初中数学教程比例线段
3.1 比例线段
第1课时
教学目标
c
d
=，那么ad=bc. 教学重难点
【教学重点】
掌握比例的基本性质及其推导过程．
【教学难点】
对比例的基本性质进行变形.
课前准备
无
教学过程
一.预习导学
对应练习：你能说出下面比例的内项和外项各是多少吗？
（1）1.4：35
4
=
4
:5
5
（2）
612
714
=
可以交换,等式仍然成立; 两个外项的位置也可以交换,等式仍然成立;
对应练习： 1. 已知四个数a,b,c,d 成比例.
（1）若a=-3,b=9,c=2, 求d ；
（2）若3,2,a b c =-==求d ；
2.比例基本性质的逆定理的教学
动脑筋：如果a d=bc ，那么a c b d =.（其中a ，b ，c ，d 为非零实数） （学生合作推导,总结得出）
设计意图：利用等式的基本性质，由条件到结论的证明方法体现了综合证明题的方法.锻炼了学生的逻辑思考能力，增强了学生的学习兴趣，达到了教学的效果.
(二)展示提升
3.已知四个数a,b,c,d 成比例，即 a c b d
= . 下列各式成立吗？若成立，请说明理由.
()()()1;2;3.b d a b a b c d a c c d b d
++=== （过程方法：以学生自主学习为主，教师引导为辅的方法进行教学，先让学生讨论学习，然后可点名展示，也可分组展示，培养学生分析问题和解决问题的能力；同时增强学生团结协作的精神.老师在此环节准确引导，及时点拨和追问，总结出解决问题的方法和规律.） 对应练习：25,3a b a b a a -+=已知求的值。
设计意图：通过练习加强学生对比例的基本性质及其相关知识的理解与掌握. 4.根据下列条件，求a:b 的值： ()()
145;2;78a b a b == (先让学生讨论学习，然后分组展示，老师在此环节准确引导，及时点拨和追问，总结出解决问题的方法和规律.）
设计意图：通过练习与展示进一步加强学生对比例的基本性质及其相关知识的理解与掌握，以达到非常熟练的程度，并能融会贯通地应用.
对应练习：求下列各式中x 的值.
()()11314:15:9;2::;235
x x == 方法总结：通过分层练习，巩固对比例基本性质的掌握，体验比例基本性质的应用价值，促进所有学生都能在动静结合的学习过程中获得发展，使不同的学生获得不同程度的发展.同时渗透假设.验证.有序思考的解题策略和方法，体验解决问题方法的多样性和优化策略，感受“一 一对应“和”变与不变“的数学思想.
三.知识梳理
以”本节课我们学到了什么?”启发学生谈谈本节课的收获.
1.我们是怎样:探究比例的基本性质的？
2. :探究比例的基本性质主要是利用什么性质来探究的？
四.当堂检测
1.如果bc ad =，那么下列比例式中，错误的是 （ ）
A.d c b a =
B.d b c a =
C.b c d a =
D.c
d a b = 2.若3=y
x ，则=+y y x 3.已知543z y x ==，则=++x
z y x 4.已知a.b.c 为△ABC 的三边，且1:7:)2()(:)(:)(-=-+-b c b a c a ， 试判断 △ABC 的形状.（选做题）
五.教学反思
根据课堂内容的基础性和延伸性，从学生已有的基础知识出发，运用“问题”引领.“规律”呈现.“应用”总结的设计环节，这样可以较好地完成本课时的教学任务，同时在例题的设计上，选择基础性.灵活性.典型性相结合的问题，既锻炼学生的计算能力.又提升了学生的思维能力.。
比例线段及有关定理
射影定理
总结词
射影定理是指在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和减去两直角边的乘积。
详细描述
射影定理是几何学中的一个重要定理，它描述了直角三角形中斜边与两直角边之间的关系。具体来说 ，在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和减去两直角边的乘积。这个定理在解决实际问 题中具有广泛的应用，如测量、建筑等领域。
03
比例线段的计算方法
利用平行线分线段成比例定理计算平行线分线段成比例定理如果一组平行线被一组横截线所截，那么这些截线段之比是相等的。
应用
通过已知的比例线段，利用平行线分线段成比例定理，可以计算出其他相关的 比例线段长度。
利用相似三角形的性质和判定定理计算
相似三角形的性质
两个三角形对应角相等， 则这两个三角形相似。相 似三角形对应边之比为相 似比。
成比例的线段具有传递性，即如果a:b:c:d且b:c:d:e，则必有 a:b:c:e。
比例线段的性质
01
02
03
比例线段的性质
如果线段a、b、c、d成比 例，那么它们的长度之比 是常数，即|a/b|=|c/d|。
比例线段的性质
如果线段a、b、c、d成比 例，那么它们的面积之比 是常数的平方，即 |a×d/b×c|=1。
判定定理
如果两个三角形两组对应 角相等，则这两个三角形 相似。
应用
通过已知的比例线段，利 用相似三角形的性质和判 定定理，可以计算出其他 相关的比例线段长度。
利用射影定理计算
射影定理
在直角三角形中，斜边上的高将直角三角形分为两个小三角形，这两个小三角形 是相似的，且它们的边长之比等于原三角形的边长之比。
利用面积关系计算线段长度
通过已知的线段和面积比例关系，可以计算出未知线段的长度。
初中数学课件《比例线段》
表示方法
一般使用冒号（:）或者分数形式表示比例。
例子
1:2、3:5、$\frac{4}{7}$
如何求解比例？
1. 交叉乘积法
通过交叉乘积等式求解未知数。
2. 分数的比例关系
根据已知比例的分数关系求解 Biblioteka 知数。3. 比值的乘除关系
根据已知比值的乘除关系求解 未知数。
反比例中，两个量的乘积 保持不变，而正比例中， 两个量成正比。
3 3. 图形特征
反比例关系通常呈现出双 曲线的图形特征，而正比 例关系通常呈现出直线的 图形特征。
如何表示反比例？
1. 使用倒数
利用两个量的倒数之间的关 系表示反比例。
2. 使用分数形式
通过分数形式表示反比例中 的量和关系。
3. 使用符号表示
初中数学课件《比例线段》
欢迎来到初中数学课件《比例线段》。本课件将带您深入了解比例线段的概 念、计算方法和应用场景，希望能让您对这一重要数学概念有更深入的理解。
什么是比例？
在数学中，比例是指两个量或者多个量的相对关系。当两个量之间存在一定的倍数关系时，我们就说它们成比 例。
比例的定义与表示方法
定义
如何判断两个线段是否成比例？
1 1. 使用比例符号
如果两个线段的长度比值相等，我们可以使用比例符号表示它们成比例。
2 2. 比较线段长度
比较两个线段的长度，判断它们是否满足等比例关系。
3 3. 使用比例公式
利用线段的长度比值，可以使用比例公式判断它们是否成比例。
求解比例线段应用举例
举例 1
通过比例线段构造一个等边三角 形。
可以使用符号或字母表示反 比例中的量和关系。
初中数学比例线段教案
初中数学比例线段教案教学目标：1. 理解比例线段的概念，掌握比例线段的性质。
2. 学会判断四条线段是否成比例，并能求出两条线段的比。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 比例线段的概念和性质。
2. 判断四条线段是否成比例，求两条线段的比。
教学难点：1. 比例线段的性质的理解和应用。
2. 判断四条线段是否成比例的方法。
教学准备：1. 教师准备PPT或黑板，展示比例线段的例子和性质。
2. 学生准备笔记本，记录比例线段的概念和性质。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾线段的基本概念，如线段的定义、特点等。
2. 提问：我们已经学习了线段的基本概念，那么如何判断四条线段是否成比例呢？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解比例线段的概念：如果两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
2. 讲解比例线段的性质：比例线段的比相等，且相邻两条线段的比互为倒数。
3. 举例说明比例线段的判断方法和求比的方法。
三、课堂练习（10分钟）1. 让学生独立完成练习题，判断四条线段是否成比例。
2. 让学生求出两条线段的比。
四、总结与拓展（5分钟）1. 让学生总结比例线段的概念和性质。
2. 提问：比例线段在实际生活中有什么应用？五、课后作业（5分钟）1. 让学生完成课后作业，巩固比例线段的知识。
教学反思：本节课通过讲解和练习，让学生掌握了比例线段的概念和性质，能够判断四条线段是否成比例，并求出两条线段的比。
在教学过程中，要注意引导学生积极参与，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
同时，也要关注学生的学习情况，及时进行反馈和辅导。
初中数学《比例线段》优质课PPT课件
和
2 3
的比例中项是什么？
（3）若线段a=2cm,b=8cm,则线段a和b 的比例中项是什么?
摄影作品之美
判断题
(1).如图，点 P是线段 AB的黄金分割点，
( AP BP),则 AP BP .
（）
AB AP
A
P
B
(2). 已知，线段 MN 被点C黄金分割， (MC NC), 则 MC2 MN • NC
比例线段（３）
判断下列几组数成比例的是: (1)1,3,3,9
(2)2,3,4,5
(3)-1,2,2,-4
概念:
一般地，如果三个数a,b, c满足
比例式 a b (或a : b b : c),则 bc
b就叫做a, c的比例中项。
练习1：
（1）1是不是
1
1 2
和
2 3
的比例中项？
(2)
11 2
468m
欣赏之三:上海东方明珠塔
上海东方明珠电视塔高 468m,上球体到塔底的 距离约为289.2m, 289.2 与468的比值是一个神奇 的数字,这个塔的设计精 巧,外型匀称、漂亮、美 289.2m 观、大方.
A
D
E
F
B
C
欣赏之四: 蒙娜丽莎
著名画家达·芬奇的蒙 娜丽莎,拉斐尔笔下温和、 俊秀的圣像,其漂亮的面 部是矩形ABCD的宽BC 与长AB的比也是一个神 奇的数.
MCNຫໍສະໝຸດ 二、请你欣赏 感受匀称 协调之美
欣赏之一:
世界艺术珍品——维纳斯 女神, 她是西元前一百多 年希腊雕塑鼎盛时期的代 表作，她的上半身(以肚脐
眼为分界点)和下半身的比 值接近0.618.
欣赏之二: 芭蕾舞
初中数学教程成比例线段
23.1 成比例线段第1课时教学目标1.知道线段的比的概念，会计算两条线段的比；2.理解成比例线段的概念；3.掌握成比例线段的判定方法.教学重难点【教学重点】线段的比的概念，成比例线段的概念，会计算两条线段的比.【教学难点】成比例线段的判定方法.课前准备无教学过程一、情景导入请观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗？这些例子都是形状相同、大小不同的图形.它们之所以大小不同，是因为它们图上对应的线段的长度不同.二、合作探究探究点一：线段的比【类型一】求线段的比已知线段AB＝2.5m，线段CD＝400cm，求线段AB与CD的比.解析：要求AB和CD的比，只需要根据线段的比的定义计算即可，但注意要将AB和CD的单位统一.解：∵AB ＝2.5m ＝250cm ， ∴AB CD ＝250400＝58. 方法总结：求线段的比时，首先要检查单位是否一致，不一致的应先统一单位，再求比.【类型二】 比例尺在比例尺为1：50 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是3cm ，则甲、乙两地的实际距离是 m.解析：根据“比例尺＝图上距离实际距离”可求解. 设甲、乙两地的实际距离为x cm ，则有1：50 000＝3：x ，解得x ＝150 000. 150 000cm ＝1500m.故答案为1500.方法总结：理解比例尺的意义，注意实际尺寸的单位要进行恰当的转化.探究点二：成比例线段【类型一】 判断线段成比例下列四组线段中，是成比例线段的是（ ）A.3cm ，4cm ，5cm ，6cmB.4cm ，8cm ，3cm ，5cmC.5cm ，15cm ，2cm ，6cmD.8cm ，4cm ，1cm ，3cm解析：将每组数据按从小到大的顺序排列，前两条线段的比和后两条线段的比相等的四条线段成比例.四个选项中，只有C 项排列后有25＝615.故选C. 方法总结：判断四条线段是否成比例的方法：（1）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前两条线段的比和后两条线段的比，看是否相等做出判断；（2）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前后两个数的积与中间两个数的积，看是否相等作出判断.【类型二】 由线段成比例求线段的长已知：四条线段a 、b 、c 、d ，其中a ＝3cm ，b ＝8cm ，c ＝6cm.（1）若a 、b 、c 、d 是成比例线段，求线段d 的长度；（2）若b 、a 、c 、d 是成比例线段，求线段d 的长度.解析：紧扣成比例线段的概念，利用比例式构造方程并求解.解：（1）由a 、b 、c 、d 是成比例线段，得a b ＝c d ，即38＝6d，解得d ＝16. 故线段d 的长度为16cm ；（2）由b 、a 、c 、d 是成比例线段，得b a ＝cd ，即83＝6d ，解得d ＝94. 故线段d 的长度为94cm. 方法总结：利用比例线段关系求线段长度的方法：根据线段的关系写出比例式，并把它作为相等关系构造关于要求线段的方程，解方程即可求出线段的长.已知三条线段长分别为1cm ，2cm ，2cm ，请你再给出一条线段，使得它的长与前面三条线段的长能够组成一个比例式.解析：因为本题中没有明确告知是求1，2，2的第四比例项，因此所添加的线段长可能是前三个数的第四比例项，也可能不是前三个数的第四比例项，因此应进行分类讨论.解：若x ：1＝2：2，则x ＝22；若1：x ＝2：2，则x ＝2；若1：2＝x ：2，则x ＝2；若1：2＝2：x ，则x ＝2 2. 所以所添加的线段的长有三种可能，可以是22cm ，2cm ，或22cm. 方法总结：若使四个数成比例，则应满足其中两个数的比等于另外两个数的比，也可转化为其中两个数的乘积恰好等于另外两个数的乘积.三、板书设计成比例线段⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线 段AB ，CD 的长度分别是m ，n ，那么 这两条线段的比就是它们长度的比， 即AB ：CD ＝m ：n ，或写成AB CD ＝m n 成比例线段：四条线段a ，b ，c ，d ，如果a 与b 的比 等于c 与d 的比，即a b ＝c d ，那么这 四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段， 简称比例线段四、教学反思从丰富的实例入手，引导学生进行观察、发现和概括.在自主探究和合作交流过程中，适时引入新知识，并通过引导学生建立新的数学模型，开拓思维，提升学生认知能力.。
初中数学知识归纳线段比例与面积比例的计算方法
初中数学知识归纳线段比例与面积比例的计算方法初中数学知识归纳：线段比例与面积比例的计算方法数学是一门重要而实用的学科，而在初中阶段，学生们需学习掌握许多基础的数学知识。
本文旨在归纳和介绍初中数学中关于线段比例与面积比例的计算方法，帮助学生更好地理解和应用这些知识。
一、线段比例的计算方法在线段比例的计算中，我们常常遇到要求求解一个线段的分点坐标，或者给定两线段的比例，求解另一线段的长度或坐标的情况。
以下是一些常见的线段比例计算方法：1. 一分点坐标的计算当我们已知某个线段AB上一分点M，且已知A、B两点的坐标时，可以通过计算求出M点的坐标。
设A坐标为(x₁, y₁)，B坐标为(x₂,y₂)，M坐标为(x, y)，则根据分点公式可得：x = (x₁ + x₂) / 2y = (y₁ + y₂) / 2通过这个计算方法，我们即可求得M点的坐标。
2. 两线段比例的计算当我们已知两个线段AB和CD的比例，要求求解线段CD的长度时，可以利用线段的长度比例与坐标的比例相同的性质。
设已知AB与CD的比例为m:n，即AB/CD = m/n，如果两线段的起点坐标已知，可以按照下面的计算方法求解：设A坐标为(x₁, y₁)，B坐标为(x₂, y₂)，C坐标为(x₃, y₃)，D坐标为(x₄, y₄)。
首先计算线段AB的长度为L₁，可以使用勾股定理计算：L₁ = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]根据线段长度比例与坐标的比例相同的性质，可以得到CD的长度L₂为：L₂ = L₁ × (n / m)通过这个计算方法，我们可以方便地求解出CD的长度。
二、面积比例的计算方法在计算面积比例时，常常遇到的问题包括已知两个图形的面积比例，求另一图形的面积，或是已知图形的某一边的比例，求另一图形对应边的比例等。
以下是一些常见的面积比例计算方法：1. 面积比例的计算当我们已知两个图形的面积比例为m:n时，可以利用面积与边长平方成比例的性质计算。
2024-2025学年初中数学九年级上册(湘教版)教学课件3.2平行线分线段成比例
由已知 AB 2 ， 得 1 AB 1 BC.
BC 3
2
3
由于
AD
DB
1 2
AB
，
BE
EF
FC
1 3
BC.
因此 AD DB BE EF FC .
知识讲解
由于a∥d∥b∥e∥f∥c， 因此 A1D1=D1B1 =B1E1 =E1F1 = F1C1. 从而 A1B1 2 A1 D1 2 .
第3章 图形的相似
第3章 图形的相似
3.2 平行线分线段成比例
学习目标
1 了解平行线等分线段成比例的基本事实. 2 掌握由平行线分线段成比例所得的推论.（重点） 3 掌握由平行线分线段成比例所得的推论.（重点） 4 会用平行线分线段成比例的事实和推论解决
相关的计算和证明问题.（难点）
知识回顾
1.比例线段的概念
解: ∵ 两条直线被三条平行线所截，
∴
,
即 4x ＝ 3×7 ,
.
随堂训练
5.如图，已知直线 a∥b∥c，分别交直线 m，n 于点 A，C，E， B，D，F，AC = 4，CE = 6，BD = 3，求 BF 的长.
解：∵a / /b / /c
AC BD CE DF
即4 3 6 DF
4DF 36 DF 18 = 9
∴ 2 AC 1.8 ,
3
AC
∴ 2AC 3( AC 1.8).
解得 AC 5.4.
随堂训练
1.如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式错误的是（ D ）
A. —ACCE—＝ —BDDF— B. A—C—＝ —BD—
AE BF C. C—E—＝—D—F
AE BF D. A—E—＝—BD—
湘教版数学九年级上册3.1《比例线段》说课稿1
湘教版数学九年级上册3.1《比例线段》说课稿1一. 教材分析湘教版数学九年级上册3.1《比例线段》是整个初中数学的重要内容，是对比例的基本概念和性质的进一步延伸。
本节内容通过比例线段的概念，引入了线段之间的比例关系，让学生体会数学与实际生活的联系，培养学生的抽象思维能力。
教材从生活实例出发，引出比例线段的概念，然后通过大量的例题和练习，使学生掌握比例线段的性质和运用。
教材在编写上注重引导学生主动探究，培养学生的动手操作能力和合作意识。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了比例的基本概念和性质，对数学知识有一定的积累。
但是，对于比例线段的理解和运用，还需要进一步的引导和培养。
因此，在教学过程中，我将以学生为主体，注重启发式教学，引导学生主动探究，提高学生的数学素养。
三. 说教学目标根据新课程标准的要求，本节课的教学目标如下：1.知识与技能：让学生理解比例线段的概念，掌握比例线段的性质，并能运用比例线段解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、讨论等数学活动，培养学生的抽象思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：让学生感受数学与实际生活的联系，培养学生的合作意识，激发学生学习数学的兴趣。
四. 说教学重难点1.教学重点：比例线段的概念及其性质。
2.教学难点：比例线段的运用和解决实际问题。
五. 说教学方法与手段为了实现本节课的教学目标，我将以学生为主体，采用启发式教学法、讨论法、案例教学法等多种教学方法，引导学生主动探究，提高学生的数学素养。
同时，利用多媒体课件和教具，辅助教学，使抽象的数学概念形象化、直观化。
六. 说教学过程1.导入：从生活实例出发，引出比例线段的概念，激发学生的学习兴趣。
2.新课导入：介绍比例线段的性质，引导学生主动探究，培养学生的抽象思维能力。
3.案例分析：分析实际问题，引导学生运用比例线段解决问题，提高学生的动手操作能力。
4.课堂练习：设计具有针对性的练习题，巩固所学知识，提高学生的应用能力。
比例线段课件
确定起点和终点
起点和终点是线段的两个端点，它们的位置决定了线段的方 向和长度。
在画比例线段时，需要先确定起点和终点的位置，以便于后 续的绘制工作。
使用工具进行绘制
使用工具进行绘制是画比例线段的关键步骤之一，合适的工具可以提高绘制的效 率和精度。
有AE:CF = AB:CD。
证明
由于AB = CD，根据等长线段的 性质，我们有AE = CF。因此，
AE:CF = AB:CD。
相似图形中的比例定理
1 2
总结词
相似图形中的比例定理是指，如果两个图形相似 ，则它们的对应边之间的长度之比是常数。
详细描述
设三角形ABC与三角形DEF相似，那么有AB:DE = AC:DF = BC:EF。
比例线段的性质
比例线段具有传递性
如果线段A、B、C满足比例关系A:B=B:C，那么线段A、B、 C也满足比例关系A:C=A:B*B:C。
比例线段具有交叉对应性
如果线段A、B、C满足比例关系A:B=C:D，那么线段A、B、 C、D可以按照一定的顺序交叉对应。
比例线段的分类
等比线段
线段长度相等，即A=B=C。
摄影构图
在摄影中，摄影师使用比 例线段来构图，以突出主 题并增强视觉效果。
在数学中的应用
几何学
比例线段是几何学中的基 本概念，用于描述线段之 间的长度关系。
代数方程
在代数方程中，比例线段 可以用于解决与用于表示函数的增减性和 变化率。
在工程中的应用
3
证明
由于三角形ABC与三角形DEF相似，根据相似三 角形的性质，我们有AB/DE = AC/DF = BC/EF 。因此，AB:DE = AC:DF = BC:EF。
自学初中数学资料 比例线段、相似的性质
自学资料一、比例线段【知识探索】1．比例线段的基本性质：（1）如果，那么．（2）比例线段的比例式中，只要乘积形式不变，、、、的位置可以灵活变化．若，则、、、、、、．【注意】（1）对于实数、、、，如果成立，则不一定成立；如果，则一定成立．（2）对于线段长度、、、，如果成立，则一定成立；如果，则也一定成立．第1页共24页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训第2页 共页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训第3页 共页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训（2）已知线段a、b、c，a=4cm，b=9cm，线段c是线段a和b的比例中项．求线段c的长．【答案】解：（1）∵a、b、c、d是成比例线段，∴a：b=c：d，∵a=3cm，b=2cm，c=6cm，∴d=4cm；（2）∵线段c是线段a和b的比例中项，a=4cm，b=9cm，∴c2=ab=36，解得：c=±6，又∵线段是正数，∴c=6cm．4．已知线段a=0.3m，b=60cm，c=12dm．（1）求线段a与线段b的比．（2）如果线段a、b、c、d成比例，求线段d的长．（3）b是a和c的比例中项吗？为什么？【答案】解：（1）∵a=0.3m=30cm；b=60cm，∴a：b=30：60=1：2；（2）∵线段a、b、c、d是成比例线段，∴ab =c d，∵c=12dm=120cm，∴12=120d，∴d=240cm；（3）是，理由：∵b2=3600，ac=30×120=3600，∴b2=ac，∴b是a和c的比例中项．二、黄金分割【知识探索】1．与的比值称为黄金分割数，简称黄金数．第4页共24页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训第5页 共24页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【说明】黄金分割数是一个无理数，在应用时常取它的近似值．【注意】 （1）不是黄金分割数； （2）．（3）称为黄金分割数或简称黄金数；它的倒数称为黄金比．【错题精练】例1．已知如图，点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），AB=2，则AC 的长为（ ） A. √5−1 B. √5+1C. √5−2D. 3−√5【解答】解：∵C 为线段AB=5的黄金分割点，且AC ＞BC ，AC 为较长线段， ∴AC=√5−12×2=√5−1，故选：A ．【答案】A例2．把1米的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段长为（ ） A. 3−√52 B. √5−12 C.1+√52D.3+√52【解答】解：较短的线段长=1×（1-√5−12）=3−√52； 故选：A ．【答案】A例3．美是一种感觉，本应没有什么客观的标准，但在自然界里，物体形状的比例却提供了在匀称与协调上的一种美感的参考，在数学上，这个比例称为黄金分割．在人体躯干（由脚底至肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，也就是说，若此比值越接近0.618，就越给别人一种美的感觉．如果某女士身高为1.65 m ，躯干与身高的比为0.60，为了追求美，她想利用高跟鞋达到这一效果，那么她选的高跟鞋的高度约为（ ） A. 2.5 cm B. 5.3 cm C. 7.8 cm D. 8.5 cm【解答】解：根据已知条件得下半身长是165×0.6=99cm ，第6页 共24页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训设选的高跟鞋的高度是xcm ，则根据黄金分割的定义得：99+x165+x =0.618， 解得：x≈7.8cm ． 故选：C ．【答案】C例4．如果C 是线段AB 一点，并且AC ＞CB ，AB =1，那么AC 的长度为（ ）时，点C 是线段AB 的黄金分割点． A. 0.618； B. 1−√52； C.√5−12； D.3−√52．【答案】C例5．实数a,n,m,b 满足a ＜n ＜m ＜b ，这四个数在数轴上对应的点为A ，N ，M ，B （如图），若AM 2=BM·AB ，BN 2=AN·AB ，则称m 为a,b 的“大黄金数”，n 为a,b 的“小黄金数”，当b −a =2时，a,b 的大黄金数和小黄金数只差m −n =__________【答案】2√5−4例6．如图，在△ABC 中，AC=BC ，在边AB 上截取AD=AC ，连接CD ，若点D 恰好是线段AB 的一个黄金分割点，则∠A 的度数是______．【解答】解：∵点D 是线段AB 的一个黄金分割点， ∴AD 2=BD•AB ， ∵AD=AC=BC ， ∴BC 2=BD•AB ，即BC ：BD=AB ：BC ， 而∠ABC=∠CBD ， ∴△BCD ∽△BAC ，∴∠A=∠BCD，设∠A=x，则∠B=x，∠BCD=x，∴∠ADC=∠BCD+∠B=2x，而AC=AD，∴∠ACD=∠ADC=2x，∴x+2x+x+x=180°，解得x=36°．故答案为36°．【答案】36°例7．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，CE平分∠ACB交AB于点E，（1）试说明点E为线段AB的黄金分割点；（2）若AB=4，求BC的长．【答案】（1）证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ACB=12（180°-36°）=72°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=12∠ACB=12×72°=36°，∴∠BCE=∠A=36°，∴AE=BC，又∵∠B=∠B，∴△ABC∽△CBE，∴ABBC =BC BE，∴BC2=AB•BE，即AE2=AB•BE，∴E为线段AB的黄金分割点；（2）∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB=72°，∴∠BEC=180°-72°-36°=72°，∴BC=CE，由（1）已证AE=CE，∴AE=CE=BC，第7页共24页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训第8页 共24页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练 非学科培训∴BC=√5−12•AB=√5−12×4=2√5-2．【举一反三】1．如图，点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），下列结论错误的是（ ）A. ACAB =BCAC B. BC 2=AB•BC C. ACAB =√5−12D. BCAC ≈0.618【解答】解：∵AC ＞BC ， ∴AC 是较长的线段，根据黄金分割的定义可知：AB ：AC=AC ：BC ，故A 正确，不符合题意； AC 2=AB•BC ，故B 错误，AC AB=√5−12，故C 正确，不符合题意；BCAC≈0.618，故D 正确，不符合题意．故选：B ．【答案】B2．如图是著名画家达芬奇的名画《蒙娜丽莎》．画中的脸部被包在矩形ABCD 内，点E 是AB 的黄金分割点，BE ＞AE ，若AB=2a ，则BE 长为（ ）A. （√5+1）aB. （√5-1）aC. （3-√5）aD. （√5-2）a【解答】解：∵点E 是AB 的黄金分割点，BE ＞AE ， ∴BE=√5−12AB=√5−12•2a=（√5-1）a ． 故选：B ．【答案】B3．如图，P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，若S1表示以AP为边正方形的面积，S2表示以AB为长PB为宽的矩形的面积，则S1、S2大小关系为（）A. S1＞S2B. S1=S2C. S1＜S2D. 不能确定【解答】解：∵P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，∴PA2=PB•AB，又∵S1表示以PA为一边的正方形的面积，S2表示以长为AB，宽为PB的矩形的面积，∴S1=PA2，S2=PB•AB，∴S1=S2．故选：B．【答案】B4．已知点C在线段AB的黄金分割点，且AB=10cm，则线段AC的长为______【答案】5√5−5或15−5√55．如图，AD是△ABC的外角平分线，且ABAC =√5+12，求证：C是BD的黄金分割点．【答案】证明：过C作CE∥AD，交AB于点E，∵CE∥AD，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∵AD平分外角，∴∠1=∠2，∴∠3=∠4，∴AE=AC，第9页共24页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训∵CE∥AD，∴ABAE =BD CD，∴ABAC =BD CD，∵ABAC =√5+12，∴BDDC =√5+12，∴BD=√5+12CD，∴CD=√5−12BD，即C是BD的黄金分割点．6．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，CD是∠ACB的平分线．（1）△ABC和△CBD相似吗？为什么？（2）AD、AB、BD之间有什么关系？为什么？【答案】解：（1）相似，理由如下：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°，∵CD平分∠ACB，∴∠DCB=∠DCA=∠A，且∠ABC=∠CDB，∴△ABC∽△CBD；（2）由（1）可得△ABC∽△CBD，∴CDAB =BD BC，又由（1）可知AD=CD=CB，∴AD2=AB•BD．三、平行线分线段成比例定理【知识探索】第10页共24页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训1．平行线等分线段定理：两条直线被三条平行直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等．【说明】“平行线等分线段定理”是“平行线分线段成比例定理”的特例．【错题精练】例1．已知直线a//b//c,直线m交直线a,b,c于点A,B,C,直线n交直线a,b,c于点D,E,F，若ABBC =12,则（）A. 13B. 12C. 23D. 1【答案】C例2．D、E分别为△ABC中BC、AC边上的点，且BD：DC=1：3，AE：EC=2：1，则AF：FD=（）A. 3：1B. 5：1C. 8：1D. 9：1【解答】解：过点A作AG平行BC交BE延长线与G，∴△AGE∽△CEB，∴AGBCEC=2，∴AG=2BC，∵BD：CD=1：3，∴BC=4BD，∴AG=8BD，∵△AGF∽△DBF，∴AFDF=AGBD=8，故选：C．【答案】C例3．如图是小刘做的一个风筝支架示意图，已知BC∥PQ，AB：AP=2：5，AQ=20cm，则CQ的长是（）A. 8cmB. 12cmC. 30cmD. 50cm【解答】解：∵BC∥PQ，∴△ABC∽△APQ，∴ABAP=ACAQ∵AB：AP=2：5，AQ=20cm，∴AC20=25，解得：AC=8cm，∴CQ=AQ-AC=20-8=12（cm），故选：B．【答案】B例4．如图，已知直线l1、l2、l3分别截直线l4于点A、B、C，截直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3．（1）如果AB=4，BC=8，EF=12，求DE的长．（2）如果DE：EF=2：3，AB=6，求AC的长．【答案】解：（1）∵l1∥l2∥l3．∴DEEF=ABBC例5．如图，△ABC中，DE∥BC，若AD：DB＝2：3，则下列结论中正确的（）A. DEBC =23；B. DEBC =25；C. AEAC =23；D. AEEC =25．【答案】B【举一反三】1．如图，已知直线a∥b∥c，直线m分别交直线a、b、c于点A、B、C，直线n分别交直线a、b、c于点D、E、F，若AB=2，AD=BC=4，则BECF的值应该（）A. 等于13； B. 大于13；C. 小于13； D. 不能确定．【答案】B2．如图，在△ABC中，AB∥EF∥GH，AE=GC，EF=14，GH=5，那么∴y=95x，∴5AB=x2x+y=x2x+x95=519，∴AB=19．故答案为：19．【答案】193．如图，在△ABC中，DE∥FG∥BC，AD：DF：BF=1：2：3，BC=10cm．（1）求AE：EG：GC的值；（2）求DE与FH的比．，∴FH=25×10=4，∴DEFH=53534=512．4．如图，D是BC上一点，E是AB上一点，AD、CE交于点P，且AE：EB=3：2，CP：CE=5：6，那么DB：CD=（）A. 1：2B. 1：3C. 2：3D. 1：4【解答】解：作EF∥BC交AD于F，如图，∵EF∥BD，AE：EB=3：2，∴EF：BD=AE：AB=3：5，∴BD=53EF，∵EF∥CD，∴EF：CD=EP：PC，而CP：CE=5：6，∴EF：CD=1：5，∴CD=5EF，∴BD：CD=53EF：5EF=1：3．故选：B．【答案】B5．如图，已知直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3，若AB=4，AC=6，DF=9，则DE=（）A. 5B. 6C. 7D. 8【解答】解：∵l1∥l2∥l3，AB=4，AC=6，DF=9，∴ABAC =DEDF，即46=DE9，可得；DE=6，故选：B．【答案】B6．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，AE2=AD•AB，∠ABE=∠ACB．（1）求证：DE∥BC；（2）如果S△ADE：S四边形DBCE=1：8，求S△ADE：S△BDE的值．【答案】（1）证明：∵AE2=AD•AB，∴AEAD =ABAE，又∵∠EAD=∠BAE，∴△AED∽△ABE，∴∠AED=∠ABE，∵∠ABE=∠ACB，∴∠AED=∠ACB，∴DE∥BC；（2）解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADES△ABC =（ADAB）2，∵S△ADES四边形DBCE =18，∴S△ADES△ABC =19，∴（ADAB ）2=19，∴ADAB =13，∴ADDB =12，∴S△ADES△BDE =12．7．如图，已知直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3，若AB=4，AC=6，DF=9，则DE=（）A. 5；B. 6；C. 7；D. 8．【答案】B1．△ABC中，已知点D、E分别为BC、AC的中点，△ABC的面积是12，则△CDE的面积为________【答案】3．2．（浙江杭州市中考22）（本题满分12分）如图，在△中（），，点在边上，于点．（1）若，，求的长；（2）设点在线段上，点在射线上，以，，为顶点的三角形与△有一个锐角相等，交于点．问：线段可能是△的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由．【解答】【答案】（1）（2）略．3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线的交点为O，CE∥AB交BD的延长线于E，若OB=6，OD=4，则DE=（）A. 12B. 9C. 8D. 5【解答】解：在梯形ABCD中，由分析可知BO：OE=AO：OC=OD：OB，即：OD：OB=BO：OE，又OB=6，OD=4，即4：6=6：OE，解得OE=9，又OD=4，所以DE=5，故选D．【答案】D。