江苏省苏州市2019届高三数学最后一卷试题
江苏省苏州市2019届高三下学期阶段测试数学试题(含参考答案)
江苏省苏州市2019届高三下学期阶段测试2019.3数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．设集合1} {A m =，，} 3{2B =，，若{}3AB =，则m = ▲ ．2．已知复数z 满足()12i 3i z +=-（其中i 为虚数单位），则||z 的值为 ▲ ．3．将一颗质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6）先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的的概率是 ▲ ．4．一支田径队有男运动员人,女运动员人,现按性别用分层抽样的方法,从中抽取位运动员进行健康检查,则男运动员应 抽取 ▲ 人.5．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为▲．6．命题“存在x ∈R ，使240x ax a +-＜”为假命题，则实数a 的取值范围是 ▲ ．7．已知函数sin(),(0,0,)y A x A ωφωφπ=+>><的图象如图所示，则该函数的解析式是___▲__. 8．若函数)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0>x 时，x x x f ln )(=，则不等式e x f -<)(的解集为▲．2821149．四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，2AB =，3AD =，PA = 点E 为棱CD 上一点，则三棱锥E －P AB 的体积为 ▲ .10．若函数0,2,()0ln ,≤x x x f x x ax x ⎧+=⎨>-⎩在其定义域上恰有两个零点，则正实数a 的值为▲．11．已知等差数列{}n a 的各项均为正数，1a =110p q -=，则p q a a -=▲.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22(3)2x y +-=，点A 是x 轴上的一个动点，AP ， AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 长的取值范围为▲.13．若x y z ,,均为正实数，且2221x y z ++=，则2(1)2z xyz+的最小值为▲ ．14．设集合{,222,xy t x y M a a t+==+=其中,,,x y t a 均为整数}，则集合M = ▲ . 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．15. （本小题满分14分）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对应的三边，已知222b c a bc +=+。
2019年江苏省苏州市吴中区长桥中学高三数学理下学期期末试题含解析
2019年江苏省苏州市吴中区长桥中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的零点所在的区间是 ( )A. B. C. D.参考答案：B略2. 一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：cm2）为：A．48 B．64 C．80 D．120参考答案：C略3. 在直三棱柱ABC﹣A1B l C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α．有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE．其中正确的命题有（）A．①②B．②③C．①③D．①②③参考答案：【考点】棱柱的结构特征．【分析】在①中，由AA1EH GF，知四边形EFGH是平行四边形；在②中，平面α与平面BCC1B1平行或相交；在③中，EH⊥平面BCEF，从而平面α⊥平面BCFE．【解答】解：如图，∵在直三棱柱ABC﹣A1B l C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α．∴AA1EH GF，∴四边形EFGH是平行四边形，故①正确；∵EF与BC不一定平行，∴平面α与平面BCC1B1平行或相交，故②错误；∵AA1EH GF，且AA1⊥平面BCEF，∴EH⊥平面BCEF，∵EH?平面α，∴平面α⊥平面BCFE，故③正确．故选：．4. 某学生对函数 f ( x ) ＝x .co s x 的性质进行研究，得出如下的结论：①函数y=f(x)在[－π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减；②点(，0)是函数y＝f(x)图象的一个对称中心；③函数y＝f(x)图象关于直线x＝π对称；④存在常数M >0，使｜f(x)｜≤M｜x｜对一切实数x 均成立．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：①特值法。
【精品试题】江苏省苏州市2019届高三最后一卷高三数学练习卷(含附加题)全国百强校
高三数学练习卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上.1. 己知集合则= ▲ .2. 设i是虚数单位，复数的模为1，则正数a的值为▲ .3. 为了解某团战士的体重情况，采用随机抽样的方法，将样本体重数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图，己知图中从左到右前三个小组频率之比为1：2：3，第二小组频数为12，则全团共抽取人数为▲ .4. 执行如图所示的程序框图，输出的k的值为▲ .5. 设记“以（x，y)为坐标的点落在不等式所表示的平面区域内”为事件A，则事件A发生的概率为▲ .6. 已知△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若a>b且则A= ▲ .7. 已知等比数列满足且则▲ .8. 己知函数若则实数a的值是▲ .9. 如图，在一个圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则此圆柱底面的半径是▲ cm.10. 在平面直角坐标系中，己知点A，F分别为椭圆的右顶点和右焦点，过坐标原点O的直线交椭圆C于P，Q两点，线段AP的中点为M，若Q，F，M三点共线，则椭圆C的离心率为▲ .11. 设函数π若且则的取值范围是▲ .12. 已知圆上存在两点A，B， P为直线x=5上的一个动点，且满足AP⊥BP，则点P的纵坐标取值范围是▲ .13. 如图，已知P是半径为2，圆心角为π的一段圆弧AB上一点，则的最小值为▲ .14. 己知实数a，b，c满足（e为自然对数的底数），则的最小值是▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分14分）己知向量θθθ的值；(1)若a∥b，求θθθ(2)若求θ的值.16.（本小题满分14分）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，平面PBD⊥平面ABCD，PB= PD，PA⊥PC，CD⊥PC，O、M分别是BD，PC的中点，连结OM.求证：(1) OM∥平面PAD；(2) OM⊥平面PCD.17.（本小题满分14分）己知椭圆的左、右焦点分别为离心率为， P是椭圆C上的一个动点，且Δ面积的最大值为(1)求椭圆C的方程；(2)设斜率不为零的直线与椭圆C的另一个交点为Q，且PQ的垂直平分线交y轴于点求直线PQ的斜率.18.（本小题满分16分）如图为一块边长为2km的等边三角形地块ABC，为响应国家号召，现对这块地进行绿化改造，计划从BC的中点D出发引出两条成60°角的线段DE和DF，与AB和AC围成四边形区域AEDF，在该区域内种上草坪，其余区域修建成停车场，设∠α(1)当α时，求绿化面积；(2)试求地块的绿化面积α的取值范围.19.（本小题满分16分）数列的前n项和记为，且数列是公比为q的等比数列，它的前n项和记为若且存在不小于3的正整数k，m，使(1)若求(2)证明：数列为等差数列；(3)若是否存在整数m，k，使若存在，求出m，k的值；若不存在，说明理由.20.（本小题满分16分）若函数和同时在x=t处取得极小值，则称和为一对“P(t)函数”.(1)试判断与是否是一对“P(1)函数”；(2)若与是一对“P(t)函数”.①求a和t的值；②若a<0，若对于任意∞恒有求实数m的取值范围.高三数学练习卷附加题21. 【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A选修4-2：矩阵与变换变换是逆时针旋转π的旋转变换，对应的变换矩阵是变换对应用的变换矩阵是求曲线的图象依次在变换的作用下所得曲线的方程.B.选修4-4:极坐标与参数方程在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρθθ设点P是曲线上的动点，求P到直线l距离的最大值.C.选修4-5:不等式选讲已知函数若存在实数x，使不等式成立，求实数m的最小值，【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.（本小题满分10分）在四棱锥中∠△PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD.(1)求二面角P-EC-D的余弦值；(2)线段PC上是否存在一点M，使得异面直线DM和PE所成的角的余弦值为？若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由.23.（本小题满分10分）已知非空集合M满足M N*若存在非负整数使得当时，均有则称集合M具有性质P，记具有性质P的集合M 的个数为（1)求的值；(2)求的表达式.。
【精品试题】【市级联考】江苏省苏州市2019届高三高考模拟最后一卷数学试题(解析版)
江苏省苏州市2019届高三最后一卷数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1.已知集合{|02}A x x =<<，{}1B x x =，则A B =____.【答案】{}|12x x << 【解析】 【分析】利用交集定义直接求解． 【详解】集合A {x |0x 2}=<<，{}B x x 1=，A B {x |1x 2}∴⋂=<<．故答案为：{x |1x 2}<<．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.设i 是虚数单位，复数i2ia z -=的模为1，则正数a 的值为_______．【解析】 【分析】先化简复数，再解方程21144a +=即得解.【详解】由题得i 1i 2i 22a az -==--， 因为复数z 的模为1，所以21144a +=，解之得正数a【点睛】本题主要考查复数的除法和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.为了解某团战士的体重情况，采用随机抽样的方法．将样本体重数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右前三个小组频率之比为1：2：3，第二小组频数为12，则全团共抽取人数为_______．【答案】48【解析】【分析】先求出频率分布直方图左边三组的频率和，再求全团共抽取的人数.【详解】由题得频率分布直方图左边三组的频率和为15(0.03750.0125)0.75-⨯+=所以全团抽取的人数为：212(0.75)6÷⨯＝48.故答案为：48【点睛】本题主要考查频率分布直方图频率和频数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.执行如图所示的程序框图，输出的k的值为_______．【答案】4 【解析】试题分析：程序执行中的数据变化如下：133130,3,,,1,,,22244k a q a k a =====<= 313313312,,,3,,,4,,4488416164k a k a k =<==<==<成立，输出4k =考点：程序框图5.设x ∈[﹣1，1]，y ∈[﹣2，2]，记“以(x ，y)为坐标的点落在不等式221x y +≥所表示的平面区域内”为事件A ，则事件A 发生的概率为_______． 【答案】1﹣8π 【解析】 【分析】利用几何概型的概率公式求事件A 发生的概率.【详解】由题得x ∈[﹣1，1]，y ∈[﹣2，2]，对应的区域是长方形， 其面积为24=8⨯.设事件A 发生的概率为P ，故P ＝88π-＝1﹣8π．故答案为：1﹣8π【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，若a ＞b 且sin A cosCa b=，则A ＝_______． 【答案】2π【解析】 【分析】由题得sinB ＝cosC ，再求A 的大小. 【详解】因为sin cos A C a b =，所以sin cos sin sin A CA B=，则sinB ＝cosC ， 由a ＞b ，则B ，C 都是锐角，则B ＋C ＝2π，所以A ＝2π． 故答案为：2π【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.已知等比数列{}n a 满足112a =，且2434(1)a a a =-，则5a ＝_______． 【答案】8 【解析】 【分析】先求出3a 的值，再求5a 的值. 【详解】∵2434(1)a a a =- ∴2334(1)a a =-，则3a ＝2∴223512812a a a ===． 故答案为：8【点睛】本题主要考查等比中项的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.已知函数221()log (1)1x a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，，，若[(0)]2f f =，则实数a 的值是_______．【解析】 【分析】解方程[(0)]2f f =即得a 的值. 【详解】∵0(0)223f =+= ∴[(0)](3)log 2a f f f == ∵[(0)]2f f = ∴log 22a =， 因0,a >所以解得a【点睛】本题主要考查分段函数求值，考查指数对数运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.圆柱形容器内部盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是 cm 。
2019年江苏省苏州市高考数学最后一卷(5月份)
2019年江苏省苏州市高考数学最后一卷（5月份）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上.1. 已知集合A={x|0<x<2}，B={x|x>1}，则A∩B=________．【答案】{x|1<x<2}【考点】交集及其运算【解析】利用交集定义直接求解．【解答】角：∵集合A={x|0<x<2}，B={x|x>1}，∴A∩B={x|1<x<2}．故答案为：{x|1<x<2}.2. 设i是虚数单位，复数z=a−i2i的模为1，则正数a的值为________．【答案】√3【考点】复数的模【解析】利用上的模等于模的商，得到|z|=√1+a22=1，则a可求．【解答】解：由|z|=|a−i2i |=|a−i||2i|=√1+a22=1，得a2=3，∵a>0，∴a=√3．故答案为：√3.3. 为了解某团战士的体重情况，采用随机抽样的方法，将样本体重数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图，己知图中从左到右前三个小组频率之比为1:2:3，第二小组频数为12，则全团共抽取人数为________．【答案】48【考点】频率分布直方图用样本的频率分布估计总体分布【解析】先计算得前三组频数之和与频率之和，再用频数之和除频率之和可得．【解答】解：因为图中从左到右前三个小组频率之比为1:2:3，第二小组频数为12，所以第一、第三组频数为6和18，后两组频率之和为(0.0125+0.0375)×5=0.25，所以前3组频率之和为0.75，故全团共抽取人数为：6+12+180.75=48．故答案为：48.4. 执行如图所示的程序框图，输出的k的值为________．【答案】7【考点】程序框图【解析】根据程序框图进行模拟运算即可．【解答】解：执行第一次循环后S=3，k=3，第二次循环后，S=9，k=5，第三次循环后，S=45，k=7，终止循环，输出k=7.故答案为：7.5. 设x∈[−1, 1]，y∈[−2, 2]，记“以(x, y)为坐标的点落在不等式x2+y2≥1所表示的平面区域内”为事件A，则事件A发生的概率为________．【答案】1−π8【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】根据几何概型概率公式用面积比可得．【解答】解：由题意知x ∈[−1, 1]，y ∈[−2, 2]对应的区域是长方形，其面积为2×4=8， 如图所示，圆与长方形不重合的部分即为所求，根据几何概型得概率公式可得：P =2×4−π2×4=1−π8．故答案为：1−π8.6. 已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，若a >b 且sinA a=cosC b，则A =________． 【答案】 π2 【考点】 正弦定理 【解析】由已知利用正弦定理可得cosCsinB =1，可得cosC >0，可求B ∈(0, π2)，由诱导公式可得sin(π2−C)＝sinB ，可得：π2−C ＝B ，或π2−C ＝π−B ，即可得解A 的值．【解答】 解：∵sinA a=cosC b，∴ 由正弦定理可得：sinAsinA=cosCsinB，可得：cosCsinB =1， ∵ sinB >0，∴ cosC >0， 又a >b ，可得：A >B ， 所以B ∈(0, π2)， 所以sin(π2−C)sinB =1，可得：sin(π2−C)=sinB ，可得：π2−C ＝B ，或π2−C =π−B ， 可得：π2=C +B ，或C =−π2+B ，（舍去）， 所以可得：A =π−B −C =π2．故答案为：π2.7. 已知等比数列满足a 1=12，且a 2a 4=4(a 3−1)，则a 5=________． 【答案】 8【考点】 等比中项等比数列的通项公式 【解析】由等比数列的性质求得a 3的值，依此得到：a 5=a 32a 1．【解答】解：由a 2a 4=4(a 3−1)，得a 32=4(a 3−1)， 解得a 3=2， 所以a 5=a 32a 1=2212=8．故答案为：8.8. 己知函数f(x)={2x +2,x ≤1,log a (x −1),x >1, 若f[f(0)]=2，则实数a 的值是________．【答案】 √2【考点】函数的求值 【解析】先求解f(0)＝3，然后再求解f(3)即可去求解 【解答】解：∵ f(x)={2x +2,x ≤1,log a (x −1),x >1,∴ f(0)=3，f[f(0)]=f(3)=log a 2=2， 则a =√2.故答案为：√2.9. 圆柱形容器内部盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是_________cm ．【答案】 4【考点】组合几何体的面积、体积问题设出球的半径，三个球的体积和水的体积之和，等于柱体的体积，求解即可．【解答】解：设球半径为r，则由3V球+V水=V柱，可得3×43πr3+πr2×8=πr2×6r，解得r=4．故答案为：4.10. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A，F分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点和右焦点，过坐标原点O的直线交椭圆C于P，Q两点，线段AP的中点为M，若Q，F，M三点共线，则椭圆C的离心率为________．【答案】13【考点】椭圆的离心率直线与椭圆结合的最值问题【解析】根据题意，连接AQ，分析可得F为△APQ的重心，则有OF=13OA，即c=13a，由椭圆的离心率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，连接AQ，过坐标原点O的直线交椭圆C于P，Q两点，则O是PQ的中点，AO是PQ上的中线，又由线段AP的中点为M，QM是AP上的中线，则F为△APQ的重心，则有OF=13OA，即c=13a，则椭圆的离心率e=ca =13.故答案为：13.11. 设函数f(x)=sin(2x+π3)，若x1x2<0，且f(x1)+f(x2)=0，则|x2−x1|的取值范围是________．【答案】(π3, +∞)正弦函数的图象【解析】根据f(x1)+f(x2)＝0，可得f(x1)＝−f(x2)，结合函数f(x)＝sin(2x+π3)，可得|x2−x1|至少相差半个周期，可得|x2−x1|π3．【解答】解：根据函数f(x)=sin(2x+π3)，∵f(x1)+f(x2)=0，可得f(x1)=−f(x2)，令x2>x1，根据图象，可得x2，x1关于点(−π6, 0)对称时，|x2−x1|最小，∵x1x2<0，令x2>0，则x1−π3<0．∴可得|x2−x1|>π3，∴|x2−x1|的取值范围为：(π3, +∞)．故答案为：(π3, +∞)．12. 已知圆C：(x−1)2+(y−4)2=10上存在两点A，B，P为直线x=5上的一个动点，且满足AP⊥BP，则点P的纵坐标取值范围是________．【答案】[2, 6]【考点】直线和圆的方程的应用点与圆的位置关系【解析】过点P(5, t)作圆的两条切线，设∠APB＝θ，则当θ≥900时，直线x＝5上存在一个动点P，满足AP⊥BP；即sin∠CPB=CBCP =√10CP≥√22，即可求解．【解答】解：如图所示，过点P(5, t)作圆的两条切线，设∠APB=θ，则当θ≥90∘时，直线x=5上存在一个动点P，满足AP⊥BP，即∠CPB≥π4，sin∠CPB=CBCP=√10CP≥√22，∴CP≤2√5．∴√(5−1)2+(t−4)2≤√20，∴2≤t≤6．故答案为：[2,6].13. 如图，已知P是半径为2，圆心角为π3的一段圆弧AB上一点，AB→=2BC→，则PC→⋅PA→的最小值为________．【答案】5−2√13【考点】平面向量数量积的性质及其运算律正弦函数的定义域和值域【解析】建立平面直角坐标系，将向量的点求最值乘转换成求三角函数的最值即可．【解答】解：已知P是半径为2，圆心角为π3的一段圆弧AB上一点，AB→=2BC→，以圆心为原点，AB垂直平分线所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则：A(−1, √3)，B(1, √3)，C(2,√3)，由题设：P(2cosθ, 2sinθ)，π3≤θ≤2π3，则PC→⋅PA→=(2−2 cosθ, √3−2sinθ)⋅(−1−2cosθ, √3−2sinθ) =5−2cosθ−4√3sinθ=5−2√13sin(θ+φ)，其中0<tanφ=√36<√33，所以0<φ<π6，当θ=π2−φ时，则PC→⋅PA→的最小值为5−2√13.故答案为：5−2√13.14. 己知实数a，b，满足e a+c+e2b−c−1≤a+2b+1（e为自然对数的底数），则a2+ b2的最小值是________．【答案】15【考点】指、对数不等式的解法利用导数研究函数的单调性函数最值的应用【解析】通过题意分析先由构造新函数求设u(x)＝e x−(x+1)，而得可知u(x)≥u(0)，利用题设和不等式性质得到a，b与c的关系，进而求出答案．【解答】解：由题意设新函数u(x)，设u(x)=e x−(x+1)，则u′(x)=e x−1，可知u(x)≥u(0)=0，即e x≥x+1，由不等式性质可知e a+c+e2b−c−1≥a+c+1+2b−c=a+2b+1，当且仅当a+c=2b−c−1=0时取等号，∵e a+c+e2b−c−1≤a+2b+1（为自然对数的底数），即有：e a+c+e2b−c−1=a+c+1，即：a+c=2b−c−1=0,∴a=−c，b=c+12,∴a2+b2=c2+(c+1)24=54c2+c2+14=54(c+15)2+15≥15，当且仅当c=−15时，取等号，则a2+b2的最小值是：15.故答案为：15.二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.己知向量a→=(sinθ, cosθ−2sinθ)，b→=(1, 2)．(1)若a→ // b→，求sinθ⋅cosθ1+3cos2θ的值；(2)若|a→|=|b→|，0<θ<π，求θ的值．【答案】解：(1)∵a→ // b→，∴2sinθ=cosθ−2sinθ，∴4sinθ=cosθ，∵cosθ≠0，∴tanθ=14，∴sinθ⋅cosθ1+3cos2θ=sinθ⋅cosθsin2θ+4cos2θ=tanθtan2θ+4=465.(2)∵|a→|=|b→|，∴sin2θ+(cosθ−2sinθ)2=5，∴1−4sinθcosθ+4sin2θ=5，∴−2sin2θ+2(1−cos2θ)=4，∴sin2θ+cos2θ=−1，∴sin(2θ+π4)=−√22，∵0<θ<π，∴π4<2θ+π4<9π4，∴2θ+π4=5π4或2θ+π4=7π4，∴θ=π2或θ=3π4．【考点】二倍角的正弦公式二倍角的余弦公式任意角的三角函数平面向量数量积的性质及其运算律向量的模同角三角函数间的基本关系【解析】（1）由共线定理结合齐次式弦化切可求；（2）由数量积运算性质结合三角函数的恒等变换得sin(2θ+π4)=−√22，再结合三角函数的性质可得到结果．【解答】解：(1)∵a→ // b→，∴2sinθ=cosθ−2sinθ，∴4sinθ=cosθ，∵cosθ≠0，∴tanθ=14，∴sinθ⋅cosθ1+3cos2θ=sinθ⋅cosθsin2θ+4cos2θ=tanθtan2θ+4=465.(2)∵|a→|=|b→|，∴sin2θ+(cosθ−2sinθ)2=5，∴1−4sinθcosθ+4sin2θ=5，∴−2sin2θ+2(1−cos2θ)=4，∴sin2θ+cos2θ=−1，∴sin(2θ+π4)=−√22，∵0<θ<π，∴π4<2θ+π4<9π4，∴2θ+π4=5π4或2θ+π4=7π4，∴θ=π2或θ=3π4．如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是平行四边形，平面PBD⊥平面ABCD，PB= PD，PA⊥PC，CD⊥PC，O，M分别是BD，PC的中点，连结OM．求证：(1)OM // 平面PAD；(2)OM⊥平面PCD．【答案】证明：(1)连结AC，因为ABCD是平行四边形，所以O为AC的中点．在△PAC中，因为O，M分别是AC，PC的中点，所以OM // PA．因为OM平面PAD，PA⊂平面PAD，所以OM // 平面PAD．(2)连结PO．因为O是BD的中点，PB=PD，所以PO⊥BD，又因为平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD=BD，PO⊂平面PBD，所以PO⊥平面ABCD，从而PO⊥CD，又因为CD⊥PC，PC∩PO=P，PC⊂平面PAC，PO⊂平面PAC，所以CD⊥平面PAC，因为OM⊂平面PAC，所以CD⊥OM，因为PA⊥PC，OM // PA，所以OM⊥PC，又因为CD⊂平面PCD，PC⊂平面PCD，CD∩PC=C，所以OM⊥平面PCD．【考点】直线与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】（1）连结AC，由三角形中位线的性质可得OM // PA，由OM平面PAD，PA⊂平面PAD，即可判定OM // 平面PAD．（2）连结PO，可证PO⊥BD，由面面垂直的性质可证明PO⊥平面ABCD，可得PO⊥CD，又CD⊥PC，PC∩PO＝P，PC⊂平面PAC，PO⊂平面PAC，可证CD⊥平面PAC．从而证明CD⊥OM，OM⊥PC，又由CD⊂平面PCD，PC⊂平面PCD，CD∩PC＝C，即可判定OM⊥平面PCD．【解答】证明：(1)连结AC，因为ABCD是平行四边形，所以O为AC的中点．在△PAC中，因为O，M分别是AC，PC的中点，所以OM // PA．因为OM平面PAD，PA⊂平面PAD，所以OM // 平面PAD．(2)连结PO．因为O是BD的中点，PB=PD，所以PO⊥BD，又因为平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD=BD，PO⊂平面PBD，所以PO⊥平面ABCD，从而PO⊥CD，又因为CD⊥PC，PC∩PO=P，PC⊂平面PAC，PO⊂平面PAC，所以CD⊥平面PAC，因为OM⊂平面PAC，所以CD⊥OM，因为PA⊥PC，OM // PA，所以OM⊥PC，又因为CD⊂平面PCD，PC⊂平面PCD，CD∩PC=C，所以OM⊥平面PCD．己知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12，P是椭圆C 上的一个动点，且△PF 1F 2面积的最大值为√3． (1)求椭圆C 的方程；(2)设斜率不为零的直线PF 2与椭圆C 的另一个交点为Q ，且PQ 的垂直平分线交y 轴于点T(0,18)，求直线PQ 的斜率．【答案】解：(1)因为椭圆离心率为12，当P 为C 的短轴顶点时，△PF 1F 2的面积有最大值√3， 所以{c a=12a 2=b 2+c212×2c ×b =√3，所以{a =2b =√3c =1 ， 故椭圆C 的方程为：x 24+y 23=1.(2)设直线PQ 的方程为y =k(x −1)， 当k ≠0时，y =k(x −1)代入x 24+y 23=1，得：(3+4k 2)x 2−8k 2x +4k 2−12=0，设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，线段PQ 的中点为N(x 0, y 0)， x 0=x 1+x 22=4k 23+4k 2，y 0=y 1+y 22=k(x 0−1)=−3k3+4k 2，即N(4k 23+4k 2, −3k3+4k 2)． 因为TN ⊥PQ ，则k TN ⋅k PQ =−1， 所以−3k 3+4k 2−184k 23+4k 2⋅k =−1，化简得4k 2−8k +3=0，解得k =12或k =32． 【考点】 椭圆的离心率直线与椭圆结合的最值问题 椭圆的标准方程 斜率的计算公式 【解析】（1）因为椭圆离心率为12，当P 为C 的短轴顶点时，△PF 1F 2的面积有最大值√3，由此列方程组可解得a ，b ，c ．（2）设直线PQ 的方程为y ＝k(x −1)，当k ≠0时，y ＝k(x −1)代入x 24+y 23=1，得：(3+4k 2)x 2−8k 2x +4k 2−12＝0，得到PQ 的中点N 的坐标后利用TN ⊥PQ ，则k TN ⋅k PQ ＝−1，所以−3k 3+4k 2−184k 23+4k 2⋅k ＝−1，可解得．【解答】解：(1)因为椭圆离心率为12，当P 为C 的短轴顶点时，△PF 1F 2的面积有最大值√3，所以{c a=12a 2=b 2+c 212×2c ×b =√3，所以{a =2b =√3c =1 ，故椭圆C 的方程为：x 24+y 23=1.(2)设直线PQ 的方程为y =k(x −1)， 当k ≠0时，y =k(x −1)代入x 24+y 23=1，得：(3+4k 2)x 2−8k 2x +4k 2−12=0，设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，线段PQ 的中点为N(x 0, y 0)， x 0=x 1+x 22=4k 23+4k 2，y 0=y 1+y 22=k(x 0−1)=−3k3+4k 2，即N(4k 23+4k 2, −3k3+4k 2)．因为TN ⊥PQ ，则k TN ⋅k PQ =−1， 所以−3k 3+4k 2−184k 23+4k 2⋅k =−1，化简得4k 2−8k +3=0，解得k =12或k =32．如图为一块边长为2km 的等边三角形地块ABC ，为响应国家号召，现对这块地进行绿化改造，计划从BC 的中点D 出发引出两条成60∘角的线段DE 和DF ，与AB 和AC 围成四边形区域AEDF ，在该区域内种上草坪，其余区域修建成停车场，设∠BDE =α．(1)当α=60∘时，求绿化面积；(2)试求地块的绿化面积S(α)的取值范围． 【答案】解：(1)当α=60∘时，DE // AC ，DF // AB ，四边形AEDF 为平行四边形， △BDE 和△CDF 都为边长为1km 的等边三角形，面积为√34km 2，绿化面积√34×22−2×√34=√32km 2.(2)由题意可得，30∘<α<90∘，在△BDE 中，∠BED =120∘−α，由正弦定理可得，BEsinα=1sin(120∘−α)， ∴ BE =sinαsin(120∘−α)，∴CF=sin(120∘−α)sinα，∴BE+CF=sin(120∘−α)sinα+sinαsin(120∘−α)=sin2(120∘−α)+sin2αsinα⋅sin(120∘−α)，=(√32cosα+12sinα)2+sin2αsinα⋅(12sinα+√32cosα)=134√32sinαcosα+12sin2α＝134√34sin2α−14cos2α+14=1+32×1sin(2α−30∘)+12，∴S(α)=S△ABC −S△BDE−S△CDF=√3−√34(BE+CF)=3√34−3√38⋅112+sin(2α−30∘)(30∘<α<90∘)，∵12<sin(2α−30∘)≤1，1<sin(2α−30∘)+12≤32，∴23≤112+sin(2α−30∘)<1，∴3√38<S(α)≤√32，∴ 地块的绿化面积S(α)的取值范围(3√38,√3 2].【考点】两角和与差的正弦公式三角形的面积公式解三角形正弦函数的定义域和值域【解析】（1）当α＝60o时，DE // AC，DF // AB，四边形AEDF为平行四边形，△BDE和△CDF都为边长为1km的等边三角形，结合已知即可求解；（2）由题意可得，30∘<α<90∘，在△BDE中，由正弦定理可表示BE，同理可得CF，然后结合和差角公式及同角平方关系对BE+CF进行化简，而s(α)＝s△ABC−s△BDE−s CDF=√3−√34(BE+CF)，代入结合正弦函数的性质可求．【解答】解：(1)当α=60∘时，DE // AC，DF // AB，四边形AEDF为平行四边形，△BDE和△CDF都为边长为1km的等边三角形，面积为√34km2，绿化面积√34×22−2×√34=√32km2.(2)由题意可得，30∘<α<90∘，在△BDE中，∠BED=120∘−α，由正弦定理可得，BEsinα=1sin(120∘−α)，∴BE=sinαsin(120∘−α)，∴ CF =sin(120∘−α)sinα，∴ BE +CF =sin(120∘−α)sinα+sinαsin(120∘−α)=sin 2(120∘−α)+sin 2αsinα⋅sin(120∘−α)，=(√32cosα+12sinα)2+sin 2αsinα⋅(12sinα+√32cosα)=134√32sinαcosα+12sin 2α ＝134√34sin2α−14cos2α+14=1+32×1sin(2α−30∘)+12，∴ S(α)=S △ABC −S △BDE −S △CDF =√3−√34(BE +CF)=3√34−3√38⋅112+sin(2α−30∘)(30∘<α<90∘)，∵ 12<sin(2α−30∘)≤1，1<sin(2α−30∘)+12≤32， ∴ 23≤112+sin(2α−30∘)<1，∴ 3√38<S(α)≤√32，∴ 地块的绿化面积S(α)的取值范围(3√38,√32].数列{a n }的前n 项和记为A n ，且A n =n(a 1+a n )2，数列{b n }是公比为q 的等比数列，它的前n 项和记为B n ．若a 1=b 1≠0，且存在不小于3的正整数k ，m ，使a k =b m .(1)若a 1=1，a 3=5，求a 2；(2)证明：数列{a n }为等差数列；(3)若q =2，是否存在整数m ，k ，使A k =86B m ，若存在，求出m ，k 的值；若不存在，说明理由． 【答案】 解：(1)由A n =n(a 1+a n )2，得A 3=a 1+a 2+a 3=3(a 1+a 3)2，∵ a 1=1，a 3=5，∴ a 2=3. (2)由A n =n(a 1+a n )2，得A n+1=(n+1)(a 1+a n+1)2，两式相减，得a n+1=a 1+(n+1)a n+1−na n2，∴ (n −1)a n+1−na n +a 1=0，∴ na n+2−(n +1)a n+1+a 1=0， 两式相减，得2a n+1=a n +a n+2， ∴ 数列{a n }为等差数列.(3)由题意，得a k =b m =a 1⋅2m−1，∵ A k =86B m ，∴ (a 1+a k )k2=86(a 1−qa m )1−q，∴(a 1+a 1⋅2m−1)k2=86(a 1−a 1⋅2m )1−q，∴ 344−k =5162m−1+1，∵ 29=512，且m ≥3，∴ 2≤m −1≤9， 又∵ 516=4×3×43，且2m−1+1为奇数，∴ 2m−1+1=129时，5162m−1+1是整数，此时m −1=7， ∴ m =8，k =340． 【考点】 等差数列数列的函数特性 【解析】（1）根据a 1＝1，a 3＝5和A n =n(a 1+a n )2，取n ＝3，可直接求出a 2；（2）由A n =n(a 1+a n )2，得A n+1=(n+1)(a 1+a n+1)2，利用作差法可得2a n+1＝a n +a n+2，从而证明数列{a n }为等差数列；（3）根据a k =b m =a 1⋅2m−1，A k ＝86B m 可得关于m ，k 的方程，再由m ，k 为整数，可最终得到m ，k 的值． 【解答】 解：(1)由A n =n(a 1+a n )2，得A 3=a 1+a 2+a 3=3(a 1+a 3)2，∵ a 1=1，a 3=5，∴ a 2=3. (2)由A n =n(a 1+a n )2，得A n+1=(n+1)(a 1+a n+1)2，两式相减，得a n+1=a 1+(n+1)a n+1−na n2，∴ (n −1)a n+1−na n +a 1=0，∴ na n+2−(n +1)a n+1+a 1=0， 两式相减，得2a n+1=a n +a n+2， ∴ 数列{a n }为等差数列.(3)由题意，得a k =b m =a 1⋅2m−1， ∵ A k =86B m ，∴ (a 1+a k )k2=86(a 1−qa m )1−q，∴(a 1+a 1⋅2m−1)k2=86(a 1−a 1⋅2m )1−q，∴ 344−k =5162m−1+1，∵ 29=512，且m ≥3，∴ 2≤m −1≤9， 又∵ 516=4×3×43，且2m−1+1为奇数，∴ 2m−1+1=129时，5162+1是整数，此时m −1=7，∴ m =8，k =340．若函数f(x)+g(x)和f(x)⋅g(x)同时在x =t 处取得极小值，则称f(x)和g(x)为一对“P(t)函数”．(1)试判断f(x)=x 与g(x)=x 2+ax +b 是否是一对“P(t)函数”；(2)若f(x)=e x 与g(x)=x 2+ax +1是一对“P(t)函数”． ①求a 和t 的值；②若a <0，若对于任意x ∈[1, +∞)，恒有f(x)+g(x)<m ⋅f(x)g(x)，求实数m 的取值范围． 【答案】解：(1)令ℎ1(x)=f(x)+g(x),ℎ2(x)=f(x)⋅g(x)， 则ℎ′1(x)=2x +a +1，ℎ′2(x)=3x 2+2ax +b ． 若f(x)=x 与g(x)=x 2+ax +b 是一对“P(t)函数”，则{ℎ1′(1)=a +3=0ℎ2′(1)=2a +3+b =0 ，∴ {a =−3b =3此时，因ℎ2′(x)=3x 2−6x +3=3(x −1)2≥0，ℎ2′(x)无极小值． 故f(x)=x 与g(x)=x 2+ax +b 不是一对“P(t)函数”．(2)①ℎ1(x)=e x +x 2+ax +1，ℎ2(x)=e x ⋅(x 2+ax +1)，ℎ′1(x)=e x +2x +a ，ℎ′2(x)=e x [x 2+(a +2)x +a +1]=e x ⋅(x +1)(x +a +1)． 若f(x)=e x 与g(x)=x 2+ax +1是一对“P(t)函数”，由ℎ′2(x)=e x ⋅(x +1)(x +a +1)=0，得x 1=−1，x 2=−a −1， 若a >0，则有因为ℎ2(x)在x =t 处取得极小值，所以t =−1， 从而ℎ′1(−1)=e −1−2+a =0，a =2−1e ， 经验证知ℎ1(x)=e x +x 2+(2−1e )x +1， 在x =−1处取得极小值，∴ {a =2−1e ,t =−1,若a <0，则有因为ℎ2(x)在x =t 处取得极小值，所以t =−a −1， 从而ℎ′1(−a −1)=e −a−1−a −2=0， 令φ(a)=e −a−1−a −2，a <0，φ(a)在(−∞, 0)是减函数，且φ(−1)=0，所以a =−1，从而{a =−1,t =0,经验证知ℎ1=(x)=e x +x 2−x +1在x =0处取得极小值，所以{a =−1,t =0, 当a =0时，ℎ′2(x)=e x ⋅(x +1)2≥0，ℎ2(x)是增函数，无极小值，与题设不符， 综上所述：{a =2−1e ,t =−1,或{a =−1,t =0, ②∵ a <0，由①结论可知，f(x)=e x 与g(x)=x 2−x +1， ∴ 易见f(x)>0，g(x)>0，故不等式f(x)+g(x)<m ⋅f(x)g(x)等价于：1f(x)+1g(x)<m ， 令H(x)=1f(x)+1g(x)，则H(x)max <m ． ∵ x ≥1，∴ H(x)单调递减，∴ H(x)max =H(1)=1e +1，从而m >1e +1．【考点】利用导数研究不等式恒成立问题 函数恒成立问题利用导数研究函数的极值 【解析】（1）设立两个新函数ℎ1(x)＝f(x)+g(x)，ℎ2(x)＝f(x)⋅g(x)，分别求导，看在x ＝1处是否有极小值，从而得出判断．（2）①设立两个新函数ℎ1(x)＝e x +x 2+ax +1，ℎ2(x)＝e x ⋅(x 2+ax +1)，分别求导，由f(x)＝e x 与g(x)＝x 2+ax +1是一对“P(t)函数，对a 进行分类讨论，看极小值从而得到结论．②由①的结论，对不等式进行转化，根据恒成立的条件进行求解即可． 【解答】解：(1)令ℎ1(x)=f(x)+g(x),ℎ2(x)=f(x)⋅g(x)， 则ℎ′1(x)=2x +a +1，ℎ′2(x)=3x 2+2ax +b ． 若f(x)=x 与g(x)=x 2+ax +b 是一对“P(t)函数”，则{ℎ1′(1)=a +3=0ℎ2′(1)=2a +3+b =0 ，∴ {a =−3b =3此时，因ℎ2′(x)=3x 2−6x +3=3(x −1)2≥0，ℎ2′(x)无极小值． 故f(x)=x 与g(x)=x 2+ax +b 不是一对“P(t)函数”．(2)①ℎ1(x)=e x +x 2+ax +1，ℎ2(x)=e x ⋅(x 2+ax +1)，ℎ′1(x)=e x +2x +a ，ℎ′2(x)=e x [x 2+(a +2)x +a +1]=e x ⋅(x +1)(x +a +1)． 若f(x)=e x 与g(x)=x 2+ax +1是一对“P(t)函数”，由ℎ′2(x)=e x ⋅(x +1)(x +a +1)=0，得x 1=−1，x 2=−a −1， 若a >0，则有因为ℎ2(x)在x =t 处取得极小值，所以t =−1， 从而ℎ′1(−1)=e −1−2+a =0，a =2−1e ，经验证知ℎ1(x)=e x +x 2+(2−1e )x +1， 在x =−1处取得极小值，∴ {a =2−1e ,t =−1,若a <0，则有因为ℎ2(x)在x =t 处取得极小值，所以t =−a −1， 从而ℎ′1(−a −1)=e −a−1−a −2=0， 令φ(a)=e −a−1−a −2，a <0，φ(a)在(−∞, 0)是减函数，且φ(−1)=0，所以a =−1，从而{a =−1,t =0,经验证知ℎ1=(x)=e x +x 2−x +1在x =0处取得极小值，所以{a =−1,t =0, 当a =0时，ℎ′2(x)=e x ⋅(x +1)2≥0，ℎ2(x)是增函数，无极小值，与题设不符， 综上所述：{a =2−1e ,t =−1,或{a =−1,t =0, ②∵ a <0，由①结论可知，f(x)=e x 与g(x)=x 2−x +1， ∴ 易见f(x)>0，g(x)>0，故不等式f(x)+g(x)<m ⋅f(x)g(x)等价于：1f(x)+1g(x)<m ， 令H(x)=1f(x)+1g(x)，则H(x)max <m ． ∵ x ≥1，∴ H(x)单调递减，∴ H(x)max =H(1)=1e +1，从而m >1e +1．【选做题】本题包括21，22，23三小题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修4-2：矩阵与变换]变换T 1是逆时针旋转π2的旋转变换，对应的变换矩阵是M 1；变换T 2对应用的变换矩阵是M 2=[1101 ]．求曲线x 2+y 2=1的图象依次在T 1，T 2变换的作用下所得曲线的方程． 【答案】解：旋转变换矩阵M 1=[0−110]， 记M =M 1M 2=[1101][0−110]=[1−110]， 设[x y ]是变换后曲线上任意一点，与之对应的变换前的点是[x 0y 0]，则M [x 0y 0]=[x y ]，也就是{x =x 0−y 0y =x0 ，即{x 0=yy 0=y −x ，代入x 02+y 02=1中，得y 2+(y −x)2=1， ∴ 所求曲线的方程为：x 2−2xy +2y 2=1． 【考点】矩阵变换的性质 【解析】旋转变换矩阵M 1=[0−110]，记M ＝M 1M 2，设[x y ]是变换后曲线上任意一点，与之对应的变换前的点是[x 0y 0]，则M [x 0y 0]=[x y ]，然后可得{x 0=y y 0=y −x ，代入x 02+y 02=1中即可得到曲线的方程．【解答】解：旋转变换矩阵M 1=[0−110]， 记M =M 1M 2=[1101][0−110]=[1−110]， 设[x y ]是变换后曲线上任意一点，与之对应的变换前的点是[x 0y 0]，则M [x 0y 0]=[x y ]，也就是{x =x 0−y 0y =x0 ，即{x 0=yy 0=y −x ， 代入x 02+y 02=1中，得y 2+(y −x)2=1， ∴ 所求曲线的方程为：x 2−2xy +2y 2=1． [选修4-4：极坐标与参数方程]在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(sinθ+√3cosθ)=4√3，设点P 是曲线c:x 2+y 29=1上的动点，求P 到直线l 距离的最大值． 【答案】解：直线l:√3x +y −4√3=0， 设点P(cosα, sinα)， d =|3sinα+√3cosα−4√3|2=|2√3sin(α+π6)−4√3|2≤|−2√3−4√3|2=3√3，当且仅当α+π6=2kπ−π2，即α=2kπ−2π3(k ∈Z)时取等号，P 到直线l 的距离的最大值为3√3． 【考点】圆的极坐标方程 【解析】利用点到直线的距离以及三角函数的性质可得． 【解答】解：直线l:√3x +y −4√3=0， 设点P(cosα, sinα)， d =|3sinα+√3cosα−4√3|2=|2√3sin(α+π6)−4√3|2≤|−2√3−4√3|2=3√3，当且仅当α+π6=2kπ−π2，即α=2kπ−2π3(k∈Z)时取等号，P到直线l的距离的最大值为3√3．[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)=|x−2|，g(x)=|x+1|−x．(1)解不等式f(x)>g(x)；(2)若存在实数x，使不等式m−g(x)≥f(x)+x(m∈R)能成立，求实数m的最小值．【答案】解：不等式f(x)>g(x)可化为|x−2|+x>|x+1|，当x<−1时，−(x−2)+x>−(x+1)，解得x>−3，即−3<x<−1；当−1≤x≤2时，−(x−2)+x>x+1，解得x<1，即−1≤x<1；当x>2时，x−2+x>x+1，解得x>3，即x>3，综上所述，不等式f(x)>g(x)的解集为{x|−3<x<1或x>3}．(2)由不等式m−g(x)≥f(x)+x(m∈R)可得m≥|x−2|+|x+1|，∴m≥(|x−2|+|x+1|)min，∵|x−2|+|x+1|≥|x−2−(x+1)|=3，∴m≥3，故实数m的最小值是3．【考点】函数恒成立问题绝对值不等式【解析】（1）通过讨论x的范围，去掉绝对值，求出各个区间的x的范围，取并集即可；（2）问题转化为m≥(|x−2|+|+1|)min，根据绝对值的性质求出m的最小值即可．【解答】解：不等式f(x)>g(x)可化为|x−2|+x>|x+1|，当x<−1时，−(x−2)+x>−(x+1)，解得x>−3，即−3<x<−1；当−1≤x≤2时，−(x−2)+x>x+1，解得x<1，即−1≤x<1；当x>2时，x−2+x>x+1，解得x>3，即x>3，综上所述，不等式f(x)>g(x)的解集为{x|−3<x<1或x>3}．(2)由不等式m−g(x)≥f(x)+x(m∈R)可得m≥|x−2|+|x+1|，∴m≥(|x−2|+|x+1|)min，∵|x−2|+|x+1|≥|x−2−(x+1)|=3，∴m≥3，故实数m的最小值是3．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.在四棱锥P−ABCD中，AB // CD，AB=2CD=2BC=2AD=4，∠DAB=60∘，AE=BE，△PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面．(1)求二面角P −EC −D 的余弦值；(2)线段PC 上是否存在一点M ，使得异面直线DM 和PE 所成的角的余弦值为√68?若存在，指出点M 的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】解：(1)设O 是AD 中点，△PAD 为正三角形，则PO ⊥AD ，平面PAD ⊥平面ABCD ， PO ⊥平面ABCD ，又AD =AE =2，∠DAB =60∘， ∴ △ADE 为正三角形，OE ⊥AD ，以O 为原点，OA 为x 轴，OE 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则P(0, 0, √3)，E(0, √3, 0)，C(−2, √3, 0)，设平面PEC 法向量为n →=(x, y, z)，PC →=(−2, √3, −√3)，PE →=(0, √3, −√3)， 则{n →⋅PC →=−2x +√3y −√3z =0n ⋅PE →=√3y −√3z =0 ，取y =1，得n →=(0, 1, 1)， 平面EDC 的法向量m →=(0, 0, 1)， cos <m →，n →>=m →⋅n→|m|→|n|→=√22， ∴ 二面角P −EC −D 的余弦值为√22．(2)设PM →=λPC →(0≤λ≤1)，则PM →=(−2λ,√3λ,−√3λ)， DM →=DP →+PM →=(1−2λ,√3λ,√3−√3λ)，PE →=(0,√3,−3→λ)， 所以|cos <DM →,PE →>|=|DM →⋅PE→|DM||PE|→→|=√6√10λ2−10λ+4=√68，所以λ=13或λ=23，所以存在点M 为线段PC 的三等分点． 【考点】二面角的平面角及求法向量的共线定理 【解析】（1）设O 是AD 中点，△PAD 为正三角形，则PO ⊥AD ，PO ⊥平面ABCD ，推导出OE ⊥AD ，以O 为原点，OA 为x 轴，OE 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用同量法能求出二面角P −EC −D 的余弦值．（2）设PM →=λPC →(0≤λ≤1)，根据|cos <DM →,PE →>|=√68，求出λ即可判断M 的位置．【解答】解：(1)设O 是AD 中点，△PAD 为正三角形，则PO ⊥AD ，平面PAD ⊥平面ABCD ， PO ⊥平面ABCD ，又AD =AE =2，∠DAB =60∘， ∴ △ADE 为正三角形，OE ⊥AD ，以O 为原点，OA 为x 轴，OE 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则P(0, 0, √3)，E(0, √3, 0)，C(−2, √3, 0)，设平面PEC 法向量为n →=(x, y, z)，PC →=(−2, √3, −√3)，PE →=(0, √3, −√3)， 则{n →⋅PC →=−2x +√3y −√3z =0n ⋅PE →=√3y −√3z =0 ，取y =1，得n →=(0, 1, 1)， 平面EDC 的法向量m →=(0, 0, 1)， cos <m →，n →>=m →⋅n→|m|→|n|→=√22， ∴ 二面角P −EC −D 的余弦值为√22．(2)设PM →=λPC →(0≤λ≤1)，则PM →=(−2λ,√3λ,−√3λ)， DM →=DP →+PM →=(1−2λ,√3λ,√3−√3λ)，PE →=(0,√3,−3→λ)， 所以|cos <DM →,PE →>|=|DM →⋅PE→|DM||PE|→→|=√6√10λ2−10λ+4=√68，所以λ=13或λ=23，所以存在点M 为线段PC 的三等分点．已知非空集合M 满足M ⊆{0, 1, 2, ..., n}(n ≥2, n ∈N +)．若存在非负整数k(k ≤n)，使得当a ∈M 时，均有2k −a ∈M ，则称集合M 具有性质P ．设具有性质P 的集合M 的个数为f(n)． (1)求f(2)的值；(2)求f(n)的表达式． 【答案】解：(1)当n =2时，M ={0}，{1}，{2}，{0, 2}，{0, 1, 2}具有性质P ， 对应的k 分别为0，1，2，1，1，故f(2)=5．(2)可知当n =k 时，具有性质P 的集合M 的个数为f(t)， 则当n =k +1时，f(t +1)=f(t)+g(t +1)，其中g(t +1)表达t +1∈M 也具有性质P 的集合M 的个数， 下面计算g(t +1)关于t 的表达式， 此时应有2k ≥t +1，即k ≥t+12，故对n =t 分奇偶讨论，①当t 为偶数时，t +1为奇数，故应该有k ≥t+22，则对每一个k ，t +1和2k −t −1必然属于集合M ，且t 和2k −t ，…，k 和k 共有t +1−k 组数，每一组数中的两个数必然同时属于或不属于集合M ，故对每一个k ，对应的具有性质P 的集合M 的个数为C t+1−k 0+C t+1−k 1+⋯+C t+1−k t+1−k =2t+1−k ，所以g(t +1)=2t2+2t−22+⋯+21+1=2×2t 2−1，②当t 为奇数时，t +1为偶数，故应该有k ≥t+12，同理g(t +1)=2t+12+2t−12+⋯+21+1=2√2×2t 2−1，综上，可得f(t +1)={f(t)+2×2t 2−1,t 为偶数f(t)+2√2×2t2−1,t 为奇数 又f(2)=5，由累加法解得f(t)={6×2t2−t −5,t 为偶数4×2t+12−t −5,t 为奇数 即f(n)={6×2n 2−n −5,n 为偶数4×2n+12−n −5,n 为奇数.．【考点】集合中元素的个数 排列、组合的应用函数解析式的求解及常用方法 集合的含义与表示 【解析】（1）当n ＝2时，M ＝{0}，{1}，{2}，{0, 2}，{0, 1, 2}具有性质P ，求出对应的k ，即可得出．（2）可知当n ＝k 时，具有性质P 的集合M 的个数为f(t)，当n ＝k +1时，f(t +1)＝f(t)+g(t +1)，其中g(t +1)表达t +1∈M 也具有性质P 的集合M 的个数，计算g(t +1)关于t 的表达式，此时应有2k ≥t +1，即k ≥t+12，故对n ＝t 分奇偶讨论，利用集合M 具有性质P 即可得出． 【解答】解：(1)当n =2时，M ={0}，{1}，{2}，{0, 2}，{0, 1, 2}具有性质P ， 对应的k 分别为0，1，2，1，1，故f(2)=5．(2)可知当n =k 时，具有性质P 的集合M 的个数为f(t)， 则当n =k +1时，f(t +1)=f(t)+g(t +1)，其中g(t +1)表达t +1∈M 也具有性质P 的集合M 的个数， 下面计算g(t +1)关于t 的表达式， 此时应有2k ≥t +1，即k ≥t+12，故对n =t 分奇偶讨论，①当t 为偶数时，t +1为奇数，故应该有k ≥t+22，则对每一个k ，t +1和2k −t −1必然属于集合M ，且t 和2k −t ，…，k 和k 共有t +1−k 组数，每一组数中的两个数必然同时属于或不属于集合M ，故对每一个k ，对应的具有性质P 的集合M 的个数为C t+1−k 0+C t+1−k 1+⋯+C t+1−k t+1−k =2t+1−k ，所以g(t +1)=2t2+2t−22+⋯+21+1=2×2t 2−1，②当t 为奇数时，t +1为偶数，故应该有k ≥t+12，同理g(t +1)=2t+12+2t−12+⋯+21+1=2√2×2t2−1，综上，可得f(t +1)={f(t)+2×2t2−1,t 为偶数f(t)+2√2×2t2−1,t 为奇数 又f(2)=5，由累加法解得f(t)={6×2t 2−t −5,t 为偶数4×2t+12−t −5,t 为奇数 即f(n)={6×2n2−n −5,n 为偶数4×2n+12−n −5,n 为奇数.．。
江苏省苏州市2019届高三最后一卷高三数学练习卷 及答案含附加题
高三数学练习卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上.1. 己知集合则= ▲ .2. 设i是虚数单位，复数的模为1，则正数a的值为▲ .3. 为了解某团战士的体重情况，采用随机抽样的方法，将样本体重数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图，己知图中从左到右前三个小组频率之比为1：2：3，第二小组频数为12，则全团共抽取人数为▲ .4. 执行如图所示的程序框图，输出的k的值为▲ .5. 设记“以（x，y)为坐标的点落在不等式所表示的平面区域内”为事件A，则事件A发生的概率为▲ .6.已知△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若a>b且则A= ▲ .7. 已知等比数列满足且则▲.8. 己知函数若则实数a的值是▲ .9. 如图，在一个圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则此圆柱底面的半径是▲ cm.10.在平面直角坐标系中，己知点A，F分别为椭圆的右顶点和右焦点，过坐标原点O的直线交椭圆C于P，Q两点，线段AP的中点为M，若Q，F，M三点共线，则椭圆C的离心率为▲ .11. 设函数若且则的取值范围是▲ .12.已知圆上存在两点A，B，P为直线x=5上的一个动点，且满足AP⊥BP，则点P的纵坐标取值范围是▲ .13. 如图，已知P是半径为2，圆心角为的一段圆弧AB上一点，则的最小值为▲ .14. 己知实数a，b，c满足（e为自然对数的底数），则的最小值是▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分14分）己知向量(1)若a∥b，求的值；(2)若求的值.16.（本小题满分14分）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，平面PBD⊥平面ABCD，PB= PD，P A⊥PC，CD⊥PC，O、M分别是BD，PC的中点，连结OM.求证：(1) OM∥平面P AD；(2) OM⊥平面PCD.己知椭圆的左、右焦点分别为离心率为，P 是椭圆C上的一个动点，且面积的最大值为(1)求椭圆C的方程；(2)设斜率不为零的直线与椭圆C的另一个交点为Q，且PQ的垂直平分线交y轴于点求直线PQ的斜率.18.（本小题满分16分）如图为一块边长为2km的等边三角形地块ABC，为响应国家号召，现对这块地进行绿化改造，计划从BC的中点D出发引出两条成60°角的线段DE和DF，与AB和AC围成四边形区域AEDF，在该区域内种上草坪，其余区域修建成停车场，设∠(1)当时，求绿化面积；(2)试求地块的绿化面积的取值范围.数列的前n项和记为，且数列是公比为q的等比数列，它的前n项和记为若且存在不小于3的正整数k，m，使(1)若求(2)证明：数列为等差数列；(3)若是否存在整数m，k，使若存在，求出m，k的值；若不存在，说明理由.20.（本小题满分16分）若函数和同时在x=t处取得极小值，则称和为一对“P(t)函数”.(1)试判断与是否是一对“P(1)函数”；(2)若与是一对“P(t)函数”.①求a和t的值；②若a<0，若对于任意∞恒有求实数m的取值范围.高三数学练习卷附加题21. 【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A选修4-2：矩阵与变换变换是逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是变换对应用的变换矩阵是求曲线的图象依次在变换的作用下所得曲线的方程.B.选修4-4:极坐标与参数方程在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为设点P是曲线上的动点，求P到直线l距离的最大值.C.选修4-5:不等式选讲已知函数若存在实数x，使不等式成立，求实数m的最小值，【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.（本小题满分10分）在四棱锥中∠△P AD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD.(1)求二面角P-EC-D的余弦值；(2)线段PC上是否存在一点M，使得异面直线DM和PE所成的角的余弦值为？若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由.23.（本小题满分10分）已知非空集合M满足M N*若存在非负整数使得当时，均有则称集合M具有性质P，记具有性质P的集合M的个数为（1)求的值；(2)求的表达式.。
2019年江苏省高考最后一卷数学试卷含答案解析
2019江苏高考最后一卷数学一、填空题（本大题共14 小题，每小题 5 分，共70 分）1.已知复数z 的实部为 2 ，虚部为1，则z 的模等于.2.已知集合A1,0,,3，集合B x y x 2，则A B.3.右图 1 是一个算法流程图，若输入x 的值为 4 ，则输出y 的值为.图 2(图 1)4.函数f ( x)12x的定义域为.log 2 ( x1)5.样本容量为 10的一组数据，它们的平均数是5，频率如条形图 2 所示，则这组数据的方差等于．6.设, 是两个不重合的平面，m, n 是两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若n, n || ,m, 则 n || m ；②若m, n， m∥ , n∥，则∥；③若,m, n, n m ，则 n；④若 m,, m∥ n ，则 n∥.其中正确的命题序号为7.若圆( x 3)2( y5) 2r 2上有且只有两个点到直线l : 4x3y 2 的距离等于1，则半径 r 的取值范围是.8. 已知命题P : b, 2 ,f x 2 x b x在 c , 1上为减函数；命题，使得x0.则在命题P Q，P Q，P Q，y 0P Q 中任取一个命题，则取得真命题的概率是12bx c1x 9.若函数f ( x)( a, b, c R) ( a,b, c, d R)，其图象如图x2ax 123 所示，则a b c.图 310.函数f ( x)x 3 a x22a 2 x3 a 的的图象经过四个象限，则22取值范围是．11.在ABC 中,已知角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin Asin C sin B ，则函数b c a cf ( x)cos2 ( xA)sin2 (xA) 在2,3上的单调递增区间是. 22212. “已知关于x的不等式ax2bx c0 的解集为 (1,2)，解关于 x 的不等式cx 2bx a0 .”给出如下的一种解法：1211解：由 ax 2bx c0 的解集为(1,2)，得 a b c0 的解集为 (,1) ，即关于x x2x 的不等式 cx2bx a0的解集为 (1,1) .2参考上述解法：若关于 x 的不等式b x b0 的解集为 (1,1)( 1,1) ，则关于 x 的x a x c32不等式b x b0 的解集为. x a x c13.2019 年第二届夏季青年奥林匹克运动会将在中国南京举行，为了迎接这一盛会，某公司计划推出系列产品，其中一种是写有“青奥吉祥数”的卡片.若设正项数列a n满足n n 1 a n2a n10 ，定义使log2a k为整数的实数k 为“青奥吉祥数” ，则在区间 [1，2019]内的所有“青奥吉祥数之和”为________14.已知f x x2 2 x,0A y y f x, 1x 1 ，3x2x ,，设集合B y y ax,1x 1，若对同一x 的值，总有y1y2，其中 y1A, y2 B ，则实数a的取值范围是二、解答题（本大题共 6 小题，共90 分）15. 在ABC中，角A，B， C的对边分别为 a ，b， c ，向量C，且 m n.2（1）求sin C的值；（ 2）若a2b2 4 a b8，求边c的长度.16.如图 4，在四棱锥P ABCD中，平面PAD平面ABCD△ PAD，AB∥DC，是等边三角形，P已知 BD 2AD 8，AB 2DC 4 5．MD C（1）设M是PC上的一点，证明：平面MBD平面 PAD ；A B （2）求四棱锥P ABCD 的体积．图 417.如图 5， GH 是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH 上的一点 B 的正北方向的 A 处建一仓库，设AB = y km ，并在公路同侧建造边长为x km 的正方形无顶中转站CDEF（其中边EF在 GH 上），现从仓库 A 向 GH 和中转站分别修两条道路AB，AC，已知 AB = ACo1，且∠ ABC = 60 ．（1）求 y 关于 x 的函数解析式；（2）如果中转站四周围墙造价为 1 万元 /km ，两条道路造价为 3 万元 /km ，问： x 取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M 最低？AC DG B F E H公路图 518. 如图 6，椭圆x2y2 1 (a b 0) 过点 P(1,3) ，其左、右焦点分别为F1 , F2，离心率a2b221F1M F2N 0 ．e，M , N是椭圆右准线上的两个动点，且2（1）求椭圆的方程；M （2）求MN的最小值；y（3）以MN为直径的圆 C 是否过定点？请证明你的结论．F1O F2xN（图 6）19.已知函数 f ( x) a x x 2x ln a(a 0, a1).（1）求曲线y f ( x)在点(0, f (0))处的切线方程；（2）求函数 f ( x )的单调增区间；（3）若存在x1, x2[ 1,1] ，使得f ( x1) f ( x2) e 1(e 是自然对数的底数)，求实数a的取值范围．20. 已知数列 {a n}中， a2=a(a 为非零常数 )，其前 n 项和 S n满足 S n=n(a n－ a1 )2(n N*) ．（1）求数列 {a n}的通项公式；（2）若 a=2，且1a m2S n 11 ，求 m、n 的值；4（3）是否存在实数a、 b，使得对任意正整数p，数列 {a n}中满足 a n b p 的最大项恰为第3p 2 项？若存在，分别求出 a 与 b 的取值范围；若不存在，请说明理由．数学Ⅱ（附加题）21A．[选修4-1：几何证明选讲] （本小题满分10 分）如图，从圆 O 外一点 P 引圆的切线PC 及割线 PAB ， C 为切点．C 求证： AP BC AC CP ．O PAB（第 21- A题）21B．已知矩阵M 2 1,3，计算 M2．1 2521C．已知圆C的极坐标方程是4sin，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立x 3 t平面直角坐标系，直线l 的参数方程是2(t 是参数）．若直线 l 与圆 C 相切，求正1y t m2数 m 的值．21D．（本小题满分10 分，不等式选讲）已知不等式 a b2c ≤| x2 1| 对于满足条件 a 2b2 c 21的任意实数a, b, c 恒成立,求实数 x 的取值范围．【必做题】第22、 23 题，每小题10 分，共计20 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时．．．．．．．应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10 分）22. 如图，在四棱锥P－ ABCD 中，PA底面 ABCD，底面ABCD 是边长为 2 的菱形，ABC 60 ， PA 6 ， M 为 PC的中点．（ 1）求异面直线PB 与 MD 所成的角的大小；P（ 2）求平面PCD与平面 PAD所成的二面角的正弦值．MA DB C（第 22 题）23．（本小题满分10 分）袋中共有 8 个球，其中有 3 个白球， 5 个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n 次后，袋中白球的个数记为X n．（1）求随机变量 X2的概率分布及数学期望 E(X2)；（2）求随机变量 X n的数学期望 E(X n)关于 n 的表达式．2019江苏高考最后一卷数学答案一、填空题1.52..1,03.24. (1,2)(2,)5.7.219.4 6. ①③ 7. 8.410.,81(1,)11.0,12. (1,1113.204714.1,0 44)(,1)23提示：1. z 2 i ，则z 2 i ，则 z( 2)2( 1)2 5 .2. B x y2x x 2x 0x x2，又 A1,0,,3 ，所以 A B1,0 .3. 当x4时， 4 3 ，则 x7 ；当 x7时， 7 3 ， x4 ；当 x4时， 4 3 ，x 1 ；当 x1时， 1 3 不成立，则输出y21 2 .4.要使原式有意义，则x101且 x 2 . x1，即 x15.2 出现100.44次，5出现 100.22次，8出现100.4 4 次，所以s214(25)22(55)24(55)27.2 .10m, n 相交时6.逐个判断。
江苏省苏州市2019届高三下学期阶段测试数学试题(含附加题)
江苏省苏州市2019届高三下学期阶段测试2019.3数 学 Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1．设集合A = {1，m }，B = {2，3}，若A ∩B ={3}，则m = ▲ ．2．已知复数z 满足()12i 3i z +=-（其中i 为虚数单位），则||z 的值为 ▲ ． 3．将一颗质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6）先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的的概率是 ▲ ． 4．一支田径队有男运动员人,女运动员人,现按性别用分层抽样的方法,从中抽取位运动员进行健康检查,则男运动员应 抽取 ▲ 人.5．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为▲．6．命题“存在x ∈R ，使x 2+ax ﹣4a ＜0”为假命题，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 7．已知函数的图象如图所示，则该函数的解析式是___▲__.282114sin(),(0,0,)y A x A ωφωφπ=+>><8．若函数)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0>x 时，x x x f ln )(=，则不等式e x f -<)(的解集为▲．9．四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，2AB =，3AD =，PA = 点E 为棱CD 上一点，则三棱锥E －PAB 的体积为 ▲ .10．若函数0,2,()0ln ,≤x x x f x x ax x ⎧+=⎨>-⎩在其定义域上恰有两个零点，则正实数a 的值为▲．11．已知等差数列{}n a 的各项均为正数，1a =1，若10p q -=，则p q a a -=▲.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22(3)2x y +-=，点A 是x 轴上的一个动点，AP ， AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 长的取值范围为▲.13．若x y z ,,均为正实数，且2221x y z ++=，则2(1)2z xyz+的最小值为▲ ．14．设集合{,222,xy t x y M a a t+==+=其中,,,x y t a 均为整数}，则集合M = ▲ . 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15. （本小题满分14分）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对应的三边，已知222b c a bc +=+。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
江苏省苏州市2019届高三数学最后一卷试题（含解析）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A ＝{}02x x <<，B ＝{}1x x >，则A I B ＝ ． 答案：(1，2) 考点：集合的运算 解析：∵02x <<，1x >∴12x <<∴A I B ＝(1，2) 2．设i 是虚数单位，复数i2ia z -=的模为1，则正数a 的值为 ． 答案：3 考点：虚数 解析：i 1i 2i 22a az -==--，因为复数z 的模为1， 所以21144a +=，求得a ＝3． 3．为了解某团战士的体重情况，采用随机抽样的方法．将样本体重数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右前三个小组频率之比为1：2：3，第二小组频数为12，则全团共抽取人数为 ．答案：48考点：频率分布直方图解析：15(0.03750.0125)0.75-⨯+= 212(0.75)6÷⨯＝484．执行如图所示的程序框图，输出的k 的值为 ．答案：7考点：算法初步解析：s 取值由3→9→45，与之对应的k 为3→5→7，所以输出k 是7．5．设x ∈[﹣1，1]，y ∈[﹣2，2]，记“以(x ，y )为坐标的点落在不等式221x y +≥所表示的平面区域内”为事件A ，则事件A 发生的概率为 ． 答案：1﹣8π 考点：几何概型解析：设事件A 发生的概率为P ，P ＝88π-＝1﹣8π． 6．已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，若a ＞b 且sin A cosCa b=，则A ＝ ． 答案：2π考点：三角函数与解三角形解析：因为sin A cosC a b =，所以sin A cosCsin A sin B=，则sinB ＝cosC ，由a ＞b ，则B ，C 都是锐角，则B ＋C ＝2π，所以A ＝2π．7．已知等比数列{}n a 满足112a =，且2434(1)a a a =-，则5a ＝ ．答案：8考点：等比中项 解析：∵2434(1)a a a =-∴2334(1)a a =-，则3a ＝2∴223512812aaa===．8．已知函数221()log(1)1xaxf xx x⎧+≤=⎨->⎩，，，若[(0)]2f f=，则实数a的值是．答案：2考点：分段函数解析：∵0(0)223f=+=∴[(0)](3)log2af f f==∵[(0)]2f f=∴log22a=，解得a＝2．9．如图，在一个圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则此圆柱底面的半径是 cm．答案：4考点：圆柱、球的体积解析：设此圆柱底面的半径是r cm．得：32243863r r r rπππ⨯+=⋅解得：r＝410．在平面直角坐标系xOy中，已知点A，F分别为椭圆C：22221x ya b+=(a＞b＞0)的右顶点和右焦点，过坐标原点O的直线交椭圆C于P，Q两点，线段AP的中点为M，若Q，F，M三点共线，则椭圆C的离心率为．答案：13考点：椭圆的离心率解析：设点B为椭圆的左顶点，由题意知AM∥BQ，且AM＝12BQ∴AM AFBQ BF=，则12a ca c-=+求得a＝3c，即e＝13．11．设函数()sin(2)3f x xπ=+，若12x x<，且12()()0f x f x+=，则21x x-的取值范围是．答案：(3π，+∞)考点：三角函数的图像与性质解析：不妨设12x x<<，则2121x x x x-=-，由图可知210()33x xππ->--=．12．已知圆C：22(1)(4)10x y-+-=上存在两点A，B，P为直线x＝5上的一个动点，且满足AP⊥BP，则点P的纵坐标取值范围是．答案：[2，6]考点：圆的方程解析：要使AP⊥BP，即∠APB的最大值要大于或等于90°，显然当PA切圆C于点A，PB切圆C于点B时，∠APB最大，此时∠CPA最大为45°，则sin∠CPA≥22，即CACP≥22，设点P(5，y)，则21016(4)y+-≥22，解得2≤y≤6．13．如图，已知P是半径为2，圆心角为3π的一段圆弧AB上一点，AB2BC=u u u r u u u r，则PC PA⋅u u u r u u u r 的最小值为．答案：5﹣13考点：平面向量数量积解析：取AC中点M，由极化恒等式得22219PC PA PM AC PM44⋅=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，要使PC PA⋅u u u r u u u r取最小值，就是PM 最小，当圆弧AB 的圆心与点P 、M 共线时，PM 有最小值为2﹣132，代入求得PC PA ⋅u u u r u u u r的最小值为5﹣213．14．已知实数a ，b ，c 满足2121a cb c ee a b +--+≤++（e 为自然对数的底数），则22a b +的最小值是 ． 答案：15考点：函数与导数解析：设()(1)xu x e x =-+，则()1xu x e '=-，可知()(0)0u x u ≥=，即1xe x ≥+； 可知211221a cb c ee a c b c a b +--+≥+++-=++，当且仅当210a c b c +=--=时取等； 即2121a cb c ee a b +--+=++，210a c b c +=--=．解得22222(1)51144245c c a b c c ++=+=++≥，当且仅当15c =时，取等号． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）已知向量a r ＝(sin θ，cos θ﹣2sin θ)，b r＝(1，2)． （1）若a r ∥b r ，求2sin cos 13cos θθθ⋅+的值；（2）若a b =r r，0＜θ＜π，求θ的值．16．（本小题满分14分）如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是平行四边形，平面PBD⊥平面ABCD，PB＝PD，PA ⊥PC，CD⊥PC，O，M分别是BD，PC的中点，连结OM．（1）求证：OM∥平面PAD；（2）求证：OM⊥平面PCD．17．（本小题满分14分）已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12，P是椭圆C上的一个动点，且△PF1F2面积的最大值为3．（1）求椭圆C的方程；（2）设斜率不为零的直线PF2与椭圆C的另一个交点为Q，且PQ的垂直平分线交y轴于点T(0，18)，求直线PQ的斜率．18．（本小题满分16分）如图为一块边长为2km的等边三角形地块ABC，为响应国家号召，现对这块地进行绿化改造，计划从BC的中点D出发引出两条成60°角的线段DE和DF，与AB和AC围成四边形区域AEDF，在该区域内种上草坪，其余区域修建成停车场，设∠BDE＝α．（1）当α＝60°时，求绿化面积；（2）试求地块的绿化面积()Sα的取值范围．19．（本小题满分16分）数列{}n a 的前n 项和记为A n ，且A n ＝1()2n n a a +，数列{}n b 是公比为q 的等比数列，它的前n 项和记为B n ．若110a b =≠，且存在不小于3的正整数k ，m ，使k m a b =．（1）若11a =，35a =，求2a ； （2）证明：数列{}n a 为等差数列；（3）若q ＝2，是否存在整数m ，k ，使A k ＝86B m ，若存在，求出m ，k 的值；若不存在，说明理由．20．（本小题满分16分）若函数()()f x g x +和()()f x g x ⋅同时在x ＝t 处取得极小值，则称()f x 和()g x 为一对“()P t 函数”．（1）试判断()f x x =与2()g x x ax b =++是否是一对“(1)P 函数”；（2）若()xf x e =与2()1g x x ax =++是一对“()P t 函数”．①求a 和t 的值；②若a ＜0，若对于任意x ∈[1，+∞)，恒有()()()()f x g x m f x g x +<⋅，求实数m 的取值范围．附加题21. 【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A选修4-2：矩阵与变换变换是逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是变换对应用的变换矩阵是求曲线的图象依次在变换的作用下所得曲线的方程.B.选修4-4:极坐标与参数方程在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为设点P是曲线上的动点，求P到直线l距离的最大值.C.选修4-5:不等式选讲已知函数若存在实数x，使不等式成立，求实数m的最小值，【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.（本小题满分10分）在四棱锥△PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD.(1)求二面角P-EC-D的余弦值；(2)线段PC上是否存在一点M，使得异面直线DM和PE所成的角的余弦值为若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由.23.（本小题满分10分）已知非空集合M满足MN*若存在非负整数使得当时，均有则称集合M具有性质P，记具有性质P的集合M的个数为（1)求的值；(2)求的表达式.。