2019年高三物理复习：等时圆模型
牛顿运动定律点点清专题5 等时圆问题2019
牛顿运动定律点点清专题4 等时圆模型问题一知识清单1．“等时圆”模型(1)质点从竖直圆环上沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到环的最低点所用时间相等，如图甲所示。
且为t＝2Rg(如图甲所示)．(2)质点从竖直圆环上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间相等，为t＝2Rg(如图乙所示)．(3)两个竖直圆环相切且两环的竖直直径均过切点，质点沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到下端所用时间相等，如图丙所示。
2．巧用“等时圆”模型解题对于涉及竖直面上物体运动时间的比较、计算等问题可考虑用等时圆模型求解．二、经典例题例题1.如图14所示，位于竖直平面内的圆周与水平面相切于M点，与竖直墙相切于点A，竖直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为60°，C是圆环轨道的圆心。
已知在同一时刻，甲、乙两球分别从A、B 两点由静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到M点。
丙球由C点自由下落到M点。
则( )图14A.甲球最先到达M 点B.乙球最先到达M 点C.丙球最先到达M 点D.三个球同时到达M 点解析 设圆轨道的半径为R ，根据等时圆模型有t 乙>t 甲，t 甲＝2Rg；丙做自由落体运动，有t 丙＝2R g，所以有t 乙>t 甲>t 丙，选项C 正确。
答案 C例题2.如图所示，在倾角为θ的斜面上方的A 点处放置一光滑的木板AB ，B 端刚好在斜面上．木板与竖直方向AC 所成角度为α，一小物块自A 端沿木板由静止滑下，要使物块滑到斜面的时间最短，则α与θ角的大小关系应为( B )A ．α＝θB ．α＝θ2 C ．α＝θ3D ．α＝2θ解析： 如图所示，在竖直线AC 上选取一点O ，以适当的长度为半径画圆，使该圆过A 点，且与斜面相切于D 点．由上题结论可知，由A 沿斜面滑到D 所用时间比由A 到达斜面上其他各点所用时间都短．将木板下端与D 点重合即可，而∠COD ＝θ，则α＝θ2.例题3.如图所示，AB 和CD 为两条光滑斜槽，它们各自的两个端点均分别位于半径为R 和r 的两个相切的圆上，且斜槽都通过切点P .设有一重物先后沿两个斜槽，从静止出发，由A 滑到B 和由C 滑到D ，所用的时间分别为t 1和t 2，则t 1与t 2之比为( )A ．2∶1B ．1∶1C .3∶1D ．1∶ 3解析： 设光滑斜槽轨道与水平面的夹角为θ，则物体下滑时的加速度为a ＝g sin θ，由几何关系，斜槽轨道的长度x ＝2(R ＋r )sin θ，由运动学公式x ＝12at 2，得t ＝2x a ＝2×2(R ＋r )sin θg sin θ＝2R ＋rg，即所用的时间t 与倾角θ无关，所以t 1＝t 2，B 项正确． 三 达标练习1、如图所示，AB 为光滑竖直杆，ACB 为构成直角的光滑L 形直轨道，C 处有一 小圆弧连接可使小球顺利转弯（即通过转弯处不损失机械能）。
复合场中的等时圆模型高三物理一轮复习专题
等时圆现象指质点在圆中不同的弦的一端从静止开始运动到弦的另一端点所用时间相等，且都等于沿某一直径的一端从静止开始运动到另一端所用的时间。
复合场指某空间同时存在重力场、电场、磁场三种场中的两种场或三种场。
做有关等时圆现象的题可练习建模能力、受力分析能力、综合应用牛顿第二定律、运动学公式、电场力、磁场力以及几何知识的能力。
一、复合场中“等时圆〞模型根本规律1、匀强电场与重力场组成的复合场中“等时圆〞推论如图1所示竖直平面内有一圆，AB 是圆的直径，在平面内有水平向左的匀强电场，带正电绝缘小滑块受到的重力与电场力的合力方向恰好与AB 平行且由A 指向B ，带正电绝缘小滑块沿经过A 点的任一光滑弦从静止滑到弦轨道与圆交点的时间相等。
证明：如图1所示，设AC 弦与直径AB 夹角为θ，圆的直径为d ，那么090=∠ACB 。
带正电绝缘小滑块沿光滑弦作初速度为零的匀加速直线运动，加速度为m F a θcos =，位移为θcos d x =，运动时间为 Fmd F md a x t 2cos cos 220===θθ 所以沿弦运动具有等时性，运动时间与弦的长短以及弦和直径的夹角无关。
2、由重力场、匀强电场、匀强磁场叠加的复合场中中“等时圆〞推论在图1中，如果有垂直纸面向里的匀强磁场，带正电绝缘小滑块运动方向与磁场垂直，小滑块沿轨道运动的加速度不会变化，即其受到的洛伦兹力不影响质点在轨道上的运动时间，所以上述结论仍成立即“带正电绝缘小滑块沿经过A 点的任一光滑弦从静止滑到弦轨道与圆交点的时间相等。
〞二、复合场中“等时圆〞模型例析例1：如图2所示，竖直的圆环放在水平向左的匀强电场中，半径为R ，AB 、AC 、AD 三条光滑管道中分别有三个质量均为m 、带正电且A BC D 图2 600电量相等的绝缘小球无初速度地从A 端释放后，分别在管道AB 、AC 、AD 中下滑到D 、C 、B 三端点。
AB 竖直，AD 与竖直方向夹角为600，AC 经过圆心。
(完整版)等时圆模型
1等时圆模型一、何谓“等时圆”例：如图1所示，ad 、bd 、cd 是竖直面内三根固定的光滑细杆，a 、b 、c 、d 位于同一圆周上，a 点为圆周的最高点，d 点为最低点。
每根杆上都套有一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从a 、b 、c 处释放（初速为0），用t 1、t 2、t 3依次表示各滑环到达d 所用的时间，则（ ） A.t 1<t 2<t 3 B.t 1>t 2>t 3 C .t 3>t 1>t 2 D.t 1=t 2=t 3解析：选任一杆上的环为研究对象，受力分析并建立坐标如图所示，设圆半径为R ，由牛顿第二定律得，ma mg =θcos ①再由几何关系，细杆长度θcos 2R L = ②设下滑时间为t ，则221at L = ③由以上三式得，gRt 2= 可见下滑时间与细杆倾角无关，所以D 正确。
由此题我们可以得出一个结论。
结论：物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点的时间相等。
推论：若将图1倒置成图2的形式，同样可以证明物体从最高点由静止开始沿不同的光滑细杆到圆周上各点所用的时间相等。
像这样的竖直圆我们简称为“等时圆”。
关于它在解题中的应用，我们看下面的例子：二、“等时圆”的应用1、 可直接观察出的“等时圆”例1：如图3，通过空间任一点A 可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点A 分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（ ） A.球面 B.抛物面 C.水平面 D.无法确定 答案：A例2：如图4，位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平面相切于M 点，与竖直墙相切于点A ，竖直墙上另一点B 与M 的连线和水平面的夹角为600，C 是圆环轨道的圆心，D 是圆环上与M 靠得很近的一点（DM 远小于CM ）。
已知在同一时刻：a 、b 两球分别由A 、B 两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到M 点；c 球由C 点自由下落到M 点；d 球从D 点静止出发沿圆环运动到M 点。
等时圆模型(解析版)--高中物理动力学中的九类常见问题
动力学中的九类常见问题等时圆模型【模型解读】“等时圆”描述了一个物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑细杆 (或光滑斜面)由静止下滑，到达圆周的最低点(或从最高点到达同一圆周上各点)的时间相等，这个时间等于物体沿直径做自由落体运动所用的时间。
这个模型在物理计算中有着重要的应用，特别是在研究物体的运动轨迹和时间关系时。
由2R ·sin θ=12·g sin θ·t 2，可推得t 1=t 2=t 3。
“等时圆”模型的基本特性在于，它揭示了物体在不同路径上运动时，如果路径都在同一个竖直圆上，那么物体到达圆周最低点的时间是相等的。
这一特性不仅适用于光滑细杆，也适用于光滑斜面。
此外，如果物体的运动路径的端点在圆外，那么质点运动的时间会长一些；反之，如果端点在圆内，质点运动的时间则会短一些。
这个模型的应用不仅限于物理学科，它也体现了数学和物理之间的紧密联系。
通过“等时圆”模型，我们可以更好地理解物体在不同条件下的运动规律，以及这些规律如何影响物体的运动时间和路径。
物体在“两类”光滑斜面上的下滑时间的比较第一类：等高斜面(如图1所示)由L =12at 2，a =g sin θ，L =hsin θ可得t =1sin θ2h g ，可知倾角越小，时间越长，图1中t 1>t 2>t 3。
第二类：同底斜面(如图2所示)由L =12at 2，a =g sin θ，L =dcos θ可得t =4d g sin2θ，可见θ=45°时时间最短，图2中t 1=t 3>t 2。
【典例精析】1(2023年7月浙江宁波期末). 滑滑梯是小朋友们爱玩的游戏现有直滑梯AB 、AC 、AD 和BD ，A 、B 、C 、D 在竖直平面内的同一圆周上，且A 为圆周的最高点，D 为圆周的最低点，如图所示，已知圆周半径为R 。
在圆周所在的竖直平面内有一位置P ，距离A 点为3R ，且与A 等高。
高中物理教学参考等时圆”模型的基本规律及应用
“等时圆”模型的基本规律及应用（此文章已发表于《考试》杂志）前段时间在网上发了一个帖子“等时圆规律有哪些应用”，居然有同志认为是“等势圆”吧。
而在物理教学中，借助各种模型，把抽象问题具体化，把复杂问题简单化，能使得物理问题便于理解和接受。
基于此我对“等时圆”规律和应用阐述如下：一、何谓“等时圆”如图1所示，ad 、bd 、cd 是竖直面内三根固定的光滑细杆，a 、b 、c 、d 位于同一圆周上，a 点为圆周的最高点，d 点为最低点。
每根杆上都套有一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从a 、b 、c 处释放（初速为0），用t 1、t 2、t 3依次表示各滑环到达d 所用的时间，则（ ）A.t 1<t 2<t 3B.t 1>t 2>t 3C.t 3>t 1>t 2D.t 1=t 2=t 3解析：选任一杆上的环为研究对象，受力分析并建立坐标如图所示，设圆半径为R ，由牛顿第二定律得，ma mg =θcos ①再由几何关系，细杆长度θcos 2R L =② 设下滑时间为t ，则221at L =③ 由以上三式得，g R t 2= 可见下滑时间与细杆倾角无关，所以D 正确。
由此题我们可以得出一个结论。
结论：物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点的时间相等。
推论：若将图1倒置成图2的形式，同样可以证明物体从最高点由静止开始沿不同的光滑细杆到圆周上各点所用的时间相等。
象这样的竖直圆我们简称为“等时圆”。
关于它在解题中的应用，我们看下面的例子：二、“等时圆”的应用 1、 可直接观察出的“等时圆”例1：如图3，通过空间任一点A 可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点A 分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（ ） A.球面 B.抛物面 C.水平面 D.无法确定解析：由“等时圆”可知，同一时刻这些小物体应在同一“等时圆”上，所以A 正确。
高三物理复习：等时圆模型 (共11张PPT)
“等时圆模型”
➢ 1.模型特点 ➢ 2.典例剖析
➢ 3.规律方法 ➢ 4.跟踪训练
【高考地位】
第三章 牛顿运动定律
考点
内容
要求
题型
牛顿运动 牛顿运动定律
II
定律 牛顿运动定律综合应用 II
选择、计算 选择、计算
超重和失重
I选Leabharlann 、计算必考实验1、实验内容 验证牛顿运动定律 2、命题形式 填空
一质点小球a、b、d，a、b、d三小球的质
量比为1∶2∶3，现让三小球同时从各杆的顶
点由静止释放,不计空气阻力,则a、b、d三小
球在各杆上滑行的时间之比为（ ）
A.1∶1∶1 C.5∶8∶9
B.5∶4∶3 D.1∶2∶3
A、B、C、D四点是
否满足等时圆规律？
如图所示，ad、bd、cd是竖直面内三根
动力学 图像 问题
连接体 问题
动力学 临界 极值 问题
等时圆 模型
传送带 模型
板块 模型
【学习目标】
1、了解等时圆模型的建立过程，知道等时圆模型的基本规 律和使用条件。
2、学会自建等时圆，掌握等时圆模型在动力学中的妙用。 3、体会物理模型、物理思维方法在物理解题中的重要性。
基本规律
物体从同一竖直圆上各点沿不同的光滑弦由 静止下滑，到达圆周最低点的时间相等。 物体从同一竖直圆上最高点沿不同的光滑弦 由静止下滑，到达圆周上各点的时间相等。
A.2：1 B.1：1
C. 3 ：1 D.1： 3
A 30° R
C 60°P
D r
B
固定的光滑细杆，a、b、c、d位于同一
圆周上，a点为圆周的最高点，d点为最
高考物理一轮复习小专题1动力学中常考的物理模型课件
(1)木板与地面间的动摩擦因数μ1及小物块与木板间的动摩 擦因数μ2.
(2)木板的最小长度. (3)木板右端离墙壁的最终距离.
甲
乙
图 Z1-5
[审题指导] 第一步：抓关键点
关键点
获取信息
小物块与木板一起向右 小物块与木板以相同的加速度匀减速
运动
运动
从t＝0开始，至t＝1 s时木 板与墙壁碰撞
木板在t＝1 s内向右运动了4.5 m
小专题1 动力学中常考的物理模型
突破 1 “等时圆”模型 1.等时圆模型(如图 Z1-1 甲，乙所示)： 所谓“等时圆”就是物体沿同一竖直圆上的所有光滑细杆 由静止下滑，到达圆周的最低点(或从最高点到达同一圆周上各 点)的时间相同，都等于物体沿直径自由落体运动所用的时间.
图 Z1-1
2.等时圆规律： (1)小球从圆的顶端沿光滑弦轨道由静止滑下，滑到弦轨道 与圆的交点的时间相等.(如图 Z1-1 甲所示) (2)小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道由静止滑下，滑到 圆的底端的时间相等.(如图 Z1-1 乙所示) (3)沿不同的弦轨道运动的时间相等，都等于小球沿竖直直 径(d)自由落体的时间，即 t0＝ 2gd＝ 4gR＝2 Rg(式中 R 为
经历的时间关系为( ) A.tAB＝tCD＝tEF C.tAB＜tCD＜tEF
B.tAB＞tCD＞tEF D.tAB＝tCD＜tEF
图 Z1-4
解析：设上面圆的半径为 R，下面圆的半径为 r.分析轨道 EF，轨道 EF 长度为 l＝2Rcos θ＋r，滑块沿 EF 下滑的加速度 受力分析可知 a＝gcos θ，运动时间 t＝ 2al＝ 4Rcgocsosθ＋θ 2r＝
【典题 2】(2015 年新课标Ⅰ卷)一长木板置于粗糙水平地 面上，木板左端放置一小物块；在木板右方有一墙壁，木板右 端与墙壁的距离为 4.5 m，如图 Z1-5 甲所示.t＝0 时刻开始，小 物块与木板一起以共同速度向右运动，直至 t＝1 s 时木板与墙 壁碰撞(碰撞时间极短).碰撞前后木板速度大小不变，方向相反； 运动过程中小物块始终未离开木板.已知碰撞后 1 s 时间内小物 块的 v-t 图线如图乙所示.木板的质量是小物块质量的 15 倍，重 力加速度大小 g 取 10 m/s2.求：
第13讲 等时圆模型理解及应用(解析版)
第13讲 等时圆模型及应用拓展1考点梳理1、等时圆规律（1）小球从圆的顶端沿光滑弦轨道静止滑下，滑到弦轨道与圆的交点的时间相等。
如图1所示（2）小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间相等。
如图2所示 （3）沿不同的弦轨道运动的时间相等，都等于小球沿竖直直径（d ）自由落体的时间，满足：gRg R g d t 242===（R 为圆的半径）图1 图22、规律的证明设有一条光滑弦与水平方向的夹角为α，圆的直径为d ，如下图所示。
根据物体沿光滑弦做初速度为零的匀加速直线运动，加速度为a ＝αsin g ，位移为s ＝αsin d ，所以运动时间为t 0＝as 2＝2d sin αg sin α＝2d g 。
即沿各条弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。
如果质点不是从圆的最高点下滑或不是到达圆的最低点时，我们应怎样处理此类问题呢？图3 图4[例题]如图3所示，AB 、AC 、AD 是竖直面内三根固定的光滑细杆，A 、B 、C 、D 位于同一圆周上，O 点为圆周的圆心，A 点不是圆的最高点，每根杆上都套着一个光滑小滑环（图中未画出），三个滑环分别从A 处从静止开始释放，用321t t t 、、依次表示滑环到达B 、C 、D 所用的时间，则三个时间的关系？解析：A 不在圆的最高点，前面的结论直接用是不行的。
可以采用如下的方法解决：如图4所示，过点A 作竖直线交AB 的垂直平分线于点O ，以O 1为圆心、O 1A 为半径画圆交AB 于B 、分别交AC 、AD 的延长线于C 1、D 1。
r.在圆ABC 1D 1中用前面的结论可知，所以t 1> t 2。
不可以根据CC 1< DD 1，得到t 2< t 3，因为小环进入虚线部分时初速度不一样，以后运动的加速度也不一样。
要判定t 2与t 3的关系，可以模仿前面方法再次构造新圆用结论可知t 2>t 3。
2典例赏析一、单选题1.（2019·泉州第十六中学高三月考）如右图所示，位于竖直平面内的固定光滑圆环轨道与水平面相切于M 点，与竖直墙相切于A 点.竖直墙上另一点B 与M 的连线和水平面的夹角为60°，C 是圆环轨道的圆心.已知在同一时刻a 、b 两球分别由A 、B 两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道AM 、BM 运动到M 点；c 球由C 点自由下落到M 点.则（ ）A.a 球最先到达M 点B.b 球最后到达M 点C.c 球最后到达M 点D.b 球和c 球都可能最先到达M 点【答案】B【解析】设圆轨道半径为R ，a 小球做匀加速直线运动，加速度设为a 1=g sin45°=252m/s ，设时间为t 1，由运动学分式可得21122R at =联立可得t 1=25R 同理可求得B 的加速度大小22sin6053m/s a g =︒= ，设滑到低端时间为t 2，由运动学公式可求得2221cos 602R a t =︒联立可得:t 2=4315R C 球做自由落体运动，设运动时间为t 3，由运动学公式2312R gt =可得325RR t g == 比较以上数据可知C 最先落到M 点，A 次之，B 最后落在M 点。
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a b c
d
【例 2】
方法一：等时圆法 方法二：解析法
【解后反思】 不能直接观察出“等时圆” 时，需自建“等时圆”。作等 时圆的步骤是： （1） 设置顶点 （2） 过顶点作竖直线 （3） 找圆心 （4） 作等时圆
【练习2】
思维模板
如图所示，AB 和 CD 为两条光滑斜 槽，它们各自的两个端点均分别位 于半径 R 和 r 的两个相切的圆上， 且斜槽都通过切点 P。设有一重物 先后沿两个斜槽，从静止出发，由 A 滑到 B 和由 C 滑到 D，所用的时 间分别为 t1 和 t2, 则 t1 与 t2 之比为 ()
【例1】
C' B'
【解后反思】 对于涉及竖直面上物体运动 时间的比较问题，可考虑用 等时圆模型求解。 （1）在圆上，时间相等 （2）在圆内，时间短些 （3）在圆外，时间长些
【练习1】 如图示, 光滑细杆BC、DC和AC构成矩形ABCD的两邻
边和对角线,AC∶BC∶DC＝5∶4∶3，AC杆竖直,各杆上分别套有
一质点小球a、b、d，a、b、d三小球的质
量比为1∶2∶3，现让三小球同时从各杆的顶
点由静止释放,不计空气阻力,则a、b、d三小
球在各杆上滑行的时间之比为（ ）
A.1∶1∶1 C.5∶8∶9
B.5∶4∶3 D.1∶2∶3
A、B、C、D四点是
否满足等时圆规律？
如图所示，ad、bd、cd是竖直面内三根
A.2：1 B.1：1
C. 3 ：1 D.1： 3
A 30° R
C 60°P
D r
B
动力学 图像 问题
连接体 问题
动力学 临界 极值 问题
等时圆 模型
传送带 模型
板块 模型
【学习目标】
1、了解等时圆模型的建立过程，知道等时圆模型的基本规 律和使用条件。
2、学会自建等时圆，掌握等时圆模型在动力学中的妙用。 3、体会物理模型、物理思维方法在物理解题中的重要性。
基本规律
物体从同一竖直圆上各点沿不同的光滑弦由 静止下滑，到达圆周最低点的时间相等。 物体从同一竖直圆上最高点沿不同的光滑弦 由静止下滑，到达圆周上各点的时间相等。
固定的光滑细杆，a、b、c、d位于同一
圆周上，a点为圆周的最高点，d点为最
低点。每根杆上都套有一个小滑环（图
中未画出），三个滑环分别从a、b、c处
释放（初速为0），用t1、t2、t3依次表 示各滑环到达d所用的时间，则（ ）
A.t1<t2<t3
B.t1>t2>t3
C.t3>t1>t2 D.t1=t2=t3
第三章 牛顿运动定律
“等时圆模型”
1.模型特点 2.典例剖析
3.规律方法 4.跟踪训练
【高考地位】
第三章 牛顿运动定律
考点
内容
要求
题型
牛顿运动 牛顿运动定律
II
定律 牛顿运动定律综合应用 II
选择、计算 选择、计算
超重和失重
I
选择、计算
必考实验
1、实验内容 验证牛顿运动定律 2、命题形式 填空