2019年高考数学 专题19 正、余弦定理的应用黄金解题模板

2019年高考数学 专题19 正、余弦定理的应用黄金解题模板【高考地位】正余弦定理是三角函数中有关三角知识的继续与发展，进一步揭示了任意三角形的边与角之间的关系，其边角转换功能在求解三角形及判断三角形形状时有着重要应用. 在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题. 【方法点评】类型一 判断三角形的形状使用情景：已知边与三角函数之间的等式关系解题模板：第一步 运用正弦定理或余弦定理将已知等式全部转化为都是角或都是边的等式；第二步 利用三角函数的图像及其性质或者边与边之间的等式关系得出所求的三角形的形状； 第三步 得出结论.例1在ABC ∆中，已知cos cos a B b A =，那么ABC ∆一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形或直角三角形 D ．等腰直角三角形 【答案】A【变式演练1】在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若A bccos <，则ABC ∆为．A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形 【答案】A 【解析】试题分析：根据 定理：A BC b c cos sin sin <=,那么A B C cos sin sin =,根据π=++C B A ,所以()B A C +=sin sin ,所以()A B B A cos sin sin <+,整理为：0cos sin <B A ,三角形中0sin >A ,所以0cos <B ,那么ππ<<B 2．考点：1．正弦定理；2．解斜三角形．【变式演练2】在C ∆AB 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3πB =，且a ，b ，c 成等比数列，则C ∆AB 一定是（ ）A ．不等边三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形 【答案】D考点：1．等比数列；2．解三角形．【变式演练3】在ABC ∆中，若B a c cos 2=，则ABC ∆的形状一定是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰或直角三角形 D ．等腰三角形 【答案】D考点：正余弦定理解三角形【变式演练4】在△ABC 中，若2cos Bsin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是 （ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形 【答案】C【解析】试题分析：2cos Bsin A＝sin C=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB,所以sinAcosB- cosAsinB=0，所以sin（A-B）=0，所以A=B，三角形为等腰三角形考点：三角函数公式类型二解三角形中的边和角使用情景：三角形中解题模板：第一步直接运用正弦或余弦定理通常使用的条件判断是运用正弦定理还是余弦定理；第二步利用相应的正弦、余弦定理的计算公式即可得出所求的结论.例2在锐角中，角的对边分别为，若，，则的取值范围（）A. B. C. D.【答案】B,故答案选【点评】在解三角形中求范围问题往往需要转化为角的问题，利用辅助角公式，结合角的范围求得最后结果。

在边角互化中，注意化简和诱导公式的运用。

:例3 设ABC ∆的内角A ， B ， C 所对的边长分别为a ， b ， c ，若a = b =3B π=，则A =（ ） A. 6π B. 56π C. 4π D. 4π或34π【答案】C【变式演练3】已知△ABC 中，a x =，2b =，45B =︒，若三角形有两解，则x 的取值范围是（ ）A ．2x >B ．2x <C. 2x <<．2x <<【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，sin sin 452a B x x ==，要使得三角形有两解，则满足22x x <<，解得2x << C. 考点：三角形解的个数的判定.【变式演练4】在ABC ∆中，角,,A B C 的对边为,,a b c ，若222a cb -+=，则角B 为（ ） A ．6π B ．3π C ．233ππ或 D ．566ππ或 【答案】A 【解析】试题分析：因为222a cb -+=，由余弦定理，可得222cos 2ac b B ac +-===又(0,)B π∈，所以6B π=，故选A ．考点：余弦定理．【变式演练5】在ABC ∆中，sin :sin :sin 2:A B C =cos C =（ ）A 13 D ．14【答案】D考点：正弦定理与余弦定理.类型三 解决与面积有关问题使用情景：三角形中解题模板：第一步 主要利用正、余弦定理求出三角形的基本元素如角与边；第二步 结合三角形的面积公式直接计算其面积.例 4 ABC ∆中， 3BC =, D 在边BC 上，且2CD DB =, 1AD =.当ABC ∆的面积最大时，则ABC ∆的外接圆半径为（ ）D. 2【答案】C【解析】因为3,1BC AD ==所以ABC ∆的面积最大时AD BC ⊥,由题可知， 1BD =,1AD =, 2CD =可得4B π∠=,所以AC =由正弦定理可得2sin4R ==，故2R =，故选C. 例 5 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2,A C ac ==，若228b c +=，则ABC ∆的面积为____________．【答案】【变式演练6】在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，30B =︒，△ABC 的面积为23,则b 为（ ） A．12+ B．1+C．22+ D．2+ 【答案】B 【解析】试题分析：c 、、b a 成等差数列,c a b +=∴2,即ac b c a 24222-=+,又因为ABC ∆面积为23,︒=30B ,由2341sin 21===∆ac B ac S ABC ,得6=ac ,124222-=+∴b c a ,由余弦定理得,2344621242cos 222222=-=⨯--=-+=b b b ac b c a B ,解得3242+=b ,31+=∴b .故选B.考点：1.余弦定理；2.面积公式.【变式演练7】顶点在单位圆上的ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若522=+c b ，sin 2A =，则ABC S ∆= ． 【答案】23考点：余弦定理；正弦定理【变式演练8】在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知︒===60,7,2B b a ．（1）求c 及ABC ∆的面积S ； （2）求()C A +2sin ．【答案】（1）233；（2）1421．【高考再现】1.【2017全国I 卷文，11】△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c ，则C =A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【答案】B 【解析】试题分析：由题意sin()sin (sin cos )0A C A C C ++-=得sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ++-=，即sin (sin cos )sin()04C A A C A π+=+=，所以34A π=．由正弦定理sin sin a c A C =得23sin sin 4C π=，即1sin 2C =，得6C π=，故选B ． 【考点】解三角形【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．2.【2017山东，理9】在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若C ∆AB 为锐角三角形，且满足()sin 12cos C 2sin cos C cos sin C B +=A +A ，则下列等式成立的是 （A ）2a b = （B ）2b a = （C ）2A =B （D ）2B =A 【答案】A【解析】试题分析：sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+ 所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A. 【考点】1.三角函数的和差角公式2.正弦定理.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A ，B ，C 的式子，用正弦定理将角转化为边，得到2a b =.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视. 3. 【2016高考新课标3理数】在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（ ）（A （B （C ）- （D ）-【答案】C4.【2016高考天津理数】在△ABC 中，若AB ，120C ∠= ,则AC = （ ）（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4【答案】A【解析】试题分析：由余弦定理得213931AC AC AC =++⇒=,选A. 考点：余弦定理【名师点睛】1.正、余弦定理可以处理四大类解三角形问题，其中已知两边及其一边的对角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解．2．利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而达到知三求三的目的．5.【2015高考广东，文5】设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，c =，cos A =，且b c <，则b =（ ）A ．B ．2C ．D ．3 【答案】B【考点定位】余弦定理．【名师点晴】本题主要考查的是余弦定理，属于容易题．解题时要抓住关键条件“b c <”， 否则很容易出现错误．本题也可以用正弦定理解，但用正弦定理求角时要注意检验有两角的情况，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是余弦定理，即2222cos a b c bc =+-A ． 6. 【2017浙江，14】已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos∠BDC =_______．【解析】【考点】解三角形【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步解其他三角形，有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要的解．7.【2017全国III文，15】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C=60°，b，c=3，则A=_________.【答案】75°【考点】正弦定理【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.8. 【2016高考新课标2理数】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b = ． 【答案】21139.【2015高考重庆，文13】设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,且12,cos ,4a C ==-3sin 2sin A B =,则c=________. 【答案】4【解析】由3sin 2sin A B =及正弦定理知：32a b =,又因为2a =,所以2b =，由余弦定理得：22212cos 49223()164c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯-=，所以4c =;故填：4.【考点定位】正弦定理与余弦定理.【名师点睛】本题考查正弦定理与余弦定理的应用，先由正弦定理将3sin 2sin A B =转化为3a=2b 结合已知即可求得b 的值，再用余弦定理即可求解.本题属于基础题，注意运算的准确性及最后结果还需开方.10.【2017天津理，25】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =. （Ⅰ）求b 和sin A 的值； （Ⅱ）求πsin(2)4A +的值.【答案】 (1) b = 【解析】试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系2a b =，再根据余弦定理求出cos A ， 进而得到sin A ，由2a b =转化为sin 2sin A B =，求出sin B ，进而求出cos B ，从而求出2B 的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果.（Ⅱ）由（Ⅰ）及a c <，得cos A =，所以12sin 22sin cos 13A A A ==，25cos 212sin 13A A =-=-.故πππsin(2)sin 2cos cos 2sin 444A A A +=+=.考点：正弦定理、余弦定理、解三角形【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.12.【2017天津文，15】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin 4sin a A b B =，222)ac a b c =--.（I ）求cos A 的值； （II ）求sin(2)B A -的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ) .【解析】试题分析（Ⅰ）首先根据正弦定理sin sin A aB b=代入得到2a b =，再根据余弦定理求得cos A ；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论和条件，根据cos A 求sin A ，和2,a b = 以及正弦定理求得sin B ，再求cos B ，以及sin 2,cos 2B B ，最后代入求()sin 2B A -的值.（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得sin A =sin 4sin a A b B =，得sin sin 4a A B b ==由（Ⅰ）知，A 为钝角，所以cos B ==于是4sin 22sin cos 5B B B ==，23cos 212sin 5B B =-=，故43sin(2)sin 2cos cos 2sin (55B A B A B A -=-=⨯-=. 【考点】1.正余弦定理；2.三角恒等变换.【名师点睛】高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式13.【2017全国III 理，17】ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 0A A +=，a =，2b =．（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD △的面积．【解析】（1）由sin 0A A +=得π2sin 03A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()ππ3A k k +=∈Z ，又()0,πA ∈， ∴ππ3A +=，得2π3A =.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-⋅.又∵12,cos 2a b A ===-代入并整理得()2125c +=，故4c =.（2）∵2,4AC BC AB ===，由余弦定理222cos 2a b c C ab +-==. ∵AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形，则cos AC CD C =⋅，得CD =.由勾股定理AD =又2π3A =，则2πππ326DAB ∠=-=， 1πsin 26ABD S AD AB =⋅⋅=△. 14.【2017山东，文17】在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b =3,6AB AC ⋅=-,S △ABC =3,求A 和a .【答案】3=π,4A a 【解析】又3b =，所以c =由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得29823(29a =+-⋅⋅=，所以a =.【考点】解三角形【名师点睛】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理,它将三角形的边和角有机地联系起来,从而使三角与几何产生联系,为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据,也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法,化边法,面积法,运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想．15.【2017全国II 文，16】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos bc B a C c A =+,则B =【答案】3π16.【2017北京理，15】在△ABC 中，A ∠ =60°，c =37a . （Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）若a =7，求△ABC 的面积.【答案】【解析】试题分析：（Ⅰ）根据正弦定理=sin sin a cA C求sin C 的值；（Ⅱ）根据条件可知7,3,a c ==根据（Ⅰ）的结果求cos C ，再利用()sin sin B A C =+求解，最后利用三角形的面积1sin 2S ac B =.【考点】1.正余弦定理；2.三角形面积；3.三角恒等变换.【名师点睛】高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式17.【2017全国I 卷理，16】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC△的面积为23sin a A．（1）求sin sin B C ；（2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长．本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用. （1）∵ABC △面积23sin a S A=.且1sin 2S bc A =∴21sin 3sin 2a bc A A = ∴223sin 2a bc A =∵由正弦定理得223sin sin sin sin 2A B C A =，由sin 0A ≠得2sin sin 3B C =. （2）由（1）得2sin sin 3B C =，1cos cos 6B C = ∵πA B C ++=∴()()1cos cos πcos sin sinC cos cos 2A B C B C B B C =--=-+=-=又∵()0πA ∈，∴60A =︒，sin A ，1cos 2A =由余弦定理得2229a b c bc =+-= ① 由正弦定理得sin sin a b B A =⋅，sin sin ac C A=⋅ ∴22sin sin 8sin a bc B C A=⋅= ②由①②得b c +=∴3a b c ++=ABC △周长为3+18.【2016年高考北京理数】在∆ABC 中，222+=+a c b . （1）求B ∠ 的大小；（2cos cos A C + 的最大值. 【答案】（1）4π；（2）1. 【解析】考点：1.三角恒等变形；2.余弦定理.【名师点睛】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想．19.【2016高考新课标1卷】 ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2c o s (c o s c o s )C a B +b A c =（I ）求C ；（II ）若c ABC =∆求ABC 的周长．【答案】（I ）C 3π=（II ）5【解析】（II ）由已知,1sin C 2ab =． 又C 3π=,所以6ab =．由已知及余弦定理得,222cosC 7a b ab +-=．故2213a b +=,从而()225a b +=．所以C ∆AB 的周长为5+．考点：正弦定理、余弦定理及三角形面积公式【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式,()()sin sin ,cos cos ,A B C A B C +=+=- ()tan tan A B C +=-,就是常用的结论,另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角化边.”20.【2016高考山东理数】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A B A B B A+=+ （Ⅰ）证明：a +b =2c ;（Ⅱ）求cos C 的最小值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）12考点：1.和差倍半的三角函数；2. 正弦定理、余弦定理；3. 基本不等式.【名师点睛】此类题目是解三角形问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简三角恒等式，利用正弦定理实现边角转化，达到证明目的；三角形中的求角问题，往往要利用余弦定理用边表示角的函数.本题覆盖面较广，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.21. 【2016高考浙江理数】（本题满分14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知b+c=2a cos B.（I）证明：A=2B；（II ）若△ABC 的面积2=4a S ，求角A 的大小. 【答案】（I ）证明见解析；（II ）2π或4π．（II ）由24a S =得21sin C 24a ab =，故有 1sin sin C sin 2sin cos 2B =B =B B ， 因sin 0B ≠，得sinC cos =B ．又B ，()C 0,π∈，所以C 2π=±B ． 当C 2πB +=时， 2πA =； 当C 2π-B =时，4πA =． 综上，2πA =或4πA =．考点：1、正弦定理；2、两角和的正弦公式；3、三角形的面积公式；4、二倍角的正弦公式．【思路点睛】（I ）用正弦定理将边转化为角，进而用两角和的正弦公式转化为含有A ，B 的式子，根据角的范围可证2A =B ；（II ）先由三角形的面积公式及二倍角公式可得含有B ，C 的式子，再利用三角形的内角和可得角A 的大小．22. 【2016年高考四川理数】在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且cos cos sin A B C a b c+=. （I ）证明：sin sin sin A B C =；（II ）若22265b c a bc +-=，求tan B . 【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）4.（Ⅱ）由已知，b 2+c 2–a 2=65bc ，根据余弦定理，有 cos A =2222b c a bc +-=35．所以sin A =45． 由（Ⅰ），sin A sin B =sin A cos B +cos A sin B ， 所以45sin B =45cos B +35sin B ， 故sin tan 4cos B B B ==． 考点：正弦定理、余弦定理、商数关系、平方关系.【名师点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、商数关系等基础知识，考查学生的分析问题的能力和计算能力.在解三角形的应用中，凡是遇到等式中有边又有角时，可用正弦定理进行边角互化，一种是化为三角函数问题，一般是化为代数式变形问题．在角的变化过程中注意三角形的内角和为180︒这个结论，否则难以得出结论．23.【2015高考新课标2，理17】ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍．(Ⅰ) 求sin sin B C∠∠；(Ⅱ)若1AD =，DC =，求BD 和AC 的长． 【答案】(Ⅰ)12；(Ⅱ)1． 【解析】(Ⅰ)1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠，1sin 2ADC S AC AD CAD ∆=⋅∠，因为2A B D A D C S S ∆∆=，【考点定位】1、三角形面积公式；2、正弦定理和余弦定理．【名师点睛】本题考查了三角形的面积公式、角分线、正弦定理和余弦定理，由角分线的定义得角的等量关系，由面积关系得边的关系，由正弦定理得三角形内角正弦的关系；分析两个三角形中cos ADB ∠和cos ADC ∠互为相反数的特点结合已知条件，利用余弦定理列方程，进而求AC ．【反馈练习】1．【河南省中原名校(豫南九校)2017-2018学年高二上学期第二次联考数学（文）试题】在ABC ∆中，内角A ， B ， C 所对的边分别是a ， b ， c ，已知32a c =， 2C A =，则c o s C =（ ） A. 38- B.18 C. 18± D. 38± 【答案】B2．【陕西省西安市长安区第五中学2018届高三上学期第二次模拟考试数学（理）试题】三个内角所对的边为，已知且，则角等于（ ） A. B. C. D. 或【答案】A 【解析】由正弦定理可得：，则，又，所以，故选A 。