中考数学压轴题破解策略专题19《中点模型》

专题19《中点模型》破解策略
1．倍长中线
在△ABC中．M为BC边的中点．
M E C
B
A
E M
C
A
B
D
图1 图2
（1)如图１，连结AＭ并延长至点F,使得ＭE=AＭ．连结CＥ．则△ABM≌△ECM．（２)如图２，点D在ＡB边上，连结DM并延长至点E．使得ＭF＝DM.连结CE，则△BD Ｍ≌△ＣEM，
遇到线段的中点问题,常借助倍长中线的方法还原中心对称图形，利用“8”字形全等将题中条件集中,达到解题的目的，这种方法是最常用的也是最重要的方法．
2.构造中位线
在△ＡBC中.Ｄ为ＡＢ边的中点，
A
B D E
C C F
A
B
D
图1 图2
（1）如图1，取AＣ边的中点E,连结DE．则ＤE∥BC，且DF＝1
2
B C.
（2)如图２．延长BＣ至点F.使得ＣＦ=ＢC．连结ＣD，AF．则DC∥AＦ,且ＤC＝1
2
Ａ
E．
三角形的中位线从位置关系和数量关系两方面将将图形中分散的线段关系集中起来．通常需要再找一个中点来构造中位线,或者倍长某线段构造中位线,
3.等腰三角形“三线合一"
如图,在△ABC中,若AＢ=A C.通常取底边ＢＣ的中点D．则ＡD⊥BC,且AD平分∠BA C．事实上，在△ABC中:①AＢ＝ＡＣ;②AD平分∠ＢAC;③ＢD＝CD,④AD⊥B C．对于以上四条语句,任意选择两个作为条件,就可以推出另两条结论,即“知二得二”.
A
B D
C
4.直角三角形斜边中线
如图,在△ABＣ看,∠ABＣ=9００,取ＡC的中点D，连结BＤ，则有BD＝AD=CD＝1
2 AC.
反过来,在△ＡBＣ中,点D在AＣ边上，若ＢD＝AＤ=CD＝1
2
AC，则有∠ABＣ=900
例题讲解
例1 如图,在四边形ABＣＤ中,E、F分别是ＡB、CD的中点,过点E作AB的垂线，过点F 作ＣD的垂线,两垂线交于点G,连结ＡＧ、BＧ、ＣＧ且∠ＡGD＝∠ＢGＣ，若AD、BC所在直
线互相垂直,求AD
EF
的值
解由题意可得△AＧB和△ＤＧC为共顶点等顶角的两个等腰三角形，
所以△AＧD≌△ＢGＣ，△AGＤ∽△EGF．
方法一：如图1,连结CE并延长到H，使EH＝EC，连EＨ、AH,则
AＨ∥BＣ,AH＝BＣ,而AD＝BC，AＤ⊥BC
所以AD＝AH,AD⊥AH,连结DH,则△ADH为等腰直角三角形，又因为E、F分别为CH、CD的中
点,
所以=2
1
2
AD AD
EF DH
=
方法二:如图2,连结ＢD并取中点H,连结EH，FＨ．则EH＝
1
2
AD,且EH∥AD,ＦH=
1
2
BＣ,
而AD=BC,AＤ⊥ＢC，所以△EHF为等腰直角三角形,所以
2
=2
AD EH
EF EF
=
例２如图,在△AＢC中,BC=22,ＢD⊥ＡＣ于点D，ＣE⊥ＡB于E，F、G分别是BC、DE 的中点,若ＥＤ=10，求FG的长．
解:连结EF、DF，由题意可得EＦ、DF分别为ＲT△BＥC，ＲＴ△BDC斜边的中线，所以ＤF ＝EF=
1
2
ＢC=11,而Ｇ为DＥ的中点，所以DG=EG=５,ＦＧ⊥DE，所以RT△FGD中,ＦG＝22
DF DG
-＝6
例３已知：在RT△ＡCB和RＴ△ＡEＦ中,∠ACＢ=∠ＡEF=９0０，若Ｐ是BF的中点,连结ＰC、PE
（1）如图１，若点E、Ｆ分别落在边AB、AＣ上,请直接写出此时PC与PE的数量关系．（2）如图2，把图1中的△AＥF绕着点A顺时针旋转，当点E落在边CＡ的延长线上时,上述结论是否成立?若成立，请给予证明;若不成立，请说明理由.
（３)如图3，若点Ｆ落在边AＢ上,则上述结论是否仍然成立？若成立,请给予证明；若不成立,请说明理由．
解(1）易得PＣ＝PE＝1
2
BＦ，即PC与PE相等.
(２)结论成立.理由如下:
如图4，延长CＰ交EF的延长线于点D，则ＢC∥FD,易证△BPC≌△FＰD,所以ＰC＝PD,而∠
ＣED=900,所以PE=1
2
ＣD＝PC
（3）结论仍成立,理由如下：
如图5,过点Ｆ作FD∥ＢC，交CP的延长线于点D,易得PD=PC，FD=BC
所以AE EF EF AC BC FD
==
而∠ＡＦE＝∠PＢC＝∠PFD,所以∠ＥAC=1800－2∠AＦE=∠ＥFD，
如图,连结CＥ,ED，则△EAC∽△EFD，所以∠ＡＥC＝∠FＥD，∠CED＝∠ＡEＦ＝900，
所以PE=1
2
CD=PＣ
例4已知：△ＡBＣ是等腰三角形，∠BAC＝９００,ＤE⊥CＥ,DE＝CＥ=1
2
AＣ,连结AE,M
是AE的中点
（1）如图1,若D在△ABC的内部,连结BD，N是ＢD的中点,连结MN，NE,求证：ＭN⊥AE （2）如图2,将图1中的△ＣDE绕点C逆时针旋转,使∠BＣＤ=３00，连结BD，Ｎ是BD的中
点,连结MN,求MN AC
解:(1）如图３,延长EＮ至点Ｆ,使得NF=NＥ,连结FB，易证△DEN≌△BFＮ，从而可得BF ∥ＤＥ,BF=DE,延长FB,ＣE交于点Ｇ,则∠G=9０0，从而A、Ｂ、G、C四点共圆
所以∠ABF＝∠AＣE，连结AF,所以△ABF≌△ＡＣE(SAS),所以AF＝AＥ，AＦ⊥AE，而MN∥
ＡＦ所以MN=1
2
ＡE，MＮ⊥AE
（２）如图4,同(１)可得，ＭN＝1
2
AE,MN⊥
ＡE,由题意可得AC=2CE，作ＥH⊥AC于H,则∠ECH＝6００，所以CH＝
1
2
ＥC=
1
4
AC,ＥH＝
3
AＣ，从而AE＝22
7
AH EH AC
+=,所以7
MN
AC
=
进阶训练
1．如图,△ABD和△ACE都是直角三角形，其中∠ABD ＝∠ACE=90°,且点C在
ＡB上,连结ＤE,Ｍ为DE的中点，连结BＭ,CM，求证：ＢM＝CＭ.
M
C
D
E
A
B
【答案】略
【提示】延长CM，DB交于点F,则∠CBF＝９0°,△CMＥ≌△FMD,从而BＭ＝
1
2
ＣＦ=ＣM.
M
C
D
E
B
2．我们把两条中线互相垂直的三角形称为”中垂三角形”．如图１,AＦ，BE是△ABC的中线,且AF⊥BE于点P，像△ＡＢC这样的三角形均称为“中垂三角形”，设BC＝a，ＡＣ=b，ＡB=ｃ．
(1)猜想a 2，b2,c２三者之间的关系,并加以证明；
（2)如图2，在平行四边形ABCＤ中，E，Ｆ,G分别是ＡD,BC,CＤ上的中点.BE⊥EG，AD＝5AB＝3．求AF的长．
图1
A
图2
A
【答案】(1) a ２
＋b 2
=５ｃ2
,证明略；(２） A Ｆ＝4．
【提示】(1)如图，连结ＥF ,由中位线定理可得
PE PB ＝PF PA ＝EF BA ＝1
2
.在Ｒt △ＡＰB ，Ｒt △A ＰE 和Rt △ＢPF 中,利用勾股定理即可得到a 2
＋b 2
=5c 2
;
(2) 如图，取AB 的中点Ｈ，连结F Ｈ，AC ,由中位线定理可得F Ｈ∥ＡC ∥ＥＧ,从而FH ⊥BE ，易证△AP Ｅ≌△ＦPB ，所以AP ＝FP ,所以△ABF 是“中垂三角形”从而利用(1)中结论求得AF 的长.
D
E
B
A
3.巳知:△ABC 和△AD Ｅ是等腰直角三角形,∠ACB ＝∠A ＤE ＝90°,F 为ＢＥ的中点.连结DF ,CF ．
图3
图2
图1
E
E
(1）如图,当点D 在A Ｂ上,点E 在A Ｃ上时,请直接写出此时线段DF ，CF 的数量关系和位置关系（不用证明)；
（2)如图2．在（1）的条件下将△ＡDE 绕点A 顺时针旋转4５°.请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立,并证明你的判断;
（３)如图３．在（１)的条件下将△ADE 绕点A 顺时针旋转角α，请你判断此时(1)中的结论是否仍然成立，井证明你的判断．
【答案】（1)DF =ＣF ,DF ⊥CF ；（2)成立；(３）成立．
【提示】（2)延长ＤF 交B Ｃ于点G ,则△DEF ≌△GBF ，从而得DF =GF ,CD ＝C Ｇ,即得证．
E
(3)延长CF 至点Ｇ，使得ＦＧ＝CF ,连结EG ，则GE ＝C Ｂ=ＣA ,GE ⊥ＡC ,可得∠CA Ｄ=∠GE D ．连结DG ,CD ,从而△AD Ｃ≌△EDG （SAS ）.即得证.
E
4.巳知:P 是平行四边形ＡBCD 对角线AC 所在直线上的一个动点(不与点Ａ、C 重合)．分别过点A 、C 向直线B Ｐ作垂线，垂足分别为E ，Ｆ,Ｏ为AC 的中点,如图1．将直线B Ｐ绕点Ｂ逆时针旋转,当∠OFE = ３0°时,如图2所示,请你猜想线段CF ，AE ,ＯE 之间有怎样的数量关系，并给予证明.
图1
图2
【答案】图1中OE =C Ｆ－ＡE ;图2中OE ＝ＣF +AE .
【提示】如图1,延长E Ｏ交FC 于点G ，易证O Ｅ＝ＯG ，AE =C Ｇ，从而R ｔ△GF Ｅ中，ＯF ＝O Ｇ=OE .而∠OF Ｅ＝３０°,所以OE ＝ＣＦ-AE ．
图1
如图２,同理可得O Ｅ=CF ＋A Ｅ．
图2。