河南省中原名校2017-2018学年高三上学期第一次联考数学(理)试题 Word版含答案
河南省中原名校2017-2018学年高三上学期第一次联考 数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、已知{}2R y y x M =∈=，{}22R 2x xy N =∈+=，则MN =（ ）A ．()(){}1,1,1,1-B ．{}1C ．[]0,1 D．⎡⎣2、“x∃∈Z ，使220x x m ++≤”的否定是（ ）A ．x ∃∈Z ，使220x x m ++> B ．不存在x ∈Z ，使220x x m ++> C ．对x ∀∈Z ，使220x x m ++≤ D ．对x ∀∈Z ，使220x x m ++> 3、在C ∆AB 中，若点D 满足D 2DC B =，则D A =（ ）A ．12C 33A +AB B ．52C 33AB -A C ．21C 33A -ABD ．21C 33A +AB4、为了纪念抗日战争胜利70周年，从甲、乙、丙等5名候选民警中选2名作为阅兵安保人员，为9月3号的阅兵提供安保服务，则甲、乙、丙中有2个被选中的概率为（ ）A ．310B ．110C ．320D ．1205、函数()21log f x x=+与()12xg x -=在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ． 6、设()0cos f x x=，()()10f x f x '=，()()21f x f x '=，⋅⋅⋅，()()1n n f x f x +'=，n *∈N ，则()2016f x =（ ）A ．sin xB ．cos xC ．sin x -D ．cos x -7、由曲线1y x =，直线12x =，2x =及x 轴所围成图形的面积是（ ）A ．1ln 22B ．2ln 2C ．154D ．1748、已知集合{},,a b c M =，{}1,0,1N =-，从M 到N 的映射f 满足()()()0fa f bf c--=，那么映射f 的个数为（ ）A ．7B ．5C ．4D ．2 9、若函数()f x ，()g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()xf xg x e =+，则（ ）A ．()()()023g f f <<B ．()()()032g f f <<C ．()()()203f g f << D ．()()()230f f g <<10、《九章算术》“竹九节”问题：现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为（ ）A ．6766升B ．4744升C ．3733升 D ．1升11、下列中是假的是（ ） A ．R m ∃∈，使()()2431mm f x m x -+=-⋅是幂函数，且在()0,+∞上递减B ．函数()()21lg 14f x x a x a ⎡⎤=++-+⎢⎥⎣⎦的值域为R ，则6a ≤-或0a ≥ C ．关于x 的方程2210ax x ++=至少有一个负根的充要条件是1a ≤ D ．函数()y f a x =+与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称12、设m ，n ∈Z ，已知函数()()2log 4f x x =-+的定义域是[],m n ，值域是[]0,2，若函数()121x g x m -=++有唯一的零点，则m n +=（ ）A ．2B ．2-C ．1D ．0 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13、已知集合{}10x ax A =+=，{}1,1B =-，若A B =A ，则实数a 的所有可能取值的集合为 ．14、若25a bm ==，且112a b +=，则m = ．15、已知点()1,1A -，()1,2B ，()C 2,1--，()D 3,4，则向量AB 在CD 方向上的投影为 ． 16、已知函数()()22211f x x x k=---+，给出下列四个：①存在实数k ，使得函数恰有2个不同的零点； ②存在实数k ，使得函数恰有4个不同的零点； ③存在实数k ，使得函数恰有5个不同的零点； ④存在实数k ，使得函数恰有8个不同的零点．其中真的序号是 （把你认为正确的序号全写上）．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17、（本小题满分10分）设:p 函数()21lg 16f x ax x a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的定义域为R ；:q 不等式39x x a -<对一切正实数x 均成立．()I 如果p 是真，求实数a 的取值范围；()II 如果p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．18、（本小题满分12分）已知二次函数()y f x =的图象经过坐标原点，其导函数为()62f x x '=-．数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(),n n S （n *∈N ）均在函数()y f x =的图象上．()I 求数列{}n a 的通项公式；()II 设13n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得2016n mT <对所有的n *∈N 都成立的最小正整数m ．19、（本小题满分12分）在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量()cos ,cos m =A B ，(),2n a c b =-，且//m n ．()I 求角A 的大小；()II 若4a =，求C ∆AB 面积的最大值．20、（本小题满分12分）为了解决西部地区某希望小学的师生饮水问题，中原名校联谊会准备援建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度），设该蓄水池底面半径为r 米，高h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．()I 将V 表示成r 的函数()V r ，并求函数的定义域；()II 讨论函数()V r 的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．21、（本小题满分12分）已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f =，若a ，[]1,1b ∈-，0a b +≠时，有()()0f a f b a b +>+成立．()I 判断()f x 在[]1,1-上的单调性，并证明；()II 解不等式：1121f x f x ⎛⎫⎛⎫+< ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭；()III 若()221f x m am ≤-+对所有的[]1,1a ∈-恒成立，求实数m 的取值范围．22、（本小题满分12分）已知函数()()32ln 2123x f x ax x ax=++--（R a ∈）．()I 若2x =为()f x 的极值点，求实数a 的值；()II 若()y f x =在[)3,+∞上为增函数，求实数a 的取值范围；()III 当12a =-时，函数()()3113x by f x x -=---有零点，求实数b 的最大值．河南省中原名校2016届高三上学期第一次联考 数学（理）试题参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.DDDAC BBAAA DC二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）(13){}1,0,1-(14) (15) 223 (16) ①②③④ 三、解答题：（本题共6小题,共70分,解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤） (17) (本题满分10分)解： （Ⅰ）由题意，若p 为真，则21016ax x a -+>对任意实数x 恒成立.若0,a =显然不成立；……………………………….2分若0,a ≠则20110,4a a >⎧⎪⎨∆=-<⎪⎩解得2,a >……………………………….4分故p 为真时，a 的取值范围为()2,.+∞……………………………….5分（Ⅱ）若q 为真，则39xxa -<对一切正实数x 恒成立.而21139(3).24x x x -=--+ 因为0x >，所以31x >，所以()(39),0x x -∈-∞，因此0a ≥故q为真时，0a ≥.……………………………….7分 又因为p 或q 为真，p 且q 为假，即p 与q 一真一假.若p 真q 假，则20a a >⎧⎨<⎩解得a ∈Φ……………………………….9分 若p 假q 真，则20a a ≤⎧⎨≥⎩解得02a ≤≤……………………………….11分 综上所述，满足题意得实数a 的取值范围为[]0,2……………………………….12分(18) (本题满分12分)解：（Ⅰ） 依题意可设二次函数2()(0)f x ax bx a =+≠则'()2f x ax b =+'2()62,3,2,()32.f x x a b f x x x =-==-∴=-…………………2分点*(,)()n n S n N ∈均在函数()y f x =的图像上， 232n S n n ∴=-…………………3分当2n ≥时，221323(1)2(1)65n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦………………5分当1n =时11a =也适合，*6 5.()n a n n N ∴=-∈………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知[]133111().(65)6(1)526561n n n b a a n n n n +===--+--+………7分故11111111(1)()()(1).277136561261n T n n n ⎡⎤=-+-++-=-⎢⎥-++⎣⎦L …………………9分因此，要使*11(1)()2612016m n N n -<∈+成立，m 必须且仅需满足122016m ≤……11分即1008,1008m m ≥∴满足要求的最小正整数为………………………12分 (19) (本题满分12分)解：（Ⅰ）因为//m n u r r，所以acos B －(2c －b)cos A ＝0，由正弦定理得sin Acos B －(2sin C －sinB)cos A ＝0，……… 2分所以sin Acos B －2sin Ccos A ＋sin Bcos A ＝0， 即sin Acos B ＋sin Bcos A ＝2sin Ccos A ， 所以sin(A ＋B)＝2sin Ccos A.又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin Ccos A ，……… 4分 因为0<C<π，所以sin C>0，所以cos A ＝12，又0<A<π，所以A ＝π3……… 6分 （Ⅱ）由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A ，……… 8分 所以16＝b2＋c2－bc≥bc ，所以bc≤16，当且仅当b ＝c ＝4时，上式取“＝”，……… 10分 所以ABC ∆面积为S ＝12bcsin A≤43， 所以ABC ∆面积的最大值为43.……… 12分 (20) (本题满分12分)解：（Ⅰ）∵蓄水池的侧面积的建造成本为1002200rh rh ππ⨯=元，底面积成本为2160r π元，∴蓄水池的总建造成本为2(200160)rh r ππ+ 即2200160rh r ππ+12000π=∴h=21(3004)5h r r =-∴2()V r r h π= 2r π=•21(3004)5r r -=5π3(3004)r r -………………………4分又由0r >，0h >可得0r <<故函数()V r的定义域为………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）中()5V r π=3(3004)r r -，（05r <<可得'()V r =5π2(30012)r -，（05r <<）∵令'()V r =5π2(30012)0r -=，则5r =………………………8分 ∴当(0,5)r ∈时，'()0V r >，函数()V r 为增函数.当r ∈时，'()0V r <，函数()V r 为减函数且当5,8r h ==时该蓄水池的体积最大. . ………………………12分 (21) (本题满分12分)解：（Ⅰ）()f x 在[]1,1- 上为增函数，证明如下：设任意12,x x []1,1∈-，且12x x <，在()()0f a f b a b +>+中令1a x =，2b x =-，可得1212()()0()f x f x x x +->+-，又∵()f x 是奇函数，得22()()f x f x -=-，∴1212()()f x f x x x ->-．∵12x x <，∴120x x -<， ∴12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <故()f x 在[]1,1-上为增函数……………4分（Ⅱ）∵()f x 在[]1,1-上为增函数，∴不等式11()()21f x f x +<-，即 111121x x -≤+<≤- 解之得3,12x ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭，即为原不等式的解集；……………8分 （Ⅲ）由（I ），得()f x 在[]1,1- 上为增函数，且最大值为(1)1f =，因此，若2()21f x m am ≤-+对所有的[]1,1a ∈-恒成立，2211m am -+≥对所有的[]1,1a ∈-恒成立,设2()20g a ma m =-+≥对所有的[]1,1a ∈-恒成立………………………10分 若0m =则()00g a =≥对[]1,1a ∈-恒成立 若0m ≠若()0g a ≥对所有的[]1,1a ∈-恒成立必须(1)0g -≥且(1)0g ≥，2m ≤-或2m ≥综上：m 的取值范围是02m m =≤-或或2m ≥ ………………………12分 (22) (本题满分12分)解：（Ⅰ）'()f x =2a 2ax ＋1＋x2－2x －2a＝x[2ax2＋－－＋2ax ＋1.因为x ＝2为()f x 的极值点，所以f′(2)＝0， 即2a 4a ＋1－2a ＝0，解得a ＝0. ……… 2分 （Ⅱ）因为函数()f x 在区间[3，＋∞)上为增函数，所以'()f x =x[2ax2＋1－－＋2ax ＋1≥0在区间[3，＋∞)上恒成立．……… 3分①当a ＝0时，'()f x =x(x －2)≥0在[3，＋∞)上恒成立，所以()f x 在[3，＋∞)上为增函数，故a ＝0符合题意． ……… 5分②当a≠0时，由函数()f x 的定义域可知，必须有2ax ＋1>0对x≥3恒成立，故只能a>0， 所以2ax2＋(1－4a)x －(4a2＋2)≥0在[3，＋∞)上恒成立． 令函数g(x)＝2ax2＋(1－4a)x －(4a2＋2)，其对称轴为x ＝1－14a ，因为a>0，所以1－14a <1，要使g(x)≥0在[3，＋∞)上恒成立，只要g(3)≥0即可，即g(3)＝－4a2＋6a ＋1≥0， 所以3－134≤a≤3＋134. 因为a>0，所以0<a≤3＋134.综上所述，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3＋134 ……… 7分（Ⅲ）当a ＝－12时，函数3(1)(1)3x by f x x -=---有零点等价于方程f(1－x)＝－3＋bx 有实根，f(1－x)＝－3＋b x 可化为ln x －(1－x)2＋(1－x)＝b x .问题转化为b ＝xln x －x(1－x)2＋x(1－x)＝xln x ＋x2－x3在(0，＋∞)上有解，即求函数g(x)＝xln x ＋x2－x3的值域． ……… 8分因为函数g(x)＝x(ln x ＋x －x2)，令函数h(x)＝ln x ＋x －x2(x>0)，则'()h x = 1x＋1－2x ＝＋－x，所以当0<x<1时，'()h x >0，从而函数h(x)在(0,1)上为增函数，当x>1时，'()h x <0，从而函数h(x)在(1，＋∞)上为减函数，因此h(x)≤h(1)＝0. ……… 10分 而x>0，所以b ＝x·h(x)≤0，因此当x ＝1时，b 取得最大值0. ……… 12分。
河南省中原名校高三数学上学期期中联考试卷 理 新人教A版
高三数学（理）试题考试时间：120分钟 试卷满分：150分本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，分别答在答题卷上。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集A ＝{x ｜－1≤2x ＋1≤3}，B ＝{x ｜2x x－≤0}，则A ∪B ＝ A ．{x ｜－1≤x ＜2} B ．{x ｜－1≤x ≤2} C ．{x ｜0≤x ≤2} D ．{x ｜0≤x ≤1}2．设f （x ）＝lgx ＋x －3，用二分法求方程lgx ＋x －3＝0在（2，3）内近似解的过程中得f （2．25）＜0，f （2．75）＞0，f （2．5）＜0，f （3）＞0，则方程的根落在区间 A ．（2，2．25） B ．（2．25，2．5） C ．（2．5，2．75） D ．（2．75，3）3．已知α，β为不重合的两个平面，直线m ⊂α，那么“m ⊥β”是“α⊥β”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．函数f （x ）＝Asin （ωx ＋ϕ）（其中A ＞0，ω＞0，｜ϕ｜＜2π）的图象如图所示，为 了得到g （x ）＝sin2x 的图象，则只需将f （x ）的图象A ．向右平移6π个长度单位 B ．向右平移3π个长度单位C ．向左平移6π个长度单位D ．向左平移3π个长度单位5．已知{n a }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，n S 为{n a }的前n 项 和，n ∈N ﹡，则S 10的值为A ．－110B ．－90C ．90D ．110 6．已知x ＞0，y ＞0，若222y xm m x y8＋＞＋恒成立，则实数m 的取值范围是 A ．m ≥4或m ≤－2 B ．m ≥2或m ≤－4C ．－2＜m ＜4D ．－4＜m ＜27．已知向量a ＝（cos θ，sin θ），向量b ＝（3，－1）,则｜2a －b ｜的最大值与最小A ．42B ．6C ．4D ．168．已知函数f （x ）＝n x ＋11n n a x--＋22n n a x--＋…＋1a x ＋0a （n ＞2且n ∈N ﹡）设0x 是函数f （x ）的零点的最大值，则下述论断一定错误的是A ．0()0f x '≠B ．0()f x '＝0C ．0()f x '＞0D ．0()f x '＜0 9．给出下列四个命题：①命题p ：x ∀∈R ，sinx ≤1，则p ⌝：x ∃∈R ，sinx ＜1． ②当a ≥1时，不等式｜x －4｜＋｜x －3｜＜a 的解集为非空． ③当x ＞0时，有lnx ＋1ln x≥2． ④设复数z 满足（1－i ）z ＝2i ，则z ＝1－i ． 其中真命题的个数是A ．0B ．1C ．2D ．310．已知F 是双曲线2221x a b2y －＝（a ＞0，b ＞0）的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为A ．（1，＋∞）B ．（1，2）C ．（1，1＋2）D ．（2，1＋2） 11．已知n a ＝1()3n，把数列{n a }的各项排列成如下的三角形状，记A （m ，n ）表示第m 行的第n 个数，则A （10，12）＝A ．931()3B ．921()3C ．941()3D ．1121()312．在平面直角坐标系xOy 中，点A （5，0），对于某个正实数k ，存在函数f （x ）＝a 2x（a ＞0）．使得OP ＝λ·（OA OA＋OQ OQ）（λ为常数），这里点P 、Q 的坐标分别为P （1，f （1）），Q （k ，f （k ）），则k 的取值范围为A ．（2，＋∞）B ．（3，＋∞）C ．[4，＋∞）D ．[8，＋∞）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．8(2x x＋的展开式中常数项为___________________．14．设z ＝2x ＋y ，其中x ，y 满足000x y x y ⎧⎪⎨⎪⎩＋≥－y ≤≤≤k ，若z 的最大值为6，则z 的最小值为_________．15．在平面直角坐标系中，记抛物线y ＝x －2x 与x 轴所围成的平面区域为M ，该抛物线与直线y ＝kx （k ＞0）所围成的平面区域为A ，向区域M 内随机抛掷一点P ，若点P 落在区域A 内的概率为827，则k 的值为__________． 16．如图，在四边形ABCD 中，BC ＝λAD （λ∈R ），｜AB ｜＝｜AD ｜＝2，｜CB －CD ｜＝23，且△BCD 是以BC 为斜边的直角三角形，则CB ·BA 的值为__________．三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
河南省顶级名校2017-2018学年高三上学期月考数学试卷(理科) Word版含解析
河南省顶级名校2017-2018学年高三上学期月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）已知集合M={x|x≥x2}，N={y|y=2x，x∈R}，则M∩N=（）A．（0，1）B．C．2．（5分）已知复数z=，则z的虚部是（）A．B．﹣C．﹣i D．﹣3．（5分）某学生在一门功课的22次考试中，所得分数茎叶图如图所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为（）A．117 B．118 C．118.5 D．119.54．（5分）已知双曲线my2﹣x2=1（m∈R）与椭圆+x2=1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±3x5．（5分）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a m+1•a m﹣1=2a m（m≥2），数列{a n}的前n项积为T n，若T2m﹣1=512，则m的值为（）A．4B．5C．6D．77．（5分）设偶函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML=90°，KL=1，则f（）的值为（）A．﹣B．﹣C．D．8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为21，则判断框中应填（）A．i＜5 B．i＜6 C．i＜7 D．i＜89．（5分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．54 B．27 C．18 D．910．（5分）抛物线y2=4x的焦点为F，点A，B在抛物线上，且∠AFB=120°，弦AB中点M在其准线上的射影为N，则的最大值为（）A．B．C．D．11．（5分）四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．若AB=2，则球O的表面积为（）A．8πB．12πC．16πD．32π12．（5分）函数在上的最大值为2，则a的范围是（）A．B．C．（﹣∞，0]D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若点P（x，y）满足线性约束条件，则z=x﹣y的取值范围是．14．（5分）若（x2﹣）n二项展开式中的第5项是常数项，则中间项的系数为．15．（5分）设O是△ABC的三边中垂线的交点，a，b，c分别为角A，B，C对应的边，已知b2﹣2b+c2=0，则•的范围是．16．（5分）已知有限集A={a1，a2，a3…，a n}（n≥2）．如果A中元素a i（i=1，2，3，…，n）满足a1a2…a n=a1+a2+…+a n，就称A为“复活集”，给出下列结论：①集合{，}是“复活集”；②若a1，a2∈R，且{a1，a2}是“复活集”，则a1a2＞4；③若a1，a2∈N*则{a1，a2}不可能是“复活集”；④若a i∈N*，则“复合集”A有且只有一个，且n=3．其中正确的结论是．（填上你认为所有正确的结论序号）三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，已知a=2．（1）若A=，求b+c的取值范围；（2）若•=1，求△ABC面积的最大值．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．（Ⅰ）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，试确定点M的位置，使二面角M﹣BQ﹣C大小为60°，并求出的值．19．（12分）生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标元件A 8 12 40 32 8元件B 7 18 40 29 6（Ⅰ）试分别估计元件A、元件B为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件B，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元，在（Ⅰ）的前提下：（i）求生产5件元件B所获得的利润不少于300元的概率；（ii）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望．20．（12分）椭圆C：+=1过点A（1，），离心率为，左右焦点分别为F1、F2．过点F1的直线l交椭圆于A、B两点．（1）求椭圆C的方程．（2）当△F2AB的面积为时，求l的方程．21．（12分）f（x）=axe kx﹣1，g（x）=lnx+kx．（Ⅰ）当a=1时，若f（x）在（1，+∞）上为减函数，g（x）在（0，1）上是增函数，求k 值；（Ⅱ）对于任意k＞0，x＞0，f（x）＞g（x）恒成立，求a的取值范围．三、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）已知，在△ABC中，D是AB上一点，△ACD的外接圆交BC于点E，AB=2BE．（Ⅰ）求证：BC=2BD；（Ⅱ）若CD平分∠ACB，且AC=2，EC=1，求BD的长．三、选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），已知过点P（﹣2，﹣4）的直线L的参数方程为：，直线L与曲线C分别交于M，N．（Ⅰ）写出曲线C和直线L的普通方程；（Ⅱ）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．三、选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式：f（x）+f（x﹣1）≤2；（Ⅱ）当a＞0时，不等式2a﹣3≥f（ax）﹣af（x）恒成立，求实数a的取值范围．河南省顶级名校2015届高三上学期月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）已知集合M={x|x≥x2}，N={y|y=2x，x∈R}，则M∩N=（）A．（0，1）B．C．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出M中不等式的解集确定出M，求出N中y的范围确定出N，求出两集合的交集即可．解答：解：由M中的不等式变形得：x（x﹣1）≤0，解得：0≤x≤1，即M=；由N中的y=2x＞0，得到N=（0，+∞），则M∩N=（0，1]．故选：D．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）已知复数z=，则z的虚部是（）A．B．﹣C．﹣i D．﹣考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由复数代数形式的除法运算化简复数z，从而求得复数z的虚部．解答：解：由=，则复数z的虚部是．故选：B．点评：本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数z的虚部的求法，是基础题．3．（5分）某学生在一门功课的22次考试中，所得分数茎叶图如图所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为（）A．117 B．118 C．118.5 D．119.5考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：求出22次考试分数最大为98，最小56，可求极差，从小到大排列，找出中间两数为76，76，可求中位数，从而可求此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和．解答：解：22次考试分数最大为98，最小为56，所以极差为98﹣56=42，从小到大排列，中间两数为76，76，所以中位数为76．所以此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为42+76=118．故选B．点评：本题考查茎叶图，考查学生分析解决问题的能力，确定极差与中位数是关键．4．（5分）已知双曲线my2﹣x2=1（m∈R）与椭圆+x2=1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±3x考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定椭圆、双曲线的焦点坐标，求出m的值，即可求出双曲线的渐近线方程．解答：解：椭圆+x2=1的焦点坐标为（0，±2）．双曲线my2﹣x2=1（m∈R）的焦点坐标为（0，±），∵双曲线my2﹣x2=1（m∈R）与椭圆+x2=1有相同的焦点，∴=2，∴m=，∴双曲线的渐近线方程为y=±x．故选：A．点评：本题考查椭圆、双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．5．（5分）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有3种结果，根据古典概型概率公式得到结果．解答：解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3=9种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，由于共有三个小组，则有3种结果，根据古典概型概率公式得到P=，故选A．点评：本题考查古典概型概率公式，是一个基础题，题目使用列举法来得到试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，出现这种问题一定是一个必得分题目．6．（5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a m+1•a m﹣1=2a m（m≥2），数列{a n}的前n 项积为T n，若T2m﹣1=512，则m的值为（）A．4B．5C．6D．7考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知条件推导出a m=2，从而T n=2n，由T2m﹣1=512，得22m﹣1=512=29，由此能求出结果．解答：解：设数列{a n}公比为qa m﹣1=，a m+1=a m•q，∵a m+1•a m﹣1=2a m，∴，∴，解得a m=2，或a m=0（舍），∴T n=2n，∵T2m﹣1=512，∴22m﹣1=512=29，∴2m﹣1=9，解得m=5．故选：B．点评：本题考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．7．（5分）设偶函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML=90°，KL=1，则f（）的值为（）A．﹣B．﹣C．D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题．分析：通过函数的图象，利用KL以及∠KML=90°求出求出A，然后函数的周期，确定ω，利用函数是偶函数求出ϕ，即可求解f（）的值．解答：解：因为f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π）的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML=90°，KL=1，所以A=，T=2，因为T=，所以ω=π，函数是偶函数，0＜ϕ＜π，所以ϕ=，∴函数的解析式为：f（x）=sin（πx+），所以f（）=sin（+）=cos=．故选：D．点评：本题考查函数的解析式的求法，函数奇偶性的应用，考查学生识图能力、计算能力．8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为21，则判断框中应填（）A．i＜5 B．i＜6 C．i＜7 D．i＜8考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据题意，模拟程序框图的执行过程，计算输出结果即可．解答：解：模拟程序框图执行过程，如下；开始，i=1，s=0，不输出，进入循环，1是奇数？是，s=0﹣12=﹣1，i=1+1=2，不输出，进入循环，2是奇数？否，s=﹣1+22=3，i=2+1=3，不输出，进入循环，3是奇数？是，s=3﹣32=﹣6，i=3+1=4，不输出，进入循环，4是奇数？否s=﹣6+42=10，i=4+1=5，不输出，进入循环，5是奇数？是，s=10﹣52=﹣15，i=5+1=6，不输出，进入循环，6是奇数？否，s=﹣15+62=21，i=6+1=7，退出循环，输出21，∴判断框中的条件是：i＜7？故选C．点评：本题考查了程序框图的执行结果的问题，解题时应模拟程序的执行过程，是基础题．9．（5分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．54 B．27 C．18 D．9考点：由三视图求面积、体积．分析：由几何体的三视图可知，这是一个四棱锥，由体积公式可求．解答：解：由几何体的三视图可知，这是一个四棱锥，且底面为矩形，长6，宽3；体高为3．则=18．故选：C．点评：做三视图相关的题时，先要形成直观图，后要注意量的关系．属于基础题．10．（5分）抛物线y2=4x的焦点为F，点A，B在抛物线上，且∠AFB=120°，弦AB中点M在其准线上的射影为N，则的最大值为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设AF=a，BF=b，由抛物线定义，2MN=a+b．再由余弦定理可得|AB|2=a2+b2﹣2abcos120°，进而根据a+b≥2，求得|AB|的范围，进而可得答案．解答：解：设AF=a，BF=b，由抛物线定义，2MN=a+b．而余弦定理，|AB|2=a2+b2﹣2abcos120°=（a+b）2﹣ab，再由a+b≥2，得到|AB|≥（a+b）．所以的最大值为．故选：A．点评：本题主要考查抛物线的应用和余弦定理的应用．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．11．（5分）四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．若AB=2，则球O的表面积为（）A．8πB．12πC．16πD．32π考点：球的体积和表面积．专题：球．分析：取CD的中点E，连结AE，BE，作出外接球的球心，求出半径，即可求出表面积．解答：解：取CD的中点E，连结AE，BE，∵在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．∴Rt△ABC≌Rt△ABD，△ACD是等腰三角形，△BCD的中心为G，作OG∥AB交AB的中垂线HO于O，O为外接球的中心，BE=，BG=，R===2．四面体ABCD外接球的表面积为：4πR2=16π．故选：C．点评：本题考查球的内接体知识，考查空间想象能力，确定球的切线与半径是解题的关键．12．（5分）函数在上的最大值为2，则a的范围是（）A．B．C．（﹣∞，0]D．考点：函数最值的应用．专题：常规题型．分析：先画出分段函数f（x）的图象，如图．当x∈上的最大值为2；欲使得函数在上的最大值为2，则当x=2时，e2a的值必须小于等于2，从而解得a的范围．解答：解：先画出分段函数f（x）的图象，如图．当x∈上的最大值为2；欲使得函数在上的最大值为2，则当x=2时，e2a的值必须小于等于2，即e2a≤2，解得：a故选D．点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数最值的应用的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若点P（x，y）满足线性约束条件，则z=x﹣y的取值范围是作出直线x﹣y=0，对该直线进行平移，可以发现当直线经过点（0，0）时，Z取得最大值0，当直线经过点（﹣2，0）时，Z取得最小值﹣2，所以Z的取值范围为又f（0）=0，f（2）=2．∴．即的取值范围是．故答案为．点评：本题考查了三角形的外接圆的性质、向量的运算法则、数量积运算、二次函数的单调性等基础知识与基本方法，属于难题．16．（5分）已知有限集A={a1，a2，a3…，a n}（n≥2）．如果A中元素a i（i=1，2，3，…，n）满足a1a2…a n=a1+a2+…+a n，就称A为“复活集”，给出下列结论：①集合{，}是“复活集”；②若a1，a2∈R，且{a1，a2}是“复活集”，则a1a2＞4；③若a1，a2∈N*则{a1，a2}不可能是“复活集”；④若a i∈N*，则“复合集”A有且只有一个，且n=3．其中正确的结论是①③④．（填上你认为所有正确的结论序号）考点：元素与集合关系的判断．专题：集合．分析：根据已知中“复活集”的定义，结合韦达定理及反证法，逐一判断四个结论的正误，进而可得答案．解答：解：∵•=+=﹣1，故①是正确的；②不妨设a1+a2=a1a2=t，则由韦达定理知a1，a2是一元二次方程x2﹣tx+t=0的两个根，由△＞0，可得t＜0，或t＞4，故②错；③不妨设A中a1＜a2＜a3＜…＜a n，由a1a2…a n=a1+a2+…+a n＜na n，得a1a2…a n﹣1＜n，当n=2时，即有a1＜2，∴a1=1，于是1+a2=a2，a2无解，即不存在满足条件的“复活集”A，故③正确．当n=3时，a1a2＜3，故只能a1=1，a2=2，求得a3=3，于是“复活集”A只有一个，为{1，2，3}．当n≥4时，由a1a2…a n﹣1≥1×2×3×…×（n﹣1），即有n＞（n﹣1）!，也就是说“复活集”A存在的必要条件是n＞（n﹣1）!，事实上，（n﹣1）!≥（n﹣1）（n﹣2）=n2﹣3n+2=（n﹣2）2﹣2+n＞2，矛盾，∴当n≥4时不存在复活集A，故④正确．故答案为：①③④点评：本题考查的知识点是元素与集合的关系，正确理解已知中的新定义“复活集”的含义是解答的关键，难度较大．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，已知a=2．（1）若A=，求b+c的取值范围；（2）若•=1，求△ABC面积的最大值．考点：余弦定理的应用；平面向量数量积的运算；正弦定理．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（1）利用正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性即可得出；（2）利用数量积运算、同角三角函数基本关系式、余弦定理、基本不等式、三角形面积计算公式即可得出．解答：解：（1）∵，∴=，∴b+c=======4．∵，∴．∴，∴，∴．∴b+c∈（2，4]，（2）∵•=1，∴bccosA=1．∴，∴=，∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴4=b2+c2﹣2，6=b2+c2≥2bc，∴bc≤3，∴b2c2≤9．∴==≤=．当且仅当时，△ABC的面积取到最大值为．点评：本题考查了正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性、数量积运算、同角三角函数基本关系式、余弦定理、基本不等式、三角形面积计算公式等可基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．（Ⅰ）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，试确定点M的位置，使二面角M﹣BQ﹣C大小为60°，并求出的值．考点：与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）由已知条件推导出PQ⊥AD，BQ⊥AD，从而得到AD⊥平面PQB，由此能够证明平面PQB⊥平面PAD．（II）以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．解答：（I）证明：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，又∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴BQ⊥AD，又∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，又∵AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．（II）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，∴PQ⊥平面ABCD．以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图．则由题意知：Q（0，0，0），P（0，0，），B（0，，0），C（﹣2，，0），设（0＜λ＜1），则，平面CBQ的一个法向量是=（0，0，1），设平面MQB的一个法向量为=（x，y，z），则，取=，（9分）∵二面角M﹣BQ﹣C大小为60°，∴=，解得，此时．（12分）点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查满足条件的点的位置的确定，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19．（12分）生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标元件A 8 12 40 32 8元件B 7 18 40 29 6（Ⅰ）试分别估计元件A、元件B为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件B，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元，在（Ⅰ）的前提下：（i）求生产5件元件B所获得的利润不少于300元的概率；（ii）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由题设条件能求出元件A为正品的概率和元件B为正品的概率．（Ⅱ）（i）设生产的5件元件中正品件数为x，则有次品5﹣x件，由题意知100x﹣20（5﹣x）≥300，由此能求出生产5件元件B所获得的利润不少于300元的概率．（ii）随机变量X的所有取值为150，90，30，﹣30，分别求出P（X=150），P（X=90），P （X=30），P（X=﹣30），由此能求出X的分布列和EX．解答：（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题可知元件A为正品的概率为=，元件B为正品的概率为=．…（2分）（Ⅱ）（i）设生产的5件元件中正品件数为x，则有次品5﹣x件，由题意知100x﹣20（5﹣x）≥300，得到x=4，5，设“生产5件元件B所获得的利润不少于300元”为事件C，则P（C）==．…（6分）（ii）随机变量X的所有取值为150，90，30，﹣30，则P（X=150）=，P（X=90）=，P（X=30）==，P（X=﹣30）==，所以X的分布列为：X 150 90 30 ﹣30P…（10分）EX=150×+90×+30×﹣30×=108．…（12分）点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年2015届高考中都是必考题型．20．（12分）椭圆C：+=1过点A（1，），离心率为，左右焦点分别为F1、F2．过点F1的直线l交椭圆于A、B两点．（1）求椭圆C的方程．（2）当△F2AB的面积为时，求l的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由已知条件推导出，，由此能求出椭圆C的方程．（2）由（1）知F1（﹣1，0），直线l方程为y=k（x+1），由，得（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由此利用韦达定理能求出直线l的方程．解答：解：（1）∵椭圆过点，∴…（1分）∵离心率为，∴，…（2分）又∵a2=b2+c2…（3分）解①②③得a2=4，b2=3…（4分）∴椭圆…（6分）（2）由（1）得F1（﹣1，0）①当l的倾斜角是时，l的方程为x=﹣1，焦点此时，不合题意．…（7分）②当l的倾斜角不是时，设l的斜率为k，则其直线方程为y=k（x+1）由，消去y得：（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则…（9分）∴===…（10分）又已知，∴，∴（k2﹣1）（17k2+18）=0，∴k2﹣1=0，解得k=±1，故直线l的方程为y=±1（x+1），即x﹣y+1=0或x+y+1=0．…（13分）点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理和函数与方程思想的合理运用．21．（12分）f（x）=axe kx﹣1，g（x）=lnx+kx．（Ⅰ）当a=1时，若f（x）在（1，+∞）上为减函数，g（x）在（0，1）上是增函数，求k 值；（Ⅱ）对于任意k＞0，x＞0，f（x）＞g（x）恒成立，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）a=1时，f（x）=xe kx﹣1，分别求出函数f（x），g（x）的导数，从而得出k 的取值范围；（Ⅱ）设h（x）=f（x）﹣g（x）=axe kx﹣lnx﹣kx﹣1（x＞0），求出h（x）的导数，通过讨论a的取值范围解决问题．解答：解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=xe kx﹣1，∴f′（x）=（kx+1）e kx，g′（x）=+k，f（x）在（1，+∞）上为减函数，则∀x＞1，f′（x）≤0⇔k≤﹣，∴k≤﹣1；∵g（x）在（0，1）上为增函数，则∀x∈（0，1），g′（x）≥0⇔k≥﹣，∴k≥﹣1；综上所述：k=﹣1．（Ⅱ）设h（x）=f（x）﹣g（x）=axe kx﹣lnx﹣kx﹣1（x＞0），∴h′（x）=（kx+1）（ae kx﹣），设u（x）=ae kx﹣，∴u′（x）=ake kx+，①a≤0时，u（x）=ae kx﹣＜0，则h′（x）=（kx+1）（ae kx﹣）＜0，∴h（x）在（0，+∞）上是减函数，h（x）＞0不恒成立；②当a＞0时，，则在（0，+∞）上，是增函数，u（x）的函数值由负到正，必有x0∈（0，+∞），u（x0）=0，即，两边取自然对数得，lna+kx0=﹣lnx0，h（x）在（0，x0）上是减函数，（x0，+∞）上是增函数，=1﹣1﹣lnx0﹣kx0=﹣lnx0﹣kx0=lna因此，lna＞0，即a的取值范围是（1，+∞）．点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，求参数的取值，本题是一道综合题．三、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）已知，在△ABC中，D是AB上一点，△ACD的外接圆交BC于点E，AB=2BE．（Ⅰ）求证：BC=2BD；（Ⅱ）若CD平分∠ACB，且AC=2，EC=1，求BD的长．考点：与圆有关的比例线段；弦切角．专题：选作题；立体几何．分析：（Ⅰ）连接DE，证明△DBE∽△CBA，即可证明BC=2BD；（Ⅱ）先求DE，利用CD是∠ACB的平分线，可得DA=1，根据割线定理求出BD．解答：（Ⅰ）证明：连接DE，因为四边形ACED是圆的内接四边形，所以∠BDE=∠BCA，又∠DBE=∠CBA，所以△DBE∽△CBA，即有，又AB=2BE，所以BC=2BD …（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）△DBE∽△CBA，知，又A B=2BE，∴AC=2DE，∵AC=2，∴DE=1，而CD是∠ACB的平分线，∴DA=1，设BD=x，根据割线定理得BD•BA=BE•BC即x（x+1）=（x+1），解得x=1，即BD=1．…（10分）点评：本题考查与圆有关的比例线段，考查割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），已知过点P（﹣2，﹣4）的直线L的参数方程为：，直线L与曲线C分别交于M，N．（Ⅰ）写出曲线C和直线L的普通方程；（Ⅱ）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．考点：参数方程化成普通方程；等比数列的性质．专题：计算题．分析：（1）消去参数可得直线l的普通方程，曲线C的方程可化为ρ2sin2θ=2aρcosθ，从而得到y2=2ax．（II）写出直线l的参数方程为，代入y2=2ax得到，则有，由|BC|2=|AB|，|AC|，代入可求a的值．解答：解：（Ⅰ）根据极坐标与直角坐标的转化可得，C：ρsin2θ=2acosθ⇒ρ2sin2θ=2aρcosθ，即y2=2ax，直线L的参数方程为：，消去参数t得：直线L的方程为y+4=x+2即y=x﹣2（3分）（Ⅱ）直线l的参数方程为（t为参数），代入y2=2ax得到，则有…（8分）因为|MN|2=|PM|•|PN|，所以即：2﹣4×8（4+a）=8（4+a）解得a=1…（10分）点评：本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线的参数方程中参数的几何意义，是一道基础题．三、选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式：f（x）+f（x﹣1）≤2；（Ⅱ）当a＞0时，不等式2a﹣3≥f（ax）﹣af（x）恒成立，求实数a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）分当x≤1时、当1＜x≤2时、当x＞2时三种情况，分别求得原不等式的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）当a＞0时，利用绝对值三角不等式可得f（ax）﹣af（x）≤|a﹣1|，结合题意可得2a ﹣3≥|a﹣1|，由此解得a的范围．解答：解：（Ⅰ）原不等式等价于：当x≤1时，﹣2x+3≤2，即≤x≤1．当1＜x≤2时，1≤2，即1＜x≤2．当x＞2时，2x﹣3≤2，即2＜x≤．综上所述，原不等式的解集为{x|≤x≤}．（Ⅱ）当a＞0时，f（ax）﹣af（x）=|ax﹣1|﹣|ax﹣a|=|ax﹣1|﹣|a﹣ax|≤|ax﹣1+a﹣ax|=|a﹣1|，所以，2a﹣3≥|a﹣1|，解得a≥2．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化以及分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2017-2018学年河南省郑州一中高三(上)入学数学试卷(理科)
2017-2018学年河南省郑州一中高三（上）入学数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|lnx≤0}，B={x∈R|z=x+i，，i是虚数单位}，A∩B=（）A．B． C．（0，1]D．[1，+∞）2．（5分）已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么=（）A．B． C． D．43．（5分）若二项式展开式的二项式系数之和为8，则该展开式的系数之和为（）A．﹣1 B．1 C．27 D．﹣274．（5分）将函数f（x）的图象向左平移个单位后得到函数g（x）的图象如图所示，则函数f（x）的解析式是（）A．（x∈R）B．（x∈R）C．（x∈R）D．（x∈R）5．（5分）已知两条不重合的直线m，n和两个不同的平面α，β，若m⊥α，n ⊂β，则下列四个命题：①若α∥β，则m⊥n；②若m⊥n，则α∥β；③若m∥n，则α⊥β；④若α⊥β，则m∥n；其中正确的命题个数为（）A．0 B．1 C．2 D．36．（5分）阅读下列程序框图，输出的结果s的值为（）A．B．0 C．D．7．（5分）圆（x﹣a）2+y2=1与直线y=x相切于第三象限，则a的值是（）A．2 B．﹣2 C．﹣D．8．（5分）若变量x，y满足条件，则xy的取值范围是（）A．[0，5]B．C．D．[0，9]9．（5分）在△ABC中，A=60°，b=1，，则=（）A．B．C．D．10．（5分）设m∈N，若函数存在整数零点，则符合条件的m的取值个数为（）A．2 B．3 C．4 D．511．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点分别为F1、F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，若|MF1|﹣|MF2|=2b，该双曲线的离心率为e，则e2=（）A．2 B．C．D．12．（5分）数学上称函数y=kx+b（k，b∈R，k≠0）为线性函数．对于非线性可导函数f（x），在点x0附近一点x的函数值f（x），可以用如下方法求其近似代替值：f（x）≈f（x0）+f'（x0）（x﹣x0）．利用这一方法，的近似代替值（）A．大于m B．小于mC．等于m D．与m的大小关系无法确定二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设函数f（x）=ax2+b（a≠0），若，x0＞0，则x0=．14．（5分）由数字2，0，1，7组成没有重复数字的四位偶数的个数为．15．（5分）如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图是高为2，底边长为的等腰三角形，俯视图是边长为2的正方形，则该几何体的外接球的体积是．16．（5分）已知函数f（x）=（﹣4≤x≤0），则f（x）的最大值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）等差数列{a n}中，已知a3=5，且a1，a2，a3为递增的等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}的通项公式（k∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）河南多地遭遇年霾，很多学校调整元旦放假时间，提前放假让学生们在家躲霾．郑州市根据《郑州市人民政府办公厅关于将重污染天气黄色预警升级为红色预警的通知》，自12月29日12时将黄色预警升级为红色预警，12月30日0时启动Ⅰ级响应，明确要求“幼儿园、中小学等教育机构停课，停课不停学”．学生和家长对停课这一举措褒贬不一，有为了健康赞成的，有怕耽误学习不赞成的，某调查机构为了了解公众对该举措的态度，随机调查采访了50人，将调查情况整理汇总成如表：（Ⅰ）请在图中完成被调查人员年龄的频率分布直方图；（Ⅱ）若从年龄在[25，35），[65，75]两组采访对象中各随机选取2人进行深度跟踪调查，选中4人中不赞成这项举措的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．19．（12分）如图所示的多面体中，ABCD是平行四边形，BDEF是矩形，ED⊥面ABCD，∠ABD=，AB=2AD．（Ⅰ）求证：平面BDEF⊥平面ADE；（Ⅱ）若ED=BD，求AF与平面AEC所成角的正弦值．20．（12分）已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为8．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点，点P（2，1）在直线l的上方，若∠APB=90°，且直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，求线段MN的长度．21．（12分）已知函数f（x）=（a∈R），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y+1=0垂直．（Ⅰ）试比较20162017与20172016的大小，并说明理由；（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）﹣k有两个不同的零点x1，x2，证明：x1•x2＞e2．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，α∈[0，π））．以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ．（Ⅰ）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于两点A，B，求|AB|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|ax﹣5|（0＜a＜5）．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥9的解集；（2）如果函数y=f（x）的最小值为4，求实数a的值．2017-2018学年河南省郑州一中高三（上）入学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|lnx≤0}，B={x∈R|z=x+i，，i是虚数单位}，A∩B=（）A．B． C．（0，1]D．[1，+∞）【解答】解：∵集合A={x|lnx≤0}={x|0＜x≤1}，B={x∈R|z=x+i，，i是虚数单位}={x|x≥或x}，∴A∩B={x|}=[]．故选：B．2．（5分）已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么=（）A．B． C． D．4【解答】解：∵，均为单位向量，它们的夹角为60°，∴====．故选C．3．（5分）若二项式展开式的二项式系数之和为8，则该展开式的系数之和为（）A．﹣1 B．1 C．27 D．﹣27【解答】解：二项式展开式的二项式系数之和为8，所以2n=8，解得n=3；所以展开式的系数之和为：（1﹣2）3=﹣1．故选：A．4．（5分）将函数f（x）的图象向左平移个单位后得到函数g（x）的图象如图所示，则函数f（x）的解析式是（）A．（x∈R）B．（x∈R）C．（x∈R）D．（x∈R）【解答】解：根据函数g（x）的图象知，=﹣=，∴T=π，∴ω==2；由五点法画图知，x=时，ωx+φ=2×+φ=，解得φ=；∴g（x）=sin（2x+）；又f（x）向左平移个单位后得到函数g（x）的图象，∴f（x）=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）．故选：A．5．（5分）已知两条不重合的直线m，n和两个不同的平面α，β，若m⊥α，n ⊂β，则下列四个命题：①若α∥β，则m⊥n；②若m⊥n，则α∥β；③若m∥n，则α⊥β；④若α⊥β，则m∥n；其中正确的命题个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：已知两条不重合的直线m，n和两个不同的平面α，β，若m⊥α，n⊂β，对于①，∵α∥β，∴m⊥β，⇒m⊥n，正确；对于②，若m⊥n，过m直线与面α的位置关系不定，故错；对于③，m∥n，⇒n⊥α，又n⊂β，∴α⊥β，正确；对于④，若α⊥β，则m与n的位置关系不定，故错；故选：C6．（5分）阅读下列程序框图，输出的结果s的值为（）A．B．0 C．D．【解答】解：∵2017÷6=336…1，∴根据程序框图转化得：sin+sin+sinπ+…+sin =（++0﹣﹣+0）+（++0﹣﹣+0）+…+（++0﹣﹣+0）+=故选：A．7．（5分）圆（x﹣a）2+y2=1与直线y=x相切于第三象限，则a的值是（）A．2 B．﹣2 C．﹣D．【解答】解：由圆（x﹣a）2+y2=1，得到圆心（a，0），半径r=1，根据题意得：圆心到直线y=x的距离d=r，即=1，解得：a=±，∵圆与直线相切于第三象限，∴a＜0．故选C．8．（5分）若变量x，y满足条件，则xy的取值范围是（）A．[0，5]B．C．D．[0，9]【解答】解：变量x，y满足条件的可行域如图：xy的几何意义是，如图虚线矩形框的面积，显然矩形一个顶点在C求出xy的最小值，顶点在AB线段时求出最大值，由，可得C（1，0），所以xy的最小值为：0，xy=x（6﹣x）=6x﹣x2，当x=3时．xy取得最大值：9．则xy的取值范围是：[0，9]．故选：D．9．（5分）在△ABC中，A=60°，b=1，，则=（）A．B．C．D．【解答】解：△ABC中，A=60°，b=1，，∴bcsinA=×1×c×sin60°=，解得c=4；∴a2=b2+c2﹣2bccosA=12+42﹣2×1×4×cos60°=13，∴a=；∴===．故选：B．10．（5分）设m∈N，若函数存在整数零点，则符合条件的m的取值个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：令f（x）=0得：2x﹣m+10=0即m=，∵m∈N，x∈Z，∴，∴﹣5≤x＜10，且x∈Z，∴x=﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，...，1，2，3，4， (9)将它们代入m=，验证得：m=0，4，11，28，∴符合条件的m的取值个数为4，故选：C．11．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点分别为F1、F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，若|MF1|﹣|MF2|=2b，该双曲线的离心率为e，则e2=（）A．2 B．C．D．【解答】解：由题意可知：以线段F1F2为直径的圆的方程x2+y2=c2，双曲线经过第一象限的渐近线方程为y=x，联立方程，解得：，则M（a，b），由|MF1|﹣|MF2|=2b，即﹣=2b，由b2=a2﹣c2，e=，化简整理得：e4﹣e2﹣1=0，由求根公式可知e2=，由e＞1，则e2=，故选D．12．（5分）数学上称函数y=kx+b（k，b∈R，k≠0）为线性函数．对于非线性可导函数f（x），在点x0附近一点x的函数值f（x），可以用如下方法求其近似代替值：f（x）≈f（x0）+f'（x0）（x﹣x0）．利用这一方法，的近似代替值（）A．大于m B．小于mC．等于m D．与m的大小关系无法确定【解答】解：根据题意，令f（x）=，则f′（x）=＞0，取4.001附近的点x0=4，则有m的近似代替值为f（4）+（4.001﹣4）=2+，∵（2+）2=4+0.001+（）2＞4.001=m2，∴2+＞m．故选A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设函数f（x）=ax2+b（a≠0），若，x0＞0，则x0=．【解答】解：f（x）=ax2+b，，（ax2+b）dx=（ax3+bx）=9a+3b，则9a+3b=3ax02+3b，∴x02=3，解得：x0=，故答案为：．14．（5分）由数字2，0，1，7组成没有重复数字的四位偶数的个数为10．【解答】解：根据题意，要求的是四位偶数，则个位数字必须是0或2，分2种情况分析：①、0在个位，将2、1、7三个数字全排列，安排在前三位数字即可，有A33=6个四位偶数，②、2在个位，由于0不能在千位，则千位数字有2种情况，将剩余的2个数字全排列，安排在百位、十位，有A22=2种情况，则此时有2×2=4个四位偶数，则一共有6+4=10个四位偶数，故答案为：10．15．（5分）如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图是高为2，底边长为的等腰三角形，俯视图是边长为2的正方形，则该几何体的外接球的体积是4π．【解答】解：由三视图可知：该几何体为四棱锥．CD=AB=2，AB与CD之间的距离为2．分别取AB，CD的中点E，F，取EF的中点O，为该几何体的外接球的球心．则半径R==．∴该几何体的外接球的体积V==4π．故答案为：．16．（5分）已知函数f（x）=（﹣4≤x≤0），则f（x）的最大值为2+．【解答】解：f（x）====，由﹣4≤x≤0，可得x=﹣2时，（x+2）2+1取得最小值1，2﹣sin（x）在x=﹣2处取得最大值2+．则f（x）的最大值为2+．故答案为：2+．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）等差数列{a n}中，已知a3=5，且a1，a2，a3为递增的等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}的通项公式（k∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，由题意，a3=5．即d2﹣2d=0，解之得d=2，或d=0（舍去），所以a n=a3+（n﹣3）d=2n﹣1，即a n=2n﹣1，n∈N*为所求．（Ⅱ）当n=2k，k∈N*时，S n=b1+b2+…+b n=b1+b3+…+b2k﹣1+b2+b4+…+b2k=a1+a2+…+a k+（20+21+…+2k﹣1）==k2+2k﹣1=；当n=2k﹣1，k∈N*时，n+1=2k，S n=S n+1﹣b n+1==．综上，（k∈N*）．18．（12分）河南多地遭遇年霾，很多学校调整元旦放假时间，提前放假让学生们在家躲霾．郑州市根据《郑州市人民政府办公厅关于将重污染天气黄色预警升级为红色预警的通知》，自12月29日12时将黄色预警升级为红色预警，12月30日0时启动Ⅰ级响应，明确要求“幼儿园、中小学等教育机构停课，停课不停学”．学生和家长对停课这一举措褒贬不一，有为了健康赞成的，有怕耽误学习不赞成的，某调查机构为了了解公众对该举措的态度，随机调查采访了50人，将调查情况整理汇总成如表：（Ⅰ）请在图中完成被调查人员年龄的频率分布直方图；（Ⅱ）若从年龄在[25，35），[65，75]两组采访对象中各随机选取2人进行深度跟踪调查，选中4人中不赞成这项举措的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由频数分布表知：年龄在[35，45）的频率为：=0.3，对应的小矩形有高为=0.03，补全频率分布直方图如图所示：（Ⅱ）X的所有可能的取值为0，1，2，3，=，，，=，故X的分布列为：所以X的数学期望为．19．（12分）如图所示的多面体中，ABCD是平行四边形，BDEF是矩形，ED⊥面ABCD，∠ABD=，AB=2AD．（Ⅰ）求证：平面BDEF⊥平面ADE；（Ⅱ）若ED=BD，求AF与平面AEC所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：设AB=a，AD=2a，∠ABD=，∴cos∠ABD==，解得BD=a，∴BD2+AD2=AB2，即BD⊥AD．∵DE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴DE⊥BD，又AD∩DE=D，AD⊂平面ADE，DE⊂平面ADE，∴BD⊥平面ADE，又BD⊂平面BDEF，∴平面BDEF⊥平面ADE．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）AD⊥BD，BD=AD，以D为坐标原点，以射线DA，DB，DE分别为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系，如图所示：设AD=1，则A（1，0，0），，，．=（﹣1，0，），=（﹣2，，0），，设平面AEC的法向量为，则，∴，令z=1，得，∴==．所以直线AF与平面AEC所成角的正弦值为．20．（12分）已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为8．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点，点P（2，1）在直线l的上方，若∠APB=90°，且直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，求线段MN的长度．【解答】解：（1）由椭圆的离心率e===，则a2=4b2，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为8，则2××2a×b=8，则ab=4，解得：a=2，b=，则椭圆的标准方程为：；（2）设直线l的方程y=x+m，A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：x2+2mx+2m2﹣4=0，△=（2m）2﹣4（2m2﹣4）＞0，解得：﹣2＜m＜2，x1+x2=﹣2m，x1x2=2m2﹣4，则k PA=，k PB=，则k PA+k PB=+=，则（x1+m﹣1）（x2﹣2）+（x2+m﹣1）（x1﹣2），=x1x2+（m﹣2）（x1+x2）﹣4（m﹣1），=2m2﹣4+（m﹣2）（﹣2m）﹣4（m﹣1）=0，∴k PA+k PB=0，由∠APB=90°，则k PA=1，k PB=﹣1，则△PMN是等腰直角三角形，则MN=2x P=4，线段MN的长度4．21．（12分）已知函数f（x）=（a∈R），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y+1=0垂直．（Ⅰ）试比较20162017与20172016的大小，并说明理由；（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）﹣k有两个不同的零点x1，x2，证明：x1•x2＞e2．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=，，所以，又由切线与直线x+y+1=0垂直，可得f′（1）=1，即，解得a=0．此时，，令f'（x）＞0，即1﹣lnx＞0，解得0＜x＜e；令f'（x）＜0，即1﹣lnx＜0，解得x＞e，所以f（x）的增区间为（0，e），减区间为（e，+∞）．所以f（2016）＞f（2017），即．2017ln2016＞2016ln2017，即有20162017＞20172016．（Ⅱ）证明：不妨设x1＞x2＞0，因为g（x1）=g（x2）=0，所以化简得lnx1﹣kx1=0，lnx2﹣kx2=0．可得lnx1+lnx2=k（x1+x2），lnx1﹣lnx2=k（x1﹣x2），要证明，，即证明lnx1+lnx2＞2，也就是k（x1+x2）＞2．因为，即证，即ln＞，令，则t＞1，即证．令（t＞1）．由=，故函数h（t）在（1，+∞）是增函数，所以h（t）＞h（1）=0，即得证．所以．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，α∈[0，π））．以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ．（Ⅰ）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于两点A，B，求|AB|的最小值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ，可得ρ2sin2θ=4ρsinθ=0，可得直角坐标方程：x2=4y．∴x+y=x+x2=（x+2）2﹣1≥﹣1，故x+y的取值范围为[﹣1，+∞）（Ⅱ）直线l：（t为参数）消掉参数t，得到y﹣1=xtanα，代入到x2=4y，x2﹣4xtanα﹣4=0，∴x1+x2=4tanα，x1x2=﹣4∴|AB|=|x1﹣x2|=•4•=4（1+tan2α）≥4．当且仅当α=0取等号，故|AB|的最小值为4．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|ax﹣5|（0＜a＜5）．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥9的解集；（2）如果函数y=f（x）的最小值为4，求实数a的值．【解答】解：（1）a=1时，f（x）=|2x﹣1|+|x﹣5|，x＜时，不等式f（x）≥9等价于6﹣3x≥9，∴x≤﹣1，此时x≤﹣1；x≤5时，不等式f（x）≥9等价于x+4≥9，∴x≥5，此时x=5；x＞5时，不等式f（x）≥9等价于3x﹣6≥9，∴x＞5，此时x＞5；综上所述，不等式的解集为{x|x≤﹣1或x＞5}；（2）∵0＜a＜5，∴x＜，f（x）=﹣（a+2）x+6单调递减；x＞，f（x）=（a+2）x﹣6单调递增，∴f（x）的最小值在时取得，即或，解得a=2．。
2017-2018学年河南省高三(上)质检数学试卷(理科)Word版含答案
2017-2018学年河南省高三（上）质检数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（5分）复数z=的共轭复数是（）A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i2．（5分）下列有关命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题D．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0．则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥03．（5分）已知tanα=2，其中α是第三象限的角，则sin（π+α）等于（）A．﹣B．C．﹣D．4．（5分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，=，=，则=（）A．B．C．D．5．（5分）在的展开式中，常数项为（）A．20 B．﹣20 C．15 D．﹣156．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为2，则输入的正整数a的可能取值的集合是（）A．{1，2，3，4，5} B．{1，2，3，4，5，6} C．{2，3，4，5} D．{2，3，4，5，6}7．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且其图象向右平移个单位后得到函数g（x）=sin（ωx）的图象，则函数f（x）的图象（）A．关于直线x=对称B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称 D．关于点（，0）对称8．（5分）已知袋中装有标号为1，2，3的三个小球，从中任取一个小球（取后放回），连取三次，则取到的小球的最大标号为3的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）圆心在曲线上，且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+（y﹣2）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 C．（x﹣1）2+（y﹣2）2=25 D．（x﹣2）2+（y﹣1）2=2510．（5分）一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A．1 B．2 C．3 D．411．（5分）已知点P为双曲线=1（a＞0，b＞0）右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左右焦点，且|F 1F2|=，I为三角形PF1F2的内心，若S=S+λS△成立，则λ的值为（）A．B． C．D．12．（5分）已知函数f（x）=﹣x﹣+2e有且只有一个零点，则k的值为（）A．e+B．e2+C．e2+D．e+二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卷上）13．（5分）由曲线y=x2和直线y=1所围成的封闭图形面积为．14．（5分）若x、y满足约束条件，则z=2x﹣y的取值范围是．15．（5分）已知A、B、C是球O的球面上三点，AB=2，BC=4，∠ABC=60°，且棱锥O﹣ABC的体积为，则球O的表面积为．16．（5分）在△ABC中，B=，BC=2，点D、E分别在边AB、AC上，AD=DC，DE⊥AC，且DE≥，则∠ACB的最大值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=2，S9=45．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足b1=l，=（n∈N+），求数列{}的前n项和T n．设从没服药的动物中任取两只，未患病数为ζ；（I）求出列联表中数据x，y，N的值及ζ的分布列；（Ⅱ）能够以97.5%的把握认为药物有效吗？（参考数据如下）（参考公式：K2=）19．（12分）在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1）．将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1﹣EF﹣B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）（1）求证：A1E⊥平面BEP（2）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；（3）求二面角B﹣A1P﹣F的余弦值．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+12=0相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设A（﹣4，0），过点R（3，0）作与x轴不重合的直线l交椭圆C于P，Q两点，连接AP，AQ分别交直线x=于M，N两点，若直线MR、NR的斜率分别为k1、k2，试问：k1k2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．21．（12分）设函数f（x）=alnx+b（x2﹣3x+2），其中a，b∈R．（I）若a=b，讨论f（x）极值（用a表示）；（Ⅱ）当a=1，b=，函数g（x）=2f（x）﹣（λ+3）x+2，若x1，x2（x1≠x2）满足g（x1）=g（x2）且x1+x2=2x0，证明：g′（x0）≠0．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-l：几何证明选讲（共1小题，满分10分）22．（10分）如图，⊙O的半径为6，线段AB与⊙相交于点C、D，AC=4，∠BOD=∠A，OB与⊙O相交于点E．（1）求BD长；（2）当CE⊥OD时，求证：AO=AD．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为，（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|2x+1|+|x﹣a|（a∈R）．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤4；（2）当a＜﹣时，若存在x≤﹣使得f（x）+x≤3成立，求a的取值范围．2017-2018学年河南省高三（上）质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（5分）（2016•辽宁校级模拟）复数z=的共轭复数是（）A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，则复数z=的共轭复数可求．【解答】解：z==，则复数z=的共轭复数是：1+2i．故选：C．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的求法，是基础题．2．（5分）（2016•江西模拟）下列有关命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题D．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0．则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0【分析】根据四种命题的定义，我们可以判断A的真假；根据充要条件的定义，我们可以判断B的真假；根据复合命题的真值表，我们可以判断C的真假；根据特称命题的否定方法，我们可以判断D的真假，进而得到答案．【解答】解：命题“若x2﹣3x+2=0则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”故A为真命题；“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件．故B为真命题；若p∧q为假命题，则p、q存在至少一个假命题，但p、q不一定均为假命题，故C为假命题；命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0．则非p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0，故D为真命题；故选C．【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，四种命题间的逆否关系，充要条件，是对简单逻辑综合的考查，属于简单题型．3．（5分）（2015秋•株洲月考）已知tanα=2，其中α是第三象限的角，则sin（π+α）等于（）A．﹣B．C．﹣D．【分析】根据已知中tanα=2，α是第三象限的角，利用同角三角函数的基本关系公式，可得sinα的值，再由诱导公式，可得答案．【解答】解：∵tanα=2，α是第三象限的角，∴cosα=﹣=﹣，故sinα=cosα•tanα=﹣，∴sin（π+α）=﹣sinα=，故选：D．【点评】本题考查的知识点是同角三角函数的基本关系公式，诱导公式，难度中档．4．（5分）（2014秋•临沂期中）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，=，=，则=（）A．B．C．D．【分析】连结CD、OD，由圆的性质与等腰三角形的性质，证出CD∥AB且AC∥DO，得到四边形ACDO为平行四边形，再根据题设条件即可得到用表示向量的式子．【解答】解：连结CD、OD，∵点C、D是半圆弧AB的两个三等分点，∴=，可得CD∥AB，∠CAD=∠DAB=×90°=30°，∵OA=OD∴∠ADO=∠DAO=30°，由此可得∠CAD=∠DAO=30°，∴AC∥DO．∴四边形ACDO为平行四边形，∴=+=+，故选：A【点评】本题给出半圆弧的三等分点，求向量的线性表示式．着重考查了圆周角定理、平行四边形的判定与向量的线性运算等知识，属于中档题．5．（5分）（2015秋•株洲月考）在的展开式中，常数项为（）A．20 B．﹣20 C．15 D．﹣15【分析】的通项公式T r+1==x﹣2r，可得（4x2﹣5）•T r+1=（4x2﹣5）•x﹣2r，2﹣2r=0，或﹣2r=0时，（4x2﹣5）•T r+1为常数项．解出即可得出．【解答】解：的通项公式T r+1==x﹣2r，∴（4x2﹣5）•T r+1=（4x2﹣5）•x﹣2r，∴2﹣2r=0，或﹣2r=0时，（4x2﹣5）•T r+1为常数项．∴r=1或r=0．因此常数项=﹣5=15．故选：C．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．（5分）（2016•张家口模拟）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为2，则输入的正整数a的可能取值的集合是（）A．{1，2，3，4，5} B．{1，2，3，4，5，6} C．{2，3，4，5} D．{2，3，4，5，6}【分析】模拟程序的运行过程，结合退出循环的条件，构造关于a的不等式组，解不等式组可得正整数a 的可能取值的集合．【解答】解：输入a值，此时i=0，执行循环体后，a=2a+3，i=1，不应该退出；再次执行循环体后，a=2（2a+3）+3=4a+9，i=2，应该退出；故，解得：1＜a≤5，故输入的正整数a的可能取值的集合是{2，3，4，5}，故选：C【点评】本题考查的知识点是程序框图，其中根据已知框图，采用模拟循环的方法，构造关于a的不等式组，是解答的关键．7．（5分）（2016•海口模拟）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且其图象向右平移个单位后得到函数g（x）=sin（ωx）的图象，则函数f（x）的图象（）A．关于直线x=对称B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称 D．关于点（，0）对称【分析】由条件利用正弦函数的周期性，以及正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：由函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，可得=π，求得ω=2，f（x）=sin（2x+φ）．其图象向右平移个单位后得到函数g（x）=sin（2x）的图象，故有sin[2（x﹣）+φ]=sin2x，故可取φ=，f（x）=sin（2x+）．令2x+=kπ+，k∈Z，求得x=+，故函数f（x）的图象的对称轴方程为x=+，k∈Z．令2x+=kπ，k∈Z，求得x=﹣，故函数f（x）的图象的对称中心为（﹣，0），k∈Z，故选：A．【点评】本题主要考查正弦函数的周期性，以及正弦函数的图象的对称性，属于基础题．8．（5分）（2015春•福州校级期末）已知袋中装有标号为1，2，3的三个小球，从中任取一个小球（取后放回），连取三次，则取到的小球的最大标号为3的概率为（）A．B．C．D．【分析】先求出从中任取一个小球（取后放回），连取三次，取法为3×3×3=27种，再分三类，根据分类计数原理求出连取三次，则取到的小球的最大标号为3的种数，根据概率公式计算即可．【解答】解：从中任取一个小球（取后放回），连取三次，取法为3×3×3=27种，连取三次，则取到的小球的最大标号为3，分三类，第一类，3次都取到3，只有1种，第二类，2次取到3，C32•2=6种，第三类，1次取到3，C31•22=12种，故取到的小球的最大标号为3的种数为1+6+12=19，故取到的小球的最大标号为3的概率为P=．故选：B．【点评】本题考查了古典概型的概率问题，关键是求出取到的小球的最大标号为3的种数，属于中档题．9．（5分）（2015•张掖模拟）圆心在曲线上，且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+（y﹣2）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 C．（x﹣1）2+（y﹣2）2=25 D．（x﹣2）2+（y﹣1）2=25【分析】设出圆心坐标，求出圆心到直线的距离的表达式，求出表达式的最小值，即可得到圆的半径长，得到圆的方程，推出选项．【解答】解：设圆心为，则，当且仅当a=1时等号成立．当r最小时，圆的面积S=πr2最小，此时圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5；故选A．【点评】本题是基础题，考查圆的方程的求法，点到直线的距离公式、基本不等式的应用，考查计算能力．10．（5分）（2016•汉中二模）一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个四棱锥，其较长的侧棱长已知，底面是一个正方形，对角线长度已知，故先求出底面积，再求出此四棱锥的高，由体积公式求解其体积即可【解答】解：由题设及图知，此几何体为一个四棱锥，其底面为一个对角线长为2的正方形，故其底面积为=2由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高，其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形由于此侧棱长为，对角线长为2，故棱锥的高为=3此棱锥的体积为=2故选B．【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是四棱锥的体积，其公式为×底面积×高．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”，三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．11．（5分）（2016•江西模拟）已知点P为双曲线=1（a＞0，b＞0）右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左右焦点，且|F 1F2|=，I为三角形PF1F2的内心，若S=S+λS△成立，则λ的值为（）A．B． C．D．【分析】设△PF1F2的内切圆半径为r，由|PF1|﹣|PF2|=2a，|F1F2|=2c，用△PF1F2的边长和r表示出等式中的三角形的面积，解此等式求出λ．【解答】解：设△PF1F2的内切圆半径为r，由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2a，|F1F2|=2c，S△IPF1 =|PF1|•r，S△IPF2=|PF2|•r，S△IF1F2=•2c•r=cr，由题意得：|PF1|•r=|PF2|•r+λcr，故λ==，∵|F1F2|=，∴=∴∴=故选D．【点评】本题考查双曲线的定义和简单性质，考查三角形面积的计算，考查利用待定系数法求出参数的值．12．（5分）（2015•甘肃模拟）已知函数f（x）=﹣x﹣+2e有且只有一个零点，则k的值为（）A．e+B．e2+C．e2+D．e+【分析】令f（x）=﹣x﹣+2e=0可得k=﹣x2+2ex；再设g（x）=﹣x2+2ex，从而求导得g′（x）=﹣2（x﹣e）；利用导数判断单调性求出极值，运用函数g（x）=﹣x2+2ex与直线y=k的图象的交点判断即可．【解答】解：函数f（x）=﹣x﹣+2e的定义域为（0，+∞），令f（x）=﹣x﹣+2e=0可得k=﹣x2+2ex；设g（x）=﹣x2+2ex，则g′（x）=﹣2（x﹣e）；故当g′（x）＞0时，则0＜x＜e；当g′（x）＜0时，则x＞e；当g′（x）=0时，则x=e；∴g（x）=﹣x2+2ex在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减；故x=e时g（x）最大值为g（e）=e2+，∵函数f（x）=）=﹣x﹣+2e有且只有一个零点，∴函数y=k与g（x）只有一个交点，故结合图象可知，k=e2+，故选B．【点评】本题考查了函数的导数在求解函数最值，极值中的应用，函数零点转化为函数交点问题求解，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卷上）13．（5分）（2015秋•株洲校级期末）由曲线y=x2和直线y=1所围成的封闭图形面积为．【分析】先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出曲线y=x2与直线y=1围成的封闭图形的面积，即可求得结论【解答】解：联立方程组，解得或，∴曲线y=x2与直线y=x围成的封闭图形的面积为S==．故答案为：【点评】本题考查利用定积分求面积，解题的关键是确定被积区间及被积函数．14．（5分）（2015秋•株洲月考）若x、y满足约束条件，则z=2x﹣y的取值范围是[﹣2，4] ．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z的几何意义，进行平移，结合图象得到z=2x﹣y 的取值范围．【解答】解：由z=2x﹣y得y=2x﹣z，作出不等式对应的平面区域（阴影部分）如图：平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点A（0，2）时，直线y=2x﹣z的截距最大，此时z最小．当直线y=2x﹣z经过点C（2，0）时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．所以z的最大值为z=2×2=4，最小值z=0﹣2=﹣2．即﹣2≤z≤4．故答案为：[﹣2，4]．【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法．15．（5分）（2015秋•株洲月考）已知A、B、C是球O的球面上三点，AB=2，BC=4，∠ABC=60°，且棱锥O ﹣ABC的体积为，则球O的表面积为48π．【分析】求出底面三角形的面积，利用三棱锥的体积求出O到底面的距离，求出底面三角形的所在平面圆的半径，通过勾股定理求出球的半径，即可求解球的体积．【解答】解：三棱锥O﹣ABC，A、B、C三点均在球心O的表面上，且AB=2，BC=4，∠ABC=60°，AC=2，外接圆的半径为：GA=2，△ABC的外接圆的圆心为G，则OG⊥⊙G，∵S△ABC==2，三棱锥O﹣ABC的体积为，∴S△ABC•OG=，即=，∴OG=2，球的半径为：=2．球的表面积：4π×12=48π．故答案为：48π．【点评】本题考查球的表面积的求法，球的内含体与三棱锥的关系，考查空间想象能力以及计算能力．16．（5分）（2016春•荆州校级月考）在△ABC中，B=，BC=2，点D、E分别在边AB、AC上，AD=DC，DE ⊥AC，且DE≥，则∠ACB的最大值为75°．【分析】先求出CD，在△BCD中，由正弦定理可得=，结合∠BDC=2∠A，即可得求出∠A的最小值，从而得出∠ACD的最大值．【解答】解：如图所示，△ABC中，B=，BC=2，AD=DC，DE⊥AC，∴∠DCE=∠A，∠BDC=2∠A，∴DC=AD=；又=，即=，∴cos∠A==，又DE≥，∴cos∠A≤×=，∴∠A≥；∴∠ACB=π﹣∠B﹣∠A≤π﹣﹣=，即∠ACB的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了三角函数最值的应用问题，是综合性题目．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17．（12分）（2015秋•株洲月考）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=2，S9=45．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足b1=l，=（n∈N+），求数列{}的前n项和T n．【分析】（1）由等差数列前n项和公式、通项公式列出方程组，求出首项与公差，由此能求出a n．（2）推导出b n+1﹣b n=n，利用累加法求出b n=n2﹣n+1，从而==2（），由此能求出数列{}的前n项和T n．【解答】（本小题满分12分）解：（1）∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=2，S9=45，∴，解得a1=1，d=1，a n=1+（n﹣1）×1=n．…（4分）（2）∵数列{b n}满足b1=l，=（n∈N+），∴b n+1﹣b n=n，∴b n=b1+b2﹣b1+b3﹣b2+…+b n﹣b n﹣1=1+1+2+3+…+（n﹣1）=1+（1+n﹣1）=n2﹣n+1，∴==2（），∴T n=2（1﹣+…+）=2（1﹣）=．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．进行动物试验得到如下数据的列联表：（I）求出列联表中数据x，y，N的值及ζ的分布列；（Ⅱ）能够以97.5%的把握认为药物有效吗？（参考数据如下）（参考公式：K2=）出ξ的分布列和Eξ．（2）求出K2≈7.762＜5.024，从而没有97.5%的把握认为药物有效．【解答】（本题满分12分）解：（1）由列联表得x=30﹣20=10，y=50﹣10=40，N=30+40=70．…（2分）由题意得ξ取值为0，1，2P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，∴Eξ==．…（6分）（2）∵K2==≈7.762＜5.024．故没有97.5%的把握认为药物有效．…（12分）【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查独立检验的性质的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．19．（12分）（2015•山东一模）在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1）．将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1﹣EF﹣B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）（1）求证：A1E⊥平面BEP（2）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；（3）求二面角B﹣A1P﹣F的余弦值．【分析】（1）设正三角形ABC的边长为 3．在图1中，取BE的中点D，连结DF．由已知条件推导出△ADF 是正三角形，从而得到EF⊥AD．在图2中，推导出∠A1EB为二面角A1﹣EF﹣B的平面角，且A1E⊥BE．由此能证明A1E⊥平面BEP．（2）建立分别以EB、EF、EA为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，利用向量法能求出直线A1E与平面A1BP所成的角的大小．（3）分别求出平面A1FP的法向量和平面BA1F的法向量，利用向量法能求出二面角B﹣A1P﹣F的余弦值．【解答】（1）证明：不妨设正三角形ABC 的边长为3．在图1中，取BE的中点D，连结DF．∵AE：EB=CF：FA=1：2，∴AF=AD=2，而∠A=60度，∴△ADF是正三角形，又AE=DE=1，∴EF⊥AD．在图2中，A1E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A1EB为二面角A1﹣EF﹣B的平面角．由题设条件知此二面角为直二面角，∴A1E⊥BE．又BE∩EF=E，∴A1E⊥平面BEF，即A1E⊥平面BEP．（2）建立分别以EB、EF、EA为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，则E（0，0，0），A（0，0，1），B（2，0，0），F（0，，0），P （1，，0），则，．设平面ABP的法向量为，由平面ABP知，，即令，得，．，，∴直线A1E与平面A1BP所成的角为60度．（3），设平面A1FP的法向量为．由平面A1FP知，令y 2=1，得，．，所以二面角B﹣A1P﹣F的余弦值是．【点评】本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成的角的求法，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．（12分）（2016•哈尔滨校级四模）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+12=0相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设A（﹣4，0），过点R（3，0）作与x轴不重合的直线l交椭圆C于P，Q两点，连接AP，AQ分别交直线x=于M，N两点，若直线MR、NR的斜率分别为k1、k2，试问：k1k2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和直线与圆相切的条件，解方程可得a，b的值，进而得到椭圆方程；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线PQ的方程为x=my+3，代入椭圆方程，运用韦达定理和三点共线斜率相等，运用直线的斜率公式，化简整理，即可得到定值．【解答】解：（1）由题意得e==，a2﹣b2=c2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+12=0相切，可得d==b，解得a=4，b=2，c=2，故椭圆C的方程为+=1；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线PQ的方程为x=my+3，代入椭圆方程3x2+4y2=48，得（4+3m2）y2+18my﹣21=0，∴y1+y2=﹣，y1y2=﹣，由A，P，M三点共线可知，=，即y M=•；同理可得y N=•．所以k1k2=•==．因为（x1+4）（x2+4）=（my1+7）（my2+7=m2y1y2+7m（y1+y2）+49，所以k1k2===﹣．即k1k2为定值﹣．【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式，考查两直线的斜率之积为定值的证明，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查运算能力，属于中档题．21．（12分）（2015秋•洛阳校级期末）设函数f（x）=alnx+b（x2﹣3x+2），其中a，b∈R．（I）若a=b，讨论f（x）极值（用a表示）；（Ⅱ）当a=1，b=，函数g（x）=2f（x）﹣（λ+3）x+2，若x1，x2（x1≠x2）满足g（x1）=g（x2）且x1+x2=2x0，证明：g′（x0）≠0．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，假设结论不成立，得到ln=，令t=，构造函数u（t）=lnt﹣（0＜t＜1），根据函数的单调性判断即可．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），∵a=b∴f（x）=alnx+a（x2﹣3x+2）∴f′（x）=+a（2x﹣3），∴f′（x）=+a（2x﹣3）=，①当a=0时，f（x）=0，所以函数f（x）无极值；②当a＞0时，f（x）在（0，）和（1，+∞）单调递增，在（，1）单调递减，∴f（x）的极大值为f（）=﹣aln2+a，f（x）的极小值为f（1）=0；③当a＜0时，f（x）在（0，）和（1，+∞）单调递减，在（，1）单调递增，∴f（x）的极小值为f（）=﹣aln2+a，f（x）的极大值为f（1）=0；综上所述：当a=0时，函数f（x）无极值；当a＞0时，函数f（x）的极大值为﹣alna，函数f（x）的极小值为0；当a＜0时，函数f（x）的极小值为﹣alna，函数f（x）的极大值为0．…（5分）（Ⅱ）g（x）=2lnx﹣x2﹣λx，g′（x）=﹣2x﹣λ，假设结论不成立，则有，由①，得，∴，由③，得，∴，即ln=．④令t=，不妨设x1＜x2，u（t）=lnt﹣（0＜t＜1），则u′（t）=＞0，∴u（t）在0＜t＜1上增函数，u（t）＜u（1）=0，∴④式不成立，与假设矛盾．∴g′（x0）≠0．…（12分）【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查分类讨论思想，是一道综合题．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-l：几何证明选讲（共1小题，满分10分）22．（10分）（2016•上饶校级二模）如图，⊙O的半径为6，线段AB与⊙相交于点C、D，AC=4，∠BOD=∠A，OB与⊙O相交于点E．（1）求BD长；（2）当CE⊥OD时，求证：AO=AD．【分析】（1）证明△OBD∽△AOC，通过比例关系求出BD即可．（2）通过三角形的两角和，求解角即可．【解答】解：（1）∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠OAC=∠ODB．∵∠BOD=∠A，∴△OBD∽△AOC．∴，∵OC=OD=6，AC=4，∴，∴BD=9．…（5分）（2）证明：∵OC=OE，CE⊥OD．∴∠COD=∠BOD=∠A．∴∠AOD=180°﹣∠A﹣∠ODC=180°﹣∠COD﹣∠OCD=∠ADO．∴AD=AO …（10分）【点评】本题考查三角形相似，角的求法，考查推理与证明，距离的求法．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2016春•丰城市校级月考）在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为，（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值．【分析】（1）由曲线C1：，得，利用cos2α+sin2α=1即可得出曲线C1的普通方程，由曲线C2：，利用和差公式展开再利用即可得出直角坐标方程．（2）设椭圆上的点，利用点到直线的距离公式及其三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）由曲线C1：，得，∴曲线C1的普通方程为：，由曲线C2：，展开可得：，即曲线C2的直角坐标方程为：x﹣y+4=0．（2）由（1）知椭圆C1与直线C2无公共点，椭圆上的点到直线x﹣y﹣4=0的距离为，∴当时，d的最小值为．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲24．（2015•河南一模）设函数f（x）=|2x+1|+|x﹣a|（a∈R）．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤4；（2）当a＜﹣时，若存在x≤﹣使得f（x）+x≤3成立，求a的取值范围．【分析】（1）运用函数的零点分区间，讨论当x≥2、x≤﹣、﹣＜x＜2时，化简不等式解得，最后求并集即可；（2）由题意知这是一个存在性的问题，须求出不等式左边的最小值，即可解出实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|2x+1|+|x﹣2|，当x≥2时，f（x）≤4，即为（2x+1）+（x﹣2）≤4，即x≤成立，则有2≤x≤；当x≤﹣时，f（x）≤4，即为﹣（2x+1）﹣（x﹣2）≤4，即x≥﹣1，则﹣1≤x≤﹣；当﹣＜x＜2时，f（x）≤4，即为（2x+1）﹣（x﹣2）≤4，即x≤1，则有﹣＜x≤1．则原不等式的解集为[﹣1，1]；（2）由a＜﹣，x≤﹣可得f（x）+x=，∵存在x≤﹣使得f（x）+x≤3成立，∴3≥|f（x）+x|min=﹣a﹣1，∴求得a≥﹣4，则a的取值范围为[﹣4，﹣）．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查不等式的存在性问题，注意与恒成立问题的区别，属于中档题和易错题．。
河南省中原名校高三数学上学期第一次质量考评试题 文
中原名校2016-2017学年上学期第一次质量考评高三数学（文）试题（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在答题卡上。
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.已知复数z 满足(z +2i )(3+i )＝7-i ，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.“不等式x 2-5x -6＜0成立”是“0＜log 2(x +1)＜2成立”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知命题p ：若0＜x＜π2，则sin ＞x ：命题q ：若0＜x ＜π2，则tanx ＞x 。
在命题①q p ∧； ②q p ∨；③()q p ⌝∨；④q p ∨⌝)(中，真命题是（ ）A.①③B.①④C.②③D.②④4.若函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≥=2,412,1)(＜x a x xx f x ，为R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为（ ）A.(0,12]B.[12,1) C.(1,2] D.[2.+∞)5.函数f(x)＝x 2(2x -2-x)的大致图像为（ ）6.在区间[0,2]上分别任取两个数m,n ，若向量),(n m a =，则2≤a 的概率是（ ）A.π2B.π4C.π3D.π8 7.设函数f (x )是定义在R 上的可导函数，若f (x )-x f ′(x )＞0，则有（ ） A.f(-1)-f (1)＜0 B..f (-1)-f (1)＞0 C..f(-1)+f (1)＜0 D..f(-1)+f (1)＞08.公差为正数的等差数列{a n }中，a 1，a 5，a 6成等比数列，则使得S n 取得最小值的n 为（ ） A.5 B.6 C.7 D.89.若f (x )＝4x 3=2mx 2+(m -23)x +n (m,n ∈R )在R 上有两个极值点，则m 的取值范围为（ ）A.(-1,1)B.(1,2)C.(-∞,1)U(2,+∞)D.(-∞,-1)U(1,+∞) 10.已知函数f (x )＝sin(2x +φ)满足f (x )≥f (a)对x ∈R 恒成立，则函数（ ） A.f (x -a )一定为奇函数 B. f (x -a )一定为偶函数 C.f (x+a )一定为奇函数 D.f (x +a )一定为偶函数11.函数f (x )＝cos x2-tan x 在[0,2017π]上的零点的个数为（ ）A.2015B.2016C.2017D.201812.已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，对于x ∈R 都有f (x +4)＝f (x )+f (2)成立，且f (-4)=-2,当x 1,x 2∈[0,2],且x 1≠x 2时，都有(x 1-x 2)[f(x 1)-f (x 2)]＞0，则下列命题错误的是（ ）A.f (2016)＝-2B.函数y =f (x )的一条对称轴为x ＝-6C.函数y =f (x )在[-8,-6]上为减函数D.函数y =f (x )在[-9,9]上有4个根第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题：（本大题共4各小题，每小题5分，共20分）13.已知点A(0,1),B(-2,3),C(-1,2),D(1,5)，则向量AC 在BD 方向上的投影为_____. 14.已知函数f (x )为R 上的奇函数，f (-x +1)＝f (x +1)，且当0≤x ≤1时，f(x)＝x ,则f (13.5)=_______.15.已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，P 为抛物线上一点，过点P 作y 轴的垂线，垂足为M,若I PF I ＝5，则△PFM 的面积为______.16.直线y ＝a 分别与函数f (x )=2x +3，g (x )=x +lnx 相交于P,Q 两点，则I PQ I 的最小值为 _________三、解答题（本大题共6小题，满分70分。
【学期】河南省部分重点中学2017届高三上学期第一次联考数学理试题Word版含答案
【关键字】学期数学（理）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A．B．C．D．2.在复平面内，复数（是虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.设，则“”是“直线与直线平行”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4.在中，为边的中点，若，，则（）A．B． C. D．5.将函数的图象向左平移个单位，所得的函数关于轴对称，则的一个可能取值为（）A．B． C.0 D．6.若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）A．B． C. D．7.如图所示的茎叶图为高三某班50名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的为茎叶图中的学生成绩，则输出的分别是（）A．B．C. D．8.如图，周长为1的圆的圆心在轴上，顶点，一动点从开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长，直线与轴交于点，则函数的图象大致为（）A．B．C．D．9.设方程与的根分别为，则（）A．B． C. D．10.已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，在抛物线上且满足，当取最大值时，点恰好在以，为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A．B． C. D．11.设等差数列的前项和为，已知，，则下列结论正确的是（）A．B．C. D．12.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数称为狄利克雷函数，则关于函数有以下四个命题：①；②函数是偶函数；③任意一个非零有理数，对任意恒成立；④存在三个点，，，使得为等边三角形．其中真命题的个数是( )A．4 B．3 C.2 D．1第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知等比数列的第5项是二项式展开式中的常数项，则．14.冬季供暖就要开始，现分配出5名水暖工去3个不同的居民小区检查暖气管道，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，那么分配的方案共有种.15.若不等式组所表示的平面区域存在点，使成立，则实数的取值范围是.16.如图所示，由直线，及轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即．类比之，，恒成立，则实数.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(本题满分12分)在中，内角对应的三边长分别为，且满足．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，求的取值范围.18.（本小题满分12分）为增强市民的节能环保意识，郑州市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区是：．（Ⅰ）求图中的值，并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在岁的人数；（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取10名参加中心广场的宣传活动，再从这10名志愿者中选取3名担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为，求的分布列及数学期望. 19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面，为直角，，，，分别为，的中点. （Ⅰ）证明：AB ⊥平面BEF ；（Ⅱ）若PA =E BD C --. 20.（本小题满分12分）椭圆()222:11x H y a a+=>，原点O 到直线MN ，其中：点()01M -，，点()0N a ，.（Ⅰ）当a ，b ，c 成等差数列时，求ABC △的面积；（Ⅱ）经过椭圆右焦点2F 的直线l 和该椭圆交于A 、B 两点，点C 在椭圆上，O 为原点，若1322OC OA OB =+，求直线l 的方程.21.（本小题满分12分） 已知函数()()212g x f x x bx =+-，函数()ln f x x a x =+在1x =处的切线l 与直线20x y +=垂直.（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若函数()g x 存在单调递减区间，求实数b 的取值范围； （Ⅲ）设()1212x x x x <，是函数()g x 的两个极值点，若72b ≥，求()()12g x g x -的最小值． 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知ABC △中，AB AC =，D 为ABC △外接圆劣弧AC 上的点（不与点A C ，重合），延长BD 至E ，延长AD 交BC 的延长线于F ． （Ⅰ）求证：CDF EDF ∠=∠；（Ⅱ）求证：AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅．23．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为21x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），以直角坐标系原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 的极坐标方程为()sin cos 1ρθθ+=，求直线l 被曲线C 截得的弦长． 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()f x x a =-，不等式()3f x ≤的解集为[]15-，． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若()()5f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．17届（高三）第一次联考数学（理）试卷试卷答案一、选择题 1-5:CDADB 6-10:BBDAC 11、12：DA二、填空题13.36 14.150 15.1a ≤- 16.ln2 三、解答题17.解析：（Ⅰ）∵221cos 2c a B b a b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴2222222a c b bc a b +--=-，222a b c bc =+-…………………………2分 ∵2222cos a b c bc A =+-，∴1cos 2A =……………………………………4分 ∴3A π=…………………………………………6分（Ⅱ）解法1： 由正弦定理得2sin sin sin a b cA B C===， ∴2sin 2sin b B c C ==，．……………………………………8分 ∴()2sin 2sin 2sin 2sin b c B C B A B +=+=++2sin 2sin cos 2cos sin 3sin 6B A B A B B B B π⎛⎫=++=+=+ ⎪⎝⎭…………10分∵203B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴5666B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，1sin (1]62B π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，所以b c +∈，．…………………………12分 解法2：∵a =2222cos a b c bc A =+-，()22233b c bc b c bc =+-=+-……………………8分∵22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，()22332b c b c +⎛⎫≥+- ⎪⎝⎭……………………………………10分()212b c +≤，即b c +≤∵b c a +>∴b c +∈， (12)分（Ⅱ）用分层抽样的方法，从中选取10名，则其中年龄“低于35岁”的人有6名，“年龄不低于35岁”的人有4名，故X 的可能取值为0123，，，．………………………………………………5分()343101030C P X C ===，()12643103110C C P X C ===，()2164310122C C P X C ===，()36310136C P X C ===．………………………………………………………………9分 故X 的分布列为所以1311901233010265EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．……………………………………………………12分 19.解：（Ⅰ）证：由已知DF 平行且等于AB 且DAB ∠为直角，故ABFD 是矩形， 从而AB BF ⊥．又PA ⊥底面ABCD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ， ∵AB AD ⊥，故AB ⊥平面PAD ，∴AB PD ⊥，在PCD △内，E 、F 分别是PC 、CD 的中点，EF PD ∥，∴AB EF ⊥， 由此得AB ⊥平面BEF .………………………………6分方程有解1x =-，故不论k 取任何正整数时，方程总有公共根1-.（Ⅱ）以A 为原点，以AB ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴正向建立空间直角坐标系，则()120BD =-，，，01BE ⎛= ⎝⎭，， 设平面CDB 的法向量为()1001n =，，，平面EDB 的法向量为()2n x y z =，，， 则220n BD n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩200x y y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩可取(221n =-，，， 设二面角E BD C --的大小为θ，则121212cos cos 21n n n n n n θ⋅=<>===⨯⋅，所以，4πθ=…………………………………………12分.20.解：（Ⅰ）设直线:0MN x ay a --=3a =⇒=， 所以离心率e ==3分. （Ⅱ）椭圆H 方程为2213x y +=，设()()()112233A x y B x y Cx y ，，，，，， ①当直线l 斜率为0时，其方程为0y =， 此时)0A ，，()0B ，，不满足121230x x y y +=，不符合题意，舍去 (4)分②当直线l 斜率不为0时设直线l 方程为x my =+由题意：2213x my x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消x 得()22310m y ++-=，…………………………5分所以12122013y y y y m ⎧∆>⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪-=⎪+⎩．……………………………………7分因为1322OC OA OB =+，所以31212x x x =+，31212y y y =+，因为点C 在椭圆上，所以22223312121113322x y x x y y ⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以121230x x y y +=……………………9分∵(()2121212122x x my my m y y y y =+=+++化简得210m -=，得1m =±，直线l为x y =±+11分 综上，直线l为00x y x y --+-，…………………………12分 21.解：（Ⅰ）∵()ln f x x a x =+，∴()'1af x x=+， ∵与直线20x y +=垂直，∴1'12x k y a ===+=，∴1a =，………………2分（Ⅱ）∵()()21ln 12g x x x b x =+--，∴()()()2111'1x b x g x x b x x --+=+--=，由题知()'0g x <在()0+∞，上有解，∵0x >设()()211u x x b x =--+，则()010u =>，所以只需()211231140b b b b b -⎧>>⎧⎪⇒⎨⎨><-⎩⎪∆=-->⎩或， 故b 的取值范围是()3+∞，…………………………………………6分 . （Ⅲ）∵()()()21111x b x g x x b x x--+=+--=，令()0g x =，得()2110x b x --+=， 由题121211x x b x x +=-=，， 12x t x =，则()()()1111ln 2g x g x h t t t t ⎛⎫-==-- ⎪⎝⎭……………………………………8分 ∵120x x <<，所以令()1201x t x =∈，， 又72b ≥，所以512b -≥，所以()()()222121212125124x x b x x t x x t +-=+==++≥，整理有241740t t -+≥，解得1144t -≤≤，∴1(0]4t ∈，…………………………………………10分()()22211111022t h t t t t -⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭，所以()h t 在10]4（，单调递减， ()1152ln 248h t h ⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭，故()()11g x g x -的最小值是152ln 28-．……………………………………12分 22.解析：（Ⅰ）证明：∵A 、B 、C 、D 四点共圆， ∴CDF ABC ∠=∠，∵AB AC =，∴ABC ACB ∠=∠，且ADB ACB ∠=∠， EDF ADB ACB ABC ∠=∠=∠=∠，∴CDF EDF ∠=∠．…………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得ADB ABF ∠=∠，又∵BAD FAB ∠=∠， 所以BAD △与FAB △相似， ∴AB ADAF AB=，∴2AB AD AF =⋅， 又∵AB AC =，∴AB AC AD AF ⋅=⋅，∴AB AC DF AD AF DF ⋅⋅=⋅⋅， 根据割线定理得DF AF FC FB ⋅=⋅，AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅．………………………………10分23．⑴∵曲线C 的参数方程为21x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（α为参数）∴曲线C 的普通方程为()()22215x y -+-=， 将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入并化简得：4cos 2sin ρθθ=+，即曲线C 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=+…………………………5分 （2）∵l 的直角坐标方程为10x y +-=，∴圆心C 到直线l 的距离为d ==∴弦长为=……………………10分24．⑴∵3x a -≤，∴33a x a -≤≤+，∵()3f x ≤的解集为[]15-，，∴3135a a -=-⎧⎨+=⎩，∴2a =．…………………………5分⑵∵()()()()523235f x f x x x x x ++=-++≥---=，又()()5f x f x m ++≥恒成立，∴5m ≤．………………………………………………10分此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
广东省、河南省名校2018届高三上第一次联考数学(理)试卷(含答案)
广雅、华东中学、河南名校2018届高三阶段性联考（一）数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|560},{|2}A x x x B x x =--≤=≥，则()R A C B =I （ ） A ．[]1,2- B ．[1,2)- C ．(2,6] D ．[2,6]2. 双曲线22221(0)4x y a a a-=≠ 的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．12y x =±C ．4y x =±D ．y = 3. 已知()(47)5m ni i ++=，其中,m n 是实数，则咋复平面内，复数z m ni =+所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4.曲线3xy e =在点(0,3)处的切线方程为 （ ） A ．3y = B ．3y x = C ．33y x =+ D ．33y x =- 5. 已知公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和为123451,1024n S a a a a a =，且243,,a a a 成等差数列， 则5S = （ ） A ．3316B ．3116C ．23D ．11166.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则 （ ） A ．若,,m n n ββα⊥⊥⊥，则m α⊥ B ．若,,m n αββα⊂⊂⊥，则m n ⊥C ．“直线m 与平面α内的无数条直线垂直”上“直线m 与平面α垂直”的充分不必要条件D ．若,,m n n m βα⊥⊥⊥，则αβ⊥7. 已知随机变量~(7,4)X N ，且(59),(311)P X a P X b <<=<<=，则(39)P X <<=（ ） A ．2b a - B ．2b a+ C ．22b a - D ．22a b -8. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线3:2l x =-，点M 在抛物线C 上，点A 在左准线l 上，若MA l ⊥，且直线AF 的斜率3AF k =-，则AFM ∆的面积为（ ） A ．33 B ．63 C ．93 D ．1239. 如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A ．2483π+ B ．88π+ C ．3283π+ D ．32243π+10.运行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为480，则判断框中可以填 （ ） A ．60i > B ．70i > C ．80i > D ．90i >11. 已知函数()22cos 38f x x m x m m =-++-有唯一的零点，则实数m 的值为（ ）A ．2B ．4-C ．4-或2D ．2-或4 12. 已知函数()23(12cos )sin()2sin cos()()222f x x x πππθθθ=-+--≤，在3[,]86ππ--上单调递增，若()8f m π≤恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A．)2+∞ B ．1[,)2+∞ C ．[1,)+∞ D．)2+∞ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知在长方形ABCD 中，24AB AD ==,点E 是边AB 上的中点，则BD CE ⋅=u u u r u u u r．14.《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问各几何？”其意为：“仅有甲带了560钱，乙带了350钱，丙带了180钱，三人一起出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱”，则丙应出钱（所得结果四舍五入，保留整数）．15.已知实数,x y 满足22222x yx y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，若(0)z x my m =->的最大值为4，则(0)z x my m =->的最小值为 ．16.设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若124,0,14(2m m m S S S m -+=-==≥且)m N +∈，则m = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，已知cos (1)2C a +=. （1）求C ； （2）若c =ABC ∆的面积S 取到最大值时a 的值.18. 为了调查观众对某电视剧的喜爱程度，某电视台在甲乙两地随机抽取了8名观众做问卷调查，得分结果如图所示：（1）计算甲地被抽取的观众问卷得分的中位数和乙地被抽取的观众问卷得分的平均数；（2）用频率估计概率，若从乙地的所有观众中再随机抽取4人进行问卷调查，记问卷分数不低于80分的人数为X ，求X 的分布列与期望.19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，011,90,BA BC BB ABC BB ==∠=⊥ 平面ABC ，点E 是1A B 与1AB 的交点，点D 在线段AC 上，1//B C 平面1A BD .（1）求证：1BD A C ⊥；（2）求直线1A C 与平面11A B D 所成的角的正弦值.20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>35倍，A 是椭圆C 的左顶点，F 是椭圆C 的右焦点，点0000(,)(0,0),M x y x y N >>都在椭圆C 上. （1）若点210(D -在椭圆C 上，求的最大值； （2）若2(OM AN O =u u u u r u u u r为坐标原点），求直线AN 的斜率.21.已知函数()xf x e ax =-.（1）当2a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若存在,[0,2]m n ∈，且1m n -≥，使得()1()f m f n =，求证：11ae e ≤≤-. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线221:20C x y y +-=，倾斜角为6π的直线l 过点(2,0)M -，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程cos()4πρθ-=（1）求1C 和2C 焦点的直角坐标；（2）若直线l 与1C 交于,A B 两点，求MA MB +的值. 23.已知函数()414f x x x a =+-+ .（1）若2a =，解关于x 的不等式()0f x x +<； （2）若x R ∃∈，使()5f x ≤-，求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: BADCD 6-10: DBCAB 11、A 12：C二、填空题13. 4 14. 17 15. 6- 16. 5三、解答题17.解：（1）因为cos cos (1)sin (1)22C C a A +=⇒+=，在ABC ∆中，sin 0A >1cos 12C C -=，从而sin()16C π-=， 因为0C π<<，所以5666C πππ-<-<，所以2623C C πππ-=⇒=.（2）由（1）知23C π=，所以sin C =1sin 2S ab C ==， 因为22222cos 62a b c C a b ab ab+-=⇒+=-， 因为222a b ab +≥，所以2ab ≤，所以3342S ab =≤，当且仅当2a b ==时等号成立. 18.（1）由茎叶图可知，甲地被抽取的观众问卷得分的中位数是8383832+=， 乙地被抽取的观众问卷得分的平均数是1(70280490269036907)858⨯+⨯+⨯++++++++=. （2）记“从乙地抽取1人进行问卷调查不低于80分”为事件A ，则63()84P A ==. 随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4，且3(4,)4X B :，所以4431()()(),0,1,2,3,444kk k P X k C k -===，所以变量X 的分布列为：()3434E X =⨯=. 19.解：（1）如图，连接ED ，因为1AB C I 平面11,//A BD ED B C =平面1A BD ，所以1//B C ED . 因为E 为1AB 的中点，所以D 为AC 的中点. 因为AB BC =，，由1A A ⊥平面,ABC BD ⊂平面ABC ，得1A A BD ⊥， 又1,A A AC 是平面11A ACC 所以内的两条相交直线，得BD ⊥平面11A ACC ，因为1AC ⊂平面11A ACC ，所以1BD A C ⊥.(2)令1AB =，则11BC BB ==，如图，以B 为坐标原点，建立空间直角坐标系B xyz -，则1111(1,0,1),(0,0,1),(0,1,0),(,,0)22A B C D ，得11111(1,0,0),(,,1)22B A B D ==-u u u u r u u u u r ，设(,,)m x y z =u r是平面11A B D 的一个法向量，则11111111011022m B A x m B A m B D x y z m B D ⎧⋅==⎧⊥⎪⎪⇒⎨⎨⋅=+-=⊥⎪⎪⎩⎩u r u u u u u u u u u u u u r u r u u u u r u r u u u u r u r u u u u r ， 令1z =，得(0,2,1)m =u r，又1(1,1,1)AC =--u u u r ,设直线1A C 与平面11A B D 所成的角为θ， 则15sin 553θ==⋅.20.解：（1）依题意，35a b =，则2222159x y a a +=，将210(D -代入， 解得29a =，故(2,0)F ，设11(,)N x y ，则2222111111449(2)49(),[3,3]992NF x y x x x x =-+=-+=-∈-， 故当13x =-时，NF 有最大值为5.（2）由（1）知， 355a b =，所以椭圆的方程为2222159x y a a +=，即222595x y a +=， 设直线OM 的方程为11(0),(,)x my m N x y =>，由222595x my x y a=⎧⎨+=⎩，得2222222559559a m y y a y m +=⇒=+，因为00y >，所以0y =，因为2//OM AN AN OM =⇒u u u u r u u u r，所以直线AN 的方程为x my a =-，由222595x my a x y a=-⎧⎨+=⎩，得22(59)100m y amy +-=， 所以0y =或21059am y m =+，得121059amy m =+， 因为2OM AN =u u u u r u u u r，所以0011(,)(22,2)x y x a y =+，于是012y y =，220(0)59amm m =>+，所以m =，所以直线AN 的斜率为13m =. 21.解：（1）当2a =时，()()22xxf x e x f x e '=-⇒=-， 又()0ln 2f x x '>⇒>，由()0ln 2f x x '<⇒<，所以函数()f x 的单调递增区间为(ln 2,)+∞，单调递减区间为(,ln 2)-∞. （2）由()xf x e a '=-，当0a ≤时，()0f x '>，此时()f x 在R 上单调递增；由()()1f m f n =可得m n =，与1m n -≥相矛盾， 所以0a >，且()f x 的单调递增区间为(ln ,)a +∞，单调递减区间为(,ln )a -∞. 若,(,ln )m n a ∈-∞，则由12()()f x f x =可得12x x =，与121x x -≥相矛盾， 同样不能有,(ln ,)m n a ∈+∞，不妨设02m n ≤<≤，则由0ln 2m a n ≤<<≤，因为()f x 在(,ln )m a 上单调递减，在(ln ,)a n 上单调递增，且()()1f m f n =， 所以当m x n ≤≤时，()()()f x f m f n ≤=.由02m n ≤<≤，1m n -≥，可得1[,]m n ∈，故()()()1f f m f n ≤=， 又()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，且0ln m a ≤<，所以()()0f m f ≤，所以()()10f f ≤，同理()()12f f ≤，即212e a e a e a-≤⎧⎨-≤-⎩，解得21e a e e -≤≤-， 所以11ae e ≤≤-. 22.解：（1）曲线2C的极坐标方程为cos()4πρθ-=化为直角坐标系的方程为20x y +-=，联立222020x y x y y +-=⎧⎨+-=⎩， 解得交点的坐标为(0,2),(1,1).（2）把直线的参数方程2(12x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)代入2220x y y +-=，得221212t ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2121)40,1t t t t -+=+=， 易知点M 在圆2220x y y +-=外，所以121MA MB t t +=+=. 23.解：（1）若2a =，则不等式化为()41420f x x x x =+--+<，若14x <-，则41420x x x --+-+<，解得3x <，故14x <-； 若1142x -≤≤，则41420x x x ++-+<，解得19x <，故1149x -≤≤；若12x >，则41420x x x +-++<，解得3x <-，故无解，综上所述，关于x 的不等式()0f x x +<的解集为1(,)9-∞，（2）x R ∃∈，使()5f x ≤-等价于()min []5f x ≤-，因为()414(41)(4)1f x x x a x x a a =+--≤+--=-， 所以()11a f x a --≤≤-，所以()f x 的最小值为1a --， 所以15a --≤-，得4a ≥或6a ≤-所以a 的取值范围是(,6][4,)-∞-+∞U .。
河南省郑州市第一中学2017-2018学年高三上学期联考理数试题 Word版含解析
2017-2018学年一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}12>=xx A ，{}1<=x x B ，则=B A （）A ．{}10<<x xB ．{}0>x xC ．{}1>x xD ．{}1<x x 【答案】A . 【解析】试题分析：因为{}{}210xA x x x =>=>，所以{}{}{}0101A B x x x x x x ⋂=>⋂<=<<，故应选A .考点：１、集合间的基本运算.2.设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数. 若复数z 满足29)52(=-z i ，则z =（ ） A ．25i + B ．25i - C ．25i -+ D ．25i -- 【答案】B .考点：1、复数的概念；2、复数的四则运算. 3.已知p ：“存在),1[0+∞∈x ，使得1)3(log 02≥x ”，则下列说法正确的是（）A ．p 是假；p ⌝：“任意),1[+∞∈x ，都有1)3(log 2<x ”B ．p 是真；p ⌝：“不存在),1[0+∞∈x ，使得1)3(log 02<x ”C ．p 是真；p ⌝：“任意),1[+∞∈x ，都有1)3(log 2<x ”D ．p 是假；p ⌝：“任意)1,(-∞∈x ，都有1)3(log 2<x ”【答案】C .【解析】试题分析：对于p ：“存在),1[0+∞∈x ，使得1)3(log 02≥x”，因为2log 31>，所以()2log 31x ≥，故p 为真.由全称的否定为特称可得，p ⌝：“任意),1[+∞∈x ，都有1)3(log 2<x ”，故应选C .考点：1、及其判断；2、全称的否定.4.某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（） A ．π320 B ．π6 C ．π310 D ．π316【答案】C .考点：1、三视图；2、简单几何体的体积.【思路点睛】本题主要考查三视图求空间几何体的表面积，考查学生计算能力与空间想象能力，属中档题.其解题的关键步骤有两点：其一是能够准确根据已知三视图还原出原空间几何体，这是至关重要的一步；其二是能够根据空间几何体合理地分割空间几何体，运用简单的常见的空间几何体的组合求其表面积，这是求解空间几何体的体积和表面积的常见方法之一. 5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若729=S ，则=++942a a a （ ） A ．8 B ．16 C ．24 D ．36【答案】C .考点：1、等差数列的基本性质；2、等差数列的前n 项和.6.已知抛物线28y x =，点Q 是圆22:28130C x y x y ++-+=上任意一点，记抛物线上任意一点到直线2x =-的距离为d ，则PQ d +的最小值为（） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 【答案】C . 【解析】试题分析：如图所示，由题意知，抛物线28y x =的焦点为(2,0)F ，连接PF ，则d PF =. 将圆C 化为22(1)(4)4x y ++-=，圆心为(1,4)C -，半径为2r =，则PQ d PQ PF +=+，于是由PQ PF FQ +≥（当且仅当F ,P,Q 三点共线时取得等号）.而FQ 为圆C 上的动点Q 到定点F 的距离，显然当F ,Q,C 三点共线时取得最小值，且为23CF -=，故应选C .1、抛物线及其性质；2、圆的标准方程.7.若在nxx )213(32-的展开式中含有常数项，则正整数n 取得最小值时的常数项为（） A ．2135- B ．-135 C ．2135 D ．135【答案】C .【解析】试题分析：因为nxx )213(32-的展开式的通项为：2251311(3)()3()22rn r r r n rr n r r n n T C x C x x ---+=-=-，展开式中含有常数项需满足：250n r -=，即52rn =，r Z ∈.所以当2r =时，正整数n 取得最小值为5n =，故应选C .考点：1、二项式定理的应用.8.若实数,x y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≥-+,01,032,033m y x y x y x 且x y +的最大值为9，则实数m =（）A ．1B ．-1C ．2D ．-2 【答案】A.考点：1、简单的线性规划问题.9.已知偶函数R x x f y ∈=),(满足：)0(3)(2≥-=x x x x f ，若函数⎪⎩⎪⎨⎧<->=0,10,log )(2x xx x x g ，则)()(x g x f y -=的零点个数为（ ） A ．1 B ．3 C ．2 D ．4 【答案】B .【解析】试题分析：因为函数)()(x g x f y -=的零点个数即函数y f (x )=与函数⎪⎩⎪⎨⎧<->=0,10,log )(2x x x x x g 的交点的个数. 于是作函数y f (x )=与函数⎪⎩⎪⎨⎧<->=0,10,log )(2x xx x x g 的图像如下：由图可知，其有3个交点，故应选B.考点：1、函数的图像；2、函数的零点与方程.10.已知实数m ，n ，若0≥m ，0≥n ，且1=+n m ，则1222+++n n m m 的最小值为（） A ．41 B ．154 C ．81 D ．31 【答案】A.考点：1、利用导数研究函数的单调性与极值.11.如图，已知椭圆111:221=+y x C ，双曲线)0,0(1:22222>>=-b a by a x C ，若以1C 的长轴为直径的圆与2C 的一条渐近线交于A 、B 两点，且1C 与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则2C 的离心率为（）A ．5B ．5C ．17D ．7142【答案】A .考点：1、椭圆的标准方程；2、双曲线的简单几何性质.【思路点睛】本题考查了椭圆的标准方程和双曲线的简单几何性质，考查学生综合运用知识的能力和分析解决问题的能力，属中档题.其解题的一般思路为：首先设出椭圆与双曲线的渐近线的交点1122(,),(,)M x y N x y ，然后由题意可得3OA OM =，再联立方程渐近线方程与圆、与椭圆的方程分别计算出1x ，3x ，最后代入即可得出所求的结果.12.已知数列{}n a 共有9项，其中，191==a a ，且对每个{}8,,2,1⋅⋅⋅∈i ，均有⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈+21,1,21i i a a ，则数列{}n a 的个数为（）A ．729B ．491C ．490D ．243 【答案】B . 【解析】 试题分析：令1(18)i i ia b i a +=≤≤，则对每个符合条件的数列{}n a ，满足399212812811a a a a b b b a a a a =⋅== ，考点：1、数列的概念；2、排列组合.【思路点睛】本题主要考查了数列的概念和排列组合等知识，具有较强的综合性和实用性，渗透等价转化的数学思想，属中高档题.其解题的一般思路为：首先令1(18)i i ia b i a +=≤≤，则对每个符合条件的数列{}n a ，满足399212812811a a a a b b b a a a a =⋅== ，且1{2,1,}2i b ∈-，18i ≤≤；然后由符合上述条件的八项数列{}n b 可唯一确定一个符合题设条件的九项数列{}n a ，最后根据排列组合的知识即可得出所求的结果.第Ⅱ卷（共90分）（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.执行右面的程序框图，若输出的结果为21，则输入的实数x 的值是________.【答案】2.考点：1、程序框图与算法.14.若随机变量)1,2(~N ξ，且1587.0)3(=>ξP ，则=>)1(ξP ____. 【答案】0.8413. 【解析】试题分析：因为)1,2(~N ξ，且1587.0)3(=>ξP ，所以(1)(3)0.1587P P ξξ<=>=，所以(1)1(1)10.15870.8413P P ξξ>=-<=-=，故应填0.8413. 考点：1、正态分布及其性质.15.已知四面体P ABC -，其中ABC ∆是边长为6的等边三角形，PA ⊥平面ABC ，4PA =，则四面体P ABC -外接球的表面积为________.【答案】64π. 【解析】试题分析：根据已知中底面ABC ∆是边长为6的等边三角形，PA ⊥平面ABC ，可得此三棱锥外接球，即以ABC ∆为底面以PA 为高的正三棱柱的外接球. 因为ABC ∆是边长为6的正三角形，所以ABC ∆的外接圆半径为r =ABC ∆的外接圆圆心的距离为2d =，所以球的半径为4R =，所以四面体P ABC -外接球的表面积为2464S R ππ==，故应填64π.考点：1、球及其表面积；2、空间直线、点的位置关系.【思路点睛】本题考查了球及其表面积的求法和空间直线、点的位置关系等知识点，考查学生空间想象能力与分析解决问题的能力，属中档题. 其解题的一般思路为：首先由已知并结合三棱锥和正三棱柱的几何特征得出此三棱锥外接球，即为底面以PA 为高的正三棱柱的外接球，然后根据空间几何体的特征分别求出棱锥底面半径和球心距，最后由公式R 可得出球的半径，进而得出所求的球的表面积.16.对于函数f(x)，若存在常数0≠a ，使得x 取定义域内的每一个值，都有)2()(x a f x f --=，则称f(x)为准奇函数.给定下列函数：①11)(-=x x f ；②2)1()(-=x x f ；③3)(x x f =；④x x f cos )(=，其中所有准奇函数的序号是_______. 【答案】①④.考点：1、新定义；2、函数的图像及其性质；3、三角函数的图像及其性质.【思路点睛】本题考查新定义的理解与应用、函数的图像及其性质和三角函数的图像及其性质，属中档题. 对于新定义类型题，一般思路为：首先是正确把握已知的定义，即判断函数()f x 为准奇函数的主要标准是：若存在常数0≠a ，使得x 取定义域内的每一个值，都有)2()(x a f x f --=；然后运用函数的性质如对称性等对其进行判断，最后得出结论.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量)sin sin ,(C A b a -+=，向量)sin sin ,(B A c n -=，且n m ∥：（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设BC 中点为D ，且3=AD ：求a+2c 的最大值及此时ABC ∆的面积.【答案】（1）3B π=.（2）2a c +的最大值为1sin 2S ac B ==. 【解析】试题分析：（1）首先结合已知并运用正弦定理即可得到等式：222a c b ac +-=，然后由余弦定理即可得出角B 的余弦值，最后由三角形内角的范围可得角B 的大小；（2）首先设出BAD θ∠=，然后结合（1）的考点：1、正弦定理；2、余弦定理；3、三角函数的图像及其性质；4、辅助角公式.【方法点睛】本题主要正弦定理、余弦定理、三角函数的图像及其性质和辅助角公式，渗透数形结合和化归的数学思想，属中档题.解答第一问的过程中最关键的步骤是运用正弦定理将三角恒等式转化为只含有边或角的等式关系；解答第二问的过程中最关键的步骤是：能够运用正弦定理建立边与角的正弦的关系，并能借助于辅助角公式求其最值.18.（本小题满分12分）某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按，(10，20]，(20，30]，(30，40]，(40，50]分组，得到频率分布直方图如下：假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立.（Ⅰ）写出频率分布直方图（甲）中的a 的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为21s ，22s ，试比较21s 与22s 的大小；（只需写出结论）（Ⅱ）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；（Ⅲ）记X 表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求X 的数学期望.【答案】（Ⅰ）0.015a =； 2212s s >；（Ⅱ）()()()()()0.42P C P A P B P A P B =+=；（Ⅲ）X 的分布列为的数学期望.（Ⅱ）设事件A ：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；事件B ：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；事件C ：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱. 则()0.200.100.3P A =+=，()0.100.200.3P B =+=. 所以 ()()()()()0.42P C P A P B P A P B =+=.（Ⅲ）由题意可知，X 的可能取值为0，1，2，3.0033(0)0.30.70.343P X C ==⨯⨯=， 1123(1)0.30.70.441P X C ==⨯⨯=，2213(2)0.30.70.189P X C ==⨯⨯=，3303(3)0.30.70.027P X C ==⨯⨯=.所以X 的分布列为考点：1、离散型随机变量的均值与方差；2、相互独立事件的概率乘法公式；3、频率分布直方图.【方法点睛】本题主要考查频率分布直方图、离散型随机变量的均值与方差和相互独立事件的概率乘法公式，属中档题.这类题型是历年高考的必考题型之一，其解题的关键有二点：其一是认真审清题意，掌握二项分布与几何分布，并区分两者的适用范围；其二是掌握离散型随机变量的分布列和均值的求法以及频率分布直方图的性质的应用. 19.（本小题满分12分）如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上除A 、B 外的一个动点，DC 垂直于半圆O 所在的平面，DC∥EB，DC=EB ，AB=4，41tan =∠EAB . （Ⅰ）证明：平面ADE⊥平面ACD ；（Ⅱ）当三棱锥C-ADE 体积最大时，求二面角D-AE-B 的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）二面角D AE B --的余弦值为（Ⅱ）依题意，1414tan =⨯=∠⨯=EAB AB EB ，由（Ⅰ）知DE S V V ACD ACD E ADEC ⨯⨯==∆--31DECD AC ⨯⨯⨯⨯=2131 BC AC ⨯⨯=6134121)(121222=⨯=+⨯≤AB BC AC ， 当且仅当22==BC AC 时等号成立. 如图所示，建立空间直角坐标系，则(0,0,1)D，E ，A B，则(AB =- ，(0,0,1)BE =，DE =，1,)DA =-设面DAE 的法向量为1(,,)n x y z =，1100n DE n DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00z ⎧=⎪⎨-=⎪⎩∴1(1n = ， 设面ABE 的法向量为2(,,)n x y z = ， 2200n BE n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩∴2(1,0)n = ， x121212cos,6n nn nn n∴===，可以判断12,n n与二面角D AE B--的平面角互补∴二面角D AE B--的余弦值为6-.考点：1、面面垂直的判定定理；2、空间向量法求二面角.20.（本小题满分12分）已知离心率为22的椭圆)0(12222>>=+babyax的右焦点F是圆1)1(22=+-yx的圆心，过椭圆上的动点P作圆的两条切线分别交y轴于,M N（与P点不重合）两点.（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）求线段MN长的最大值，并求此时点P的坐标.【答案】（1）1222=+yx；（2）.考点：1、椭圆的标准方程；2、椭圆与直线相交的综合问题. 21.（本小题满分12分） 已知函数m mx x x f +-=ln )(. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若0)(≤x f 在),0(+∞∈x 上恒成立，求实数m 的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，对任意的0a b <<，求证：)1(1)()(+<--a a a b a f b f .【答案】（1）当0m ≤时，'()0f x >恒成立，则函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，此时函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，无单调递减区间；当0m >时，由'11()0mx f x m x x-=-=>，得1(0,)x m ∈，]由'11()0mx f x m x x -=-=<，得1(,)x m ∈+∞，此时()f x 的单调递增区间为1(0,)x m∈，单调递减区间为1(,)m +∞；（2）1m =；（3）详见解析.试题解析：（Ⅰ）'11()((0,))mxf x m x x x-=-=∈+∞，当0m ≤时，'()0f x >恒成立，则函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，此时函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，无单调递减区间；当0m >时，由'11()0mx f x m x x -=-=>，得1(0,)x m∈，]由'11()0mx f x m x x -=-=<，得1(,)x m ∈+∞，此时()f x 的单调递增区间为1(0,)x m∈，单调递减区间为1(,)m+∞.（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当0m ≤时，f （x ）在(0,)+∞上递增，f （1）=0，显然不成立；当0m >时，m a x 11()()ln 1ln 1f x f m m m m m==-+=--，只需l n 10m m --≤即可， 令()ln 1g x x x =--，则'11()1x g x x x-=-=，(0,)x ∈+∞，得函数()g x 在（0,1）上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．∴min ()(1)0g x g ==，()0g x ≥对(0,)x ∈+∞恒成立，也就是ln 10m m --≥对(0,)m ∈+∞恒成立，∴ln 10m m --=，解1m =，∴若()0f x ≤在(0,)x ∈+∞上恒成立，则1m =.（Ⅲ）证明：ln()()ln ln ln ln 1111bf b f a b a a b b a a b a b a b a a a--+--==-=⋅-----，由（Ⅱ）得()0f x ≤在(0,)x ∈+∞上恒成立，即ln 1x x ≤-，当且仅当1x =时去等号，又由0a b <<得1ba>，所以有0ln1b b a a<<-， 即ln11b a b a <-．则2ln1111111(1)(1)1ba a ab a a a a a a a a --⋅-<-==<++-，则原不等式()()1(1)f b f a b a a a -<-+成立. 考点：1、导数在研究函数的最值与单调性中的应用；2、导数证明不等式中的应用. 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知C 点在⊙O 直径的延长线上，CA 切⊙O 于A 点，DC 是∠ACB 的平分线，交AE 于F 点，交AB 于D 点. （Ⅰ）求∠ADF 的度数； （Ⅱ）若AB=AC ，求AC ：BC.【答案】（1）45ADF ∠=︒；（2）AC BC =.考点：1、切割线定理；2、三角形的相似.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=--=t y tx 322（t 为参数），直线l 与曲线1)2(:22=--x y C 交于B A ,两点.（Ⅰ）求AB 的长；（Ⅱ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P 的极坐标为)43,22(π，求点P 到线段AB 中点M 的距离. 【答案】 （1）||AB =（2）2||=PM .考点：1、极坐标与直角坐标的相互转化；2、参数方程化直角坐标方程.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知实数,,a b c 满足0,0,0a b c >>>，且1abc =.（Ⅰ）证明：8)1)(1)(1(≥+++c b a ； （Ⅱ）证明：cb ac b a 111++≤++. 【答案】 详见解析.考点：1、基本不等式的应用；2、综合法.。
高考数学复习优质试题(附经典解析)38
高三（上）第一次质检数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知：如图，集合U为全集，则图中阴影部分表示的集合是（）A．∁U（A∩B）∩C B．∁U（B∩C）∩A C．A∩∁U（B∪C）D．∁U（A∪B）∩C 2．（5分）已知x∈C，若关于x实系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c∈R，a≠0）有一根为1+i．则该方程的另一根为（）A．﹣1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．13．（5分）已知函数f（x）=e1+x+e1﹣x，则满足f（x﹣2）＜e2+1的x的取值范围是（）A．x＜3 B．0＜x＜3 C．1＜x＜e D．1＜x＜34．（5分）已知数列{a n}为正项等比数列，且a1a3+2a3a5+a5a7=4，则a2+a6=（）A．1 B．2 C．3 D．45．（5分）市场调查发现，大约的人喜欢在网上购买家用小电器，其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器．经工商局抽样调查发现网上购买的家用小电器合格率约为，而实体店里的家用小电器的合格率约为．现工商局12315电话接到一个关于家用小电器不合格的投诉，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性是（）A．B．C．D．6．（5分）已知：sinα+cosβ=，则cos2α+cos2β的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣，2]C．[﹣2，]D．[﹣，]7．（5分）某篮球运动员6场比赛得分如表：（注：第n场比赛得分为a n）在对上面数据分析时，一部分计算如图算法流程图（其中是这6个数据的平均数），则输出的s的值是（）A．B．2 C．D．8．（5分）已知：，则a6=（）A．﹣28 B．﹣448 C．112 D．4489．（5分）某多面体的三视图如图所示，每一小格单位长度为l，则该多面体的外接球的表面积是（）A．27πB．πC．9πD．π10．（5分）已知抛物线C：y2=4x，过抛物线C焦点F的直线l交抛物线C于A、B两点（点A在第一象限），且交抛物线C的准线于点E．若=2，则直线l 的斜率为（）A．3 B．2 C．D．111．（5分）设r是方程f（x）=0的根，选取x0作为r的初始近似值，过点（x0，f（x0））做曲线y=f（x）的切线l，l的方程为y=f（x0）+f'（x0）（x﹣x0），求出l 与x轴交点的横坐标x1=x0﹣，称x1为r的一次近似值．过点（x1，f（x1））做曲线y=f（x）的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标x2=x1﹣，称x2为r的二次近似值．重复=x n﹣，称为r的n+1次近似以上过程，得r的近似值序列，其中，x n+1值，上式称为牛顿迭代公式．已知是方程x2﹣6=0的一个根，若取x0=2作为r 的初始近似值，则在保留四位小数的前提下，≈（）A．2.4494 B．2.4495 C．2.4496 D．2.449712．（5分）已知函数f（x）=在定义域（﹣∞，+∞）上是单调增函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[，+∞）C．[，]D．（，）二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知P是边长为2的正△ABC边BC上的动点，则=．14．（5分）某学生计划用不超过50元钱购买单价分别为6元、7元的软皮和硬皮两种笔记本，根据需要软皮笔记本至少买3本，硬皮笔记本至少买2本，则不同的选购方式共有种．15．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0），其右焦点为F（c，0），O 为坐标原点，以OF为直径的圆交曲线C于A、B两点，若S=bc，则四边形OAFB双曲线C的离心率e=．16．（5分）已知：f（x）=，若方程[f（x）]2﹣f（x）+a=0有四个不等的实根，则a的取值范围是．三、解答题：（17～21题每题12分；22、23题二选一10分）17．（12分）△ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c．已知：（1﹣tanA）（1﹣tanB）=2．（1）求角C；．（2）若b=2，c=4，求△ABC的面积S△ABC18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且平面PAD ⊥平面ABCD，PA⊥AB．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若PA=PD=AD=DC，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．19．（12分）在某校举行的一次数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩X近似服从正态分布N（70，100）．已知成绩在90分以上（含90分）的学生有16名．（1）试问此次参赛的学生总数约为多少人？（2）若该校计划奖励竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生，试问此次竞赛获奖励的学生约为多少人？附：P（|X﹣μ|＜σ）=0.683，P（|X﹣μ|＜2σ）=0.954，P（|X﹣μ|＜3σ）=0.997．20．（12分）设M（x，y）与定点F（1，0）的距离和它到直线l1：x=3的距离的比是常数，（1）求点M的轨迹曲线C的方程：（2）过定点F的直线l2交曲线C于A、B两点，以O、A、B三点（O为坐标原点）为顶点作平行四边形OAPB，若点P刚好在曲线C上，求直线l 2的方程．21．（12分）已知：f（x）=（2﹣x）e x+a（x﹣1）2（a∈R）（1）讨论函数f（x）的单调区间：（2）若对任意的x∈R，都有f（x）≤2e x，求a的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（1）在直角坐标系中，若以过原点的直线的倾斜角α为参数，求出曲线C的参数方程．（2）求直线l与曲线C相交弦的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知：f（x）=|x+a|+|x﹣1|（1）当a=1时，求不等式f（x）＜3的解集；（2）若对任意的x∈R，f（x）≥3恒成立，求a的取值范围．2017-2018学年河南省中原名校（即豫南九校）高三（上）第一次质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题．每小题5分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知：如图，集合U为全集，则图中阴影部分表示的集合是（）A．∁U（A∩B）∩C B．∁U（B∩C）∩A C．A∩∁U（B∪C）D．∁U（A∪B）∩C 【解答】解：阴影部分所表示的为在集合A中但不在集合B，C中的元素构成的，故阴影部分所表示的集合可表示为A∩∁U（B∪C），故选C．2．（5分）已知x∈C，若关于x实系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c∈R，a≠0）有一根为1+i．则该方程的另一根为（）A．﹣1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．1【解答】解：根据实系数一元二次方程虚根成对原理可知：该方程的另一根为1﹣i．故选：B．3．（5分）已知函数f（x）=e1+x+e1﹣x，则满足f（x﹣2）＜e2+1的x的取值范围是（）A．x＜3 B．0＜x＜3 C．1＜x＜e D．1＜x＜3【解答】解：∵f（x）=e1+x+e1﹣x =，令t=e x，可得y=e（t+），内函数t=e x为增函数，而外函数y=e（t+）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，∴函数f（x）=e1+x+e1﹣x 的减区间为（﹣∞，0），增区间为（0，+∞）．又f（x）=e1+x+e1﹣x为偶函数，∴由f（x﹣2）＜e2+1，得f（|x﹣2|）＜f（1），得|x﹣2|＜1，解得1＜x＜3．故选：D．4．（5分）已知数列{a n}为正项等比数列，且a1a3+2a3a5+a5a7=4，则a2+a6=（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵数列{a n}为正项等比数列，且a1a3+2a3a5+a5a7=4，∴a1a3+2a3a5+a5a7==（a2+a6）2=4，∵数列{a n}为正项等比数列，∴a2+a6=2．故选：B．5．（5分）市场调查发现，大约的人喜欢在网上购买家用小电器，其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器．经工商局抽样调查发现网上购买的家用小电器合格率约为，而实体店里的家用小电器的合格率约为．现工商局12315电话接到一个关于家用小电器不合格的投诉，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性是（）A．B．C．D．【解答】解：∵大约的人喜欢在网上购买家用小电器，网上购买的家用小电器合格率约为，故网上购买的家用小电器被投诉的概率为×（1﹣）=，又∵实体店里的家用小电器的合格率约为．∴实体店里购买的家用小电器被投诉的概率为（1﹣）×（1﹣）=，故工商局12315电话接到一个关于家用小电器不合格的投诉，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性P==，故选：A6．（5分）已知：sinα+cosβ=，则cos2α+cos2β的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣，2]C．[﹣2，]D．[﹣，]【解答】解：∵sinα+cosβ=，可得：cosβ=﹣sinα，∵﹣1≤﹣sinα≤1．可得：≤sinα≤1．那么：cos2α+cos2β=1﹣2sin2α+2cos2β﹣1=2（cos2β﹣sin2α）=2（cosβ+sinα）（cosβ﹣sinα）=2×（﹣2sinα）=﹣6sinα，∵sinα∈[，1]，则：﹣6sinα∈[﹣6，﹣3]，∴cos2α+cos2β=﹣6sinα∈[﹣，]．故选：D．7．（5分）某篮球运动员6场比赛得分如表：（注：第n场比赛得分为a n）在对上面数据分析时，一部分计算如图算法流程图（其中是这6个数据的平均数），则输出的s的值是（）A．B．2 C．D．【解答】解：由已知得，=10，n=1时，s=0；n=2时，s=0+4=4；n=3时，s=4+4=8，依此类推，执行6次循环体后n=7，结束循环s=10．此时==．故选：C．8．（5分）已知：，则a6=（）A．﹣28 B．﹣448 C．112 D．448【解答】解：令t=x﹣1，则，故，故选：A．9．（5分）某多面体的三视图如图所示，每一小格单位长度为l，则该多面体的外接球的表面积是（）A．27πB．πC．9πD．π【解答】解：由三视图，可得，该几何体是底面为正方形的直三棱锥，补形可得（如图）正方体．正方体边长为a=3，外接球半径r===∴外接球的表面积S=4πR2=27π．故选：A．10．（5分）已知抛物线C：y2=4x，过抛物线C焦点F的直线l交抛物线C于A、B两点（点A在第一象限），且交抛物线C的准线于点E．若=2，则直线l 的斜率为（）A．3 B．2 C．D．1【解答】解：分别过A和D两点做AD、BC垂直于准线，交准线于D、C两点垂足分别为D，C，由=2，则B为AE的中点，丨AB丨=丨BE丨，则丨AD丨=2丨BC丨，由抛物线的定义可知：丨AF丨=丨AD丨，丨BF丨=丨BC丨，∴丨AB丨=3丨BC丨，∴丨BE丨=3丨BC丨，则丨BE丨=2丨BC丨，tan∠CBE==2，直线l的斜率k=tan∠AFx=tan∠CBE=2，故选：B．11．（5分）设r是方程f（x）=0的根，选取x0作为r的初始近似值，过点（x0，f（x0））做曲线y=f（x）的切线l，l的方程为y=f（x0）+f'（x0）（x﹣x0），求出l 与x轴交点的横坐标x1=x0﹣，称x1为r的一次近似值．过点（x1，f（x1））做曲线y=f（x）的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标x2=x1﹣，称x2为r的二次近似值．重复=x n﹣，称为r的n+1次近似以上过程，得r的近似值序列，其中，x n+1值，上式称为牛顿迭代公式．已知是方程x2﹣6=0的一个根，若取x0=2作为r 的初始近似值，则在保留四位小数的前提下，≈（）A．2.4494 B．2.4495 C．2.4496 D．2.4497【解答】解：f（x）=2x，x n=x n﹣=x n﹣=+．+1x0=2时，x1=+==2.5．x2===2.45，x3==≈2.4495．故选：B．12．（5分）已知函数f（x）=在定义域（﹣∞，+∞）上是单调增函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[，+∞）C．[，]D．（，）【解答】解：由于函数f（x）=在定义域（﹣∞，+∞）上是单调增函数，2a≥e﹣a，解得a≥．排除A，D，当a=2时，x=1可得e x﹣2x2=e﹣2；2a+lnx=4＞e﹣2，显然不成立．排除B．故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知P是边长为2的正△ABC边BC上的动点，则=6．【解答】解：设=，=，=t则=﹣=﹣，2=4=2，•=2×2×cos60°=2∴=+=+t﹙﹣﹚=﹙1﹣t﹚+t又∵+=+∴•﹙+﹚=[﹙1﹣t﹚+t]•﹙+﹚=﹙1﹣t﹚2+[﹙1﹣t﹚+t]•+t2 =﹙1﹣t﹚×4+2+t×4=6故答案为614．（5分）某学生计划用不超过50元钱购买单价分别为6元、7元的软皮和硬皮两种笔记本，根据需要软皮笔记本至少买3本，硬皮笔记本至少买2本，则不同的选购方式共有7种．【解答】解：根据题意，设买x本软皮笔记本，y本硬皮笔记本，则有，当x=3时，y可取的值为2、3、4；当x=4时，y可取的值为2、3；当x=5时，y可取的值为2；当x=6时，y可取的值为2；当x≥7时，由于y≥2，此时6x+7y≥56，不能满足题意；共7种不同的选购方式；故答案为：7．15．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0），其右焦点为F（c，0），O 为坐标原点，以OF为直径的圆交曲线C于A、B两点，若S=bc，则四边形OAFB双曲线C的离心率e=．【解答】解：可设A（m，n），（m＞0，n＞0），S四边形OAFB=bc，由双曲线和圆的对称性可得，cn=bc，即n=b，将A的坐标代入双曲线的方程可得，﹣=1，可得m=a，由直径所对的圆周角为直角，可得k OA k AC=﹣1，即有•=﹣1，可得a2﹣ac+b2=0，由b2=c2﹣a2，化为3a2﹣2ac+c2=0，可得c=a，e==．故答案为：．16．（5分）已知：f（x）=，若方程[f（x）]2﹣f（x）+a=0有四个不等的实根，则a的取值范围是．【解答】解：由f（x）=，得f（x）=．当x≥0时，由f（x）=，得f′（x）=，当x∈[0，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＜0时，由f（x）=﹣，得f′（x）=＜0，f（x）单调递减，作出函数f（x）=的图象如图：令f（x）=m，若方程[f（x）]2﹣f（x）+a=0有四个不等的实根，则关于m得方程一个根在（0，）内而另一个根大于．∴，解得0＜a＜．∴a的取值范围是：．故答案为：．三、解答题：（17～21题每题12分；22、23题二选一10分）17．（12分）△ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c．已知：（1﹣tanA）（1﹣tanB）=2．（1）求角C；．（2）若b=2，c=4，求△ABC的面积S△ABC【解答】解：（1）∵（1﹣tanA）（1﹣tanB）=2，整理可得：tanAtanB﹣1=tanA+tanB，∴tanC=tan[π﹣（A+B）]=﹣=﹣=1，∵C∈（0，π）∴C=．（2）∵b=2，c=4，由（1）可得C=，∴由正弦定理，可得：sinB===，∵b＜c，可得：B=，A=π﹣B﹣C，=bcsinA=sin（+）=．∴△ABC的面积S△ABC18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且平面PAD ⊥平面ABCD，PA⊥AB．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若PA=PD=AD=DC，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，在平面PAD内过P作PO⊥AD，则PO⊥平面ABCD，∴PO⊥AB，又PA⊥AB，PO∩PA=P，∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，又底面ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：以O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，设PA=PD=AD=DC=2，则A（1，0，0），B（1，2，0），C（﹣1，2，0），P（0，0，）．∴，，．设平面PAB的一个法向量为，平面PBC的一个法向量为，由，取，得；由，取，得．∴cos＜＞===．由图可知，二面角A﹣PB﹣C的平面角为钝角，其余弦值为．19．（12分）在某校举行的一次数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩X近似服从正态分布N（70，100）．已知成绩在90分以上（含90分）的学生有16名．（1）试问此次参赛的学生总数约为多少人？（2）若该校计划奖励竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生，试问此次竞赛获奖励的学生约为多少人？附：P（|X﹣μ|＜σ）=0.683，P（|X﹣μ|＜2σ）=0.954，P（|X﹣μ|＜3σ）=0.997．【解答】解：（1）设参赛学生的成绩为X，因为X～N（70，100），所以μ=70，σ=10，则：==，16÷0.023≈696（人）．因此，此次参赛学生的总数约为696人．（2）由P（X≥80）=P（X≤60）====0.1585，得696×0.1585≈110．因此，此次竞赛获奖励的学生约为110人．20．（12分）设M（x，y）与定点F（1，0）的距离和它到直线l1：x=3的距离的比是常数，（1）求点M的轨迹曲线C的方程：（2）过定点F的直线l2交曲线C于A、B两点，以O、A、B三点（O为坐标原点）为顶点作平行四边形OAPB，若点P刚好在曲线C上，求直线l 2的方程．【解答】解：（1）由题意得，则3[（x﹣1）2+y2]=（x﹣3）2，即2x2+3y2=6，∴，故曲线C的方程为；（2）设直线l2的方程为x=my+1，P（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，得（2m2+3）y2+4my﹣4=0．则，=．∴，．∵P（x0，y0）在椭圆上，∴，即2m2+3=4，得m=．∴直线l 2的方程为或．即或．21．（12分）已知：f（x）=（2﹣x）e x+a（x﹣1）2（a∈R）（1）讨论函数f（x）的单调区间：（2）若对任意的x∈R，都有f（x）≤2e x，求a的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）=（1﹣x）e x+2a（x﹣1）=（x﹣1）（2a﹣e x），当a≤0时，函数在（﹣∞，1）上递增，在（1，+∞）上递减；当时，函数在（﹣∞，ln2a），（1，+∞）上递减，在（ln2a，1）上递增；当时，函数在（﹣∞，1），（ln2a，+∞）上递减，在（1，ln2a）上递增；当时，函数在R上递减；（2）由对任意的x∈R，f（x）≤2e x，即（2﹣x）e x+a（x﹣1）2≤2e x，当x=1时，e x+a（x﹣1）2≤2e x，恒成立，当x≠1时，整理得：a≤，对任意x∈R恒成立，设g（x）=，求导g′（x）==，令g′（x）=0，解得：x=1±，当x=1+附近时，当x＞1+，g′（x）＞0，当1＜x＜1+，f′（x）＜0，∴当x=1+时取极小值，极小值为，当x=1﹣附近时，当x＞1﹣，g′（x）＞0，当x＜1﹣，g′（x）＜0，当x=1﹣时取极小值，极小值为，由＜，∴g（x）的最小值为，，由题意对任意的x∈R，都有f（x）≤2e x，即a≤f（x）最小值∴a的取值范围（﹣∞，]．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（1）在直角坐标系中，若以过原点的直线的倾斜角α为参数，求出曲线C的参数方程．（2）求直线l与曲线C相交弦的最小值．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，即ρ2=2ρsinθ，利用互化公式可得：x2+y2=2y，配方为：x2+（y﹣1）2=1，圆心C（0，1），半径r=1．可得参数方程：．（θ为参数）．（2）直线l的参数方程为（t为参数），可得直线l经过定点P．当直线l⊥CP时，直线l与曲线C相交弦的弦长最短为2=．[选修4-5：不等式选讲]23．已知：f（x）=|x+a|+|x﹣1|（1）当a=1时，求不等式f（x）＜3的解集；（2）若对任意的x∈R，f（x）≥3恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）a=1时，f（x）=|x+1|+|x﹣1|，x≥1时，x+1+x﹣1＜3，解得：x＜1.5，﹣1＜x＜1时，x+1+1﹣x＜3，成立，x≤﹣1时，﹣x﹣1﹣x+1＜3，解得：x＞﹣1.5，故不等式的解集是：（﹣1.5，1.5）；（2）若对任意的x∈R，f（x）≥3恒成立，即f（x）min≥3恒成立，而f（x）≥|x+a﹣x+1|=|a+1|，故|a+1|≥3，解得：a≥2或a≤﹣4．。
河南省中原名校2018届高三上学期第一次质量考评数学(文)---精校解析Word版
的共轭复数为）·B. 2C. 5D.）·｜............................3. 若a＜b＜0，则下列不等关系中，不能成立的是A. ＞B. ＞C. ＜D. ＞【答案】B在上单调递减知：因此B不成立．（k∈Z）”是“tanx＝1”成立的充分非必要条件【解析】C已知曲线＝围成的封闭图形为π）））【答案】【解析】封闭图形为，∴R==24+2}项和为，A. 110B. 55}，∴=B. C. D. 4【答案】）＋，｜｜＜）的模型波动（元，根据以上条件可确定（）＋（）sin x＋7（x）＋，解得：，又∵函数的周期﹣3）=8，，x=7时，函数有最大值，=，即+ =|，取k=0，得 =－，2sin（x）＋满足约束条件，且A. 5B. 6C. 7D. 8【解析】试题分析：作出不等式组对应的平面区域，如图所示，由，得，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时，解得，所以经过点时，，所以，所以（在该双曲线的左支上，则此双曲线的离心率为B. C. 2 D.【解析】设，对称点，，解得：，得: ,化简得：.【点睛】列出一个关于的等式，可以求离心率；列出一个关于本题求出对称点的坐标，利用点在双曲线上，满足双曲线的方程，列出一个关于）＝，B. D.【答案】）即关于对称，又关于）的周期为【解析】当,由此可知在上单调递减，在上单调递增，,,是定义在上的奇函数，，而时，的图象如图，令，由图可知，当时方程个根，当没有根，而对任意，至多有一个根，从而函数{，【答案】【解析】利用等比数列的通项公式求出公比，再求首项．设等比数列＝14. 某三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥最长的棱为BC=BE=，，，则如图，两个椭圆，上，）两点的距离之和不为定值，故错；acsinB，求△））由正余弦定理化简可得角2，acsinB=2abcosCsinCsinB=sinBcosC2tanC=30°．，可得点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角＝，连接）依据题设运用线面平行的判定定理分析推证；时，有．理由如下：于，连接中，，，，∴．平面，平面，∴平面．平面，平面平面中，，∴平面中，，，，∴点到平面的距离．∴根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关；，∴乙比甲先解答完的概率P=．点睛：解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动（＋＝2｜＝【解析】试题分析：（I）求出|=，∴=2，的方程为3，3）到直线，2的方程为（x﹣3）2+（｜＝|=，，表示圆心在C（14，0），半径是8的圆．，∴两圆没有公共点．｜＝－，）函数在）求出函数的导数，计算g′（，恒成立，令﹣，﹣﹣a=﹣＜0，2）递减；）恒成立不可能，）无零点，只需任意，2﹣，∈（0，），﹣）＜）在（0，）递减，于是（0，于是）递增，恒成立，只要y=f两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一）＝m时，判断直线l与曲线的位置关系；的距离等于的距离等于，解出即可）＝x=y+3=0：（1，0）到直线l的距离==r≤））代入相应函数，求出（Ⅱ）当，即（x）＝｜｜关于2，即a+b=3.52．f(x)＜a恒成立⇔f(x)max＜a. f(x)>a恒成立⇔f(x)min＞a.。