2012年考研数学冲刺模拟试题及答案(数学二)
。
（12）设
f
(x,
y)
=
ln
xy
+ 2sin
xy ，则
f
'' xy
(
5π 2
, −1)
=
。
（13）设 f '(cos x + 2) = tan2 x + 2sin2 x ，且 f (0) = 8 ，则 f (x) =
。
（14）设 A, B 都是 n 阶可逆矩阵，且
A
= 2,
B
= 3，
则
−
⎡ 2⎢
⎣
的物体 A 与 B 。开始时，仅 A 下垂，其余部分平置于桌面上，假设物体、链条与桌面的摩擦均忽略不计。
问从开始算起经过多少时间，链条全部从桌面上滑下？
⎛ 1 ⎞ ⎛1⎞ ⎛2⎞
⎛ a ⎞ ⎛4⎞ ⎛0⎞
（22）（本题满分
11
分）设 α1
=
⎜ ⎜⎜⎝
−11⎟⎟⎟⎠
,
α
2
=
⎜ ⎜⎜⎝
1 0
⎟ ⎟⎟⎠
,
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2012 年考研数学模拟题（数学二）
本试卷满分 150，考试时间 180 分钟
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求
的，请将所选项前的字母填在答. 题. 纸. 指定位置上.
由于 f ′′(x) < 0 ，可知 f '(x) < 0 单调递减，故 f '(ξ ) < f '( x0 ) 。
再由 f ′(x) > 0 及 Δx > 0 易知 0 < Δy < dy. ，故选（B）。 注：由 f ′(x) > 0, f ′′(x) < 0 可知 y = f (x) 是单调递增的凹函数，本题也可以直接画出图像再根据 Δy 与
（C） Δy < dy < 0.
（D） dy < Δy < 0.
（2）设曲线 y = f (x) 在原点处与 y = sin x 相切，假设 a,b 为非零的常数，则 lim f (ax) + f (bx) =（ ）
x→0
sin x
（A） a + b
（B） a − b
（C） 1 + 1 ab
（D） 1 − 1 ab
则极限 lim f (ax) + f (bx) = lim f (ax) + lim f (bx)
x→0
sin x
x→0 sin x x→0 sin x
= lim f (ax) − f (0) ax + lim f (bx) − f (0) bx
x→0
ax
sin x x→0
bx
sin x
= af '(0) + bf '(0) = a + b
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⎛
lim
x→−∞
(
y
+
2
x
)
=
1
+
lim
x→−∞
⎝⎜⎜
x
+
x4 x2
+1 +1
⎞ ⎠⎟⎟
t =− x
= 1+
lim
t →+∞
⎛ ⎝⎜⎜
3
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2012 年考研数学模拟题（数学二）-参考答案
本试卷满分 150，考试时间 180 分钟
一、选择题：
（1）设函数 y = f (x) 具有二阶导数，且 f ′(x) > 0, f ′′(x) < 0 ，Δx 为自变量 x 在 x0 处的增量，Δy 与 dy
分别为 f (x) 在点 x0 处对应的增量与微分，若 Δx > 0 ，则（ ）
（A） 0 < dy < Δy.
（B） 0 < Δy < dy.
（C） Δy < dy < 0.
（D） dy < Δy < 0.
【答案】：（B）
【解析】： dy = f '( x0 ) Δx ， Δy = f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) = f '(ξ ) Δx, (x0 < ξ < x0 + Δx)
（8）设 λ1, λ2 是矩阵 A 的两个不同的特征值, ξ ,η 是 A 的分别属于 λ1, λ2 的特征向量, 则（ ） （A）对任意 k1 ≠ 0, k2 ≠ 0 , k1ξ + k2η 都是 A 的特征向量.
（B） 存在常数 k1 ≠ 0, k2 ≠ 0 , k1ξ + k2η 是 A 的特征向量.
（3）曲线 y = 1− x +
x4 +1 （ x2 +1
）
（A）没有渐近线
（B）只有一条渐近线
（C）共有两条渐近线
（D）共有三条渐近线
（4）设函数 f (x) 在 (−∞, +∞) 内单调有界，{xn} 为数列，下列命题正确的是（ ）
（A）若{xn} 收敛，则{ f (xn )} 收敛.
（B）若{xn} 单调，则{ f (xn )} 收敛.
y = 2 − x2 在第一象限内围成的区域。
（19）（本题满分 11 分）已知 z
=
f
⎛ ⎜⎝
y x
⎞ ⎟⎠
在
x
>
0
处有连续的二阶导数，且满足
∂2z ∂x2
+
∂2z ∂y 2
= 0 ，求
f
(u)
的表达式。
2
2
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（C） 当 k1 ≠ 0, k2 ≠ 0 时, k1ξ + k2η 不可能是 A 的特征向量. （D）存在惟一的一组常数 k1 ≠ 0, k2 ≠ 0 , 使 k1ξ + k2η 是 A 的特征向量.
二、填空题：9−14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答. 题. 纸. 指定位置上.
α
3
=
⎜ ⎜⎜⎝
0 1
⎟ ⎟⎟⎠
；
β1
=
⎜ ⎜⎜⎝
−11⎟⎟⎟⎠
,
β2
=
⎜ ⎜⎜⎝
0 b
⎟ ⎟⎟⎠
,
β3
=
⎜ ⎜⎜⎝
c 1
⎟ ⎟⎟⎠
。已知向量组
α1, α2 , α3 与 β1, β2 , β3 是等价的，试求 a, b, c ，并求向量 α1 由 β1, β2 , β3 线性表出的表出式及 β1 由 α1, α2 , α3
x→a+ x − a
（1）在 (a,b)内 f (x) > 0 ；
（2）在 (a,b)内存在ξ ，使
b2 − a2
∫b a
f
(x)dx
=
2ξ
f (ξ
)
；
（3）在 (a, b)内存在与（2）中ξ 相异的点η ，使
( ) f ′(η) b2 − a2
=
2ξ ξ −a
b
∫a
f
(x)dx
∫∫ （18）（本题满分 10）计算二重积分 x2 + y2 dxdy ，其中积分区域 D 是由直线 x = 1, y = 0 及曲线 D
t t
4 2
+ +
1 1
−
t
⎞ ⎠⎟⎟
=
1最后一个等式用到了前面的结论。故曲
线有斜渐近线 y = −2x +1。
综上所述，曲线共有两条渐近线。
（4）设函数 f (x) 在 (−∞, +∞) 内单调有界，{xn} 为数列，下列命题正确的是（ ）
（A）若{xn} 收敛，则{ f (xn )} 收敛.
（C）若 lim f '(x) = 1，则 f (x) 在[1, +∞) 上有界 x→+∞
（D）若 lim f '(x) = 1，则 f (x) 在[1, +∞) 上无界 x→+∞
（6）下列反常积分中发散的是（ ）
∫1
（A）
1 dx
−1 sin x
∫1
（B）
1
dx
−1 1− x2
∫ （C） +∞ e−x2 dx 0
+ +
1 1
−
x2
x+
x4 +1 x2 +1
=1+
lim
x→+∞
⎡ ⎢x + ⎢⎣
1− x2
= 1 ，故曲线有水平渐近线
( ) x4 +1 ⎤
x2
+
1
⎥ ⎥⎦
x2 +1
lim
y=
1− x + lim
x4 +1 x2 +1 = −2 ，
x x→−∞
x→−∞
x
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1
dy 的几何意义直接进行判断。
f (ax) + f (bx)
（2）设曲线 y = f (x) 在原点处与 y = sin x 相切，假设 a, b 为非零的常数，则 lim
=（ ）
x→0
sin x
2012考研数学二真题及参考答案
2012考研数学二真题及参考答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）曲线221x x y x +=-渐近线的条数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】：C【解析】：221lim 1x x xx →+=∞-，所以1x =为垂直的 22lim 11x x xx →∞+=-，所以1y =为水平的，没有斜渐近线 故两条选C （2）设函数2()(1)(2)()xxnx f x e e e n =---，其中n 为正整数，则'(0)f =（A ）1(1)(1)!n n ---（B ）(1)(1)!nn -- （C ）1(1)!n n --（D ）(1)!nn - 【答案】：C 【解析】：'222()(2)()(1)(22)()(1)(2)()x x nx x x nx x x nx f x e e e n e e e n e e ne n =--+---+---所以'(0)f =1(1)!n n --（3）设a n >0(n =1,2,…)，S n =a 1+a 2+…a n ，则数列(s n )有界是数列（a n ）收敛的 (A)充分必要条件. (B)充分非必要条件.（C ）必要非充分条件. （D ）即非充分地非必要条件. 【答案】：(A)【解析】：由于0na >，则1n n a ∞=∑为正项级数，S n=a 1+a 2+…a n为正项级数1n n a ∞=∑的前n 项和。
正项级数前n 项和有界与正向级数1nn a∞=∑收敛是充要条件。
故选A（4）设2kx keI e=⎰sin x d x (k=1,2,3),则有D（A ）I 1< I 2 <I 3. (B) I 2< I 2< I 3.(C) I 1< I 3 <I 1,(D) I 1< I 2< I 3. 【答案】：(D) 【解析】：：2sin kx k eI e xdx=⎰看为以k为自变量的函数，则可知()2'sin 0,0,k k I e k k π=≥∈，即可知2sin k x k eI e xdx =⎰关于k 在()0,π上为单调增函数，又由于()1,2,30,π∈，则123I I I <<，故选D（5）设函数f (x,y ) 可微，且对任意x ,y 都 有(,)f x y x∂∂ >0,(,)f x y y ∂∂<0,f (x 1,y 1)<f(x 2,y 2)成立的一个充分条件是(A) x 1> x 2, y 1< y 2. (B) x 1> x 2, y 1>y 1.(C) x 1< x 2, y 1< y 2.(D) x 1< x 2, y 1> y 2.【答案】：(D) 【解析】：(,)0f x y x∂>∂，(,)0f x y y ∂<∂表示函数(,)f x y 关于变量x 是单调递增的，关于变量y 是单调递减的。
2012年考研数学二真题及答案
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）曲线221x x y x +=-渐近线的条数为（当x=1时，y=无穷，为垂直渐近线。
当x=无穷时，y=1，为水平渐近线。
）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】：（C ）【解析】：221lim 1x x x x →+=∞-，所以1x =为垂直渐近线22lim 11x x xx →∞+=-，所以1y =为水平渐近线，没有斜渐近线，总共两条渐近线，选（C ）。
（2）设函数2()(1)(2)()xxnx f x e e e n =--- ，其中n 为正整数，则'(0)f =（A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n -- （D ）(1)!n n -【答案】：（C ）【解析】：''22()(2)()(1)(2)()x x nx x x nxf x e e e n e e e n ⎡⎤=--+---⎣⎦所以'(0)f =1(1)!n n --，故选（C ）。
（3）设0,(1,2,...)n a n >=，1...n n s a a =++，则数列{}n s 有界是数列{}n a 收敛的 (A)充分必要条件.(B)充分非必要条件.（C ）必要非充分条件. （D ）即非充分地非必要条件.【答案】：(B)【解析】：由于0n a >，{}n s 是单调递增的，可知当数列{}n s 有界时，{}n s 收敛，也即lim nn s →∞是存在的，此时有()11lim lim lim lim 0n n n n n n n n n a s s s s --→∞→∞→∞→∞=-=-=，也即{}n a 收敛。
2012年考研数学二真题及解析
# ! " . # " !
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! " . # " ! 3 . 4 . 5 ." $ 1
! ! ! +! $!-4,# . / # " $. / $ 0# ! !! #! ! ! ! #! " " " 567$%# 89:! $%# " & # ! ( ! ! " " %! " # 6" ;<=$ > ’! ? # !" 1 ## 1 $! #(
W) 6X# ? [6 UVEQ& , . / , . / + (* ( YZ # (
( "0 ( "0
( 2 *
! " 6" !"OP)*# 3C! + ! %" ’ $ 2 ( * " 89! A:! 2 # " & ! ! ! ! $ !# %# ’ % & 0 ) + ! ! " 6" !"OP6 ! $ ! , ! ! ! ! !" ## ## %" ! 2 2 , . ! 2 2 , . $! ! ! ! !# ## %"! ! 2 $ " ! ! 2 / / 2 2 ! 2 2 !
! " ! z&k># ! & " >" *# " " # #, #
9! 9 " $ $¬’! $ $ $ ! ! & +®/! ! #& #$ !$ &" &# " * + " * &# ! ~¢"* +( "" ! ~4u¯v& #$ #" ’ °’ ±/r²³!
2012考研数学二答案真题解析
∫ = 16
πθ sin
cos θ
(2 cos 2
θ
− 1) cos8
θ
dθ
022
2
22
π
π
∫ ∫ = 32 2 sin t cos11 tdt − 16 2 sin t cos9 tdt
0
0
=8−8 35
= 16 15
（19）（本题满分 11 分）已知函数 f (x) 满足方程 f '' (x) + f ' (x) − 2 f (x) = 0 及 f ' (x) + f (x) = 2ex
2
故选（B）。 二、填空题：9−14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答．题．纸．指定位置上.
（9）设 y = y(x) 是由方程 x2 − y +1 =ey 所确定的隐函数，则
【答案】：1
________。
第 3 页，共 11 页
梦想不会辜负每一个努力的人
（10）计算ຫໍສະໝຸດ limx→∞∂z ∂x
+
y2
∂z ∂y
= ________。
【答案】： 0 .
【解析】：因为 ∂z = ∂x
f ′ ⋅ 1 , ∂z = x ∂y
f
′
⋅
−
1 y2
，所以
x
∂z ∂x
+
y2
∂z ∂y
= 0.
（12）微分方程 ydx + (x − 3y2 )dy = 0 满足初始条件 y |x=1=1 的解为________。
【答案】： x = y2
【解析】： ydx + (x − 3y2 )dy =0 ⇒ dx =3y − 1 x ⇒ dx + 1 x = 3y 为一阶线性微分方程，
2012年考研数学二真题及答案解析
数学(二)试题 第 5 页 (共 11 页)
（23）（本题满分 11 分）已知
1）求 a 的(k=1,2,3),则有（）
0
（A）I1< I2 <I3.
(B) I3< I2< I1.
(C) I2< I3 <I1,
(D) I2< I1< I3.
（5）设函数 f (x,y) 可微，且对任意 x,y 都 有 f (x, y) x
f (x, y) >0, y <0,f(x1,y1)<f
（A） (1)n1(n 1)!
（B） (1)n (n 1)!
（C） (1)n1n!
（D） (1)n n!
（3）设 an>0(n=1,2,…)，Sn=a1+a2+…an，则数列(sn)有界是数列（an）收敛的
(A)充分必要条件.
(B)充分非必要条件.
（C）必要非充分条件.
（D）既非充分也非必要条件.
已知函数 f (x) 1 x 1 ，记 a lim f (x)
sin x x,
x0
（1）求 a 的值
（2）若当 x 0 时， f (x) a 是 xk 的同阶无穷小，求 k
（16）（本题满分 10 分）
( ) -x2+y2
求函数 f x, y = xe 2 的极值。
（17）（本题满分 10 分）
（2）记（1）中的实根为
xn
，证明
lim
n
xn
存在，并求此极限。
（22）（本题满分 11 分）
1 a 0 0
1
设
A
0
1
a
2012年考研数学二试题及答案
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 曲线221x x y x +=-渐近线的条数 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】C【考点】函数图形的渐近线 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：（i ）当曲线上一点M 沿曲线无限远离原点时，如果M 到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。
（ii ）渐近线分为水平渐近线（lim()x f x b →∞=，b 为常数）、垂直渐近线（0lim ()x x f x →=∞）和斜渐近线（lim[()()]0x f x ax b →∞-+=，,a b 为常数）。
（iii ）注意：如果（1）()limx f x x→∞不存在；（2）()lim x f x a x→∞=，但lim[()]x f x ax →∞-不存在，可断定()f x 不存在斜渐近线。
在本题中，函数221x x y x +=-的间断点只有1x =±.由于1lim x y →=∞，故1x =是垂直渐近线.（而11(1)1lim lim(1)(1)2x x x x y x x →-→-+==+-，故1x =-不是渐近线）.又211lim lim111x x x y x→∞→∞+==-，故1y =是水平渐近线.（无斜渐近线） 综上可知，渐近线的条数是2.故选C. (2) 设函数2()(1)(2)()xxnx f x e ee n =---,其中n 为正整数,则(0)f '= ( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -【答案】A【考点】导数的概念 【难易度】★★【详解一】本题涉及到的主要知识点：00000()()()limlimx x f x x f x yf x x x→→+-'==. 在本题中，按定义1(1)(2)[(1)](1)(1)!n n n -=-⨯-⨯⨯--=--.故选A.【详解二】本题涉及到的主要知识点：()[()()]()()()()f x u x v x u x v x u x v x ''''==+.在本题中，用乘积求导公式.含因子1xe -项在0x =为0，故只留下一项.于是 故选（A ）.(3) 设0(1,2,)n a n >=，123n n S a a a a =++++，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的( )（A ）充分必要条件 （B ）充分非必要条件 （C ）必要非充分条件 （D ）既非充分也非必要条件 【答案】B 【考点】数列极限 【难易度】★★★ 【详解】因0(1,2,)n a n >=，所以123n n S a a a a =++++单调上升.若数列{}n S 有界，则lim n n S →∞存在，于是反之，若数列{}n a 收敛，则数列{}n S 不一定有界.例如，取1n a =(1,2,)n =，则n S n =是无界的.因此，数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的充分非必要条件.故选（B ）. (4)设2sin (1,2,3)k x K e xdx k π==⎰I 则有 ( )(A)123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D)213I I I << 【答案】D【考点】定积分的基本性质 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点： 设a c b <<，则()()()bcbaacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰.在本题中，210sin x I e xdx π=⎰，2220sin x I e xdx π=⎰，2330sin x I e xdx π=⎰222121sin 0x I I e xdx I I ππ-=<⇒<⎰，2332322sin 0x I I e xdx I I ππ-=>⇒>⎰，因此213I I I <<.故选D.（5）设函数(,)f x y 可微，且对任意的,x y 都有(,)0f x y x∂>∂，(,)0f x y y ∂<∂，则使不等式1122(,)(,)f x y f x y <成立的一个充分条件是( )（A ）12x x >，12y y < （B ）12x x >，12y y > （C ）12x x <，12y y < （D ）12x x <，12y y > 【答案】D【考点】多元函数的偏导数；函数单调性的判别 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：函数单调性的判定法 设函数()y f x =在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导. ①如果在(,)a b 内()0f x '>，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调增加； ②如果在(,)a b 内()0f x '<，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调减少. 在本题中，因(,)0f x y x∂>∂，当y 固定时对x 单调上升，故当12x x <时1121(,)(,)f x y f x y < 又因(,)0f x y y∂<∂，当x 固定时对y 单调下降，故当12y y >时2122(,)(,)f x y f x y < 因此，当12x x <，12y y >时112122(,)(,)(,)f x y f x y f x y << 故选D.（6）设区域D 由曲线sin y x =，2x π=±，1y =围成，则5(1)Dxy dxdy -=⎰⎰( )（A ）π （B ）2 （C ）-2（D ）π-【答案】D【考点】二重积分的计算 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：在本题中，11555222sin sin 221(1)(1)()2x x Dx y dxdy dx x y dy x y y dx ππππ---=-=-⎰⎰⎰⎰⎰其中521(1sin )2x x -，sin x 均为奇函数，所以 52221(1sin )02x x dx ππ--=⎰，22sin 0xdx ππ-=⎰故选（D ）(7)设1100c α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2201c α⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭,3311c α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,4411c α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα 【答案】C【考点】向量组的线性相关与线性无关 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：n 个n 维向量相关12,,,0n ααα⇔=在本题中，显然134123011,,0110c c c ααα-=-=， 所以134,,ααα必线性相关.故选C.(8) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若P=（123,,ααα），1223(,,)ααααα=+，则1Q AQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D)200020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B【考点】矩阵的初等变换；初等矩阵 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：设A 是一个m n ⨯矩阵，对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵.在本题中，由于P 经列变换为Q ，有12100110(1)001Q P PE ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，那么111112121212[(1)][(1)](1)()(1)Q AQ PE A PE E P AP E ----== 故选B. 二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设()y y x =是由方程21yx y e -+=所确定的隐函数，则22x d y dx == .【答案】1【考点】隐函数的微分 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点： 隐函数求导的常用方法有：1. 利用复合函数求导法，将每个方程两边对指定的自变量求偏导数（或导数），此时一定要注意谁是自变量，谁是因变量，对中间变量的求导不要漏项。
2012考研数二真题及解析
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题:1～8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）曲线221x x y x +=-渐近线的条数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【答案】:C【解析】:221lim 1x x xx →+=∞-,所以1x =为垂直的 22lim 11x x xx →∞+=-,所以1y =为水平的,没有斜渐近线 故两条选C （2）设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---,其中n 为正整数,则'(0)f =（A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n -- （D ）(1)!n n - 【答案】:C【解析】:'222()(2)()(1)(22)()(1)(2)()x x nx x x nx x x nx f x e e e n e e e n e e ne n =--+---+---所以'(0)f =1(1)!n n --（3）设a n >0(n =1,2,…),S n =a 1+a 2+…a n ,则数列(s n )有界是数列（a n ）收敛的(A)充分必要条件. (B)充分非必要条件.（C ）必要非充分条件.（D ）即非充分地非必要条件.【答案】:(B)（4）设2kx keI e=⎰sin x d x (k=1,2,3),则有D（A ）I 1< I 2 <I 3. (B) I 2< I 2< I 3. (C) I 1< I 3 <I 1,(D) I 1< I 2< I 3.【答案】:(D) 【解析】::2sin kx k eI e xdx =⎰看为以k 为自变量的函数,则可知()2'sin 0,0,k k I e k k π=≥∈,即可知2sin kx k eI e xdx =⎰关于k 在()0,π上为单调增函数,又由于()1,2,30,π∈,则123I I I <<,故选D（5）设函数f (x,y ) 可微,且对任意x ,y 都 有(,)f x y x∂∂ >0,(,)f x y y ∂∂<0,f (x 1,y 1)<f(x 2,y 2)成立的一个充分条件是 (A) x 1> x 2, y 1< y 2. (B) x 1> x 2, y 1>y 1. (C) x 1< x 2, y 1< y 2.(D) x 1< x 2, y 1> y 2.【答案】:(D) 【解析】:(,)0f x y x ∂>∂,(,)0f x y y∂<∂表示函数(,)f x y 关于变量x 是单调递增的,关于变量y 是单调递减的。
2012考研数学二真题及答案解析
dy
，所以
=
2x
dx ey +1
（10）计算
lim
x→∞
n
⎛ ⎜⎝
1
1 +n
2
+
22
1 +
n2
+…+
n2
1 +
n2
⎞ ⎟⎠
= ________。
3
π
【答案】：
4
∑ ∫ 【解析】：原式 = lim 1
n→∞ n
n
1
i=1
1
+
⎛ ⎜⎝
i n
⎞2 ⎟⎠
=
1 dx 0 1+ x2
=
arctan x 1 0
三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答．题．纸．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. （15）（本题满分 10 分）
已知函数 f (x) = 1+ x − 1 ，记 a = lim f (x)
sin x x,
x→0
（1）求 a 的值
（2）若当 x → 0 时， f (x) − a 是 xk 的同阶无穷小，求 k
D
∫∫ ∫ ∫ 【解析】：
xydσ = π dθ 1+cosθ r cosθ ⋅ r sin θ ⋅ rdr
0
0
D
∫ = 1 π sin θ ⋅ cosθ ⋅ (1 + cosθ )4 dθ 40
6
∫ = 16
πθ sin
cos θ
(2 cos2
θ
− 1) cos8
θ
dθ
022
2
22
π
2012全国考研数二真题及解析.doc
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）曲线221x x y x +=-渐近线的条数为（） （A ）0（B ）1 （C ）2 （D ）3（2）设函数2()(1)(2)()x x nx f x e ee n =---，其中n 为正整数，则'(0)f = （A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n -- （D ）(1)!n n - （3）设a n >0(n =1,2,…)，S n =a 1+a 2+…a n ，则数列(s n )有界是数列（a n ）收敛的(A)充分必要条件.(B)充分非必要条件. （C)必要非充分条件.（D ）即非充分地非必要条件. （4）设2k x k e I e =⎰ sin x d x (k=1,2,3),则有D（A ）I 1< I 2 <I 3.(B) I 2< I 2< I 3. (C) I 1< I 3 <I 1, (D) I 1< I 2< I 3.（5）设函数f (x,y ) 可微，且对任意x ,y 都 有(,)f x y x∂∂ >0,(,)f x y y ∂∂<0,f (x 1,y 1)<f (x 2,y 2)成立的一个充分条件是(A) x 1> x 2, y 1< y 2.(B) x 1> x 2, y 1>y 1. (C) x 1< x 2, y 1< y 2. (D) x 1< x 2, y 1> y 2.（6）设区域D 由曲线,1,2,sin =±==y x x y π围成，则())(15⎰⎰=-dxdy y x ππ--)(2)(2)()(D C B A（7）设1234123400110,1,1,1c c c c αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的是（ ）（A ）123,,ααα （B ）124,,ααα（C ）134,,ααα （D ）234,,ααα（8）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1112P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，()123,,P ααα=，()1223,,Q αααα=+则1Q AQ -=（ ）（A ）121⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）112⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（C ）212⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （D ）221⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设()y y x =是由方程21y x y e -+=所确定的隐函数，则________。
2012考研数学模拟试卷三(数学二)--参考答案
3
精勤求学 自强不息 【答案】 ：(A)
让有理想的人更加卓越！
【解析】 ： n 阶矩阵可对角化的充要条件是它具有 n 个线性无关的特征向量，故选(A)。 二、填空题：9−14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸 指定位置上. ．．． 9、设方程 xy + e = cos( x + y ) 确定 y = y ( x) 并满足 y (0) = 0 ，则 y ′′(0) =________。
dx = ∫
1
1 ln t 3 2 3t dt = 9∫ t ln tdt 先求不定积分 0 0 t 1
1 t ⎛ t2 ⎞ t2 1 9 再由分部积分法可得 ∫ t ln tdt = ∫ ln td ⎜ ⎟ = ln t − ∫ dt = − 。故原式 = − 。 0 0 0 2 4 4 ⎝2⎠ 2 0 1 1
f (0) 为 f ( x) 的极小值。
4、 设函数 f ( x, y ) 在全平面上都有 的是（ ） (B) x1 < x2 , y1 > y2 (C) x1 > x2 , y1 < y2 (D) x1 > x2 , y1 > y2
∂f ( x, y ) ∂f ( x, y ) < 0， > 0 .则下列条件中能保证 f ( x1 , y1 ) < f ( x2 , y2 ) ∂x ∂y
3、已知函数 f ( x) 具有连续的导数，且满足 lim
( sin x2 ) 3
1
2
f '( x) = −1 ，则（ ） x → 0 ln (1 + x )
（A） f (0) 为 f ( x) 的极大值 （Ｂ） f (0) 为 f ( x) 的极小值 （C）点 ( 0, f (0) ) 为曲线 y = f ( x) 的拐点 （Ｄ） f (0) 不为 f ( x) 的极值，点 ( 0, f (0) ) 也不为曲线 y = f ( x) 的拐点 【答案】 ：(A) 【解析】 由于 lim