3.1.1空间向量及其加减运算--高中数学选修2-1(精)
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【精品】高中数学人教A版选修2-1课件：3.1.1空间向量及其加减运算课件(17张)
相等的向量； ③空间任意两个向量都可以用同一平面内
的两条有向线段表示．
2.空间向量的加法、减法向量
C
B
b
b
O
a
A
OB OA AB a + b CA OA OC a - b
⒊空间向量加法运算律
⑴加法交换律：a + b = b + a； ⑵加法结合律：(a + b) + c =a + (b + c)；
3.1.1 空间向量及其加减运算
一、平面向量复习
⒈定义： 既有大小又有方向的量叫向量．
几何表示法： 用有向线段表示； 字母表示法： 用字母a、b等或者用有向线段 的起点与终点字母 AB 表示． 相等的向量： 长度相等且方向相同的向量．
B A C
D
⒉平面向量的加减法运算
⑴向量的加法：
b
a
a 三角形法则(首尾相连)
AB
相等的所有向量；
（2）写出与向量
A A1
的相反向量。
ABCD A 'B 'C 'D '，化简 例2 已知平行六面体 列向量表达式，并标出 化简结果的向
⑴AB BC ；
D’ A’ B’
C’
⑵ AB AD AA '；
( 3 ) A B C B A A
( 4 ) A C D B D C
平行四边形法则
⑵向量的减法
三角形法则
b
a
减向量终点指向被减向量终点
⒊平面向量的加法运算律
加法交换律： a＋b＝b＋a 加法结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
推广
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的 起点指向末尾向量的终点的向量．即：
高中数学选修2-1第3章3-1空间向量及其运算课件
上一节课,我们把平面向量的有关概念及加减运算扩展
到了空间.
加法 减法 运算
运 算 律
平面向量 加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则 加法交换律
ab ba 加法结合律:
(a b) c a (b c)
空间向量
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
加法交换律 a b b a 加法结合律
OG kOC,OH kOD. 由于四形ABCD是平行四形，所以 AC AB AD . 因此
EG OG OE kOC kOA=k AC
k( AB AD) k(OB OA OD OA)
OF OE OH OE EF EH 由向量共面的充要件知E ,F,G ,H 四共面.
（3）在正方体 ABCD - A中1B，1C1必D1有
. AC = A1C1
（4）若空间向量 m,n满,p足
，m = n,n = p
则 m . p
（5）空间中任意两个单位向量必相等.
其中不正确命题的个数是（ C）
A.1 B.2 C.3 D.4
数学 选修2-1
2.给出以下几种说法：
①若| a |＝| b |，则a ， b 的长度相同，方
a+b=b+a （2）加法结合律
(a + b) + c = a + (b + c)
数学 选修2-1
证明加法交换律:
C
a
B
o
a
A
因为 OA = CB = a， AB = OC = b，
所以 a + b = b + a.
数学 选修2-1
证明加法结合律: O
a
A
C
人教A版高中数学选修2-1课件11.11高二理科《3.1.1空间向量及加减运算(1)》.pptx
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D1 A1
D A
C1 B1
C B
D1 A1
D A
C1 B1
C B
例题讲解D A来自C B例题讲解
D A
C B
例题讲解
D A
C B
例题讲解
D A
C B
课后作业
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复习引入
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高中数学人教A版选修2-1课件：3-1-1 空间向量及其加减运算
首页 探究一 探究二 思维辨析
课前预习案
课堂探究案
探究二空间向量的加法与减法运算 【例2】 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式中运算 的结果为向量 ������������1 的共有( )
①������������ + ������������ + ������������1 ;②������������1 + ������1 ������1 + ������1 ������1 ;③������������ − ������1 ������ + ������1 ������1 ;④
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课前预习案
课Hale Waihona Puke 探究案解析：①错误,在同一条直线上的单位向量,方向可能相同,也可 能相反,故它们不一定相等; ②正确,零向量的模等于0,模等于0的向量只有零向量; ③正确,������������1 与������������1 的模相等,方向相同; ④错误,空间四边形 ABCD 中,������������ 与������������的模不一定相等, 方向也不一定相反; ⑤错误,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,与������������1 的模一定相等的向量是 ������1 ������, ������������1 , ������1 ������, ������������1 , ������1 ������ ,一共有 5 个.
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做一做1 下列命题中正确的是( ) A.若向量a与b的方向相反,则称向量a与b为相反向量 B.零向量没有方向 C.若a是单位向量,则|a|=1 D.若向量m,n,p满足m=n,n=p,则不一定有m=p 解析：单位向量是指模等于1的向量,所以若a是单位向量,则必 有|a|=1,即C项正确. 答案：C
人教A版高中数学选修2-1课件第三章3.1.1空间向量及其加减运算
4．在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，DD1 － AB＋ BC 化简后的结
果是
()
A． BD1
B． D1B
C． B1D
D． BD1
解析：由正方体的性质可得 DD1 － AB＋ BC ＝ DD1 － DC ＋ BC
＝CD1 ＋ BC ＝ BD1 .
答案：A
5．已知空间四边形 ABCD 中，AB＝a，CB＝b，AD＝c，则CD
1.向量是既有大小又有方向的量，其中长度可以比 较大小，而方向无法比较大小．一般来说，向量不能比 较大小. 2.零向量的方向是任意的，同平面向量中的规定一样，0 与任何空间向量平行. 3.单位向量的模都相等且为1，而模相等的向量未必是相 等向量. 4.空间向量是可以平移的，空间中的任意两个向量都可以 用同一平面内的两条有向线段表示，所以空间任意两个 向量是共面的．
解：(1)因为长方体的高为 1，所以长方体 4 条高所对应的向量 AA1 ， A1 A ，BB1 ，B1B，DD1 ，D1D，CC1 ，C1C 共 8 个向量 都是单位向量，而其他向量的模均不为 1，故单位向量共 8 个． (2)因为长方体的左右两侧的对角线长均为 5，故模为 5的向 量有 AD1 ， D1 A，C1B， BC1 ， B1C ，CB1 ， A1D， DA1 . (3)向量 AA1 的相反向量为 A1 A ， B1B，C1C ， D1D， 共 4 个.
解：(1) AA－CB＝ AA－ DA＝ AA＋ AD＝ AA＋ AD＝ AD. (2) AA＋ AB＋ BC＝( AA＋ AB)＋ BC ＝ AB＋ BC＝ AC . 向量 AD、 AC如图所示．
(1)空间中的单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和 平面向量中对应的概念完全一样．
高中数学 3-1-1 空间向量及其加减运算课件 新人教A版选修2-1
图 11
→ → → OAn＝OA1＋A1A2＋„＋An－1An ＝a1＋a2＋„＋an 此即为空间向量和的多边形法则． 用折线作向量的和时，有可能折线的终点恰恰重 合到起点上，这时的和向量就为零向量．
3．平行六面体的一个性质 如图 12 所示， 在平行六面体 ABCD－ A′ B′ C′ D′中， → → → → → → AB ＋AD＝AC ，AC ＋AA′ ＝AC′ ， → → → → ∴AB ＋AD＋AA′ ＝AC′ .
图3
解析： 如图 3 所示， 取 AD 的中点 P， 连接 EF、 → → → → → → EP、 FP， 结合图形用AB和CD表示EF.EF＝EP＋PF 1→ 1 → 1 1 ＝ CD＋ AB ＝ (5a＋ 6b－ 8c)＋ (a－ 2c)＝ 3a＋ 3b 2 2 2 2 － 5c.
答案：3a＋3b－5c
2．向量共面的充要条件及其应用 (1)空间一点 P 位于平面 MAB 内的充要条件是： → → → 存在有序实数对 (x， y)，使MP＝ xMA ＋ yMB .满足这 个关系式的点 P 都在平面 MAB 内； 反之， 平面 MAB 内的任一点 P 都满足这个关系式． 这个充要条件常用 以证明四点共面．
答案：A
2．设 A、B、C 为空间任意三点，则下列命题 为假命题的是( ) → → → B. AB＋BC＋CA＝0 → → D. AB＝－BA
→ → → A.AB＋BC＝AC → → → C. AB－AC＝BC
答案：C
3． 如图 3， 在平行六面体 ABCD－ A′ B′ C′ D′ → → → → 中，AB＝ a，AD＝ b，AA′ ＝ c，则BD′ ＝ ________， —→ A′ C＝ ________.
→ 答案：2AC
高中数学人教A版选修2-1课件：3.1.1 空间向量及其加减运
(4)向量的减法是由向量的加法来定义的:减去一个向量就等于加 上这个向量的相反向量. 由此可以推出向量等式的移项方法,即将其中任意一个向量变号 后,从等式一端移到另一端,等式仍然成立.例如,由a+b+c=d,得 a+b=d-c. (5)向量减法的作图法:因为(a-b)+b=a+[(-b)+b]=a+0=a,所以求 a-b就是求这样一个向量,它与b的和等于a,从而得出a-b的作图法.
题型一
题型二
空间向量的加减运算
【例 2】 1.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,下列各式中运算的结果为 向量������������1 的共有( ) ①(������������ + ������������ ) + ������������1 ; ②(������������1 + ������1 ������1 ) + ������1 ������1 ; ③(������������ + ������������1 ) + ������1 ������1 ; ④(������������1 + ������1 ������1 ) + ������1 ������1 . A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
题型一
题型二
【变式训练1】 下列命题中,假命题是(
)
A.向量������������与������������的长度相等 B.两个相等的向量,若起点相同,则终点也相同 C.只有零向量的模等于0 D.共线的单位向量都相等 解析:选项 A中, ������������与������������为相反向量,长度相等; 选项B中,∵两个相等向量的起点相同,∴必有终点相同; 选项C中,由零向量的定义可知|0|=0; 选项D中,共线的单位向量,有可能方向相反,故选D. 答案:D
3.1.1空间向量及其加减运算(高中数学人版选修2-1)
B(x2,y2)
(x2 － x1 , y2 － y1)
2、平面向量的加法、减法运算
复 习 回 顾
首尾连，指终点b a
向量加法的三角形法则
b a
向量加法的平行四边形法则
b
共起点，指被减
a
向量减法的三角形法则
3、平面向量的加法、减法运算律
复 习 回 顾
加法交换律：
ab ba
加法结合律： (a b) c a (b c)
A
(1) AC ' AB AD AA '
E C
D
x 1
AB BC CC '
'
B A
B
(2) AE AA AE
1 , AA ( AB AD ) 2
D C
1 x y 2
小结
类比思想
数形结合思想
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
空间向量
具有大小和方向的量
4、平面向量的推广:
复 习 回 顾
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量；
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
例 已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量.
(1)AB BC .
A'
D' B'
C'
(2)AB AD AA' .
数学选修2-1 第三章 3.1.1空间向量及其加减运算
牛刀小试 → → → → → → → 4． 化简下列各式： (1)AB＋BC＋CA； (2)AB－AC＋BD－CD； → → → → → → → (3)OA－OD＋AD； (4)NQ＋QP＋MN－MP.结果为零向量的个数 是( ) A．1 个 C．3 个 B．2 个 D．4 个
[答案] D
→ → → → → [解析] 对于(1)，AB＋BC＋CA＝AC＋CA＝0； → → → → → → → → → 对于(2)， AB－AC＋BD－CD＝(AB＋BD)－(AC＋CD)＝AD → －AD＝0； → → → → → → → 对于(3)，OA－OD＋AD＝DA＋AD＝0；对于(4)，NQ＋QP → → → → → → → → ＋MN－MP＝(NQ＋QP)＋(MN－MP)＝NP＋PN＝0.
→ → → ＝BA＋BC＋BB1 → → → → → ＝BD＋BB1＝BD＋DD1＝BD1.
新知导学 2．空间向量加法适用平行四边形法则和三角形法则 (多边
首指向尾 ”． 形法则)，多边形法则的规则是“首尾相接，__________
即有限多个空间向量 a1，a2，„„an 相加，也可以象平面 → → 向量那样，从某点 O 出发，逐一引向量OA1＝a1，A1A2＝a2，„， An－1An＝an，于是以所得折线 OA1A2„的起点 O 为起点，终点 → An 为终点的向量OAn，就是 a1，a2，„，an 的和，即 → → → a1＋a2＋…＋an OAn＝OA1＋A1A2＋„＋An－1An＝__________________. 用折线作向量的和时，有可能折线的终点恰恰重合到起点 零向量 ． 上，这时的和向量等于__________
空间向量的概念与表示 温故知新 1．回顾复习平面向量的概念(定义、模、单位向量、相等
3.1.1空间向量及其加减运算 课件(人教A选修2-1)
栏目 导引
第三章
空间向量与立体几何
想一想
空间两向量的加减法与平面内两向量的加减
法完全一致吗？ 提示：一致．
栏目 导引
第三章
空间向量与立体几何
典题例证技法归纳
题型探究 空间向量及其有关概念
例1 下列几个命题： (1)所有的单位向量都相等； (2)方向相反的两个向量是相反向量；
(3)零向量没有方向； (4)对于任何向量a、b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|.
其中正确命题的序号为( A．(1)(2) B．(4) ) C．(3)(4) D．(1)(4)
栏目 导引
第三章
空间向量与立体几何
【解析】
对于(1)：单位向量是指长度等于1
个单位长度的向量，而其方向不一定相同，
它不符合相等向量的定义,故(1)错；对于(2)：
长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 , 故 (2)错；对于 (3)：零向量有方向，只是没有 确定的方向，故(3)错；对于(4)：(4)中为向量 模的不等式，正确，故选B.
类似平面向量，定义空间向量的加、减法运 算 (如图)： 空间向 量的加 减法 → → → a＋ b ； OB＝OA＋ AB＝_________ → → → a－ b CA＝OA－ OC＝_________. 加法运 算律
b＋ a ； (1)交换律： a＋ b＝_________ a＋(b＋c) (2)结合律： (a＋b)＋ c＝ _____________.
问题2
这三个力两两之间的夹角 都为90度, 它们的合力的大小为多少 N?
这需要进一步来认识空间中的向量
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第三章
空间向量与立体几何
3．1 空间向量及其运算
3．1.1 空间向量及其加减运算