第四讲 大题考法——圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题
数学(文)二轮复习通用课件：专题五第四讲大题考法——圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题共54页
数学（文）二轮复习通用课件：专题 五第四讲大题考法——圆锥曲线中的
定点、定值、存在性问题
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
圆锥曲线中的定点、定值及存在性问题
(2)设 A、B、P 点的坐标分别为 A(x1，y1)、B(x2，y2)、
P(0，y0)．
考 点
显然直线 l 存在斜率，设直线 l 的斜率为 k，
训 练
核 心
则直线 l 的方程是 y＝k(x－m)．
高 效
突
提
破
能
菜单
高考专题辅导与训练·数学(理科)
第一部分 专题五 解析几何
基
础
将直线 l 的方程代入到椭圆 C 的方程中，消去 y 并
础 要 点
1．(2013·焦作模拟)椭圆 G：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的两
整 合
个焦点为 F1(－c,0)，F2(c,0)，M 是椭圆上的一点，且满
解 题 规 范 流 程
足F→1M·F→2M＝0.
(1)求离心率的取值范围；
(2)当离心率 e 取得最小值时，椭圆上的点到焦点的
最近距离为 4( 2－1)．
解答题
难度 较难
此类以直线和圆锥曲线为载体，求某些
考
考查 内容
定值问题，常与一元二次方程、函数、 向量、数列等知识交汇命题，其实质是 考查直线与圆锥曲线的位置关系，该类
训
点
问题一般以证明题或探究的形式出现.
练
核
高
心
效
突
提
破
能
菜单
高考专题辅导与训练·数学(理科)
第一部分 专题五 解析几何
基 础 要
解 题 规
训
点 核 心
又 k≠0，∴－ 294＜k＜0 或 0＜k＜ 294，
练 高 效
突 破
∴所求的 k 的取值范围是－
294＜k＜0 或 0＜k＜
94 2.
高三总复习数学课件 圆锥曲线中的定值、定点与存在性问题
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设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)． 由x42＋y32＝1， 得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
y＝k（x－1） 则 x1＋x2＝3＋8k42k2，x1x2＝43k＋2－4k122， |AB|＝ 1＋k2·|x1－x2|＝ 1＋k2· （3＋8k42k2）2－4×43k＋2－4k122＝12（3＋1＋4kk22）.
4
直线 MA 的方程为 y＋1＝xy11＋＋12(x＋2)，则 P－4，－2（x1y＋1＋2 1）－1， 即 P－4，－（mmy1＋－22）y1. 直线 NA 的方程为 y＋1＝xy22＋＋12(x＋2)，则 Q－4，－2（x2y＋2＋2 1）－1， 即 Q－4，－（mmy2＋－22）y2.
5
所以||BPBQ||＝（mmy＋1－2）2 y1（mmy＋2－2）2 y2 ＝mmyy11yy22－ －22yy12＝mm8822＋＋mm 44－－22yy21 ＝yy11＋ ＋yy22－ －22yy12＝1. 综上，||BPBQ||＝1.
圆锥曲线中的定值、定点与存在性问题
1
定值问题
(2020·高考北京卷)已知椭圆 C：xa22＋by22＝1 过点 A(－2，－1)，且 a＝ 2b. (1)求椭圆 C 的方程； (2)过点 B(－4，0)的直线 l 交椭圆 C 于点 M，N，直线 MA，NA 分别交直线 x＝－4 于点 P，Q，求||BPBQ||的值．
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圆锥曲线中定点问题的常见解法 (1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该 方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为 坐标的点即所求定点； (2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．
(新课标)2020版高考数学二轮复习专题五解析几何第4讲圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题练习理新
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第4讲圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题1．(2019·安徽省考试试题)已知椭圆C：错误!＋错误!＝1（a〉b〉0）的上顶点为P，右顶点为Q,直线PQ与圆x2＋y2＝错误!相切于点M错误!.（1)求椭圆C的方程;(2）若不经过点P的直线l与椭圆C交于A，B两点，且错误!·错误!＝0，求证：直线l 过定点．解：(1）由已知得直线OM（O为坐标原点）的斜率k OM＝2，则直线PQ的斜率k PQ＝－错误!＝－错误!，所以直线PQ的方程为y－错误!＝－错误!错误!,即x＋2y＝2.可求得P（0，1）,Q(2，0）,故a＝2，b＝1，故椭圆C的方程为错误!＋y2＝1.（2）证明：当直线l的斜率不存在时，显然不满足条件．当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx＋n(n≠1），由错误!,消去y整理得（4k2＋1）x2＋8knx＋4（n2－1)＝0,Δ＝（8kn)2－4×4(4k2＋1)（n2－1）＝16（4k2＋1－n2)〉0，得4k2＋1〉n2。
①设A(x1,y1)，B（x2，y2)，则x1＋x2＝错误!，x1x2＝错误!.②由错误!·错误!＝0，得(x1，y1－1）·(x2,y2－1)＝0，又y1＝kx1＋n，y2＝kx2＋n,所以(k2＋1）x1x2＋k(n－1）（x1＋x2)＋(n－1）2＝0，③由②③得n＝1(舍），或n＝－错误!，满足①.此时l的方程为y＝kx－错误!，故直线l过定点错误!。
第四讲 大题考法——圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题
ac＝ 22， [解] 由题意得2ab2＝ 2，
a2＝b2＋c2，
a＝ 2， 解得b＝1，
c＝1，
∴椭圆的标准方程为x22＋y2＝1.
(2)在直线 x＝2 上是否存在点 D，使得△DAB 为正三角形？
若存在，求出 D 点的坐标；若不存在，请说明理由． [解] 存在，理由如下：
ห้องสมุดไป่ตู้
设直线 AB 的方程为 x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 的 中点为 M.
y－y1＝kx－y412，
联立方程得y－y1＝kx－y421， y2＝4x
消去 x，整理得
ky2－4y＋4y1－ky21＝0， ∵M 是切点，∴Δ＝16－4k(4y1－ky21)＝0， 即 4－4ky1＋k2y21＝0，解得 k＝y21，
∴直线 PM 的方程为 y－y1＝y21x－y421，即 y＝y21x＋y21， 同理得直线 PN 的方程为 y＝y22x＋y22，
第一步，联立两个方程，并将消元所得方程的判别式与根与 系数的关系正确写出；
第二步，用两个交点的同一类坐标的和与积，来表示题目中 涉及的位置关系和数量关系；
第三步，求解转化而来的代数问题，并将结果回归到原几何 问题中．
在求解时，要根据题目特征，恰当的设点、设线，选用恰当 运算方法，合理地简化运算.
[典例] (2018·稽阳联谊学校高三联考) 已知离心率为 23的椭圆 C：xa22＋by22＝1(a>b>0)
kDM＝－m， 由于△DAB 为正三角形，则有d＝ 23|AB|，
即|mm12t＋＋－m21|2t＝＝－23×2m23－23×mmm，22＋＋21，
解得 m＝± 22，则 t＝±452.
∴存在点 D2，±452满足题意．
圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题
解答
(2)经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于 点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值.
证明
3.已知椭圆
E：ax22＋by22＝1(a>b>0)的离心率是
23，点
P1，
23在椭圆
E
上.
(1)求椭圆E的方程；
ac＝ 23， 解 由题意得a12＋43b2＝1，
解答
(2)过F(1，0)作互相垂直的两条直线分别交轨迹C于点G，H和M，N，且 E1，E2分别是GH，MN的中点.求证：直线E1E2恒过定点.
证明
5.已知焦距为 2 2的椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的右顶点为 A，直线 y＝43与 椭圆 C 交于 P，Q 两点(P 在 Q 的左边)，Q 在 x 轴上的射影为 B，且四边形 ABPQ 是平行四边形. (1)求椭圆C的方程；
解答
模板答题规范练
模板体验
典例 (12分)已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m＞0)，直线l不过原点O且不平行 于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M. (1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值； (2)若 l 过点m3 ，m，延长线段 OM 与 C 交于点 P，四边形 OAPB 能否为平 行四边形？若能，求此时 l 的斜率；若不能，说明理由.
方法技巧 (1)动直线l过定点问题.设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t， 由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m，0). (2)动曲线C过定点问题.引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量 恒成立，令其系数等于零，得出定点.
4.已知两点 A(－
2，0)，B(
圆锥曲线的热点问题—定点、定值、探索性问题
索引
1.定点问题 圆锥曲线中的定点问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个 难点.解决这个难点没有常规的方法，但解决这个难点的基本思想是明确的， 定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变量表示问 题中的直线方程、数量积、比例关系等，而这些直线方程、数量积、比例关 系中不受变量影响的某个点，就是要求的定点.求解这类难点问题的关键就是 引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式恒成立、数 式变换等寻找不受参数影响的量.
索引
思维升华
圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变 化的量与参数何时没有关系，找到定点. (2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与 变量无关.
索引
类型二 定值问题
例 2 已知椭圆的中心为坐标原点 O，焦点在 x 轴上，斜率为 1 且过椭圆右焦点 →→
索引
代入椭圆方程整理得 λ2(x21＋3y21)＋μ2(x22＋3y22)＋2λμ(x1x2＋3y1y2)＝3b2. 又∵x21＋3y21＝3b2，x22＋3y22＝3b2， x1x2＋3y1y2＝4x1x2－3c(x1＋x2)＋3c2＝32c2－92c2＋3c2＝0， ∴λ2＋μ2＝1，故 λ2＋μ2 为定值.
索引
又∵O→N∥a，∴13＝ba22，∴a2＝3b2， 故椭圆方程为 x2＋3y2＝3b2. 又过右焦点的直线 AB 的方程为 y＝x－c. 联立yx＝2＋x3－y2c＝，3b2， 得 4x2－6cx＋3c2－3b2＝0. ∴x1＋x2＝32c，x1x2＝3c2－4 3b2＝38c2. 设 M(x，y)，则由O→M＝λO→A＋μO→B可得xy＝＝λλyx11＋＋μμyx22，，
2020年高考数学(理)总复习：圆锥曲线中的定点与定值、范围与存在性问题(原卷版)
2020年高考数学(理)总复习：圆锥曲线中的定点与定值、范围与存在性问题题型一圆锥曲线中的定点、定值问题【题型要点】圆锥曲线中定点、定值问题必然是变化中所表现出来的不变的量，那么就用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值•解决这类问题的一般思路是：(1) 引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等.(2) 根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.(3) 求解定点、定值问题，如果事先不知道定点、定值，可以先对参数取特殊值，通过特殊情况求出这个定点、定值，然后再对一般情况进行证明.2 2 —【例1】已知椭圆C: x? +右=l(a>b>0)的离心率为乎，点Q b,-［在椭圆上，0为坐a b 2< b J标原点.(1) 求椭圆C的方程；(2) 已知点P, M , N为椭圆C上的三点，若四边形OPMN为平行四边形，证明四边形OPMN的面积S 为定值，并求该定值.题组训练一圆锥曲线中的定点、定值问题2 2已知椭圆C : X2+ y2= 1过A(2,o), B(0,1)两点.a b(1) 求椭圆C的方程及离心率；(2) 设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.题型二圆锥曲线中的范围问题题型要点】与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法1．数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解．2．构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解．3．构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．【例2】设圆F i：/+ y2+ 4x= 0的圆心为F i,直线I过点F2(2,0)且不与x轴、y轴垂直，且与圆F i相交于两点C、D，过F2作F i C的平行线交直线F i D于点E.(1)证明||EF i|—|EF2||为定值，并写出点的轨迹方程；⑵设点E的轨迹曲线与直线I交于M, N两点，过F2且与垂直的直线与圆F i交于P, Q两点，求△ PQM与厶PQN的面积之和的取值范围.题组训练二圆锥曲线中的范围问题设圆x2+ y2+ 2x—i5 = 0的圆心为A，直线I过点B(i,O)且与x轴不重合，I交圆A于C,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E.(i)证明|EA|+ |EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；⑵设点E 的轨迹为曲线 C i ,直线I 交C i 于M , N 两点，过B 且与I 垂直的直线与圆 A交于P , Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围.题型三圆锥曲线中的存在性问题【题型要点】解决探索性问题的注意事项存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在， 若结论不正确则不存在. (1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论.(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.(3) 当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径.(1)求椭圆C 的方程；⑵设过点A(4,0)的直线I 与椭圆相交于 M , N 两点(点M 在A , N 两点之间)，是否存在 直线I 使厶AMF 与厶MFN 的面积相等？若存在，试求直线I 的方程；若不存在，请说明理由． 【例3】已知椭圆2 C ： X2 + a 2 i 『3 ] 治=1(a>b>0)的离心率为",且过点P 1,- F 为其右焦点.题组训练三圆锥曲线中的存在性问题已知抛物线C: x2= 2py(p>0)的焦点为F，直线2x—y+ 2= 0交抛物线C于A, B两点，P 是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.⑴D是抛物线C上的动点，点E(—1,3)，若直线AB过焦点F ,求|DF|+ |DE |的最小值；(2)是否存在实数p，使|2QA+ QB|=|2QA —QB| ?若存在，求出p的值；若不存在，说明理由．题型四基本不等式法求解与圆锥曲线有关的最值问题【题型要点】求解圆锥曲线中的最值问题，主要有两种方法: 一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即要把求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解•求最值方法有：(1) 利用基本不等式求最值时要注意一正、二定、三相等”的条件，三个条件缺一不可.(2) 通过代换、拆项、凑项等技巧，改变原式的结构使其具备基本不等式的应用条件.【例4】已知P为圆A: (x+ 1)2+ y2= 12上的动点，点B(1,0).线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点T,记点T的轨迹为r(1)求曲线『的方程；⑵设M , N是『上的两个动点，MN的中点H在圆x2+ y2= 1上，求原点到MN距离的最小值.题组训练四基本不等式法求解与圆锥曲线有关的最值问题2 2 . ixOy中，椭圆C: *+器=1(a>b>0)的离心率是今，抛物线E: x2= 2y 的焦点F是C的一个平面直角坐标系顶点.(1) 求椭圆C的方程；(2) 设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线I与C交于不同的两点A,B,线段AB的中点为D.直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.①求证：点M在定直线上；51②直线I与y轴交于点6,记厶PFG的面积为S，△ PDM的面积为求三的最大值52及取得最大值时点P的坐标.【专题训练】1已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为¥，它的一个焦点恰好与抛物线y2= 4x的焦点重合.(1)求椭圆C的方程；⑵设椭圆的上顶点为A，过点A作椭圆C的两条动弦AB, AC,若直线AB, AC斜率之积为1直线BC是否一定经过一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理4由.2. 已知两点A( —2, 0), B(,2, 0)，动点P在y轴上的投影是Q,且2PA PB = |PQ|2.(1)求动点P的轨迹C的方程；⑵过F(1,0)作互相垂直的两条直线交轨迹C于点G, H , M , N,且E i, E2分别是GH ,MN的中点.求证：直线E1E2恒过定点.2 2 23. 如图，椭圆E：字+存=1(a>b>0),经过点A(0, —1)，且离心率为才(1)求椭圆E的方程;⑵经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P, Q(均异于点A),证明: 直线AP与AQ的斜率之和为定值.24. 已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点0,离心率为双曲线y2—号=1离心率的一半，直线y = x被椭圆E截得的线段长为一.直线|: y = kx+ m与y轴交于点P,与椭圆E交于A, B两个相异点，且AP =沪B.(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在实数m,使OA + ^0B= 40P?若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.。
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题型(二) 定 值 问 题
主要以直线与圆锥曲线的位置关系为背景， 考查转化与 化归思想和对定值问题的处理能力，常涉及式子、面积的 定值问题.
[典例感悟] [典例 2] 已知抛物线 C：y2＝2px(p>1)上的点 A 到其焦点的
3 5 2 距离为 ，且点 A 在曲线 x＋y － ＝0 上． 2 2 (1)求抛物线 C 的方程；
x2 y2 代入 ＋ ＝1，消去 x，并整理得 25y2＋20my＋8(m2－25)＝0. 25 16 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 8m2－25 4 则 y1＋y2＝－ m，y1y2＝ ， 5 25 又易得|PA| ＝(x1－m)
2 2 2 2
41 2 41 2 2 2 ＋y1＝ y1，同理可得|PB| ＝ y2. 16 16
第
四
讲
大题考法——
圆锥曲线中的定点、 定值、存在性问题
题型(一) 定点问题
主要考查直线、曲线过定点或两条直线的交点在定 曲线上.
[典例感悟] [典例 1] (2018· 宁波“十校”高三 5 月联考) x2 y2 3 已知椭圆 E： 2＋ 2＝1(a>b>0)的离心率 e＝ ， a b 2 2 且点 P 2， 为椭圆 E 上一点． 点 A，B 为椭 2 圆 E 的上下顶点，动点 M 在第一象限内且坐标为(m,2)，过 M 作 直线 MA，MB 分别交椭圆 E 于 C，D 两点． (1)求椭圆 E 的标准方程； c 3 [解] 由 e＝a＝ ，a2＝b2＋c2，得 a＝2b. ① 2 1 2 2 2 把 2， 代入椭圆方程，得 2＋ 2＝1. ② a b 2 联立①②，解得 a＝2，b＝1， x2 2 ∴椭圆 E 的标准方程为 ＋y ＝1. 4
y2 1 y－y1＝kx－ ， 4 联立方程得 消去 x，整理得 2 y ＝4x
ky2－4y＋4y1－ky2 1＝0， ∵M 是切点，∴Δ＝16－4k(4y1－ky2 1)＝0， 2 2 2 即 4－4ky1＋k y1＝0，解得 k＝ ， y1
y2 2 2 y1 1 ∴直线 PM 的方程为 y－y1＝ x－ 4 ，即 y＝ x＋ ， y1 y1 2 2 y2 同理得直线 PN 的方程为 y＝ x＋ ， y2 2 y1 y2 2 y1 x＝ 4 ， y＝y1x＋ 2 ， y y 1 2 y1 ＋ y2 联立方程得 解得 ∴P ， ， 4 2 y ＋ y y＝ 2 x＋y2， y＝ 1 2， 2 y2 2 y1 ＋ y2 ∵Q 是线段 MN 的中点，∴y0＝ ， 2 2 x1＋x2 y2 1 ＋ y2 ∴PQ ∥x 轴，且 x0＝ ＝ ， 2 8 1 1y1y2 ∴△PMN 的面积 S＝ |PQ |· |y1－y2|＝ 4 －x0· |y1－y2|＝ 2 2 2 2 y ＋ y 1 1 y y 1 2 1 2 3 · | y － y | ＝ | y － y | － 2 1 2 ＝32，即△PMN 的面积为定值． 1 2 16 4 8
c 3 e＝a＝5， 2 解：由2b 32 a ＝5， 2 2 2 a ＝ b ＋ c ， a＝5， 可得b＝4， c＝3，
x2 y2 故椭圆 C 的标准方程为 ＋ ＝1. 25 16
4 (2)点 P(m,0)为椭圆 C 的长轴上的一个动点， 过点 P 且斜率为 的 5 直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，证明：|PA|2＋|PB|2 为定值． 5 解：证明：设直线 l 的方程为 x＝ y＋m， 4
解：不存在满足条件的直线，证明如下： 设直线的方程为 y＝2x＋t，M(x1，y1)，N(x2，y2)， P
[解 ] 存在，理由如下：
设直线 AB 的方程为 x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 的 中点为 M.
x＝my＋1， 联立 2 2 x ＋2y ＝2
消去 x，整理，得(m2＋2)y2＋2my－1＝0，
－2m －1 4 则 y1＋y2＝ 2 ，y y ＝ ，x1＋x2＝ 2 ， m ＋ 2 1 2 m 2＋ 2 m ＋2 故
主要以直线与圆锥曲线的位置关系为背景， 考查学生分 析问题和解决问题的能力.
[典例 3]
[典例感悟] (2019 届高三· 浙江七校联考)已知中心在原点，焦
2 点在 x 轴上的椭圆的离心率为 ，直线 l 过椭圆右焦点 F，且交 2 π 椭圆于 A，B 两点，当直线 l 的倾斜角为 时，|AB|＝ 2. 2 (1)求椭圆的标准方程；
2
∴抛物线 C 的方程为 y2＝4x.
(2)M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线 C 上异于原点的两点，Q (x0， y0)是线段 MN 的中点，点 P 是抛物线 C 在点 M，N 处切线的交 点，若|y1－y2|＝4p，证明△PMN 的面积为定值． 2 y2 y 1 2 [解] 证明：由(1)知 M 4 ，y1，N 4 ，y2，|y1－y2|＝8，设 抛物线 C 在点 M 处的切线的斜率为 k(k≠0)，则该切线的方程为 2 y1 y－y1＝kx－ 4 ，
[方法技巧]
求解定值问题的两大途径 (1)首先由特例得出一个值(此值一般就是定值)然后证明 定值：即将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关． (2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其 满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母 约分得定值．
[演练冲关]
x2 y2 2． (2019 届高三· 湖南五市十校联考)已知椭圆 C：2＋ 2＝1(a>b>0) a b 3 32 的离心率为 ，过左焦点 F 且垂直于长轴的弦长为 . 5 5 (1)求椭圆 C 的标准方程；
[演练冲关]
1.如图，过顶点在原点、对称轴为 y 轴的抛物线 E 上的点 A(2,1)作斜率分别为 k1，k2 的直线，分别 交抛物线 E 于 B，C 两点． (1)求抛物线 E 的标准方程和准线方程；
解：设抛物线 E 的标准方程为 x2＝ay，a>0， 将 A(2,1)代入得，a＝4. 所以抛物线 E 的标准方程为 x2＝4y，准线方程为 y＝－1.
A 1，
2 在椭圆 C 上， 2
所以 2a＝|AF1|＋|AF2|＝2 2， 因此 a＝ 2，b2＝a2－c2＝1， x2 2 故椭圆 C 的方程为 ＋y ＝1. 2
(2)是否存在斜率为 2 的直线，使得当直线与椭圆 C 有两个不同交点 5 M，N 时，能在直线 y＝ 上找到一点 P，在椭圆 C 上找到一点 Q ，满 3 ―→ ―→ 足 PM ＝ NQ ？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
[方法技巧]
动线过定点问题的两大类型及解法 (1)动直线 l 过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为 y ＝kx＋t，由题设条件将 t 用 k 表示为 t＝mk，得 y＝k(x＋m)，故 动直线过定点(－m,0)． (2)动曲线 C 过定点问题， 解法： 引入参变量建立曲线 C 的方 程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．
2 －m ， 2 M 2 ，|AB|＝ m ＋ 2 m ＋ 2
2 2 2 m ＋1 2 1＋m · |y1－y2|＝ . m2＋ 2
假设存在点 D(2，t)使得△DAB 为正三角形， |mt－1| 则 D 到直线 AB 的距离 d＝ 2， 1＋m kDM＝－m， 由于△DAB 为正三角形，则有 3 d＝ |AB|， 2 m2＋2t＝－2m3－3m， m2＋ 1 3 即 |mt－1| 1＋m2＝ 2 ×2 2×m2＋2， ∴存在点
(2)若 k1＋k2＝k1k2，证明：直线 BC 恒过定点．
解：证明：由题意得，直线 AB 的方程为 y＝k1x＋1－2k1，直 线 AC 的方程为
2 x ＝4y， y＝k2x＋1－2k2，联立 y＝k1x＋1－2k1，
消去 y 得 x2－4k1x－4(1－2k1)＝0，解得 x＝2 或 x＝4k1－2， 因此点 B(4k1－2，(2k1－1)2)，同理可得 C(4k2－2，(2k2－1)2)． 2k1－12－2k2－12 于是直线 BC 的斜率 k＝ 4k1－2－4k2－2 4k1－k2k1＋k2－1 ＝ ＝k1＋k2－1，又 k1＋k2＝k1k2， 4k1－k2 所以直线 BC 的方程为 y－(2k2－1)2＝(k1k2－1)· [x－(4k2－2)]， 即 y＝(k1k2－1)x－2k1k2－1＝(k1k2－1)(x－2)－3. 故直线 BC 恒过定点(2，－3)． Nhomakorabea[解 ]
设点 A(xA，yA)，
3 ∵点 A 到抛物线焦点的距离为 ， 2
3 p 3 p 2 ∴xA＝ － ，yA＝2pxA＝2p2－2， 2 2 3 p 5 5 3 p 又点 A 在曲线 x＋y － ＝0 上，∴ － ＋2p2－2－ ＝0， 2 2 2 2
2
5 1 即 p － p＋1＝0，解得 p＝2 或 p＝ (舍去)， 2 2
(2)问直线 CD 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定 点，请说明理由． x [解] 由题意知，A(0,1)，B(0，－1)，则直线 MA 的方程为 y＝m＋ 3x 1，直线 MB 的方程为 y＝ m －1， y＝ x ＋1， y＝3x－1， m m － 8m 24m 2 联立 2 得 xC＝ 2 ，xD＝ 2 ， m ＋ 4 m ＋ 36 x ＋y2＝1， x ＋y2＝1， 4 4 2 －8m m2－4 24m － m ＋36 ， 2 ， ∴C 2 ， D 2 2 m ＋36 ， m ＋ 4 m ＋ 4 m ＋ 36 yD－yC m2－12 m2－4 12－m2 ∴kCD＝ ＝ ， 则直线 CD 的方程为 y－ 2 ＝ 16m xD－xC －16m m ＋4 － 8m x － 2 ， m ＋ 4 12－m2 1 1 即 y＝ x＋ ，∴直线 CD 过定点0，2. 16m 2