函数及其表示练习题含详细答案解析

函数及其表示练习题含详细答案解析
2、试判断以下各组函数是否表示同一函数？
（1）f （x ）=2x ，g （x ）=33x ；
（2）f （x ）=x x ||，g （x ）=⎩
⎨⎧<-≥;01,01x x （3）f （x ）=1212++n n x ，g （x ）=（12-n x ）2n －1（n ∈N *）；
（4）f （x ）=x
1+x ，g （x ）=x x +2； （5）f （x ）=x 2－2x －1，g （t ）=t 2－2t －1。

解：（1）由于f （x ）=2x =|x|，g （x ）=33x =x ，故它们的值域及对应法则都不相同，
所以它们不是同一函数；
（2）由于函数f （x ）=x x ||的定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），而g （x ）=⎩
⎨⎧<-≥;01,01x x 的定义域为R ，所以它们不是同一函数；
（3）由于当n ∈N *时，2n ±1为奇数，
∴f （x ）=1212++n n x =x ，g （x ）=（12-n x ）2n －1=x ，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数；
（4）由于函数f （x ）=x 1+x 的定义域为{x|x ≥0}，而g （x ）=x x +2的定义域为{x|x ≤－1或x ≥0}，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数；
（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数
注：对于两个函数y=f （x ）和y=g （x ），当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时，y=f （x ）和y=g （x ）才表示同一函数若两个函数表示同一函数，则它们的图象完全相同，反之亦然。

3、求下列函数的值域：
（1）232y x x =-+；（2
）y =3）
312x y x +=-； （4
）y x =+5
）y x =6）|1||4|y x x =-++；
（7）22221x x y x x -+=++；（8）
2211()212x x y x x -+=>-；
解：（1）（配方法）
2212323323()61212y x x x =-+=-+≥， ∴232y x x =-+的值域为23[,)12+∞
（2）求复合函数的值域：
设
265x x μ=---（0μ≥
），则原函数可化为y 又∵
2265(3)44x x x μ=---=-++≤， ∴04μ≤≤
[0,2]，
∴y =[0,2]
（3）（法一）反函数法：
312x y x +=-的反函数为
213x y x +=-，其定义域为{|3}x R x ∈≠， ∴原函数312x y x +=
-的值域为{|3}y R y ∈≠ （法二）分离变量法：
313(2)773222x x y x x x +-+===+---， ∵702x ≠-，∴7332x +≠-， ∴函数312x y x +=
-的值域为{|3}y R y ∈≠
（4
）换元法（代数换元法）：设0t =，则21x t =-，
∴原函数可化为2214(2)5(0)y t t t t =-+=--+≥，∴5y ≤，
∴原函数值域为(,5]-∞
注：总结y ax b =+
变形：2y ax b =+
2
y ax b =+（5）三角换元法：
∵21011x x -≥⇒-≤≤，∴设cos ,[0,]x ααπ=∈，
则cos sin )
4y πααα=+=+
∵
[0,]
απ
∈，∴
5
[,]
444
πππ
α+∈
，∴
sin()[
42
π
α+∈
，
)[
4
π
α+∈-
，
∴原函数的值域为
[1-
（6）数形结合法：
23(4) |1||4|5(41)
23(1)
x x
y x x x
x x
--≤-
⎧
⎪
=-++=-<<
⎨
⎪+≥
⎩，
∴
5
y≥，∴函数值域为[5,)
+∞
（7）判别式法：∵210
x x
++>恒成立，∴函数的定义域为R
由
2
2
22
1
x x
y
x x
-+
=
++得：2
(2)(1)20
y x y x y
-+++-=①
①当
20
y-=即2
y=时，①即300
x+=，∴0
x R
=∈
②当
20
y-≠即2
y≠时，∵x R
∈时方程2
(2)(1)20
y x y x y
-+++-=恒有实根，
∴△
22 (1)4(2)0
y y
=+-⨯-≥，
∴15
y
≤≤且2
y≠，
∴原函数的值域为
[1,5]
（8）
2
1 21(21)1111
2
1 21212122
2 x x x x
y x x
x x x x
-+-+
===+=-++ ----
，
∵
1
2
x>
，∴
1
2
x->
，
∴
1
12
1
2
2
x
x
-+≥
-
，
当且仅当
1
12
1
2
2
x
x
-=
-
时，即
1
2
x
+
=
时等号成立
∴
1
2
y≥
，
∴原函数的值域为1 ,) 2
+∞
4、求函数的解析式
（1）已知
3311()f x x x x +=+，求()f x ； （2）已知2(1)lg f x x +=，求()f x ；
（3）已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；
（4）已知()f x 满足12()()3f x f x x +=，求()f x ；
解：（1）配凑法：∵
3331111()()3()f x x x x x x x x +=+=+-+， ∴
3()3f x x x =-（2x ≥或2x ≤-）； （2）换元法：令21t x +=（1t >），则
21x t =-， ∴2()lg
1f t t =-，2()lg (1)1f x x x =>-；
（3）待定系数法：设()(0)f x ax b a =+≠，
则3(1)2(1)333222f x f x ax a b ax a b +--=++-+-5217ax b a x =++=+， ∴2a =，7b =，
∴()27f x x =+；
（4）方程组法：12()()3f x f x x += ①
把①中的x 换成1x ，得
132()()f f x x x += ②， ①2⨯-②得33()6f x x x =-
∴
1
()2f x x x =-。

5.设a 是正数，ax+y=2(x ≥0,y ≥0)，记y+3x －2
1x 2的最大值是M(a)，试求：M(a)的表达式； 解 将代数式y+3x －21
x 2表示为一个字母，由ax+y=2解出y 后代入消元，建立关于x 的二
次函数，逐步进行分类求M(a)。

设S(x)=y+3x －21
x 2,将y=2－ax 代入消去y ，得：
S(x)=2－ax+3x －21
x 2
=－21
x 2+(3－a)x+2
=－21[x －(3－a)]2+21
(3－a)2+2(x ≥0)
∵y ≥0 ∴2－ax ≥0
而a>0 ∴0≤x ≤a 2
下面分三种情况求M(a)
(i)当0<3－a<a 2
(a>0)，即
⎩⎨⎧>+-<<023302a a a 时
解得 0<a<1或2<a<3时
M(a)=S(3－a)= 21
(3－a)2+2
(ii)当3－a ≥a 2
(a>0)即
⎩⎨⎧≤+->02302a a a 时，
解得：1≤a ≤2，这时 M(a)=S(a 2)=2－a ·a 2+3·a 2－21·2
)2(a
=－22a +a 6
(iii)当3－a ≤0；即a ≥3时
M(a)=S(0)=2
综上所述得：
M （a ）=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<<+-≤≤+-<<+-)3(2)32(2)3(21)21(62)10(2)3(21222a a a a a a a a 。