概率论与数理统计第九章方差分析与回归分析
第九章方差分析及回归分析 第2讲精品PPT课件
x1, x2, , xn
因此干脆不把X看成随机变量，而将它当作 普通的变量。X的变化将使Y发生相应的变 化，但它们之间的变化是不确定的。由于Y 是随机变量 ，当X取得任一个可能的值x时， Y都相应地服从一定的概率分布。
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设进行 n 次独立试验，测得试验数据如下表：
xபைடு நூலகம்
x1
x2
xn
y
y1
y2
yn
我们的问题是，如何根据这组观察值，用 “最佳”的形式来表达变量Y与x的相关关系？
比较合理的想法就是，取Xx时随机变量
Y的数学期望EY Xx 作为Xx时Y的估计值。
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设Y的数学期望EY存在,其值随X的取值
而定，即Y的数学期望是x的函数。将这一函数
记为yx 或x，xEY Xx称为Y关于x
的回归函数。 为 此 ， 我 们 就 将 讨 论 Y 与 x的 相 关 关 系 的 问 题
转 换 为 讨 论 E Y x与 x的 函 数 关 系 了 。
由一个或一组非随机变量来估计或预测某 一个随机变量的观察值时所建立的数学模 型及所进行的统计分析称为回归分析
7
如果这个模型是线性的就称为线性回归分析 这种方法是处理变量间相关关系的有力工具，是
数理统计工作中一种常用的方法。它不仅告诉人 们怎样建立变量间的数学表达式，即经验公式， 而且还利用概率统计知识进行分析讨论，判断出 所建立的经验公式的有效性，从而可以进行预测 或估计。 本章主要介绍如何建立经验公式。
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温度x(oc) 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 得率（%） 45 51 54 61 66 70 74 78 85 89
得率与温度关系的散点图 100 90 80 70 60 50 40
浙大版概率论与数理统计答案---第九章
第九章 方差分析与回归分析注意： 这是第一稿（存在一些错误）1．解：()()()211,,n niii i i i L f y y f y x αβσεαβ======--∏∏()()()221222211122ni i i i i y x y x nni e eαβαβσσπσπσ=------=∑==∏()()()()22212,,ln ,,ln22ni i i y x l L n αβαβσαβσπσσ=--==--∑()()()()()()212212221242,,0,,0,,1022ni i i n i i i i n i i i y x l y x x l y x l n αβαβσασαβαβσβσαβαβσσσσ===⎧--⎪∂⎪==∂⎪⎪--⎪∂⎪==⎨∂⎪⎪--⎪∂⎪=-=⎪∂⎪⎩∑∑∑ 解得2ˆˆ,ˆ,ˆ.xyxxy x s s SSE n αββσ⎧⎪=-⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩则α、β的极大似然估计与最小二乘估计一致。
2σ的极大似然估计为SSE n ，最小二乘估计为2SSE n -，为2σ的无偏估计。
2．解： （1）由题意，知0123:H μμμ==，1123:,,H μμμ不全相等计算有112312.54ni i i x n x n n n ⋅===++∑ 321()0.738i A i i S n x x ⋅==-=∑，321() 5.534in T ij i i jS x x ===-=∑∑4.796E T A S S S =-=，/(31)0.369A A MS S =-=123/(3)0.178E E MS S n n n =++-=，/ 2.077A E F MS MS == 所以单因素方差分析表为： 方差来源 自由度 平方和 均方 F 比 因素A 2 0.738 0.369 2.077 误差 27 4.796 0.178 总和295.534由于 2.077F =<(2,27) 3.3541F α=，接受0H（2）2σ的无偏估计量为：123/(3)0.178E E MS S n n n =++-=3．解：(1)61n =，4r =,(2)0.05(3,57) 2.76 3.564F ≈<,则拒绝原假设，即认为不同年级学生的月生活费水平有显著差异。
概率统计中的回归分析和方差分析
概率统计中的回归分析和方差分析回归分析是概率统计中一种重要的分析方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。
它可以通过建立一个数学模型，来预测和解释两个或多个变量之间的关系。
而方差分析则是用于比较两个或多个总体均值差异的统计方法。
这两种方法在概率统计领域中具有广泛的应用，本文将对回归分析和方差分析进行介绍和探讨。
一、回归分析回归分析是一种统计方法，主要用于建立一个数学模型以描述自变量和因变量之间的关系。
它常用于预测、解释和分析数据，为研究者提供有关变量之间关系的信息。
回归分析中最常用的模型是线性回归模型，它假设自变量和因变量之间存在线性关系。
在回归分析中，我们首先要选择适当的自变量和因变量。
自变量通常是研究者认为可能影响因变量的变量，而因变量是研究者希望通过自变量来解释和预测的变量。
然后，我们通过收集一定数量的数据来建立数学模型，并进行回归分析。
回归分析的核心目标是通过估计回归系数来确定自变量与因变量之间的关系。
回归系数可以告诉我们两个变量之间的相关性和影响程度。
在线性回归模型中，回归系数表示当自变量的单位变化引起因变量的变化时，因变量的平均变化量。
回归系数的显著性测试可以告诉我们该变量是否对因变量有显著影响。
此外，回归分析还可以进行多元回归和非线性回归等分析。
多元回归用于分析多个自变量和一个因变量之间的关系，非线性回归用于分析自变量和因变量之间的非线性关系。
这些分析方法可以进一步深入研究变量之间的关系。
二、方差分析方差分析是用于比较两个或多个总体均值差异的统计方法。
它通过分析不同组别之间的方差来推断总体均值是否存在显著差异。
方差分析适用于多组数据的比较，常用于实验设计和质量控制等领域。
方差分析将总体的方差分解成组间方差和组内方差，然后通过计算F统计量来进行假设检验。
如果F统计量大于临界值，则拒绝原假设，认为组别之间存在显著差异；否则，接受原假设，认为组别之间没有显著差异。
方差分析可以分为单因素方差分析和多因素方差分析。
概率论与数理统计第九章方差分析与回归分析
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【例9.2】 某市消费者协会为了评价该地旅游业、居民服务业、
公路客运业和保险业的服务质量，从这4个行业中分别抽取了不 同数量的企业。经统计，最近一年消费者对这23家企业投诉的 次数资料如下表所示。这4个行业之间服务质量是否有显著差异？ 如果有，究竟是在哪些行业之间？
2
二、单因素方差分析的数据结构
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因素A 水平A1 水平A2…水平As
1 2 :
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表中： X i j 为第 i个水平的第j个观测值。 记第j个水平观测值的均值为X .j ,则有
nj
X ij
X .j
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【例9.4】 某种火箭使用了四种燃料，三种推进 器做试验。每种燃料和每种推进器的组合各做一 次试验，得火箭射程数据如下表所示。试问不同 的燃料、不同的推进器分别对火箭射程有无显著 影响？
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列方差分析表：
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19
从未采 1年前采 8年前采
伐过
伐过
伐过
27
12
18
22
12
4
29
15
22
21
9
15
19
20
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22
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14
12
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第九章 方差分析及回归分析【精选】
Xij j ij
ij ~ N (0, 2 ),各 ij独立。
i 1,2,, nj , j 1,2,, s,
(1.1)
广
东
工
业
大
其中 j 与 2 均为未知参数.
学
(1.1) 式称为单因素试验方差分析的数学模型.
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方差分析的任务:
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机器III 0.258 0.264 0.259 0.267 0.262
广 东 工 业 大 学
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例2 表9-2列出了随机选取的, 用于计算器的四种类型的电路 的响应时间(以毫秒计).
类型I 19 15 22 20
18
类型II 20 40 21 33
27
类型III 16 17 15 18
26
类型IV 18 22 19
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概率论与数理统计
例3 一火箭使用四种燃料, 三种推进器作射程试验. 每种燃料与 每种推进器的组合各发射火箭两次, 得射程如表9-3(以海里计):
推进器B
A1 燃 A2 料 A3 A
A4
B1 58.2 52.6 49.1 42.8
机器I 0.236 0.238 0.248 0.245 0.243
机器II 0.257 0.253 0.255 0.254 0.261
机器III 0.258 0.264 0.259 0.267 0.262
表中数据可看成来自三个不同总体(每个水平对应一个总体)的样广
本值.
将各个总体的均值依次记为1, 2 , 3
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第9章方差分析与回归分析ppt课件
第9章 方差分析与回归分析
r ni
Se
(yij yi )2,
称为误差平方和或组内平方和.
i1 j1
则有以下平方和分解式：
ST SASe
（9.1.4）
事实上
r n i
r n i
S T (yijy)2 (yijyiyiy)2
i 1j 1
i 1j 1
r n i
r n i
r n i
(y i y ) 2 (y ij y i) 2 2 (y ij y i) (y i y )
为研究方便，引入如下记号：
n
r
ni
i1
为试验总次数；
1 n
r i 1
ni i 为总均值；
ii,i1,2,L,r称
i为因素 A
r
的水平 A i 的效应，且有
n i i
0.
i1
ij y iji,j 1 ,2 ,L ,n i,i 1 ,2 ,L ,r称为随机误差.
安庆师范大学
.
因此单因素方差分析数学模型为：
的统计量.令
1 ni
yi
ni
yij,i 1,2,L ,r,
j1
y 1 r
n i 1
ni
yij ,
j 1
表示第组样本的平均值. 表示全体样本的总平均.
r
ST
ni
概率论与数理统计教案第9章方差分析及回归分析
概率论与数理统计教案第9章方差分析及回归分析第9章方差分析及回归分析教学要求1．理解单因素实验的基本概念；了解单因素实验中数学模型的建立思想；了解偏差平方和的分解过程，掌握偏差分解的分解式.2．掌握单因素方差分析表，会用单因素方差分析表进行方差分析.3．了解一元线性回归思想，掌握一元线性回归模型所要解决的问题.4．掌握一元线性回归模型中参数,a b 的点估计方法；掌握一元线性回归模型中参数2σ的估计方法；会对一元线性回归方程进行假设检验，掌握三种常见假设检验方法.5．理解预测和控制的概念，会用回归方程进行预测和控制.6．了解常见的非线性回归函数的形式，会利用变量代换将非线性函数转化为一元线性函数.教学重点单因素实验的基本概念，单因素方差分析表，一元线性回归模型中参数,a b 的点估计方法，一元线性回归模型中参数2σ的估计方法，三种常见假设检验方法，用回归方程进行预测和控制，利用变量代换将非线性函数转化为一元线性函数方法.教学难点偏差分解的分解式，单因素方差分析表的推导过程，一元线性回归模型中参数,a b 的点估计方法，一元线性回归模型中参数2σ的估计方法，三种常见假设检验方法. 课时安排本章安排8课时.教学内容和要点一、单因素试验的方差分析1.单因素实验的基本概念2.单因素实验的数学模型3.偏差平方和及其分解4.统计分析二、一元线性回归1.一元线性回归模型2.未知参数,a b 的点估计3.未知参数2σ的估计4.回归方程的假设检验5.预测与控制问题6.可化为一元线性回归的情形主要概念1.单因素试验方差分析的数学模型2.单因素方差分析表3.一元线性回归模型4.未知参数的点估计和方差的无偏估计5.线性假设的显著性检验6.观察值000Y a bx ε=++的点预测和区间预测。
第九章方差分析及回归分析
解：2 SE /(n r) 0.000016
1 x1 0.242, 2 x2 0.256, 3 x3 0.262 x 0.253
1 x1 x 0.011, 2 x2 x 0.003
2019/11/8
1
例1 设有三台机器，用于生产规格相同的铝 合金薄板。取样，测量薄板的厚度精确至千 分之一厘米。得结果如下表所示。
铝合金板的厚度
机器1
机器2
机器3
0.236
0.257
0.258
0.238
0.253
0.264
0.248
0.255
0.259
0.245
0.254
0.267
0.243
0.261
SE ( X i1 X1)2
( X is X s )2
i 1
i 1
nj
（Xij X j )2 / 2 ~ 2 (nj 1)
i1
由 2分布的可加性知
s
SE / 2 ~ 2 ( (nj 1)) j 1
SE / 2 ~ 2(n s)
因F0.05(2,12) 3.89 32.92,
故在水平0.05下拒绝H0 , 认为各台机器生产的 薄板厚度有显著差异。
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（五）未知参数的估计
不管H0是否为真，ˆ 2
SE nr
是
2的无偏估计。
拒绝还是接受H0,需要作出两总体N (i , 2)和N (k , 2),
( Xij Xi.)( Xi. X )
i1 j1
i1
浙江大学《概率论与数理统计》(第4版)教材的配套题库(第9章 方差分析及回归分析)【圣才出品】
＿
＿
＿
＿
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＿
（x1－x2±1.78）＝（0.72，4.28），（x1－x3±1.95）＝（2.55，6.45），（x2－x3±1.78）＝
（0.22，3.78）
由此可见，若仅从得到的样本作出决策，则以方案Ⅲ为佳。
3．某防治站对 4 个林场的松毛虫密度进行调查，每个林场调查 5 块地得资料如表 9-5 所示： 表 9-5
表 9-2
因 F 比＝17.07＞3.89＝F0.05（2，14），故在显著性水平 0.05 下拒绝 H0，认为平均寿命的
差异是显著的。
＿
＿
＿
由已知得xA＝42.6，xB＝30，xC＝44.4，t0.025（12）＝2.1788，极限误差 E 为
t0.025 (12)
1 SE ( ni
1 nk
)
5.8（5 i, k
已知得 n1＝8，n2＝12，n3＝8，，n＝28，T.1＝100，T.2＝120，T.3＝64，T..＝284
ST
3 j 1
ni i 1
xi2j
T2 n
3052 2842 28
171.43
SA
3
T
2 j
n j1 j
T2 n
2962 2880.57 81.43
SE＝ST－SA＝90
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第 9 章 方差分析及回归分析
以下约定各个习题均符合涉及的方差分析模型或回归分析模型所要求的条件。
1．今有某种型号的电池三批，它们分别是 A、B、C 三个工厂所生产的，为评比其质量， 各随机抽取 5 只电池为样品，经试验得其寿命（h）如表 9-1 所示： 表 9-1
第九章回归分析与方差分析
i =1
i =1
由公式（8）得
bˆ = lxy
=
10
∑ xi
i =1
yi
−
1 10
10
∑
i =1
xi
10
∑
i =1
yi
l xx
10
∑
xi2
i =1
−
1 10
10
∑
i =1
xi
2
43130000 − 1 × 20700 ×19900
=
10 45690000 − 1 ( 20700 )2
但是我们无法从一个变量确切知道另一个变量，它们之间是一种非确定性关系。又如，任一
家庭的年支出 Y 与该家庭的年收入 X 之间存在密切的关系，但是我们无法从一个变量确切知 道另一个变量，它们之间是一种非确定性关系。再如广告费 X 与销售量 Y 之间存在密切的关
系，但是我们也无法从一个变量确切知道另一个变量，它们之间也是一种非确定性关系。这 一种非确定性关系，我们称之为相关关系。
n
Q(a,b) = ∑ ( yi − a − bxi )2 i =1
（2.4）
所谓 a, b 的最小二乘估计，就是选择 aˆ, bˆ ，使得
Q ( aˆ, bˆ ) = min Q ( a, b )
（2.5）
将 Q = Q ( a, b ) 分别对 a, b 求偏导数：
∂Q ∂a
=
n
−2 ∑ ( yi
在研究相关变量之间的关系时，我们常常可以把变量分成两类，一类变量带有“原因” 的性质，称为自变量或回归变量；另一类变量带有“结果”的性质，称为因变量或响应变量。 研究这种带有因果关系变量之间的相关关系的一个有力工具是回归分析，它是数理统计的一
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七、 SA，SE 的统计特征P228
根据概率论与数理统计学知识 ： 1） MSE 是总体方差 2 的无偏估计量，且与原假设成
立与否无关。
即 E MSE 2
2） MSA 是否是总体方差 2的无偏估计量，与原假设
成立与否有关 。当且仅当原假设成立时，MSA才是
总体方差 2 的无偏估计量。
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二、有交互作用的双因素方差分析
所谓交互作用，简单来说就是不同因素对
试验指标的复合作用，因素A和B的综合效应
不是二因素效应的简单相加。为了能分辨出两
个因素的交互作用，一般每组试验至少作两次。
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有交互作用的双因素方差分析数据结构
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2．建立假设
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这就是有交互作用的双因素方差分析的数学模 型。
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【例9.2】 某市消费者协会为了评价该地旅游业、居民服务
业、公路客运业和保险业的服务质量，从这4个行业中分别抽取 了不同数量的企业。经统计，最近一年消费者对这23家企业投 诉的次数资料如下表所示。这4个行业之间服务质量是否有显著 差异？如果有，究竟是在哪些行业之间？
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解(1) 建立假设
H0 : 1 2 3 4
(2) 列方差分析表
H1 : 1, 2, 3, 4不全相等
（3）统计决策 因为 FA F0.01 5.01 ，所以拒绝 H0 。即有99%的把握 认为不同行业之间的服务质量有高度显著的差异。
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【例9.4】 某种火箭使用了四种燃料，三种推进 器做试验。每种燃料和每种推进器的组合各做一 次试验，得火箭射程数据如下表所示。试问不同 的燃料、不同的推进器分别对火箭射程有无显著 影响？
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列方差分析表：
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无交互作用的双因素方差分析数据结构
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双因素无交互作用的方差分析，又称为双因素无 重复试验的方差分析；双因素有交互作用的方差 分析，又称为双因素等重复试验的方差分析；
判断因素A的影响是否显著等价于检验假设：
H01 : 1. 2. r.
第二节 两因素试验数据的方差分析
一、无交互作用的双因素方差分析 若记一因素为因素A，另一因素为因素B，对
A与B同时进行分析，就属于双因素方差分， 即判断是否有某一个或两个因素对试验指标有 显著影响，两个因素结合后是否有新效应。在 统计学中将各个因素的不同水平的搭配所产生 的新的影响称为交互作用。我们先讨论无交互 作用的双因素方差分析问题，对于有交互作用 的双因素方差分析问题稍后再讨论。
ij
N(0, 2),各ij 相互独立。
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8
五、方差分析的基本思想
1. 从散点图上可以看出：不同的水平的数据是有明
显差异的；同一个水平的数据也明显不同；
2. 不同水平的观察值与试验指标值之间可能有一定 的关系。
3. 仅从散点图上观察还不能提供充分的证据证明 不同水平与试验指标值之间有显著差异。这种差 异可能是由于抽样的随机性所造成的,也有可能 是系统性影响因素造成的。
2)反映每个样本各观察值的离散状况，又称组内离 差平方和；
3)该平方和反映的是随机误差的大小。
计算公式为 :
nj s
2
SE
X ij X . j
i1 j 1
三个离差平方和的关系
nj s
2s
2 kn
2
Xij X nj X . j X
3)该平方和既包括随机误差，也包括系统误差。 计算公式为：
nj s
2
s
2
SA
X.j X nj X.j X
i1 j1
j 1
误差平方和（组内平方和）
SE :Sum of squares for error
1)每个水平或组的各样本数据与其组平均值的离差 平方和；
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10
方差分析的基本思想
7.若不同水平对试验指标值没有影响，则组间误差中只 包含随机误差，没有系统误差。这时，组间误差与 组内误差经过平均后的数值就应该很接近，它们的 比值就会接近1；
8.若不同水平对试验指标值有影响，则在组间误差中除 了包含随机误差外，还会包含有系统误差，这时组 间误差平均后的数值就会大于组内误差平均后的数 值，它们之间的比值就会大于1；
-
F比
SA / SE
-
S A =SA / (s 1)， S E =SE / (n s)。
例9.1 热带雨林
一份研究伐木业对热带雨林影响的统计研究 报告指出，“环保主义者对于林木采伐、开 垦和焚烧导致的热带雨林的破坏几近绝望”。 这项研究比较了类似地块上树木的数量，这 些地块有的从未采伐过，有的1年前采伐过， 有的8年前采伐过。根据数据，采伐对树木 数量有显著影响吗？显著性水平α=0.05。
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4
表中： Xij 为第 i个水平的第j个观测值。 记第j个水平观测值的均值为X .j ,则有
X .j
nj
X ij
i 1
nj
记所有观测值的均值为 X ，则有
nj
s
X ij
X n i 1 j 1
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5
三、方差分析中的三个基本假设
第 九 章 第一节
单因素试验的方差分析
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1
一、方差分析的有关概念
1.方差分析（Analysis of Variance，ANOVA）是一种检验多 个正态总体均值是否相等的统计方法。
2.因素的水平：指试验因素的某种特定状态或数量等级，简 称水平。
3.试验指标：衡量实验结果好坏程度的试验数据 。 在单因素方差分析中，将因素的任何一个水平看作是一 个总体，该水平下试验得到的数据可看成是从总体中抽出的 一个样本。
拒绝 H 02 。即根据现有数据，有95%的把握可以推断 原料来源地对产品合格率的影响不大，而原料用量对合 格率有显著影响。
由于 x.2 70 x.3 x.1.B2 为最优水平。既然原料来源地对产 品合格率的影响不显著，在保证质量的前提下，可以选 择运费最省的地方作为原料来源地选择时的首选。如果 丙地的运费最省，则最优方案为 B2 A3 。
xij j ij
ij
N(0, 2),各ij 相互独立。
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四、单因素方差分析的数学模型
记
=
1
n
s j 1
nj j ,j
j
，
j 为 Aj 的效应。
则有单因素方差分析的数学模型2：
xij j ij
E MSA
2
1 s 1
s
n
j
2 j
j 1
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17
八、方差分析表
通常将上述计算过程列成一张表格，称为方差分析表。
变差源
平方和 自由度
因素A（组间） S A
s-1
误差（组内）
SE
n-s
总和
ST
n-1
均方
SA / (s 1) SE / (n s)
Xij X . j
i1 j1
j 1
i1 j1
ST SA SE
总离差平方和=组间平方和+组内平方和
三个离差平方和的自由度之间的关系：
dfT dfA dfE n 1 (s 1) (n s)
均方
MSA (或S
A）
SA s 1
,
MSE
(或S
E）
SE ns
ST S A SB SE
总离差平方和的自由度分解为：
dfT = dfA + dfB + dfe
dfT = 总的观测值个数- 1= rs - 1
dfA = A 的水平数- 1= r - 1
dfB = B 的水平数- 1= s - 1
F统计量dfe：= (r - 1)(s - 1)
FA =
其计算公式为:
nj s
2
ST
X ij X
i1 j 1
效应平方和（组间平方和）
S A ：Sum of squares for factor A
1)各组平均值 X . j ( j 1, 2, , s) 与总平均值 X 的
离差平方和；
2)反映各总体的样本均值之间的差异程度，又称组 间平方和；
【例题】
解:(1) 建立假设 (2) 列方差分析表
1/11/2020
版权所有 BY 张学毅
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(3) 统计决策
对于显著性水平 0.05，查表得临界值 F0.05 (2, 4) 6.94 因为 FA 1.86 6.94, F，B 10.43 6.94 ，故不拒绝 H 01 ，