2019年安徽省宣城市八校高三上学期联考数学(文)试题及答案

高考数学精品复习资料

2019.5

宣城市八校高三上学期联考数学（文）试题

本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。全卷满分150分，考试时间120分钟。 考试范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量与复数、数列、 不等式、推理与证明。 考生注意事项：

l ．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上

所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。

2．答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改

动，用橡皮擦十净后，冉选涂其他答案标号。

3．答第Ⅱ卷时，必须使用0．5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹

清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后冉用0．5毫米的黑色墨水签字笔捕清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、．．．．．．．．．．．．．．．．．．．草稿纸上答题无效．．．．．．．．

。 4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。

第I 卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的．

（1）如图，设全集U=N ，集合A={1，3，5，7，8}，B ＝{1，2，3，4，5}，则图中阴影部分表示的

集合为

（A ）{2，4} （B ）{7，8} （C ）{1,3,5} （D ）{1,2,3,4,5}

（2）设i 是虚数单位，则复数11i

z i

+=-的共轭复数z =r

（A ）－i

（B ）i

（C ）1－I （D ）1+i

（3）函数y=的定义域为

（A ）（－1，3] （B ）（－1，0）U （0，3] （C ）[－1，3] （D ）[－1．0）U （0，3]

（4）设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若a 3=7，S 3=21，则数列{a n }的公比是

（A ）12

-

（B ）1 （C ）

1

2

或1 （D ）1

2

-

或1

（5）已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x<0时f （x ）=3x ，若f （x 0）=1

9

-，则x 0= （A ）－2

（B ）12

-

（C ）

12

（D ）2

（6）若曲线y=alnx+x 2（a>0）的切线倾斜角的取值范围是[3π，2

π），则a=

（A ）124

（B ）

38

（C ）

34

（D ）32

（7）设S n ，是等差数列{a n }的前n 项和，且a 2+2a 4+5a 6=48，则S 9= （A ）36 （B ）45 （C ）54 （D ）63 （8）若将函数y=sin （2x 4

π

-

）的图像向左平移?个单位，所得图像关于y 轴对称，则?的最小正值是

（A ）

8

π （B ）

4

π （C ）

38

π （D ）

34

π （9）若x ，y 满足约束条件5

125

a x y x y ≤+≤??

≤-≤?，且z=2x+y 的最小值为－1，则a=

（A ）－2 （B ）－1 （C ）0 （D ）1 （10）在l 和l 7之间插入n 个数，使这n+2个数成等差数列，若这n 个数中第一个为a ，第n 个为b ，

当125

a b

+取最小值时，n ＝

（A ）4

（B ）5

（C ）6 （D ）7

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

考生注意事项：

请用0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．．．．．．．．．

。 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上． （11）已知向量a=（－2，4），b=（－2，3m ），c=（4m ，－4），若（a －2b ）⊥c ，则m 的值为

。

（12）2723

+（

14）

181

14

og og = 。

（13）如图，在△OAB 中，OA ⊥AB ，OB=1，OA=

1

2

，过B 点作OB 延长线的垂线交OA 延长线于点A 1，过点A 1作OA 延长线的垂线交OB 延长线于点B 1，如此继续下去，设△OAB 的面积为a l ，△O A 1B 的面积为a 2，△OA 1B 1的面积为a 3，…，以此类推，则a 6= .

（14）已知数列{a n }的各项都是正数，其前n 项和S n 满足2S n =a n +

1

n

a ，n ∈N *，则数列｛a n ｝的通项

公式为 . （15）设非直角△ABC 的内角A 、B ．C 所对边的长分别为a 、b 、c ，则下列结论正确的是 （写

出所有正确结论的编号）．

①“sinA>sinB”是“a>b”的充分必要条件 ②“cosAb”的充分必要条件 ③。tanA>tanB”是“a>b”的充分必要条件 ④“sin2A>sin2B”是a“>b”的充分必要条件 ⑤“cos2Ab”的充分必要条件

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （16）（本小题满分]2分） 设函数f （x ）=sinxcos （x+

3

π

）

x ∈R ．

（Ⅰ）求f （x ）的最大值及最小正周期； （Ⅱ）讨论f （x ）在区间[0，

2

π

]上的单调性．

（17）（本小题满分12分）

已知命题p ：对任意x ∈R ，不等式2x + |2x －2|>a 2

－a 恒成立；命题q ：关于x 的方程x 2+2ax+1=0

有两个不相等的实数根．若“（p ?）V q”为真命题，“（p ?）∧q”为假命题，求实数a 的取值

范围．

（18）（本小题满分12分） 设△A BC 的内角A 、 B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，且3b 2=2ac （1+cosB ）． （I ）证明：a 、b 、c ．成等差数列； （Ⅱ）若a=3．b=5b 求△ABC 的面积．

（19）（本小题满分13分） 已知数列｛a n ｝满足a l =2，a n+l =2a 2

n ，n ∈N *． （I ）证明：数列{1+log 2a n }为等比数列； （Ⅱ）设b n =

211n

n

og a +，求数列{b n }的前n 项和S n 。

（20）（本小题满分13分）

设函数f （x ）=ax －e x ，a ∈R ，e 为自然对数的底数． （I ）若函数f （x ）存在两个零点，求a 的取值范围；

（Ⅱ）若对任意x ∈R ，a> 0, f （x ）≤a 2ka 恒成立，求实数K 的取值范围．

（21）（本小题满分13分）

设递增数列{a n }满足a l =1，a l 、a 2、a 5成等比数列，且对任意n ∈N *，函数．f （ x ）=（a n+2 －a n+1）x －（a n

－a n －1）sinx+a n cosx 满足f '（π）=0．

（I ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）若数列{a n }的前n 项和为S n ，b n =1

n

S ，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：T n <2．

y

参考答案

题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 答案 A

A

B

D

D

B

C

C

B

D

（1）A 解析：由Venn 图可知阴影部分表示的集合为(?U A )∩B ＝{2，4}．

（2）A 解析：2

2

1i (1i)i,1i 1i

z ++===∴--i.z =- （3）B 解析：由已知得????

?－x 2＋2x ＋3≥0x ＋1＞0x ＋1≠1

，解得x ∈(－1，0)∪(0，3].

（4）D 解析：设数列{}n a 的公比为q ，则22

11114,7210,a a q a q q q +==?--=解得12

q =-

或1.

（5）D 解析：当0x >时，()3,x

f x -=-可得0

01

3

,29

x x --=-=.

（6）B 解析：y ′＝a x ＋2x ≥22a ，∵倾斜角的取值范围是???

???2π3π，，∴斜率3≥k ，a 223=，

∴.8

3

=

a （7）C 解析：48＝a 2＋2a 4＋5a 6＝,6,8445564=∴=+a a a a S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝54. （8）C 解析：ππsin 2sin 22,44y x y x ??????=-

??????→=+- ? ??

??

?向左平移个单位由其图像关于y 轴对称，可知ππ2=π(),42k k ?-+∈Z 得3π1

=

π(),82

k k ?+∈Z 故?的最小正值是3π.8 （9）B 解析：画出可行域，如图，显然z ＝2x ＋y 在直线x ＋y ＝a 与2x －y ＝1的交点处取得最小值，解得交点坐标为(a ＋13，2a －13)，则－1＝2×a ＋13＋2a －1

3

，解得a ＝－1．

（10）D 解析：由已知得a ＋b =18，则1a ＋25b ＝(1a ＋25b )×a ＋b 18=118(25＋1＋25a b ＋b a )≥1

18(26＋10)=2，当

且仅当b =5a 时取等号，此时a =3，b =15，可得n =7．

（11）12 解析：a －2b ＝(2，4－6m )，且(a －2b )⊥c ，故8m －4(4－6m )＝0，m ＝1

2

.

（12）10 解析：原式232log 3

2

=3

2=10.3

?

-++ （13）3128 解析：a 1＝38，a 2＝3

2

，a 3＝23，…，a 6＝3128．

（14）n a = 解析：当n ＝1时，2S 1＝a 1＋1

a 1

=2a 1，a 1＝1，当n ≥2时，2S n ＝S n －S n －1

＋

1S n －S n －1，即S n ＋S n －1＝1S n －S n －1

，22

11,n n S S --=，又211,S =∴S 2n ＝n ，S n ＝n ，∴n a =.

（15）①②⑤ 解析：由①sinA ＞sinB ，利用正弦定理得 a =2r sinA ，b =2r sinB ，故sinA ＞sinB ，等价于

a ＞

b ，①正确；由②cosA ＜cosB ，利用函数cos y x =在()0,π上单调递减得A B >，等价于a ＞b ，②正确； 由③tanA ＞tanB ，不能推出a ＞b ，如A 为锐角，B 为钝角，虽然有tanA ＞tanB ，但由大角对大边得a ＜b ，③错误；由④sin2A ＞sin2B ，不能推出a ＞b ，如 A=45°，B=60°时，虽然有sin2A ＞sin2B ，但由大角对大边得a ＜b ，④错误；由⑤cos2A ＜cos2B ，利用二倍角公式得sin 2A ＞sin 2B ，∴sinA ＞sinB ，故等价于a ＞b ，⑤正确．

（16）解析：（Ⅰ）f (x )＝sin x (12cos x －32sin x )＋34＝14sin2x －32·1－cos2x 2＋34＝12sin(2x ＋π

3)，

∴f (x )的最大值为1

2

，最小正周期为π．（6分）

（Ⅱ）πππ4π0,2.2333

x x ≤≤

∴≤+≤Q 当πππ2,332x ≤+≤即π012x ≤≤时，f (x )单调递增； 当ππ4π2,233x ≤+≤

即ππ

122

x ≤≤时，f (x )单调递减. 综上可知f (x )在区间π[0,]12上单调递增，在区间ππ

[,]122

上单调递减.（12分）

（17）解析：令f (x )＝2x

＋|2x

－2|，则,1

,221

,2)(1

???>-≤=+x x x f x ∵y ＝2x +1－2是增函数，∴f (x )有最小值2， 若命题p 为真命题，则a 2－a ＜2，－1＜a ＜2．

若命题q 为真命题，则△＝4a 2－4＞0，a ＜－1或a ＞1．（8分）

∵

p q ?∨（）为真命题，p q ?∧（）为假命题，∴p ?与q 一真一假.

若p 真，则q 真，此时1＜a ＜2;

若p 假，则q 假，此时,112

1?

?

?≤≤-≥-≤a a a 或即a=－1． 故a 的取值范围是{-1}∪(1，2)．（12分）

（18）解析：（Ⅰ）由余弦定理知2ac cos B ＝a 2＋c 2－b 2， ∴3b 2＝2ac ＋a 2＋c 2－b 2，4b 2＝(a ＋c )2，2b ＝a ＋c ， ∴a 、b 、c 成等差数列．（6分）

（Ⅱ）∵a ＝3，b ＝5，∴c ＝7，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，sin C ＝3

2，

∴ABC ?的面积S ＝12ab sin C ＝153

4

．（12分）

（19）解析：（Ⅰ）两边取以2为底的对数得log 2a n ＋1＝1＋2log 2a n ，则log 2a n ＋1＋1＝2(log 2a n ＋1)， ∴{1＋log 2a n }为等比数列，且log 2a n ＋1＝(log 2a 1＋1)×2n －

1＝2n .（6分） （Ⅱ）由（Ⅰ）得,2n

n n

b =

n S ＝1

2＋2

22＋…＋n

2n ，则1

2n S ＝1

22＋2

23＋…＋n

2n +1，

两式相减得12n S ＝12＋122＋…＋12n －n 2n +1＝1－12n －n

2n +1，222

n n n S +∴=-.（13分）

（20）解析：（Ⅰ）f ′(x )=a －e x ．

当a ≤0时，f ′(x )＜0，f (x )在R 上单调递减，最多存在一个零点，不满足条件； 当a ＞0时，由f ′(x )=0解得x =ln a ，当x ＞ln a 时，f ′(x )＜0，当x ＜ln a 时，f ′(x )＞0． 故f (x )在x =ln a 处取得最大值f (ln a )=a ln a －a ，

∵f (x )存在两个零点，∴f (ln a )=a ln a －a ＞0，a ＞e ，即a 的取值范围是(e ，＋∞)．（6分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知f (x ) ≤a ln a －a ，故只需a ln a －a ≤a 2－ka ，k ≤a ＋1－ln a . 令g (a )= a ＋1－ln a ，g′(a )= 1－1

a ，当a ＞1时，g′(a )＞0；当a ＜1时，g′(a )＜0．

故g (a )在a =1处取得最小值2，则k ≤2，即k 的取值范围是(－∞，2]．（13分） （21）解析：(Ⅰ)∵)(x f '＝a n ＋2－a n ＋1－(a n －a n ＋1)cos x －a n sin x ，

∴)π(f '＝a n ＋2－a n ＋1＋a n －a n ＋1＝0，即2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，∴{a n }是以a 1＝1为首项的等差数列，

设数列{}n a 的公差为d ，则d >0，由a 22＝a 1·a 5，得(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋4d )，解得d ＝2，

∴a n ＝2n －1.(6分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得S n ＝（a 1＋a n ）n 2＝n 2，∴b n ＝1

n 2，∴T 1＝b 1＝1<2.

∵当n ≥2时，1n 2<1n （n －1）＝1n －1－1

n

，

∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝112＋122＋ 23

1…＋1n 2<112＋11×2＋12×3＋…＋1

（n －1）×n

＝1＋1－12＋…＋1n －1－1n

＝2－1

n <2，∴T n <2.(13分）