苏科版九年级数学上册第5章二次函数小结与思考
九年级数学二次函数知识点总结
二次函数是中学数学中一个重要的知识点，它也是函数解题的基本功之一、本文将围绕它的相关知识进行总结，旨在帮助学生更好地掌握这一重要的知识点。
一、定义
从表达形式上来看，二次函数 y=ax2+bx+c （a≠0 ）可以说明它具有二次项x2、它是一元二次函数中最基本的表达形式，也是高中数学中最常见的函数形式。
二、函数曲线
1.曲线特点
二次函数曲线的基本特点是对称性，即关于直线y=mx+n的对称（m 为抛物线的斜率，n为抛物线在y轴上的截距），该直线叫函数曲线的对称轴（又可称为准线）。
其他还有：（1）当a>0时，曲线为上凸的锥形；
（2）当a<0时，曲线为下凹的锥形；
（3）抛物线的顶点（即相对应的x值）为x=-b/2a。
2.应用
结合抛物线的特点，可以应用于实际的几何图形，例如抛物线是球反弹的反弹轨迹，也是一些宇宙物体的运动轨迹，可以应用于水力动力学、声学现象、电磁学等方面。
三、函数的特征和性质
1.函数的表达式
二次函数的表达式有：
（1）一般式：f(x)=ax2+bx+c，（a≠0）
（2）标准式：f(x)=a(x-p)2+q（a>0）
（3）指数式：f(x)=ax2+b（a≠0）
（4）参数式：f(t)=a(t-p)2+q（a>0）
2.性质。
初三数学上学期《二次函数》知识点归纳：苏版
初三数学上学期《二次函数》知识点归纳：苏版
学习是一个不断深入的过程，他需要我们对每天学习的新知识点及时整理，接下来由查字典数学网为大提供了二次函数知识点归纳，望大家好好阅读。
I.定义与定义表达式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
y=ax^2+bx+c
(a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a0时，抛物线向上开口;当a0)，对称轴在y 轴左;
当a与b异号时(即ab0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
Δ= b^2-4ac0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，
当h0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2 +k的图象;
当h>0,k0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;
当h0时，开口向上，当a0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小;当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大.假设a0，图象与x轴交于两点A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2
是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x?-x?|
当△=0.图象与x轴只有一个交点;
当△0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0;当a
5.抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a。
九年级上册数学知识点二次函数
九年级上册数学知识点二次函数（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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《二次函数》九年级数学教学反思范文（精选5篇）
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《二次函数》九年级数学教学反思1二次函数的图像是教学的重点，也是教学的难点。
学会并理解了函数的图像，可以说就掌握了函数的性质。
如何进行函数图像的教学呢？1、学习图像之前，让学生正确画平面直角坐标系，准备不同颜色的彩笔。
2、每节课基本都是学生自己画图、比较、讨论、总结。
本节画出的图像比较，和上节学习的图像比较，和小组其他同学比较，看形状、看开口、看对称轴、看顶点有什么相同点和不同的地方，尽可能自己总结函数的图像。
3、小组展示成果，其他小组听、评和补充。
总结出顶点形式的图像性质。
4、画出函数的图像，根据图像确定ahk的数值。
5、注意二次函数的对称性，步骤是列表、描点、连线。
取值时从对称轴开始取，注意左右对称取值。
《二次函数》九年级数学教学反思2这节课是在学完正、反比例、一次函数，认识了一元二次方程之后的二次函数的第一节课，从课本的体系来看，这节课明显是要让学生明白什么是二次函数，能区别二次函数与其他函数的不同，能深刻理解二次函数的一般形式，并能初步理解实际问题中对定义域的限制。
但是如果光从这些知识点上来讲这节课，其实很简单，学生在原有知识的储备基础上很容易迁移和接受这些知识，那么这节课还有什么好设计的呢？重新思索教材的编写意图，发现课本这部分内容大部分篇幅是在讲三个实际问题，由此引出了二次函数，我才意识其实这节课的重点实际上应该放在“经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验，从而形成定义”上，有了这个认识，一切变得简单了！整节课的流程可以这样概括：学生感兴趣的简单实际问题——引出学过的一次函数——复习学过的所有函数形式——设问：有没有新的函数形式呢？——探索新的问题——形成关系式——是函数吗？——是学过的函数吗？——探索出新的函数形式——概括新函数形式的特点——将特点公式化——形成二次函数定义——有练习巩固定义特点——返回实际问题讨论实际问题对自变量的限制——提出新的问题，深入讨论——课堂的小结，这样设计一气呵成，感觉上无拖沓生硬之处，最关键的是我认为这符合学生的基本认知规律，是容易让学生理解和接受的。
九年级上册二次函数知识点总结
一、引言二次函数是初中数学课程中的重要内容，也是九年级上册数学课本中的重点章节之一。
掌握二次函数的知识对于理解数学原理、解决实际问题都具有重要意义。
通过九年级上册的学习，我们已经初步接触了二次函数的概念和基本性质，下面将对九年级上册二次函数的知识点进行总结，帮助大家巩固所学内容。
二、二次函数的定义1. 二次函数的定义：一般地，形如y=ax^2+bx+c（a≠0）的函数称为二次函数，其中a、b、c是已知常数，且a不等于0。
2. 二次函数的图像：二次函数的图像是抛物线。
抛物线开口方向由二次函数的系数a的正负性决定。
3. 二次函数的自变量、因变量：自变量通常用x表示，因变量通常用y表示。
三、二次函数的图像特征1. 抛物线的开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2. 抛物线的顶点：二次函数的图像在其顶点处取得极值，当a>0时，抛物线的顶点是最小值点；当a<0时，抛物线的顶点是最大值点。
3. 抛物线的对称轴：对称轴是垂直于x轴过抛物线顶点的直线，其方程为x=-b/2a。
4. 抛物线的焦点：焦点是抛物线上所有点到定点的距离与到定直线的距离相等的点。
四、二次函数的基本性质1. 判别二次函数的开口方向：利用二次函数的一阶导数的正负性可以判断抛物线的开口方向。
2. 求解二次函数的零点：利用二次函数的根的求法，可以求出二次函数的零点。
3. 求解二次函数的顶点：利用二次函数的完全平方公式，可以求出二次函数的顶点。
五、二次函数的应用1. 利用二次函数解决实际问题：例如利用二次函数的图像特征和性质，可以解决抛物线运动、抛物线的方程等实际问题。
2. 二次函数与其他函数的关系：二次函数是数学中的一种基本函数，也是其他函数的重要组成部分，掌握二次函数的知识对于理解其他函数具有重要意义。
六、总结九年级上册的二次函数知识点虽然不算太多，但其中蕴含的数学思想和方法却是非常丰富的。
通过对二次函数的定义、图像特征、基本性质和应用进行总结，希望大家能够更加深入地理解和掌握二次函数，为今后的数学学习打下坚实的基础。
苏科版九年级第五章 《二次函数》知识点
第5章 《二次函数》知识点康 进 成一、二次函数的概念和一般式1、概念： ；2、一般式： ；3、自变量的取值范围： ；4、列实际问题的二次函数表达式 ；二、二次函数y=ax 2的图象特征和性质1、特征：开口方向 、顶点坐标 、对称轴 ；2、性质：（1）增减性：当a ＞0时② ；③ ；④ .当a ＜0时② ；② ；③ .（2）最值：当a ＞0时，x= ，有最小值，y 最小值是 ；当a ＜0时，x= ，有最大值，y 最大值是 .三、二次函数2()y a x h k =-+的图像画法、平移规律、特征和性质1、图像画法：列表（取五对数）、描点（描五个点）、连线2、平移规律：左加右减、上加下减3、特征：开口方向 、顶点坐标 、对称轴 .4、性质：（1）增减性：当a ＞0时② ；③ ；④ .当a ＜0时② ；② ；③ .（2）最值：当a ＞0时，x= ，有最小值，y 最小值是 ；当a ＜0时，x= ，有最大值，y 最大值是 .四、二次函数2()y a x h k =-+中a 、h 、k 的意义（1）a 决定 ，（2）h ① ；② ；③ ，（3）k ① ；② ；③ . 五、二次函数一般式2y ax bx c =++对应的顶点式224()24b ac b y a x a a -=++、特征、性质 1、转化：2y ax bx c =++224()24b ac b a x a a -=++. 2、特征：开口方向、顶点坐标（2b a -，244ac b a -）、对称轴是直线2b x a=-. 3、性质（1）增减性：当a ＞0时② ；③ ；④ .当a ＜0时② ；② ；③ .（2）最值：当a ＞0时，x= ，有最小值，y 最小值是 ；当a ＜0时，x= ，有最大值，y 最大值是 .注：由一般式回答图像特征和性质的思路：（1）直接通过计算相关代数式（如2b a-，244ac b a -）的值后解决问题. （2）将一般式转化成顶点式：224()24b ac b y a x a a-=++，结合顶点式来解决问题. 六、二次函数一般式2y ax bx c =++中a 、b 、c 符合和一些重要代数式的符合的确定1、a 看 而确定符合；b 看 而确定符合；c 看 而确定符合；2、2a b +看2b a -与 而确定符合，2a b -看2b a-与 而确定符合， 24b ac -看 而确定符合.3、a b c ++ 而确定符合，a b c -+ 而确定符合， 42a b c ++ 而确定符合，42a b c -+ 而确定符合.七、二次函数的对称规律1、二次函数一般式2y ax bx c =++的对称规律（1）关于x 轴对称的表达式为：2y ax bx c -=++，即：2y ax bx c =---（2）关于y 轴对称的表达式为：()()2y a x b x c =-+-+ 即：2y ax bx c =-+ （3）关于原点轴对称的表达式为：()()2y a x b x c -=-+-+即：2y ax bx c =-+- 2、二次函数顶点式2()y a x h k =-+的对称规律（1）关于x 轴对称的表达式为：2()y a x h k =---（2）关于y 轴对称的表达式为：2()y a x h k =++（3）关于原点轴对称的表达式为：2()y a x h k =-+-八、二次函数的三种形式和用待定系数法确定函数表达式1、一般式：2y ax bx c =++，已知条件 ，设为一般式求出待定系数的值确定表达式.2、顶点式：2()y a x h k =-+，已知条件 ，设为顶点式求出待定系数的值确定表达式.3、交点式：12()()y a x x x x =--，已知条件 ，设为交点式求出待定系数的值确定表达式.九、二次函数与一元二次方程1、二次函数的图像与x 轴的交点情况与相应的一元二次方程的根的情况的关系.2、由24b ac -的符合确定二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的交点情况.3、求二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴、y 轴的交点坐标.4、确定（求出）二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的交点坐标，结合图像由y 值的符合确定x 的取值范围.5、由x 值的取值范围值，结合图像根据x 值的取值范围与抛物线对称轴的位置关系（有三种情况：对称轴在x 值的取值范围右边、之间、左边），而确定y 值的取值范围.6、利用图像由二次函数值与一次函数值、二次函数值与反比例函数值的大小关系确定x 的取值范围（关键是组成方程组，解出方程组的解而确定交点坐标，然后看图像而确定x 的取值范围）.7、利用图像（或表格）确定相应的一元二次方程的近似解.十、二次函数与几何图形的综合1、这类问题的三大特点：一数形结合、二分类讨论、三运动.2、抓住二次函数的性质和一些几何图形的性质3、几何图形有等腰三角形、直角三角形、平行四边形（菱形、正方形）、相似三角形、圆，并注意这些几何图形性质的灵活应用，如等腰三角形中等边对等角，直角三角形中勾股定理，平行四边形（菱形、正方形）中对边平行且相等，由相似三角形得比例式，圆中有圆周角定理、切线长定理的应用等等4、如有求值必找等式，用方程思想解决问题、设动点横坐标，代入函数关系式表示出纵坐标，再写成坐标便于解决问题、注意数值与线段长度的区别十一、用二次函数解决问题1、用二次函数知识解决“数”的问题列二次函数解决问题与列整式方程解决问题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．常见的问题主要是解决最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)问题.2、用二次函数的图像解决“形”问题把涵洞、桥梁、抛物体等“抛物线形”建立在适当地直角坐标系中，转化为二次函数图像而解决问题常见的问题主要是解决涵洞、桥梁、抛物体等“抛物线形”的实际问题.。
九年级数学二次函数知识点总结
二次函数是中学数学中重要的一个章节，主要涉及到解析式、图像和性质等方面。
本文将对九年级数学中二次函数的知识点进行总结，包括定义、基本性质、图像及其变化规律、求解等方面，以及与实际生活中的应用。
一、定义：二次函数是指形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数，其中a、b、c都是实数，并且a的值决定了图像的开口方向。
二、基本性质：1.零点和轴对称：二次函数的零点是使得函数值等于0的x值，零点的个数取决于判别式的值。
二次函数关于y轴对称。
2.求导和凹凸性：二次函数的导数是一次函数，二次函数的凹凸性由二次项系数的符号决定。
当a>0时，函数的图像开口向上，二次函数是凹的；当a<0时，函数的图像开口向下，二次函数是凸的。
3.极值：二次函数的极值点是函数图像的最高点或者最低点，极值点的x坐标是二次函数的顶点。
当a>0时，函数的极值是最小值；当a<0时，函数的极值是最大值。
三、图像及其变化规律：1.开口方向：二次函数的开口方向由二次项系数a的符号决定。
当a>0时，图像开口向上；当a<0时，图像开口向下。
2.平移：二次函数的图像可以进行平移操作，平移后的函数图像仍然是一条二次曲线。
平移的规律是对原函数的输入x进行平移操作。
例如，y=(x-3)²平移到y=x²后，图像整体向右移动3个单位。
3.缩放：二次函数的图像也可以进行缩放操作，缩放后的函数图像仍然是一条二次曲线。
缩放的规律是对原函数的自变量x进行缩放操作。
例如，y=(2x)²相当于y=4x²，图像整体变窄。
四、求解：1. 二次函数的解析式：求解二次函数的关键是求出二次函数的零点，即令y=0，并解方程ax²+bx+c=0。
根据二次函数的解析式，可以根据判别式的值确定二次函数的零点个数，判别式D=b²-4ac。
-当D>0时，有两个不相等的实数根；-当D=0时，有两个相等的实数根；-当D<0时，没有实数根，但有两个共轭复数根。
初中九年级二次函数知识点总结
初中九年级二次函数知识点总结初中九年级二次函数知识点总结总结就是把一个时间段取得的成绩、存在的问题及得到的经验和教训进行一次全面系统的总结的书面材料，它能使我们及时找出错误并改正，让我们一起认真地写一份总结吧。
那么总结应该包括什么内容呢？以下是小编收集整理的初中九年级二次函数知识点总结，希望能够帮助到大家。
初中九年级二次函数知识点总结1教学目标：(1)能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。
(2)注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯教学重点：能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。
教学难点：求出函数的自变量的取值范围。
教学过程：一、问题引新1.设矩形花圃的垂直于墙(墙长18)的一边AB的长为_m，先取_的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积ym2.试将计算结果填写在下表的空格中，AB长_(m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9BC长(m) 12面积y(m2) 482._的值是否可以任意取?有限定范围吗?3.我们发现，当AB的长(_)确定后，矩形的面积(y)也随之确定，y 是_的函数，试写出这个函数的关系式，教师可提出问题，(1)当AB=_m时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少? y=_(20-2_)二、提出问题，解决问题1、引导学生看书第二页问题一、二2、观察概括y=6_2 d= n /2 (n-3) y= 20 (1-_)2以上函数关系式有什么共同特点? (都是含有二次项)3、二次函数定义：形如y=a_2+b_+c(a、b、、c是常数，a≠0)的函数叫做_的二次函数，a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项.4、课堂练习(1) (口答)下列函数中，哪些是二次函数?(1)y=5_+1 (2)y=4_2-1(3)y=2_3-3_2 (4)y=5_4-3_+1(2).P3练习第1，2题。
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A.
B.
C.
D.
考点 综合运用
4.函数的应用
【例 4-2】（2020·抚顺）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，
AC＝BC＝ 2 2 ，CD⊥AB 于点 D．点 P 从点 A 出发，沿 A－D
－C 的路径运动，运动到点 C 停止，过点 P 作 PE⊥AC 于点 E，
作 PF⊥BC 于点 F．设点 P 运动的路程为 x，四边形 CEPF 的
考点 综合运用
3.从图像中获取信息
【例 3-4】一次函数 y1=kx+m 和二次函数 y2=ax2+bx+c 的大致图像如图，请根据图中信息回答问题（在横
线上直接写上答案） (1) 当 x= 1或8 时，y1=y2； (2) 不等式 ax2+bx+c＜0 的 解集是 2＜x＜6 ； (3) 不等式 kx+m＞ax2+bx+c 的解集是 1＜x＜8 ．
(1)求抛物线的函数关系式及顶点 D 的坐标；
考点 综合运用
5【.函例数的5综】合(2应)用若点 M 是抛物线上的一个异于点 C 的一 个动点，求点 M 的坐标，使 S△ABM＝S△ABC；
考点 综合运用
5.函数的综合应用
【例 5】(3)若点 P 是抛物线在直线 BC 下方的一个动 点，求点 P 的坐标，使△BCP 的面积最大．
第5章二次函数 小结与思考
学习目标
1.梳理二次函数章节体系. 2.掌握二次函数的图像与性质. 3.能运用二次函数解决实际问题. 4.综合运用二次函数知识，提升分析与解决问题的能力.
定义
应用
二次 函数
图像
性质
考点 综合运用
1.函数的图像与性质
【例 1】若 A(0，3)，B(2，3)是抛物线 y＝－x2＋bx＋c 上两点，结合图像说出下列性质： （1）开口 向下 ； （2）对称轴为 直线x＝1 ； （3）顶点坐标为 (1，4) ； （4）当 x＝ 1 时，y 取得最 大 值，y 最＝ 4 ；
面积为 y，则能反映 y 与 x 之间函数关系的图像是( A )
C
y
y
y
y
F
2
2
2
2
E
1
1
1
1
A
PD
O 1 2 3 4x O 1 2 3 4x O 1 2 3 4x O 1 2 3 4x
B
A.
B.
C.
D.
考点 综合运用
5.函数的综合应用
【例
5】如图，抛物线
y
1 2
x2
bx
2
与
x
轴交于
A、
B 两点，与 y 轴交于 C 点，A(－1，0)．
④a＋b＋c＜0，⑤4a－2b＋c＜0，其中正确的个数是
A．2 B．3 C．4 D．5
(B )
考点 综合运用
3.从图像中获取信息
【例 3-3】已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点 坐标(－1，－3.2)及部分图像(如图)，由图像可知关 于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根分别是 x1＝1.3 和 x2＝ － 3.3 ．
考点 综合运用
3.从图像中获取信息
【例 3-5】二次函数 y＝x2－2x－1 与反比例函数
y＝－2x的图像如图，试根据图像回答：
y
方程 x2－2x－1＝－2x的解为x= － 1或1；(-1,2)
不等式 x2－2x－1＋2x≥0 的解是 x＜ － 1或0＜x＜ 1或x＞2 ．
o
x
-1
(2,-1)
(1,-2)
考点 综合运用
3.从图像中获取信息
【例 3-1】一次函数 y ax b 和二次函数 y ax2 bx c 在
同一坐标系内的图像
(C )
考点 综合运用
3.从图像中获取信息
【例 3-2】二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像如图所
示，下列结论：①2a＋b＞0，②abc＜0，③b2－4ac＞0，
面积为 y，则能反映 y 与 x 之间函数关系的图像是( )
C
y
F
2
E
1
y
y
y
2
2
2
1
1
1
A
PD
O 1 2 3 4x O 1 2 3 4x O 1 2 3 4.
B.
C.
D.
考点 综合运用
4.函数的应用 C F E
A
PD
B
y
y
y
y
2
2
2
2
1
1
1
1
O 1 2 3 4x O 1 2 3 4x O 1 2 3 4x O 1 2 3 4x
课堂小结：
本节课我们系统复习了二次函数的图像与性质、用待 定系数法确定函数关系式、二次函数与方程以及不等式的 关系、二次函数的应用等，通过运用二次函数的知识解决 综合问题，增强了运用知识解决问题的能力.
希望同学们在夯实基础的同时，学会用函数的眼光看 问题，加强知识的灵活运用，不断提升综合能力.
考点 综合运用
2.增减性运用
【例 2】若点 M(－2， y1 )，N(－1， y2 )，P(8， y3 ) 在抛物线 y 1 x2 2x 上，则下列结论正确的是
2
A． y1 ＜ y2 ＜ y3 B． y2 ＜ y1 ＜ y3 ( C ) C． y3 ＜ y1 ＜ y2 D． y1 ＜ y3 ＜ y2
x（元/件） 12
13
14
15
16
y（件） 1200
1100
1000
900
800
（1）求 y 与 x 的函数关系式；
考点 综合运用
4.函数的应用 【例 4－1】 （2）若线上售价始终比线下每件便宜 2 元，且线上的月销量固定为 400 件．试问：当 x 为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此 时的最大利润．
考点 综合运用
1.函数的图像与性质
【例 1】 （5）当 x＜1时，y 随 x 的增大而增大；当 x＞1时， y 随 x 的增大而减小； （6）该抛物线向左平移 3 个单位，再向下平移 2 个 单位得到的函数解析式是 y＝ －(x ＋ 2)2＋2，该抛物 线关于 x 轴对称的函数解析式 y＝ (x － 1)2 － 4 ， 该函数图像绕原点旋转 180°后的函数图像的解析式 是 y＝ (x ＋ 1)2 － 4 ．
考点 综合运用
4.函数的应用
【例 4－1】(2020·成都)在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，
同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗
疫．已知商家购进一批产品，成本为 10 元/件，拟采取线上和线下两种
方式进行销售．调查发现，线下的月销量 y（单位：件）与线下售价 x
（单位：元/件，12≤x＜24）满足一次函数的关系，部分数据如下表：
考点 综合运用
4.函数的应用
【例 4-2】（2020·抚顺）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，
AC＝BC＝ 2 2 ，CD⊥AB 于点 D．点 P 从点 A 出发，沿 A－D
－C 的路径运动，运动到点 C 停止，过点 P 作 PE⊥AC 于点 E，
作 PF⊥BC 于点 F．设点 P 运动的路程为 x，四边形 CEPF 的