线性系统时域分析
线性系统时域分析
理论基础
求解零状态响应
1
2 ∆→0 =-∞
连续时间信号 f (t ) 和 f (t ) 的卷积运算可用信号的分段求和来实现，即： ∞
∞
f (t ) = f 1 (t )* f 2 (t ) = ⎰-∞ f 1 (τ ) f 2 (t -τ )d τ = lim ∑ f 1 (k ∆) f 2 (t - k ∆) ⋅ ∆ k
如果只求当t = n ∆（n 为整数）时 f (t ) 的值 f (n ∆) ，则上式可得：
∞
∞
f (n ∆) = ∑ f 1 (k ∆) f 2 (n ∆ - k ∆) ⋅ ∆ = ∆∑ f 1 (k ∆) f 2[(n - k )∆]
（2-1）
k =-∞
∞
k =-∞
式（2-1）中的 ∑ f 1 (k ∆) f 2[(n - k )∆] 实际上就是连续时间信号 f 1 (t ) 和 f 2 (t ) 经等时间间隔∆
k =-∞
均匀抽样的离散序列 f 1 (k ∆) 和 f 2 (k ∆) 的卷积和。
当∆ 足够小时， f (n ∆) 就是卷积积分的结果——连续时间信号 f (t ) 的较好数值近似。
因此，用 MA TL A B 实现连续信号 f 1 (t ) 和 f 2 (t ) 卷积的过程如下：
1、将连续信号 f 1 (t ) 和 f 2 (t ) 以时间间隔∆ 进行取样，得到离散序列 f 1 (k ∆) 和 f 2 (k ∆) ；
2、构造与 f 1 (k ∆) 和 f 2 (k ∆) 相应的时间向量k 1 和k 2（注意，k 1 和k 2 的元素不是整数，而是取样间隔∆ 的整数倍的时间间隔点）；
3、调用 MATLAB 命令 conv()函数计算积分 f (t ) 的近似向量 f (n ∆) ；
4、构造 f (n ∆) 对应的时间向量k 。
a=[1 3 2];
b=[1 3];
t=-5:0.01:5;
x=heaviside(t);
figure(1);lsim(b,a,x,t);
冲激响应波形
figure(2);impulse(b,a);
figure(3);step(b,a);。
线性系统的时域分析法
1
即 100Kh
0.1
3,
得
K h 0.3
• 解题关键：化闭环传递函数为标准形式。
30
3-3 二阶系统的时域分析
• 本节主要内容：
• • 二阶系统的数学模型 • • 二阶系统的单位阶跃响应 • • 欠阻尼二阶系统的动态过程分析 • • 过阻尼二阶系统的动态过程分析 • • 二阶系统性能的改善
33
3-3–2 二阶系统的单位阶跃响应
- ξ＞ζ 1＞1
S1,2=
ξω ω√ ±j 1
1
n T2
T1
n ξ2
-
1ζ
＝1
0
jj 00
= - hξ＝(t)1
t
t
+ + 1 e = 过TTS阻211,尼21T1
ξωTe1 n=T12 -ωn T2
h(t)= 1临-(1界+阻ω尼nt)0je-ωnt
0＜0＜ξ＜ζ 1＜1 S1,2= -ξ ωn ±jj ωn√1-ξζ2 ＝0
来 一阶系统的参数与标准式的参数之间有 • 着对的应0.1的倍，关且保系证。原放求大出倍数标不准变，形试式确定的参动数 态Ko 和性K能H 的指取值。
标与其参数间的关系，便可求得任何一阶系 统的性能指标。
10KO
10KO
(s) KOG(S) 0.2s 1 1 K HG(s) 1 10K H
11
性能指标图解
超调量σp
延迟时
间td
上升时
间tr
峰值时
间tp
调整时
间ts
12
其它性能指标
• 振荡次数N：在0≤t≤ts时间内，过渡过程c(t) 穿越其稳态值c(∞)次数的一半。
第三章线性系统的时域分析典型输入信号
T
c(t )
1
t2
Tt
T 2 (1
t
eT
)
2
§3 二阶系统的时域分析
二阶系统的定义：用二阶微分方程描述的系统 微分方程的标准形式：
d 2 c(t ) dt 2
2 n
dc(t) dt
n 2 c(t )
n 2 r (t )
—阻尼比，n —无阻尼自振频率。
传递函数及方框图
d 1 2
cos d t p )
0
- n (cos d t p
1 2
sin d t )
d (-sin d t p
d 1 2
cos d t p )
0
sin d t p 0, d t p 0, ,2 ,3 .......
R(s) Ts 1
1 TS 1
一．单 位 阶 跃 响 应
r(t) 1(t) R(s) 1 s
C(s) (s)R(s) 1 1 1 T Ts 1 s s Ts 1
t
c(t) 1 e T
说明:
1.可以用时间常数去度量系统输出量的数值
t t
T时, c(t) 1 e1 0.632 3T时, c(t) 0.95 95%
好 等 于c(), 令N m , 得 2
n
N
1 2 t s arctg
1 2
2
将t s
1
n
ln
1 代入,并取整数得
1- 2
N N(
1- 2 2
ln
1
线性系统的时域分析法
得:
=1-
e-ζ ωnt
1-ζ 2
[sinβ
cosω d t+cosβ
sinω dt]
稳态分量
=1-
e-ζ ωnt
1-ζ 2
sin(ω
d
t+β
)
瞬态分量
第三节 二阶系统的时域分析
2. ζ=0 无/零阻尼 s1.2 =ζ- ω n±ω n ζ 2 -1
C注(意s)=：(sd2+=2ζωnωnn2s2+-ω1n2
状态到最终状态的响应过程。
（2）稳态过程 系统在典型信号输入下，当时间t趋于无穷时，
系统输出量的表现方式。
第一节 系统时间响应的性能指标
四、动态性能与稳态性能 （1）动态性能
定义：稳定的系统在单位阶跃函数作用下，动 态过程随时间t的变化状况的指标。
动态性能指标如下图：
第一节 系统时间响应的性能指标
)
•
1 s
=±ωj n
当= (s2ω+dωn2n2 )1• s1n
=
d
将s1 -不(s复2+存ωs n在2 )
单位阶跃响应曲线 c(t) ζ=0
单位阶跃响应: 1
c(t)=1-cosω nt
0
t
无阻尼振荡频率
第三节 二阶系统的时域分析
3.ζ=1 临界阻尼 s1.2 =ζ- ω n±ω n ζ 2 -1=-ωn
f
(
t
)
=
t
.
1(
t
)
=
t
0
t 0 t<0
其拉氏变换为：
L[ f ( t )] = F ( s ) = t
0
第3章 线性系统的时域分析与校正
第3章线性系统的时域分析与校正3.1 概述系统的数学模型建立后，便可对系统进行分析和校正。
分析和校正是自动控制原理课程的两大任务。
系统分析是由已知的系统模型确定系统的性能指标；校正是根据需要在系统中加入一些机构和装置并确定相应的参数，用以改善系统性能，使其满足所要求的性能指标。
系统分析的目的在于“认识”系统，系统校正的目的在于“改造”系统。
系统的分析校正方法一般有时域法、根轨迹法和频域法，本章介绍时域法。
3.1.1 时域法的作用和特点时域法是一种直接在时间域中对系统进行分析校正的方法，具有直观，准确的优点，它可以提供系统时间响应的全部信息，但在研究系统参数改变引起系统性能指标变化的趋势这一类问题，以及对系统进行校正设计时，时域法不是非常方便。
时域法是最基本的分析方法，该方法引出的概念、方法和结论是以后学习复域法、频域法等其他方法的基础。
3．1．2 时域法常用的典型输入信号要确定系统性能的优劣，就要在同样的输入条件激励下比较系统的行为。
为了在符合实际情况的基础上便于实现和分析计算，时域分析法中一般采用如表3-1中的典型输入信号。
3．1．3 系统的时域性能指标如第一章所述，对控制系统的一般要求归纳为稳、准、快。
工程上为了定量评价系统性能好坏，必须给出控制系统的性能指标的准确定义和定量计算方法。
稳定是控制系统正常运行的基本条件。
系统稳定，其响应过程才能收敛，研究系统的性能（包括动态性能和稳态性能）才有意义。
实际物理系统都存在惯性，输出量的改变是与系统所储有的能量有关的。
系统所储有的能量的改变需要有一个过程。
在外作用激励下系统从一种稳定状态转换到另一种稳定状态需要一定的时间。
一个稳定系统的典型阶跃响应如图3-1所示。
响应过程分为动态过程（也称为过渡过程）和稳态过程，系统的动态性能指标和稳态性能指标就是分别针对这两个阶段定义的。
表3-1 时域分析法中的典型输入信号名称)(tr时域关系时域图形)(sR复域关系例单位脉冲函数⎩⎨⎧≠=∞=)(tttδ⎰=1)(dttδdtd1s⨯撞击作用后坐力电脉冲单位阶跃函数⎩⎨⎧<≥=1)(1ttts1开关输入单位斜坡函数⎩⎨⎧<≤=)(ttttf21s等速跟踪信号单位加速度函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥=21)(2ttttf31s1 动态性能系统动态性能是以系统阶跃响应为基础来衡量的。
线性系统的时域分析法二阶系统
04
二阶系统的稳定性分析稳定性定义平衡状态
线性系统在平衡状态下的输出称为平衡状态输出。
稳定性
如果一个系统的平衡状态输出对于所有初始条件和输入都是稳定的，则称该系统是稳定 的。
稳定性判据
劳斯-赫尔维茨判据
数值法
数值法是通过数值计算来求解二阶系 统的方法。它通过将时间轴离散化， 将微分方程转化为差分方程，然后使 用迭代或直接计算的方法求解。
数值法具有简单易行和适用性广的优 点，适用于各种类型的二阶系统。但 是，对于某些特殊类型的系统，数值 法可能存在精度和稳定性问题。
实验法
实验法是通过实际实验来测试二阶系统的方法。它通过在系统中输入激励信号，然后测量系统的输出 响应，从而得到系统的性能参数。
线性系统的时域分析 法二阶系统
目录
CONTENTS
• 线性系统的时域分析法概述 • 二阶系统的基本概念 • 二阶系统的时域分析方法 • 二阶系统的稳定性分析 • 二阶系统的性能指标分析 • 二阶系统的应用实例
01
线性系统的时域分
析法概述
定义与特点
定义
时域分析法是一种通过在时间域 内对系统进行直接分析的方法， 用于研究系统的动态性能和响应 特性。
通过计算系统特征方程的根来判断系统 的稳定性。如果所有根都位于复平面的 左半部分，则系统稳定；如果有根位于 右半部分，则系统不稳定。
VS
Nyquist稳定判据
通过绘制系统的开环传递函数的Nyquist 曲线，判断曲线是否不穿越复平面的右半 部分，从而判断系统的稳定性。
稳定性分析方法
直接法
第三章-线性系统的时域分析法(简)剖析
2）峰值时间tp: 响应从零上升到第一个峰值所需时间。
3）调节时间ts: 响应到达并保持在允许误差范围（终值的
±2%或±5%）内所需的时间。
4）最大超调量σ%： 响应的最大峰值与终值之差，并除以终值，
通常用百分数表示：
% c(t p ) c() 100%
c()
动态性能指标定义1
超调量 % h(tp ) - h() 100%
2、稳态性能指标 通常用系统在阶跃、斜坡、加速度函数作用
下的稳态误差来描述稳态性能；
稳态误差用来衡量系统的控制精度或抗扰动 能力；
稳态误差反映系统复现输入信号的最终精度。
ess
lim e(t)
t
3.2 一阶系统的时域分析
可用一阶微分方程描述其动态过程的系统，称为一阶系统
一、一阶系统的数学模型
R
+
例2：
可见： 1）右半平面无根； 2）虚根： 5s2 25 0, s1.2 j 5 3）其余根：
s4,5 1 j2
s3 1
注意：此时系统不为稳定系统，而是临界稳定系统
例 系统结构图如右， (1)确定使系统稳定的参数(K,x) 的范围; (2)当x2时，确定使全部极点均位于s=-1之左的K值范围。
3.5 线性系统的稳定性分析
要点介绍
1、熟悉系统稳定性的定义； 2、熟练掌握判断系统稳定性的方法； 3、熟练掌握根据稳定性要求确定系统参数的方法。
3.5 线性系统的稳定性分析
一、 稳定性的基本概念
1、稳定性的定义
控制系统在外部扰动作用下偏离其原来的 平衡状态，当扰动消失后，系统仍能自动恢复到 原来的初始平衡状态的性能。 注意：
0
K 9.12
线性系统的时域分析法
三、动态性Leabharlann 和稳态性能动态性能：通常在阶跃函数作用下，测定或计算系统的动
态性能。一般认为阶跃输入对系统来说是最严峻的工作状态。
描述稳定的系统在阶跃函数作用下，动态过程随时间的
变化状况的指标称为动态性能指标。通常包括：
延迟时间 td ：指响应曲线第一次到达稳态值一半所需的时间。
上升时间 tr ：指响应第一次 h(t) % 误差带
洛比特法则
lim lim
(s pi )N (s)
(s pi )N (s) N (s) N ( pi )
s pi
D(s)
s pi
D(s)
D( pi )
f (t) L1
F (s)
L1
n i1
Ai s pi
n i 1
Aie pi t
② 具有多重极点的有理函数的反变换
F (s)
误差平方积分(ISE，Integral of Square Error)
ISE e2 (t)dt 0
( e(t)是输入输出之间存在的误差)
时间乘误差平方积分(ITSE，Integral of Timed Square Error)
ITSE te2 (t)dt 0
误差绝对值积分(IAE，Integral of Absoluted Error)
(s a
j)F (s) sa j
N (s) D(s)
sa j
k1
e j
思考：为何 k1，k2 必为共轭复数？
f
(t)
L1 F (s)
L1
s
A1 p1
k1 sa
j
k2 sa
j
A1e p1t
k1e(a j)t
线性系统的时域分析实验报告
线性系统的时域分析实验报告线性系统的时域分析实验报告引言：线性系统是控制理论中的重要概念，它在工程领域中有广泛的应用。
时域分析是研究线性系统的一种方法，通过对系统输入和输出的时域信号进行观察和分析，可以得到系统的动态特性。
本实验旨在通过对线性系统进行时域分析，探究系统的稳定性、阶数和频率响应等特性。
实验一：稳定性分析稳定性是线性系统的基本性质之一，它描述了系统对于不同输入的响应是否趋于有界。
在本实验中，我们选取了一个简单的一阶系统进行稳定性分析。
首先，我们搭建了一个一阶系统，其传递函数为H(s) = 1/(s+1)，其中s为复变量。
然后，我们输入了一个单位阶跃信号，观察系统的输出。
实验结果显示，系统的输出在输入信号发生变化后，经过一段时间后稳定在一个有限的值上，没有出现发散的情况。
因此，我们可以判断该系统是稳定的。
实验二：阶数分析阶数是线性系统的另一个重要特性，它描述了系统的动态响应所需的最小延迟时间。
在本实验中，我们选取了一个二阶系统进行阶数分析。
我们搭建了一个二阶系统，其传递函数为H(s) = 1/(s^2+2s+1)。
然后，我们输入了一个正弦信号，观察系统的输出。
实验结果显示，系统的输出在输入信号发生变化后，经过一段时间后才稳定下来。
通过进一步分析，我们发现系统的输出波形具有两个振荡周期，这表明系统是一个二阶系统。
实验三：频率响应分析频率响应是线性系统的另一个重要特性，它描述了系统对于不同频率输入信号的响应情况。
在本实验中，我们选取了一个低通滤波器进行频率响应分析。
我们搭建了一个低通滤波器，其传递函数为H(s) = 1/(s+1)，其中s为复变量。
然后，我们输入了一系列不同频率的正弦信号，观察系统的输出。
实验结果显示，随着输入信号频率的增加，系统的输出幅值逐渐减小，表明系统对高频信号有较强的抑制作用。
这一结果与低通滤波器的特性相吻合。
结论：通过以上实验，我们对线性系统的时域分析方法有了更深入的了解。
自动控制原理-第3章
响应曲线如图3-2所示。图中
为输出的稳态值。
第三章 线性系统的时域分析 法
图 3-2 动态性能指标
第三章 线性系统的时域分析 法
动态性能指标通常有以下几种:
延迟时间td: 指响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间
上升时间tr: 若阶跃响应不超过稳态值, 上升时间指响应曲线从 稳态值的10%上升到90%所需的时间; 对于有振荡的系统, 上升时 间定义为响应从零第一次上升到稳态值所需的时间。上升时间越 短, 响应速度越快。
可由下式确定: (3.8)
振荡次数N: 在0≤t≤ts内, 阶跃响应曲线穿越稳态值c(∞)次 一半称为振荡次数。
上述动态性能指标中, 常用的指标有tr、ts和σp。上升时间tr 价系统的响应速度; σp评价系统的运行平稳性或阻尼程度; ts是同
时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。 应当指出, 除简单的一 、二阶系统外, 要精确给出这些指标的解析表达式是很困难的。
中可以看出, 随着阻尼比ζ的减小, 阶跃响应的振荡程度加剧。 ζ =0时是等幅振荡, ζ≥1时是无振荡的单调上升曲线, 其中临界阻尼 对应的过渡过程时间最短。 在欠阻尼的状态下, 当0.4＜ζ＜0.8时过
渡过程时间比临界阻尼时更短, 而且振荡也不严重。 因此在 控制工程中, 除了那些不允许产生超调和振荡的情况外, 通常都希
第三章 线性系统的时域分析法 4. 脉冲函数 脉冲函数(见图3-1(d))的时域表达式为
(3.4)
式中,h称为脉冲宽度, 脉冲的面积为1。若对脉冲的宽度取趋于 零的极限, 则有
(3.5) 及
(3.6)
称此函数为理想脉冲函数, 又称δ函数(见图3-1(e))。
第三章 线性系统的时域分析 法
自控原理(3)
§3.线性系统时域分析
3）欠阻尼即0＜ζ＜1时二阶系统的单位阶跃响应动态性能分析
设r(t)=1，即 R(s) 1 s
则二阶系统在时的单位阶跃响应式为：
C(s)
C(s()s) R(s)
R(sn2)2s2n2n s2n2nn2
s
1 s
n2
1 s
(sC(s1s)sn)2s22(ss)n22n(1R2(nss) 2n)
j
s1
，s2
为一对不等的负实数根。
j
s1、s2
0
0
t
② ζ = 1时，（临界阻尼） s1 ，s2 为一对相等的负实数根。
③ 0＜ ζ ＜1时，（欠阻尼） s1 ，s2 为一对具有负实部的共轭复根。
Automatic Control Theory
§3.线性系统时域分析
④ 当ζ =0时，（无阻尼，零阻尼） s1 ，s2 为一对幅值相等的虚根。
即
e tr
1
2
sin
d
tr
0
由于
e tr
1
2
0，
故只有
故只有 sin dtr 0
所以 t
r
d
1 2 n
sin t d
峰值时间 tp ：指响应从0到达第一次峰值（最大值）时 所 需要的时 间； 由求c (t)极值的方法，即由 c’(t)=0 求得：
t
p
d
1 2 n
Automatic Control Theory
§3.线性系统时域分析
一般式拉氏变换 (S)
1
T s2 2 2Ts 1
二阶系统标准式
2
(s)
n
s2 2 s 2