2012年考研数学二试题及答案
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析
2 0 0 1
2
故选（B）。 二、填空题：9−14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答．题．纸．指定位置上.
（9）设 y = y(x) 是由方程 x2 − y +1 =ey 所确定的隐函数，则
【答案】：1
________。
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（10）计算
lim
x→∞
n
1
1 + n2
+
22
1 +
n2
+…+
n2
1 +
n2
= ________。
π
【答案】：
4
【解析= 】：原式
∑ lim
n→∞
1 n
n i=1
1+= 1ni 2
∫= 1 dx
0 1+ x2
arc= tan x 1 0
（A）
2
1
1
（B）
1
2
2
（C）
1
2
2
（D）
2
1
【答案】：（B）
1 0 0
1 0 0
【解析】：
Q
=
P
1
1
0
，则
Q
−1
=
−1
1
0
P
−1
，
0 0 1
2012考研数二真题及解析
2012考研数二真题及解析考研数学二对于很多考生来说是具有一定挑战性的科目。
2012 年的考研数二真题也不例外，它全面考查了考生对数学知识的掌握和运用能力。
我们先来看看选择题部分。
比如，有一道关于函数极限的题目，要求判断某个函数在特定点的极限是否存在。
这就需要考生熟练掌握极限的定义和计算方法。
还有一道关于导数定义的题目，考查了考生对导数概念的深刻理解。
填空题中，涉及到了曲线的切线方程、定积分的计算等知识点。
像求曲线在某一点的切线方程，考生要先求出该点的导数，也就是切线的斜率，然后再利用点斜式方程求出切线方程。
接下来是解答题。
第一道通常是关于求函数的导数或者微分，这是基础知识的直接应用，但也需要考生细心计算，避免出错。
有一道关于二重积分的题目，需要考生正确选择积分顺序，并且准确计算出积分的结果。
这要求考生对二重积分的概念和计算方法有清晰的认识。
还有一道关于常微分方程的题目，考查了考生求解方程的能力。
在解题过程中，要根据方程的类型选择合适的解法。
在整个真题中，对于数学基础知识的考查非常扎实。
比如，函数的性质、导数的应用、积分的计算等，都是考试的重点。
对于这些真题，我们在复习的时候要有针对性地进行训练。
首先，要把教材中的基本概念、定理和公式理解透彻，牢记于心。
然后，通过大量的练习题来提高解题的速度和准确性。
对于做错的题目，一定要认真分析原因，总结经验教训。
是因为知识点掌握不牢固，还是因为解题方法不正确，或者是因为粗心大意。
只有找到问题所在，才能在下次遇到类似的题目时不再犯错。
在复习的过程中，还要注重知识的系统性和连贯性。
比如，函数、导数、积分这几部分的知识是相互关联的，要能够融会贯通。
另外，要培养自己的解题思维和技巧。
比如，在遇到难题时，要学会从已知条件出发，逐步推导，寻找解题的突破口。
总之，2012 年考研数二真题全面考查了考生的数学素养和解题能力。
通过对这些真题的认真分析和研究，考生可以更好地把握考试的重点和难点，为今后的复习提供有力的指导。
2012数二考研真题答案
2012数二考研真题答案2012数学二考研真题答案本文将对2012年数学二考研真题进行逐题解析，为考生提供详细的答案解析和解题思路，帮助考生更好地备考。
一、选择题部分1. 题目解析：根据题意，设A的期望为E(A) = 1/3 * 1 + 1/3 * 2 + 1/3 * 3 = 2。
答案：2.2. 题目解析：将$f(x)$代入$F'(x)$，则有：$F'(x) = f(x) = a(x - \alpha)$。
由题意知$f(\alpha) = 0$，则有：$a(\alpha - \alpha) = 1$，整理得$a = 1$。
答案：$a = 1$。
3. 题目解析：对$y' = f(x, y)$两边同时求$x$的偏导数，得到：$\frac{{\partial y'}}{{\partial x}} = \frac{{\partial f(x, y)}}{{\partial x}} + \frac{{\partial f(x, y)}}{{\partial y}} \cdot y'$。
由题意得：$\frac{{\partial y'}}{{\partial x}} = \frac{{\partial f(x, y)}}{{\partial x}} + 2xy' = -4xy^3 + 2xy'$。
答案：$-4xy^3 + 2xy'$。
4. 题目解析：对$f(x)$和$g(x)$分别求导得：$f'(x) = \frac{{df}}{{dx}} = \frac{{1}}{{x}}$，$g'(x) = \frac{{dg}}{{dx}} = \frac{{x'}}{{\sqrt{1 - {x'}^2}}}$。
由链式法则可知：$\frac{{dh}}{{dx}} = \frac{{dh}}{{df}} \cdot \frac{{df}}{{dx}} +\frac{{dh}}{{dg}} \cdot \frac{{dg}}{{dx}}$。
考研数学二解析2012
2012年数学(二)真题解析一、选择题(1) 【答案】(C).【解】由limy=1,得》=1为曲线夕=务匚半的水平渐近线；oo X—12由limy=°°9得乂=1为曲线丿=的铅直渐近线；工-*1x一12|12由lim岂--—=lim―^―-=万，得z=—1不是曲线y=—----吕的铅直渐近线，1—1乞一1工一12x且曲线没有斜渐近线，故曲线y=务匸寸有两条渐近线，应选(C).x一1方法点评：渐近线是频繁考点，曲线的渐近线共有三种，即水平渐近线、铅直渐近线和斜渐近线.若lim/()—A,称;y=A为曲线y=f(.x)的水平渐近线；X-*°°若)=oo,称工=q为曲线》=/(%)的铅直渐近线；若lim=a(H0900)9)—ax~\—b称为曲线y=f｛x)的斜渐近线.(2)【答案】(A).［解］方法一由/''(■Z)=e"(e"—2)…(e“一/?)+2(e T一l)e2r(e3j一3)…(e'"―”)十…+n(e x—1)(孑一2)…(e("T“-n+l)e",得厂(0)=(―I)""—1)!,应选(A).方法二由导数的定义得/z(0)=lim)--八°)=lim--------(e2j—2)…(e"*—n)=(—1)"1(n—1)!, x->0X LO x应选(A).(3)【答案】(B).【解】由a”>05=1,2,…)得数列｛S”｝单调增加，若数列｛S”｝有上界，由极限存在准则得limS”存在.8令limS”=S，则lima”=limS…—=S—S=0,于是｛a”｝收敛；fl——►OO fl——►OO JJ—>OO fl—►oo反之，若｛a”｝收敛，则｛S n｝不一定有上界，如取a”=2,lima”=2,但limS…=+00,即fl——►-OO fj——►-OO ｛S”｝没有上界，故｛S”｝有上界是｛a”｝收敛的充分非必要条件，应选(B).(4)【答案】(D).f2x2【解】由I2—h=sin z d_z V0,得八>/?；J TC「3兀2由13—12=\e"sin x dx〉0,得12<113；J2n而3k 2X 一 7te r sin jc djr ” —2n‘3兀 2e r sin x dr =n*f2x2= e G+x) sin(z + 7t)d^'2tt 2e° sin jc djr +■3k 2e" sin x dx 92x'2tt?(工+兀)•」e sin x dj? 913 — 11 =由【3 一【1"[e ，—e«4]sin_zdz > 0 得八 V 人，于是 I 2<h< 4,应选(D).（5）【答案】（D ）.【解】呻〉。
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案详解
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案详解一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）曲线221x xy x +=-的渐近线条数为（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【答案】应选（C ）.【详解】由2211lim lim 11x x x x xx x →→+==∞--，知曲线有1条垂直渐进线； 由22lim 11x x xx →∞+=-，知曲线有1条水平渐进线；曲线无斜渐近线. （2）设函数2()(1)(2)()xxnx f x e e e n =---L ，其中n 为正整数，则(0)f '=（ ）（A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n -- （D ）(1)!n n -【答案】应选（A ）. 【详解一】由导数定义，200()(0)(1)(2)()(0)lim limx x nx x x f x f e e e n f x x→→----'==L21lim(2)()(1)(1)!x nx n x e e n n -→=--=--L【详解二】由22()(2)()(1)(2)()x x nx x x nxf x e e e n e e e n ''⎡⎤⎡⎤=--+---⎣⎦⎣⎦L L ，得1(0)(1)(1)!n f n -'=--（3）设()01,2,n a n >=L ，12n n S a a a =+++L ，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的（ ）（A ）充分必要条件 （B ）充分非必要条件（C ）必要非充分条件 （D ）既非充分条件又非必要条件 【答案】应选（B ）.【详解】由{}n S 单调递增，若{}n S 有界，则{}n S 收敛，从而()11lim lim lim lim 0n n n n n n n n n a S S S S --→∞→∞→∞→∞=-=-=.反过来若{}n a 收敛，推不出{}n S 有界，例如1n a =. （4）设2sin k x k I e xdx π=⎰，()1,2,3k =，则有（ ）（A ）123I I I << （B ）321I I I << （C ）231I I I << （D ）213I I I << 【答案】应选（D ）.【详解】210sin 0,xI e xdx π=>⎰()222222211sin sin sin sin x x x x I e xdx e xdx e xdx I exdx I ππππππ+==+=-<⎰⎰⎰⎰()()2222332321020sin sin sin sin x x x x I e xdx I e xdx I exdx exdxπππππππ++==+=-+⎰⎰⎰⎰()()222110sin x x I e exdx Iπππ++⎡⎤=+->⎢⎥⎣⎦⎰（5）设函数(,)f x y 可微，且对任意,x y 都有(,)0f x y x∂>∂，(,)0f x y y ∂<∂，则使不等式1122(,)(,)f x y f x y <成立的一个充分条件是（ ）（A ）1212,x x y y ><（B ）1212,x x y y >>（C ）1212,x x y y << （D ）1212,x x y y <> 【答案】应选（D ）. 【详解】由(,)0f x y x∂>∂，若12x x <，则1121(,)(,)f x y f x y <； 由(,)0f x y y∂<∂，若12y y >，则2122(,)(,)f x y f x y <，于是有1122(,)(,)f x y f x y <. （6）设区域D 由曲线sin ,,12y x x y π==±=围成，则5(1)Dx y dxdy -=⎰⎰（ ）（A ）π（B ）2（C ）-2（D ）π-【答案】应选（D ）. 【详解】由奇偶性，得1arcsin 1151112(1)(1)(arcsin )22yDDx y dxdy dxdy dy dx y dy dy ππππ-----=-=-=-+=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（7）设1234123400110,1,1,1c c c c αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的是（ ）（A ） 123,,ααα （B ） 124,,ααα （C ） 134,,ααα （D ） 234,,ααα 【答案】应选（C ）.【详解一】由34500c αα⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪⎝⎭与1α线性相关，知134,,ααα线性相关.【详解二】由13411110c c c --=，知134,,ααα线性相关. （8）设A 为三阶矩阵，P 为三阶可逆矩阵，且1100010002P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若()123,,P ααα=，()1223,,Q αααα=+，则 1Q AQ -=（ ） （A ） 100020001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭（B ）100010002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （C ） 200010002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （D ） 200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】应选（B ）. 【详解】由题设，()()1223123100,,,,110001Q ααααααα⎛⎫⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭从而111100100110110001001Q AQ P AP ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1100100100100110010110010001002001002-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）()y y x =是由方程21yx y e -+=所确定的隐函数，则0x y =''= .【答案】1【详解】代入0x =，得(0)0y =.等式两边同时对x 求导，得2y x y e y ''-=，(0)0y '=求二阶导，得22y y y e y e y '''''-=+，(0)1y ''=（10）2222111lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++=⎪+++⎝⎭L . 【答案】4π【详解】由积分定义，122222201111111lim lim 12141n n n i n dx n nn n n x i n π→∞→∞=⎛⎫+++===⎪++++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑⎰L （11）设1(ln )z f x y =+，其中函数()f u 可微，则2z zx y x y∂∂+=∂∂ 【答案】0 【详解】()1z f u x x ∂'=⋅∂，()21z f u y y ⎛⎫∂'=- ⎪∂⎝⎭，所以20z zx y x y ∂∂+=∂∂（12）微分方程2(3)0ydx x y dy +-=满足条件11x y ==的解为【答案】y =【详解】方程可整理为13dx x y dy y+=，将x 看作因变量，一阶线性非齐次微分方程的通解为()11313dy dy y y x e ye dy C y C y -⎛⎫⎰⎰=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎰.又(1)1y =，得特解y =（13）曲线()20y x x x =+<的点的坐标为 .【答案】（-1，0）【详解】21,2y x y '''=+=，代入曲率公式()3221y K y ''='+32221(21)x =⎡⎤++⎣⎦，解得1x =-或1x =.又0x <，故1,0x y =-=.（14）设A 为三阶矩阵，3A =，*A 为A 的伴随矩阵，若交换A 的第一行与第二行得到矩阵B ，则*BA =_________ 【答案】应填-27. 【详解】设12010100001E ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则12B E A =，从而3**1227BA E AA A ==-=-.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）已知函数()11sin x f x x x+=- 记()0lim x a f x →=（1）求a 的值；（2）当0x →时，()f x a -与kx 是同阶无穷小，求常数k 的值.【详解】（1）()3222200001sin sin 6lim lim lim 1lim 1sin x x x x xx x x x x x a f x x x x x →→→→+-+-====+=（2）方法一：利用泰勒公式()()3323212000166sin sin lim lim lim 0sin k k k x x x x x x x x x x o x f x x x x x x x x x x++→→→⎛⎫⎛⎫+----+ ⎪ ⎪-+--⎝⎭⎝⎭==≠解得1k =.方法二：利用等价无穷小量代换()()()21sin sin sin 1sin sin x x x x x x x x f x x x x x+-+---==当0x →时，()3211616xf x x x -=:，所以1k =.（16）求函数222(,)x y f x y xe +-=的极值.【详解】令()2222222100x y x x y y f e x f xye+-+-⎧'=-=⎪⎪⎨⎪'=-=⎪⎩ 解得1,0,x y =⎧⎨=⎩ 1.0.x y =-⎧⎨=⎩()()22222223222123x y x y x y xxA f xe x xex x e+++---''==---=-()2222x y xyB f x y y e +-''==-()2222x y yyC f xy x e +-''==-代入（1，0），得122A e -=-，0B =，12C e-=-，从而20AC B ->，0A <，所以(,)f x y 在（1，0）取得极大值，极大值为12e -；代入（-1，0），得122A e-=，0B =，12C e-=，从而20AC B ->，0A >，所以(,)f x y 在（-1，0）取得极小值，极小值为12e--.（17）过（0，1）点作曲线:ln L y x =的切线，切点为A ，又L 与x 轴交于B 点，区域D 由L 与直线AB 及x 轴围成，求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 【详解】设切点A 坐标为00(,ln )x x ，则切线斜率为01x ，切线方程为0001ln ()y x x x x -=-，代入（0，1）点，解得20x e =，从而切线方程为211y x e=+，B 点坐标为2(,0)e -，所以 区域D 的面积2220(1)1y S e e y dy e ⎡⎤=--=-⎣⎦⎰. D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积22222211(1)(ln )e e e V x dx x dxeππ-=+-⎰⎰2222118ln |ln 3e e e x x xdx ππ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰()2228222233e e e ππππ=--=+ （18）计算二重积分Dxyd σ⎰⎰，其中区域D 为曲线1cos (0)r θθπ=+≤≤与极轴围成.【详解】利用极坐标变换，1cos 3401cos sin cos sin (1cos )4Dxyd d r dr d πθπσθθθθθθθ+==+⎰⎰⎰⎰⎰ 144011116cos (1cos )cos (1)4415d t t dt πθθθ-=-+=+=⎰⎰（19）已知函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及()()2x f x f x e '+=（1）求()f x 的表达式； （2）求曲线220()()xy f x f t dt =-⎰的拐点.【详解】（1）方法一：()()2()0f x f x f x '''+-=的特征方程为220r r +-=，特征根为121,2r r ==-，通解为212x x C e C e -+，代入()()2x f x f x e '+=，解得120,1C C ==，故 ()x f x e =.方法二：()()2()0f x f x f x '''+-=的特征方程为220r r +-=，特征根为121,2r r ==-，通解为212x x C e C e -+.又()()2x f x f x e '+=的通解为2()x x e e C -+，比较得()x f x e =.（2）方法一：()()2222x xx t y f xf t dt e e dt-=-=⎰⎰2212xxt y xe e dt-'=+⎰()2220224xxt y x x e e dt-''=++⎰()2223044128x xt y x x x e e dt-'''=+++⎰当且仅当0x =时，二阶导数等于零.又(0)40y '''=≠，所以（0，0）为曲线的拐点.方法二：()()2222x xx t y f xf t dt e e dt-=-=⎰⎰2212xxt y xe e dt-'=+⎰()2220224xxt y x x e e dt-''=++⎰当且仅当0x =时，二阶导数等于零；当0x >时，()0y x ''>；当0x <时，()0y x ''<； 所以（0，0）为曲线的拐点.（20）证明：21ln cos 1,12x x x x x ++≥+-(11)x -<< 【证明一】令()21ln cos 112x x f x x x x +=+---，则()00f =. 由()f x 为偶函数，只需证当01x <<时，()0f x >.()111lnsin 111x f x x x x x x x +⎛⎫'=++-- ⎪-+-⎝⎭，()00f '= ()()()2211112cos 11111f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫''=++-+-- ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭+-⎝⎭()()222411cos 1111x x x x x ⎛⎫=+-+-- ⎪ ⎪-+-⎝⎭当01x <<时，2441x >-，()()2211011x x x ⎛⎫-+> ⎪ ⎪+-⎝⎭，cos 12x --≥-，从而 ()0f x ''>，于是()f x '单调递增，所以()()00f x f ''>=，因此()f x 单调递增，所以()()21ln cos 10012x x f x x x f x +=+-->=-，得证21lncos 1,(11)12x x x x x x ++≥+-<<- 【证明二】令()21ln cos 112x x f x x x x +=+---，则()00f =. 由()f x 为偶函数，只需证当01x <<时，()0f x >.()2211111ln sin ln sin 11111x x x f x x x x x x x x x x x +++⎛⎫'=++--=+- ⎪-+---⎝⎭g ，()00f '=当01x <<时，2211ln 0,sin sin 011x x x x x x x x ++>->->--g ，从而()0f x '>，于是()f x 单调递增，所以()()21ln cos 10012x x f x x x f x +=+-->=-，得证 21ln cos 1,(11)12x x x x x x ++≥+-<<-（21）（1）证明：方程11n n x x x -+++=L （n 为大于1的整数）在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个实根；（2）记（1）中实根为n x ，证明lim n n x →∞存在，并求此极限.【详解】（1）令()11nn f x x xx -=+++-L ，则()110f n =->，1111111022222n n n f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L由零点定理，()f x 在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上至少有一个零点. 又()1210n n f x nxx --'=+++>L ，从而()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点，即方程11n n x x x -+++=L 在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭内有且仅有一个实根.（2）比较11n nnn n x x x -+++=L 及1111111n n n n n n n xx x x -+++++++++=L ，得1n n x x +<，从而数列{}n x 单调递减有下界，所以lim n n x →∞存在.设lim n n x a →∞=，对11n n nn n x x x -+++=L 两边取极限，()1lim111nn n n nx x a x a →∞-==--，解得12a =，即1lim 2n n x →∞=.（22）设10010101,00100010a a A a aβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）计算A ；（2）当实数a 取何值时，Ax β=有无穷多解，并求其通解. 【详解】（1）按照第一列展开，得5441(1)1A a a =+-=-.（2）若Ax β=有无穷多解，则0A =，即410a -=，解得1a =或1a =-. 当1a =时，1100 11100 10110 10110 1001 1 0001 1 0100 1 00000 2A ⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭()()r A r A <，方程组Ax β=无解.当1a =-时，1100 11100 10110 10110 1001 1 0001 1 0100 1 00000 0A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪----⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭()()34r A r A ==<，方程组Ax β=有无穷多解，其通解为11110101k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中k 为任意常数 （23）已知110111001A a a ⎛⎫⎪⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，二次型123(,,)()T Tf x x x x A A x =的秩为2（1）求实数a 的值；（2）求正交变换x Qy =将f 化为标准形. 【详解】（1）对A 初等行变换，1011010110111000101000A a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪=→⎪ ⎪-+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭由()()2,Tr A r A A ==得1a =-.（2）101111120201101010221011010224011T A A ⎛⎫--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭--⎝⎭由T A A 的特征多项式202202022(2)22224024T E A A λλλλλλλλ-----=--=--------- 102102(2)122(2)024(2)(6)024024λλλλλλλλλ--=----=---=------ 得矩阵T A A 的特征值12λ=，26λ=，30λ=.当12λ=时，解得(2)0T E A A x -=的基础解系1(1,1,0)T α=-；当26λ=时，解得(6)0TE A A x -=的基础解系2(1,1,2)T α=； 当30λ=时，解得(0)0TE A A x -=的基础解系3(1,1,1)T α=-； 由于123,,ααα已是正交向量组，只需单位化，1231111,1,1021γγγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=-==⎪⎪⎪⎪⎪⎪-⎭⎭⎭令()123,,Q γγγ=，经过正交变换Qy x =，二次型123(,,)()T T f x x x x A A x =化成标准形2212312(,,)26f x x x y y =+.。
2012全国考研数二真题及解析.doc
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）曲线221x x y x +=-渐近线的条数为（） （A ）0（B ）1 （C ）2 （D ）3（2）设函数2()(1)(2)()x x nx f x e ee n =---，其中n 为正整数，则'(0)f = （A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n -- （D ）(1)!n n - （3）设a n >0(n =1,2,…)，S n =a 1+a 2+…a n ，则数列(s n )有界是数列（a n ）收敛的(A)充分必要条件.(B)充分非必要条件. （C)必要非充分条件.（D ）即非充分地非必要条件. （4）设2k x k e I e =⎰ sin x d x (k=1,2,3),则有D（A ）I 1< I 2 <I 3.(B) I 2< I 2< I 3. (C) I 1< I 3 <I 1, (D) I 1< I 2< I 3.（5）设函数f (x,y ) 可微，且对任意x ,y 都 有(,)f x y x∂∂ >0,(,)f x y y ∂∂<0,f (x 1,y 1)<f (x 2,y 2)成立的一个充分条件是(A) x 1> x 2, y 1< y 2.(B) x 1> x 2, y 1>y 1. (C) x 1< x 2, y 1< y 2. (D) x 1< x 2, y 1> y 2.（6）设区域D 由曲线,1,2,sin =±==y x x y π围成，则())(15⎰⎰=-dxdy y x ππ--)(2)(2)()(D C B A（7）设1234123400110,1,1,1c c c c αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的是（ ）（A ）123,,ααα （B ）124,,ααα（C ）134,,ααα （D ）234,,ααα（8）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1112P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，()123,,P ααα=，()1223,,Q αααα=+则1Q AQ -=（ ）（A ）121⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）112⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（C ）212⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （D ）221⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设()y y x =是由方程21y x y e -+=所确定的隐函数，则________。
2012考研数二真题
2012考研数二真题2012年考研数学二真题中涵盖了多个具体的问题和考点，主要包括数列的性质、极限、微分和积分等内容。
下面将按照2012考研数二真题的顺序，逐个进行讨论和解答，以帮助考生更好地理解题目及解题思路。
1. 设数列 {an} 满足a1 = 2, an+1 = √(2 + an), （n≥1）.题目要求证明数列 {an} 单调递增有上界，且求出其极限值。
解：首先，证明数列 {an} 单调递增。
根据递推式可得：an+1 - an = √(2 + an) - an等式两边同时乘以√(2 + an) + an，得到：(an+1 - an)(√(2 + an) + an) = 2 + an - an^2化简得：an+1^2 - an^2 = 2移项整理得到：an+1^2 = an^2 + 2可见，数列 {an} 的相邻两项之间满足差分公式，且差分有正号，因此数列是单调递增的。
再证明数列 {an} 有上界。
假设存在数L，使得对于任意 n 有an ≤ L。
那么当n → ∞ 时，an 的极限也是 L。
考虑到an+1 = √(2 + an)，若an ≤L，则an+1 ≤ √(2 + L)。
由此可知，在an ≤ L 的条件下，an 的上界不超过√(2 + L)。
所以，若存在上界，则上界不会超过√(2 + L)。
因此，若L > 0，则√(2 + L) > L。
这与假设 L 为上界矛盾。
所以，数列 {an} 有上界。
进一步求解数列 {an} 的极限值。
将数列极限记为 A，则根据递推式可得：A = √(2 + A)解方程√(2 + A) = A，得到 A = 2。
2. 设函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，(a < b)，且在 (a, b) 内可导，满足 f(a) = f(b) = 0，且存在 c∈(a，b)，使得 f'(c) = 0。
题目要求证明存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ) = f''(ξ).解：根据题干条件可知，在区间 [a, b] 上，f(x) 在两个端点 a 和 b 处的函数值都为 0，且在区间 (a, b) 内可导且至少有一个驻点。
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题及解析
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)曲线221x x y x +=-的渐近线条数( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2) 设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---，其中n 为正整数,则(0)f '=( ) (A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -(3) 设1230(1,2,3),n n n a n S a a a a >==++++，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的( ) (A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件(C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要(4) 设20sin d ,(1,2,3),k x k I e x x k π==⎰则有( ) (A) 123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D) 213I I I <<(5) 设函数(,f x y ）为可微函数，且对任意的,x y 都有(,)(,)0,0,x y x y x y∂∂><∂∂则使不等式1122(,)(,)f x y f x y >成立的一个充分条件是( )(A) 1212,x x y y >< (B) 1212,x x y y >> (C) 1212,x x y y << (D) 1212,x x y y <>(6) 设区域D 由曲线sin ,,12y x x y π==±=围成，则5(1)d d Dx y x y -=⎰⎰( )(A) π (B) 2 (C) -2 (D) -π(7) 设1100c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α,2201c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α ,3311c ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭α ,4411c -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α ,其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα(8) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若()123,,P =ααα，()1223,,Q =+αααα则1Q AQ -=( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B)100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D)200020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 设()y y x =是由方程21yx y e -+=所确定的隐函数，则202x d y dx == .(10)22222111lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭ . (11) 设1ln ,z f x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭其中函数()f u 可微，则2z z x y x y ∂∂+=∂∂ . (12) 微分方程()2d 3d 0y x x y y +-=满足条件11x y==的解为y =. (13) 曲线()20y x x x =+<上曲率为2的点的坐标是 . (14) 设A 为3阶矩阵，=3A ，*A 为A 伴随矩阵，若交换A 的第1行与第2行得矩阵B ，则*BA = .三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)已知函数()11sin x f x x x+=-，记()0lim x a f x →=， (I)求a 的值; (II)若0x →时，()f x a -与k x 是同阶无穷小，求常数k 的值. (16)(本题满分 10 分)求函数()222,x y f x y xe +-=的极值.(17)(本题满分12分)过(0,1)点作曲线:ln L y x =的切线,切点为A ,又L 与x 轴交于B 点,区域D 由L 与直线AB 围成,求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.(18)(本题满分 10 分)计算二重积分d Dxy σ⎰⎰，其中区域D 为曲线()1cos 0r θθπ=+≤≤与极轴围成.(19)(本题满分10分)已知函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及()()2x f x f x e ''+=,(I) 求()f x 的表达式;(II) 求曲线220()()d xy f x f t t =-⎰的拐点. (20)(本题满分10分)证明21ln cos 112x x x x x ++≥+-,(11)x -<<. (21)(本题满分10 分)(I)证明方程1x x x ++=n n-1+()1n >的整数，在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭内有且仅有一个实根； (II)记(I)中的实根为n x ，证明lim n n x →∞存在，并求此极限.(22)(本题满分11 分)设100010001001a a A a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1100β⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(I) 计算行列式A ；(II) 当实数a 为何值时，方程组Ax β=有无穷多解，并求其通解.(23)(本题满分11 分)已知1010111001A a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，二次型()()123,,T T f x x x x A A x =的秩为2， (I) 求实数a 的值；(II) 求正交变换x Qy =将f 化为标准形.。
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2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题:1:8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.
(1) 曲线221xxyx渐近线的条数 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】C 【考点】函数图形的渐近线 【难易度】★★ 【详解】本题涉及到的主要知识点： （i）当曲线上一点M沿曲线无限远离原点时，如果M到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。
（ii）渐近线分为水平渐近线（lim()xfxb，b为常数）、垂直渐近线（0lim()xxfx）和斜渐
近线（lim[()()]0xfxaxb，,ab为常数）。 （iii）注意：如果 （1）()limxfxx不存在；
（2）()limxfxax，但lim[()]xfxax不存在，可断定()fx不存在斜渐近线。 在本题中，函数221xxyx的间断点只有1x. 由于1limxy，故1x是垂直渐近线.
（而11(1)1limlim(1)(1)2xxxxyxx，故1x不是渐近线）.
又211limlim111xxxyx，故1y是水平渐近线.（无斜渐近线） 综上可知，渐近线的条数是2.故选C. (2) 设函数2()(1)(2)()xxnxfxeeenL,其中n为正整数,则(0)f ( )
(A) 1(1)(1)!nn (B) (1)(1)!nn (C) 1(1)!nn (D) (1)!nn 【答案】A 【考点】导数的概念 【难易度】★★ 【详解一】本题涉及到的主要知识点：
00000()()()limlimxxfxxfxyfxxxVV
VV
VV.
在本题中，按定义 1(1)(2)[(1)](1)(1)!nnnL
.故选A.
【详解二】本题涉及到的主要知识点： ()[()()]()()()()fxuxvxuxvxuxvx.
在本题中，用乘积求导公式.含因子1xe项在0x为0，故只留下一项.于是 故选（A）. (3) 设0(1,2,)nanL，123nnSaaaaL，则数列nS有界是数列na收敛的( ) （A）充分必要条件 （B）充分非必要条件 （C）必要非充分条件 （D）既非充分也非必要条件 【答案】B 【考点】数列极限 【难易度】★★★
【详解】因0(1,2,)nanL，所以123nnSaaaaL单调上升.
若数列nS有界，则limnnS存在，于是 反之，若数列na收敛，则数列nS不一定有界.例如，取1na(1,2,)nL，则nSn是无界的. 因此，数列nS有界是数列na收敛的充分非必要条件.故选（B）. (4)设20sin(1,2,3)kxKexdxkI则有 ( ) (A)123III (B) 321III (C) 231III (D)213III 【答案】D 【考点】定积分的基本性质 【难易度】★★★ 【详解】本题涉及到的主要知识点：
设acb，则()()()bcbaacfxdxfxdxfxdx. 在本题中， 210sinxIexdx，2220sinxIexdx，2330
sinxIexdx
222121sin0xIIexdxII，
2332322
sin0xIIexdxII，
因此213III.故选D.
（5）设函数(,)fxy可微，且对任意的,xy都有(,)0fxyx，(,)0fxyy，则使不等式
1122(,)(,)fxyfxy成立的一个充分条件是( )
（A）12xx，12yy （B）12xx，12yy （C）12xx，12yy （D）12xx，12yy 【答案】D 【考点】多元函数的偏导数；函数单调性的判别 【难易度】★★★ 【详解】本题涉及到的主要知识点：
函数单调性的判定法 设函数()yfx在[,]ab上连续，在(,)ab内可导.
①如果在(,)ab内()0fx，那么函数()yfx在[,]ab上单调增加； ②如果在(,)ab内()0fx，那么函数()yfx在[,]ab上单调减少. 在本题中，因(,)0fxyx，当y固定时对x单调上升，故当12xx时1121(,)(,)fxyfxy 又因(,)0fxyy，当x固定时对y单调下降，故当12yy时2122(,)(,)fxyfxy 因此，当12xx，12yy时112122(,)(,)(,)fxyfxyfxy 故选D. （6）设区域D由曲线sinyx，2x，1y围成，则5(1)Dxydxdy( ) （A） （B）2 （C）-2 （D） 【答案】D 【考点】二重积分的计算 【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
在本题中，11555222sinsin221(1)(1)()2xxDxydxdydxxydyxyydx 其中521(1sin)2xx，sinx均为奇函数，所以 52221(1sin)02xxdx，2
2sin0xdx
故选（D） (7)设1100c,2201c ,3311c ,4411c ,其中1234,,,cccc为任意常数，则下列向量组线性相关的为( ) (A)123,, (B) 124,, (C)134,, (D)234,, 【答案】C 【考点】向量组的线性相关与线性无关 【难易度】★★ 【详解】本题涉及到的主要知识点：
n个n维向量相关12,,,0nL
在本题中，显然
134123
011,,0110ccc，
所以134,,必线性相关.故选C. (8) 设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且1100010002pAP.若P=（123,,），1223(,,)，则1QAQ ( ) (A) 100020001 (B) 100010002 (C) 200010002 (D)200020001 【答案】B 【考点】矩阵的初等变换；初等矩阵 【难易度】★★★ 【详解】本题涉及到的主要知识点： 设A是一个mn矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.
在本题中，由于P经列变换为Q，有
12100110(1)001QPPE
，
那么111112121212[(1)][(1)](1)()(1)QAQPEAPEEPAPE 故选B. 二、填空题：9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.
（9）设yyx是由方程21yxye所确定的隐函数，则220xdydx . 【答案】1 【考点】隐函数的微分 【难易度】★★ 【详解】本题涉及到的主要知识点： 隐函数求导的常用方法有： 1. 利用复合函数求导法，将每个方程两边对指定的自变量求偏导数（或导数），此时一定要注意谁是自变量，谁是因变量，对中间变量的求导不要漏项。然后求解相应的线性方程式或方程组，求得所要的隐函数的偏导数或导数。 2. 利用一阶全微分形式的不变性，对每个方程两边求全微分，此时各变量的地位是平等的，然后求解相应的线性方程组或者方程式，球的相应的隐函数的全微分。 对于多元隐函数来说，若题目中求的是全部偏导数或全微分，往往是用方法2比较简单些，若只求某个偏导数，则方法1和方法2的繁简程度差不多。
在本题中，令0x，得(0)0y.等式两边同时对x求导，得
2yxyey （*） 令0x，0y得 (0)(0)yy，
于是(0)0y.再将（*）是对x求导得 令0x，0y，0y得 2(0)(0)yy
于是(0)1y
（10）22222111lim12nnnnnnL . 【答案】4
【考点】定积分的概念 【难易度】★★★ 【详解】本题涉及到的主要知识点： 利用定积分定义求某些和式的极限（先将和式表成某函数在某区间上的一个积分和，它的极限就是一个定积分）.
特别是对于n项和数列的极限，应该注意到：1011lim()()nniiffxdxnn 在本题中，由积分定义， （11）设1(ln)zfxy，其中函数()fu可微，则2zzxyxy 【答案】0 【考点】多元复合函数的求导法 【难易度】★★ 【详解】本题涉及到的主要知识点： 二元函数[(,)]zfuxy（是一元函数()fu与二元函数(,)uuxy的复合函数），在变量替换
(,)uuxy下，得到z对x，y的偏导数为()zufuxx，()zufuyy.