(0)0.4u(1)++++⎡⎤==⎢⎥++++⎣⎦x 解得 u (0)=5.35 u (1) =0.51。
现代控制理论第二章答案
et
2e 2t
4e2t 2et
4e2t
et
0 1
2 3
(4)
(t)(t)
1
2
(et
e3t
)
(et e3t )
141((eet tee33t t))
1 (et 2 (et
e3t ) e3t )
2
141((eet tee33t t)) I
2
(t)
d dt
1 2
(t)
et
e2t
2e2t 2et
2e2t
et
(4)
(t )
1
2
(et
e3t
)
(et e3t )
141((eet tee33t t))
2
【解】 主要验证矢量不变性:
(t)(t) I
和组合性质: (t2 t1)(t1 ) (t2 )
(1)
1
(t)(t) 0
0
0 sin t cost
8
8
(
z
1 8
3)(z
5)
8
8
(
z
z1 2
3)(z
5)
8
8
x(z) (zI G) 1 zx(0) Hu(z)
(
z
z1 2
3)(z
5)
8
8
1 8
(
z
3)(z
5)
8
8
( (
z z
1 8
3)(z 8 z1
2 3)(z
5 8
5
) )
z
1
3
1 0
8
8
zT
(et
(et
现代控制理论基础第二章习题答案
第二章 状态空间表达式的解3-2-1 试求下列矩阵A 对应的状态转移矩阵φ（t ）。
（1） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2010A （2） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0410A （3） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2110A （4） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=452100010A （5）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0000100001000010A （6）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλ000100010000A 【解】：（1） （2） （3） （4）特征值为：2,1321===λλλ。
由习题3-1-7(3)得将A 阵化成约当标准型的变换阵P 为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=421211101P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-1211321201P线性变换后的系统矩阵为：（5）为结构四重根的约旦标准型。
（6）虽然特征值相同，但对应着两个约当块。
或}0100010000{])[()(1111----⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=-=Φλλλλs s s s L A sI L t 3-2-2 已知系统的状态方程和初始条件 （1）用laplace 法求状态转移矩阵； （2）用化标准型法求状态转移矩阵； （3）用化有限项法求状态转移矩阵； （4）求齐次状态方程的解。
【解】：（1） （2）特征方程为： 特征值为：2,1321===λλλ。
由于112==n n ，所以1λ对应的广义特征向量的阶数为1。
求满足0)(11=-P A I λ的解1P ，得：0110000000312111=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--P P P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0011P 再根据0)(22=-P A I λ，且保证1P 、2P 线性无关，解得：对于当23=λ的特征向量，由0)(33=-P A I λ容易求得： 所以变换阵为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==110010001321P P P P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-1100100011P 线性变换后的系统矩阵为：（3）特征值为：2,1321===λλλ。
现代控制理论第二章答案 舒欣梅
2-2 令⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22211211a a a a eAt，由状态转移矩阵的定义)0()()0()(x t x e t x AtΦ==得， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----12211222112112221121122a a a a e e a a a a e e t t t t 求解得到⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---==Φ--------t ttt tt t t Ate eee ee e e et 22222222)( 由状态转移矩阵的性质)0(Φ= A 得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-+-==--------312042422202222t tttt tttt eeee ee e e A 复习状态转移矩阵的性质：(0)IΦ=；()()()t A t t A Φ=Φ=Φ ；121221()()()()()t t t t t t Φ±=ΦΦ±=Φ±Φ；11()(),()()t t t t --Φ=Φ-Φ-=Φ；2211()()()x t t t x t =Φ-；202110()()()t t t t t t Φ-=Φ-Φ-；[()]()kt kt Φ=Φ；若A B B A =则()A B tAt BtBt Atee ee e +==2-3（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-211s sA sI ()22122222222121(1)(1)()111(1)(1)(1)1111(1)(1)111(1)1(1)s s s s adj sI A sI A s s sI As s s s s s s s s -+⎡⎤⎢⎥+++⎡⎤-⎢⎥-===⎢⎥---+⎢⎥⎣⎦⎢⎥++⎣⎦⎡⎤+⎢⎥+++⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥+++⎣⎦11()()t t tt tt e te te t L sI A teete --------⎡⎤+⎡⎤Φ=-=⎢⎥⎣⎦--⎣⎦2-4（1）求系数矩阵的特征根3,121-==λλ将其带入式(2-24)得：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----tt t t t te e e e e e a a 333110414141433111所以，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=+==Φ--ttttAteee eA a I a et 331004141)( 2-5（2）求系数矩阵的特征根2,1,0321===λλλ根据公式0)(=-i i P A I λ求相应的特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡011，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-011得到⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==-011011011Q P，⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=0212110002121P 因此，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++-+-+=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-===Φ-t t ttt tttA Ate e e ee e eP e P et 0002121212102121212102121100021210000101101101)(2222212-6（1）求特征根2321===λλλ，因为系数矩阵为约当标准型，因此直接写出⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==Φtttt tt tJt ete ee t te e e t t t et 2222222220002110010211)(2-7（1）先求)(t Φ，采用拉式变换法，11111331411(1)(3)(1)(3)()[()]343(1)(3)(1)(3)3111311122221313222233133222221313t ttt t s ss s s s t L sI A L L s s s s s s e e e e s s s s L e s s s s -------⎡⎤⎢⎥⎡⎤-----⎡⎤⎢⎥Φ=-==⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥----⎣⎦⎡⎤⎢⎥--+--+⎢⎥----⎢⎥==⎢⎥⎢⎥--+⎢⎥----⎣⎦33313222tt t ee e⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎢⎥⎣⎦再根据非齐次状态方程的解： 033()3()()3()033()3()()3()3()()(0)()131113111122222222(0)3313331312222222231122t t ttt t t t t t t t t t t t t t t t x t t x t B d e e e e e e e ex d e e e ee e eee e τττττττττττ--------=Φ+Φ-⋅⎡⎤⎡⎤--+--+⎢⎥⎢⎥⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥--+--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--=⎰⎰3331122(0)331312222tt t t t t t t e e e x e e e e e⎡⎤+⎢⎥⎡⎤-++⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦--+⎢⎥⎣⎦2-8（1）先求)(t Φ，采用拉式变换法，1211112111112211()[()]222021002t tse t L sI A L L s s s s e s -----⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤--+-+⎡⎤⎢⎥⎢⎥Φ=-===⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎣⎦ 22111()()22TTeG T T e⎡⎤-+⎢⎥=Φ=⎢⎥⎣⎦2220222011111110124244()()2211110222TT T T T e T e eH T Bd d ee e ττττττττ⎡⎤⎡⎤-+-+-⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+⎡⎤⎢⎥=Φ===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰当1.0=T 时，离散化方程为：10.11070.0054(1)()()01.22140.1107x k x k u k ⎡⎤⎡⎤+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦或者当采样周期T 很小时，可采用()()G T TA I H T TB=+=得到10.1(0.1)0 1.20()0.1G H T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦得到10.10(1)()()0 1.20.1x k x k u k ⎡⎤⎡⎤+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。
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第二章 状态空间表达式的解3-2-1 试求下列矩阵A 对应的状态转移矩阵φ（t ）。
（1） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2010A （2） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0410A （3） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2110A （4） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=452100010A（5）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0000100001000010A （6）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλ000100010000A 【解】：（1）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-=Φ-----)2(10)2(11}201{])[()(11111s s s s L s s L A sI L t ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++-=---t t e e s s s s L 22105.05.01)2(10)2(5.05.01（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=Φ-----t tt ts s s s s sL s s L A sI L t 2cos 2sin 22sin 5.02cos 444414}41{])[()(222211111（3）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++-+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-=Φ-----222211111)1()1(1)1(1)1(2}211{])[()(s s s s s s L s s L A sI L t ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--+=Φ------t t tt tt te e te te e te t )(（4）特征值为：2,1321===λλλ。
由习题3-1-7(3)得将A 阵化成约当标准型的变换阵P 为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=421211101P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-1211321201P线性变换后的系统矩阵为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==-200010011~1AP P A⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=t t t t tA e e te e e2~0000 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡===Φ-1211321200000421211101)(21~t t t ttA At e te e eP Pe e t ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--++-----++-----++--=Φt t t tt t t t t t t t t t t tt t t t t t t t tt e te e e te e e te e e te e e te e e te e e te e e te e te e t 34838424225342222322)(222222222 （5）为结构四重根的约旦标准型。
04321====λλλλ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==Φ10100211061211100100!2110!31!211)(232232t t t t t t t t t t t t e e t t Atλ （6）λλλλλ====4321虽然特征值相同，但对应着两个约当块。
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡==Φt A tA Ate e et 2100)( [][]t t A e e A λλ=⇒=11⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=t t t t t t tA e te e e t te e eA λλλλλλλλλ00021001001222 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==Φt t t t t t tAte te e e t te e e et λλλλλλλ0000210000)(2 或}0100010000{])[()(1111----⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=-=Φλλλλs s s s L A sI L t ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--+-+--+--+-+--+--=-λλλλλλλs s s s s s s L 100)(1100)(1)(11000012321 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=t t t t t t t e te e e t te e e λλλλλλλ00002100002 3-2-2 已知系统的状态方程和初始条件⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101)0(,210010001x x x & （1）用laplace 法求状态转移矩阵； （2）用化标准型法求状态转移矩阵； （3）用化有限项法求状态转移矩阵； （4）求齐次状态方程的解。
【解】： （1）[]}210010001{)()(1111----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-=Φs s s L A sI L t⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=-t tt t t e e e e e s s s s s L 22100000)2(1)2(1)1(100)1(10)1(1（2）特征方程为：0)2()1(2110012=--=----=-λλλλλλA I特征值为：2,1321===λλλ。
1110000000)(11==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-n rank A I rank λ1110000000)(221==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-n rank A I rank λ 由于112==n n ，所以1λ对应的广义特征向量的阶数为1。
求满足0)(11=-P A I λ的解1P ，得：0110000000312111=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--P P P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0011P 再根据0)(22=-P A I λ，且保证1P 、2P 线性无关，解得：[]T P 1102-=对于当23=λ的特征向量，由0)(33=-P A I λ容易求得：[]T P 1003=所以变换阵为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==110010001321P P P P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-1100100011P线性变换后的系统矩阵为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==-200010001~1AP P A⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=t t t tA e e e e2~00000 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==Φ-t tt tt t t t Ate e e e e P e e e P e t 221200000000000)( （3）特征值为：2,1321===λλλ。
2121101λλλa a a e t ++=12121λλa a te t += 2323103λλλa a a e t ++=即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-t t t e te e a a a 3111233121121012101λλλλλλλλ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-t t te te e 21421210111 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=t t te te e 2111232120⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---++-=t t t t t t t t e te e e te e e te 22223222210A a A a I a e At ++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-=t tt tt e e e e e 2200000 (4)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-=Φ=t t t tt tt e e e e e e e x t t x 222010100000)0()()(3-2-3 试判断下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求对应的矩阵A 。
（1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=Φt t t t t sin cos 0cos sin 0001)(（2）⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=Φ--t t e e t 220)1(5.01)( （3）⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--+--=Φ--------t t ttt t tt e e e e e e e e t 22222222)(（4）⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-+-+=Φ----t t tt t t t t e e e e e e e e t 33335.05.025.025.05.05.0)(【解】：（1）I t t t t t ≠⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=Φ=010100001sin cos 0cos sin 0001)0(0Θ ∴不满足状态转移矩阵的条件。
（2）I e e t tt =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=Φ=--10010)1(5.01)0(022Θ ∴满足状态转移矩阵的条件。
由)()(t A t Φ=Φ&，得A A =Φ=Φ)0()0(&。
∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=Φ=⇒⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=Φ=----2010200)0(,200)(02222t tt t t e e A e e t && （3）I e e ee e e e e t t t ttt t tt =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--+--=Φ=--------022222222)0(Θ ∴满足状态转移矩阵的条件。
⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+--+-=Φ==--------3120424222)0(02222t t t tt t t tt e e e e e e e e A &（4）I e e ee e e e e t tt tt t t tt =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-+-+=Φ=----033335.05.025.025.05.05.0)0(Θ ∴满足状态转移矩阵的条件。
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+++-=Φ==----14115.15.0375.025.05.15.0)0(03333t t t tt t t tt e e ee e e e e A &3-2-4 已知线性时变系统为x t t x⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2112&，试求系统的状态转移矩阵。
【解】：取)(*)()(*)(,2112)(,2112)(1221222111t A t A t A t A t t t A t t t A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=得： Λ+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+==Φ⎰⎰⎰ττττττττd d I e t t tt t t d A tt 2)(0002112!212112),( ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+-+-++-+-+-+-+-+-+-+=ΦΛΛΛΛ)(21)(32)(1)(21)(32)(1),(03032202200220003032200t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t3-2-5 已知线性定常系统的状态方程为u x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=103210&，初始条件为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11)0(x 试求输入为单位阶跃函数时系统状态方程的解。