高考一轮物理能力提升(考点 重点 方法)4-4圆周运动实例分析与临界问题
2024届高考一轮复习物理教案(新教材鲁科版)：圆周运动的临界问题
专题强化六圆周运动的临界问题目标要求 1.掌握水平面内、竖直面内和斜面上的圆周运动的动力学问题的分析方法.2.会分析水平面内、竖直面内和斜面上圆周运动的临界问题．题型一水平面内圆周运动的临界问题物体做圆周运动时，若物体的速度、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态．1．常见的临界情况(1)水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件是物体与盘间恰好达到最大静摩擦力．(2)物体间恰好分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零．(3)绳的拉力出现临界条件的情形有：绳恰好拉直意味着绳上无弹力；绳上拉力恰好为最大承受力等．2．分析方法分析圆周运动临界问题的方法是让角速度或线速度从小逐渐增大，分析各量的变化，找出临界状态．确定了物体运动的临界状态和临界条件后，选择研究对象进行受力分析，利用牛顿第二定律列方程求解．例1(2018·浙江11月选考·9)如图所示，一质量为2.0×103kg的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为1.4×104 N，当汽车经过半径为80 m的弯道时，下列判断正确的是()A．汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力B．汽车转弯的速度为20 m/s时所需的向心力为1.4×104 NC．汽车转弯的速度为20 m/s时汽车会发生侧滑D．汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0 m/s2答案 D解析汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力，向心力是由摩擦力提供的，A错误；汽，得所需的向心力为1.0×104 N，没有超过最大静摩车转弯的速度为20 m/s时，根据F＝m v2R＝擦力，所以汽车不会发生侧滑，B、C错误；汽车安全转弯时的最大向心加速度为a m＝fm7.0 m/s 2，D 正确．例2 (多选)如图所示，两个质量均为m 的小木块a 和b (可视为质点)放在水平圆盘上，a 与转轴OO ′的距离为l ，b 与转轴的距离为2l .木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的k 倍，重力加速度大小为g .若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是( )A ．b 一定比a 先开始滑动B ．a 、b 所受的摩擦力始终相等C ．ω＝kg2l是b 开始滑动的临界角速度 D ．当ω＝2kg3l时，a 所受摩擦力的大小为kmg 答案 AC解析 小木块a 、b 做圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即f ＝mω2R .当角速度增大时，静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，对木块a 有f a ＝mωa 2l ，当f a ＝kmg 时，kmg ＝mωa 2l ，ωa ＝kgl；对木块b 有f b ＝mωb 2·2l ，当f b ＝kmg 时，kmg ＝mωb 2·2l ，ωb ＝kg2l，则ω＝kg2l是b 开始滑动的临界角速度，所以b 先达到最大静摩擦力，即b 比a 先开始滑动，选项A 、C 正确；两木块滑动前转动的角速度相同，则f a ＝mω2l ，则f b ＝mω2·2l ，f a <f b ，选项B 错误；ω＝2kg3l<ωa ＝kg l ，a 没有滑动，则f a ′＝mω2l ＝23kmg ，选项D 错误． 例3 细绳一端系住一个质量为m 的小球(可视为质点)，另一端固定在光滑水平桌面上方h 高度处，绳长l 大于h ，使小球在桌面上做如图所示的匀速圆周运动，重力加速度为g .若要小球不离开桌面，其转速不得超过( )A.12πg l B ．2πgh C.12πh gD.12πg h答案 D解析 对小球受力分析，小球受三个力的作用，重力mg 、水平桌面支持力N 、绳子拉力F .小球所受合力提供向心力，设绳子与竖直方向夹角为θ，由几何关系可知R ＝h tan θ，受力分析可知F cos θ＋N ＝mg ，F sin θ＝m v 2R ＝mω2R ＝4m π2n 2R ＝4m π2n 2h tan θ；当球即将离开水平桌面时，N ＝0，转速n 有最大值，此时n m ＝12πgh，故选D. 例4 (多选)(2023·湖北省公安县等六县质检)如图所示，AB 为竖直放置的光滑圆筒，一根长细绳穿过圆筒后一端连着质量为m 1＝5 kg 的小球(可视为质点)，另一端和细绳BC (悬点为B )在结点C 处共同连着一质量为m 2的小球(可视为质点)，长细绳能承受的最大拉力为60 N ，细绳BC 能承受的最大拉力为27.6 N ．圆筒顶端A 到C 点的距离l 1＝1.5 m ，细绳BC 刚好被水平拉直时长l 2＝0.9 m ，转动圆筒并逐渐缓慢增大角速度，在BC 绳被拉直之前，用手拿着m 1，保证其位置不变，在BC 绳被拉直之后，放开m 1，重力加速度g 取10 m/s 2，下列说法正确的是( )A ．在BC 绳被拉直之前，AC 绳中拉力逐渐增大B ．当角速度ω＝53 3 rad/s 时，BC 绳刚好被拉直C ．当角速度ω＝3 rad/s 时，AC 绳刚好被拉断D ．当角速度ω＝4 rad/s 时，BC 绳刚好被拉断 答案 ABD解析 转动圆筒并逐渐缓慢增大角速度的过程中，AC 绳与竖直方向的夹角θ逐渐增大，m 2竖直方向处于平衡，由T A cos θ＝m 2g ，可知在BC 绳被拉直之前，AC 绳中拉力逐渐增大，A 正确；BC 绳刚好被拉直时，由几何关系可知AC 绳与竖直方向的夹角的正弦值sin θ＝35，对小球m 2受力分析，由牛顿第二定律可知m 2g tan θ＝m 2ω12l 2，解得ω1＝53 3 rad/s ，B 正确；当ω＝3 rad/s>533 rad/s ，BC 绳被拉直且放开了m 1，m 1就一直处于平衡状态，AC 绳中拉力不变且为50 N ，小于AC 绳承受的最大拉力，AC 未被拉断，C 错误；对小球m 2，竖直方向有m1g cos θ＝m2g，可得m2＝4 kg，当BC被拉断时有m1g sin θ＋T BC＝m2ω22l2，解得ω2＝4 rad/s，D正确．题型二竖直面内圆周运动的临界问题1．两类模型对比轻绳模型(最高点无支撑)轻杆模型(最高点有支撑)实例球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的“过山车”等球与杆连接、球在光滑管道中运动等图示受力示意图F弹向下或等于零F弹向下、等于零或向上力学方程mg＋F弹＝mv2R mg±F弹＝mv2R临界特征F弹＝0mg＝mv min2R即v min＝gRv＝0即F向＝0F弹＝mg讨论分析(1)最高点，若v≥gR，F弹＋mg＝mv2R，绳或轨道对球产生弹力F弹(2)若v<gR，则不能到达最高点，即到达最高点前小球已经脱离了圆轨道(1)当v＝0时，F弹＝mg，F弹背离圆心(2)当0<v<gR时，mg－F弹＝mv2R，F弹背离圆心并随v的增大而减小(3)当v＝gR时，F弹＝0(4)当v>gR时，mg＋F弹＝mv2R，F弹指向圆心并随v的增大而增大2.解题技巧(1)物体通过圆周运动最低点、最高点时，利用合力提供向心力列牛顿第二定律方程；(2)物体从某一位置到另一位置的过程中，用动能定理找出两处速度关系；(3)注意：求对轨道的压力时，转换研究对象，先求物体所受支持力，再根据牛顿第三定律求出压力．例5 (2023·陕西延安市黄陵中学)如图所示，一质量为m ＝0.5 kg 的小球(可视为质点)，用长为0.4 m 的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动，g ＝10 m/s 2，下列说法不正确的是( )A ．小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为2 m/sB ．当小球在最高点的速度为4 m/s 时，轻绳拉力为15 NC ．若轻绳能承受的最大张力为45 N ，小球的最大速度不能超过4 2 m/sD ．若轻绳能承受的最大张力为45 N ，小球的最大速度不能超过4 m/s 答案 D解析 设小球通过最高点时的最小速度为v 0，则根据牛顿第二定律有mg ＝m v 02R ，解得v 0＝2m/s ，故A 正确；当小球在最高点的速度为v 1＝4 m/s 时，设轻绳拉力大小为T ，根据牛顿第二定律有T ＋mg ＝m v 12R ，解得T ＝15 N ，故B 正确；小球在轨迹最低点处速度最大，此时轻绳的拉力最大，根据牛顿第二定律有T m －mg ＝m v m 2R ，解得v m ＝4 2 m/s ，故C 正确，D 错误．例6 (多选)(2023·福建泉州市质检)如图甲所示，质量为m 的小球与轻杆一端相连，绕杆的另一端点O 在竖直平面内做圆周运动，从小球经过最高点开始计时，杆对小球的作用力大小F 随杆转过角度θ的变化关系如图乙所示，忽略摩擦阻力，重力加速度大小为g ，则( )A ．当θ＝0时，小球的速度为0B ．当θ＝π时，力F 的大小为6mgC ．当θ＝π2时，小球受到的合力大于3mgD ．当θ＝π时，小球的加速度大小为6g 答案 BC解析 当θ＝0时，刚好由重力提供向心力，则mg ＝m v 2l ，解得v ＝gl ，A 错误；当θ＝π时，由合力提供向心力得F －mg ＝ma ＝m v ′2l ，最高点到最低点，由动能定理得mg ·2l ＝12m v ′2－12m v 2，联立解得F ＝6mg ，a ＝5g ，B 正确，D 错误；当θ＝π2时，由水平方向上的合力提供向心力得F 合x ＝m v ′′2l ，角度由θ＝0变为θ＝π2过程中，由动能定理得mgl ＝12m v ′′2－12m v 2，解得F 合x ＝3mg .当θ＝π2时，小球受到的合力大小为F 合＝F 合x 2＋(mg )2＝10mg >3mg ，C 正确．题型三 斜面上圆周运动的临界问题物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力大小相等，解决此类问题时，可以按以下操作，把问题简化．物体在转动过程中，转动越快，最容易滑动的位置是最低点，恰好滑动时：μmg cos θ－mg sin θ＝mω2R .例7 (多选)如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴2.5 m 处有一小物体(可视为质点)与圆盘始终保持相对静止，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，盘面与水平面的夹角为30°，g 取10 m/s 2，则以下说法中正确的是( )A ．小物体随圆盘以不同的角速度ω做匀速圆周运动时，ω越大时，小物体在最高点处受到的摩擦力一定越大B ．小物体受到的摩擦力可能背离圆心C ．若小物体与盘面间的动摩擦因数为32，则ω的最大值是1.0 rad/sD ．若小物体与盘面间的动摩擦因数为32，则ω的最大值是 3 rad/s 答案 BC解析 当物体在最高点时，也可能受到重力、支持力与摩擦力三个力的作用，摩擦力的方向可能沿斜面向上(即背离圆心)，也可能沿斜面向下(即指向圆心)，摩擦力的方向沿斜面向上时，ω越大时，小物体在最高点处受到的摩擦力越小，故A 错误，B 正确；当物体转到圆盘的最低点恰好不滑动时，圆盘的角速度最大，此时小物体受竖直向下的重力、垂直于斜面向上的支持力、沿斜面指向圆心的摩擦力，由沿斜面的合力提供向心力，支持力 N ＝mg cos 30°，摩擦力f ＝μN ＝μmg cos 30°，又μmg cos 30°－mg sin 30°＝mω2R ，解得ω＝1.0 rad/s ，故C 正确，D 错误．课时精练1．一汽车通过拱形桥顶时速度为10 m/s ，车对桥顶的压力为车重的34，如果要使汽车在该桥顶对桥面恰好没有压力，车速为( ) A ．15 m/s B ．20 m/s C ．25 m/s D ．30 m/s答案 B解析 当N ′＝N ＝34G 时，有G －N ′＝m v 2r ，所以14G ＝m v 2r ；当N ＝0时，G ＝m v ′2r ，所以v ′＝2v ＝20 m/s ，选项B 正确．2.(多选)如图所示，三角形为一光滑锥体的正视图，母线与竖直方向的夹角为θ＝37°.一根长为l ＝1 m 的细线一端系在锥体顶端，另一端系着一可视为质点的小球，小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动，重力加速度g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6，不计空气阻力，则( )A ．小球受重力、支持力、拉力和向心力B ．小球可能只受拉力和重力C ．当ω＝52 2 rad/s 时，小球对锥体的压力刚好为零D ．当ω＝2 5 rad/s 时，小球受重力、支持力和拉力作用 答案 BC解析 转速较小时，小球紧贴锥体，则T cos θ＋N sin θ＝mg ，T sin θ－N cos θ＝mω2l sin θ，随着转速的增加，T 增大，N 减小，当角速度ω达到ω0时支持力为零，支持力恰好为零时有mg tan θ＝mω02l sin θ，解得ω0＝52 2 rad/s ，A 错误，B 、C 正确；当ω＝2 5 rad/s 时，小球已经离开斜面，小球受重力和拉力的作用，D 错误．3.(多选)(2023·湖北省华大新高考联盟名校联考)如图所示，在竖直平面内有一半径为R 的光滑固定细管(忽略管的内径)，半径OB 水平、OA 竖直，一个直径略小于管内径的小球(可视为质点)由B 点以某一初速度v 0进入细管，之后从管内的A 点以大小为v A 的水平速度飞出．忽略空气阻力，重力加速度为g ，下列说法正确的是( )A ．为使小球能从A 点飞出，小球在B 点的初速度必须满足v 0>3gR B ．为使小球能从A 点飞出，小球在B 点的初速度必须满足v 0>2gRC ．为使小球从A 点水平飞出后再返回B 点，小球在B 点的初速度应为v 0＝5gR2D ．小球从A 点飞出的水平初速度必须满足v A >gR ，因而不可能使小球从A 点水平飞出后再返回B 点 答案 BC解析 小球能从A 点飞出，则在A 点的最小速度大于零，则由机械能守恒定律有12m v 02>mgR ，则小球在B 点的初速度必须满足v 0>2gR ，选项A 错误，B 正确；为使小球从A 点水平飞出后再返回B 点，则R ＝v A t ，R ＝12gt 2，联立解得v A ＝gR 2，12m v 02＝mgR ＋12m v A 2，小球在B 点的初速度应为v 0＝5gR2，选项C 正确；要使小球从A 点飞出，则小球在A 点的速度大于零即可，由选项C 的分析可知，只要小球在A 点的速度为gR2，小球就能从A 点水平飞出后再返回B点，选项D错误．4.(2023·福建省百校联考)半径为R的内壁光滑的圆环形轨道固定在水平桌面上，轨道的正上方和正下方分别有质量为m A和m B的小球A和B，A的质量是B的两倍，它们在轨道内沿逆时针方向滚动，经过最低点时速率相等；当B在最低点时，A球恰好在最高点，如图所示，此时轨道对桌面的压力恰好等于轨道重力，当地重力加速度为g.则小球在最低点的速率可表示为()A.3gRB.5gRC.11gR D．25gR答案 C解析设小球A、B在最低点时速率为v1，对A、B在最低点，由牛顿第二定律可得N A1－m A g＝m A v12R ，N B－m B g＝m B v12R，小球A从最低点运动到最高点(速率为v2)过程，由动能定理可得－2m A gR＝12m A v22－12m A v12，小球A在最高点时，由牛顿第二定律可得N A2＋m A g＝m Av22R，由题意知N A2＝N B，m A＝2m B，联立以上各式可解得v1＝11gR，故选C.5.(2023·湖南岳阳市第十四中学检测)如图所示，叠放在水平转台上的物体A、B及物体C能随转台一起以角速度ω匀速转动，A、B、C的质量分别为3m、2m、m，A与B、B和C与转台间的动摩擦因数都为μ，A和B、C离转台中心的距离分别为r和1.5r.最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物体A、B、C均可视为质点，重力加速度为g，下列说法正确的是()A．B对A的摩擦力一定为3μmgB．B对A的摩擦力一定为3mω2rC．转台的角速度需要满足ω≤μg rD．若转台的角速度逐渐增大，最先滑动的是A物体答案 B解析 由于物体 A 、B 及物体 C 能随转台一起匀速转动，则三个物体受到的均为静摩擦力，由静摩擦力提供向心力，则B 对A 的摩擦力一定为f A ＝3mω2r ，又有0<f A ≤f max ＝3μmg ，由于角速度大小不确定，B 对A 的摩擦力不一定达到最大静摩擦力3μmg ，A 错误，B 正确；若物体A 达到最大静摩擦力，则3μmg ＝3mω12r ，解得ω1＝μgr，若转台对物体B 达到最大静摩擦力，对A 、B 整体有5μmg ＝5mω22r ，解得ω2＝μg r，若物体C 达到最大静摩擦力，则μmg ＝mω32×1.5r ，解得ω3＝2μg3r，可知ω1＝ω2>ω3，由于物体 A 、B 及物体 C 均随转台一起匀速转动，则转台的角速度需要满足ω≤ω3＝2μg3r，该分析表明，当角速度逐渐增大时，物体C 所受摩擦力先达到最大静摩擦力，即若转台的角速度逐渐增大，最先滑动的是C 物体，C 、D 错误．6．(2023·四川绵阳市诊断)如图所示，轻杆长3L ，在杆两端分别固定质量均为m 的球A 和B (均可视为质点)，光滑水平转轴穿过杆上距球A 为L 处的O 点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B 运动到最高点时，杆对球B 恰好无作用力．忽略空气阻力，重力加速度为g ，则球B 在最高点时( )A ．球B 的速度为零 B ．球A 的速度大小为2gLC ．水平转轴对杆的作用力为1.5mgD ．水平转轴对杆的作用力为2.5mg 答案 C解析 球B 运动到最高点时，杆对球B 恰好无作用力，即仅重力提供向心力，则有mg ＝m v B 22L ，解得v B ＝2gL ，故A 错误；由于A 、B 两球的角速度相等，则球A 的速度大小v A ＝122gL ，故B 错误；B 球在最高点时，对杆无弹力，此时A 球受到的重力和拉力的合力提供向心力，有F －mg ＝m v A 2L，解得F ＝1.5mg ，即杆受到的弹力大小为1.5mg ，可知水平转轴对杆的作用力为1.5mg，C正确，D错误．7.(2023·重庆市西南大学附属中学月考)如图所示，在倾角为α＝30°的光滑斜面上有一长L＝0.8 m的轻杆，杆一端固定在O点，可绕O点自由转动，另一端系一质量为m＝0.05 kg的小球(可视为质点)，小球在斜面上做圆周运动，g取10 m/s2.要使小球能到达最高点A，则小球在最低点B的最小速度是()A．4 m/s B．210 m/sC．2 5 m/s D．2 2 m/s答案 A解析小球恰好到达A点时的速度大小为v A＝0，此时对应B点的速度最小，设为v B，对小球从A到B的运动过程，由动能定理有12m v B2－12m v A2＝2mgL sin α，代入数据解得v B＝4 m/s，故选A.8.(多选)如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为L的水平细绳连接，木块与转盘间的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是(重力加速度为g)()A．当ω>2Kg3L时，A、B会相对于转盘滑动B．当ω>Kg2L，绳子一定有弹力C．ω在Kg2L<ω<2Kg3L范围内增大时，B所受摩擦力变大D．ω在0<ω<2Kg3L范围内增大时，A所受摩擦力一直变大答案ABD解析当A、B所受摩擦力均达到最大值时，A、B相对转盘即将滑动，则有Kmg＋Kmg＝mω2L＋mω2·2L，解得ω＝2Kg3L，A项正确；当B所受静摩擦力达到最大值后，绳子开始有弹力，即有Kmg＝m·2L·ω2，解得ω＝Kg2L ，可知当ω>Kg2L时，绳子有弹力，B项正确；当ω>Kg2L时，B已达到最大静摩擦力，则ω在Kg2L<ω<2Kg3L范围内增大时，B受到的摩擦力不变，C项错误；ω在0<ω<2Kg3L范围内，A相对转盘是静止的，A所受摩擦力为静摩擦力，所以由f－T＝mLω2可知，当ω增大时，静摩擦力也增大，D项正确．9．(多选)(2023·湖北省重点中学检测)如图甲所示的陀螺可在圆轨道的外侧旋转而不脱落，好像轨道对它施加了魔法一样，被称为“魔力陀螺”，该玩具深受孩子们的喜爱．其物理原理可等效为如图乙所示的模型：半径为R的磁性圆轨道竖直固定，质量为m的小铁球(视为质点)在轨道外侧转动，A、B两点分别为轨道上的最高点、最低点．铁球受轨道的磁性引力始终指向圆心且大小不变，重力加速度为g，不计摩擦和空气阻力．下列说法正确的是()A．铁球可能做匀速圆周运动B．铁球绕轨道转动时机械能守恒C．铁球在A点的速度一定大于或等于gRD．要使铁球不脱轨，轨道对铁球的磁性引力至少为5mg答案BD解析铁球绕轨道转动受到重力、轨道的磁性引力和轨道的弹力作用，而轨道的磁性引力和弹力总是与速度方向垂直，故只有重力对铁球做功，铁球做变速圆周运动，铁球绕轨道转动时机械能守恒，选项B正确，A错误；铁球在A点时，有mg＋F吸－N A＝m v A2R，当N A＝mg＋F吸时，v A＝0，选项C错误；铁球从A到B的过程，由动能定理有2mgR＝12m v B2－12m v A2，当v A＝0时，铁球在B点的速度最小，解得v B min＝2gR，球在B点处，轨道对铁球的磁性引力最大，F吸－mg－N B＝m v B2R，当v B＝v B min＝2gR且N B＝0时，解得F吸min＝5mg，故要使铁球不脱轨，轨道对铁球的磁性引力至少为5mg ，选项D 正确．10.(多选)如图所示，竖直平面内有一半径为R ＝0.35 m 且内壁光滑的圆形轨道，轨道底端与光滑水平面相切，一小球(可视为质点)以v 0＝3.5 m/s 的初速度进入轨道，g ＝10 m/s 2，则( )A ．小球不会脱离圆轨道B ．小球会脱离圆轨道C ．小球脱离轨道时的速度大小为72m/s D ．小球脱离轨道的位置与圆心连线和水平方向间的夹角为30° 答案 BCD解析 若小球恰能到达最高点，由重力提供向心力，则有mg ＝m v 2R ，解得v ＝gR ＝ 3.5 m/s ，若小球从最低点恰好能到最高点，根据机械能守恒定律得12m v 0′2＝mg ·2R ＋12m v 2，解得v 0′＝702m/s>v 0＝3.5 m/s ，故小球不可能运动到最高点，小球会脱离圆轨道，故A 错误，B 正确；设当小球脱离轨道时，其位置与圆心连线和水平方向间的夹角为θ，小球此时只受重力作用，将重力分解如图所示．在脱离点，支持力等于0，由牛顿第二定律得mg sin θ＝m v 12R ，从最低点到脱离点，由机械能守恒定律得12m v 02＝mgR (1＋sin θ)＋12m v 12，联立解得sin θ＝12，即θ＝30°，则v 1＝gR sin θ＝72m/s ，故C 、D 正确．。
高三物理高考一轮复习专题四 圆周运动的临界问题课件 新人教版
• 解析：大家首先要搞清楚在什么地方对地 面的压力最大．通过分析可知
• 道，汽车经过凹形路面的最低点时，汽车 对路面的压力最大．
• 当汽车经过凹形路面的最低点时，设路面 支持力为 ，由牛顿第二定律有
• －mg＝
• 要求FN≤2.0×105 N，解得允许的最大速率 vm＝7.07 m/s.
•身解体析，：以运单动杠员为达轴最做低圆点周时运受动力．满如图足4F－－3－
图4－3－4
4所mg示＝，此过，程v中最，小运时动F最员小到，达最低点时手 •臂所受以的有拉m力g·至2R少＝约为m(忽v2，略所空以气F阻＝力5，mgg＝＝10
• 【例2】 用一根细绳，一端系住一个质量
为m的小球，另一端悬在光滑水平桌面
• 2－1 • 图4－3－5
• A．物块处于平衡状态 • B．物块受三个力作用 • • C解．析在：角速对度物一块定受时力，分物析块可到知转，轴物的块距受离竖越 直向远下，的物块重越力不、容垂易直脱圆离盘圆向盘上的支持力及指 向• 圆D．心在的物摩块擦到力转共轴三距个离力一作定用时，，合物力块提运供动向周 心 力期越，小A 错，越，不B 正容确易脱．离根圆据盘向 心 力 公 式 F ＝
圆周运动的临界问题
• 竖直面内圆周运动的临界问题分析 • 对于物体在竖直面内做的圆周运动是一种
典型的变速曲线运动，该类运动 • 常有临界问题，并伴有“最大”“最
轻绳模型
轻杆模型
常见类 型
过最高 点的
临界条 件
均是没有支撑的小球
均是有支撑的小球
由mg＝
得v临＝
由小球能运动 即可得v临＝0
讨论 分 析
F＝N＋mg ，FN
高考物理一轮总复习第4章抛体运动与圆周运动第4讲专题提升圆周运动中的临界极值问题课件
第4讲 专题提升 圆周运动中的临界、极值问题专题概述:本专题主要解决圆周运动的临界、极值问题,主要包括水平面内和竖直面内圆周运动的临界、极值问题。
水平面内的临界、极值问题主要涉及静摩擦力和绳子拉力的突变分析,以及静摩擦力或绳子拉力与向心力的关系;竖直面内的临界、极值问题主要涉及“轻绳”和“轻杆”模型,包括在圆周运动最高点和最低点的临界条件分析。
1.水平面内圆周运动的临界、极值问题通常有两类,一类是与摩擦力有关的临界问题,一类是与弹力有关的临界问题。
2.解决此类问题的一般思路首先要考虑达到临界条件时物体所处的状态;其次分析该状态下物体的受力特点;最后结合圆周运动知识,应用运动学和牛顿运动定律综合分析。
典题1 (多选)如图所示,两个质量均为m的木块a和b(均可视为质点)放在水平圆盘上,a与转轴OO'的距离为l,b与转轴OO'的距离为2l。
木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块重力的k倍,重力加速度大小为g。
若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动,用ω表示圆盘转动的角速度,下列说法正确的是( )A.a可能比b先开始滑动B.a、b所受的静摩擦力始终相等CD解析两个木块的最大静摩擦力相等,木块随圆盘一起转动,木块所受静摩擦力提供向心力,由牛顿第二定律得,木块所受的静摩擦力f=mω2r,由于两个木块的m、ω相等,a的运动半径小于b的运动半径,所以b所受的静摩擦力大于a所受的静摩擦力,当圆盘的角速度增大时,b的静摩擦力先达到最大值,所以b一定比a先开始滑动,故A、B错误;当b刚要滑动时,物块所受静摩擦力达到最大,则有拓展变式 1把典题1中装置改为如图所示,木块a、b用轻绳连接(刚好拉直)。
(1)当ω为多大时轻绳开始有拉力?(2)当ω为多大时木块a、b相对于转盘会滑动?(2)开始角速度较小,两木块都靠静摩擦力提供向心力,b先达到最大静摩擦力,角速度继续增大,则轻绳出现拉力,角速度继续增大,a的静摩擦力增大,当增大到最大静摩擦力时,开始发生相对滑动,a、b相对于转盘会滑动,拓展变式 2把典题1中装置改为如图所示,木块a、b用轻绳连接(刚好拉直)。
高考物理一轮复习：平抛运动和圆周运动部分 圆周运动的临界问题
C.
是b开始滑动的临界角速度
D.
时，a所受摩擦力的大小为kmg
提示：静摩擦力大小有范围。分析同时刻ab的受力情况时需考虑它们所需向心力 的大小关系。
例题——静摩擦力产生的临界问题
解析因圆盘从静止开始绕轴缓慢加速转动，在某一时刻，木块随圆盘转动时， 其受到的静摩擦力的方向指向转轴，两木块转动过程中角速度相等，则由牛顿 第二定律可得Ff＝m R，由于小木块b的轨道半径大于a的轨道半径，故b做 圆周运动需要的向心力较大，选项B错误；因为两木块的最大静摩擦力相等， 故b一定比a先开始滑动，选项A正确；
提示：AB两物体的向心力由摩擦力和绳子拉力的合力提供。
例题——静摩擦力产生的临界问题
解：AB都做匀速圆周运动，合外力提供向心力，则
对A有：
对B有：
，
当角速度较小时，静摩擦力可以提供向心力，这时，绳子拉力为零，AB所受摩
擦力都指向圆心，随着角速度增大，A先达到最大静摩擦力，绳子开始拉直且
有作用力，所以A的摩擦力方向一定指向圆心，此时B还没有达到最大静摩擦力
知识梳理
水平面上圆周运动的临界问题 静摩擦力大小有范围，方向可以改变。
如图，物块a放在水平转动的圆盘上，随圆盘一起做匀速圆周运动。试分析随着 圆盘角速度ω的增加，a的运动状态及对应的受力情况。（最大静摩擦力等于滑 动摩擦力）
ω较小时，静摩擦力提供向心力 ω增大到某一时刻，静摩擦力达到最大
ω继续增大，静摩擦力已不能提供其所需的 向心力，物块将开始发生滑动，做离心运动 。
提示：静摩擦力大小有范围。分析同时刻AB的受力情况时需 考虑它们所需向心力的大小关系。
例题——静摩擦力产生的临界问题
解析假设轮盘乙的半径为R，由题意可知两轮盘边缘的线速度大小相等，有ω甲·3R ＝ω乙R，得ω甲∶ω乙＝1∶3，所以滑块相对轮盘滑动前，A、B的角速度之比为 1∶3，A正确；滑块相对轮盘滑动前，根据an＝ r得A、B的向心加速度之比为 aA∶aB＝2∶9，B正确；据题意可得滑块A、B的最大静摩擦力分别为FfA＝μmAg， FfB＝μmBg，最大静摩擦力之比为FfA∶FfB＝mA∶mB，滑块相对轮盘滑动前所受的 静摩擦力之比为FfA′∶FfB′＝(mAaA)∶(mBaB)＝mA∶(4.5mB)，综上分析可得滑块B先 达到最大静摩擦力，先开始滑动，C正确，D错误.
(江苏)高考物理总复习 一轮基础过程导学复习配套课件：微小专题4 圆周运动的临界问题
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【解析】 因圆盘从静止开始绕转轴缓慢加速转动，在某一时刻可认为，木块随圆
盘转动时，其受到的静摩擦力的方向指向转轴，两木块转动过程中角速度相等，则根据
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【解析】 球 B 运动到最高点时，球 B 对杆恰好无作用力，即重力恰好提供向心力， 有 mg＝m2vL2 ，解得 v＝ 2gL，故 A 错误；由于 A、B 两球的角速度相等，则球 A 的速 度大小 v′＝ 22gL，故 B 错误；B 球到最高点时，对杆无弹力，此时 A 球受重力和拉 力的合力提供向心力，有 F－mg＝mv′L 2，解得 F＝1.5mg，故 C 正确，D 错误．
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2. (多选)(2017·常州中学)如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动， 内侧壁半径为 R，小球半径为 r，则下列说法中正确的是( BC )
A. 小球通过最高点时的最小速度 vmin＝ gR＋r B. 小球通过最高点时的最小速度 vmin＝0 C. 小球在水平线 ab 以下的管道中运动时，内侧管壁对小球 一定无作用力 D. 小球在水平线 ab 以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
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【解析】 轻杆可对小球产生向上的支持力，小球经过最高点的速度可以为零，当 小球过最高点的速度 v＝ gR 时，杆所受的弹力等于零，A 项正确，B 项错误；若 v＜ gR， 则杆在最高点对小球的弹力竖直向上，mg－F＝mvR2，随 v 增大，F 减小，若 v＞ gR， 则杆在最高点对小球的弹力竖直向下，mg＋F＝mvR2，随 v 增大，F 增大，故 C、D 项 均错误．
高考物理一轮总复习 第四章 第四讲 平抛运动、圆周运动的临界问题课件
a、b 分别系于一轻质木架上的 A 和 C 点，绳长分别为 la、lb(且 la≠lb)，如图所示， 当轻杆绕轴 BC 以角速度 ω 匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，绳 a
在竖直方向，绳 b 在水平方向，当小球运动到图示位置时，绳 b 被烧断的同时轻
杆停止转动，则( )
A．小球仍在水平面内做匀速圆周运动 B．在绳 b 被烧断瞬间，绳 a 中张力突然增大到 mg＋mω2la C．无论角速度 ω 多大，小球都不可能再做完整的圆周运动 D．绳 b 未被烧断时，绳 a 的拉力等于 mg，绳 b 的拉力为 mω2lb
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3－2.[绳模型问题] 如图所示，轻绳的一端固定在 O 点，另一端系一质量为 m 的 小球(可视为质点)．当小球在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动时，通过传感器 测得轻绳拉力 FT、轻绳与竖直线 OP 的夹角 θ 满足关系式 FT＝a＋bcos θ，式中 a、 b 为常数．若不计空气阻力，则当地的重力加速度为( )
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[典例 1] (2015·全国卷Ⅰ)一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示．水平台面的 长和宽分别为 L1 和 L2，中间球网高度为 h.发射机安装于台面左侧边缘的中点，能 以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为 3h.不计空气的 作用，重力加速度大小为 g.若乒乓球的发射速率 v 在某范围内，通过选择合适的 方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则 v 的最大取值范围是( )
速度较大，也有可能在垂直于平面 ABC 的竖直平面内绕 A 点做完整的圆周运动，
故 A、C 错误，D 正确；在最低点时：Fa－ mg＝mωllab2；解得：Fa＝mg＋mωllab2， 则 a 绳中张力突然增大到 mg＋mωllab2，B 错误． 答案：D
高考物理一轮总复习第四章链接高考4圆周运动的临界问题讲义(含解析)新人教版
链接高考4 圆周运动的临界问题[考点解读]在圆周运动问题中，当出现“恰好”“最大”“至少”“取值范围”等字眼时，说明运动过程中存在临界点．1．常见类型(1)绳的拉力达到最大或为零．(2)物体开始滑动时静摩擦力达到最大．(3)物体脱离接触面时压力为零．2．解题关键：分析临界状态的受力，列出临界条件下的牛顿第二定律方程．[考向突破][考向1] 出现相对滑动情况的临界状态分析[典例1] (多选)如图，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是( )A．b一定比a先开始滑动B．a、b所受的摩擦力始终相等C．ω＝kg2l是b开始滑动的临界角速度D．当ω＝2kg3l时，a所受摩擦力的大小为kmg[审题指导] (1)审关键词：缓慢地加速转动．(2)思路分析：a、b两木块在静摩擦力作用下做圆周运动，角速度相等，当静摩擦力不能提供需要的向心力时，木块做离心运动．[解析]AC [设木块滑动的临界角速度为ω，kmg＝mω2r，所以ω＝kgr，r a＝l，r b＝2l，所以ωa＞ωb，A、C项正确；摩擦力充当向心力，在角速度相等时，b受的摩擦力大，B项错误；ω＝2kg3l时，a受的摩擦力f a＝mω2r＝m⎝⎛⎭⎪⎫2kg3l2l＝23kmg，D项错误．]解决相对滑动临界问题的注意事项1．先确定研究对象受力情况，看哪些力充当向心力，哪些力可能突变引起临界问题．2．注意分析物体所受静摩擦力大小和方向随圆盘转速的变化而发生变化．3．关注临界状态，即静摩擦力达最大值时．例题中，随圆盘转动、静摩擦力提供向心力，随转速的增大，静摩擦力增大，当达到最大静摩擦力时开始滑动，出现临界情况，此时对应的角速度为临界角速度．[题组巩固]1.(2019·山西省山大附中)(多选)如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们与盘间的动摩擦因数相同，当圆盘转速加快到两物体刚要发生滑动时，烧断细线，则( )A．两物体均沿切线方向滑动B．物体B仍随圆盘一起做匀速圆周运动，同时所受摩擦力减小C．两物体仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动D．物体B仍随圆盘一起做匀速圆周运动，物体A发生滑动，离圆盘圆心越来越远解析：BD [当圆盘转速加快到两物体刚要发生滑动时，A物体靠细线的拉力与圆盘的最大静摩擦力的合力提供向心力做匀速圆周运动，B靠指向圆心的静摩擦力和拉力的合力提供向心力，所以烧断细线后，A所受最大静摩擦力不足以提供其做圆周运动所需要的向心力，A要发生相对滑动，离圆盘圆心越来越远，但是B所需要的向心力小于B的最大静摩擦力，所以B仍保持相对圆盘静止状态，做匀速圆周运动，且静摩擦力比绳子烧断前减小．故B、D项正确，A、C项错误．故选B、D项．]2．如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定的角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5 m处有一质量m＝0.4 kg的小物体与圆盘始终保持相对静止，物体与盘面间的动摩擦因数为32，(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2.求：(1)当角速度ω＝0时小物体所受的摩擦力；(2)角速度ω的最大值为多少；(3)当角速度ω为最大值时，小物体运动到圆心等高位置A时小物体所受的摩擦力的大小．解析：(1)当圆盘不转动时，滑块受力平衡，则有f ＝mg sin 30°＝0.4×10×12N ＝2 N.(2)当物体转到圆盘的最低点，所受的静摩擦力沿斜面向上达到最大时，角速度最大，由牛顿第二定律，得μmg cos 30°－mg sin 30°＝m ω2r则ω＝g (μcos 30°－sin 30°)r＝ 10×⎝ ⎛⎭⎪⎫32×32－122.5 rad/s ＝1 rad/s.(3)当物体转到与圆心等高的位置，重力分力与摩擦力的合力等于向心力；向心力F ＝m ω2r ＝0.4×1×2.5 N＝1 N ；摩擦力f ＝F 2＋(mg sin θ)2＝1＋(0.4×10×0.5)2 N ＝ 5 N.答案：(1)2 N (2)1 rad/s (3) 5 N[考向2] 绳子张紧情况的临界状态分析[典例2] 如图所示，水平杆固定在竖直杆上，两者互相垂直，水平杆上O 、A 两点连接有两轻绳，两绳的另一端都系在质量为m 的小球上，OA ＝OB ＝AB ，现通过转动竖直杆，使水平杆在水平面内做匀速圆周运动，三角形OAB 始终在竖直平面内，若转动过程中OB 、AB 两绳始终处于拉直状态，则下列说法正确的是( )A ．OB 绳的拉力范围为0～33mg B ．OB 绳的拉力范围为33mg ～233mg C ．AB 绳的拉力范围为33mg ～233mg D ．AB 绳的拉力范围为0～233mg [审题指导] (1)审关键词：OB 、AB 两绳始终处于拉直状态．(2)思路分析：①当转动的角速度为零时，OB 绳的拉力最小．②当AB 绳的拉力刚好为零时，OB 绳的拉力最大．[解析] B [当转动的角速度为零时，OB 绳的拉力最小，AB 绳的拉力最大，这时两者的值相同，设为F 1，则2F 1cos 30°＝mg ，F 1＝33mg ，增大转动的角速度，当AB 绳的拉力刚好等于零时，OB 绳的拉力最大，设这时OB 绳的拉力为F 2，则F 2cos 30°＝mg ，F 2＝233mg ，因此OB 绳的拉力范围为33mg ～233mg ，AB 绳的拉力范围为0～33mg ，B 项正确．]解决绳子断裂与松弛的临界问题绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是：F T ＝0.[题组巩固]1．(2019·四川资阳一诊)(多选)如图所示，水平转台上有一个质量为m 的物块，用长为l 的轻质细绳将物块连接在转轴上，细绳与竖直转轴的夹角θ＝30°，此时细绳伸直但无张力，物块与转台间动摩擦因数为μ＝13，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物块随转台由静止开始缓慢加速转动，角速度为ω，重力加速度为g ，则( )A ．当ω＝g 2l 时，细绳的拉力为0 B ．当ω＝3g 4l 时，物块与转台间的摩擦力为0 C ．当ω＝4g 3l 时，细绳的拉力大小为43mg D ．当ω＝g l 时，细绳的拉力大小为13mg 解析：AC [当转台的角速度比较小时，物块只受重力、支持力和摩擦力，当细绳恰好要产生拉力时，μmg ＝m ω21l sin 30°，解得ω1＝2g 3l，随角速度的增大，细绳上的拉力增大，当物块恰好要离开转台时，物块受到重力和细绳的拉力的作用，mg tan 30°＝m ω22l sin 30°，解得ω2＝23g 3l ，由于ω1＜3g 4l ＜ω2，所以当ω＝3g 4l，物块与转台间的摩擦力不为零，故B 错误；由于g 2l ＜ω1，所以当ω＝g 2l 时，细绳的拉力为零，故A 正确；由于ω1＜g l ＜ω2，由牛顿第二定律得f ＋F sin 30°＝m ⎝⎛⎭⎪⎫g l 2l sin 30°，因为压力小于mg ，所以f ＜13mg ，解得F ＞13mg ，故D 错误；当ω＝4g 3l ＞ω2时，物块已经离开转台，细绳的拉力与重力的合力提供向心力，则mg tan α＝m ⎝⎛⎭⎪⎫4g 3l 2l sin α，解得cos α＝34，故F ＝mg cos α＝43mg ，故C 正确．] 2.如图所示，两绳系一个质量为m ＝0.1 kg 的小球，两绳的另两端分别固定于轴上的A 、B 两处．上面绳长l ＝2 m ，两绳都拉直时与轴夹角分别为30°与45°.问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧？当角速度为3 rad/s 时，上、下两绳的拉力分别为多大？解析：两绳始终张紧的制约条件有以下两种情况：当ω由零逐渐增大时可能出现两个临界值．其一是BC 恰好拉直，但不受力；其二是AC 仍然拉直，但不受拉力．选C 小球为研究对象，对C 受力分析如图所示．当BC 恰好拉直，但T 2＝0时，设此时的角速度为ω1，则有T 1cos 30°＝mg ①T 1sin 30°＝m ω21l sin 30°②代入数据，解得ω1＝2.40 rad/s当AC 拉直，但T 1已为零，设此时的角速度为ω2，则有T 2cos 45°＝mg ③T 2sin 45°＝m ω22l sin 30°④代入数据，得ω2＝3.16 rad/s所以要两绳始终拉紧，ω必须满足2．40 rad/s≤ω≤3.16 rad/s当ω＝3 rad/s 时，T 1、T 2同时存在，所以T 1sin 30°＋T 2sin 45°＝m ω2l sin 30°⑤T 1cos 30°＋T 2cos 45°＝mg ⑥将数值代入⑤⑥，得T 1＝0.27 N ，T 2＝1.09 N答案：2.40 rad/s≤ω≤3.16 rad/s 0.27 N 1.09 N[考向3] 两物体有脱离情况的临界状态分析[典例3] 如图所示，用一根长为l ＝1 m 的细线，一端系一质量为m ＝1 kg 的小球(可视为质点)，另一端固定在光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为F T .(g 取10 m/s 2，结果可用根式表示)求：(1)若要小球刚好离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？(2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？[审题指导] (1)审关键词：小球刚好离开锥面．(2)思路分析：小球刚好离开锥面时，小球只受重力和绳子的拉力，两个力的合力提供做圆周运动的向心力．[解析] (1)若要小球刚好离开锥面，则小球只受到重力和细线的拉力，受力分析如图所示．小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平，在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式得：mg tan θ＝m ω20l sin θ解得：ω0＝ gl cos θ＝522 rad/s.(2)同理，当细线与竖直方向成60°角时，由牛顿第二定律及向心力公式得：mg tan α＝m ω′2l sin α解得：ω′＝ gl cos α＝2 5 rad/s.[答案] (1)52 2 rad/s (2)2 5 rad/s解决圆锥摆临界问题的技巧圆锥摆的临界问题，主要就是与弹力有关的临界问题．(1)绳上拉力的临界条件是①绳恰好拉直且没有弹力；②绳上的拉力恰好达到最大值．(2)压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零．[题组巩固]1.如图所示，内壁光滑的竖直圆筒，绕中心轴做匀速圆周运动，一物块用细绳系着，绳的另一端系于圆筒上表面圆心，且物块贴着圆筒内表面随圆筒一起转动，则( )A．绳的张力可能为零B．筒对物块的弹力不可能为零C．随着转动的角速度增大，绳的张力保持不变D．随着转动的角速度增大，绳的张力一定增大解析：C [当物块随圆筒做圆周运动时，绳的拉力的竖直分力与物块的重力保持平衡，因此绳的张力为一定值，且不可能为零，选项A、D错误，C正确；当绳的水平分力恰能提供向心力的时候，筒对物块的弹力恰好为零，选项B错误．]2．(2019·淮南一模)在中轴线竖直且固定的光滑圆锥形容器中，固定了一根光滑的竖直细杆，细杆与圆锥的中轴线重合，细杆上穿有小环(小环可以自由转动，但不能上下移动)，小环上连接了一轻绳，与一质量为m的光滑小球相连，让小球在圆锥内做水平面上的匀速圆周运动，并与圆锥内壁接触，如图所示，图(a)中小环与小球在同一水平面上，图(b)中轻绳与竖直轴成θ角，设(a)图和(b)图中轻绳对小球的拉力分别为T a和T b，圆锥内壁对小球的支持力分别为N a和N b，则在下列说法中正确的是( )A．T a一定为零，T b一定为零B．T a可以为零，T b可以不为零C．N a一定不为零，N b不可以为零D．N a可以为零，N b可以不为零解析：B [对(a)图中的小球进行受力分析：小球所受的重力与支持力合力的方向指向圆心，提供向心力，所以T a可以为零；若N a等于零，则小球所受的重力及绳子拉力的合力方向不能指向圆心，绳子也就不可能处于水平位置，所以N a一定不为零，对(b)图中的小球进行受力分析：小球所受重力与支持力合力的方向可以指向圆心，提供向心力，所以T b 可以为零，也可以不为零；若N b等于零，则小球所受重力及绳子拉力的合力方向也可以指向圆心而提供向心力，所以N b可以为零，故B项正确．]。
2025年高考物理一轮复习(通用版)第四章 曲线运动 第23课时 圆周运动的临界极值问题 [重难突破
第23课时 圆周运动的临界极值问题 [重难突破课]题型一 水平面内圆周运动的临界极值问题常见 情境 （1）水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件：物体与转盘之间的摩擦力恰好达到最大静摩擦力。
（2）绳的拉力出现临界条件：绳恰好拉直（此时绳上无弹力）或绳上拉力恰好为最大承受力等。
（3）物体间恰好分离的临界条件：物体间的弹力恰好为零解题 思路（1）若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等关键词，表明题述的过程存在临界状态。
（2）若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等关键词，表明题述的过程存在着极值，这个极值点也往往是临界状态。
（3）当确定了物体运动的临界状态或极值条件后，要分别针对不同的运动过程或现象，选择相对应的物理规律，然后再列方程求解【典例1】 如图甲所示，在匀速转动的水平盘上，沿半径方向放着用轻质细线相连的质量相等的两个物体A 和B ，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为2r 和3r ，两物体与盘间的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
若初始时绳子恰好拉直但没有拉力，现增大转盘角速度让转盘做匀速圆周运动，但两物体还未发生相对滑动，这一过程A 与B 所受摩擦力f 的大小与ω2的大小关系图像如图乙所示，下列关系式正确的是（ ）A.2ω22＝3ω12B.ω22＝2ω12C.2ω22＝5ω12D.ω22＝3ω12答案：D解析：由题意可知，因为物体A 和B 分居圆心两侧，与圆心距离分别为2r 和3r ，两个物体都没滑动之前，都受静摩擦力的作用，与ω2成正比，由于B 物体到圆心的距离大，故B 物体与转台间的摩擦力先达到最大静摩擦力，此后，摩擦力大小不变，此时根据牛顿第二定律得μmg ＝m·3r ω12，角速度达到ω1后绳子出现拉力，在角速度为ω2时，设绳子拉力为T ，对B 有T ＋μmg ＝m·3r ω22，对A 有T ＝m·2r ω22，解得ω22＝3ω12，故选D 。
高考物理一轮复习 4.4匀速圆周运动动力学问题及实例分析学案
高考物理一轮复习 4.4匀速圆周运动动力学问题及实例分析学案基础知识归纳1.圆周运动的动力学问题做匀速圆周运动的物体所受合外力提供向心力，即F 合＝F 向，或F 合＝ 2r v m ＝ mω2r ＝π4 22r Tm .2.竖直平面内的圆周运动中的临界问题 (1)轻绳模型：一轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动.小球能到达最高点(刚好做圆周运动)的条件是小球的重力恰好提供向心力，即mg ＝m rv 2，这时的速度是做圆周运动的最小速度v min＝gr .(2)轻杆模型：一轻杆系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球能到达最高点(刚好做圆周运动)的条件是在最高点的速度 v ≥0 .①当v ＝0时，杆对小球的支持力等于小球的重力； ②当0<v <gr 时，杆对小球的支持力 小 于小球的重力； ③当v ＝gr 时，杆对小球的支持力 等 于零； ④当v >gr 时，杆对小球提供 拉 力.重点难点突破一、圆周运动的动力学问题解决有关圆周运动的动力学问题，首先要正确对做圆周运动的物体进行受力分析，必要时建立坐标系，求出物体沿半径方向的合外力，即物体做圆周运动时所能提供的向心力，再根据牛顿第二定律等规律列方程求解. 二、圆周运动的临界问题 圆周运动中临界问题的分析，首先应考虑达到临界条件时物体所处的状态，然后分析该状态下物体的受力特点，结合圆周运动的知识，综合解决问题. 1.在竖直面内做圆周运动的物体竖直面内圆周运动的最高点，当没有支撑面(点)时，物体速度的临界条件：v 临＝Rg .绳与小球的情况即为此类临界问题，因为绳只能提供拉力不能提供支持力.竖直面内圆周运动的最高点，当有支撑面(点)时，物体的临界速度：v 临＝0.杆与球的情况为此类临界问题，因为杆既可以提供拉力，也可提供支持力或侧向力. 2.当静摩擦力提供物体做圆周运动的向心力时，常会出现临界值问题.典例精析1.圆周运动的动力学问题【例1】质量为m 的物体沿着半径为r 的半球形金属球壳滑到最低点时的速度大小为v ，如图所示，若物体与球壳之间的动摩擦因数为μ，则物体在最低点时( )A.向心加速度为r v 2B.向心力为m (g ＋rv 2)C.对球壳的压力为rmv 2 D.受到的摩擦力为μm (g ＋r v 2)【解析】物体在最低点沿半径方向受重力、球壳对物体的支持力，两力的合力提供物体做圆周运动在此位置的向心力，由牛顿第二定律有F N －mg ＝r mv 2，物体的向心加速度为r v 2，向心力为r mv 2，物体对球壳的压力为m (g ＋r v 2)，在沿速度方向，物体受滑动摩擦力，有F ＝μF N ＝μm (g＋rv 2)，综上所述，选项A 、D 正确.【答案】AD【思维提升】匀速圆周运动动力学规律是物体所受合外力提供向心力，即F 合＝F 向，或 F 合＝m r v 2＝mω2r ＝m r T22π4.这一关系是解答匀速圆周运动的关键规律.【拓展1】铁路转弯处的弯道半径r 是根据地形决定的，弯道处要求外轨比内轨高，其内外高度差h 的设计不仅与r 有关，还取决于火车在弯道上行驶的速率.下表中是铁路设计人员技术手册中弯道半径r 及与之相对应的轨道的高度差h .弯道半径r (m) 660 330 220 165 132 110 内外轨高度差h (m)0.050.100.150.200.250.30(1)根据表中数据，试导出h 与r 关系的表达式，并求出当r ＝440 m 时，h 的设计值.(2)铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内外轨道均不向车轮施加侧向压力，又已知我国铁路内外轨的距离设计值L ＝1.435 m ，结合表中数据，求出我国火车的转弯速率v .(路轨倾角α很小时，可认为tan α＝sin α)【解析】(1)分析表中数据可得，每组的h 与r 之乘积均等于常数C ＝660×50×10－3 m ＝33 m 2，因此h•r ＝33(或h ＝r33) 当r ＝440 m 时，有h ＝44033m ＝0.075 m ＝75 mm (2)转弯中，当内外轨对车轮均没有侧向压力时，火车的受力如图所示. 由牛顿第二定律得mg tan α＝m rv 2① 因为α很小，有tan α＝sin α＝Lh②由①②可得v ＝Lghr代入数据解得v ＝15 m/s ＝54 km/h 2.圆周运动的临界问题【例2】(2009•安徽)过山车是游乐场中常见的设施.下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B 、C 、D 分别是三个圆形轨道的最低点，B 、C 间距与C 、D 间距相等，半径R 1＝2.0 m 、R 2＝1.4 m.一个质量为m ＝1.0 kg 的小球(可视为质点)，从轨道的左侧A 点以v 0＝12.0 m/s 的初速度沿轨道向右运动，A 、B 间距L 1＝6.0 m.小球与水平轨道间的动摩擦因数μ＝0.2，圆形轨道是光滑的.假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠.重力加速度取g ＝10 m/s 2，计算结果保留小数点后一位数字.试求： (1)小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小； (2)如果小球恰能通过第二个圆形轨道，B 、C 间距L 应是多少；(3)在满足(2)的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第三个圆形轨道的设计中，半径R 3应满足的条件；小球最终停留点与起点A 的距离.【解析】(1)设小球经过第一个圆轨道的最高点时的速度为v 1，根据动能定理－μmgL 1－2mgR 1＝20212121mv mv - ①小球在最高点受到重力mg 和轨道对它的作用力F ，根据牛顿第二定律 F ＋mg ＝m 121R v②由①②式解得F ＝10.0 N③(2)设小球在第二个圆轨道的最高点的速度为v 1，由题意知mg ＝m 222R v④－μmg (L 1＋L )－2mgR 2＝20222121mv mv - ⑤由④⑤式解得L ＝12.5 m ⑥(3)要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论：Ⅰ.轨道半径较小时，小球恰好能通过第三个圆轨道，设在最高点的速度为v 3，应满足mg ＝m 323R v⑦－μmg (L 1＋2L )－2mgR 3＝20232121mv mv - ⑧由⑥⑦⑧式解得R 3＝0.4 mⅡ.轨道半径较大时，小球上升的最大高度为R 3，根据动能定理有 －μmg (L 1＋2L )－2mgR 3＝0－2021mv解得R 3＝1.0 m为了保证圆轨道不重叠，R 3最大值应满足(R 2＋R 3)2＝L 2＋(R 3－R 2)2解得R 3＝27.9 m综合Ⅰ、Ⅱ，要使球不脱离轨道，则第三个圆轨道半径需满足0<R 3≤0.4 m 或1.0 m≤R 3≤27.9 m当0<R 3≤0.4 m 时，小球最终停留点与起始点A 距离为L ′，则－μmgL ′＝0－2021mv解得L ′＝36.0 m当1.0 m≤R 3≤27.9 m 时，小球最终停留点与起始点A 的距离为L ″，则L ″＝L ′－2(L ′－L 1－2L )＝26.0 m【思维提升】本题侧重考查圆周运动临界条件的应用.物体运动从一种物理过程转变到另一物理过程，常出现一种特殊的转变状态，即临界状态.通过对物理过程的分析，找出临界状态，确定临界条件，往往是解决问题的关键.【拓展2】如图所示，用一连接体一端与一小球相连，绕过O 点的水平轴在竖直平面内做圆周运动，设轨道半径为r ，图中P 、Q 两点分别表示小球轨道的最高点和最低点，则以下说法正确的是( BC )A.若连接体是轻质细绳时，小球到达P 点的速度可以为零B.若连接体是轻质细杆时，小球到达P 点的速度可以为零C.若连接体是轻质细绳时，小球在P 点受到细绳的拉力可能为零D.若连接体是轻质细杆时，小球在P 点受到细杆的作用力为拉力，在Q 点受到细杆的作用力为推力【解析】本题考查竖直面内的圆周运动，束缚物是细绳，物体在最高点的最小速度为gR ，此时细绳拉力为零，A 错，C 对；束缚物是细杆时，如果最高点的速度为gR ，细杆拉力为零，如果v >gR ，细杆为拉力，如果v <gR ，细杆为推力，B 对，D 错.【例3】如图所示，两绳系一质量为m ＝0.1 kg 的小球，两绳的另一端分别固定于轴的A 、B 两处，上面绳长l ＝2 m ，两绳拉直时与轴的夹角分别为30°和45°，问球的角速度在什么范围内两绳始终有张力(取g ＝10 m/s 2)？【解析】设两细绳都被拉直时，A 、B 绳的拉力分别为T A 、T B ，小球的质量为m ，A 绳与竖直方向的夹角为θ＝30°，B 绳与竖直方向的夹角为α＝45°，经受力分析，由牛顿第二定律得： 当B 绳中恰无拉力时F A sin θ＝mω21l sin θ①F A cos θ＝mg②由①②式解得ω1＝310rad/s 当A 绳中恰无拉力时，F B sin α＝mω22l B sin θ③F B cos α＝mg④由③④式解得ω2＝10rad/s所以，两绳始终有张力，角速度的范围是 310rad/s<ω<10 rad/s【思维提升】此类问题中，往往是两根绳子恰无拉力时为角速度出现极大值和极小值的临界条件，抓住临界条件、分析小球在临界位置的受力情况是解决此类问题的关键. 【拓展3】如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线的夹角θ＝30°，一条长为l 的绳，一端固定在圆锥体的顶点O ，另一端系一个质量为m 的小球(可视为质点)，小球以速率v 绕圆锥体的轴线在水平面内做匀速圆周运动.试分析讨论v 从零开始逐渐增大的过程中，球受圆锥面的支持力及摆角的变化情况.【解析】(1)临界条件：小球刚好对锥面没有压力时的速率为v 0，小球受重力和绳子的拉力的合力提供向心力，则有F 向＝mg tan 30° ＝m ︒30 sin 20l v ，解得v 0＝gl 63(2)当v <v 0时，小球除受到重力和绳子的拉力外，还受到圆锥面的支持力，如图所示，则有F 向＝F T sin 30°－F N cos 30°＝m ︒30 sin 20l vF T cos 30°＋F N sin 30°＝mg 速度越大，支持力越小.(3)当v >v 0时，小球离开锥面飘起来，设绳与轴线夹角为φ，则F T s ins φ＝m ϕsin 2l v速度越大，绳与轴线夹角φ越大. 易错门诊【例4】一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R (比细管的半径大得多)，圆管中有两个直径与细管内径相同的小球(可视为质点).A 球的质量为m 1，B 球的质量为m 2.它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v 0.设A 球运动到最低点时，B 球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m 1、m 2、R 与v 0应满足的关系式是 .【错解】依题意可知在A 球通过最低点时，圆管给A 球向上的弹力N 1为向心力，则有N 1＝m 1Rv 20① B 球在最高点时，圆管对它的作用力N 2为m 2的向心力，方向向下，则有N 2＝m 2Rv 21② 因为m 2由最高点到最低点机械能守恒，则有m 2g 2R ＋222122121v m v m = ③N 1＝N 2由①②③式解得v 0＝1224m m gRm -【错因】错解形成的主要原因是向心力的分析中缺乏规范的解题过程.没有作受力分析，导致漏掉重力，表面上分析出了N 1＝N 2，但实际并没有真正明白为什么圆管给m 2向下的力.总之从根本上看还是解决力学问题的基本功——受力分析不过关.【正解】首先画出小球运动达到最高点和最低点的受力图，如图所示.A 球在圆管最低点必受向上的弹力N 1，此时两球对圆管的合力为零，m 2必受圆管向下的弹力N 2，且N 1＝N 2据牛顿第二定律A 球在圆管的最低点有N 1－m 1g ＝m 1Rv 20①同理B 球在最高点有m 2g ＋N 2＝m 2Rv 21②B 球由最高点到最低点机械能守恒2m 2gR ＋222122121v m v m = ③又N 1＝N 2由①②③式解得v 0＝1212)5(m m gRm m -+【思维提升】比较复杂的物理过程，如能依照题意画出草图，确定好研究对象，逐一分析就会变为简单问题.找出其中的联系就能很好地解决问题.。
高考物理一轮总复习第四章第四讲平抛运动圆周运动的临界问题练习含解析
平抛运动、圆周运动的临界问题[A组·基础题]1. 如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止．物体与盘面间的动摩擦因数为3 2(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2.则ω的最大值是( C )A. 5 rad/s B． 3 rad/sC．1.0 rad/s D．5 rad/s2. 一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，圆盘半径为R，甲、乙两物体的质量分别为M 与m(M＞m)，它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为正压力的μ倍，两物体用一根长为l(l ＜R)的轻绳连在一起，如图所示，若将甲物体放在转轴的位置上，甲、乙之间接线刚好沿半径方向拉直，要使两物体与转盘之间不发生相对滑动，则转盘旋转的角速度最大值不得超过( D )A.μM－m gmlB．μM－m gMlC.μM＋m gMlD．μM＋m gml3. (2019·河南中原名校考评)如图所示，半径分别为R、2R的两个水平圆盘，小圆盘转动时会带动大圆盘不打滑的一起转动．质量为m的小物块甲放置在大圆盘上距离转轴R处，质量为2m的小物块放置在小圆盘的边缘处．它们与盘面间的动摩擦因数相同，当小圆盘以角速度转动时，两物块均相对圆盘静止，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是( B )A．二者线速度大小相等B ．甲受到的摩擦力大小为14mω2RC ．在ω逐渐增大的过程中，甲先滑动D ．在ω逐渐增大但未相对滑动的过程中，物块所受摩擦力仍沿半径指向圆心解析：大圆盘和小圆盘边缘上的线速度大小相等，当小圆盘以角速度ω转动时，大圆盘以ω2转动；两物块做圆周运动的半径相等，但是角速度不同，则线速度大小不等，A 错误；根据v ＝ωr 知，大圆盘以ω2转动，则小物块甲受到的摩擦力f ＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω22R ＝14mω2R ，B 正确；根据μmg ＝mω2r 知，临界角速度ω＝μgr，两物块的半径相等，知临界角速度相等，在角速度ω逐渐增大的过程中，ω大＝12ω小，可知物块乙先滑动，C 错误；在角速度ω逐渐增大的过程中，甲乙的线速度逐渐增大，根据动能定理知，摩擦力对两物块均做正功，可知摩擦力一定有沿线速度方向的分力，所以物块受到的摩擦力的方向一定不是指向圆心，D 错误． 4. (2018·广东七校联考)如图所示，半径为R 的圆轮在竖直面内绕O 轴匀速转动，轮上A 、B 两点各粘有一小物体，当B 点转至最低位置时，此时O 、A 、B 、P 四点在同一竖直线上，已知：OA ＝AB ，P 是地面上的一点．此时A 、B 两点处的小物体同时脱落，最终落到水平地面上同一点．不计空气阻力，则OP 的距离是( A )A.76R B ．52R C ．5RD ．7R解析：设OP 之间的距离为h ，则A 下落的高度为h －12R ，A 随圆轮运动的线速度为12ωR ，设A 下落的时间为t 1，水平位移为s ，则有：在竖直方向上有：h －12R ＝12gt 21在水平方向上有： s ＝12ωRt 1B 下落的高度为h －R ，B 随圆轮运动的线速度为ωR ，设B 下落的时间为t 2，水平位移也为s ，则有：在竖直方向上有：h －R ＝12gt 22在水平方向上有：s ＝ωRt 2联立上式解得：h ＝76R选项A 正确，B 、C 、D 错误．5．(多选) 水平面上有倾角为θ、质量为M 的斜面体，质量为m 的小物块放在斜面上，现用一平行于斜面、大小恒定的拉力F 作用于小物块上，绕小物块旋转一周，这个过程中斜面体和小物块始终保持静止状态．下列说法中正确的是( AC )A ．小物块受到斜面的最大摩擦力为F ＋mg sin θB ．小物块受到斜面的最大摩擦力为F －mg sin θC ．斜面体受到地面的最大摩擦力为FD ．斜面体受到地面的最大摩擦力为F cos θ6．(多选) (2018·山西省吕梁市期中)如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R ，小球半径为r ，则下列说法正确的是( BC )A ．小球通过最高点时的最小速度v min ＝g R ＋rB ．小球通过最高点时的最小速度v min ＝0C ．小球在水平线ab 以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力D ．小球在水平线ab 以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力解析：小球过最高点时可能受到外壁对其向下的压力或内壁对其向上的支持力，类似于轻杆端点的小球过最高点，则其通过最高点的最小速度为零．故A 项错误，B 项正确；小球在管道中运动时，向心力的方向要指向圆心；小球在水平线ab 以下时，重力沿半径的分量背离圆心，则管壁必然提供指向圆心的支持力，只有外侧管壁才能提供此力，内侧管壁对小球一定无作用力，C 项正确；同理在水平线ab 以上时，重力沿半径的分量指向圆心，外侧管壁对小球可能没有作用力，D 项错误．7. 如图所示，水平屋顶高H ＝5 m ，围墙高h ＝3.2 m ，围墙到房子的水平距离L ＝3 m ，围墙外空地宽x ＝10 m ，为使小球从屋顶水平飞出落在围墙外的空地上，g 取10 m/s 2.求：(1)小球离开屋顶时的速度v 0的大小范围；(2)小球落在空地上的最小速度．解析：(1)设小球恰好落到空地的右侧边缘时的水平初速度为v 01，则小球的水平位移：L ＋x ＝v 01t 1小球的竖直位移：H ＝12gt 21解以上两式得v 01＝(L ＋x )g2H＝13 m/s 设小球恰好越过围墙的边缘时的水平初速度为v 02，则此过程中小球的水平位移：L ＝v 02t 2 小球的竖直位移：H －h ＝12gt 22解以上两式得：v 02＝Lg2H －h＝5 m/s小球离开屋顶时的速度大小为5 m/s≤v 0≤13 m/s.(2)小球落在空地上，下落高度一定，落地时的竖直分速度一定，当小球恰好越好围墙的边缘落在空地上时，落地速度最小． 竖直方向：v 2y ＝2gH 又有：v min ＝v 202＋v 2y 解得：v min ＝5 5 m/s.答案：(1)5 m/s≤v 0≤13 m/s (2)5 5 m/s[B 组·能力题]8. (多选)如图所示，两物块A 、B 套在水平粗糙的CD 杆上，并用不可伸长的轻绳连接，整个装置能绕过CD 中点的轴转动，已知两物块质量相等，杆CD 对物块A 、B 的最大静摩擦力大小相等，开始时绳子处于自然长度(绳子恰好伸直但无弹力)，物块B 到轴的距离为物块A 到轴距离的两倍，现让该装置从静止开始转动，使转速逐渐慢慢增大，在从绳子处于自然长度到两物块A 、B 即将滑动的过程中，下列说法正确的是( BC )A ．A 受到的静摩擦力一直增大B ．B 受到的静摩擦力先增大后保持不变C ．A 受到的静摩擦力先增大后减小再增大D ．B 受到的合外力先增大后保持不变9. (多选)(2016·浙江卷)如图所示为赛车场的一个水平“梨形”赛道，两个弯道分别为半径R ＝90 m 的大圆弧和r ＝40 m 的小圆弧，直道与弯道相切．大、小圆弧圆心O 、O ′距离L ＝100 m ．赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的2.25倍，假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在弯道上做匀速圆周运动，要使赛车不打滑，绕赛道一圈时间最短(发动机功率足够大，重力加速度g ＝10 m/s 2，π＝3.14)，则赛车( AB )A ．在绕过小圆弧弯道后加速B ．在大圆弧弯道上的速率为45 m/sC ．在直道上的加速度大小为5.63 m/s 2D ．通过小圆弧弯道的时间为5.58 s10．如图为“快乐大冲关”节目中某个环节的示意图，参与游戏的选手会遇到一个人造山谷AOB ，AO 是高h ＝3 m 的竖直峭壁，OB 是以A 点为圆心的弧形坡，∠OAB ＝60°，B 点右侧是一段水平跑道．选手可以自A 点借助绳索降到O 点后再爬上跑道，但身体素质好的选手会选择自A 点直接跃上跑道．选手可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度g ＝10 m/s 2.(1)若选手以速度v 0水平跳出后，能跳在水平跑道上，求v 0的最小值； (2)若选手以速度v 1＝4 m/s 水平跳出，求该选手在空中的运动时间．解析：(1)运动员从A 到B 点做平抛运动，设刚好能到达B 点，水平方向上h sin 60°＝v 0t 竖直方向上h cos 60°＝12gt 2计算可得v 0＝3102m/sv 0的最小值为3102m/s. (2)若选手以速度v 1＝4 m/s 水平跳出，v 1＜v 0，选手会落到圆弧上， 水平方向上x ＝v 1t 1 竖直方向上y ＝12gt 21根据几何关系x 2＋y 2＝h 2计算可得t 1＝0.6 s.答案：(1)3102m/s (2)0.6 s11. (2017·河南开封模拟)如图所示，一块足够大的光滑平板放置在水平面上，能绕水平固定轴MN 调节其与水平面所成的倾角．板上一根长为l ＝0.60 m 的轻细绳，它的一端系住一质量为m 的小球P ，另一端固定在板上的O 点．当平板的倾角固定为α时，先将轻绳平行于水平轴MN 拉直，然后给小球一沿着平板并与轻绳垂直的初速度v 0＝3.0 m/s.若小球能保持在板面内做圆周运动，倾角α的值应在什么范围内？(取重力加速度g ＝10 m/s 2)解析：小球在倾斜平板上运动时受到绳子拉力、平板弹力、重力．在垂直平板方向上合力为0，重力在沿平板方向的分量为mg sin α小球在最高点时，由绳子的拉力和重力沿平板方向的分力的合力提供向心力，有F T ＋mg sinα＝mv 21l①研究小球从释放到最高点的过程，根据动能定理有 －mgl sin α＝12mv 21－12mv 20②若恰好能通过最高点，则绳子拉力F T ＝0③ 联立①②③解得sin α＝12，解得α＝30°故α的范围为0°≤α≤30°. 答案：0°≤α≤30°。
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第四课时圆周运动实例分析与临界问题【教学要求】1．知道非匀速圆周运动的特点；2．掌握竖直平面内的圆周运动的两种典型情况，会分析其临界条件。
3．会运用圆周运动的有关知识分析解决实际问题。
【知识再现】一、火车转弯问题由于火车的质量比较大，火车拐弯时所需的向心力就很大．如果铁轨内外侧一样高，则外侧轮缘所受的压力很大，容易损坏；实用中使________略高于_________，从而_________和_________ 的合力提供火车拐弯时所需的向心力。
铁轨拐弯处半径为R ，内外轨高度差为H ，两轨间距为L ，火车总质量为M ，则： (1)火车在拐弯处运动的“规定速度’’即内外轨均不受压的速度v p =_________；(2)若火车实际速度大于v p ，则___轨将受到侧向压力； (3)若火车实际速度小于v p ，则___轨将受到侧向压力。
二、“水流星”问题绳系装满水的杯子在竖直平面内做圆周运动，即使到了最高点杯子中的水也不会流出，这是因为水的重力提供水做圆周运动的向心力． (1)杯子在最高点的最小速度v min =____．(2)当杯子在最高点速度为v>v min 时，杯子内的水对杯底有压力，若计算中求得杯子在最高点速度v<v min ，则杯子不能到达最高点。
竖直平面内的变速圆周运动，是典型的变速圆周运动，对于物体在竖直平面内做变速圆周运动的问题，中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况，并且经常出现临界状态。
此类问题多为讨论最高点时的情况，下面具体分析几种情况： 1、“绳模型”——外轨、绳的约束 （1）临界条件：小球到最高点时绳子的拉力（或轨道的弹力）刚好等于零，小球的重力提供做圆周运动的向心力， =grmg=mv临2/r v临即 v 临 是小球能通过最高点时的最小速度 （2）能通过最高点的条件：v ≥v 临（3）不能通过最高点的条件v<v 临。
这种情况实际上小球在到达最高点之前就脱离了轨道 2、“杆模型”——管、杆的约束 （1） 临界条件：由于轻杆或管壁的支撑，小球能到达最高点的条件是小球在最高点时速度可以为零。
（2） 当0＜v ＜gr 时，杆对球的作用力表现为推力，推力大小为 重点突破考点剖析N=mg-m rv 2，N 随速度增大而减小。
（3） 当v ＞gr 时，杆对球的作用力表现为拉力，拉力的大小为T= m rv 2-mg【应用1】(2008汕头市一中期中考试模拟)轻杆的一端固定一个质量为m 的小球，以另一端o 为圆心，使小球在竖直平面内做半径为r 的圆周运动，则小球通过最高点时，杆对小球的作用力（ ） A ．可能等于零 B ．可能等于mg C ．一定与小球受到的重力方向相反 D ．一定随小球过最高点时速度的增大而增大由于轻杆可以对小球提供支持力，小球通过最高点的最小速度v=O ，此时支持力F N =mg ；当O<v<gr 时，杆对小球的作用力为支持力，方向竖直向上，大小随小球过最高点时速度的增大而减小，取值范围为0<F N <mg ；当v=gr 时，F N =0；当v>gr 时，杆对小球的作用力为拉力，方向竖直向下，大小随小球过最高点时速度的增大而增大。
故答案应为A 、B 。
解答竖直面内的圆周运动问题时，首先要搞清是绳模型还是杆模型，在最高点绳模型小球的最小速度是gr ；而杆模型小球在最高点的最小速度为零，要注意根据速度的大小判断是拉力还是支持力。
如图所示，小球在竖直平面内做圆周运动时，C 为最高点，D 为最低点，C 点速度最小，D 点速度最大。
但是若加水平向右的电场E ，小球带电量为+q ，则在A 点速度最小，在B 点速度最大，小球在A 点时重力与电场力的合力指向圆心，小球在B 点时，重力与电场力的合力沿半径向外，这与只有重力时C 、D 两点的特性相似。
我们把A 、B 两点称为物理最高点和物理最低点，而把C 、D 两点称为几何最高点和几何最低点。
【应用2】（淮阴中学08届高三测试卷）如图所示，细线一端系住一质量为m 的小球，以另一端o 为圆心，使小球在竖直面内做半径为R 的圆周运动。
若球带正电q ，空间有竖直向上的匀强电场E ，为使小球能做完整的圆周运动，在最低点A 小球至少应有多大的速度?求解本题的关键是找出带电粒子在复合场中做圆周运动的“等效最高点”以便求出小球在“等效最高点”的临界速度，进一步求出小球在最低点A 的速度． 由于m 、q 、E 的具体数值不详，故应分别讨论如下： (1)若qE<mg ，则等效重力场的方向仍向下，等效重力加速度： g ′=（mg-Eq ）/m ．因此在最高点的临界速度v B =R g '=mR Eq mg )(-mg ′·2R=21mv A 2-21mv A 2由动能定理得：整理得：m Eq mg R v A /)(5-=(2) 若qE>mg ，则等效重力场的方向向上，等效重力加速度： g ′=（Eq-mg ）/m ．在该等效重力场中小球轨迹“最高点”（实际为问题中的最低点——即A 点）的临界速度 v B =R g '=mR mg Eq )(-(3)若qE=mg ，则等效重力场消失，小球在竖直面内做匀速圆周运动，能使小球做完整圆周运动的条件是v B >0。
该类题的关键是求出等效重力mg ′，找出等效重力场中的“等效最高点”——物理最高点，在“等效最高点”的速度v ′=R g '【例1】如图所示，两绳系一个质量为m=0．1 kg 的小球。
两绳的另一端分别固定于轴的A 、B 两处，上面绳长L=2 m ，两绳都拉直时与轴夹角分别为300和450。
问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧?(g 取10m/s 2)示。
当ω由O 逐渐增大时，ω可能出现两个临界值。
(1)BC 恰好拉直，但F 2仍然为零，设此时的角速度为ω1，则有F x =Fsin300=m ω12Lsin300F y =Fcos300-mg=O 代入数据得，ω1=2.40rad/s(2)AC 由拉紧转为恰好拉直，但F 1已为零，设此时的角速度ω2，则有 F x =F 2sin450=m ω22Lsin300F y =F 2cos450-mg=O代入数据得，ω2=3.16rad/s 答案：2.40rad/s ≤ω≤3.16rad/s1、要会用极限分析法判定物体可能处的状态，进而正确受力分析。
2、要注意确定物体做圆周运动的圆心和半径。
3、只要物体做圆周运动．在任何一个位置和状态．都满足F 供=F 需建立该动力关系方程是解决圆周运动问题的基本方法。
【例2】如图所示，匀速转动的水平圆盘上，放有质量均为m 的小物体A 、B ， A 、B 间用细线沿半径方向相连，它们到转轴距离分别为R A =20cm ，R B =30cm 。
A 、B 与盘面间的最大静摩擦力均为重力的0.4倍，试求：(1)当细线上开始出现张力时，圆盘的角速度ω0； (2)当A 开始滑动时，圆盘的角速度ω；(3)当即将滑动时，烧断细线，A 、B 状态如何?(1)当细线上开始出现张力时，表明B 与盘间的静摩擦力已达到最大，设此时圆盘角速度为ω0，则是kmg=mr B ω02解得： B 0r /kg =ω =3.7rad/s(2)当A 开始滑动时，表明A 与盘的静摩擦力也已达到最大，设此时盘转动角速度为ω，线上拉力为F T 则，对A ：F fAm -F T =mr Aω2对B ：F fBm +F T=mrB ω2又：F fAm =F fBm=kmg方法探究解得ω=4rad/s 。
(3)烧断细线，A 与盘间的静摩擦力减小，继续随盘做半径为r A =20cm 的圆周运动，而B 由于F fBm 不足以提供必要的向心力而做离心运动。
答案：(1) 3.7rad/s (2) 4rad/s (3)A 做圆周运动，B 做离心运动1、利用极限分析法的“放大”思想分析临界状态。
认清临界情景和条件，建立临界关系是解决此类问题的关键。
2、圆周运动中的连接体加速度一般不同，所以，解决这类连接体的动力学问题时一般用隔离法。
但也可用整体法来求解。
1．（07届广东省惠阳市综合测试卷三）铁路转弯处的弯道半径r 是根据地形决定的，弯道处要求外轨比内轨高，其内轨高度差h 的设计不仅与r 有关，还取决于火车在弯道上行驶的速率。
下表中是铁路设计人员技术手册中弯道半径r 及与之相应的轨道的高度差h 。
（1）根据表中数据，试导出h 与r 关系的表达式，并求出当r=400m 时，h 的设计值。
（2）铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内外轨道均不向车轮施加侧面压力，又已知我国铁路内外轨的距离设计值为L=1.435m ，结合表中数据，求出我国火车的转弯速率v （路轨倾角α很小时，tg α≈sin α）。
（3）随着人们的生活节奏加快，对交通运输的快捷提出了更高的要求，为了提高运输能力，国家对铁路不断进行提速改造，这就要求铁路转弯速率也需提高，请根据上述高处原理和上表分析，提速时应采取怎样的有效措施？（g 取9.8m/s 2）2．（东台市2008届第一次调研）一内壁光滑的环形细圆管，固定于竖直平面内，环的半径为R （比细管的半径大得多）．在圆管中有两个直径略小于细管内径相同的小球（可视为质点）．A 球的质量为m 1，B 球的质量为m 2．它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v 0．设A 球运动到最低点时，B 球恰好运动到最高点，重力加速度用g 表示．（1）若此时B 球恰好对轨道无压力，题中相关物理量满足何种关系？ （2）若此时两球作用于圆管的合力为零，题中各物理量满足何种关系？（3）若m 1=m 2=m ，试证明此时A 、B 两小球作用于圆管的合力大小为6mg ，方向竖直向下．答案：1、（1）0.075m ；（2）v=15m ；（3）提速时应采取的有效措施是增大弯道半径 r 和内外轨高度差h ； 2、（1）v 02=4gR ；（2）0)5()(212021=++-g m m Rv m m ；（3）A 球受管的支持力为F A ，方向竖直向上；设B 球受管的弹力为F B ，取竖直向上为F B 的正方向，根据牛顿第二定律Rv m mg F A20=-Rv m F mg B 2=-成功体验又R mg mv mv 22121220+=两球受圆管的合力F 合=F A +B B ，方向竖直向上，联立以上各式得F 合=6mg ，方向竖直向上 ，根据牛顿第三定律，A 、B 两小球对轨道作用力的合力大小为6mg ，方向竖直向下。