2016-2017学年高中数学人教A版选修4-5学业分层测评12 数学归纳法

学业分层测评（十二）
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．设f (n )＝1＋12＋1
3＋…＋1
3n －1
(n ∈N ＋)，则f (n ＋1)－f (n )等于( ) A.13n ＋2
B.13n ＋
13n ＋1
C.13n ＋1＋13n ＋2
D.13n ＋13n ＋1＋13n ＋2
【解析】 因为f (n )＝1＋12＋1
3＋…＋
13n －1
，所以f (n ＋1)＝1＋12＋1
3＋…＋13n －1＋13n ＋13n ＋1＋13n ＋2，所以f (n ＋1)－f (n )＝13n ＋13n ＋1＋13n ＋2
.故选D. 【答案】 D
2．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为1
2n (n －3)条时，第一步检验第一个值n 0等于( )
A ．1
B ．2
C ．3
D.0
【解析】 边数最少的凸n 边形是三角形． 【答案】 C
3．已知a 1＝12，a n ＋1＝3a n
a n ＋3
，猜想a n 等于( )
【导学号：32750066】
A.3n ＋2
B.3n ＋3
C.3n ＋4
D.
3n ＋5
【解析】 a 2＝3a 1a 1＋3＝3
7，
a 3＝3a 2a 2＋3＝38
，
a 4＝3a 3a 3＋3＝13＝39，
猜想a n ＝3
n ＋5.
【答案】 D
4．用数学归纳法证明：(n ＋1)(n ＋2)…·(n ＋n )＝2n ×1×3…(2n －1)时，从“k 到k ＋1”左边需增乘的代数式是( )
A ．2k ＋1 B.2k ＋1
k ＋1 C ．2(2k ＋1)
D.
2k ＋2
k ＋1
【解析】 当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)…·(k ＋1＋k ＋1)＝(k ＋1)·(k ＋2)·(k ＋3)…(k ＋k )·(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1
＝(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )·2(2k ＋1)．
【答案】 C
5．记凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)等于f (k )加上( )
A.π2 B ．π C ．2π
D.32π
【解析】 从n ＝k 到n ＝k ＋1时， 内角和增加π. 【答案】 B 二、填空题
6．观察式子1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3，…，猜想第n 个式子应为________．
【答案】 1－4＋9－16＋…＋(－1)n －1n 2 ＝(－1)
n ＋1
·n (n ＋1)2
7．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N ＋)”的过程中，第二步假设n ＝k 时等式成立，则当n ＝k ＋1时应得到________．
【解析】 ∵n ＝k 时，命题为“1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1”，
∴n ＝k ＋1时为使用归纳假设，
应写成1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k －1＋2k ＝2k ＋1－1. 【答案】 1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k ＋1－1
8．用数学归纳法证明34n ＋1＋52n ＋1(n ∈N ＋)能被14整除，当n ＝k ＋1时，对于34(k ＋1)＋1＋52(k ＋1)＋1应变形为________．
【解析】 34(k ＋1)＋1＋52(k ＋1)＋1＝34k ＋5＋52k ＋3＝81×34k ＋1＋25×52k ＋1＝81×34k
＋1
＋81×52k ＋1－56×52k ＋1＝81×(34k ＋1＋52k ＋1)－56×52k ＋1. 【答案】 81×(34k ＋1＋52k ＋1)－56×52k ＋1 三、解答题
9．用数学归纳法证明：
⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 2＝n ＋12n (n ≥2，n ∈N ＋)． 【证明】 (1)当n ＝2时，左边＝1－14＝3
4，右边＝2＋12×2＝34.
∴等式成立．
(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时，等式成立，
即⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2＝k ＋12k (k ≥2，k ∈N ＋)． 当n ＝k ＋1时，
⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(k ＋1)2 ＝k ＋12k ·(k ＋1)2－1(k ＋1)2＝(k ＋1)k ·(k ＋2)2k ·(k ＋1)2
＝
k ＋22(k ＋1)＝(k ＋1)＋12(k ＋1)
，
∴当n ＝k ＋1时，等式成立．
根据(1)和(2)知，对n ≥2，n ∈N ＋时，等式成立．
10．用数学归纳法证明：对于任意正整数n ，整式a n －b n 都能被a －b 整除． 【证明】 (1)当n ＝1时，a n －b n ＝a －b 能被a －b 整除．
(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时，a k －b k 能被a －b 整除，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1－b k ＋1＝a k ＋1－a k b ＋a k b －b k ＋1＝a k (a －b )＋b (a k －b k )．因为(a －b )和a k －b k 都能被a －b 整除，所以上面的和a k (a －b )＋b (a k －b k )也能被a －b 整除．这也就是说
当n ＝k ＋1时，a k ＋1－b k ＋1能被a －b 整除．
根据(1)(2)可知对一切正整数n ，a n －b n 都能被a －b 整除．
[能力提升]
1．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3
＋…＋12n (n ∈N ＋)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( )
【导学号：32750067】
A.1
2n ＋1
B.12n ＋2
C.12n ＋1＋12n ＋2
D.
12n ＋1－12n ＋2
【解析】 因为f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2
＋…＋12n ， 所以f (n ＋1)＝
1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2
， 所以f (n ＋1)－f (n )＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－1
2n ＋2
. 【答案】 D
2．某同学回答“用数学归纳法证明n 2＋n ＜n ＋1(n ∈N ＋)的过程如下： 证明：(1)当n ＝1时，显然命题是正确的：
(2)假设n ＝k 时有k (k ＋1)＜k ＋1，那么当n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2＜k 2＋4k ＋4＝(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时命题是正确的．由(1)(2)可知对于n ∈N ＋，命题都是正确的．以上证法是错误的，错误在于( )
A ．从k 到k ＋1的推理过程没有使用归纳假设
B ．归纳假设的写法不正确
C ．从k 到k ＋1的推理不严密
D ．当n ＝1时，验证过程不具体
【解析】 证明(k ＋1)2＋(k ＋1)＜(k ＋1)＋1时进行了一般意义的放大．而没有使用归纳假设k (k ＋1)＜k ＋1.
【答案】 A
3．用数学归纳法证明22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6
－1(n ∈N ＋，且n ＞1)
时，第一步应验证n ＝________，当n ＝k ＋1时，左边的式子为________．
【解析】 ∵所证明的等式为
22
＋32
＋…＋n 2
＝n (n ＋1)(2n ＋1)
6
－1(n ∈N ＋，n ＞1)．
又∵第一步验证的值应为第一个值(初始值)， ∴n 应为2.
又∵当n ＝k ＋1时，等式左边的式子实际上是将左边式子中所有的n 换成k ＋1，
即22＋32＋…＋k 2＋(k ＋1)2.
【答案】 2 22＋32＋…＋k 2＋(k ＋1)2
4．是否存在常数a ，b ，c 使等式(n 2－12)＋2(n 2－22)＋…＋n (n 2－n 2)＝an 4＋bn 2＋c 对一切正整数n 成立？证明你的结论．
【解】 存在．分别用n ＝1,2,3
代入，解方程组⎩⎨⎧
a ＋
b ＋
c ＝0，
16a ＋4b ＋c ＝3，
81a ＋9b ＋c ＝18，
得
⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝14，
b ＝－14，
c ＝0，
故原等式右边＝n 44－n 2
4. 下面用数学归纳法证明．
(1)当n ＝1时，由上式可知等式成立．
(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时等式成立，即(k 2－12)＋2(k 2－22)＋…＋k (k 2－k 2)＝14k 4－1
4k 2.
则当n ＝k ＋1时，
左边＝[(k ＋1)2－12]＋2[(k ＋1)2－22]＋…＋k [(k ＋1)2－k 2]＋(k ＋1)·[(k ＋1)2－(k ＋1)2]＝(k 2－12)＋2(k 2－22)＋…＋k (k 2－k 2)＋(2k ＋1)＋2(2k ＋1)＋…＋k (2k ＋1)＝14k 4－14k 2＋(2k ＋1)·k (k ＋1)2＝14(k ＋1)4－1
4(k ＋1)2，故n ＝k ＋1时，等式成立．
由(1)(2)得等式对一切n∈N
均成立．
＋。