随机变量的概率
随机变量的函数的概率分布
随机变量的函数的概率分布： 1．离散型的求法 设离散型随机变量 X 的分布律为： Y P g(x1) p1 X P x1 x2 p1 p2 … xk … … pk … , 则 X 的 函 数 Y=g(X) 的 分 布 律 为 ：
g(x2) …g(xk) … , 当 g(xj)有相同情况时，概率为相应之和。 p2 … pk …
例 2 设随机变量 X 的分布函数为 FX(x)，求随机变量 Y=3X+2 的分布函数 FY(y). y-2 y-2 [解]：FY(y)=P{Yy}= P{3X+2y}= P{X }= FX( ) 3 3 3 2 x 例 3 设随机变量 X 的密度函数为 fX(x)= 2 0 -1<x<1 其它 ,求随机变量 Y=3X+2 的密度函数 fY(y). y-2 3 y-2 , -1< <1 -1<y<5, 3 1 3
[解]：用公式法：设 y=g(x)=3x+2, y=g(x)的反函数为 x=h(y)= 则 Y=g(X)的密度函数为
|h(y)|=
2 1 3 y-2 1 (y-2) ( ) -1<y<5 fX(h(y))|h(y)| <y< 3 fY(y)= = 2 3 = 18 0 其它 0 0 其它
2
3
3
1 dx，fY(y)= F Y(y)= 0 2
y
1 1 2 3 1
2 (y) 3 =
2 3 1 3 ,当 y8 时, FY(y)=P{Yy}= P{X y}= P{X y}= dx =1，fY(y)= FY(y)= 0. fY(y)= 3 2 02 6 y 1 0<y<8 其它
统计学中的随机变量与概率分布
统计学中的随机变量与概率分布统计学是一门研究如何收集、处理、分析、解释、推断数据的学科，其中随机变量和概率分布是其中非常重要的概念。
一、随机变量随机变量是指一个试验所涉及的结果是随机的，但是这些结果可以用数值来表示。
比如，掷一枚硬币的结果可能是正面或者反面。
这个试验中，随机变量可能表示为X，如果正面朝上，就表示为X=1；如果反面朝上，就表示为X=0。
有两种类型的随机变量：离散随机犹豫和连续随机变量。
离散随机变量是指可能的结果是一个有限或者无限的集合，比如抛硬币的结果只能是正反两面。
概率分布列可以用来描述离散随机变量的概率分布。
连续随机变量是指可能的结果是一个无限但是连续的集合，比如一个人的体重或者收入。
概率密度函数可以用来描述连续随机变量的概率分布。
二、概率分布概率分布是随机变量的所有可能结果的概率分布，它们的总和为1。
概率分布的形式取决于随机变量的类型。
1. 离散随机变量的概率分布离散随机变量的概率分布可以用概率分布列来描述，即用一个数组来表示不同结果的概率。
例如，在抛掷一枚硬币的情况下，概率分布列可以表示如下：X 0 1P(X) 0.5 0.5其中，X是随机变量，0和1是离散随机变量的结果。
概率分布列表示X=0的概率为0.5，X=1的概率为0.5。
2. 连续随机变量的概率分布连续随机变量的概率分布不能用概率分布列来描述，因为连续随机变量的结果无限多，概率为0。
因此，使用概率密度函数。
概率密度函数描述了一个连续随机变量在某一点的概率密度，即该点附近可能出现的概率大小。
因此，概率密度函数只能表达相对概率，不能直接得到概率。
对于一个连续随机变量X，概率密度函数为f(x)，则概率计算可以使用积分来计算，如下所示：P(a <= X <= b) = ∫[a, b]f(x)dx其中，a和b是X的两个不同值，∫[a, b]表示从a到b的积分。
统计学中常用的连续随机变量概率分布包括正态分布、t分布和F分布等。
概率论的公式大全
概率论的公式大全概率论是数学中研究随机事件的理论，它用于描述事件发生的可能性，并通过概率的计算和分析来预测、评估和决策。
下面给出一些概率论中常用的公式，帮助你更好地理解和运用概率论。
1.概率定义公式：P(A)=N(A)/N，表示事件A发生的概率，N(A)代表事件A发生的次数，N代表试验的总次数。
2.互补事件公式：P(A')=1-P(A)，表示事件A的补事件发生的概率。
3.加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)，表示事件A或B发生的概率。
4.独立事件公式：P(A∩B)=P(A)*P(B)，表示事件A和事件B同时发生的概率，当事件A和事件B相互独立时成立。
5.条件概率公式：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)，表示事件B已经发生时事件A发生的概率。
6.乘法公式：P(A∩B)=P(A，B)*P(B)，也可以写作P(A∩B)=P(B，A)*P(A)，表示事件A和事件B同时发生的概率。
7.全概率公式：P(A)=ΣP(A，Bᵢ)*P(Bᵢ)，表示事件A发生的概率，Bᵢ代表一组互不相容且构成样本空间的事件。
8.贝叶斯公式：P(B，A)=P(A，B)*P(B)/P(A)，表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
9.随机变量的概率公式：P(X=x)≥0，表示随机变量X取值为x的概率非负。
10.随机变量期望公式：E(X)=ΣxP(X=x)*x，表示随机变量X的期望或均值。
11.随机变量方差公式：Var(X) = E[(X - µ)²]，表示随机变量X的方差，其中µ为X的期望。
12.二项分布公式：P(X=k)=C(n,k)*p^k*q^(n-k)，表示n次独立重复实验中，事件发生k次的概率，其中，C(n,k)为组合数，p为事件发生的概率，q为事件不发生的概率。
13.泊松分布公式：P(X=k)=e^(-λ)*(λ^k)/k!，表示单位时间或空间中，事件发生了k次的概率，λ为事件发生率。
2.1随机变量及其概率分布
例1
袋中有3只红球， 只白球 从中任意取出3只球 只白球， 只球， 袋中有 只红球，2只白球，从中任意取出 只球， 只红球 写出所有的基本事件，并观察取出的3只球中的红 写出所有的基本事件，并观察取出的 只球中的红 球的个数． 球的个数． 我们将3只红球分别记作 只红球分别记作1， ， 号 我们将 只红球分别记作 ，2，3号，2只白球分别 只白球分别 记作4，5号，则该试验的所有基本事件为： 记作 ， 号 则该试验的所有基本事件为： ）（1， ， ）（ ）（1， ， ） （1，2，3）（ ，2，4）（ ，2，5） ， ， ）（ ）（1， ， ）（ ）（1， ， ） （1，3，4）（ ，3，5）（ ，4，5） ， ， ）（ ）（2， ， ）（ ）（2， ， ） （2，3，4）（ ，3，5）（ ，4，5） ， ， ）（ （3，4，5） ， ， ）
例题分析：
例 4、同时掷两颗质地均匀的骰子， 、同时掷两颗质地均匀的骰子， 观察朝上一面出现的点数。求两颗骰 观察朝上一面出现的点数。 的概率分布， 子中出现的最大点数 X 的概率分布， 并求 X 大于 2 小于 5 的概率 P(2<X<5).
例题分析：
个灯泡， 例 5、已知盒中有 10 个灯泡，其 、 个正品， 个次品.需要从中 中 8 个正品，2 个次品 需要从中 取出 2 个正品，每次取出 1 个， 个正品， 取出后不放回， 取出后不放回，直到取出 2 个正 品为止.设 为取出的次数， 品为止 设ξ为取出的次数，求ξ 的分布列
此表称为随机变量X的概率分布表。它和① 此表称为随机变量 的概率分布表。它和①都叫做随 机变量X的概率分布。 机变量 的概率分布。
随机变量X的概率分布列：
X P x1 p1 x2 p2 … … xn pn
随机变量及其概率分布
随机变量及其概率分布随机变量是概率论和数理统计中的重要概念，描述了随机事件的数值特征。
概率分布则用于描述随机变量取值的概率情况。
本文将介绍随机变量及其概率分布的基本概念和常见的概率分布模型。
一、随机变量的定义与分类随机变量是对随机事件结果的数值化描述。
随机变量可分为离散型随机变量和连续型随机变量两种。
1. 离散型随机变量离散型随机变量只能取有限个或可数个值，常用字母X表示。
例如，抛掷骰子的点数就是一个离散型随机变量，可能取1、2、3、4、5、6之一。
2. 连续型随机变量连续型随机变量可以取某个区间内的任意值，通常用字母Y表示。
例如，测量某个物体长度的随机误差就可看作是一个连续型随机变量。
二、概率分布的概念与性质概率分布描述了随机变量取值的概率情况。
常见的概率分布包括离散型分布和连续型分布。
1. 离散型概率分布离散型概率分布描述了离散型随机变量取值的概率情况。
离散型概率分布函数可以用概率质量函数（probability mass function，PMF）来表示。
PMF表示了随机变量取某个特定值的概率。
离散型概率分布函数具有以下性质：①非负性，即概率大于等于0；②归一性，即所有可能取值的概率之和等于1。
常见的离散型概率分布有：伯努利分布、二项分布、几何分布、泊松分布等。
2. 连续型概率分布连续型概率分布描述了连续型随机变量取值的概率情况。
连续型概率分布函数可以用概率密度函数（probability density function，PDF）来表示。
PDF表示在随机变量取某个特定值附近的概率密度。
连续型概率分布函数具有以下性质：①非负性；②积分为1。
常见的连续型概率分布有：均匀分布、正态分布、指数分布等。
三、常见的1. 伯努利分布伯努利分布描述了一次随机试验中两个互斥结果的概率情况，取值为0或1。
其概率质量函数为：P(X=k) = p^k * (1-p)^(1-k)，k=0或1其中，p为成功的概率，1-p为失败的概率。
随机变量概率分布的基本概念及性质
随机变量概率分布的基本概念及性质随机变量是概率论中一个非常重要的概念，它指的是一个随机事件中的数值结果。
而随机变量概率分布则是描述一个随机变量在各个取值下出现的概率的函数。
下面我们来详细了解一下随机变量概率分布的基本概念及性质。
一、随机变量随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量两类。
其中，离散型随机变量是只能取某些特定值或一些值的一个序列，而连续型随机变量则通常是一个在某个区间内取值的变量。
例如，投骰子时的点数就是一个离散型随机变量，而测量人体身高时得到的数值则是一个连续型随机变量。
二、概率分布函数概率分布函数是指一个随机变量在各个可能取值下出现的概率的函数。
离散型随机变量的概率分布函数通常被称为概率质量函数，连续型随机变量的概率分布函数则被称为概率密度函数。
在离散型随机变量中，概率质量函数可以用下面的公式表示：P(x) = P(X=x)其中，P(x)表示随机变量X在取值x的概率。
在连续型随机变量中，概率密度函数可以用下面的公式表示：f(x) = P(X\in \Delta x) / \Delta x其中，\Delta x表示x的微小区间。
概率密度函数的概率则是在某一个区间上积分后得到的结果。
三、期望期望是指一个随机变量的平均值，其描述了随机变量的集中趋势。
在离散型随机变量中，期望可以用下面的公式表示：E(X) = \sum_{i=1}^{\inf} x_i\times P(x_i)在连续型随机变量中，期望可以用下面的公式表示：E(X) = \int_{-\inf}^{\inf} xf(x)dx四、方差方差是对于一个随机变量的离散程度的度量，它告诉我们该变量距离其期望值的平均偏差。
方差的公式可以用下面的公式表示：Var(X) = E[(X-E(X))^2]其中E表示期望。
方差越大，变量的离散程度就越大。
五、矩矩是用来度量随机变量的特征参数的一种方式。
一般来说，矩可以通过期望来计算。
其中，k阶矩的计算公式为：\mu'_k = E(X^k)此外，矩也可以通过中心矩来计算。
即求随机变量X的概率分布P(X=0)
3.已知随机变量的分布是
X －2 －1 0 1 2 3
P
1 12
11 43
1 12
1 6
1 12
若 Y 1 X 1, 则Y的分布为 2
Y P
3.已知随机变量的分布是
X －2 －1 0 1 2 3
P
1 12
11 43
1 12
1 6
1 12
若Z=X 2－2X , 则Z的分布为
Y P
布列，也可以用表格表示
X
x1
x2
…
xn
P
P1,
p2
…
pn
此表叫概率分布表，它和分布列都 叫做概率分布。
Pi的性质
• （1）Pi≥0(i=1,2,…,n) • （2）P1+p2+ …+pn=1
例1: 从装有6只白球和4 只红球的口袋 中任取一只白球，用X表示“取到的 白球个数”，即
1 当取到白球时, X 0 当取到红球时,
解:(1)由随机变量的分布的性质有
0.16 a a2 a 0.3 1
10 解得： a
9（5舍）或 a
3
10
5
(2)P(1<ξ<4)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.12+0.3=0.42
练习2:已知随机变量 的分布表如下：
－2 －1 0 1 2 3
1 1 1 1 11 P 12 4 3 12 6 12
X0 1 2 3 4 P 3/8 1/3 1/4 0 1/24
课堂练习： 1.把3个骰子全部掷出, 设出现6点的骰 子次数是X , 则(X<2)=___________ .
随机变量和的概率
随机变量和的概率随机变量是统计学中的一个概念，它描述的是一个变量的取值是在一个随机的事件中出现的。
在概率论中，我们经常需要计算一些随机变量的和的概率，本文将详细地阐述这个概念。
第一步，要了解随机变量和的概率，首先要了解随机变量和的定义。
在统计学和概率论中，我们定义随机变量和为多个随机变量取值的总和。
如果我们有两个随机变量X和Y，那么它们的和Z可以表示为Z=X+Y。
第二步，确定随机变量和的概率分布。
随机变量的概率分布是指它的取值与出现的概率之间的关系。
如果我们已知每个随机变量的概率分布，我们可以通过这些概率分布来计算随机变量和的概率分布。
特别地，如果我们知道所有随机变量服从同一分布，我们可以使用卷积计算来获得它们的和的概率分布。
卷积计算的基本原理是将两个函数的乘积积分起来，这里的“函数”可以包括概率密度函数或概率质量函数。
第三步，通过概率分布计算随机变量和的期望值。
期望值是随机变量取值的加权平均值，其中权重是相应取值的概率。
如果我们知道随机变量和的概率分布，我们可以使用积分计算期望值。
具体来说，我们可以将每个取值乘以它出现的概率，然后将这些乘积加起来。
因此，期望Z的公式可以表示为：E(Z) = E(X+Y) = E(X) + E(Y)其中E(X)和E(Y)分别是X和Y的期望值。
第四步，通过概率分布计算随机变量和的方差。
方差是随机变量取值与其期望值之间的平均差的平方。
如果我们知道随机变量和的概率分布，我们可以使用积分计算它的方差。
具体来说，我们需要计算每个取值与期望值之差的平方，然后将它们乘以相应的概率，最后将这些乘积加起来。
因此，方差Z的公式可以表示为：Var(Z) = Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)其中Var(X)和Var(Y)分别是X和Y的方差。
在计算随机变量和的概率时，我们还需要注意它是否符合中心极限定理。
中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它指出当我们将多个独立且相同分布的随机变量取和时，它们的和的分布将趋近于正态分布。
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随机变量的概率 (选修2-3)
一、知识回顾
1. 离散型随机变量x 的概率分布
随机变量x 有n 个取值
x x x ,,, ，且),,2,1(,)(n i p x X P ===——概率分布列
性质：（1）01,(1,2,
,)i p i n ≤≤=；（2）121=+++n p p p 。
2. 两点分布或0-1分布： （0<p<1)
3. 超几何分布: ),,(~N M n H X
)),min(,2,1,0(,)(n M m m r C C C r X P n
N
r n M
N r M ====-- 注意：超几何分布是有限样本不放回抽样，超几何分布中的参数是n ，M ，N 。
4.事件的独立性
（1）条件概率：事件B 已经发生的条件下，事件A 发生的概率，称为B 已发生的条件下A 的条件概率，记作)|(B A P 。
计算公式：)
()
()|(B P AB P B A P =
；推论：)()()(B P B A P AB P ⋅=. （2）独立事件
（i ）事件A ，B 满足)()|(A P B A P =，则称事件A ，B 独立； （ii ）事件A ，B 独立)()()(B P A P AB P ⋅=⇔；
（iii ）事件n A A A ,,,21 相互独立，则)()()()(2121n n A P A P A P A A A P =。
注意：如果事件A 、B 独立，那么事件A 与B 、A 与B 及事件A 与B 也都是独立事件。
5. 二项分布：X ～),(p n B
（1）事件A 在n 次独立重复试验中恰好发生了．．．．．k 次．的概率()(1)k k n k
n n P k C p p -=-，其中p 为在一
次独立重复试验中事件A 发生的概率。
（2）随机变量x 的分布列：),,2,1,0(,)1()(n k p p C k X P k n k
k n
=-==-，其中10<<p ，则称X 服从参数p n ,的二项分布，X ～),(p n B 。
6. 离散型随机变量的数字特征 随机变量x 的概率分布：
（1）均值（数学期望） n n p x p x p x
X E +++== 2211)(μ——随机变量x 的均值（数学期望）
（2）方差
n n p X E x p X E x p X E x X V 2222121))(())(())(()(-++-+-= ——随机变量x
的方差
变形式：222221212)]([)()(X E p x p x p x X V n n -+++== σ。
标准差：)(X V =σ
注意：①数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平；方差、标准差反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。
②b X aE b aX E +=+)()(，)()(2X V a b aX V =+
③若X ～),(p n B ,则E __________)(=X , ________)(=X V 。
若X 服从超几何分布, 即X ～)N ,M ,n (H ，则=)(x E ________。
7.概率问题的解题规范：①先设事件A=“…”， B=“…”；②列式计算；③作答。
8．离散型随机变量分布列的解法步骤：
二、基础训练
1．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，其分布列为P (X )，则P (X ＝4)= 。
2.将三颗骰子各掷一次，设事件A=“三个点数都不相同”，B=“至少出现一个3点”，则概率)(B A P 等于 。
3.小王通过听力测试的概率是
3
1
,他连续测试3次,那么其中恰有1次获得通过的概率是___。
4.离散型随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝a
n (n ＋1)
(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则
)2
5
21(<<X P = 。
三、典型例题
例1．某校从4名男生和2名女生中任选3人参加全市演讲比赛。
如果设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数。
求：(1) ξ的分布列；(2) ξ的数学期望；(3) “所选3人中女生人数1ξ≥”的概率。
例2．在一次数学考试中, 第14题和第15题为选做题。
规定每位考生必须且只须在其中选做一题. 设
4名考生选做这两题的可能性均为1
2
.(Ⅰ)其中甲、乙2名学生选做同一道题的概率;(Ⅱ)设这4名考生中选做第15题的学生数为X 个,求X 的分布列及数学期望.
例3．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是 12和
2
3
，假设两人射击是否击中目标相互之
间无影响，每人各次射击是否击中目标，相互之间也无影响
（1）若乙射击4次，记乙命中的次数为X ，求X 的概率分布及数学期望()E X ； （2）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率； （3）假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击，问乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？
四、课后作业 姓名 班级 学号 1．若~(,)X B n p ，() 2.4E X =，() 1.44V X =，则(1)P X == 。
2．在10个球中有6个红球和4个白球(各不相同),依次不放回地摸出2个球,在第一次摸出红球的条件下,第二次也摸到红球的概率是 3.随机变量ξ的分布列如右图： 其中a 、b 、c 成等差数列，若E(ξ)＝1
3
，则V(ξ)的值是________． 4.假设一个小孩是男或女是等可能的，已知一个家庭有3个小孩，且其中至少有一个是女孩，这个家庭至少有一个男孩的概率为_________________.
5.电子钟一天显示的时间是从00∶00到 23∶59，每时刻由四个数字组成，则一天中任一 时刻显示的四个数字之和为23的概率是________．
6.甲乙二人从1，2，…，15中依次任取一个数（不放回），已知甲取到的数字是5的倍数，则甲数大于乙数的概率是_______________.
7.某人抛掷一枚硬币，出现正反的概率都是1
2
，构造数列{a n }，使得a n ＝
⎩
⎪⎨⎪⎧
1 (第n 次抛掷时出现正面)，－1 (第n 次抛掷时出现反面)，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *)，则S 4＝2的概率为 。
8.一个电路如图所示，A 、B 、C 、D 、E 、F 为6个开关，其闭合的概率都是1
2，且是相互独立的，则
灯亮的概率是________。
ξ －1 0 1 P
a
b
c
（第8题） （第9题 ）
9.如图所示，A 、B 两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为X ，则P (X ≥8)＝________。
10．某社区拟选拔一批综合素质较高的居民，参加2013年争创全国文明城市宣传活动．假定符合选拔条件的每个选手还需要进行四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核,否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为45，34，12，1
3，且各轮问题能否正
确回答互不影响． (1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；
(2)该选手在选拔过程中回答过的问题的总个数记为X ，求随机变量X 的分布列．
11．袋子里有大小相同但标有不同号码的3个红球和4个黑球，从袋子里随机取出4个球. （Ⅰ）求取出的红球数ξ的概率分布列及数学期望E ξ；
（Ⅱ）若取到一个红球得3分，取到一个黑球得2分，求得分不超过10分的概率.
12．在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回．．．地先后抽得两张卡片的标号分别为x 、y ，记1x y x ξ=-+-．（Ⅰ）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列、数学期望及方差．。