2012考研数学二真题(文字版)

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．
指定位置上. (1)曲线221
x x y x +=-的渐近线条数 ( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
(2) 设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =--- ，其中n 为正整数,则(0)f '= ( )
(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n - (3) 设1230(1,2,3),
n n n a n S a a a a >==++++ ，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的
( )
(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要
(4) 设2
sin d ,(1,2,3),k x k I e x x k π
==⎰则有
( )
(A) 123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D) 213I I I << (5) 设函数(,f x y ）为可微函数，且对任意的,x y 都有
(,)(,)
0,0,x y x y x y
∂∂><∂∂则使不等式1122(,)(,)f x y f x y >成立的一个充分条件是
( )
(A) 1212,x x y y >< (B) 1212,x x y y >> (C) 1212,x x y y << (D) 1212,x x y y <> (6) 设区域D 由曲线sin ,,12
y x x y π
==±
=围成，则5(1)d d D
x y x y -=⎰⎰
( )
(A) π (B) 2 (C) -2 (D) -π
(7) 设1100c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪
⎝⎭
α,2201c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α ,3311c ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭α ,4411c -⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭α ,其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量
组线性相关的为 ( )
(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα
(8) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002P AP -⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
.若()123,,P =ααα，
()1223,,Q =+αααα则1Q AQ -= ( )
(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D)200020001⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．
指定位置上. (9) 设()y y x =是由方程2
1y
x y e -+=所确定的隐函数，则20
2
x d y dx
== .
(10) 22222111lim 12n n n n n n →∞⎛⎫
+++= ⎪+++⎝⎭ . (11) 设1ln ,z f x y ⎛⎫=+
⎪⎝⎭
其中函数()f u 可微，则2z z x y x
y ∂∂+=∂∂ . (12) 微分方程()
2
d 3d 0y x x y y +-=满足条件1
1x y
==的解为y = .
(13) 曲线()2
0y x x x =+<
上曲率为
2
的点的坐标是 . (14) 设A 为3阶矩阵，=3A ，*
A 为A 伴随矩阵，若交换A 的第1行与第2行得矩阵
B ，则
*BA = .
三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分 10 分)
已知函数()11
sin x f x x x
+=-，记()0lim x a f x →=，
(I)求a 的值;
(II)若0x →时，()f x a -与k
x 是同阶无穷小，求常数k 的值.
(16)(本题满分 10 分)
求函数()22
2
,x y f x y xe
+-=的极值.
(17)(本题满分12分)
过(0,1)点作曲线:ln L y x =的切线,切点为A ,又L 与x 轴交于B 点,区域D 由L 与直线AB 围成,求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.
(18)(本题满分 10 分)
计算二重积分
d D
xy σ⎰⎰，其中区域D 为曲线()1cos 0r θθπ=+≤≤与极轴围成.
(19)(本题满分10分)
已知函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及()()2x f x f x e ''+=, (I) 求()f x 的表达式;
(II) 求曲线2
20()()d x
y f x f t t =-⎰的拐点.
(20)(本题满分10分)
证明2
1ln cos 112
x x x x x ++≥+-,(11)x -<<. (21)(本题满分10 分)
(I)证明方程1x x x ++= n n-1
+()
1n >的整数，在区间1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
内有且仅有一个实根； (II)记(I)中的实根为n x ，证明lim n n x →∞
存在，并求此极限.
(22)(本题满分11 分)
设1
0001000100
1a a A a a
⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪
⎪⎝⎭，1100β⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
(I) 计算行列式A ；
(II) 当实数a 为何值时，方程组Ax β=有无穷多解，并求其通解.
(23)(本题满分11 分)
已知
101
011
10
01
A
a
a
⎛⎫
⎪
⎪
=
⎪
-
⎪
-
⎝⎭
，二次型()()
123
,,T T
f x x x x A A x
=的秩为2，
(I) 求实数a的值；
(II) 求正交变换x Qy
=将f化为标准形.。