九年级数学上册第22章相似形22.1比例线段第3课时比例的性质同步练习

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2022-2023学年上海九年级数学上学期课时同步练22-1：比例线段(解析版)

22.1：比例线段一、单选题1．下列命题中，正确的是（）A ．任意两个等腰三角形相似B ．任意两个菱形相似C ．任意两个矩形相似D ．任意两个等边三角形相似【答案】D 【解析】利用相似图形的定义及性质逐一判断后即可得到答案．【解答】解：A 、任意两个等腰三角形不一定相似，故选项错误； B 、任意两个菱形不一定相似，故选项错误；C 、任意两个矩形不一定相似，故选项错误；D 、任意两个等边三角形满足相似图形的定义，故选项正确．故选D ．【点评】本题考查了相似图形的定义，对应角相等、对应边成比例的图形相似．2．已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC BC >，2AB =，则AC 为（）A ．51-B ．35-C ．512-D ．0.618【答案】A【解析】直接根据黄金分割的定义求解．【解答】解：∵点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，∴512AC AB -=，而AB =2，∴5 1.AC =-故选A.【点评】考查黄金分割，熟记黄金分割值是解题的关键.3．在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，下列条件中不能判定//DE BC 的是（）A ．AD AE DB EC = B ．AD AE AB AC = C ．DB AB EC AC = D ．AD DE DB BC= 【答案】D【解析】根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．【解答】解：A 、∵AD AE DB EC =，∴//DE BC ，本选项不符合题意； B 、∵AD AE AB AC=，∴//DE BC ，本选项不符合题意；C、∵DB ABEC AC=，∴//DE BC，本选项不符合题意；D、若AD DEDB BC=，不能判定//DE BC，本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．4．已知a a4cb b2d+=+，且()d b3d0-≠，则下列结论中：①a cb d=；②a2cb d=；③a a6cb b3d-=-，正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C【解析】根据合分比定理：a a4cb b2d+=+，可得a2cb d=，再根据合分比定理：a a6cb b3d-=-．【解答】由合分比定理，得a4c2cb2d d==，故①错误，故②正确；由a2cb d=，合分比定理，得a a6cb b3d-=-，故③正确；故选；C．【点评】本题考查了比例的性质，利用了合分比定理，要熟练掌握．5．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=4，AE=3，CE=6，那么BD的值是（）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】C【解答】∵DE∥BC，∴AD AE BD CE=，∵AD=4，AE=3，CE=6，∴436 BD=，∴BD=8，故选C ．6．已知线段x ，y 满足()x y +：()x y 3:1-=，那么x :y 等于（）A ．3:1B ．2:3C ．2:1D ．3:2【答案】C【解析】根据比例的基本性质可得(x+y)=3(x-y) ，再去括号，合并同类项，进行变形即可求解．【解答】∵ ()x y +：()x y 3:1-=，∴ ()x y 3x y +=-，2x 4y =，x :y 2:1=．故选：C ．【点评】此题考查了比例的基本性质，解题的关键是根据基本性质灵活进行变形，从而求解．7．已知线段MN=6cm ，P 是线段MN 的一个黄金分割点，则其中较长线段MP 的长是（） A ．(9-35)cm B ．(35-3)cm C ．(35-1)cm D ．(3-5)cm 【答案】B【解析】直接利用黄金比值是5-12计算即可．【解答】解：MP=5-12×6=(35-3)cm ．故答案为B ．【点评】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较长线段之比为5-12． 8．已知234a b c ==，则32a b c a -+的值为（） A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】A【解析】根据234a b c ==，就可以设234a b c k ===．则可以得到：2a k =，3b k =，4c k =．代入所求式子即可求得．【解答】解：设234a b c k ===．则可以得到：2a k =，3b k =，4c k =．则326642a b c k k k a k-+-+==2 故选A ．【点评】本题考查了比例的性质，解题的关键是熟练掌握性质．9．根据ab cd =，共可写出以a 为第四比例项的比例式的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】按照题目要求，将等积式转换成比例式即可．【解答】解：以a 为第四比例项的比例式有：b d c a =，b c d a =共两个．故选C ．【点评】本题主要考查了比例的变形，变形的依据是比例的基本性质．10．已知点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP PB >，则下列各式的值不等于512-的是（） A ．AP AB B ．PB AP C ．PB AB D ．PB AB【答案】C【解析】根据黄金分割点定义：线段上一点把线段分成两段,其中较长线段是较短线段和整个线段的比例中项,比值=512-即可解题. 【解答】解：由题可知AP 较长,BP 较短,根据黄金分割点的定义可知,AP AB =PB AP =512-, 设AB=2,则AP=51-,BP=3-5,∴PB 35AB 2-==512-, 故选C.【点评】本题主要考查了黄金分割点的定义,中等难度,熟悉黄金分割点的定义是解题关键.二、填空题11．请指出图中从图1到图2的变换是________变换．【答案】相似【解析】由图可以看出，图1和图2形状相同，只是大小不同，根据相似图形的定义，即可得出结果．【解答】解：∵ 从图1到图2，图形形状没变，只是大小发生改变，∴ 从图1到图2的变换是相似变换．故答案为：相似．【点评】本题考查了相似的定义，理解好相似的定义是解题关键．12．如果图形甲与图形乙相似，图形乙与图形丙相似，那么图形甲与图形丙________．【答案】相似【解答】∵图形甲与图形乙相似,图形乙与图形丙相似,∴图形甲与图形丙相似.故答案为:相似.13．若x 6y 164x 3y 17-=-+，则x y =________．【答案】23【解析】由x 6y 164x 3y 17-=-+，根据比例的性质，即可得()()17x 6y 164x 3y -=-+，然后整理即可求得81x 54y =，继而求得x y的值．【解答】解：∵x 6y 164x 3y 17-=-+， ∴ ()()17x 6y 164x 3y -=-+，∴ 81x 54y =，∴ x 2y 3=．故答案为：23．【点评】本题考查了比例的性质，利用内项积=外项积得出x 与y 的关系是解题的关键14．已知a 3b 4=，那么a b b-=________．【答案】14- 【解析】先根据已知条件可求出3a b 4=，然后再把a 的值代入所求式子计算即可．【解答】解：∵a 3b 4=， ∴ 3a b 4=， ∴ 3b b a b 14b b 4--==-．故答案是：14-．【点评】本题考查了比例的性质，得出3a b 4=是解题的关键 15．如图，梯形ABCD 中，////AD BC EF ，:2:1AE EB =，8DF =，则FC =________．【答案】4【解析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，再根据比例的基本性质进行计算．【解答】解：∵ ////AD BC EF ，:2:1AE EB =，8DF =，∴ 2DF AE FC BE==， ∴ 4FC =．故答案为：4．【点评】此题考查的是平行线分线段成比例定理，掌握利用平行线分线段成比例定理列出比例式求值是解决此题的关键．16．所有的黄金矩形都是________．【答案】相似形【解析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．【解答】解：根据相似形的定义得到所有的黄金矩形都是相似形．故本题答案为：相似形．【点评】本题考查了相似形的定义，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．17．一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，这个三角形的面积也扩大为原来的9倍．________（判断对错）【答案】错.【解析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方解答．【解答】解：∵相似三角形的边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，∴一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，这个三角形的面积扩大为原来的81倍，故原说法错误．故答案为：错．【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 18．若25a b =，则2a b b+=________．【答案】95 【解析】根据等式的性质，可用b 表示a ，根据分式的性质，可得答案．【解答】解：由25a b =，得 25a b =． 222955b b a b b b ⨯++==，故答案为：95．【点评】本题考查了比例的性质，利用a 表示b ，得出关于a 代数式，利用分式的性质得出答案． 19．若234a b c ==，则b c a+=________．【答案】72 【解析】根据题意，设2x k =，3y k =，4z k =，代入b c a+计算即可．【解答】解：由题意，设2x k =，3y k =，4z k =，∴ 原式34722k k k +==．故答案为：72．【点评】此题考查的是根据已知条件，求比，掌握设参法是解决此题的关键．20．如图，AB GH CD ，点H 在BC 上，AC 与BD 交于点G ，2AB =，3CD =，则GH 的长为______．【答案】1.2【解析】由平行线分线段成比例定理，由AB ∥GH ，得出GH CH AB BC =，由GH ∥CD ，得出GH BH CD BC=，将两个式子相加，即可求出GH 的长．【解答】∵AB ∥GH ，∴GH CH AB BC =，即GH CH 2BC =①， ∵GH ∥CD ，∴GH BH CD BC =，即3GH BH BC =②， ①+②，得GH GH CH BH BC 123BC BC BC +=+==， ∴GH GH 123+=，解得65GH =．故答案是：1.2.【点评】考查了平行线分线段成比例定理，熟练运用等式的性质进行计算．三、解答题21．已知线段a ，b ，c 满足326a b c ==，且226a b c ++=． ()1求a ，b ，c 的值；()2若线段x 是线段a ，b 的比例中项，求x ．【答案】（1）6a =， 4b =， 12c =；（2）26x =【解析】()1设比值为k ，然后用k 表示出a ，b ，c ，再代入等式求解得到k ，然后求解即可； ()2根据比例中项的定义列式求解即可．【解答】解：()1设326a b c k ===，则3a k =，2b k =，6c k =，所以322626k k k +⨯+=，解得2k =，所以326a =⨯=，224b =⨯=，6212c =⨯=．()2∵ 线段x 是线段a ，b 的比例中项，∴ 26424x ab ==⨯=，∴ 线段26x =．【点评】此题考查的是比例的性质和比例中项，掌握比例的性质和比例中项的定义是解决此题的关键． 22．（1）已知35a b =，求a b b +的值；（2）已知点P 是线段AB 的黄金分割点，P A ＞PB ，AB =2，求P A 、PB 的长．【答案】（1）85；（2）P A 51，PB =35【解析】(1)设a=3k ，则b=5k ，代入a b b +，计算即可求解； (2)根据黄金分割点的定义，知AP 是较长线段；则PA=512-AB ，PB=352-AB ，代入数据即可得出PA 、PB 的长．【解答】解：(1)∵a b =35， ∴可设a=3k ，则b=5k ， ∴a b b+=3k 5k 5k +=85； (2)∵点P 是线段AB 的黄金分割点，PA>PB ，AB=2，∴PA=512-AB=5−1，PB=352-AB=3−5. 故答案为（1）85；（2）P A =51-，PB =35-．【点评】本题考查了黄金分割点的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的352-，较长的线段=原线段的512-．同时考查了比例的性质． 23．如图，在ABC 中，//DE BC ，//EF DC ．求证：2AD AB AF =⋅．【答案】见解析【解析】根据平行线分线段成比例定理，得出AD ：AB=AE ：AC 以及AF ：AD=AE ：AC ，即可得出结论正确．【解答】证明：∵//DE BC ，∴::AD AB AE AC =，∵//EF DC ，∴::AF AD AE AC =，∴::AD AB AF AD =，∴2AD AB AF =⋅．【点评】本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是熟练的掌握平行线分线段成比例.24．如图，已知：梯形ABCD 中，//AD BC ，AC 、BD 交于点O ，E 是BC 延长线上一点，点F 在DE 上，且DF AO EF OC=．求证：//OF BC ．【答案】详见解析【解析】根据平行线分线段成比例定理得出AO DOCO BO=，推出DO DFBO EF=，得出DO DFDB EF=，根据ODF BDE∠=∠，推出DOF DBE∽，得出DOF DBE∠=∠，根据平行线的判定推出即可．【解答】证明：∵//AD BC，∴AO DO CO BO=，∵DF AO EF OC=，∴DO DF BO EF=，∴DO DF DB EF=，∵ODF BDE∠=∠，∴DOF DBE∽，∴DOF DBE∠=∠，∴//OF BC．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，平行线的判定，平行线分线段成比例定理的应用，关键是得出△DOF∽△DBE．25．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别与AB、AC交于点D、E，点F在BC上，DE交AF于点G，AD=2BD，AE=5，求：（1）AGAF；（2）AC的长．【答案】（1）23；（2）152【解析】（1）由于DE∥BC，AD=2BD，23ADAB=根据平行线分线段成比例定理可得23AG ADAF AB==；（2）同（1），易求23AEAC=，而AE=5，从而可求AC．【解答】解：（1）∵DE∥BC，且AD=2BD∴23 AG ADAF AB==（2）∵DE∥BC，且AD=2BD∴23 AE AD AC AB==∵AE=5∴AC=15 2【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是找准对应线段．26．如图，Rt△ABC中，AB=12cm，BC=10cm，点D从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B移动，到达点B处停止运动，在移动过程中始终保持DE∥BC，DF∥AC（点E、F分别在AC、BC上）．点D出发几秒后四边形DFCE的面积为20cm2？【答案】3+3秒或3﹣3秒【解析】根据四边形DFCE的面积=△ABC的面积﹣△ADE的面积﹣△DBF的面积=20cm2，列方程求解即可；【解答】解：设运动时间为ts，则AD=2tcm，DB=（12﹣2t）cm．∵DF∥AC，∴BF BD BC BA=，∴122 1012BF t-=，∴BF=56（12﹣2t），∵DE∥BC，∴DE AD BC AB=，∴21012DE t =， ∴DE=53t ，根据题意得：12×12×10﹣12×2t×53t ﹣12×（12﹣2t ）×56（12﹣2t ）=20．整理得t 2﹣6t+6=0，解得：t 1=3+3，t 2=3﹣3．∴D 出发3+3或3﹣3秒后四边形DFCE 的面积为20cm 2．【点评】本题主要考查的是一元二次方程的应用，根据四边形DFCE 的面积=△ABC 的面积﹣△ADE 的面积﹣△DBF 的面积=20cm 2列关于t 的方程是解题的关键．27．如图，已知////AD BE CF ，它们依次交直线1l ，2l ，3l ，于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ，23DE EF =，10AC =. (1)求AB 、BC 的长；(2)当7AD =，12CF =时，求BE 的长.【答案】(1) 4AB =；BC=6；(2)BE=9.【解析】（1）由于平行线分线段成比例定理和比例的性质得出25AB DE AC DF ==，即可求出AB 的长，进而求出BC 的长；（2）过点A 作//AG DF 交BE 于点H ，交CF 于点C,得出7AD HE GF ===，由平行线分线段成比例定理得出比例式求出BH,即可得出结果．【解答】【解】(1) ∵////AD BE CF ，23AB DE BC EF ∴==， 25AB AC ∴=. ∵10AC =，∴4AB =，∴1046BC =-=.(2)如图所示，过点A 作//AG DF 交BE 于点H ，交CF 于点C.又∵////AD BE CF ，7AD =，∴7AD HE GF ===.∵12CF =∴1275CG =-=.∵//BE CF ，BH AB CG AC∴=，2BH =， ∴279BE BH HE =+=+=.【点评】本题考查知识点是平行线分线段成比例定理，添加辅助线构成成比例线段是关键．28．数学课上，李老师出示了如下框中的题目．在等边三角形ABC 中，点E 在AB 上，点D 在CB 的延长线上，且ED EC =，如图，试确定线段AE 与DB的大小关系，并说明理由．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点E 为AB 的中点时，如图1，确定线段AE 与的DB 大小关系．请你直接写出结论：AE _____DB （填“>”，“<”或“=”）．（2）特例启发，解答题目解：如图2，题目中，AE 与DB 的大小关系是：AE ____DB （填“>”“<”或“=”）．理由如下：（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED EC =．若ABC 的边长为1，2AE =，求CD 的长（请你直接写出结果）．【答案】（1）=；（2）=；（3）3或 1【解析】（1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出∠D=∠ECB=30°，求出∠DEB=30°，求出BD=BE 即可；（2）过E 作EF ∥BC 交AC 于F ，求出等边三角形AEF ，证△DEB 和△ECF 全等，求出BD=EF 即可；（3）当D 在CB 的延长线上，E 在AB 的延长线式时，由（2）求出CD=3，当E 在BA 的延长线上，D 在BC 的延长线上时，求出CD=1．【解答】解：（1）如图 1 ，过点E 作//EF BC ，交AC 于点F ，ABC ∆为等边三角形，60AFE ACB ABC ∴∠=∠=∠=︒，∠A=60°，∴AEF ∆为等边三角形，120EFC EBD ∴∠=∠=︒，EF AE =，ED EC =，EDB ECB ∴∠=∠，ECB FEC ∠=∠，EDB FEC ∴∠=∠，在BDE ∆和FEC ∆中，EBD EFC EDB FEC ED EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BDE FEC AAS ∴∆≅∆，BD EF ∴=，AE BD ∴=，故答案为：=；（2）如图1，过E 作EF ∥BC 交AC 于F ，∵等边三角形ABC ，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC ，∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，∴△AEF 是等边三角形，∴AE=EF=AF ，∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°，∵DE=EC ，∴∠D=∠ECD ，∴∠BED=∠ECF ，在△DEB 和△ECF 中，DEB ECF DBE EFC DE CE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△DEB ≌△ECF （AAS ），∴BD=EF=AE ，即AE=BD ，故答案为：=．（3）CD=1或3，理由是：分为两种情况：①如图2过A 作AM ⊥BC 于M ，过E 作EN ⊥BC 于N ，则AM ∥EN ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB=BC=AC=1，∵AM ⊥BC ，∴BM=CM=12BC=12，∵DE=CE ，EN ⊥BC ，∴CD=2CN ，∵AB=1，AE=2，∵EN ⊥DC ，AM ⊥BC ，∴∠AMB=∠ENB=90°，在△ABM 和△EBN 中，ABM EBN AMB ENB AB BE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△AMB ≌△ENB （AAS ），∴BN=BM=12， ∴CN=1+12=32， CD=2CN=3；②如图3，作AM ⊥BC 于M ，过E 作EN ⊥BC 于N ，则AM ∥EN ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB=BC=AC=1，∵AM ⊥BC ，∴BM=CM=12BC=12，∵DE=CE ，EN ⊥BC ，∴CD=2CN ，∵AM ∥EN ，∴AB BM AE MN =， ∴1122MN=，∴MN=1，∴CN=1-12=12，∴即CD=3或1．【点评】本题综合考查了等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点的应用，解（2）小题的关键是构造全等的三角形后求出BD=EF，解（3）小题的关键是确定出有几种情况，求出每种情况的CD值，注意，不要漏解啊．。

2020九年级数学上册第22章相似形 22.1 比例线段第2课时比例线段同步练习沪科版

22.1 第2课时比例线段知|识|目|标1．结合现实情境，知道学习线段的比的必要性，了解线段的比的概念．2．借助几何图形，通过观察、交流，直观地理解成比例线段的概念，会根据概念进行相关计算．3．通过对成比例线段的学习，能理解比例中项的概念，会根据概念进行相关的计算．目标一会根据线段的比的概念计算例1 ［教材补充例题］在Rt △ABC 中，如图22－1－4，∠C ＝90°，∠A ＝30°，若设BC ＝t ，则AB ＝______，AC ＝AB 2－BC 2＝（）2－（）2＝______，故AC AB ＝________＝________，BC AC＝________＝________．图22－1－4【归纳总结】求两条线段的比“三注意”：(1)两条线段的比是指其长度的比，与长度单位无关，但要是同一个长度单位；(2)若题目中线段的长度没有给出单位，默认为单位统一；(3)线段的比有顺序性．目标二会根据成比例线段的概念计算例2 ［教材补充例题］(1)已知a ＝4 cm ，c ＝9 cm ，且a ，b ，b ，c 是成比例线段，试求线段b 的长；(2)已知线段a ＝2 cm ，b ＝30 m ，c ＝6 cm ，d ＝10 m ，试判断它们是不是成比例线段．【归纳总结】判断四条线段是不是成比例线段的步骤：(1)一排：将线段长度统一单位并按长度的大小排序；(2)二算：判断前两条线段的比是否与后两条线段的比相等，或判断最长的线段与最短的线段的乘积是否与另外两条线段的乘积相等；(3)三判：若相等，则这四条线段为成比例线段；若不相等，则这四条线段不是成比例线段．目标三会利用比例中项的概念计算例3 ［教材补充例题］如果线段a ，b 满足a ∶b ＝3∶5，且线段b 是a ，c 的比例中项，那么b ∶c 的值是( )A ．3∶2B ．5∶3C ．3∶5D ．2∶3【归纳总结】(1)当已知两条线段的比值时，可先用参数表示出这两条线段的长度，再进行计算．(2)比例式中第一个比的后项与第二个比的前项相等时，这一项才是比例中项．已知一条线段是另外两条线段的比例中项，可转化为比例式进行计算．知识点一线段的比用______________去度量两条线段a ，b ，得到它们的长度，我们把这两条线段长度的比叫做这两条线段的比，记作a b或a ∶b .知识点二成比例线段的相关概念在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段a ，b 的比，等于另外两条线段c ，d 的比，即a b ＝c d (或a ∶b ＝c ∶d )，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．这时，线段a ，b ，c ，d 叫做组成比例的项，线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项．知识点三比例中项的概念如果作为比例内项的两条线段是相等的，即线段a ，b ，c 之间有__________，那么线段b 叫做线段a ，c 的比例中项．下列说法是否正确，不正确的说明理由．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)已知线段b 是线段a ，c 的比例中项，且a ＝1，c ＝4，那么b ＝2.( )(2)已知一个数是2和5的比例中项，那么这个数是10.( )(3)已知M 是直线AB 上的点，且AM ∶BM ＝5∶2，则AB ∶BM ＝3∶2.( )(4)已知a ，b ，d ，c 是成比例线段，a ＝4 cm ，b ＝6 cm ，d ＝9 cm ，则c ＝12 cm.()教师详解详析【目标突破】例1 2t 2t t 3t 3t 2t 32 t 3t 33例2 解：(1)∵a，b ，b ，c 是成比例线段，∴a ∶b ＝b∶c.又∵a＝4 cm ，c ＝9 cm ，∴4∶b ＝b∶9，即b 2＝36，∴b ＝6(cm )(负值已舍去)．(2)∵a＝2 cm ，c ＝6 cm ，d ＝10 m ＝1000 cm ，b ＝30 m ＝3000 cm ，∴a c ＝13，d b ＝10003000＝13，则a c ＝d b， ∴a ，c ，d ，b 是成比例线段．例3 [解析] C ∵a∶b＝3∶5，∴可设a ＝3k ，b ＝5k.∵b 是a ，c 的比例中项，∴a ∶b ＝b∶c，即3∶5＝5k∶c，解得c ＝253k.∴b∶c＝5k∶253k ＝3∶5. 【总结反思】[小结] 知识点一同一个长度单位知识点三 a∶b＝b∶c[反思] (1)√(2)× 理由：2和5的比例中项是±10.(3)× 理由：AB∶BM 的值为3∶2或7∶2.(4)× 理由：c ＝13.5 cm .。

九年级数学上册第22章相似形22.1比例线段22.1.2比例线段练习沪科版(2021年整理)

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1 第2课时比例线段一、选择题1．[2017·亳州市期末]下列各组中的四条线段成比例的是（）A．1 cm,2 cm，20 cm，30 cmB．1 cm，2 cm，3 cm,4 cmC．5 cm，10 cm，10 cm,20 cmD．4 cm，2 cm，1 cm，3 cm2．若a＝10 cm，b＝0.2 m,c＝30 mm,d＝6 cm,则下列比例式成立的是（)A. 错误!＝错误! B。

错误!＝错误! C。

错误!＝错误! D。

错误!＝错误!3．下面四组线段中，不是成比例线段的是（）A．a＝3，b＝6，c＝2,d＝4B．a＝1，b＝错误!，c＝错误!,d＝错误!C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10D．a＝2，b＝错误!，c＝错误!,d＝2 错误!4．如果a＝3，b＝2，且b是a和c的比例中项，那么c的值为（)A．±错误! B。

错误! C. 错误! D．±错误!5．［2017·马鞍山市期末]如图17－K－1,画线段AB的垂直平分线交AB于点O，在这条垂直平分线上截取OC＝OA,以A为圆心，AC为半径画弧交AB于点P,则线段AP与AB的比是（)A. 错误!∶2 B．1∶错误! C.错误!∶错误! D．1∶错误!图17－K－1二、填空题6．[2018·宣城市期末］2和8的比例中项是________。

沪科版九年级上册数学第22章相似形相似图形

(1)求证：EB＝GD；
证明：∵菱形AEFG与菱形ABCD相似， ∴∠EAG＝∠BAD，∴∠EAG＋∠GAB＝∠BAD＋ ∠GAB，即∠EAB＝∠GAD. 又易知AE＝AG，AB＝AD，∴△AEB≌△AGD， ∴EB＝GD.
(2)若∠DAB＝60°，AB＝2，AG＝ 3，求 GD 的长．
解：如图所示，连接 BD 交 AC 于点 P，则 BP⊥AC. ∵∠DAB＝60°，∴∠PAB＝30°，∴BP＝12AB＝1， AP＝ AB2－BP2＝ 3，又 AE＝AG＝ 3，
解：∵当20＋202x＝303＋02y时，小路四周所围成的矩形 A′B′C′D′和矩形 ABCD 相似，解得xy＝23. ∴x 与 y 的比值为23时，能使小路四周所围成的矩形 A′B′C′D′和矩形 ABCD 相似．
∴∠E＝∠A＝62°，∠F＝∠B＝70°，
又∵∠H＝140°，∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝360°，
∴∠G＝88°.∵四边形 ABCD 与四边形 EFGH 相似， ∴EAHD＝EAFB＝FBGC.
又∵AD＝18，EF＝15，FG＝14，EH＝12， ∴AB＝22.5，BC＝21.
12．如图，多边形ABCDEF与多边形A1B1C1D1E1F1相似， ∠ A ＝ ∠ D1 ＝ 135° ， ∠ B ＝ ∠ E1 ＝ 120° ， ∠C1＝95°.
【易错警示】相似比是有顺序的，求相似比或利用相似比解答问题时，要特别注意两个相似多边形的排列顺序．
10．把一个多边形按 1：3 的比例缩小，则下列说法正确的是( ) A．各边都扩大到原来的 3 倍 B．各边和各角都缩小到原来的13 C．各边和各角都扩大到原来的 3 倍 D．各边都缩小到原来的13，各角不变
∴EP＝2 3，∴EB＝ EP2＋BP2＝ 12＋1＝ 13，

【推荐】2020九年级数学上册第22章相似形 22.1 比例线段第3课时比例的性质同步练习沪科版

22.1第3课时比例的性质知|识|目|标1．经历问题的计算、观察、探究过程，归纳总结比例的基本性质、合比性质、等比性质，会应用比例的性质进行相关计算．2．通过对实际问题的分析，了解黄金分割和黄金数的概念，会根据概念进行相关计算．目标一会根据比例的性质计算例 1 ［教材补充例题］(1)已知a b ＝34，求分式a ＋b a －b的值时，先根据已知条件把该分式转化为同一个字母，然后化简．方法一：用字母b 表示字母a ，得a ＝________．将关于a 的表达式代入a ＋b a －b 中，得a ＋ba －b＝________，化简，得a ＋ba －b＝________．方法二：运用参数字母k 表示字母a 和b .由a b ＝34，可设a ＝3k ，则b ＝________．将关于a ，b 的表达式代入a ＋b a －b 中，得a ＋b a －b ＝________，化简，得a ＋ba －b＝________． (2)已知x a ＝y b ＝z c ＝2，求分式2x －3y ＋z 2a －3b ＋c 的值时，可根据分式的性质将xa 中分子、分母同乘以2，y b 中分子、分母同乘以－3，得2x 2a ＝－3y －3b ＝z c ＝2，根据________的性质，得2x －3y ＋z2a －3b ＋c＝________．【归纳总结】利用比例的性质计算时常用的两种方法：(1)用含有其中一个字母的代数式表示另一个字母，然后运用代入法求值； (2)设参数法，即根据比例式设出合适的参数，然后用含此参数的代数式表示出相应字母，再代入求值，这也是运用比例的性质求解时的一种常用方法．例2 ［教材例1变式］如图22－1－5，AD BD ＝AE EC ＝23，求AB BD 和2BD ＋3CE2AB ＋3AC的值．图22－1－5【归纳总结】利用等比性质解题时要注意分母中字母的取值范围．目标二能根据黄金分割的定义判断黄金分割点例3 [教材例3针对训练] 如图22－1－6，在矩形ABCD 中，AB ＝5－1，AD ＝2，且四边形ABEF 是正方形，则点E 是BC 的黄金分割点吗？如果是，请说明理由．图22－1－6【归纳总结】判断黄金分割点的方法： (1)借助黄金比：判断由此点截得的较长的线段与原线段的比是不是黄金比，若是黄金比，则此点为黄金分割点，否则不是；(2)借助比例式：判断由此点截得的较长线段、较短线段与原线段是不是符合定义中的比例式：较长线段原线段＝较短线段较长线段，若符合，则此点为黄金分割点，否则不是．知识点一比例的基本性质及合比、等比性质(1)基本性质：如果a b ＝c d ，那么ad ＝bc (b ，d ≠0)．反之也成立，即如果ad ＝bc ，那么a b＝cd(b ，d ≠0)． (2)合比性质：如果a b ＝c d ，那么a ＋b b ＝c ＋dd (b ，d ≠0)． (3)等比性质：如果a 1b 1＝a 2b 2＝…＝a n b n，且b 1＋b 2＋…＋b n ≠0，那么a 1＋a 2＋…＋a nb 1＋b 2＋…＋b n ＝a 1b 1．[点拨] (1)比例的基本性质可记为“分子、分母交叉乘，积相等”． (2)合比性质推广：如果a b ＝c d ，那么a －b b ＝c －dd(b ，d ≠0)． (3)运用等比性质时注意各分母的和不为零，否则无意义．知识点二黄金分割把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，分割点叫做这条线段的黄金分割点，比值________叫做黄金数．[点拨] “黄金分割”的对称性：一条线段的黄金分割点应该有两个，一个靠近一个端点，而另一个靠近另一个端点，这两个黄金分割点关于线段的中点对称．若a ＋bc ＝b ＋c a ＝a ＋cb＝k ，求k 的值．解：根据比例的等比性质得到2（a ＋b ＋c ）a ＋b ＋c ＝2，所以k 的值是2.上面的解答正确吗？若不正确，请说明理由．教师详解详析【目标突破】例1 (1) 34b 34b ＋b 34b －b －7 4k 3k ＋4k3k －4k－7 (2) 等比 2例2 解：由AD BD ＝23，得AD BD ＋1＝23＋1，即AD ＋BD BD ＝2＋33，∴AB BD ＝53.从而BD AB ＝35，则2BD 2AB ＝35.同理可得3CE 3AC ＝35.由等比的性质，得2BD ＋3CE 2AB ＋3AC ＝35.例3 [解析] 由于题中给出了AB ，AD 的长，可以结合四边形ABEF 是正方形求出BE 及CE 的长，再结合黄金分割的定义求出CE BE 及BEBC的值做出判断．解：是．理由：∵四边形ABEF 为正方形， ∴BE ＝AB ＝5－1，CE ＝BC －BE ＝3－ 5. ∵CE BE ＝3－55－1＝5－12，BE BC ＝5－12， ∴CE BE ＝BE BC ＝5－12， ∴点E 是BC 的黄金分割点．【总结反思】[小结] 知识点二5－12[反思] 不正确．当a ＋b ＋c≠0时，根据比例的等比性质得到2（a ＋b ＋c ）a ＋b ＋c ＝2.当a ＋b ＋c ＝0时，a ＋b ＝－c ，k ＝a ＋b c ＝－cc ＝－1.所以k 的值是2或－1.新人教部编版初高中精选试题。

九年级数学上册第22章相似形22.1比例线段第3课时比例的性质、黄金分割练习沪科版(2021年整理)

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22.1 第3课时比例的性质、黄金分割知识点 1 比例的基本性质1．已知错误!＝错误!,则下列式子成立的是（）A．3x＝5y B．xy＝15C。

错误!＝错误! D。

错误!＝错误!2．若2a－3b＝0(a≠0），则错误!＝________．知识点 2 比例的合比性质与等比性质3．若错误!＝错误!，则错误!的值为( ）A．1 B. 错误! C. 错误! D. 错误!4．［教材练习第3题变式］已知5x－4y＝0，下列各式正确的是( ）A. 错误!＝错误! B。

错误!＝错误!C。

x＋yx＝错误! D。

错误!＝错误!5．如果错误!＝错误!，那么错误!的值是（）A。

错误! B．2 C. 错误! D．56．［教材练习第6题变式］已知错误!＝错误!＝错误!＝错误!，若b＋d＋f＝60,则a＋c＋e ＝________．7．已知错误!＝错误!，则错误!＝________．8．在四边形ABCD和四边形A′B′C′D′中,错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!，且四边形A′B′C′D′的周长为60 cm,求四边形ABCD的周长．9．如图22－1－10，在△ABC中,错误!＝错误!。

九年级数学上册第22章相似形22.1比例线段第2课时比例线段同步练习新版沪科版word格式

22.1 第2课时比例线段知识点 1 两条线段的比1．已知线段a ＝3厘米，线段b ＝13毫米，则a ∶b 的值是( )A. 313B. 133C. 3013D. 13302．［教材练习第2题变式］延长线段AB 到点C ，使BC ＝AB ，则下列线段的比错误的是( )A ．AB ∶AC ＝1∶2 B ．AB ∶BC ＝1∶1C ．BC ∶AC ＝1∶2D ．AC ∶AB ＝1∶2知识点 2 成比例线段3．下列长度的各组线段(单位：cm)中，是成比例线段的是( )A ．1，2，3，4B ．1，2，2，4C ．3，5，9，13D ．1，2，2，34．若a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中a ＝5 cm ，b ＝3 cm ，c ＝2 cm ，则线段d ＝________cm.5．已知线段a ＝3 cm ，b ＝12 cm ，c ＝5 cm ，d ＝20 cm ，请写出一个正确的比例式：________________．知识点 3 比例中项6．如果线段a ＝8 cm ，b ＝2 cm ，那么a 和b 的比例中项是( )A ．8 cmB ．6 cmC ．4 cmD ．2 cm7．若b 是a ，c 的比例中项，且a ∶b ＝7∶3，则b ∶c 等于( )A ．9∶7B ．7∶3C ．3∶7D ．7∶98．三条线段a ，b ，c 中，b 是a ，c 的比例中项，则a ，b ，c ( )A ．一定能构成三角形B ．一定不能构成三角形C ．不一定能构成三角形D ．不能构成直角三角形9．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝2，则AB BC ＝________，AC AB＝________．10．如图22－1－7所示，有矩形ABCD 和矩形A ′B ′C ′D ′，AB ＝8 cm ，BC ＝12 cm ，A ′B ′＝4 cm ，B ′C ′＝6 cm.(1)线段A ′B ′，AB ，B ′C ′，BC 是成比例线段吗？(2)矩形ABCD 和矩形A ′B ′C ′D ′相似吗？图22－1－711．如图22－1－8，已知C是线段AB上的点，D是AB延长线上的点，且AD∶BD＝3∶2，AB∶AC＝5∶3，AC＝3.6，求AD的长．图22－1－812．如图22－1－9所示，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AC＝3，BC＝4.(1)线段AD，CD，CD，BD是不是成比例线段？写出你的理由；(2)在这个图形中，是否还有其他成比例的四条线段？如果有，请至少写出两组．图22－1－91．C 2. D 3. B4. 655. 答案不唯一，如a b ＝c d 或a c ＝b d6. C7．B 8．C9． 2 3210．解：(1)∵AB ＝8 cm ，BC ＝12 cm ，A ′B ′＝4 cm ，B ′C ′＝6 cm ， ∴A′B′AB ＝48＝12，B′C′BC ＝612＝12， ∴A′B′AB ＝B′C′BC， ∴线段A ′B ′，AB ，B ′C ′，BC 是成比例线段．(2)∵矩形的每个角都是90°，∴矩形ABCD 和矩形A ′B ′C ′D ′的对应角相等．又∵A′B′AB ＝B′C′BC， ∴矩形ABCD 和矩形A ′B ′C ′D ′的对应边的比相等，∴矩形ABCD 和矩形A ′B ′C ′D ′相似．11．解：∵AB ∶AC ＝5∶3，AC ＝3.6，∴AB ＝53×3.6＝6.又∵AD ∶BD ＝3∶2，设AD ＝3x ，BD ＝2x ，则AB ＝AD －BD ＝x ＝6，∴AD ＝18.12．解：(1)是成比例线段．理由如下：∵AC ＝3，BC ＝4，∴由勾股定理，得AB ＝5.∵S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CD ，即12×3×4＝12×5×CD ，∴CD ＝2.4.由勾股定理，得AD ＝1.8.∴BD ＝3.2，∴AD CD ＝1.82.4＝34，CD BD ＝2.43.2＝34，∴AD CD ＝CD BD， ∴线段AD ，CD ，CD ，BD 是成比例线段．(2)有CD BD ＝AC BC ，BD BC ＝BC AB (答案不唯一)．。

九年级数学上册 22.3 相似三角形的性质课时练习 (新版)沪科版-(新版)沪科版初中九年级上册数学

相似三角形的性质一、精心选一选1﹒若两个相似多边形的面积之比为1：3，则它们的周长之比为（）A.1:3B.3:1C.3:3D.3:12﹒在△ABC中，D、E为边AB、AC的中点，已知△ADE的面积为4，那么△ABC的面积是（）A.8B.12C.16D.203﹒如果一个三角形保持形状不变，但面积扩大为原来的4倍，那么这个三角形的边长扩大为原来的（）A.2倍B.4倍C.8倍D.16倍4﹒如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是（）A.AB2＝BC BDB.AB2＝AC BDC.AC BD＝AB ADD.AB AC＝AD BC第4题图第5题图第6题图第7题图5﹒如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD相交于点O，设△OCD的面积为m，△OEB 5）A.m＝5B.m＝5m＝5m＝106﹒如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（）A.13B.14C.19D.1167﹒如图，在等边△ABC中，点D为边BC上一点，点E为边AC上一点，且∠ADE＝60°，BD＝4，CE＝43，则△ABC的面积为（）3338﹒如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB＝1：2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC和BC上，则CE：CF＝（）A.34B.45C.56D.67第8题图第9题图第10题图9﹒如图，小明晚上由路灯A下的点B处走到点C处时，测得自身影子CD的长为1米，他继续往前走3米到达E处（即CE＝3米），测得自己影子EF的长为2米，已知小明的身高为米，那么路灯A 的高度AB是（）A.米B.6米C.米D.8米10.如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，给出下列四个结论：①△AEF ∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S△ABF：S四边形CDEF＝2：5，其中正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、细心填一填11.已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2：3，则△ABC与△DEF对应边上的中线的比为___________.12.若两个相似三角形的周长之比为2：3，则它们的面积之比是___________.13.如图，△ABC和△A1B1C1均在4×4的正方形网格图（每个小正方形的边长都为1）中，△ABC与△A1B1C1的顶点都在网格线的交点处，如果△ABC∽△A1B1C1，那么△ABC与△A1B1C1的相似比是_____.14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC沿BD折叠，点C恰好落在AB上的点C'处，折痕为BD，再将其沿DE折叠，使点A落在D C'的延长线上的A'△BED∽△ABC，则△BED与△ABC的相似比是__________.15.如图，在一块直角三角板ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，将另一个含30°角的△EDF 的30°角的顶点D放在AB边上，E、F分别在AC、BC上，当点D在AB边上移动时，DE始终与AB 垂直，若△CEF与△DEF相似，则AD＝____________.16.如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y＝kx（k≠0）在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD.若△OCD∽△ACO，则直线OA的解析式为____________.三、解答题17.已知：如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，E是BO的中点，连接AE并延长交BC于点F，求△BEF与△DEA的周长之比.18.已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O.若AODACDSS∆∆＝13，S△BOC＝m.试求△AOD的面积.19.如图，在△ABC中，点P是BC边上任意一点（点P与点B，C不重合），平行四边形AFPE的顶点F，E分别在AB，AC上．已知BC＝2，S△ABC＝1．设BP＝x，平行四边形AFPE的面积为y．（1）求y与x的函数关系式；（2）上述函数有最大值或最小值吗？若有，则当x取何值时，y有这样的值，并求出该值；若没有，请说明理由．20.已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，E为直角边AC的中点，过D，E作直线交AB的延长线于F.求证：ABAC＝DFAF.21.已知，如图，在△ABC中，P是边AB上一点，AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为D、E，AC＝3，BC＝35，BE＝5，DC＝5.求证：（1）Rt△ACD∽Rt△CBE；（2）AC⊥BC.22.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F是AD上的点，且AE＝EF＝FD．连接BE、BF，使它们分别与AO相交于点G、H．（1）求EG：BG的值；（2）求证：AG＝OG；（3）设AG＝a，GH＝b，HO＝c，求a：b：c的值．23.如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD 的垂线，两垂线交于点G，连接GA、GB、GC、GD、EF，若∠AGD＝∠BGC.图1 图2（1）求证：AD＝BC；（2）求证：△AGD∽△EGF；（3）如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求ADEF的值.参考答案一、精心选一选题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 C C A B B D C B B D 1﹒若两个相似多边形的面积之比为1：3，则它们的周长之比为（）A.1:3B.3:1C.3:3D.3:1解答：根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比，得它们的周长之比＝13＝3，故选：C.2﹒在△ABC 中，D 、E 为边AB 、AC 的中点，已知△ADE 的面积为4，那么△ABC 的面积是（） A.8B.12C.16D.20解答：如图，∵D 、E 为边AB 、AC 的中点， ∴DE 为△ABC 的中位线， ∴DE ∥BC ，DE ＝12BC ， ∴△ADE ∽△ABC ， ∴ADE ABC S S ∆∆＝(DE BC)2＝(12)2＝14， ∴S △A BC ＝16，故选：C.3﹒如果一个三角形保持形状不变，但面积扩大为原来的4倍，那么这个三角形的边长扩大为原来的（）A.2倍B.4倍C.8倍D.16倍解答：由题意知：这两个三角形的面积之比等于4:1，则它们的相似比为2：1，因此边长扩大到原来的2倍，故选：A.4﹒如图，△ABC 中，点D 在线段BC 上，且△ABC ∽△DBA ，则下列结论一定正确的是（） A.AB 2＝BC BD B.AB 2＝AC BD C.AC BD ＝AB AD D.AB AC ＝AD BC 解答：∵△ABC ∽△DBA ， ∴AB BD ＝BC AB ＝ACAD， ∴AB 2＝BC BD ，AC BD ＝AB AD ，AB AC ＝AD BC ，故选：B.5﹒如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AB 的中点，CE 和BD 相交于点O ，设△OCD 的面积为m ，△OEB 的面积为5，则下列结论中正确的是（） A.m ＝5B.m ＝45C.m ＝35D.m ＝10 解答：∵AB ∥CD ， ∴△OCD ∽△OEB ，又∵E 是AB 的中点， ∴2EB ＝AB ＝CD ， ∴OEB OCD S S ∆∆＝(BE CD)2，即5＝(12)2，解得：m ＝45，故选：B.6﹒如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，DE ∥AC ，若S △BDE ：S △CDE ＝1：3，则S △DOE ：S △AOC 的值为（） A.13B.14C.19D.116解答：∵S △BDE ：S △CDE ＝1：3， ∴BE ：EC ＝1：3， ∴BE ：BC ＝1：4，∵DE ∥AC ，∴△DOE ∽△AOC ，∴DE AC ＝BEBC＝14，∴S △DOE ：S △AOC ＝(DE AC)2＝116，故选：D.7﹒如图，在等边△ABC 中，点D 为边BC 上一点，点E 为边AC 上一点，且∠ADE ＝60°，BD ＝4，CE ＝43，则△ABC 的面积为（） A.83B.15C.93D.123解答：∵△ABC 是等边三角形，∠ADE ＝60°， ∴∠B ＝∠C ＝∠ADE ＝60°，AB ＝AC ， ∵∠ADB ＝∠DAC +∠C ，∠DEC ＝∠ADE +∠DAC ， ∴∠ADB ＝∠DEC ， ∴△ADB ∽△DCE ，∴AB DC ＝BDCE，设AB ＝x ，则DC ＝x －4， ∴4xx -＝443，解得：x ＝6，即AB ＝6，过点A 作AF ⊥BC 于F ，则BF ＝12AB ＝3，在Rt△ABF 中，AF ＝22AB BF -＝33， ∴S △ABC ＝12BC AF ＝12×6×35＝93，故选：C.8﹒如图，D 是等边△ABC 边AB 上的一点，且AD ：DB ＝1：2，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E 、F 分别在AC 和BC 上，则CE ：CF ＝（） A.34B.45C.56D.67解答：设AD ＝k ，则DB ＝2k ， ∵△ABC 为等边三角形，∴AB ＝AC ＝3k ，∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠EDF ＝60°， ∴∠EDA +∠FDB ＝120°，又∠FDB +∠AED ＝120°，∴∠FDB ＝∠AED ，∴△AED ∽△BDF ， ∴ED FD ＝AD BF ＝AEBD，设CE ＝x ，则ED ＝x ，AE ＝3k －x ，设CF ＝y ，则DF ＝y ，F B ＝3k －y ， ∴x y ＝3k k y -＝32k x k -，∴(3)2(3)ky x k y kx y k x =-⎧⎨=-⎩，∴xy＝45，∴CE：CF＝4：5，故选：B.9﹒如图，小明晚上由路灯A下的点B处走到点C处时，测得自身影子CD的长为1米，他继续往前走3米到达E处（即CE＝3米），测得自己影子EF的长为2米，已知小明的身高为米，那么路灯A 的高度AB是（）A.米B.6米C.米D.8米解答：由题意知：MC∥AB，∴△DCM∽△DAB，∴DCDB＝MCAB，即1.5AB＝11BC+，∵NE∥AB，∴△FNE∽△FAB，∴NEAB＝EFBF，即1.5AB＝232BC++，∴11BC+＝232BC++，解得：BC＝3，∴1.5AB＝113+，解得：AB＝6，即路灯A的高度AB为6米，故选：B.10.如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，给出下列四个结论：①△AEF ∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S△ABF：S四边形CDEF＝2：5，其中正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个解答：过D作DM∥BE交AC于N，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，∵BE⊥AC于点F，∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，∴△AEF∽△CAB，故①正确；∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴AEBC＝AFCF，∵AE＝12AD＝12BC，∴AFCF＝12，∴CF＝2AF，故②正确，∵DE∥BM，BE∥DM，∴四边形BMDE是平行四边形，∴BM＝DE＝12BC，∴BM＝CM，∴＝NF，∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DF＝DC，故③正确；∵△AEF∽△CBF，∴EFBF＝AEBC＝12，∴S△AEF＝12S△ABF，S△ABF＝16S矩形ABCD，∴S△AEF＝112S矩形ABCD，又∵S四边形CDEF＝S△ACD﹣S△AEF＝12S矩形ABCD﹣112S矩形ABCD＝512S矩形ABCD，∴S△ABF：S四边形CDEF＝2：5，故④正确；故选：D．二、细心填一填11.2：3； 12. 4：9；1；14. 23； 15.65或43； 16. y＝2x；△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2：3，则△ABC与△DEF对应边上的中线的比为___________.解答：∵△ABC与△DEF的相似比为2：3，∴△ABC与△DEF对应边上的中线的比为2：3，故答案为：2：3.2：3，则它们的面积之比是___________.解答：∵这两个相似三角形的周长之比为2：3，∴它们的相似比为2：3， ∴它们的面积之比为4：9，故答案为：4：9.13.如图，△ABC 和△A 1B 1C 1均在4×4的正方形网格图（每个小正方形的边长都为1）中，△ABC 与△A 1B 1C 1的顶点都在网格线的交点处，如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，那么△ABC与△A 1B 1C 1的相似比是_____.解答：由图可知：AC 与A 1C 1是对应边，A 1C 1＝1，再由勾股定理得：AC ＝2211+＝2，∴AC ：A 1C 1＝2：1，即△ABC 与△A 1B 1C 1的相似比是2：1，故答案为：2：1. 14.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，将△ABC 沿BD 折叠，点C 恰好落在AB 上的点C ' 处，折痕为BD ，再将其沿DE 折叠，使点A 落在D C '的延长线上的A '△BED ∽△ABC ，则△BED 与△ABC 的相似比是__________.解答：∵△BED ∽△ABC ，∴∠DBA ＝∠A ，又∠DBA ＝∠DBC ，∴∠A ＝∠DBA ＝∠DBC ＝30°，设BC 为x ，则AC ＝3x ，BD ＝233x ， BD AC ＝23，即△BED 与△ABC 的相似比是23，故答案为：23． 15.如图，在一块直角三角板ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝1，将另一个含30°角的△EDF 的30°角的顶点D 放在AB 边上，E 、F 分别在AC 、BC 上，当点D 在AB 边上移动时，DE 始终与AB 垂直，若△CEF 与△DEF 相似，则AD ＝____________.解答：∵∠EDF ＝30°，ED ⊥AB 于D ，∴∠FDB ＝∠B ＝60°，∴△BDF 是等边三角形； ∵BC ＝1，∴AB ＝2； ∵BD ＝BF ， ∴2－AD ＝1－CF ；∴AD ＝CF +1．①若∠FED ＝90°，△CEF ∽△EDF ，则CF EF ＝EF DF ，即2CF CF ＝21CF CF-，解得，CF ＝15； ∴AD ＝15+1＝65； ②若∠EFD ＝90°，△CEF ∽△FED ，则CF FD＝CE FE ，即1CF CF -＝12；解得，CF ＝13； ∴AD ＝13+1＝43．故答案为：65或43． 16.如图，已知在Rt△OAC 中，O 为坐标原点，直角顶点C 在x 轴的正半轴上，反比例函数y ＝k x （k ≠0）在第一象限的图象经过OA 的中点B ，交AC 于点D ，连接OD .若△OCD ∽△ACO ，则直线OA 的解析式为____________.解答：设OC ＝a ，∵点D 在y ＝k x 上，∴CD ＝k a， ∵△OCD ∽△ACO ，∴OC CD ＝AC OC，∴AC ＝2OC CD ＝2a k ， ∴点A （a ，2a k）， ∵点B 是OA 的中点，∴点B 的坐标为（2a ，32a k）， ∵点B 在反比例函数图象上，∴k ＝2a ×32a k，∴a 4＝4k 2，解得，a 2＝2k ， ∴点B 的坐标为（2a ，a ），设直线OA 的解析式为y ＝mx ，则m ×2a ＝a ，解得m ＝2，所以，直线OA 的解析式为y ＝2x ．故答案为：y ＝2x ．三、解答题17.已知：如图，平行四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 相交于点O ， E 是BO 的中点，连接AE 并延长交BC 于点F ，求△BEF 与△DEA 的周长之比.解答：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BO ＝DO ＝12BD ， ∵E 是BO 的中点，∴BE ＝EO ＝12BO ＝14BD ， ∴ED ＝EO +DO ＝14BD +12BD ＝34BD ， ∴BE ：ED ＝14BD ：34BD ＝1：3， ∵BF ∥AD ，∴△BEF ∽△DEA ，∴△BEF 的周长：△DEA 的周长＝BE ：ED ＝1：3.18.已知，如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 与BD 相交于点O .若AOD ACD S S ∆∆＝13，S △BOC ＝m ，试求△AOD 的面积.解答：过点D 作DE ⊥AC 于E ，则AODACD S S ∆∆＝1212AO DE AC DE ＝13， ∴AO AC ＝13，又∵AO +OC ＝AC ， ∴AO OC ＝12， ∵AD ∥BC ，∴AOD BOC S S ∆∆＝(AO OC)2＝14，即AOD S m ∆＝14， ∴S △AOD ＝4m . 19.如图，在△ABC 中，点P 是BC 边上任意一点（点P 与点B ，C 不重合），平行四边形AFPE 的顶点F ，E 分别在AB ，AC 上．已知BC ＝2，S △ABC ＝1．设BP ＝x ，平行四边形AFPE 的面积为y ．（1）求y 与x 的函数关系式；（2）上述函数有最大值或最小值吗？若有，则当x 取何值时，y 有这样的值，并求出该值；若没有，请说明理由．解答：（1）∵四边形AFPE 是平行四边形，∴PF ∥CA ，∴△BFP ∽△BAC ，∴BFP BAC S S ∆∆＝(2x )2， ∵S △ABC ＝1，∴S △BFP ＝24x ，同理：S △PEC ＝(22x -)2＝2444x x -+， ∴y ＝1－24x －2444x x -+， ∴y ＝－12x 2+x ；（2）上述函数有最大值，最大值为；理由如下：∵y ＝－12x 2+x ＝－12(x ﹣1)2+12，又－12＜0， ∴y 有最大值，∴当x ＝1时，y 有最大值，最大值为12． 20.已知：如图，在Rt△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，E 为直角边AC 的中点，过D ，E 作直线交AB 的延长线于F .求证：AB AC＝DF AF .解答：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠BAC＝∠ADB＝90°，又∵∠ABC＝∠ABD，∴△CBA∽△ABD，∴∠C＝∠FAD，ABBD＝ACAD，∴ABAC＝BDAD，又∵E为AC的中点，AD⊥BC，∴ED＝EC＝12 AC，∴∠C＝∠EDC，又∵∠EDC＝∠FDB，∴∠FAD＝∠FDB，∵∠F＝∠F，∴△DBF∽△ADF，∴BDAD＝DFAF，∴ABAC＝DFAF.21.已知，如图，在△ABC中，P是边AB上一点，AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为D、E，AC＝3，BC＝35，BE＝5，DC＝5.求证：（1）Rt△ACD∽Rt△CBE；（2）AC⊥BC.解答：（1）∵AD⊥CP，BE⊥CP，∴∠E＝∠ADC＝90°，∵AC＝3，BC＝35，BE＝5，DC＝5，∴ACCB＝DCBE＝5,∴Rt△ACD∽Rt△CBE；（2）∵Rt△ACD∽Rt△CBE，∴∠ACD＝∠CBE，∵∠CBE+∠ECB＝90°，∴∠ACD+∠ECB＝90°，即∠ACB＝90°，∴AC⊥BC.22.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F是AD上的点，且AE＝EF＝FD．连接BE、BF，使它们分别与AO相交于点G、H．（1）求EG：BG的值；（2）求证：AG＝OG；（3）设AG＝a，GH＝b，HO＝c，求a：b：c的值．解答：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝12AC，AD＝BC，AD∥BC，∴△AEG∽△CBG，∴EGGB＝AGGC＝AEBC，∵AE＝EF＝FD，∴BC＝AD＝3AE，∴GC＝3AG，GB＝3EG，∴EG：BG＝1：3；（2）∵GC＝3AG，∴AC＝4AG，∴AO＝12AC＝2AG，∴GO＝AO﹣AG＝AG；（3）∵AE＝EF＝FD，∴BC＝AD＝3AE，AF＝2AE．∵AD∥BC，∴△AFH∽△CBH，∴AHHC＝AFBC＝23AEAE＝23，∴AHAC＝25，即AH＝25AC．∵AC＝4AG，∴a＝AG＝14AC，b＝AH－AG＝25AC－14AC＝320AC，c＝AO－AH＝12AC－25AC＝110AC，∴a：b：c＝14：320：110＝5：3：2．1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接GA、GB、GC、GD、EF，若∠AGD＝∠BGC.图1 图2（1）求证：AD＝BC；（2）求证：△AGD∽△EGF；（3）如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求ADEF的值.解答：（1）证明：GE是AB的垂直平分线，∴GA＝GB，同理GD＝GC，在△AGD和△BGC中，∵GA＝GB，∠AGD＝∠BGC，GD＝GC，∴△AGD≌△BGC，∴AD＝BC.（2）证明：∵∠AGD＝∠BGC，∴∠AGB＝∠DGC，在△AGB和△DGC中，GA GBGD GC=，∠AGB＝∠DGC.，∴△AGB∽△DGC，∴AG EG DG FG=，又∠AGE＝∠DGF，∴∠AGD＝∠EGF，∴△AGD∽△EGF.（3）解：如图①，延长AD交GB于点M，交BC的延长线于点H，则AH⊥BH，由△AGD≌△BGC，知∠GAD＝∠GBC，在△GAM和△HBM中，∠GAD＝∠GBC，∠GMA＝∠HMB，∴∠AGB＝∠AHB＝90º，∴∠AGE ＝12∠AGB ＝45º，∴AG EG ，又△AGD ∽△EGF ，∴AD AG EF EG ==。

九年级数学上册第22章相似形 22.1 比例线段第2课时比例线段同步练习沪科版

22.1 第2课时比例线段知|识|目|标1．结合现实情境，知道学习线段的比的必要性，了解线段的比的概念．2．借助几何图形，通过观察、交流，直观地理解成比例线段的概念，会根据概念进行相关计算．3．通过对成比例线段的学习，能理解比例中项的概念，会根据概念进行相关的计算．目标一会根据线段的比的概念计算例1 ［教材补充例题］在Rt △ABC 中，如图22－1－4，∠C ＝90°，∠A ＝30°，若设BC ＝t ，则AB ＝______，AC ＝AB 2－BC 2＝（）2－（）2＝______，故AC AB＝________＝________，BC AC＝________＝________．图22－1－4【归纳总结】求两条线段的比“三注意”：(1)两条线段的比是指其长度的比，与长度单位无关，但要是同一个长度单位；(2)若题目中线段的长度没有给出单位，默认为单位统一；(3)线段的比有顺序性．目标二会根据成比例线段的概念计算例2 ［教材补充例题］(1)已知a ＝4 cm ，c ＝9 cm ，且a ，b ，b ，c 是成比例线段，试求线段b 的长；(2)已知线段a ＝2 cm ，b ＝30 m ，c ＝6 cm ，d ＝10 m ，试判断它们是不是成比例线段．【归纳总结】判断四条线段是不是成比例线段的步骤：(1)一排：将线段长度统一单位并按长度的大小排序；(2)二算：判断前两条线段的比是否与后两条线段的比相等，或判断最长的线段与最短的线段的乘积是否与另外两条线段的乘积相等；(3)三判：若相等，则这四条线段为成比例线段；若不相等，则这四条线段不是成比例线段．目标三会利用比例中项的概念计算例3 ［教材补充例题］如果线段a ，b 满足a ∶b ＝3∶5，且线段b 是a ，c 的比例中项，那么b ∶c 的值是( )A．3∶2 B．5∶3 C．3∶5 D．2∶3【归纳总结】(1)当已知两条线段的比值时，可先用参数表示出这两条线段的长度，再进行计算．(2)比例式中第一个比的后项与第二个比的前项相等时，这一项才是比例中项．已知一条线段是另外两条线段的比例中项，可转化为比例式进行计算．知识点一线段的比用______________去度量两条线段a，b，得到它们的长度，我们把这两条线段长度的比叫做这两条线段的比，记作ab或a∶b.知识点二成比例线段的相关概念在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段a，b的比，等于另外两条线段c，d的比，即ab＝cd(或a∶b＝c∶d)，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．这时，线段a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项．知识点三比例中项的概念如果作为比例内项的两条线段是相等的，即线段a，b，c之间有__________，那么线段b叫做线段a，c的比例中项．下列说法是否正确，不正确的说明理由．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)已知线段b是线段a，c的比例中项，且a＝1，c＝4，那么b＝2.( )(2)已知一个数是2和5的比例中项，那么这个数是10.( )(3)已知M是直线AB上的点，且AM∶BM＝5∶2，则AB∶BM＝3∶2.()(4)已知a，b，d，c是成比例线段，a＝4 cm，b＝6 cm，d＝9 cm，则c＝12 cm.( )教师详解详析【目标突破】例1 2t 2t t 3t 3t 2t 32 t 3t33 例2 解：(1)∵a，b ，b ，c 是成比例线段，∴a ∶b ＝b∶c.又∵a＝4 cm ，c ＝9 cm ，∴4∶b ＝b∶9，即b 2＝36，∴b ＝6(cm )(负值已舍去)．(2)∵a＝2 cm ，c ＝6 cm ，d ＝10 m ＝1000 cm ，b ＝30 m ＝3000 cm ，∴a c ＝13，d b ＝10003000＝13，则a c ＝d b， ∴a ，c ，d ，b 是成比例线段．例3 [解析] C ∵a∶b＝3∶5，∴可设a ＝3k ，b ＝5k.∵b 是a ，c 的比例中项，∴a ∶b ＝b∶c，即3∶5＝5k∶c，解得c ＝253k.∴b∶c＝5k∶253k ＝3∶5. 【总结反思】[小结] 知识点一同一个长度单位知识点三 a∶b＝b∶c[反思] (1)√(2)× 理由：2和5的比例中项是±10.(3)× 理由：AB∶BM 的值为3∶2或7∶2.(4)× 理由：c ＝13.5 cm .。

九年级数学上册相似三角形比例线段黄金分割同步练习新版浙教版

第3课时黄金分割一、选择题1．已知线段a ，b ，c ，其中c 是a 和b 的比例中项，a ＝4，b ＝9，则c 等于( ) A ．4 B ．6 C ．9 D ．362．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm ，则它的宽约为( )A ． cmB ． cmC ． cmD ． cm3．若b 是a 和c 的比例中项，c 是b 和d 的比例中项，则下列各式中不一定成立的是( )＝b c ＝b c＝c d ＝c d4．美是一种感觉，当人体的下半身长与身高的比值越接近时越给人一种美感．已知某女士身高160 cm ，下半身长与身高的比值是，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度约为( )A ．6 cmB ．10 cmC ．4 cmD ．8 cm5．已知C 是线段AB 上的一个点(AC ＞BC )，有以下命题：①若AC AB ＝BC AC ，则C 是线段AB 的黄金分割点；②若AC AB ＝5－12，则C 是线段AB 的黄金分割点； ③若BC AC＝5－12，则C 是线段AB 的黄金分割点； ④若AC 2＝BC ·AB ，则C 是线段AB 的黄金分割点. 其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．已知P ，Q 是线段AB 的两个黄金分割点，且AB ＝10，则PQ 的长为( ) A ．5( 5－1) B ．5( 5＋1) C ．10( 5－2) D ．5(3－5)7．宽与长的比是5－12(约的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：如图K －29－1②，作正方形ABCD ，分别取AD ，BC 的中点E ，F ，连结EF ；如图③，以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线于点G ；作GH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H ，则图中下列矩形是黄金矩形的是( )图K －29－1A ．矩形ABFEB ．矩形EFCDC ．矩形EFGHD ．矩形DCGH 二、填空题8．(1)实数2和18的比例中项是________；(2)已知线段a ＝5 cm ，b ＝15 cm ，则a 与b 的比例中项是________；(3)已知数3，6，请再写出一个数，使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项，这个数是________(只需填写一个数)．9．已知C 为线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，则BC AB ＝________，BC AC＝________.10．据有关试验测定，当气温处于人体正常体温(37 ℃)的黄金比值时，人体感到最舒适．这个气温约为________℃(精确到1 ℃).链接学习手册例2归纳总结11．如图K －29－2所示，已知P 是线段AB 的黄金分割点，且PA ＞PB .若S 1是以PA 为边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，则S1________S2(填“＞”“＝”或“＜”)．图K－29－2三、解答题12．如图K－29－3，扇子的圆心角为x°，余下的扇形的圆心角为y°，x与y的比通常按黄金比来设计，这样的扇子外形较美观．若取黄金比为，求x的值(精确到1°)．图K－29－313．我们定义：顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形(底边与腰的比值为黄金分割比)．如图K－29－4，△ABC，△BDC，△DEC都是黄金三角形．已知AB＝1，求DE的长．图K－29－414．以长为2的定线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连结PD ，在BA 的延长线上取一点F ，使PF ＝PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，如图K －29－5所示．(1)求AM ，DM 的长；(2)求证：M 是线段AD 的黄金分割点．图K －29－515思维拓展如图K －29－6①，点C 将线段AB 分成两部分，如果AC AB ＝BCAC，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S 1，S 2，如果S 1S ＝S 2S 1，那么称直线l 为该图形的黄金分割线．(1)研究小组猜想：在△ABC 中，若点D 为AB 边的黄金分割点(如图②)，则直线CD 是△ABC 的黄金分割线．你认为对吗为什么(2)请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？(3)研究小组在进一步探究中发现：过点C 任作一条直线交AB 于点E ，再过点D 作直线DF∥CE，交AC于点F，连结EF(如图③)，则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．图K－29－61．[答案]B2．[解析] A 设这本书的宽为x cm ，则x20≈，解得x≈，故选A.3．[答案]B4．[解析] D 先求得下半身的实际高度，再根据黄金分割的定义求解．根据已知条件得下半身长是160×＝96(cm)．设需要穿的高跟鞋的高度是y cm ，则根据黄金分割的定义，得y ＋96160＋y ≈.解得y≈8.故选D. 5．[答案]D6．[解析] C 由黄金分割的意义可得PQ ＝10×⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－12－（1－5－12）＝10( 5－2)．7．[解析] D 设正方形的边长为2，则CD ＝2，CF ＝1. 在Rt △DCF 中，DF ＝12＋22＝5， ∴FG ＝5，∴CG ＝5－1， ∴CG CD ＝5－12， ∴矩形DCGH 为黄金矩形．故选D.8．[答案] (1)±6 (2)5 3cm (3)32，12或±3 2(写出一个即可) [解析] (3)设这个数为x ，则3，6或x 都可能是比例中项，因此本题应分三种情况讨论．设这个数为x ，则32＝6x 或62＝3x 或x 2＝3×6，解得x ＝32或x ＝12或x ＝±3 2.9．[答案]3－525－12[解析] 因为C 是线段AB 的黄金分割点，且AC>BC ，所以AC AB ＝5－12.又因为BC ＝AB －AC ，所以BC AB ＝AB －AC AB ＝1－AC AB ＝1－5－12＝3－52.由黄金分割可知BC AC ＝AC AB ＝5－12.10．[答案] 23[解析] 用近似的黄金比值直接与37相乘即可． 11．答案] ＝[解析] 根据黄金分割的定义得到PA 2＝PB·AB，再利用正方形和矩形的面积公式有S 1＝PA 2，S 2＝PB·AB，即可得到S 1＝S 2.∵P 是线段AB 的黄金分割点，且PA ＞PB ， ∴PA 2＝PB·AB.又∵S 1是以PA 为边的正方形的面积，S 2表示长是AB ，宽是PB 的矩形的面积， ∴S 1＝PA 2，S 2＝PB·AB，∴S 1＝S 2.12．解：∵x 与y 的比通常按黄金比来设计， ∴x ∶y ≈，∴y ≈53x.又∵x＋y ＝360，∴x ＋53x≈360，解得x≈135.13．解：∵△ABC，△BDC ，△DEC 都是黄金三角形，AB ＝1，∴AB ＝AC ，AD ＝BD ＝BC ，DE ＝BE ＝CD.设DE ＝x ，则CD ＝BE ＝x ，AD ＝BC ＝1－x.∵EC DE ＝BCAB ，EC ＝BC －BE ＝1－x －x ＝1－2x ，∴1－2x x ＝1－x1，解得x ＝3－52(x ＝3＋52>1舍去)，∴DE 的长为3－52.14．解：(1)∵正方形ABCD 的边长为2，P 是AB 的中点， ∴AB ＝AD ＝2，AP ＝1，∠BAD ＝90°， ∴PD ＝AP 2＋AD 2＝5，∴在正方形AMEF 中，AM ＝AF ＝5－1，DM ＝AD －AM ＝3－ 5. (2)证明：由(1)，得AD·DM＝2(3－5)＝6－2 5. 又∵AM 2＝(5－1)2＝6－2 5. ∴AM 2＝AD·DM，即M 是线段AD 的黄金分割点． 15解：(1)对．理由如下：设△ABC 中边AB 上的高为h.则S △ADC ＝12AD·h，S △BDC ＝12BD·h，S △ABC ＝12AB·h，∴S △ADC S △ABC ＝AD AB ，S △BDC S △ADC ＝BD AD. 又∵点D 为AB 边的黄金分割点， ∴AD AB ＝BD AD ， ∴S △ADC S △ABC ＝S △BDCS △ADC，∴直线CD 是△ABC 的黄金分割线．(2)∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，此时S 1＝S 2＝12S ，即S 1S ≠S 2S 1，∴三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线． (3)∵DF∥CE，∴△DEC 和△FCE 的公共边CE 上的高相等，∴S △DEC ＝S △FCE .设直线EF 与CD 交于点G ， ∴S △DGE ＝S △FGC ，∴S △ADC ＝S 四边形AFGD ＋S △FGC ＝S 四边形AFGD ＋S △DGE ＝S △AEF ，S △BDC ＝S 四边形BEFC . 又∵S △ADC S △ABC ＝S △BDC S △ADC ，∴S △AEF S △ABC ＝S 四边形BEFCS △AEF ，∴直线EF 也是△ABC 的黄金分割线．。

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22.1第3课时比例的性质
知|识|目|标
1．经历问题的计算、观察、探究过程，归纳总结比例的基本性质、合比性质、等比性质，会应用比例的性质进行相关计算．
2．通过对实际问题的分析，了解黄金分割和黄金数的概念，会根据概念进行相关计算．
目标一会根据比例的性质计算
例 1 ［教材补充例题］(1)已知a b ＝34，求分式a ＋b a －b
的值时，先根据已知条件把该分式转
化为同一个字母，然后化简．
方法一：用字母b 表示字母a ，得a ＝________．将关于a 的表达式代入a ＋b a －b 中，得a ＋b
a －b
＝________，化简，得
a ＋b
a －b
＝________．方法二：运用参数字母k 表示字母a 和b .由a b ＝3
4
，可设a ＝3k ，则b ＝________．将关
于a ，b 的表达式代入
a ＋
b a －b 中，得a ＋b a －b ＝________，化简，得a ＋b
a －b
＝________． (2)已知x a ＝y b ＝z c ＝2，求分式2x －3y ＋z 2a －3b ＋c 的值时，可根据分式的性质将x
a 中分子、分母同乘
以2，y b 中分子、分母同乘以－3，得2x 2a ＝－3y －3b ＝z c ＝2，根据________的性质，得2x －3y ＋z
2a －3b ＋c
＝
________．
【归纳总结】利用比例的性质计算时常用的两种方法：
(1)用含有其中一个字母的代数式表示另一个字母，然后运用代入法求值； (2)设参数法，即根据比例式设出合适的参数，然后用含此参数的代数式表示出相应字母，再代入求值，这也是运用比例的性质求解时的一种常用方法．
例2 ［教材例1变式］如图22－1－5，AD BD ＝AE EC ＝23，求AB BD 和2BD ＋3CE
2AB ＋3AC
的值．
图22－1－5
【归纳总结】利用等比性质解题时要注意分母中字母的取值范围．
目标二能根据黄金分割的定义判断黄金分割点
例3 [教材例3针对训练] 如图22－1－6，在矩形ABCD 中，AB ＝5－1，AD ＝2，且四边形ABEF 是正方形，则点E 是BC 的黄金分割点吗？如果是，请说明理由．
图22－1－6
【归纳总结】判断黄金分割点的方法： (1)借助黄金比：判断由此点截得的较长的线段与原线段的比是不是黄金比，若是黄金比，则此点为黄金分割点，否则不是；
(2)借助比例式：判断由此点截得的较长线段、较短线段与原线段是不是符合定义中的比例式：较长线段原线段＝较短线段较长线段
，若符合，则此点为黄金分割点，否则不是．
知识点一比例的基本性质及合比、等比性质
(1)基本性质：如果a b ＝c d ，那么ad ＝bc (b ，d ≠0)．反之也成立，即如果ad ＝bc ，那么a b
＝
c
d
(b ，d ≠0)． (2)合比性质：如果a b ＝c d ，那么
a ＋
b b ＝
c ＋d
d (b ，d ≠0)． (3)等比性质：如果a 1b 1＝a 2b 2
＝…＝a n b n
，且b 1＋b 2＋…＋b n ≠0，那么
a 1＋a 2＋…＋a n
b 1＋b 2＋…＋b n ＝a 1
b 1
．
[点拨] (1)比例的基本性质可记为“分子、分母交叉乘，积相等”． (2)合比性质推广：如果a b ＝c d ，那么
a －
b b ＝
c －d
d
(b ，d ≠0)． (3)运用等比性质时注意各分母的和不为零，否则无意义．
知识点二黄金分割
把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，分割点叫做这条线段的黄金分割点，比值________叫做黄金数．
[点拨] “黄金分割”的对称性：一条线段的黄金分割点应该有两个，一个靠近一个端点，而另一个靠近另一个端点，这两个黄金分割点关于线段的中点对称．
若
a ＋
b
c ＝b ＋c a ＝a ＋c
b
＝k ，求k 的值．解：根据比例的等比性质得到2（a ＋b ＋c ）a ＋b ＋c ＝2，所以k 的值是2.
上面的解答正确吗？若不正确，请说明理由．
教师详解详析
【目标突破】
例1 (1)34b 34b ＋b 34b －b －7 4k 3k ＋4k
3k －4k
－7 (2)等比 2
例2 解：由AD BD ＝23，得AD BD ＋1＝23＋1，即AD ＋BD BD ＝2＋33，∴AB BD ＝5
3.
从而BD AB ＝35，则2BD 2AB ＝3
5.
同理可得3CE 3AC ＝35
.
由等比的性质，得2BD ＋3CE 2AB ＋3AC ＝3
5
.
例3 [解析] 由于题中给出了AB ，AD 的长，可以结合四边形ABEF 是正方形求出BE 及CE 的长，再结合黄金分割的定义求出CE BE 及BE
BC
的值做出判断．
解：是．理由：∵四边形ABEF 为正方形， ∴BE ＝AB ＝5－1，CE ＝BC －BE ＝3－ 5. ∵CE BE ＝3－55－1＝5－12，BE BC ＝5－12， ∴CE BE ＝BE BC ＝5－1
2， ∴点E 是BC 的黄金分割点．【总结反思】
[小结] 知识点二
5－1
2
[反思] 不正确．当a ＋b ＋c≠0时，根据比例的等比性质得到2（a ＋b ＋c ）
a ＋
b ＋
c ＝2.
当a ＋b ＋c ＝0时，a ＋b ＝－c ，k ＝a ＋b c ＝－c
c ＝－1.
所以k 的值是2或－1.。