高中数学基础知识和常见解法第五章平面向量

第五章平面向量
第一节向量的线性运算
一、向量的基本概念1、数量与向量的区别：
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.
2.向量的表示方法：
①用有向线段表示；
②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；
③用有向线段的起点与终点字母：AB ；④向量AB 的大小―长度称为向量的模，记作|AB |.
3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.
向量与有向线段的区别：
（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就
是相同的向量；
（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不
同的有向线段.
4、零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作0.0的方向是任意的.注意0与0的含义与书写
区别.
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.5、平行向量定义：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.
A(起点)
B （终点）
a
说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.
6、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；
（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起．．．．．．．
点无关．．．
.二、向量的线性运算
１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
平行四边形法则（起点相同）和三角形法则（“首尾相接，首尾连”）
如图，已知向量a、ｂ.在平面内任取一点A ，作＝a，BC ＝ｂ，则向量AC 叫做a 与ｂ的和，记作a＋ｂ，即a＋ｂ=+=，
规定：a +0-=0+a
2、向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差.即：a -b =a +(-b)
求两个向量差的运算叫做向量的减法.
法则：三角形法则（起点相同）作法：在平面内取一点
作OA =a，
AB =b 则BA =a -b
即a -b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.
注意：1︒AB 表示a - b.
强调：差向量“箭头”指向被减数
A
B
C a +b
a +b
a
a b
b
a
ｂ
ｂａ
a
O
A
a
B
b
-
b
B
a +
a b
三、重要定理和性质
(1)两个向量平行（共线）的充要条件
→
a ∥
b ⇔→a ＝λ→b (→
b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝O.
(2)平面向量基本定理
e 1，e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一
对实数λ1，λ2，使→
a ＝λ1e 1＋λ2e 2.
(3)两个向量垂直的充要条件→
a ⊥
b ⇔→a ·→
b ＝O ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝O.
(4)线段的定比分点公式
设点P 分有向线段21P P 所成的比为λ，即P P 1＝λ2PP ，则
OP ＝
λ
+11
1OP ＋λ
+11
2OP (线段的定比分点的向量公式)⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧++=++=.1,12
12
1λ
λλλy y y x x x (线段定比分点的坐标公式)（5）平面内三点A、B、C 共线的充要条件是：存在实数λ、u 使oA=
（6）中线向量表示
OP ＝21（1OP ＋2OP ）或⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+=+=.
2,2
2121y y y x x x 四、平面向量的坐标表示与坐标运算1、坐标表示法→
a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）.2．平面向量的坐标运算（1）
若),(11y x a =，),(22y x b =，则b
a +),(2121y y x x ++=，
b a -)
,(2121y y x x --=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.（2）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=.
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ=（3）若),(11y x A ，),(22y x B ，则()
1212,y y x x AB --=AB =OB -OA =(x 2，y 2)-(x 1，y 1)=(x 2-x 1，y 2-y 1)
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.向量的坐标与以原点为始点、点P 为终点的向量的坐标是相同的。

3、三角形的五心：
内心：三角形三条角平分线的交点。

三角形内切圆的圆心。

外心：三角形三条中垂线的交点。

三角形外接圆的圆心。

重心：三条中线的交点垂心：三条高的交点。

旁心：一个内角角平分线和另外两个外角的角平分线的交点。

第二节平面向量的数量积
1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，
则数量|a||b|cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b，即有a ⋅b =|a||b|cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0向量与任何向量的数量积为0.2、两个向量的数量积与实数乘向量的积的区别
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定.
（2）两个向量的数量积称为内积，写成a ⋅b；今后要学到两个向量的外积a×b，而a ⋅b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.
（3）在实数中，若a ≠0，且a ⋅b=0，则b=0；但是在数量积中，若a ≠0，且a ⋅b=0，不能推出b=0.因为其中cos θ有可能为0.（4）已知实数a、b、c(b ≠0)，则ab=bc ⇒a=c.但是a ⋅b =b ⋅c
a =c
如右图：a ⋅b =|a||b|cos β=|b||OA|，b ⋅c =|b||c|cos α=|b||OA|
⇒a ⋅b =b ⋅c
但a ≠c
(5)在实数中，有(a ⋅b)c =a(b ⋅c)，但是(a ⋅b)c ≠a(b ⋅c)
显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线.
3．
“投影”的概念：作图
定义：|b|cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；
当θ=0︒时投影为|b|；当θ=180︒时投影为-|b|.
3．向量的数量积的几何意义：
数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b|cos θ的乘积.4、性质
（1）、a ⊥b ⇔a ⋅b =0
（2）、当a 与b 同向时，a ⋅b =|a||b|；
当a 与b 反向时，a ⋅b =-|a||b|.
特别的a ⋅a =|a|2或a
a a ⋅
=
|||a ⋅b|≤|a||b|cos θ=
|
|||b a b
a ⋅（3）两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）
cos θ=
|
|||b a b
a ⋅⋅2
2
222
1
2
12121y x y x y y x x +++=。