两数和(差)的完全平方公式
第8讲 平方差与完全平方公式(无答案)
第八讲 平方差及完全平方公式【知识梳理】一．1. 平方差公式:()()22b a b a b a -=-+即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。
2. 公式的结构特征①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）。
二． 1.完全平方公式： 22222222ab+b -=a b) (a-ab+b +=a (a+b) 即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍．2. 结构特点左边是二项式（两数和（差））的平方； 右边是两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍。
3. 口诀（记忆方法）：首尾先平方，两倍乘积放中央。
三．整式除法1.同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即n m n m aa a -=÷（n ,0a 、m ≠都是正整数，并且n m >）2.零指数幂任何不等于0的数的0次幂都等于1.即0)1(a a 0≠=3.单项式除以单项式法则单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.4.多项式除以单项式法则多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即c b a cm m bm m am m cm bm am ++=÷+÷+÷=÷++m ）（题型一：直接用公式化简例题1 1）) )(a+b-(a+b+332）223232c)b －－(a c)b+ (a －+;3） c)b c)(a b (a +-++ 4） )1(1+--+b a b a ）（题型二：利用平方差公式和完全平方差公式解决一些复杂数字相乘运算例2 计算 ①31213220⨯ ②计算 2296 ③ 计算 12006200820072+⨯题型三： 构造平方差及列项相消法例3 计算 2313131313643242)－+)+)(+)(+ (（例4 计算⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1001-1811-1161-191-141-1题型四：完全平方公式变形的使用例5 已知5a =-）（b ，3ab =，求2a ）（b +与）（22a 3b +的值例6 已知61=-x x ，求221xx +的值。
平方差公式和完全平方公式
平方差公式和完全平方公式一、平方差公式：设有两个数a和b，平方差公式可以表示为：(a+b)*(a-b)=a^2-b^2例如，对于任意两个实数a和b，有(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab这个公式的应用十分广泛，对于二次方程的因式分解、求根等问题有很大的帮助。
通过平方差公式，可以将一个二次方程因式分解为两个一次方程的乘积，从而简化计算过程。
举个例子，假设有一个二次方程x^2+5x+6=0，我们可以将其因式分解为(x+2)(x+3)=0，然后求解得到x=-2或x=-3通过平方差公式，我们可以简化计算过程，直接得到因式分解的结果。
二、完全平方公式：完全平方公式是指一个二次三项式可以表示为一个完全平方的形式。
设有一个二次三项式x^2 + bx + c，完全平方公式可以表示为：x^2 + bx + c = (x + m)^2 + n其中m和n是常数。
通过完全平方公式，我们可以将一个二次三项式转化为一个完全平方的形式，从而进行进一步的求解。
举个例子，假设有一个二次三项式x^2+6x+9，根据完全平方公式可以将其表示为(x+3)^2通过完全平方公式，我们可以快速得到该二次三项式的解为x=-3与平方差公式类似，完全平方公式也是简化计算的重要工具。
通过完全平方公式，我们可以将一个二次三项式转化为一个完全平方，从而更方便地进行求解。
总结：平方差公式和完全平方公式是数学中常用的两个公式，用于求解一元二次方程。
平方差公式使我们能够将一个二次方程进行因式分解，简化计算过程。
完全平方公式用于将一个二次三项式转化为一个完全平方，进一步求解。
这两个公式在数学的教学和实际应用中有着重要的作用，帮助我们更方便地求解问题，提高计算的效率。
专题八：平方差公式及完全平方式
专题一：平方差公式及完全平方公式【基础知识回顾】1、平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2-b 2.即，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。
2、完全平方公式：(a+b)2=a 2+2ab+b 2,(a-b)2=a 2-2ab+b 2.两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或者减去）它们的积的2倍。
【强化训练】一、填空题1、若x 2+x +m 是一个完全平方式，则m =2、若16)3(22+-+m x 是关于x 的完全平方式，则________=m 。
3、利用_____公式可以对10199⨯进行简便运算，运算过程为：原式=_________________。
4、（－2x+y ）（－2x －y ）=______．5、（－3x 2+2y 2）（______）=9x 4－4y46、已知9x 2-6xy+k 是完全平方式，则k 的值是________．7、9a 2+（________）+25b 2=（3a-5b ）28、已知a 2+14a+49=25，则a 的值是_________．二、解答题1、________________)1)(1()3(2=-+--x x x 2、(5x +3y )(3y －5x )－(4x －y )(4y +x )3、(2x ＋y ＋1)(2x ＋y －1)4、[])56()3()3)(3(2b a b b a b a ÷--+-5、( 3y+2x)26、7、8、9、10、-(-21x 3n+2-32x 2+n )211、(3a+2b)2-(3a-2b)212、(x 2+x+6)(x 2-x+6)13、利用平方差公式计算：2023×191314、已知x +y =7,xy =2,求①2x 2+2y 2的值；②(x －y )2的值.15、已知Q y x P y x y x +-=++=+2222)()(，试求多项式P 和Q16、若016822=+-+-n n m ，求m 、n 的值。
完全平方公式因式分解
完全平方公式因式分解
完全平方公式即(a+b)²=a²+2ab+b²、(a-b)²=a²-2ab+b²。
该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。
该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用，难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解等）。
完全平方公式：
两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的的积的2倍。
（a+b）²=a²﹢2ab+b²
两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的二倍。
﹙a－b﹚²=a²﹣2ab+b²
扩展：
掌握用完全平方公式因式分解的特征.
(1)完全平方式：形如的多项式称为完全平方式.
(2)完全平方公式：公式中的a，b不仅可以表示数字、_____, 也可以是_____.
(3)公式的特征：左边由三项组成，其中有两项分别是某两个数（或式）的平方，另一项是上述两数（或式）的_____，符号可正可负；右边是两项和（或差）的平方.
【解析】
完全平方公式：.公式中的a,b，不仅可以表示数字、单项式，也可以是多项式.
(公式的特征：左边由三项组成，其中有两项分别是某两个数（或式）的平方，另一项是上述两数（或式）的乘积的倍，符号可正可负；右边是两项和（或差）的平方. 【答案】
(2)单项式，多项式.(3)乘积的倍.。
12.3.2 两数和(差)的平方八年级数学上册同步教学辅导讲义(华师大版)
12.3.2两数和〔差〕的平方根底知识1.2222)(b ab a b a ++=+；即两数和的平方，等于这两数的平方和减去它们的积的2倍。
这个公式叫做两数和的平方公式。
2222)(b ab a b a +-=-；即两数差的平方，等于这两数的平方和加上它们的积的2倍。
这个公式叫做两数差的平方公式。
以上两个公式俗称完全平方公式2．完全平方公式的特点：〔1〕左边是一个二项式的完全平方；〔2〕右边是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项为哪一项左边二项式中两项积的两倍；〔3〕公式中的字母，可以代表一个数，还可以代表一个代数式。
3.完全平方公式的变化与推广：ab b a b a 2)(222-+=+；ab b a b a 2)(222+-=+)()(2222b a b a ab +-+=或)]()[(21222b a b a ab +-+= ab b a b a 4)()(22-+=-,ab b a b a 4)()(22+-=+例题例1．计算：2123x y ⎫⎛-+ ⎪⎝⎭． 【答案】224439y x xy -+． 【分析】利用完全平方差公式求解即可.【详解】 解：原式2123x y ⎫⎛=-+ ⎪⎝⎭ 224439y x xy -+=． 【点睛】此题主要考查有理数及整式的运算，属于根底题型.例2．阅读材料：假设2222210x xy y y ++-+=，求x ，y 的值．解：∵2222210x xy y y ++-+=，∴2222210x xy y y y +++-+=，即22()(1)0x y y ++-=．∴0,10x y y +=-=．∴1,1x y =-=．根据你的观察，探究以下问题：〔1〕224428160m mn n n -+++=，求3()m n --的值．〔2〕24,6130a b ab c c -=+-+=，求a b c ++的值．【答案】16．〔1〕18；〔2〕3 【分析】〔1〕将4m 2-4mn +2n 2+8n +16=0的左边分组配方，然后根据偶次方的非负性，可求出m ，n 的值，代入代数式即可得到结论；〔2〕由a -b =4，得到a =b +4，代入的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出b 与c 的值，进而求出a 的值，即可求出a +b +c 的值．【详解】解：〔1〕∵4m 2-4mn +2n 2+8n +16=(2m )2-4mn +n 2+n 2+8n +16=〔2m -n 〕2+〔n +4〕2=0， ∴2m -n =0，n +4=0，∴m =-2，n =-4，∴〔m -n 〕-3=18； 〔2〕∵a -b =4，即a =b +4，代入得：〔b +4〕b +c 2-6c +13=0，整理得：〔b 2+4b +4〕+〔c 2-6c +9〕=〔b +2〕2+〔c -3〕2=0，∴b +2=0，且c -3=0，即b =-2，c =3，a =2，那么a +b +c =2-2+3=3．【点睛】此题考查了完全平方公式的应用，结合偶次方的非负性求值的问题，此题属于中档题．练习1．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形的面积来解释一些代数恒等式，例如图1可以用来解22()()4a b a b ab +--=，那么通过图2中阴影局部面积的计算验证的恒等式是()A ．222()2a b a ab b -=-+B ．22()()a b a b a b -=+-C ．222()2a b a ab b +=++D ．22()(2)2a b a b a ab b -+=+-2．以下各式中，与2(1)x -相等的是()A ．221x x -+B ．221x x --C ．21x -D ．2x 3．9x 2﹣kx ＋4是一个完全平方式，那么常数k 的值为〔〕A ．6B ．±6C ．12D ．±12 4．以下各式中，是完全平方式的是〔〕A ．269x x -+B ．221x x +-C ．2525x x -+D ．216x + 5．m 2+n 2＝1，〔m +n 〕2＝2，那么mn 的值是〔 〕A ．14B ．12C ．1D ．2 6．计算：()22x y +＝_____．7．如果2236x kxy y ++是完全平方式，那么k 的值是________ ．8．22,()1xy x y =-=，那么22x y +=_________．9．x ，y 244y y -=-，假设3axy x y -=，那么实数a 的值为_____________．10．假设()292116x k x --+是完全平方式，那么k 的值为______．11．计算：〔1〕()225a b -+；〔2〕(2)(2)(1)(5)x x x x +-+-+12．先化简，再求值：()()()2211x x x -+--，其中12x =-．13．()218x y +=，()26x y -=，求22x y +及xy 的值． 14．化简：22()()a b a b -+15．〔1〕先化简，再求值，2(32)(32)5(1)(21)x x x x x +-----，其中13x =-． 〔2〕己知2226100x y x y +-++=，求x y +的值．16．[阅读理解]假设x 满足(80)(60)30x x --=，求22(80)(60)x x -+-的值． 解：设80x a -=，60x b -=，那么(80)(60)30x x ab --==，(80)(60)20a b x x +=-+-=，∴222222(80)(60)()220230340x x a b a b ab -+-=+=+-=-⨯=．[解决问题]假设x 满足22(30)(20)120x x -=+-，求(30)(20)x x --的值．参考答案1．A【详解】解：阴影局部的面积：2()a b -，还可以表示为：222a ab b -+，∴此等式是222()2a b a ab b -=-+．应选：A ．2．A【详解】解：22(1)21x x x -=-+，应选：A ．3．D【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k 的值．【详解】解：∵9x 2-kx +4是一个完全平方式，∴-k =±12， 解得：k =±12， 应选：D ．【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键．4．A【分析】根据完全平方公式：〔a ±b 〕2=a 2±2ab +b 2分析各个式子． 【详解】解：()22693x x x -+=-，是完全平方式，221x x +-，2525x x -+，216x +不是完全平方式， 应选A ．【点睛】此题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．要求掌握完全平方公式，并能从复杂的关系中找到平方项和乘积项，利用公式写成平方的形式．5．B【分析】根据m 2+n 2的值，利用完全平方公式将〔m +n 〕2展开进行计算即可．【详解】解：∵m 2+n 2=1，∴〔m +n 〕2=2，∴m 2+2mn +n 2=2，∴1+2mn =2，∴2mn =1，∴mn =12，应选：B ．【点睛】此题考查完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．6．2244.x xy y ++【分析】直接利用完全平方公式进行计算即可得到答案．【详解】解：()222244x y x xy y +=++，故答案为：2244.x xy y ++【点睛】此题考查的是完全平方公式的运用，掌握利用完全平方公式进行运算是解题的关键． 7．±12【分析】根据完全平方公式即可得到结论．【详解】解：∵2236x kxy y ++是完全平方公式，∴2236x kxy y ++=〔x+6y 〕2或者2236x kxy y ++=〔x-6y 〕2，∴k=+12或k=-12，故答案为：±12． 【点睛】此题考查完全平方公式，注意完全平方公式中间项是±2ab ． 8．5【分析】根据222()2x y x y xy -=+-可得222()2x y x y xy +=-+，代入得出答案．【详解】解：∵22,()1xy x y =-=，∴222()2145x x y y y x =-=+++=，故答案为：5．【点睛】此题考查利用完全平方公式变形求值．熟练掌握完全平方公式和它的变形式是解题关键．9．76【分析】2440y y -+=2(2)0y -=，可得x ，y 的值，将之代入3axy x y -=中可得结果．【详解】2440y y -+=，2(2)0y -=，390,20x y ∴+=-=，解得：3,2x y =-=，代入3axy x y -=，得(3)23(3)2a ⨯-⨯-⨯-=， 解得：76a =， 故答案为：76． 【点睛】此题主要考查了完全平方公式及非负数的性质，属于根底题，关键是根据非负数的性质求出x ，y 的值再求解．10．11-或13【分析】利用完全平方式的定义可得()21234k --=⋅⋅或()()21234k --=⋅⋅-，求解即可．【详解】解：∵()292116x k x --+是完全平方式，∴()21234k --=⋅⋅或()()21234k --=⋅⋅-，解得11k =-或13，故答案为：11-或13．【点睛】此题考查利用完全平方式的定义求参数，掌握完全平方式的定义是解题的关键． 11．〔1〕2242025a ab b -+；〔2〕41x【分析】〔1〕根据完全平方公式直接计算即可；〔2〕根据多项式乘多项式的法那么进行计算即可．【详解】〔1〕解：()225a b -+〔2〕原式2242255x x x x x x =-+-++--41x ．【点睛】此题考查完全平方公式、多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式、多项式乘多项式运算规那么．12．3x -，72- 【分析】根据多项式乘多项式的运算法那么、完全平方公式把原式化简，把x 的值代入计算即可．【详解】解：()()221(1)x x x -+-- 3x =-， 当12x =-时，原式=17322--=-． 【点睛】此题考查了整式的化简求值，掌握整式的混合运算法那么是解题的关键．13．2212x y +=；3xy =．【分析】根据完全平方公式对式子进行变形，并将条件整体代入即可．【详解】解：()222222222222222222x y x y x y x y x y x y xy xy +++++++-++=== ()()2222222218612222x y x x y x xy y y y x ++=++-++==+-=； ()()()222222221863444x xy y x xy y x y x y ++--++---====． 【点睛】此题考查了完全平方式，把式子灵活变形是解题关键．14．42242a a b b -+【分析】利用平方差公式和完全平方公式计算即可；【详解】解：()()()2222224224()()2a b a b a b a b a b a a b b ==-=-+⎡⎤⎣⎦-+-+； 【点睛】此题考查了平方差公式和完全平方公式，灵活应用平方差公式及完全平方公式是解题的关键．15．〔1〕95x -，8-；〔2〕-2【分析】〔1〕根据平方差公式和单项式乘多项式、完全平方差公式可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子即可解答此题．〔2〕将等式利用完全平方公式变形，再利用非负数的性质得到x 和y 值，代入计算即可．【详解】解：〔1〕2(32)(32)5(1)(21)x x x x x +-----=2229455414x x x x x --+--+=95x - 将13x =-代入， 原式=1953⎛⎫⨯-- ⎪⎝⎭=8-； 〔2〕∵2226100x y x y +-++=，∴2221690x x y y -++++=，∴()()22130x y -++=，∴x -1=0，y +3=0，∴x =1，y =-3，∴132x y +=-=-．【点睛】此题考查整式的混合运算-化简求值，完全平方公式的应用，解答此类问题的关键是明确整式的混合运算的计算方法．16．10【分析】根据题目所给的方法，设30,20x a x b -=-=，那么22120a b +=，再根据222()2a b a b ab +=+-，即可得出答案． 【详解】解：设30,20x a x b -=-=，22(30)(20)120x x --=+，22120a b ∴+=，那么=3020120a b x x +-+-=，222()2a b a b ab +=+-，【点睛】此题主要考查了完全平方公式，解得的关键是：熟练掌握完全平方公式的变式应用是进行计算的关键．。
平方差公式和完全平方公式
第三讲 平方差公式和完全平方公式【名言警句】细节决定成败！【知识点归纳讲解】（一）平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2-b 2 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差. 特征：①左边：二项式乘以二项式，两数（a 与b ）的和与它们差的乘积. ②右边：这两数的平方差. 平方差公式的常见变形：①位置变化：如()()()()22a b b a b a b a b a +-=+-=-②符号变化：如()()()()()2222a b a b b a b a b a b a ---=---+=--=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦或()()()()()2222a b a b a b a b a b a b ---=-+-=--=-+ ③系数变化：如()()()()()22ma mb a b m a b a b m a b +-=+-=-（二）完全平方公式()()22222222a b a ab b a b a ab b+=++-=-+ 完全平方公式常见变形：① 符号变化：如()()22222a b a b a ab b --=+=++ ()()22222a b a b a ab b -+=-=-+②移项变化：()()22222222a b a ab b a b a ab b +=++-=-+⇒()()22222222a b a b ab a b a b ab+=+-+=-+⇒()()224a b a b ab +--=【经典例题讲解】（一）平方差公式例1：计算：()()()()2244a b b a b a b a ---+-例2：计算：①（2x+y ）(2x-y) ②(y x 3121+)(y x 3121-)③(-x+3y)(-x-3y) ④(2a+b)(2a-b)(4)22b a +.【同步演练】应用平方差公式计算（1）()()a a 2121+- （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+3121312122x x （3）()()y x y x 3232+---例3：某初级中学得到政府投资，进行了校园改造建设，他们的操场原来是长方形，改建后变为正方形，正方形的边长比原来的长方形少6米，比原来的长方形的宽多了6米，问操场的面积比原来大了还是小了？相差多少平方米？（二）完全平方公式例1：已知2291822a b ab a b +==+，，求的值例2：利用完全平方公式计算：（1）1022 （2）1972【同步演练】利用完全平方公式计算：（1）982 （2）2032例3：计算：（1）)3)(3(-+++b a b a （2）)2)(2(-++-y x y x【同步演练】)3)(3(+---b a b a例4：若22)2(4+=++x k x x ，则k =若k x x ++22是完全平方式，则k =例:5：完全平方公式的推广()2222222a b c a b c ab ac bc ++=+++++()222222222a b c d a b c d ab bc cd ad +++=+++++++附加题：若实数222,,9,a b c a b c ++=满足()()()222a b b c c a -+-+-则代数式的最大值是多少？【课堂检测】 （一）平方差公式 一、填空题1、=--+-)2)(2(y y _______.2、=-+)2)(2(y x y x ______.3、=-+)3121)(3121(b a b a ______. 4、=---))((22x a x a _______. 5、=++-))()((22b a b a b a _______. 6、=-+-))((y x y x _______. 7、=+-----+))(())((y x y x y x y x _______. 8、+xy (_______）-xy (_______）81122-=y x . 二、选择题9、下列各式中，能直接用平方差公式计算的是（ ） （A ）)22)(2(b a b a +--; （B ）)2)(2(a b b a +-; （C ）)2)(2(b a b a +--; （D ）)2)(2(b a a b ++-.10、下列各式中，运算结果是223625y x -的是（ ） （A ）)56)(56(x y x y --+- ; （B ）)56)(65(x y y x +-; （C ）)56)(56(x y x y ++- ; （D ）)65)(65(y x y x +--. 三、解答题11.计算)2)(2())((n m n m n m n m -+-+-.12.先化简后求值2),2)(2()2)(2(22-=-+--+x x x x x .13.解方程4)2()1)(1(2=---+x x x x .（二）完全平方公式 一、填空题1、=-+)2)(2(b a b a _______.2、)5(x +-_______225x -=. 用平方差公式计算并填空3、)218(5.75.8+=⨯__ ___4363=. 4、=⨯95105_______.5、=-+22)2()2(y x y x （_______）2. 二、选择题6、=+----))((y x y x _______.（ ）（A ）22y x +-;（B ）22y x -;（C ）22y x --;（D ）22y x +.7、如果16)(2-=+a m a p ，则（ ）（A ）4),4(=+=m a p ; （B ）4),4(-=-=m a p （C ）4),4(-=+=m a p ; （D ）4,4=+-=m a p . 三、解答题8、解不等式x x x x x 3)6()3)(3(>+-+-.9、解方程)1)(1(2)3)(12(+-=+-x x x x .10、先化简后求值)5)(5(2)4)(3(-+-+-x x x x ，其中10-=x11、一个梯形上底是)(b a +㎝，下底是)(b a -㎝，高为)2(b a +㎝，求梯形的面积，若2,215==b a ，求这个梯形的面积.【课后作业】一、填空题（每题2分，共28分）1．(34=⋅a a ____()⨯____34)+=a ; 2．=-⋅-54)()(x y y x _________; 3．()(23=m _____)(_____23)⨯=m ; 4．=-⋅--535)(])([a a _________; 5．=⨯3)87(_________3387⨯=; 6．(8164=y x ______2); 7．已知长方形的长是m 4，它的面积是nm 20，则它的宽是_________;8．=⋅+-222483)41(6y x x y x xy _________;9．=⋅+n m 2)7(_________;10．=+--)()(b a a a b b _________; 11．=++))((t z y x _________; 12．=+++-))()()((4422b a b a b a b a _________; 13．=++-+-))((c b a c b a _________; 14．=--+22)()(b a b a _________. 二、选择题（每题3分，共12分）15．下列各式中正确的是（ ）（A ）222)(b a b a -=-; （B ）2222)2(b ab a b a ++=+; （C ）222)(b a b a +=+; （D ）2222)(b ab a b a +-=+-.16．计算)102.2()105.3(53⨯⨯⨯的结果并用科学记数法表示，正确的结果是（ ） （A ）770000000;（B ）71077⨯;（C ）8107.7⨯;（D ）7107.7⨯.17．20072006)32()23(⋅-的计算结果是（ ）（A ）23-;（B ）32-;（C ）32;（D ）23.18．下列计算正确的是（ ）（A ）1262432a a a a a =⋅+⋅; （B ）252212)2(3bc a c a ab =⋅;（C ）322322+=⋅⋅+⋅n n a a a a a a ; （D ）432222)21()2(y x y x xy -=-⋅-.三、简答题：（每题6分，共30分）19．计算：4453)()(a a a a -+-20．结果用)(y x -的幂的形式表示62323)(2])[(])[(y x x y y x -+-+-.21．用简便方法计算63720052006)2()81()125.0()8(⨯+-⨯-22．计算453210)2()(b a ab b a +⋅- .23．计算)1()1(22++-++x x x x x . 24．计算))()((22b a b a b a -+-.四、解答题（每题5分，共20分）25．解方程)2(2)2()1(-=++-x x x x x x26．化简并求值31,3),3)(3(==--b a a b b a 其中.27．化简并求值2,)1()12(22-=-++x x x 其中.28.计算2)(c b a --29.综合题（10分，每小题5分）（1）已知一个圆的半径若增加2厘米，则它的面积就增加39平方厘米，求这个圆的直径.（用π的代数式表示这个圆的直径）（2）阅读：若一家商店的销售额10月比9月份增长（减少）10%，则设这家商店9月10月份销售额的增长率为0.1（-0.1）；理解：甲、乙两店9月份的销售额均为a万元，在10月到11月这两个月中，甲，问到商店的销售额的平均每月增长率为x，乙商店的销售额平均每月的增长率为x11月底时，甲商店的销售额比乙商店的销售额多多少万元（用a和x的代数式表示结果）.【课后作业】家长意见及建议：家长签字：日期：年月日。
完全平方公式专项练习50题(有答案)
完全平方公式专项练习知识点：完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
1、完全平方公式也可以逆用，即a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)22、能否运用完全平方式的判定①有两数和（或差）的平方即：(a+b)2或(a-b)2或(-a-b)2或(-a+b)2②有两数平方，加上（或减去）它们的积的2倍，且两数平方的符号相同。
即：a2+2ab+b2或a2-2ab+b2-a2-2ab-b2或-a2+2ab-b2专项练习：1．（a＋2b）22．（3a－5）23.．（－2m－3n）24.（a2－1）2－（a2＋1）25.（－2a＋5b）26.（－12ab2－c）2 237.（x－2y）（x2－4y2）（x＋2y）8.（2a＋3）2＋（3a－2）29.（a－2b＋3c－1）（a＋2b－3c－1）；10.（s－2t）（－s－2t）－（s－2t）2；11.（t－3）2（t＋3）2（t2＋9）2．12.972；13.20022；14.992－98×100；15.49×51－2499．16.（x－２y）（x＋２y）－（x＋２y）217.（a＋b＋c）（a＋b－c）18.（２a＋１）2－（１－２a）219.（３x－y）2－（２x＋y）2＋５x（y－x）20.先化简。
再求值：（x＋２y）（x－２y）（x2－４y2），其中x＝２，y＝－１.21.解关于x的方程：（x＋1111）2－（x－）（x＋）＝. 444422.已知x－y＝９，x·y＝５，求x2＋y2的值.23.已知a（a－１）＋（b－a2a2+b2）＝－７，求－ab的值.224.已知a＋b＝7，ab＝10，求a2＋b2，（a－b）2的值．325.已知2a－b＝5，ab＝，求4a2＋b2－1的值．226.已知（a＋b）2＝9，（a－b）2＝5，求a2＋b2，ab的值．a2+b227.已知(a+b)2=16,ab=4,求与(a-b)2的值。
两数平方差的公式
两数平方差的公式是什么平方差公式是先平方再减a²-b²=(a+b)(a-b)。
完全平方公式是先加减最后是平方(a±b)²=a²±2ab+b²。
平方差公式是指两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差，这一公式的结构特征：左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方差。
公式中的字母可以表示具体的数(正数和负数)，也可以表示单项式或多项式等代数式。
该公式需要注意：1.公式的左边是个两项式的积，有一项是完全相同的。
2.右边的结果是乘式中两项的平方差，相同项的平方减去相反项的平方。
3.公式中的a，b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式。
完全平方公式指两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
为了区别，会叫做两数和的完全平方公式，或叫做两数差的完全平方公式。
这个公式的结构特征：1.左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍；2.左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接；左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍（注：这里说项时未包括其符号在内）。
公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等数学式。
该公式需要注意：1.左边是一个二项式的完全平方。
2.右边是二项平方的和，加上（或减去）这两项乘积的二倍，a 和b可是数，单项式，多项式。
3.不论是(a+b)2还是(a-b)2，最后一项都是加号，不要因为前面的符号而理所当然的以为下一个符号。
4.不要漏下一次项。
5.切勿混淆公式。
6.运算结果中符号不要错误。
7.变式应用难，不易于掌握。
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两数和（差）的平方教案设计
泌阳县春水镇中心学校刘老师
教学内容
教科书P.32——P.34的内容
本节课是华师大八年级（上）义务教育课程标准实验教材第12章第3节第二课时的内容。
它是学生在已经掌握整式的加减法、幂的运算、单项式乘法、多项式乘法之后进行学习的。
一方面它是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结；另一方面也是后续学习的基础，不仅对提高学生运算速度、准确率有较大作用，更是今后学习因式分解、解一元二次方程、配方法、分式运算的知识基础，同时乘法公式的推导是初中代数中运用推理方法进行代数式恒等变形的开端。
通过乘法公式的学习对简化某些整式的运算、培养学生的求简意识有较大好处。
一、教学目标
1．能说出两数和的平方与两数差的平方公式的特点，并会用式子表示。
2．能正确地利用两数和的平方与两数差的平方公式进行多项式的乘法。
3．通过两数和的平方与两数差的平方公式的得出，使学生明白数形结合的思想。
二、教学重难点
重点：掌握公式的特点，牢记公式。
难点：对具体问题会运用公式以及理解字母的广泛含义。
关键：引导学生对本节课公式结构特征进行理解，并注意同两数与这两数差的积的公式进行区分。
教学过程
一、创设情景、问题导入
很久很久以前,有一个国家的公主被妖怪抓到了森林里,两个农夫一起去森林打猎时打死了妖怪救出了公主。
国王要赏赐他们, 这两个农夫原来各有一块边长为a米的正方形土地, 第一个农夫就对国王说：“您可不可以再给我一块边长为b 米的正方形土地呢？”国王答应了他，国王问第二个农夫：“你是不是要跟他一样啊?”第二个农夫说：“不，我只要您把我原来的那块地的边长增加b米就好了。
国王想不通了，他说：“你们的要求不是一样的吗？” 你认为他们的要求一样吗？
以小组为单位，讨论交流a2+b2与(a+b)2的大小.思考怎样计算(a+b)2，结果是多少？
二、探究新知，得出公式
方法一、利用代数方法计算
(a+b)2＝(a+b) (a+b)＝a2＋2ab＋b2
方法二、利用几何图形的面积的两种表示方法验证。
如下图
在左图中，大正方形的面积是(a ＋b)2
，它由两个小正方形和两个相等的长方形组成的，
两个小正方形的面积分别是a 2、b 2，长方形的面积是ab ，所以有等式(a ＋b)2=a 2＋2ab ＋b 2。
在右图中，大正方形的面积是a 2，两个小正方形的面积分别是(a －b)2、b 2，两个相等的
长方形面积都是(a －b)·b ，于是有a2=(a －b)2＋2(a －b)·b ＋b 2，即(a －b)2=a 2－2(a －b)·b
－b 2=a 2－2ab ＋b 2。
(让学生进一步感受“数形结合”的思想。
) 于是就可以得到
(a ＋b)2=a 2＋2ab ＋b 2 ( 两数和的平方 )
(a －b)2= a 2－2ab ＋b 2( 两数差的平方 )
这两个公式也叫完全平方公式。
三、探索特征、感悟规律：
1、你发现公式有何特征吗？
（1）公式左边是两数的和的平方，即两个相同的二项式相乘，括号内是两项的和（差），即a+b 或(a －b)。
（2）右边是一个三项式，且首尾两项是左边二项式中的两项的平方和，即a 2＋b 2，中间是这两项积的2倍，即2ab 。
友情提示：（a+b ）2≠a 2＋b 2（再次展示面积之间的关系）。
2、语言叙述：你能否用自己所理解的语言叙述公式？
两数和（差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们乘积的2倍。
可以总结为口诀：
首平方，尾平方，首尾之积的2倍放中央，中间的符号回头望。
四、举例及应用
1、例1、计算（课本例4）
（1）（2x ＋3y ）2 （2）(2a+2
)2b
2、例2、计算（课本例5）
（1）（3x-2y ）2 （2）（12
1-+m ）2 （3）()21--a 3、练习，快速抢答
（1） (2x - 3)2 （2）(4x +5y)2
（3）(mn - a)2 （4）(-3b +2c)2
（5）(-2b-5)2
4、例3、利用完全平方公式进行计算
（1）1032 （2）1982
5、你会用乘法公式计算吗？
（1）（m ＋n ）（m －n ）（m 2－n 2） （2）（a ＋b ＋c ）2
先让学生讨论，再解答，交流体会。
五、课堂小结
1.这两个公式是多项式乘法的特殊形式，熟记它们的特点。
2.公式中的字母可以是数也可以是单项式或多项式。
3.在解决具体问题时，要先考查题目是否符合公式条件，若不符合，需要先进行变形， 使式子符合条件后，在应用公式。
六、布置作业
课本第36页1，2,3题。
七、板书设计
一、创设情境，问题导入 二、探究新知，得出公式 (a ＋b)2=a 2＋2ab ＋b 2 (a －b)2= a 2－2ab ＋b 2 三、探索特征、感悟规律：
首平方，尾平方，首尾之积的2倍 放中央，中间的符号回头望。
四、举例及应用
例1（1）（2x ＋3y ）2 （2）(2a+2)2b
例2（1）（3x-2y ）2 （2）（12
1-
+m ）2 （3）()21--a 例3（1）1032 （2）1982
五、课堂小结 六、六、布置作业
八、课后反思
本节课虽然算不上课本中的难点，但在整式一章中是个重点。
它是多项式乘法特殊形式下的一种简便运算。
学生需要熟练掌握公式两种形式的使用方法，以提高运算速度。
授课过程中，应注重让学生总结公式的等号两边的特点，让学生用语言表达公式的内容，让学生说明运用公式过程中容易出现的问题和特别注意的细节。
然后再通过逐层深入的练习，巩固完全平方公式两种形式的应用。
为两数和的平方第二节课的实际应用和提高应用做好充分的准备。