《现代控制理论基础》ch2第二章线性控制系统的运动分析
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第2章 现代控制理论1PPT课件
时不变系统状态转移矩阵Φ tt0或 Φ t是满足如下矩阵微分
方程和初始条件的解,这也是检验一个矩阵是不是状态转移
的条件。
Φ (tt0)AΦ (tt0)或 Φ (t)AΦ (t)
Φቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(0)I
Φ (0)I
（2.5）
1Φ t在 t0的值 lim ΦtI
t0
(2)Φt对t的导 Φ 数 tA Φ tΦ tA
故可求出其解为：
t
X ( t) ( t) X ( 0 ) o ( t ) B () U d ( 2 .2 b )
式中 (t) eAt 为系统的状态转移矩阵。
对于线性时变系统非齐次状态方程，
X ( t) A ( t) X ( t) B ( t) U ( t) ( 2 3 )
类似可求出其解为
x (0 )e a t tb(u )e a (t )d 0
同样，将方程（2.1）写为 X (t)A(X t)B(U t)
在上式两边左乘eAt ，可得：
e A [X t(t) A(t) X ]d[e AX t(t) ]e A B t (tU )
dt
3
将上式由 0 积分到 t ，得
X ( t) e A X t ( 0 ) te A (t )B () U d (2 .2 a ) o
的解，X(t)=Ф (t, t0)X(0) 。 下面不加证明地给出线性时变系统状态转移矩阵的几个
重要性质： 1、 (t,t)I
2 、 ( t 2 ,t 1 ) ( t 1 ,t 0 ) ( t 2 ,t 0 )
3 、 1 (t,t0) (t0 ,t) 4、当A给定后，(t,t0) 唯一
5、计算时变系统状态转移矩阵的公式
令 x (t) b 0 b 1 t b 2 t2 b iti b iti,t 0
线性控制理论总复习(2012)
： x A(t ) x B(t )u y C (t ) x
（1）
线性时变系统的对偶系统的状态空间描述为：
d ： T AT (t ) T C T (t ) T T BT (t ) T
（2）
式中： —协状态, n维行向量； —输出, p维行向量；
如果其状态空间描述具有如下形式
ˆ ˆ ˆ ˆ x Ao x bou
其中：
0 0 0 1 1 ˆ Ao 1 n-1
ˆ ˆ y co x
ˆ co 0 0 1
则称此状态空间描述为能观测规范形。
25
总复习：现代控制理论
2．PBH秩判据
i I A rank n; C
i 1, 2, , n
3．对角线规范型判据
4．约当规范型判据
13
总复习：现代控制理论
3. 对角线规范型判据（※）
当矩阵A的特征值 1 , 2 ,, n 为两两相异时， 线性定常连续系统 x Ax x(0) x0 t0 y Cx
x (t ) L1 X ( s ) L1 (s A) 1[ x0 +B U ( s )]
9
总复习：现代控制理论
第4章 线性系统的可控性与可观测性
一、线性定常连续系统的可控性判据（※） 1．秩判据
rankQc rank B AB An 1 B n
2．PBH秩判据
rank i I A B n
i 1, 2, , n
3．对角线规范型判据 4．约当规范型判据
10
总复习：现代控制理论
3．对角线规范型判据（※）
当矩阵A的特征值 1 , 2 ,, n 为两两相异时， 线性定常连续系统 x(t ) Ax(t ) Bu (t ) x(0) x0 t 0 完全能控的充分必要条件是：其对角线规范型
（1）
线性时变系统的对偶系统的状态空间描述为：
d ： T AT (t ) T C T (t ) T T BT (t ) T
（2）
式中： —协状态, n维行向量； —输出, p维行向量；
如果其状态空间描述具有如下形式
ˆ ˆ ˆ ˆ x Ao x bou
其中：
0 0 0 1 1 ˆ Ao 1 n-1
ˆ ˆ y co x
ˆ co 0 0 1
则称此状态空间描述为能观测规范形。
25
总复习：现代控制理论
2．PBH秩判据
i I A rank n; C
i 1, 2, , n
3．对角线规范型判据
4．约当规范型判据
13
总复习：现代控制理论
3. 对角线规范型判据（※）
当矩阵A的特征值 1 , 2 ,, n 为两两相异时， 线性定常连续系统 x Ax x(0) x0 t0 y Cx
x (t ) L1 X ( s ) L1 (s A) 1[ x0 +B U ( s )]
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总复习：现代控制理论
第4章 线性系统的可控性与可观测性
一、线性定常连续系统的可控性判据（※） 1．秩判据
rankQc rank B AB An 1 B n
2．PBH秩判据
rank i I A B n
i 1, 2, , n
3．对角线规范型判据 4．约当规范型判据
10
总复习：现代控制理论
3．对角线规范型判据（※）
当矩阵A的特征值 1 , 2 ,, n 为两两相异时， 线性定常连续系统 x(t ) Ax(t ) Bu (t ) x(0) x0 t 0 完全能控的充分必要条件是：其对角线规范型
第二章 现代控制理论基础
微分方程组可以改写为
di (t ) R uC (t ) u (t ) = i (t ) + dt L L L
duC (t ) 1 = i (t ) dt C
并且写成矩阵形式： 并且写成矩阵形式：
di (t ) R dt L du (t ) = 1 C dt C 1 i (t ) 1 L + L u (t ) 0 uC (t ) 0
0 0 an 1 an 2
则式（2.4）可以写成
x = Ax + Bu
输出方程可写成
y = x1
写成矩阵方程形式为
x1 x y = [1 0 0] 2 = Cx xn
例2.1 设某控制系统的动态特性可用下述微分方程描述
y + 5 + 6 y + 12 y = u y
系统闭环传递函数为
Y ( s) 1 1 = = 3 U ( s ) s( s + 2)( s + 3) + 1 s + 5s 2 + 6s + 1
通过拉普拉斯逆变换,可求得系统运动微分方程为
（2.4）
记
x1 0 x 0 2 x = , A = xn 1 0 xn an 1 0 0 1 0 x1 0 x 0 0 2 , x = , B = 1 xn 1 0 xn 1 a1
输出方程为： 输出方程为：
x1 y = [1 0] x2
[例2] 机械平移系统. 如图为一加速度仪的原理结构图。它可以指示出其 例 壳体相对于惯性空间（如地球）的加速度。
设: xi 为壳体相对于惯性空间的位移; x0 为质量m相对于惯性空间的位移; y= xi - x0 为质量m相对于壳体的位移. 根据牛顿第二定律，系统的运动方程为: xi x0
线性系统部分总复习(2015)
2、状态空间描述（内部描述） (1)用状态空间表达式表征；(2)是系统的内部描 述；(3)是对系统的完全描述。
2
总复习：现代控制理论
二、线性定常连续系统状态空间表达式的建立
建立状态空间表达式的方法主要有两种： 1. 根据系统机理建立状态空间表达式 2. 由系统输入输出描述建立状态空间表达式
能控标准型实现 能观测标准型实现
y = Cˆxˆ
中， Cˆ 中与同一特征值的各约当块对应的各子 块的第一列组成的矩阵是列线性无关的。
31
总复习：现代控制理论
四、对偶性
1.对偶系统考：虑连续时间线性时变系统
： x& A(t)x B(t)u y C(t)x
（1）
线性时变系统的对偶系统的状态空间描述为：
d ：
&T AT (t) T CT (t)T T BT (t) T
22
总复习：现代控制理论
1. 秩判据
线性定常系统
x&(t) Ax(t) Bu(t) x(0) x0 t 0
完全能控的充分必要条件是
rankQc rank BMABML MAn1B n
其中: n为矩阵A的维数，Qc BMABML MAn1B 称为系统的能控性判别阵。
注：秩判据是一种方便，应用广泛的判别方法。 23
0
Ac
M 0
0
1 O
1 L
1
n-1
0
bc
M
0
1
则称此状态空间描述为能控规范形。
33
总复习：现代控制理论
约当规范形
状态方程中的 系统矩阵A具 有分块对角形 的形式。
9
总复习：现代控制理论
1) 对角线规范形
2
总复习：现代控制理论
二、线性定常连续系统状态空间表达式的建立
建立状态空间表达式的方法主要有两种： 1. 根据系统机理建立状态空间表达式 2. 由系统输入输出描述建立状态空间表达式
能控标准型实现 能观测标准型实现
y = Cˆxˆ
中， Cˆ 中与同一特征值的各约当块对应的各子 块的第一列组成的矩阵是列线性无关的。
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总复习：现代控制理论
四、对偶性
1.对偶系统考：虑连续时间线性时变系统
： x& A(t)x B(t)u y C(t)x
（1）
线性时变系统的对偶系统的状态空间描述为：
d ：
&T AT (t) T CT (t)T T BT (t) T
22
总复习：现代控制理论
1. 秩判据
线性定常系统
x&(t) Ax(t) Bu(t) x(0) x0 t 0
完全能控的充分必要条件是
rankQc rank BMABML MAn1B n
其中: n为矩阵A的维数，Qc BMABML MAn1B 称为系统的能控性判别阵。
注：秩判据是一种方便，应用广泛的判别方法。 23
0
Ac
M 0
0
1 O
1 L
1
n-1
0
bc
M
0
1
则称此状态空间描述为能控规范形。
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总复习：现代控制理论
约当规范形
状态方程中的 系统矩阵A具 有分块对角形 的形式。
9
总复习：现代控制理论
1) 对角线规范形
现代控制理论第2章 线性系统的运动
定义矩阵向量eAt为状态转移矩阵
于是齐次状态方程的解为:
x(t ) e x(0) e x0
At At
(2 7)
另用拉氏变换法求解齐次微分方程:
x(t ) Ax(t ) sx(s) x(0) Ax(s)
x(s) (sI A) x(0)
1
拉氏反变换后得到齐次状态方程的解:
2. 状态转移矩阵的计算。
a. 直接求取；
b. 拉普拉斯变换；
c. 化矩阵A为对角型或约当型；
d.化矩阵指数 e At
为A的有限项。
（1）线性系统状态转移矩阵的基本性质
1 2 2 1 i i Φ(t ) e I At A t A t (2 9 1) 2! i!
表明 (t ) 具有分段组合的性质。
④ Φ1 (t ) Φ(t ) , Φ1 (t ) Φ(t ) 证：根据性质①和③及逆矩阵定义，有
Φt t Φt Φ t I Φ t t Φ t Φt I
Φ 1 (t ) Φ(t )
At
t0 0
x(t ) (t t0 )x(t0 )
x(t ) (t )x(0)
(2 10)
(2 9)
状态转移矩阵 (t )包含了系统自由运动的全部信息， 完全表征了系统的动态特性,A的状态矩阵唯一。
几点解释：
① 如果t为某给定常数T，那么零输入响应 x(t ) 就是状 态空间中由初始状态 x 0 经线性变换常数阵 (t ) 所致。
（一）齐次状态方程解的一般表达式
x(t ) A(t )x(t ),
x(t0 ) x0 ,
2
t t0
i
b 2t bi t
现代控制理论(第二章)讲解
sI
A 1
s 2
s3
1 1 s 3
(s
1)(s 2
2)
(s 1)(s 2)
1
(s
1)(s s
2)
(s 1)(s 2)
s3
e At
L1
(s
1)( s 2
2)
(s 1)(s 2)
EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy
第二章 控制系统状态空间表达式的解
2.1 线性定常齐次状态方程的解(自由解) 2.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵 2.3 线性定常系统非齐次方程的解 2.4 * 线性时变系统的解 2.5 * 离散时间系统状态方程的解 2.6* 连续时间状态空间表达式的离散化
(s
1)( s 2
2)
(s 1)(s 2)
1
(s
1)( s s
2)
(s 1)(s 2)
eAt L1
sI A 1
2et e2t 2et 2e2t
et e2t
et
2e2t
et
2e2t
例2-6，利用凯莱-哈密顿定理— -----------------自学！ 例2-3与例2-7也请注意自学！
EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy
2.3 线性定常系统非齐次方程的解
现在讨论线性定常系统在控制作用 方程为非齐次矩阵微分方程：
现代控制理论课件ch2(10级本1)
=
⎡0 ⎢⎣− 2
1⎤ − 3⎥⎦
这是一种由状态转移矩阵求系统矩阵A的有效方法。
7
性质5 x ( t 2 ) = Φ( t 2 − t1 ) x ( t1 ) 这 是 ∵ Φ (t2 − t1 ) x (t1 ) = Φ (t2 )Φ ( − t1 ) x (t1 ) = Φ (t2 ) x (0 )
（2）
A
=
⎢ ⎢
0
−2
0
⎥ ⎥
⎢⎣ 0 0 −3⎥⎦
⎡e−t 0 0 ⎤
Φ (t )
=
e At
=
⎢ ⎢
0
e−2t
0
⎥ ⎥
⎢⎣ 0 0 e−3t ⎥⎦
⎡λ1 1 0 0 ⎤
（3）
A
=
⎢ ⎢ ⎢
0 0
⎢ ⎣
0
λ1
0 0
1
λ1
0
0
⎥ ⎥
0⎥
λ
2
⎥ ⎦
⎡ ⎢
e
λ1t
⎢
eAt = ⎢ 0
te λ1t e λ1t
t 2 e λ1t 2 te λ1t
⎤ 0⎥
⎥ 0⎥
⎢ ⎢
0
0
e λ1t
0
⎥ ⎥
⎢⎣ 0 0
0
e λ2t ⎥⎦
14
方法4 线性变换法求状态转移矩阵
(1) 线性变换的基本概念
对于
⎧ ⎨ ⎩
x y
= =
Ax cx
+
bu
作变换 x = Px P为非奇异(detP=0)线性变换矩阵
我们称这个过程为对系统进行P变换
线性变换的不变性：线性变换前后，系统的传递函数矩阵不变，特征方程
现代控制理论(修改最终版)
《现代控制理论基础》课程教学大纲课程编号：课程名称：现代控制理论英文名称： Modern Control Theory课程性质: 考试学时： 42学时（讲授36学时+6学时实验）适用对象: 工业自动化先修课程：自动控制理论，线性代数，工程数学一、编写说明（一）本课程的性质、地位和作用现代控制理论是自动化专业的主干技术基础课，它是在经典控制理论的基础上建立和发展起来的。
本课程是以状态空间理论为核心，对动态系统进行分析和研究。
它不但可以解决单变量线性定常系统，还可以解决多变量、时变、非线性系统的问题。
通过本门课程的学习，使学生掌握线性控制系统的状态空间描述,能够对线性系统的几种模型进行互相转化; 掌握线性控制系统的运动规律及连续系统的离散化;熟悉线性控制系统的能控性与能观测性概念及其判定准则;了解控制系统的李亚普诺夫稳定性理论; 掌握线性控制系统的状态反馈与状态观测器的设计方法。
通过对本课程的学习，要求学生系统地获得现代控制理论的基本知识，切实掌握所涉及的基本概念、基本理论和基本方法，为后继课程的学习奠定良好的理论基础.（二）教学基本要求1. 掌握现代控制理论的基本知识及其分析方法，能够用状态空间表达式来描述系统，并根据系统的微分方程建立其状态空间表达式的方法。
2. 掌握系统特征值的求取方法，掌握线性定常系统非齐次方程的解和线性时变系统的解的求取方法，以及离散时间系统状态方程的两种解法。
3. 掌握能控性、能观性的定义及各自的判别准则。
4.掌握用李雅普诺夫第一法和第二法分析系统的稳定性的方法。
5. 对线性系统理论的新发展有所了解。
6. 为学生进一步的学习打下必要的基础。
（三）课程教学方法与手段以课堂讲授为主，辅以习题、实验等环节。
（四）实践环节通过计算机仿真，主要运用Matlab软件使学生能初步掌握MATLAB工具包，并用它在计算机环境中进行控制‘实验’，对控制系统进行分析与综合，以提高学生的系统分析和综合能力。
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i个
i个
[用途]：此性质经常用于计算 e At
4/22/2020
9
7、如果A是n×n阶对角阵，则 e At 也是n×n阶对角阵：
1
0
如果：
A
diag[1, 2,
, n]
2
0
n
e 1t
0
则有：e At diag[e1t , e2t , , ent ]
e 2t
0
e
nt
[证明]：根据定义证
(P
1
AP)
Ai
i个
i个
推导时可看到： a0 (t) a1(t)i an1(t)in1 eit
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19
A特征值互异，为: 1, 2, ..., n
eAt n1 (t) An1 n2 (t) An2 ... 1(t) A 0 (t)I
e1t
e At
e2t O
et
2e
2t
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24
4）用第四种方法－待定系数法求解.
满足初始状态x(t ) |tt0 x(t0 ) 的解是：x(t) eA(tt0 ) x(t0 ) , t t0
其中：e At I
Attk
2!
k!
k0 k!
e At定义为矩阵指数函数，和A一样也是n×n阶方阵
4/22/2020
4
求解过程：仿标量方程求解 x ax －－标量齐次状态方程
▪ 直接求解法：根据定义 ▪ 拉氏变换求解： ▪ 标准型法求解：对角线标准型和约当标准型－非奇异变换 ▪ 待定系数法： 凯莱－哈密顿（简称C-H）定理
1、根据矩阵指数函数的定义求解：
e At
I At
A2 2!
t2
Ak k!
tk
Ak k!
tk
k0
对所有有限的t值来说，这个无穷级数都是收敛的
求出的解不是解析形式，适合于计算机求解。
u0
x
( A, B)
齐次状态方程的解： x Ax , x(t) |t0 x(0)
2、强迫运动：线性定常系统在控制u作用下的运动，称为强迫
运动。
u
x
( A, B)
非齐次状态方程的解：x Ax Bu, x(t) |tt0 x(t0 )
4/22/2020
2
第一节 线性定常齐次状态 方程的解
e n t
1k
Ak
2k
O
nk
1 1
1 2
12 22
1 n 2n
n1 1
0 (t )
e1t
n1 2
1 (t )
e2t
n1 n
n 1 (t )
ent
由上式可计算 n1(t), n2 (t), ... 1(t), 0 (t)
2）A的特征值为1 (n重根）
2 1 1 s1 s2
2 2 s1 s2
2et e2t
et e2t
2et 2e2t
et
2e 2 t
1 1
s1 s2
1 s1
2 s2
3）用第三种方法－标准型法求解：
先求特征值：
|
I
A
|
2
1
3
2
3
2
(
1)(
2)
0
得： 1 1, 2 2 ，具有互异特征根，用对角线标准 型法。且A为友矩阵形式。
说明：在证明有关矩阵方程的定理或解决有关矩阵方程 的问题时，凯莱-哈密尔顿定理是非常有用的。
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17
由定理知：A所有高于(n-1)次幂都可由A的0～(n-1)次幂线性表出。
n1
即： Am mj A j j0
将此式代入 e At 的定义中：
eAt
t m Am m0 m!
2） 求对应于 i的特征向量 vi ，并得到P阵及P的逆阵。
3） 代入上式即可得到矩阵指数函数的值。
即：A det( I A) 0 i (i I A)vi 0 vi P
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15
（2）当A具有n重特征根 i：约当标准型 约当矩阵A的矩阵指数函数
eit teit
e At
两边取拉氏变换得：sX (s) x(0) AX (s)
整理得：X (s) (sI A)1 x(0) 拉氏反变换得： x(t) L1[( sI A)1]x(0) －－－（6） 与直接求解的结果(5)比较，由解的唯一性得：e At L1[( sI A)1]
[本节小结]：
4/22/2020
[证明]： e At e A e A(t )，令 t，有e At e At e A0 I (e At )1 e At
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8
4、对于n×n阶方阵A和B：
如果A和B可交换，即A×B= B×A，则 e( AB)t e Ate Bt 如果A和B不可交换，即A×B B×A，则 e( AB)t e Ate Bt
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3
[线性定常齐次状态方程的求解方法]：直接求解，拉氏变化求解
一、直接求解：
1、标量齐次微分方程： x ax
满足初始状态 x(t) |t0 x(0) 的解是：x(t) eat x(0)
2、齐次状态方程 x&(t) Ax(t) 满足初始状态x(t) |t0 x(0)的解是：x(t) e At x(0) , t 0
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16
4、待定系数法：将 e At 化为A的有限项多项式来求解： （1）凯莱－哈密顿（以下简称C-H）定理：
设n×n维矩阵A的特征方程为：
f ( ) | I
A |
n
a n1 n1
a1
a0
0
则矩阵A满足其自身的特征方程，即： f ( A) An an1 An1 a1 A a0 I 0
注意求逆
a0 (t)
a1 ( t )
an2 (t )
an1(t )
0 0 0 0 1
0 0 0 1
1
21 12
0 1
1
(n 1)1
1
1 ( n1)!
1 ( n 2 )!
t t
e n1 1t e n2 1t
( n1)(n2) n3
2!
1
n1 n2
1! 1
n1 n
e
nt
推导：利用了A可化为对角阵的矩阵指数函数求法。
e At P1e At P P1(a0 (t)I a1(t) A an1(t) An1)P a0 (t)I a1(t) A an1(t) A n1
注意：
P1Ai P
P 1 AAAP
(P1 AP)(P1A P)
则式(3)针对 1 求导n-1次，补充缺少的n-1个方程。联立求出系数。
4/22/2020
21
[例]：求以下矩阵A的矩阵指数函数 e Ait
A
0 2
1 3
[解]： 1）用第一种方法－定义求解：(略）
2）用第二种方法－拉氏变换法求解： L(eat ) 1
e At L1 (sI A)1
sa
5、对
e At
有： d (e At ) Ae At e At A
dt
由定义证明
6、如果P是非奇异阵，即 P 1 存在，则必有：
e P1APt P 1e At P 和 e At Pe P P1APt 1
[证明]：根据定义证
[注意]： (P1 AP)(P1AP) (P1 AP ) P 1 AAAP P 1 Ai P
j0
其中：a0(t), a1(t), , an1(t)为t的标量函数，可按A的特征值确定。
4/22/2020
18
1）A的特征值1, 2 , , n 两两相异时， 注意求逆
a0 (t) a1 (t )
1 1
1 2
12 22
an 1 (t )
1 n
2n
n1 1
n1 2
1
e1t e2t
1 1!
te 1t
n1 1
e 1t
推导：此时只有一个方程：
a0(t) a1(t)1 an1(t)1n1 e1t (3)
缺少n-1个独立方程，对上式求导n-1次(按特征值)，
得到其余n-1个方程
说明：不管特征值互异、还是具有重根，只需要记住式(3)。
特征值互异时，对于每个特征值，直接得到方程(3)；特征值为n重根时，
Qe Q At 1
Q
0
0
0
(
n
1
1)
t n1e !
i
t
Q
1
te i t
e it
其中： Q为使A化为约当标准型的非奇异变换矩阵。
约当标准型法求矩阵指数函数的步骤：
此时的步骤和对角线标准型情况相同：求特征值、特征向量和 变换阵Q。
说明：对于所有重特征值i ，构造约当块，并和非重特征值一 起构成约当矩阵。根据矩阵指数函数的性质8和9，求得e At 。
tm m0 m!
n1
mj A j
j0
n1 j0
A
j
m0
tm m!
mj
并令
j
(t)
m0
tm m!
mj
即可得到如下的结论：
（2）将 e At化为A的有限项多项式来求解
根据C-H定理，可将eAt 化为A的有限项表达式，即封闭形式：
n1
e At aj (t) A j a0 (t)I a1(t) A an1(t) An1
4/22/2020
23
e At
PeAt P1
e1t P
0
0 e2t
P
1
1 1 1 1