2018届人教A版 直线与圆 单元测试
直线和圆的方程单元测试
17．
（1）
（2） ， 或
【分析】
（1）根据两条直线垂直的条件列方程，化简求得 .
（2）根据两条直线平行以及距离列方程，化简求得 .
（1）
由于 ，所以 .
（2）
依题意 ，则 ，
此时 ，即 ，故 .
由于两条直线的距离为 ，
所以 或 .
18．
（1） ；
（2） .
【分析】
（1）设出圆的标准方程，根据其过的点的坐标满足圆方程，列出等量关系，求解即可；
【详解】
解：由题知 ， ，半径分别为 ，
根据两圆相交，可得圆心距大于两圆的半径之差而小于半径之和，
即 ．
又 ，所以有 ，
，
再根据 ，
求得 ，
故选：B．
4．A
【分析】
设出直线的截距式方程，根据题意求出待定系数，可得结论．
【详解】
解：设直线 的方程为 ，则 的面积为 ①．
因为直线 过点 ，所以 ②．
联立①②，解得 ， ，
（2）根据过 的圆的切线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式求得切线方程.
（1）
由题意，设圆 的标准方程为： ，
圆 关于直线 对称，
圆 与 轴相切： …①
点 到 的距离为： ，
圆 被直线 截得的弦长为 ， ，
结合①有： ， ，
又 ， ， ，
圆 的标准方程为： .
（2）
当直线 的斜率不存在时， 满足题意
所以切线 的方程为 .
19．
（1）
（2） 或
【分析】
（1）将圆的一般方程化为标准方程，求出圆心，代入直线方程即可求解.
（2）设直线 的方程为： ，利用圆心到直线的距离即可求解.
人教版高中数学选修一第二单元《直线和圆的方程》测试题(答案解析)(1)
一、选择题1．下列命题中，正确的是（ ）A ．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B ．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan αC ．若直线倾斜角2,43ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则斜率k的取值范围是(,[1,)-∞⋃+∞ D ．当直线的倾斜角2,43ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，直线的斜率在这个区间上单调递增. 2．1m =-是直线(21)10mx m y +-+=和直线390x my ++=垂直的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知(,0)A a ，(3,0)B a +，直线1x =上存在唯一一点P ，使得||2||PB PA =，则a 的值为（ ）A ．6-B ．2-或6C ．2或6-D ．2-4．光线从(3,4)A -点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射线恰好过点(1,6)D -，则BC 所在直线的方程是（ ）A ．5270x y -+=B ．310x y +-=C ．3240x y -+=D ．230x y --= 5．已知直线1:210l ax y +-=2:820l x ay a ++-=，若12l l //，则a 的值为（ ） A ．4± B ．－4C ．4D ．2± 6．已知圆C ：()()22232++-=x y ，从点()1,3P 发出的光线，经直线1y x =+反射后，光线恰好平分圆C 的周长，则入射光线所在直线的斜率为（ ）A ．2-B ．12-C ．4-D ．14- 7．过点P (1，2)引直线使两点A (2，3)､B (4，-5)到它的距离相等，则直线方程是（ ） A ．4x +y -6=0B ．x +4y -6=0C ．2x +3y -7=0或x +4y -6=0D ．4x +y -6=0或3x +2y -7=08．111222(,),(,)P a b P a b 是直线1y kx =+(k 为常数)上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ ） A ．无论12,,k P P 如何，总是无解B ．无论12,,k P P 如何，总有唯一解C ．存在12,,k P P ，使12x y =⎧⎨=⎩是方程组的一组解 D ．存在12,,k P P ，使之有无穷多解9．直线l ：230kx y --=与圆C ：()()22124x y -++=交于A 、B 两点，若ABC的周长为4+k 的值为（ ）A ．32B ．32-C ．32±D ．12± 10．曲线214y x 与直线(2)4y k x =-+有两个相异交点，则k 的取值范围是（ ）A ．50,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．13,34⎛⎤⎥⎝⎦ C ．53,124 D ．5,12⎛⎫+∞⎪⎝⎭ 11．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221x y +≤，若将军从点()20A ，处出发，河岸线所在直线方程为4x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）A 1B ．1C ．D 12．若圆()2220x y rr +=>上仅有4个点到直线20x y --=的距离为1，则实数r 的取值范围为（ ）A ．)1,+∞B．)1-C ．()1-D ．()1 二、填空题13．设圆222:()0O x y r r +=>，定点(3,4)A -，若圆O 上存在两点到A 的距离为2，则r 的取值范围是___________.14．设()11,M x y 、()22,N x y 为不同的两点，直线:0l ax by c ++=，1122ax by c ax by cδ++=++，以下命题中正确的序号为__________． （1）存在实数δ，使得点N 在直线l 上；（2）若1δ=，则过M 、N 的直线与直线l 平行；（3）若1δ=-，则直线l 经过MN 的中点；（4）若1δ>，则点M 、N 在直线l 的同侧且直线l 与线段MN 的延长线相交； 15．已知直线l经过点(2,1)，且和直线30x --=的夹角等于30，则直线l 的方程是_________．16．已知点P 是直线:3120l x y +-=上的一点，过P 作圆22(2)1x y -+=的切线，切点为A ，则切线长||PA 的最小值为__________.17．以(1,3)N 为圆心，并且与直线3470x y --=相切的圆的方程为__________． 18．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切线，若a ，b ∈R 且ab≠0，则2211a b +的最小值为___________ 19．在平面直角坐标系xOy 中，点()0,3A -，若圆()()22:21C x a y a -+-+=上存在一点M 满足2=MA MO ，则实数a 的取值范围是__________．20．已知圆C ：222x y +=，点P 为直线136x y +=上的一个动点，过点P 向圆C 作切线，切点分别为A 、B ，则原点O 到直线AB 距离的最大值是______. 三、解答题21．已知直线方程为()()221340m x m y m -++++=，其中m R ∈.（1）当m 变化时，求点()3,4Q 到直线的距离的最大值；（2）若直线分别与x 轴、y 轴的负半轴交于A ，B 两点，求AOB 面积的最小值及此时的直线方程.22．已知圆22:(1)5C x y +-=，直线:10l mx y m -+-=．（1）求证:对任意的m R ∈，直线l 与圆 C 恒有两个交点;（2）设l 与圆 C 相交于,A B 两点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．23．设函数()f z 对一切实数m ，n 都有()()(21)f m n f n m m n +-=++成立，且(1)0f =，(0)f c =，圆C 的方程是22(1)()9x y c +++=.（1）求实数c 的值和()f z 的解析式；（2）若直线220ax by -+=（0a >，0b >）被圆C 截得的弦长为6，求4a b ab +的最小值.24．已知直线l ：43100x y ++=，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方.（1）求圆C 的方程；（2）直线4y kx =-与圆C 交于不同的M ，N 两点，且120MCN ∠=︒，求直线l 的斜率；（3）过点()1,0M 的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分ANB ∠？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.25．根据所给条件求直线的方程：（1）直线过点()3,4-，且在两坐标轴上的截距之和为12；（2）直线m ：3260x y --=关于直线l ：2310x y -+=的对称直线m '的方程． 26．若过点P 的两直线1l ，2l 斜率之积为()0λλ≠，则称直线1l ，2l 是一组“P λ共轭线对”. （1）若直线1l ，2l 是一组“3O -共轭线对”，当两直线夹角最小时，求两直线倾斜角； （2）若点()0,1A ，()1,0B -，()1,0C 分别是直线PQ ，QR ，RP 上的点（A ，B ，C ，P ，Q ，R 均不重合），且直线PR ，PQ 是一组“1P 共轭线对”，直线QP ，QR 是一组“4Q 共轭线对”，直线RP ，RQ 是一组“9R 共轭线对”，求点P 的坐标；（3）若直线1l ，2l 是一组“2M -共轭线对”，其中点(1,M -，当两直线旋转时，求原点到两直线距离之积的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据直线斜率与倾斜角存在的关系tan k α=对每个选项逐一分析，需要注意直线有倾斜角但不一定有斜率.【详解】 倾斜角的范围为0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭时，直线斜率0k >，倾斜角的范围为,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，直线斜率0k <，故A 错误；直线的倾斜角=2πα时，直线斜率不存在，故B 错误；直线倾斜角2,43ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则斜率tan k α=的范围为(,[1,)-∞⋃+∞，故C 正确；斜率tan k α=在,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭和2,23ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，故D 错误. 故选：C.【点睛】 关于直线的倾斜角与直线斜率之间的关系需要注意：（1）当直线倾斜角为=2πα时，直线的斜率不存在；（2）倾斜角的范围为0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭时，直线斜率0k >，直线斜率随着倾斜角增大而增大；倾斜角的范围为,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，直线斜率0k <，直线斜率随着倾斜角增大而增大； （3）利用倾斜角的范围研究斜率的范围，或者利用斜率的范围研究倾斜角的范围，需要利用函数tan k α=分析定义域与值域的关系.2．A解析：A【分析】因为直线(21)10mx m y +-+=和直线390x my ++=垂直，所以0m =或1m =-，再根据充分必要条件的定义判断得解.【详解】因为直线(21)10mx m y +-+=和直线390x my ++=垂直，所以23(21)0,220,0m m m m m m ⨯+-⨯=∴+=∴=或1m =-.当1m =-时，直线(21)10mx m y +-+=和直线390x my ++=垂直；当直线(21)10mx m y +-+=和直线390x my ++=垂直时，1m =-不一定成立. 所以1m =-是直线()2110mx m y +-+=和直线390x my ++=垂直的充分不必要条件，故选：A ．【点睛】方法点睛：充分必要条件的常用的判断方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.要根据已知条件选择合适的方法求解.3．B解析：B【分析】设(),P x y ，由||2||PB PA =可得()2214x a y -++=，则本题等价于直线1x =与圆()2214x a y -++=相切，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解.【详解】设(),P x y ，由||2||PB PA =可得()()2222344x a y x a y --+=-+， 整理可得()2214x a y -++=，则直线1x +=上存在唯一一点P ，使得||2||PB PA =，等价于直线1x =与圆()2214x a y -++=相切，2=，解得2a =-或6. 故选：B.【点睛】 关键点睛：解决本题的关键是将题转化为直线31x y +=与圆()2214x a y -++=相切，利用圆心到直线的距离等于半径求解. 4．A解析：A【分析】根据题意做出光线传播路径，求()3,4A -关于x 轴的对称点()'3,4A --，点(1,6)D -关于x 轴的对称点()'1,6D ，进而得BC 所在直线的方程即为''A D 直线方程，再根据两点式求方程即可.【详解】解：根据题意，做出如图的光线路径，则点()3,4A -关于x 轴的对称点()'3,4A --，点(1,6)D -关于y 轴的对称点()'1,6D ，则BC 所在直线的方程即为''A D 直线方程，由两点是方程得''A D 直线方程为：436413y x ++=++，整理得：5270x y -+= 故选：A.【点睛】本题解题的关键在于做出光线传播路径，将问题转化为求A 关于x 轴的对称点'A 与D 关于y 轴的对称点'D 所在直线''A D 的方程，考查运算求解能力，是中档题.5．B解析：B【分析】由12l l //可得280,a a ⨯-⨯=解得4a =±，然后再检验,得出答案.【详解】因为12l l //，所以280,4a a a ⨯-⨯=∴=±.当4a =时，两直线重合，所以4a =舍去.当4a =-时，符合题意.所以4a =-.故选：B【点睛】易错点睛：已知直线1110a x b y c ++=和直线2220a x b y c ++=平行求参数的值时，除了要计算12210a b a b -=，还一定要把求出的参数值代入原直线方程进行检验，看直线是否重合.本题就是典型例子，否则容易出现错解，属于中档题6．C解析：C【分析】根据光路可逆，易知圆心()2,3C -关于直线1y x =+的对称点M ，在入射光线上，由此可求得结果.【详解】圆C ：()()22232++-=x y ，圆心为()2,3C -， 由已知，反射光线经过()2,3C -，故C 点关于直线1y x =+的对称点M 在入射光线上．设(),M a b ，则31232122b a b a -⎧=-⎪⎪+⎨+-⎪=+⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=-⎩，即()2,1M -， 且光源()1,3P ，所以入射光线的斜率13421k --==--， 故选：C.【点睛】关键点点睛：（1）由光线恰好平分圆C 的周长，得出所在直线经过圆心；（2）入（反）射光线关于反射面的对称直线即为反（入）射光线. 7．D解析：D当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x =1，不成立；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为20kx y k --+=，由此利用点到直线的距离公式能求出直线方程.【详解】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x =1，不成立；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2(1)y k x -=-，即20kx y k --+=，∵直线l 与两点A (2，3)， B (4，-5）的距离相等，=解得4k =-或32k =- .:.直线l 的方程为4420x y --++=或332022x y --++= 整理，得：460x y +-=或3270x y +-= 故选：D【点睛】解决本题要注意设直线方程时，分直线的斜率存在、不存在两种情况讨论，然后根据点到直线的距离相等即可求解.8．B解析：B【分析】由点在直线上，点的坐标代入直线方程，确定1221a b a b -是否为0，不为0，方程组有唯一解，为0时，再讨论是否有无数解．【详解】由题意112211b ka b ka =+⎧⎨=+⎩，则1221122112(1)(1)a b a b a ka a ka a a -=+-+=-， ∵直线1y kx =+的斜率存在，∴12a a ≠，120a a -≠，∴方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩总有唯一解．A ，D 错误，B 正确； 若12x y =⎧⎨=⎩是方程组的一组解，则11222121a b a b +=⎧⎨+=⎩，则点1122(,),(,)a b a b 在直线21x y +=，即1122y x =-+上，但已知这两个在直线1y kx =+上，这两条直线不是同一条直线，∴12x y =⎧⎨=⎩不可能是方程组的一组解，C 错误． 故选：B ．本题考查直线方程，考查方程组解的个数的判断．掌握直线方程是解题关键．9．A解析：A【分析】先根据半径和周长计算弦长AB =即可.【详解】圆C ：()()22124x y -++=中，圆心是()1,2C -，半径是2r ，故ABC的周长为4+24r AB +=+AB =又直线与圆相交后的弦心距d ==， 故由2222AB r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得()221434k k +=++，解得32k . 故选：A.【点睛】本题考查了直线与圆的综合应用，考查了点到直线的距离公式，属于中档题.10．C解析：C【分析】 曲线214y x 表示半圆，作出半圆，直线过定点(2,4)，由直线与圆的位置关系，通过图形可得结论． 【详解】 曲线214y x 是半圆，圆心是(0,1)C ，圆半径为2，直线(2)4y k x =-+过定点(2,4)P ，作出半圆与过P 的点直线，如图，PD2=，解得512k =，即512PD k =， (2,1)A -，4132(2)4PA k -==--， ∴53,124k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦． 故选：C ．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，数形结合思想是解题关键，由于题中曲线是半圆，因此作出图形，便于观察得出结论．11．B解析：B【分析】先求出点A 关于直线4x y +=的对称点'A ，点'A 到圆心的距离减去半径即为最短．【详解】解：设点A 关于直线4x y +=的对称点(,)A a b '，'2AA b k a =-，AA '的中点为2,22a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭，故122422b a a b ⎧=⎪⎪-⎨+⎪+=⎪⎩解得4a =，2b =， 要使从点A 到军营总路程最短，即为点f A 到军营最短的距离，即为点'A 和圆上的点连线的最小值，为点'A 和圆心的距离减半径，“将军饮马”的最短总路程为4161251+-=-，故选：B 【点睛】本题考查了数学文化问题、点关于直线的对称问题、点与圆的位置关系等等，解决问题的关键是将实际问题转化为数学问题，建立出数学模型，从而解决问题．12．A解析：A 【分析】到已知直线的距离为1的点的轨迹，是与已知直线平行且到它的距离等于1的两条直线，根据题意可得这两条平行线与222x y r +=有4个公共点，由此利用点到直线的距离公式加以计算，可得r 的取值范围． 【详解】解：作出到直线20x y --=的距离为1的点的轨迹，得到与直线20x y --=平行， 且到直线20x y --=的距离等于1的两条直线， 圆222x y r +=的圆心为原点， 原点到直线20x y --=的距离为22d ==，∴两条平行线中与圆心O 距离较远的一条到原点的距离为21d '=+，又圆222(0)x y r r +=>上有4个点到直线20x y --=的距离为1，∴两条平行线与圆222x y r +=有4个公共点，即它们都与圆222x y r +=相交．由此可得圆的半径r d '>， 即21r >+，实数r 的取值范围是()21,++∞．故选：A ．【点睛】本题给出已知圆上有四点到直线的距离等于半径，求参数的取值范围．着重考查了圆的标准方程、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．二、填空题13．【分析】将问题转化为以为圆心2为半径的圆为圆与圆相交问题再根据圆与圆的位置关系求解即可【详解】解：根据题意设以为圆心2为半径的圆为圆所以圆圆心为半径为则两圆圆心距为:因为圆上存在两点到的距离为2所以 解析：(3,7)【分析】将问题转化为以(3,4)A -为圆心，2为半径的圆为圆A 与圆O 相交问题，再根据圆与圆的位置关系求解即可. 【详解】解：根据题意设以(3,4)A -为圆心，2为半径的圆为圆A ， 所以圆222:(0),O x y r r +=> 圆心为(0,0),O 半径为r ， 则两圆圆心距为 : ||5OA = ， 因为圆O 上存在两点到A 的距离为2， 所以圆O 与圆A 相交，所以252,r r -<<+ 解得 :37.r << 所以的取值范围是：(3,7). 故答案为：(3,7). 【点睛】圆与圆位置关系问题的解题策略：（1）判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法；（2）若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去22,x y 项得到.14．②③④【分析】①点在直线上则点的坐标满足直线方程从而得到进而可判断①不正确②若则进而得到根据两直线斜率的关系即可判断②③若即可得到即可判断③④若则或根据点与直线的位置关系即可判定④【详解】解：若点在解析：②③④ 【分析】①点在直线上，则点的坐标满足直线方程，从而得到220ax bx c ++=，进而可判断①不正确．②若1δ=，则1122ax by c ax by c ++=++，进而得到1221y y ax x b-=--，根据两直线斜率的关系即可判断②．③若1δ=-，即可得到1212()()022x x y y a b c ++++=，即可判断③． ④若1δ>，则11220ax by c ax by c ++>++>，或11220ax by c ax by c ++<++<，根据点与直线的位置关系即可判定④． 【详解】解：若点N 在直线l 上则220ax bx c ++=，∴不存在实数δ，使点N 在直线l 上，故①不正确；若1δ=，则1122ax by c ax by c ++=++， 即1221y y ax x b-=--， MN l k k ∴=， 即过M 、N 两点的直线与直线l 平行，故②正确； 若1δ=-，则11220ax by c ax by c +++++= 即，1212()()022x x y y a b c ++++=， ∴直线l 经过线段MN 的中点，即③正确；若1δ>，则11220ax by c ax by c ++>++>，或12220ax by c ax by c ++<++<， 即点M 、N 在直线l 的同侧，且直线l 与线段MN 不平行．故④正确． 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查两直线的位置关系，点与直线的位置关系，直线的一般式方程等知识的综合应用，若两直线平行则两直线的斜率相等．15．或【分析】分析可得已知直线的倾斜角为则直线的倾斜角为或分类讨论并利用点斜式方程求解即可【详解】由已知可得直线的斜率所以倾斜角为因为直线与的夹角为所以直线的倾斜角为或当倾斜角为时直线为即为；当倾斜角为解析：1y =10y --= 【分析】分析可得已知直线的倾斜角为30，则直线l 的倾斜角为0或60，分类讨论并利用点斜式方程求解即可. 【详解】由已知可得直线y x =k =30， 因为直线l与y x =30，所以直线l 的倾斜角为0或60， 当倾斜角为60时,直线l为)12y x -=-10y -+-=； 当倾斜角为0︒时,直线l 为1y =， 故答案为：1y =10y -+-=. 【点睛】本题考查直线与直线的夹角，关键点是求出直线30x --=的倾斜角得到l 的倾斜角，考查求直线方程，考查分类讨论思想.16．【分析】利用切线长最短时取最小值找点：即过圆心作直线的垂线求出垂足点就切线的斜率是否存在分类讨论结合圆心到切线的距离等于半径得出切线的方程【详解】设切线长为则所以当切线长取最小值时取最小值过圆心作直 解析：3利用切线长最短时，PC 取最小值找点P ：即过圆心C 作直线l 的垂线，求出垂足点()3,3P ．就切线的斜率是否存在分类讨论，结合圆心到切线的距离等于半径得出切线的方程． 【详解】设切线长为L ，则21L PC =-，所以当切线长L 取最小值时，PC 取最小值，过圆心()2,0C 作直线l 的垂线，则点P 为垂足点，此时，直线PC 的方程为360x y --=，联立3120360x y x y +-=⎧⎨--=⎩，得33x y =⎧⎨=⎩，点P 的坐标为()3,3.此时22(32)(30)10PC =-+-=，此时，213L PC =-=故答案为：3 【点睛】关键点睛：解题的关键是利用过点的圆的切线方程的求解，在过点引圆的切线问题时， 将直线与圆相切转化为圆心到直线的距离等于半径长，即设切线长为L ，则21L PC =-，问题转变为求PC 的最小值，主要考查学生分析问题与解决问题的能力，属于中等题．17．【解析】试题分析：由题意得圆心到直线的距离即为半径此题只要求出半径即可试题解析：22256(1)(3)25x y -+-=【解析】试题分析：由题意得，圆心到直线的距离即为半径，此题只要求出半径即可． 试题 因为点到直线的距离由题意得圆的半径则所求的圆的方程为考点：1．直线与圆的相切的应用；2．圆的方程；18．9【分析】圆C1C2只有一条公切线则两圆的位置关系为内切由此可以得到ab 的等量关系然后利用均值不等式求的最小值【详解】圆C1：x2＋y2＋4ax ＋4a2－4＝0标准方程：圆C2：x2＋y2－2by ＋【分析】圆C 1、C 2只有一条公切线，则两圆的位置关系为内切，由此可以得到a 、b 的等量关系，然后利用均值不等式求2211a b +的最小值 【详解】圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0 标准方程：22x 2a y 4++=（） 圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0标准方程：22x y b 1+-=（）因为圆C 1 、C 2内切，1=, 即224a b 1+=， （2211a b +）=2222114a b a b++（）（） =2222b 4a 59a b++≥（）当且仅当224a b =时等号成立. 【点睛】本题考查了两圆的位置关系和均值不等式求最值；两圆位置关系有：内含、内切、相交、外切、外离，圆与圆的位置关系也决定了切线的条数，两圆相内切只有一条切线，圆心距和两圆半径的关系是解题的关键，利用该关系可以构造出均值不等式所需要的等式；均值不等式求最值要注意：一正二定三相等.19．【分析】设点的坐标为根据可得点的轨迹方程为然后将问题转化为两圆有公共点的问题解决根据圆心距和半径的关系可得结果【详解】由题意得圆的圆心为半径为1设点的坐标为∵∴整理得故点的轨迹是以为圆心2为半径的圆 解析：[0,3]【分析】设点M 的坐标为(),x y ，根据2MA MO =可得点M 的轨迹方程为()2214x y +-=，然后将问题转化为两圆有公共点的问题解决，根据圆心距和半径的关系可得结果． 【详解】由题意得圆()()22:21C x a y a -+-+=的圆心为(),2a a -，半径为1．设点M 的坐标为(),x y ， ∵2MA MO =，∴=整理得()2214x y +-=，故点M 的轨迹是以()0,1为圆心，2为半径的圆． 由题意得圆C 和点M 的轨迹有公共点， ∴13≤≤，解得03a ≤≤．∴实数a 的取值范围是[]0,3． 【点睛】本题考查两圆位置关系的判断和利用，解题的关键是根据题意得到点M 的轨迹方程，然后将问题转化为两圆有公共点的问题出处理，再利用代数法求解可得所求的结果．20．【分析】为使原点到直线距离的最大则应当最小于是应当最小进而得到应当最小然后利用点到直线的距离公式求得的最小值利用直角三角形相似求得原点到直线距离的最大值【详解】为使原点到直线距离的最大则应当最小于是【分析】为使原点O 到直线AB 距离的最大，则AOB ∠应当最小，于是AOP ∠应当最小，进而得到OP 应当最小，然后利用点到直线的距离公式求得OP 的最小值，利用直角三角形相似求得原点O 到直线AB 距离的最大值. 【详解】为使原点O 到直线AB 距离的最大，则AOB ∠应当最小，于是AOP ∠应当最小，∴OA OP应当最大，∴OP 应当最小，当且仅当OP 与直线136x y+=垂直时OP 最小，OP 的最小值为O 到直线136x y +=,即260x y +-=的距离5d ==，设OP 与AB 交于点,Q 则2~,||Rt OQA Rt OAP OQ OP OA ∴⨯=,∴max ||,3OQ ==故答案为：53. 【点睛】本题考查与圆有关的最值问题，属中等难度的题目，关键在于转化为OP 最小，同时注意利用三角形相似进行计算.三、解答题21．（1）2132）4，240x y ++= 【分析】（1）求出动直线所过定点(1,2)P --,当m 变化时，PQ ⊥直线l 时，点()3,4Q 到直线l 的距离的最大．（2）直线l 的斜率k 存在且0k ≠，因此可设直线l 的方程为2(1)y k x +=+，求出直线在x 轴、y 轴的截距．可得AOB 的面积，利用基本不等式的性质即可得出结果． 【详解】（1）直线方程为(2) (21) 340m x m y m -++++=， 可化为(24)(23)0x y m x y +++-++=对任意m 都成立， 所以230240x y x y -++=⎧⎨++=⎩，解得12x y =-⎧⎨=-⎩，所以直线恒过定点(1,2)--.设定点为(1,2)P --,当m 变化时，PQ ⊥直线l 时，点(3,4)Q 到直线的距离最大，可知点Q 与定点(1,2)P --的连线的距离就是所求最大值， 22(31)(42)213+++=（2）由于直线l 经过定点(1,2)P --．直线l 的斜率k 存在且0k ≠， 因此可设直线方程为2(1)y k x +=+可得与x 轴、y 轴的负半轴交于21,0A k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(0,2)B k -两点 ∴20kk-<，20k -<，解得0k <． ∴121221|2|1(2)2224222AOBkS k k k k k -⎛⎫=--=--=++≥+= ⎪-⎝⎭当且仅当2k =-时取等号，面积的最小值为4此时直线l 的方程为：22(1)y x +=-+，化为：240x y ++=． 【点睛】关键点点睛：求三角形面积最小时，一般首先表示出三角形的面积，本题利用直线在坐标轴的截距表示可得222k S k -=++-,再根据均值不等式或利用函数求最值，确定最值取得的条件，求解即可.22．（1）证明见解析；（2）2211()(1)(1)24x y x -+-=≠.【分析】（1）确定直线过定点()1,1，计算定点在圆内，得到证明.（2）由已知得点M 在以CP 为直径的圆上，求得圆心和半径可得到答案. 【详解】（1）由已知可得直线 :(1)10l x m y --+=，所以直线l 恒过定点(1,1)P .又()2211115,+-=<所以点P 在圆内，所以对任意的m R ∈，直线l 与圆 C 恒有两个交点.（2）由（1）知，知直线l 恒过定点(1,1)P ，且直线l 的斜率存在. 又M 是AB 的中点，CM MP ∴⊥，所以点M 在以CP 为直径的圆上.又()()0,1,1,1,C P 所以以CP 为直径的圆的方程为2211()(1)24x y -+-=，又直线l 的斜率存在，1x ∴≠，所以点M 的轨迹方程为2211()(1)(1)24x y x -+-=≠.【点睛】方法点睛：求直线恒过点的方法：方法一（换元法）：根据直线方程的点斜式直线的方程变成()y k x a b =-+，将x a =带入原方程之后，所以直线过定点()a b ，；方法二（特殊引路法）：因为直线的中的m 是取不同值变化而变化，但是一定是围绕一个点进行旋转，需要将两条直线相交就能得到一个定点.取两个m 的值带入原方程得到两个方程，对两个方程求解可得定点.23．（1）2c =-；2()2f z z z =+-；（2）9. 【分析】（1）令1m =，0n =代入等式中可求得c .再令m n =-代入得()f z 的解析式；（2）由已知求得直线过圆心()12-，，有1a b +=.由均值不等式得4144()5a b a b a b ab a b b a +⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，可求和4a bab +的最小值. 【详解】（1）令1m =，0n =代入等式中可得，(0)2f =-，即2c =-.再令m n =-得，(0)()(21)f f n n n n -=--++，2()2f n n n =+-， 所以2()2f z z z =+-.（2）因为直线被圆22(1)(2)9x y ++-=截得的弦长为6，所以直线过圆心()12-，，有1a b +=.于是由均值不等式得，414144()559a b a b a b ab a b a b b a +⎛⎫=+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4a b b a =，即13a =，23b =时等号成立.故4a b ab +的最小值是9.【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.24．（1）224x y +=；（2）k =；（3）(4,0). 【分析】（1）设出圆心(,0)C a ，根据直线与圆C 相切，得到圆心到直线的距离等于4，确定圆心坐标，即可得圆C 的方程.（2）根据垂径定理及勾股定理，由过点(1,1)P 的直线1l 被圆C 截得的弦长等于斜率存在与不存在两种情况讨论，即可求出直线1l 的方程.（3）当AB x ⊥轴时，则x 轴平分ANB ∠，当直线AB 的斜率存在时，设出方程与圆的方程联立，结合AN BN k k =-，即可求出点N 的坐标. 【详解】（1）设圆心5(,0)2C a a ⎛⎫>-⎪⎝⎭，则|410|25a ， 解得0a =或5a =-（舍）． 故圆C 的方程为224x y +=．（2）由题意可知圆心C 到直线1l 的距离为2sin301．1，解得k =.（3）当直线AB x ⊥轴时，对x 轴正半轴上任意一点,N x 轴平分ANB ∠； 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为()()1122(1)(0),(,0),,,,y k x k N t A x y B x y =-≠， 由224,(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩得()22221240k x k x k +-+-=， 2212122224,11k k x x x x k k -∴+==++ 若x 轴平分ANB ∠，则AN BN k k =-，即12120y yx t x t+=--， 即()()1212110k x k x x tx t--+=--，即()12122(1)20x x t x x t -+++=，即()2222242(1)2011k k t t k k -+-+=++，解得4t =． 综上，当点N 的坐标为(4,0)时，x 轴平分ANB ∠．【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键是得到圆心到直线的距离为1，第三问解题的关键是由x 轴平分ANB ∠，得AN BN k k =-，进而利用坐标表示斜率求解. 25．（1）4160x y -+=或390x y +-=；（2）9461020x y -+= 【分析】（1）设出截距式方程，由条件列出式子即可求出；（2）在直线m 上取一点，如()2,0M ，求出()2,0M 关于直线l 的对称点M '，求出m 与l 的交点，即可求出直线方程. 【详解】（1）由已知得直线不过原点，设直线方程为1x y a b+=， 则可得34112a b a b -⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得416a b =-⎧⎨=⎩或93a b =⎧⎨=⎩， 则直线方程为1416x y +=-或193x y +=， 整理可得4160x y -+=或390x y +-=； （2）在直线m 上取一点，如()2,0M ，则()2,0M 关于直线l 的对称点M '必在直线m '上，设(),M a b '，则2023102202123a b b a ++⎧⨯-⨯+=⎪⎪⎨-⎪⨯=-⎪-⎩，解得630,1313M '⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设直线m 与l 的交点为N ，则联立方程32602310x y x y --=⎧⎨-+=⎩可解得()4,3N ， 则m '的方程为34306341313y x --=--，即9461020x y -+=. 【点睛】方法点睛：关于轴对称问题：（1）点(),A a b 关于直线0Ax By C ++=的对称点(),A m n '，则有1022n b A m a B a m b n A B C ⎧-⎛⎫⨯-=- ⎪⎪⎪-⎝⎭⎨++⎪⋅+⋅+=⎪⎩；（2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.26．（1）2,33ππ；（2）()3,3或33,55⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）⎡⎣ 【分析】（1）设1l 的斜率为tan k α=，则2l 的斜率为3tan kβ-=，两直线的夹角为γ， 不妨设0k >，利用两角差的正切公式计算，利用基本不等式求得最值；（2）设直线RP ，PQ ，QR 的斜率分别为123,,k k k ，可得122313149k k k k k k =⎧⎪=⎨⎪=⎩，可解出123,,k k k 的值，进一步求得直线RP 和直线PQ 的方程，联立得点P 的坐标；（3）设()()122:1,:1l y k x l y x k=++=-+，，设原点到两直线距离分别为12,d d ，求出12d d ，然后变形利用基本不等式求解．【详解】解：（1）设1l 的斜率为tan k α=，则2l 的斜率为3tan kβ-=，两直线的夹角为γ， 不妨设0k >， 则()()313tan tan 132k k k k γβα--⎛⎫=-==+≥ ⎪+-⎝⎭k = 此时3πα=，23πβ=， 即两直线倾斜角分别为2,33ππ； （2）设直线RP ，PQ ，QR 的斜率分别为123,,k k k ，则122313149k k k k k k =⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得12332,,623k k k ===或12332,,623k k k =-=-=-， 当12332,,623k k k ===时， 直线RP 的方程为()312y x =-，直线PQ 的方程为213y x =+， 联立得()3,3P ， 当12332,,623k k k =-=-=-时， 直线RP 的方程为()312y x =--，直线PQ 的方程为213y x =-+， 联立得33,55P ⎛⎫⎪⎝⎭， 故所求为()3,3P 或33,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）设()()122:1,:1l y k x l y x k=++=-+， 设原点到两直线距离分别为12,d d ，则12d d =====，由于22459kk++≥，当且仅当22k=时等号成立，故[)22910,145kk-∈++，12d d⎡∈⎣，即原点到两直线距离之积的取值范围为⎡⎣．【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。
2018届人教A版直线与圆单元测试12
2017-2018学年度xx学校xx月考卷一、选择题(共12小题,每小题5.0分,共60分)1.已知点M(－1,3)，N(5,1)，P(x，y)到M、N的距离相等，则x，y满足的条件是()A．x＋3y－8＝0B．x－3y＋8＝0C．x－3y＋9＝0D． 3x－y－4＝02.圆心在x轴上，半径为2，且过点(1,2)的圆的标准方程为()A． (x－1)2＋(y－2)2＝4B． (x－2)2＋y2＝4C． (x－1)2＋y2＝4D． (x－3)2＋y2＝43.若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为()A．－B．C．－D．4.若直线l：x＋ay＋2＝0平行于直线2x－y＋3＝0，则直线l在两坐标轴上截距之和是() A． 6B． 2C．－1D．－25.两圆C1：x2＋y2＝1和C2：(x－3)2＋(y－4)2＝16的公切线有()A． 4条B． 3条C． 2条D． 1条6.关于直线的倾斜角与斜率，下列说法正确的是()A．所有的直线都有倾斜角和斜率B．所有的直线都有倾斜角但不一定都有斜率C．直线的倾斜角和斜率有时都不存在D．所有的直线都有斜率，但不一定有倾斜角7.△ABC中，A(－2,0)、B(2,0)、C(－2,2)，则AB边的中线对应方程为() A．y＝xB．y＝x(－2≤x≤0)C．y＝－xD．y＝－x(－2≤x≤0)8.若直线y＝－x－1与y＝3x－2互相垂直，则a等于()A．－3B．－6C．－D．9.点M(1,2)与直线l：2x－4y＋3＝0的位置关系是()A．点M在直线l上B．点M不在直线l上C．点M与直线l重合D．不确定10.直线l 1，l2关于x轴对称，l1的斜率是－，则l2的斜率是()A．B．－C．D．－11.若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0相外切，则m等于()A． 21B． 19C． 9D．－1112.若x2＋y2＋(λ－1)x＋2λy＋λ＝0表示圆，则λ的取值范围是()A．λ＞0B．≤λ≤1C．λ＞1或λ＜D．λ∈R二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分)13.已知点A(0,2)，B(2,4)，则线段AB的垂直平分线的方程是__________．14.若x＋2y－2＝0(x＞0，y＞0)，则的取值范围是________．15.已知两条直线l1：3x＋2ay－1＝0，l2：ax－y＋2＝0，若l1⊥l2，则a＝________.16.设直线l经过点(－1,1)，则当点(2，－1)与直线l的距离最大时，直线l的方程为________．三、解答题(共6小题,每小题12.0分,共72分)17.试在直线x－y＋4＝0上求一点P，使它到点M(－2，－4)，N(4,6)的距离相等．18.若方程ax2＋ay2－4(a－1)x＋4y＝0表示圆，求实数a的取值范围，并求出半径最小的圆的方程．19.如图，长方体OABC—D′A′B′C′中，|OA|＝3，|OC|＝4，|OD′|＝2，写出D′，C，A′，B′四点的坐标．20.已知直线l经过点(8,1)且在两坐标轴上的截距之和为零，求直线l的方程．21.求圆心在直线y＝2x上且与两直线3x＋4y－7＝0和3x＋4y＋3＝0都相切的圆的标准方程．22.已知圆心为C(－2,6)的圆经过点M(0,6－2)．(1)求圆C的标准方程；(2)若直线l过点P(0,5)且被圆C截得的线段长为4，求直线l的方程；(3)是否存在斜率是1的直线l′，使得以l′被圆C所截得的弦EF为直径的圆经过原点？若存在，试求出直线l′的方程；若不存在，请说明理由．答案解析1.【答案】D【解析】由|PM|＝|PN|，得(x＋1)2＋(y－3)2＝(x－5)2＋(y－1)2，化简得3x－y－4＝0.2.【答案】C【解析】根据点(1,2)到圆心的距离为2，易知圆心为(1,0)，故圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝4.3.【答案】A【解析】∵直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，∴P，Q点的坐标分别为(a,1)，(7，b)，∵线段PQ的中点坐标为(1，－1)，∴由中点坐标公式得：＝1，＝－1，∴a＝－5，b＝－3；∴直线l的斜率k＝＝－＝－.故选A.4.【答案】B【解析】∵直线l：x＋ay＋2＝0平行于直线2x－y＋3＝0，∴2＝，解得a＝，代入直线l：x＋ay＋2＝0，得2x－y＋4＝0，对于方程2x－y＋4＝0分别令x＝0和y＝0，求出它在坐标轴上的截距为4，－2，故它在坐标轴上截距的和是2.故选B.5.【答案】B【解析】∵C1(0,0)，C2(3,4)，r1＝1，r2＝4，∴|C1C2|＝5，∴|C1C2|＝r1＋r2.∴两圆相外切，故有3条公切线．6.【答案】B【解析】由斜率的定义和倾斜角与斜率的关系可知B正确.7.【答案】D【解析】设AB边的中点为M(m，n)，则解得m＝n＝0.即M(0,0)，∴kCM＝＝－1，∴AB边的中线对应方程为y＝－x(－2≤x≤0)．故选D.8.【答案】D【解析】因为直线y＝－x－1与y＝3x－2互相垂直，所以×3＝－1，∴a＝，故选D.9.【答案】B【解析】∵2×1－4×2＋3≠0，∴M∉l.10.【答案】A【解析】由于关于x轴对称的两条直线的倾斜角互补，故它们的斜率互为相反数．由于l1的斜率是－，则l 2的斜率是，故选A.11.【答案】C【解析】由题意得，两圆的圆心分别为C 1(0,0)，C2(3,4)，半径分别为R1＝1，R2＝，所以圆心距离为5，因为两圆相外切，所以5＝1＋，解得m＝9，故选C.12.【答案】C【解析】由圆的一般方程特征可得D2＋E2－4F＝(λ－1)2＋4λ2－4λ＞0，解得λ＞1或λ＜，故选C.13.【答案】x＋y－4＝0【解析】kAB＝1，设AB的垂直平分线的斜率是k.由k·kAB＝－1得k＝－1.由中点坐标公式得，点A(0,2)，B(2,4)的中点坐标为(1,3)，由点斜式方程得y－3＝－(x－1)，即x＋y－4＝0.14.【答案】(，2)【解析】可以变形为，可把此式看做点(x，y)与点P(－1，－1)连线的斜率，∵(x，y)满足x＋2y－2＝0(x＞0，y＞0)，∴的范围就是点P(－1，－1)与线段x＋2y－2＝0(x＞0，y＞0)相交斜率的范围，易知点P与x＋2y－2＝0(x＞0，y＞0)的左端点连线的斜率为＝2.点P与x＋2y－2＝0(x＞0，y＞0)的右端点连线的斜率为＝，∴的取值范围是(，2)．15.【答案】0.【解析】当a＝0时，l1：3x－1＝0，l2：－y＋2＝0，l1⊥l2.当a≠0时，k 1＝，k2＝a，若l 1⊥l2，则k1×k2＝×a≠－1.∴若l1⊥l2，则a＝0.16.【答案】3x－2y＋5＝0【解析】设A(－1,1)，B(2，－1)，当AB⊥l时，点B与l距离最大，∴直线l的斜率k＝，∴此时l的方程为y－1＝(x＋1)，即为3x－2y＋5＝0.17.【答案】设P点的坐标是(a，a＋4)，由题意可知|PM|＝|PN|，即＝，解得a＝－，故P点的坐标是.【解析】18.【答案】∵方程ax2＋ay2－4(a－1)x＋4y＝0表示圆，∴a≠0.∴方程ax2＋ay2－4(a－1)x＋4y＝0可以写成x2＋y2－x＋y＝0.∵D2＋E2－4F＝＞0恒成立，∴a≠0时，方程ax2＋ay2－4(a－1)x＋4y＝0表示圆．设圆的半径为r，则r2＝＝2[4(－)2＋1]∴当＝，即a＝2时，圆的半径最小，半径最小的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.【解析】19.【答案】D′在z轴上，而|OD′|＝2，因此它的竖坐标为2，横纵坐标都为0，因此D′的坐标是(0,0,2)．同理C的坐标为(0,4,0)．A′在xOz平面上，纵坐标为0，A′的横坐标就是|OA|＝3，A′的竖坐标就是|OD′|＝2，所以A′的坐标就是(3,0,2)．点B′在xOy平面上的射影是点B，因此它的横坐标x与纵坐标y同点B的横坐标x与纵坐标y相同，在xOy平面上，点B的横坐标x＝3，纵坐标y ＝4；点B′在z轴上的射影是点D′，它的竖坐标与D′的竖坐标相同，点D′的竖坐标z＝2，所以点B′的坐标是(3,4,2)．【解析】20.【答案】当直线l经过原点时，直线l在两坐标轴上截距均等于0，故直线l的斜率为，∴所求直线方程为y＝x，即x－8y＝0.当直线l不过原点时，设其方程为＝1，由题意可得a＋b＝0，①又l经过点(8,1)，有＝1，②由①②得a＝7，b＝－7，则l的方程为＝1，即x－y－7＝0.故所求直线l的方程为x－8y＝0或x－y－7＝0.【解析】21.【答案】首先两平行线的距离d＝＝2，所以半径为r＝＝1.方法一设与两直线3x＋4y－7＝0和3x＋4y＋3＝0的距离相等的直线方程为3x＋4y＋k＝0，由平行线间的距离公式d＝，得＝，即k＝－2，所以直线方程为3x＋4y－2＝0.解3x＋4y－2＝0与y＝2x组成的方程组得因此圆心坐标为(，)．又半径为r＝1，所以所求圆的标准方程为(x－)2＋(y－)2＝1.方法二解方程组与得和因此圆心坐标为(，)．又半径r＝1，所以所求圆的标准方程为(x－)2＋(y－)2＝1.【解析】22.【答案】(1)圆C的半径为|CM|＝＝4，∴圆C的标准方程为(x＋2)2＋(y－6)2＝16.(2)方法一如图所示，设直线l与圆C交于A，B两点且D是AB的中点，则|AB|＝4，|AD|＝2且CD⊥AB.∵圆C的半径为4，即|AC|＝4，∴在Rt△ACD中，可得|CD|＝＝2，即点C到直线l的距离为2.(i)当所求直线l的斜率存在时，设所求直线的方程为y＝kx＋5，即kx－y＋5＝0.由点到直线的距离公式得＝2，解得k＝.∴此时直线l的方程为3x－4y＋20＝0.(ii)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0.将x＝0代入(x＋2)2＋(y－6)2＝16，得(y－6)2＝16－4＝12，y－6＝±2，∴y 1＝6＋2，y2＝6－2，|y1－y2|＝4，∴方程为x＝0的直线也满足题意，∴所求直线l的方程为3x－4y＋20＝0或x＝0.方法二当所求直线l的斜率存在时，设所求直线的方程为y＝kx＋5，即kx－y＋5＝0.联立直线与圆C的方程消去y得(1＋k2)x2＋(4－2k)x－11＝0，①设方程①的两根为x1，x2，由根与系数的关系得②由弦长公式得|x 1－x2|＝＝4，③将②式代入③，并解得k＝，此时直线l的方程为3x－4y＋20＝0.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，仿方法一验算得方程为x＝0的直线也满足题意．∴所求直线l的方程为3x－4y＋20＝0或x＝0.(3)方法一假设存在直线l′满足题设条件，设l′的方程为y＝x＋m，则EF的中点N是两直线y＝x ＋m与y－6＝－(x＋2)的交点，即N(，)，∴|CN|＝＝.∵以EF为直径的圆经过原点，∴OE⊥OF，∴|EN|＝|ON|＝，又∵CN⊥EF，|CE|2＝|CN|2＋|EN|2，∴2＋2＋2＝16，化简得m2－8m＋24＝0.∵方程m2－8m＋24＝0没有实数解，∴不存在满足题设条件的直线l′.方法二假设存在直线l′满足题设条件，并设l′的方程为y＝x＋m，点E(x3，y3)，点F(x4，y4)，联立直线与圆C的方程消去y得2x2＋2(m－4)x＋m2－12m＋24＝0.由根与系数的关系得④∵以EF为直径的圆经过原点，∴OE⊥OF.若E、F中有一点在y轴上，则另一点必在x轴上，而在圆C的方程中令y＝0可得x无实数解，故本情况不会出现．∴·＝－1，即x 3x4＋y3y4＝0，∴x3x4＋(x3＋m)(x4＋m)＝0，化简得2x3x4＋(x3＋x4)m＋m2＝0，以④代入并化简得m2－8m＋24＝0.∵方程m2－8m＋24＝0没有实数解，∴不存在满足题设条件的直线l′.【解析】。
2018届人教A版直线与圆单元测试15
2017-2018学年度xx学校xx月考卷一、选择题(共12小题,每小题5.0分,共60分)1.已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点是()A． (－1，)B． (，1)C． (1，)D． (－1，－)2.点P是圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4上的动点，点O为坐标原点，则|OP|的最大值为()A． 5B． 6C． 7D． 83.圆心在x轴上，半径为2，且过点(1,2)的圆的标准方程为()A． (x－1)2＋(y－2)2＝4B． (x－2)2＋y2＝4C． (x－1)2＋y2＝4D． (x－3)2＋y2＝44.方程x2－y2＝0表示的图形是()A．两条相交直线B．两条平行直线C．两条重合直线D．一个圆5.过点(5,2)，且在x轴上的截距(直线与x轴交点的横坐标)是在y轴上的截距的2倍的直线方程是()A． 2x＋y－12＝0B． 2x＋y－12＝0或2x－5y＝0C．x－2y－1＝0D．x＋2y－9＝0或2x－5y＝06.过点P(3,2)且与直线x＋4y－2＝0垂直的直线方程为()A．x－4y－11＝0B．x＋4y－11＝0C． 4x＋y－10＝0D． 4x－y－10＝07.已知点A(2,1)，B(2,3)，则直线AB的倾斜角为()A． 0°B． 30°C． 60°D． 90°8.已知直线l 1：x＋2ay＋1＝0与直线l2：y＝＋3垂直，则a的值是() A． 4B．－2C．D．9.若方程－x－m＝0有实数解，则实数m的取值范围为() A．－4≤m≤4B．－4≤m≤4C．－4≤m≤4D．4≤m≤410.过点A(2，a)和点B(3，－2)的直线的倾斜角为45°，则a的值是()A．－1B． 1C．－3D． 311.直线l垂直于直线y＝x＋1，且l在y轴上的截距为，则直线l的方程是()A．x＋y－＝0B．x＋y＋1＝0C．x＋y－1＝0D．x＋y＋＝012.已知直线l 1的斜率为k1＝2，直线l2的斜率为k2＝－，则l1与l2()A．平行B．相交但不垂直C．垂直D．重合二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分)13.若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A、B应满足的条件为________．14.已知点(1,1)在圆(x＋2m)2＋(y－1)2＝4m2－5m＋1外，则实数m的取值范围是____________．15.将一张画有直角坐标系的图纸对折，使点A(0,2)与B(4,0)重合，若此时点C(0,4)恰与点D重合，则点D的坐标是________．16.若直线x＋2y－3＝0，kx＋y－1＝0，x轴的正半轴与y轴的正半轴所围成的四边形有外接圆，且k＜0，则实数k的值为________．三、解答题(共6小题,每小题12.0分,共72分)17.一直线被两直线l1：4x＋y＋6＝0，l2：3x－5y－6＝0截得线段中点恰好是坐标原点，求这条直线的方程．18.已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别为x＋y－1＝0,3x－y＋4＝0，且它的对角线的交点是M(3,3)，求这个平行四边形其他两边所在直线的方程．19.一条光线从点A(－1,3)射向x轴，经过x轴上的点P反射后通过点B(3,1)，求P点的坐标．20.已知△ABC的两条高线所在的直线方程为2x－3y＋1＝0和x＋y＝0，顶点A(1,2)，求BC边所在直线的方程．21.已知直线l1：ax＋y＋2＝0(a∈R)．(1)若直线l1的倾斜角为120°，求实数a的值；(2)若直线l1在x轴上的截距为2，求实数a的值；(3)若直线l1与直线l2：2x－y＋1＝0平行，求两平行线之间的距离．22.有一圆与直线l：4x－3y＋6＝0相切于点A(3,6)且经过点B(5,2)，求此圆的方程．答案解析1.【答案】B【解析】由得2.【答案】C【解析】圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4的圆心坐标为C(3，－4)，半径为r＝2，∵点O为坐标原点，∴|OP|的最大值为|OC|＋r＝5＋2＝7.故选C.3.【答案】C【解析】根据点(1,2)到圆心的距离为2，易知圆心为(1,0)，故圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝4.4.【答案】A【解析】由方程x2－y2＝0，可得y＝±x，其图形是两条相交的直线．故选A.5.【答案】D【解析】①当直线过原点时，直线的斜率为，故直线方程为2x－5y＝0.②当直线不过原点时，由于直线在x轴上的截距(直线与x轴交点的横坐标)是在y轴上的截距的2倍，故可设截距式直线方程为＝1，代入点(5,2)得b＝，故直线方程为x＋2y－9＝0.6.【答案】D【解析】设与直线x＋4y－2＝0垂直的直线的方程为4x－y＋m＝0，把点P(3,2)代入可得，12－2＋m＝0，∴m＝－10，故所求的直线方程为4x－y－10＝0，故选D.7.【答案】D【解析】由题意点A(2,1)，B(2,3)，可知直线与x轴垂直，所以直线的倾斜角为90°.故选D.8.【答案】C【解析】∵直线l 2的斜率为，直线l1：x＋2ay＋1＝0与直线l2：y＝＋3垂直，∴直线l 1的斜率等于－2，即＝－2，∴a＝，故选C.9.【答案】B【解析】由题意知方程＝x＋m有实数解，分别作出y＝与y＝x＋m的图象，若两图象有交点，需－4≤m≤4.10.【答案】C【解析】由题意得tan 45°＝＝1，∴a＝－3，故选C.11.【答案】A【解析】方法一因为直线l与直线y＝x＋1垂直，所以设直线l的方程为y＝－x＋b，又l在y轴上的截距为，所以所求直线l的方程为y＝－x＋，即x＋y－＝0.方法二将直线y＝x＋1化为一般式x－y＋1＝0，因为直线l垂直于直线y＝x＋1，可以设直线l 的方程为x＋y＋c＝0，令x＝0，得y＝－c，又直线l在y轴上截距为，所以－c＝，即c＝－，所以直线l的方程为x＋y－＝0.12.【答案】C【解析】由于k 1·k2＝2×(－)＝－1，所以l1⊥l2.13.【答案】A2＋B2≠0【解析】由二元一次方程表示直线的条件知A、B至少有一个不为零，即A2＋B2≠0.14.【答案】{m|m＞1或0＜m＜}【解析】因为点(1,1)在圆(x＋2m)2＋(y－1)2＝4m2－5m＋1外，所以(1＋2m)2＋(1－1)2＞4m2－5m＋1，解得m＞0，1＋4m2－5m＞0，解得m＞1或m＜.故答案为{m|m＞1或m＜}．15.【答案】(，)【解析】A、B的中点坐标(2,1)，直线AB的斜率为k＝－，AB的中垂线的斜率为2，所以中垂线的直线方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0.设D点的坐标为(x，y)，点C(0,4)恰与点D重合，必有解得16.【答案】－2【解析】根据所围成的四边形有外接圆，且k＜0，可知直线x＋2y－3＝0和kx＋y－1＝0相互垂直，因此，－·(－k)＝－1，即k＝－2.17.【答案】设所求直线与l1、l2的交点分别是A、B，设A(x0，y0)．∵A、B关于原点对称，∴B(－x0，－y0)．又∵A、B分别在l1、l2上，∴①＋②得x0＋6y0＝0，即点A在直线x＋6y＝0上，又直线x＋6y＝0过原点，∴直线l的方程是x＋6y＝0.故所求直线方程是x＋6y＝0.【解析】18.【答案】联立方程组解得所以平行四边形ABCD的顶点A(－，)．设C(x0，y0)，由题意，点M(3,3)是线段AC的中点，所以解得所以C(，)．由已知，直线AD的斜率kAD＝3.因为直线BC∥AD，所以直线BC的方程为3x－y－16＝0.由已知，直线AB的斜率kAB＝－1.因为直线CD∥AB，所以直线CD的方程为x＋y－11＝0.因此，其他两边所在直线的方程是3x－y－16＝0，x＋y－11＝0.【解析】19.【答案】设P(x,0)，则kPA＝＝－，kPB＝＝，依题意，由光的反射定律得kPA＝－kPB，即＝，解得x＝2，即P(2,0)．【解析】20.【答案】由于A点不在所给的两条直线上，所以两条直线为三角形的边AC和AB的高．假设x＋y＝0为AB的高所在直线的方程，∴AB直线所在直线斜率为1，设AB所在直线方程为x－y＋c＝0，又∵A(1,2)在直线x－y＋c＝0上，代入得c＝1，∴AB直线方程为x－y＋1＝0 .同理，AC直线方程为3x＋2y－7＝0.设B点坐标为B(m，n)，由于B点在直线AB和AC的高所在直线上，∴m－n＋1＝0,2m－3n＋1＝0 .解得m＝－2，n＝－1 .∴B(－2，－1)，同理，设C(M，N)，得M＝7，N＝－7 ，∴C(7，－7)，∴BC所在直线方程为2x＋3y＋7＝0.【解析】21.【答案】(1)由题意可得tan 120°＝－a，解得a＝.(2)令y＝0，可得x＝－，即直线l 1在x轴上的截距为－＝2，解得a＝－1.(3)∵直线l1与直线l2：2x－y＋1＝0平行，∴a＝－2，∴直线l1的方程可化为2x－y－2＝0.∴两平行线之间的距离为＝.【解析】22.【答案】方法一由题意可设所求的方程为(x－3)2＋(y－6)2＋λ(4x－3y＋6)＝0，又因为此圆过点(5,2)，将坐标(5,2)代入圆的方程求得λ＝－1，所以所求圆的方程为x2＋y2－10x－9y＋39＝0.方法二设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圆心为C(a，b)，由|CA|＝|CB|，CA⊥l，得解得所以所求圆的方程为(x－5)2＋(y－)2＝.方法三设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆心为C，由CA⊥l，A(3,6)，B(5,2)在圆上，得解得所以所求圆的方程为x2＋y2－10x－9y＋39＝0.方法四设圆心为C，则CA⊥l，又设AC与圆的另一交点为P，则CA的方程为y－6＝－(x－3)，即3x＋4y－33＝0.又因为kAB＝＝－2，所以kBP＝，所以直线BP的方程为x－2y－1＝0.解方程组得所以P(7,3)．所以圆心为AP的中点(5，)，半径为|AC|＝，所以所求圆的方程为(x－5)2＋(y－)2＝.【解析】。
人教版高中数学选修一第二单元《直线和圆的方程》测试题(含答案解析)(1)
一、选择题1．直线()()()230x m x y m -+-+=∈R 过下面哪个定点（ ） A ．()4,0B ．()0,4C ．()2,5D ．()3,22．如果实数x 、y 满足22640x y x +-+=，那么yx的最大值是（ ）A ．23B C ．3D 3．若点()1,1P --为圆2260x y x ++=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为（ ）A ．230x y +-=B ．210x y --=C ．230x y +-=D ．210x y -+=4．若圆C ：222430x y x y ++-+=，关于直线260ax by ++=对称，则由点(),a b 向圆所作的切线长的最小值为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．85．已知M (3，)，N (－1，)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为（ ）A B ．C ．D ．6．夹在两平行直线1:340l x y -=与2:34200l x y --=之间的圆的最大面积等于（ ） A ．2πB ．4πC ．8πD ．12π7．赵州桥，是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥，因赵具古称赵州而得名．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．小明家附近的一座桥是仿赵州桥建造的一座圆拱桥，已知在某个时间段这座桥的水面跨度是20米，拱顶离水面4米；当水面上涨2米后，桥在水面的跨度为（ ）A ．10米B ．米C ．米D ．8．直线210y x -+=关于30y x -+=对称的直线方程是（ ） A ．280x y --=B ．2100x y --=C ．2120x y +-=D ．2100x y +-=9．已知圆222:(1)(1)(0)C x y r r -+-=>，若圆C 上至少有3个点到直线20x y ++=，则实数r 的取值范围为（ ）A ．(0,B ．C ．)+∞D ．+∞[) 10．若圆x 2+y 2+ax -by =0的圆心在第二象限，则直线x +ay -b =0一定不经过（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．若直线y x b =+与曲线3y =2个公共点，则b 的取值范围是（ ）A ．[1-+B ．(11]--C ．[3,1+D ．[1,3]-12．已知函数22()()4)()f x x a a a R =-+-∈，若关于x 的不等式()2f x ≤有解，则实数a 的值为（ ） A ．2-B ．2C．D二、填空题13．已知圆C ：224x y +=，直线l ：(0)x y m m +=>，圆C 上恰有两个点到直线l 的距离为1.则m 的取值范围是_____________.14．设()11,M x y 、()22,N x y 为不同的两点，直线:0l ax by c ++=，1122ax by cax by cδ++=++，以下命题中正确的序号为__________．（1）存在实数δ，使得点N 在直线l 上； （2）若1δ=，则过M 、N 的直线与直线l 平行； （3）若1δ=-，则直线l 经过MN 的中点；（4）若1δ>，则点M 、N 在直线l 的同侧且直线l 与线段MN 的延长线相交； 15．经过点(2,1)M ，并且与圆2268240x y x y +--+=相切的直线方程是________． 16．过圆226430x y x y +-+-=的圆心，且垂直于2110x y ++=的直线方程是______．17．在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，下列命题中正确的是_______．（写出所有正确命题的编号）① 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点； ② 如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点； ③ 如果直线l 经过两个不同的整点，则直线l 必经过无穷多个整点； ④ 直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数．18．与两圆22(2)1x y ++=，22(2)1x y -+=都相切，且半径为3的圆一共有________个19．已知：()2,0A -，()2,0B ，()0,2C ，()1,0E -，()1,0F ，一束光线从F 点出发发射到BC 上的D 点经BC 反射后，再经AC 反射，落到线段AE 上（不含端点）FD 斜率的范围为____________.20．若直线l：y kx =23-60x y +=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是___________.三、解答题21．已知圆221:2440C x y x y ++--=.（1）在下列两个条件中任选一个作答.注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.①已知不过原点的直线l 与圆1C 相切，且在x 轴、y 轴上的截距相等，求直线l 的方程； ②从圆外一点(2,1)P 向圆引切线，求切线方程.（2）若圆222:4C x y +=与圆1C 相交与D 、E 两点，求线段DE 的长.22．在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆.最小覆盖圆满足以下性质：①线段AB 的最小覆盖圆就是以AB 为直径的圆； ②锐角ABC 的最小覆盖圆就是其外接圆.已知曲线W ：244x y +=，()0,A t ，()2,0B ，(C ，()2,0D -为曲线W 上不同的四点.（1）求实数t 的值及ABC 的最小覆盖圆的方程； （2）求四边形ABCD 的最小覆盖圆的方程； （3）求曲线W 的最小覆盖圆的方程.23．已知ABC 的顶点(5,1)A ，直线BC 的方程为6590x y AB --=，边上的中线CM 所在直线方程为250x y --=． （1）求顶点C 的坐标；（2）求AC 边上的高所在直线方程．24．已知圆C ：222440x y x y +-+-=，斜率为1的直线l 与圆C 交于A 、B 两点. （1）化圆的方程为标准形式，并指出圆心和半径；（2）是否存在直线l ，使以线段AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由；（3）当直线l 平行移动时，求CAB △面积的最大值.25．已知圆C 经过点()1,0A -和()3,4B ，且圆心C 在直线3150x y +-=上． （1）求圆C 的标准方程；（2）设点()()1,0Q m m ->在圆C 上，求△QAB 的面积．26．已知圆心为C 的圆经过A （1，1）和B （2，－2），且圆心C 在直线l ：10x y -+=上.（1）求圆心为C 的圆的一般式．．．方程；（2）是否存在过原点的直线l ′与⊙C 交于E 、F 两点且使EF 为直径的圆过点M （0），若存在，求出直线l ′方程，若不存在说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由恒等式的思想得出2030x x y -=⎧⎨-+=⎩，解之可得选项.【详解】由2030x x y -=⎧⎨-+=⎩，解得：25x y =⎧⎨=⎩，故直线过恒过点()2,5，故选：C. 【点睛】方法点睛：求直线恒过点的方法：方法一（换元法）：根据直线方程的点斜式直线的方程变成()y k x a b =-+，将x a =带入原方程之后，所以直线过定点()a b ，；方法二（特殊引路法）：因为直线的中的m 是取不同值变化而变化，但是一定是围绕一个点进行旋转，需要将两条直线相交就能得到一个定点.取两个m 的值带入原方程得到两个方程，对两个方程求解可得定点.2．D解析：D 【分析】本题首先可求出圆的圆心与半径，然后将yx看作圆上一点(),x y 与()0,0连线的斜率，并结合图像得出当过原点的直线与圆相切时斜率最大，最后根据直线与圆相切即可得出结果. 【详解】22640x y x +-+=，即()2235x y -+=，圆心为()3,0，半径为5，yx的几何意义是圆上一点(),x y 与()0,0连线的斜率， 如图，结合题意绘出图像：结合图像易知，当过原点的直线与圆相切时，斜率最大，即yx最大， 令此时直线的倾斜角为α，则5tan α=，y x 5，故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线的斜率的几何意义的应用，考查直线与圆相切的相关性质，能否将yx看作点(),x y 与()0,0连线的斜率是解决本题的关键，考查数形结合思想，是中档题.3．D解析：D 【分析】连接圆心与弦中点，根据垂径定理的逆定理得到直线AP 与弦所在的直线垂直，由圆的标准方程求出圆心A 的坐标，再由弦中点P 的坐标，求出直线AP 的斜率，根据两直线垂直斜率的乘积为1-，求出弦所在直线的斜率，再由弦中点P 的坐标及求出的斜率，写出弦所在直线的方程即可． 【详解】解：由题意，知圆的标准方程为()2239x y ++=，圆心为()30A -,. 因为点()1,1P --为弦MN 的中点，所以AP MN ⊥. 又AP 的斜率101132k --==--+，所以直线MN 的斜率为2， 所以弦MN 所在直线的方程为()121y x +=+，即210x y -+=. 故选：D 【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，垂径定理，直线斜率的求法，两直线垂直时斜率满足的关系，以及直线的点斜式方程，解题的关键是连接圆心与弦中点，根据垂径定理的逆定理得到直线AP 与弦所在的直线垂直．4．B解析：B 【分析】由题意圆C 的圆心()1,2-在直线620ax by ++=上，可得2260a b -++=，即点(),a b 在直线:30l x y -++=上，过点作圆C 的切线，切点为E ，则DE ==CD 最短，可得答案.【详解】由将圆C 的方程化为标准方程为：()()22122x y ++-=， 圆心为()1,2-2因为圆C 关于直线620ax by ++=对称，所以圆心位于该直线上，将圆心坐标代入直线方程中， 有2260a b -++=，即点(),a b 在直线:30l x y -++=上， 设(),D a b ，过点作圆C 的切线，切点为E 则2222DE CD r CD =-=-要使得切线DE 长最短，则只需CD 最短.CD 的最小值为过点C 作直线:30l x y -++=的垂线.此时123322CD ++==2CE r =所以根据勾股定理，得224DE CD CE =-=. 故选：B 【点睛】解题关键是利用圆的定义和圆切线的长的求法，根据数形结合，列出方程求解，主要考查学生的分析能力和计算能力，属于中档题.5．B解析：B 【分析】首先利用题中所给的点N (－1，3，F (1，0)，求出直线NF 的方程，之后利用点到直线的距离公式求得结果. 【详解】易知NF 的斜率k 3NF 的方程为y 3 (x －1)， 3＋y 3＝0.所以M 到NF.故选：B. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关点到直线的距离的问题，解题思路如下：（1）根据题意首先求出直线的方程，可以先求斜率，利用点斜式求，也可以直接利用两点式求；（2）之后利用点到直线的距离公式直接求结果.6．B解析：B 【分析】夹在两平行直线之间的面积最大的圆与这两条直线都相切，求出直径即可得到面积 【详解】两平行直线1:340l x y -=与2:34200l x y --=之间的距离：4d ==，夹在两平行直线1:340l x y -=与2:34200l x y --=之间的圆半径最大值为2， 所以该圆的面积为4π. 故选：B 【点睛】此题考查求两条平行直线之间的距离，关键在于熟记距离公式正确求解.7．C解析：C 【分析】根据题意，建立圆拱桥模型，设圆O 半径为R , 当水面跨度是20米，拱顶离水面4米，分析可得22100(4)R R =--，求出R ，当水面上涨2米后，可得跨度2CD CN =，计算可得解. 【详解】根据题意，建立圆拱桥模型，如图所示：设圆O 半径为R ,当水面跨度是20米，拱顶离水面4米，此时水面为AB ，M 为AB 中点，即20AB =，4OM R =-，利用勾股定理可知，22222AB AM OA OB ==-，即22100(4)R R =--，解得292R =， 当水面上涨2米后，即水面到达CD ，N 为CD 中点，此时2ON R =-，由勾股定理得2222(2)66CD CN R R ==--=.故选：C 【点睛】关键点睛：本题考查圆的弦长，解题的关键是利用已知条件建立模型，利用数形结合求解，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于基础题.8．A解析：A 【分析】设所求直线上任意一点()()11,,,P x y Q x y 是P 关于直线30y x -+=的对称点，根据对称关系求得1133x y y x =+⎧⎨=-⎩,代入直线210y x -+=的方程整理即得所求. 【详解】解：设所求直线上任意一点()()11,,,P x y Q x y 是P 关于直线30y x -+=的对称点，则111113022y y x x y y x x -⎧=-⎪-⎪⎨++⎪-+=⎪⎩，解得1133x y y x =+⎧⎨=-⎩, 由对称性得Q 在直线210y x -+=上，()()23310x y ∴--++=, 即280x y --=, 故选：A. 【点睛】根据“一垂直二中点”列出方程组，求得1133x y y x =+⎧⎨=-⎩是解决问题的关键，利用轨迹方程思想方法求直线的方程也是重要的思想之一.9．D解析：D 【分析】根据题意，得到直线不过圆心，且求得圆心到直线的距离，结合题中条件，得到实数r 的取值范围. 【详解】圆222:(1)(1)(0)C x y r r -+-=>的圆心(1,1)到直线20x y ++=为：d ==，且直线20x y ++=不过圆心，若圆222:(1)(1)(0)C x y r r -+-=>上至少有3个点到直线20x y ++=，则有r ≥=所以实数r 的取值范围为+∞[)， 故选：D. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关直线与圆的相关问题，解决该题的思路如下： （1）求得圆心到直线的距离，并且发现直线不过圆心； （2）结合题中条件，得到r 的取值范围.10．C解析：C 【分析】由圆心位置确定a ，b 的正负，再结合一次函数图像即可判断出结果. 【详解】因为圆22+0x y ax by +-=的圆心坐标为,22a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由圆心在第二象限可得0,0a b >>，所以直线0x ay b +-=的斜率10a -<，y 轴上的截距为0b a>，所以直线不过第三象限. 故选：C11．B解析：B 【分析】将3y =22(2)(3)4-+-=x y (3y ≤)，作出直线与半圆的图形，利用两个图形有2个公共点，求出切线的斜率，观察图形可得解. 【详解】由3y =22(2)(3)4-+-=x y (3y ≤)，所以直线y x b =+与半圆22(2)(3)4-+-=x y (3y ≤)有2个公共点，作出直线与半圆的图形，如图：当直线经y x b =+过点(4,3)时，341b =-=-， 当直线与圆22(2)(3)4-+-=x y 相切时，211=+，解得122b =-或122b =+（舍），由图可知，当直线y x b =+与曲线234y x x =--有2个公共点时，1221b -<≤-，故选：B 【点睛】关键点点睛：作出直线与半圆的图形，利用切线的斜率表示b 的范围是解题关键.12．A解析：A 【分析】 令22y x =-，则222(0)x y y +=≥，将问题转化为圆222x y +=与圆22()(4)2x a y a -+--=有交点，利用圆心距与半径的关系可得解.【详解】 令22y x =-，则222(0)x y y +=≥，所以()2f x ≤有解化为22()(4)2x a y a -+--≤有解，则问题转化为半圆222(0)x y y +=≥与圆22()(4)2x a y a -+--=有交点， 因为圆22()(4)2x a y a -+--=的圆心在直线4y x =+上，如图：22(4)22a a ++≤，即2440a a ++≤，即2(2)0a +≤，解得2a =-. 故选：A【点睛】关键点点睛：令y =，将问题转化为半圆222(0)x y y +=≥与圆22()(4)2x a y a -+--=有交点是解题关键.二、填空题13．【分析】根据圆的几何性质结合点到直线距离公式进行求解即可【详解】圆C ：的半径为2圆心坐标为：设圆心到直线l ：的距离为要想圆C 上恰有两个点到直线l 的距离为1只需即而所以故答案为：【点睛】关键点睛：利用解析：【分析】根据圆的几何性质，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】圆C ：224x y +=的半径为2，圆心坐标为：(0,0) 设圆心(0,0)到直线l ：x y m +=的距离为d ，要想圆C 上恰有两个点到直线l 的距离为1，只需112d <<+，即13m <<⇒<< 0m >m <<.故答案为： 【点睛】关键点睛：利用圆的性质转化为点到直线的距离是解题的关键.14．②③④【分析】①点在直线上则点的坐标满足直线方程从而得到进而可判断①不正确②若则进而得到根据两直线斜率的关系即可判断②③若即可得到即可判断③④若则或根据点与直线的位置关系即可判定④【详解】解：若点在解析：②③④ 【分析】①点在直线上，则点的坐标满足直线方程，从而得到220ax bx c ++=，进而可判断①不正确．②若1δ=，则1122ax by c ax by c ++=++，进而得到1221y y ax x b-=--，根据两直线斜率的关系即可判断②．③若1δ=-，即可得到1212()()022x x y y a b c ++++=，即可判断③． ④若1δ>，则11220ax by c ax by c ++>++>，或11220ax by c ax by c ++<++<，根据点与直线的位置关系即可判定④． 【详解】解：若点N 在直线l 上则220ax bx c ++=，∴不存在实数δ，使点N 在直线l 上，故①不正确；若1δ=，则1122ax by c ax by c ++=++， 即1221y y ax x b-=--， MN l k k ∴=， 即过M 、N 两点的直线与直线l 平行，故②正确； 若1δ=-，则11220ax by c ax by c +++++= 即，1212()()022x x y y a b c ++++=， ∴直线l 经过线段MN 的中点，即③正确；若1δ>，则11220ax by c ax by c ++>++>，或12220ax by c ax by c ++<++<， 即点M 、N 在直线l 的同侧，且直线l 与线段MN 不平行．故④正确． 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查两直线的位置关系，点与直线的位置关系，直线的一般式方程等知识的综合应用，若两直线平行则两直线的斜率相等．15．或【分析】求出圆心和半径判断斜率不存在的直线是否是切线斜率存在时设出直线方程由圆心到切线距离等于半径求得参数值得切线方程【详解】圆标准方程是圆心为半径为1易知直线与圆相切设斜率存在的切线方程为即由解解析：2x =或4350x y --= 【分析】求出圆心和半径，判断斜率不存在的直线是否是切线，斜率存在时设出直线方程，由圆心到切线距离等于半径求得参数值得切线方程． 【详解】圆标准方程是22(3)(4)1x y -+-=，圆心为(3,4)，半径为1． 易知直线2x =与圆相切，设斜率存在的切线方程为1(2)y k x -=-，即210kx y k --+=，1=，解得43k =，切线方程为481033x y --+=，即4350x y --=．故答案为：2x =或4350x y --=． 【点睛】本题考查求圆的切线方程，解题方法是由圆心到切线的距离等于半径求解．但解题时要注意过定点斜率不存在的直线是否是切线，否则由方程求不出此直线方程．如果所过的点在圆上，由可由过切点的半径与切线垂直得出切线斜率后得直线方程．16．【分析】求出圆心坐标由垂直设出直线方程为代入圆心坐标求出参数得直线方程【详解】圆的标准方程是圆心坐标为垂直于的直线方程为则∴所求直线方程为故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查由垂直求直线方程解题方法 解析：280x y --=【分析】求出圆心坐标，由垂直设出直线方程为20x y m -+=，代入圆心坐标求出参数m ，得直线方程． 【详解】圆226430x y x y +-+-=的标准方程是22(3)(2)10x y -++=，圆心坐标为(3,2)-，垂直于2110x y ++=的直线方程为20x y m -+=，则23(2)0m ⨯--+=，8m =-， ∴所求直线方程为280x y --=． 故答案为：280x y --=． 【点睛】方法点睛：本题考查由垂直求直线方程，解题方法有两种：（1）由垂直得斜率乘积为1-，得出所求主直线的斜率，再由写出点斜式方程， （2）与直线0Ax By C ++=垂直的直线方程可设为0Bx Ay m -+=，代入已知点坐标求出参数m 后可得．17．①③【分析】给直线分别取不同的方程可得到②和④的反例同时找到符合条件①的直线；通过直线经过两个不同的整点可证得其经过无穷多个整点③正确【详解】①令直线为：则其不与坐标轴平行且不经过任何整点①正确；②解析：①③ 【分析】给直线l 分别取不同的方程，可得到②和④的反例，同时找到符合条件①的直线；通过直线经过两个不同的整点可证得其经过无穷多个整点，③正确. 【详解】①令直线l 为：12y x =+，则其不与坐标轴平行且不经过任何整点，①正确； ②令直线l为：y =-()2,0，②错误；③令直线l 为：y kx b =+，过两个不同的整点()11,x y ，()22,x y ， 则1122y kx by kx b =+⎧⎨=+⎩，两式作差得：()1212y y k x x -=-，即直线l 经过整点()1212(),(),n x x n y y n Z --∈，∴直线l 经过无穷多个整点，③正确；④令直线l 为：1132y x =+，则l 不过整点，④错误. 故答案为：①③. 【点睛】本题考查对于直线方程的理解，关键是能够通过特例来否定命题和验证存在性的问题，对于学生对直线方程特点的掌握有较高的要求.18．7【分析】根据两圆相离可以判定出与两圆都相切且半径为3的圆有7个【详解】解：因为两圆是相离的所以与两圆都相切且半径为3的圆的情况如下：与两圆都内切的有1个是以原点为圆心即；与两圆都外切的有2个设切点解析：7 【分析】根据两圆相离，可以判定出与两圆都相切且半径为3的圆有7个． 【详解】解：因为两圆221:(2)1O x y ++=，222:(2)1O x y -+=是相离的，所以与两圆都相切且半径为3的圆的情况如下：与两圆都内切的有1个，是以原点为圆心，即229x y +=；与两圆都外切的有2个，设切点为(0,)b 4b =⇒=±∴22(9x y +±=，同理，利用圆与圆的圆心距和半径的关系可得：与圆1O 外切于圆2O 内切的圆有2个；与圆1O 内切于圆2O 外切的圆有2个；分别为223()(92x y ++±=和223()(92x y -+=，共7个， 故答案为：7． 【点睛】由圆心距判断两圆的位置关系相离，再利用直观想象可得与两圆都相切的情况，包括内切和外切两类.19．【分析】先作出关于的对称点再作关于的对称点因为光线从点出发射到上的点经反射后反射光线的反向延长线经过关于直线的对称点点又因为再经反射反射光线经过关于直线的对称点所以只需连接交与点连接分别交为点则之间 解析：()4,+∞【分析】先作出F 关于BC 的对称点P ，再作P 关于AC 的对称点M ，因为光线从F 点出发射到BC 上的D 点经BC 反射后，反射光线的反向延长线经过F 关于直线BC 的对称点P 点，又因为再经AC 反射，反射光线经过P 关于直线AC 的对称点，所以只需连接,MA ME 交AC 与点N ，连接,PN PA 分别交BC 为点,G H ，则,G H 之间即为点D 的变动范围．再求出直线,FG FH 的斜率即可． 【详解】∵(2,0),(2,0),(0,2)A B C -，∴直线BC 方程为20x y +-=，直线AC 方程为20x y -+=,如图， 作F 关于BC 的对称点P ，则(2,1)P ， 再作P 关于AC 的对称点M ，则(1,4)M -,连接,MA ME 交AC 与点N ，则直线ME 方程为1x =-, ∴(1,1)N -，连接,PN PA 分别交BC 为点,G H ，则直线PN 方程为1y =，直线PA 方程为420x y -+=， ∴64(1,1),,55G H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，连接,GF HF ， 则,G H 之间即为点D 的变动范围．∵直线FG 方程为1x =，直线FH 的斜率为 454615=-∴FD 斜率的范围为(4,)+∞ 故答案为：(4,)+∞.【点睛】本题主要考查入射光线与反射光线之间的关系，入射光线与反射光线都经过物体所成的像，据此就可找到入射点的范围，解决此类问题时，关键在于求出点关于直线的对称点，属于中档题.20．【解析】若直线与直线的交点位于第一象限如图所示：则两直线的交点应在线段上（不包含点）当交点为时直线的倾斜角为当交点为时斜率直线的倾斜角为∴直线的倾斜角的取值范围是故答案为解析：(,)62ππ【解析】若直线:3l y kx =2360x y +-=的交点位于第一象限，如图所示：则两直线的交点应在线段AB 上（不包含,A B 点）, 当交点为()0,2A 时，直线l 的倾斜角为2π，当交点为()3,0B 时，斜率(03330k -==-l 的倾斜角为6π ∴直线的倾斜角的取值范围是,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭． 故答案为,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭ 三、解答题21．（1）①132y x =-+±②4350x y --=或2x =；（2）4. 【分析】（1）①由已知得直线l 的斜率为1-，然后利用点到直线的距离等于半径可得直线截距可得答案；②分别讨论当过P 的直线斜率不存在和存在两种情况，不存在时特殊情况可得答案；存在时利用圆心到直线的距离等于半径可得答案；（2）两个圆的方程联立求得交点坐标，再利用两点间的距离公式可得答案. 【详解】（1）①圆C 的方程变形为22(1)(2)9x y ++-=，∴圆心C 的坐标为(1,2)-，半径为3.直线l 在两坐标轴上的截距相等且不为零， 故直线l 的斜率为1-.∴设直线l 的方程y x b =-+，又直线l 与圆22(1)(2)9x y ++-=相切， 32=，整理得132b =± ∴所求直线l 的方程为132y x =-+±②圆C 的方程变形为22(1)(2)9x y ++-=，∴圆心C 的坐标为(1,2)-，半径为3.当过P 的直线斜率不存在时，直线方程为2x =， 此时圆C 到直线的距离为3， 所以直线2x =是圆C 的切线. 当过P 的直线斜率存在时， 设切线方程为1(2)y k x -=-， 即120kx y k -+-=3=，43k ∴=，∴切线方程4412033x y -+-⨯=， 即4350x y --=，综上所述，切线方程为4350x y --=或2x =.（2）联立方程222224404x y x y x y ⎧++--=⎨+=⎩，得115x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，225x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，||4DE ∴===. 【点睛】直线和圆相切时，可以利用圆与直线联立的方程组有一组实数解，或者利用圆心到直线的距离等于圆的半径求得参数，有时利用后面方法计算运算量比较小些. 22．(1) t =2220x y x +--=；(2) 224x y +=；(3) 22174x y +=. 【分析】（1）根据点()0,A t 在曲线W ：244x y +=上，由44t =求解，设ABC 的外接圆方程220x y Dx Ey F ++++=,将A ，B ，C 的坐标代入求解.（2）根据BD 的最小覆盖圆是以BD 为直径的圆，然后再验证点A ，C 在圆即可. （3）设(),P a b ，244a b +=，由222424OP a b b b =+=-++最小时求解.【详解】（1）因为点()0,A t 在曲线W ：244x y +=上，所以44t =， 解得t =t=（舍去），所以(0,A ，()2,0B ，(C ，设ABC 的外接圆方程为：220x y Dx Ey F ++++=,则2020420F F D F ⎧+=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎩，解得102D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩， 所以圆的方程为：2220x y x +--=. 因为ABC 是锐角三角形，所以ABC 的最小覆盖圆的方程是2220x y x +--=. （2）因为BD 的最小覆盖圆是以BD 为直径的圆， 所以BD 的最小覆盖圆的方程为：224x y +=,又因为2OA OA ==， 所以点A ，C 在圆内，所以四边形ABCD 的最小覆盖圆的方程是224x y +=.（3）因为曲线W ：244x y +=是中心对称图形，设(),P a b ，222424OP a b b b =+=-++，(2211724b b ⎛⎫=--+≤ ⎪⎝⎭， 当 212b =时，min OP所以曲线W 的最小覆盖圆的方程是22174x y +=. 【点睛】关键点点睛：本题关键是由最小覆盖圆的性质转化为求覆盖平面图形最小圆的方程. 23．（1）(4,3)C ；（2）250x y --=． 【分析】（1）联立直线方程可解得结果；（2）设出()00,B x y ，利用AB 的中点M 在直线CM 上以及点()00,B x y 在直线BC 上，解方程组可得B 的坐标，利用垂直可得斜率，根据点斜式可得所求直线方程. 【详解】 （1）联立6590250x y x y --=⎧⎨--=⎩，解得43x y =⎧⎨=⎩，可得(4,3)C ；（2）设()00,B x y ，则AB 的中点0051,22x y M ++⎛⎫⎪⎝⎭， 则0000659015502x y y x --=⎧⎪⎨++--=⎪⎩，解得(1,3)B --，又23145AC k -==--，所以AC 边上的高所在直线的斜率12k =，所以AC 边上的高所在直线方程为13(1)2y x +=+，即250x y --=. 【点睛】关键点点睛：求出点B 的坐标是求出AC 边上的高所在直线方程的关键，设()00,B x y ，利用直线BC 的方程和AB 的中点坐标满足CM 的方程可解得点B 的坐标.24．（1）()()22129x y -++=；圆心()1,2C -，3r =；（2）存在；；1y x =+或4y x =-；（3）92. 【分析】（1）将一般方程化为标准方程后即可得到结果；（2）设:l y x m =+，与圆的方程联立得到根与系数的关系，利用OA OB ⊥，即12120x x y y +=，由此整理可得方程求得m ，进而得到所求方程；（3）设:l y x m =+，由垂径定理表示出AB ，将所求面积表示为关于圆心到直线距离d 的函数，利用函数最值的求法可求得结果. 【详解】（1）由222440x y x y +-+-=得：()()22129x y -++=.∴圆C 的圆心为：()1,2C -，半径3r =.（2）假设存在直线l ，设方程为y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y ， 以AB 为直径的圆过圆心O ，∴OA OB ⊥，即12120x x y y +=.由222440y x m x y x y =+⎧⎨+-+-=⎩消去y 得：()22221440x m x m m ++++-=.由()()22418440m m m ∆=+-+->得：33m -<<.由根与系数关系得：()121x x m +=-+，212442m m x x +-=，()()()212121212y y x m x m x x m x x m ∴=++=+++，()21212121220x x y y x x m x x m ∴+=+++=，解得：1m =或4-.∴直线l 方程为：1y x =+或4y x =-.（3）设圆心C 到直线l ：y x m =+的距离为d ，则AB =12CABSd ∴=⨯==∴当2d =()max92CAB S=，∴圆心到直线距离2d ==，解得：0m =或6m =-， ∴当直线l 的方程为y x =或6y x =-时，CAB △面积取得最大值92. 【点睛】方法点睛：处理直线与圆问题中的三角形面积的最值或取值范围问题时，通常结合垂径定理和点到直线距离公式将所求面积表示为关于圆心到直线距离d 或者半径r 的函数关系式的形式，利用函数最值的求解方法求得结果. 25．（1）()()223640x y ++-=；（2）24． 【分析】（1）求出AB 的垂直平分线和直线3150x y +-=的交点可得圆心坐标，再利用两点间距离求半径，即可得答案；（2）求出点()1,12Q -，再利用点到直线距离公式求高，代入面积公式即可得答案； 【详解】（1）依题意知所求圆的圆心C 为AB 的垂直平分线和直线3150x y +-=的交点．AB 的中点为()1,2，直线AB 的斜率为1，AB ∴的垂直平分线的方程为()21y x -=--，即3y x =-+．由33150y x x y =-+⎧⎨+-=⎩，得36x y =-⎧⎨=⎩，即圆心()3,6C -． ∴半径r ==．故所求圆C 的标准方程为()()223640x y ++-=． （2）点()()1,0Q m m ->在圆C 上，12m =∴或0m =(舍去)，()1,12Q ∴-，12AQ ==，直线AQ 的方程为：1x =-，点B 到直线AQ 的距离为4，QAB ∴的面积1141242422S AQ =⨯⨯=⨯⨯=．【点睛】利用圆的几何意义求圆的方程时，注意只要圆过两点A,B ，其圆心必在线段的中垂线上. 26．(1) 2264120x y x y +++-= (2)存在，0x =或32y x =- 【分析】（1）设圆心(),1C a a +，由AC BC =可求出a ，从而得出答案.（2）当直线l '的斜率不存在，即0x =时,满足条件，当直线l '的斜率存在时，设直线l '的方程为y kx =，由方程联立，得出韦达定理，由以EF 为直径的圆过点M （0），则0ME MF ⋅=，将韦达定理代入，求出k 的值，得到答案.【详解】（1）由圆心C 在直线l ：10x y -+=上，设圆心(),1C a a +圆C 经过A （1，1）和B （2，－2），则AC BC ==，解得3a =-所以5AC ==所以圆心()3,2C --，半径为5，所以圆的方程为()()223225x y +++=所以圆心为C 的圆的一般式方程：2264120x y x y +++-=（2）当直线l '的斜率不存在，即0x =时，则()()0,2,0,6E F -,满足0ME MF ⋅=即满足EF 为直径的圆过点M （0）.当直线l '的斜率存在时，设直线l '的方程为y kx =，()()1122,,,E x y F x y 2264120y kx x y x y =⎧⎨+++-=⎩ ，得()()22164120k x k x +++-= ()()22644810k k ∆=+++> 21212226412,11k x x x x k k ++=-⋅=-++由以EF 为直径的圆过点M （0），则0ME MF ⋅=()()(11221212ME MF x y x y x x y y ⋅=--=--+(())212121212112x x y y k x x x x =--+=+-++ ()221211201k k -=+++=+ 解得32k =- ，且满足0∆> 所以存在满足条件的直线l '方程为：0x =或32y x =-【点睛】关键点睛：本题考查求圆的方程和根据条件求直线方程，解答本题的关键是由以EF 为直径的圆过点M （0），则0ME MF ⋅=，得到ME MF ⋅=())212121120k x x x x +-++=，再由方程联立韦达定理代入解出参数k 得到答案,属于中档题.。
2018届人教A版直线与圆单元测试2
2017-2018学年度xx学校xx月考卷一、选择题(共12小题,每小题5.0分,共60分)1.点A(0,1)和B(2,0)关于直线l对称，则l的方程为()A． 2x＋4y－3＝0B． 4x－2y－3＝0C． 2x－4y＋3＝0D． 4x－2y＋3＝02.点P(1,2)关于x轴的对称点P′的坐标为()A． (1，－2)B． (－1,2)C． (－1，－2)D． (2,1)3.已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为()A． 3B．C． 2D． 24.直线y＝kx＋m通过第一、三、四象限，则有()A．k>0，m>0B．k>0，m<0C．k<0，m>0D．k<0，m<05.点P(m－n，－m)到直线＋＝1的距离等于()A．B．C．D．6.经过点D(0,2)，且斜率为2的直线方程是()A．y－2＝－2(x－0)B．y－2＝－2(x－0)C．y＋2＝2(x－0)D．y－2＝2(x－0)7.直线y＝－x－在y轴上的截距是()A． 1B．－1C．D． -8.对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”，否则称为“平行相交”．已知直线l1：ax＋3y＋6＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋6＝0，和圆C：x2＋y2＋2x＝b2－1(b＞0)的位置关系是“平行相交”，则b的取值范围为()A． (，)B． (0，)C． (0，)D． (，)∪(，＋∞)9.圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2无公共点，则k的范围是()A． (－，)B． (－∞，－)∪(，＋∞)C． (－，)D． (－∞，－)∪(，＋∞)10.在空间直角坐标系O－xyz中(O为坐标原点)，点A(1,0,2)关于平面yOz对称的点的坐标是() A． (1,0，－2)B． (－1,0，－2)C． (1,0,2)D． (－1,0,2)11.设直线l过点且与圆x2＋y2＝1相切，直线l的斜率是()A． ±1B． ±C． ±D． ±12.ac＜0，bc>0，则直线ax＋by＋c＝0的图形只能是()A．答案AB．答案BC．答案CD．答案D二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分)13.如果直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则直线l2的斜率为________．14.圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差为________．15.已知直线mx＋3y－4＝0与圆(x＋2)2＋y2＝5相交于A、B两点，若|AB|＝2，则实数m的值为______．16.直线y＝kx－7与y＝－3x＋4平行，则k＝________.三、解答题(共6小题,每小题12.0分,共72分)17.求过点M(－2,1)，且与A(－1,2)，B(3,0)两点距离相等的直线的方程．18.在平面直角坐标系中，△ABC的顶点分别为A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，设P(0，p)在线段AO 上(异于端点)，设a，b，c，p均为非零实数，直线BP，CP分别交AC，AB于点E，F，一同学已正确求得OE的方程为(－)x＋(－)y＝0，求直线OF的方程．19.过点P(－1,0)、Q(0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程．20.已知A(1，－1)，B(2,2)，C(3,0)，求点D的坐标，使直线CD⊥AB，且CB∥AD.21.求下列两直线的交点坐标：l1：2x＋2y－1＝0，l2：2x＋y＋2＝0.22.根据条件求下列圆的方程：(1)求经过A(6,5)，B(0,1)两点，并且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上的圆的方程；(2)求半径为，圆心在直线y＝2x上，被直线x－y＝0截得的弦长为4的圆方程．答案解析1.【答案】B【解析】∵点A(0,1)和B(2,0)关于直线l对称，∴直线l是线段AB的垂直平分线．∵线段AB的斜率为kAB＝－，∴直线l的斜率为kl＝2.而线段AB的中点为(1，)，∴直线l的方程为y－＝2×(x－1)，即4x－2y－3＝0.故选B.2.【答案】A【解析】设P′的坐标为(x，y)，则由题意可得PP′的中点在x轴上，且坐标为(1,0)，由中点坐标公式可得解得,故P′的坐标为(1，－2)，故选A.3.【答案】D【解析】圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心坐标为(0,1)，半径是r＝1，由圆的性质知：S四边形PACB＝2S△PBC，四边形PACB的最小面积是2，∴S △PBC的最小值＝1＝rd(d是切线长)，∴d最小值＝2，圆心到直线的距离就是PC的最小值，＝＝.∵k＞0，∴k＝2，故选D.4.【答案】B【解析】画一条直线使之经过第一、三、四象限，从图中能看出直线的倾斜角为锐角，所以k>0，直线与y轴的交点位于y轴的负半轴上，所以m<0.5.【答案】A【解析】因为直线＋＝1可化为nx＋my－mn＝0，则由点到直线的距离公式，得d＝＝.故选A.6.【答案】D【解析】∵直线经过点D(0,2)，且斜率为2，∴直线的点斜率式方程为y－2＝2(x－0)，故选D.7.【答案】D【解析】直线在y轴上的截距为－，故选D.8.【答案】D【解析】圆C的标准方程为(x＋1)2＋y2＝b2，由两直线平行可得a(a＋1)－6＝0，解得a＝2或a＝－3，又当a＝2时，直线l1与l2重合，舍去，此时两平行线方程分别为x－y－2＝0和x－y＋3＝0.由直线x－y－2＝0与圆(x＋1)2＋y2＝b2相切，得b＝＝，由直线x－y＋3＝0与圆相切，得b＝＝，当两直线与圆都相离时，b＜，所以“平行相交”时，b满足故b的取值范围是(，)∪(，＋∞)．9.【答案】C【解析】方法一(数形结合)y＝kx＋2是过定点P(0,2)的直线，与单位圆相切(临界值)时，其斜率为±，由此不难判断，选C.方法二(特值法)令k＝0，直线y＝2与单位圆无交点，淘汰选项B、D；令k＝，此时，直线与单位圆相切，选项A有“漏”．方法三(待定系数)将y＝kx＋2代入圆的方程x2＋y2＝1，无交点的充要条件是其判别式小于0，解得k∈(－，)．方法四依题意，圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点⇔d＝＞1⇔k∈(－，)．10.【答案】D【解析】根据关于坐标平面yOz的对称点的坐标的特点，可得点A(1,0,2)关于坐标平面yOz的对称点的坐标为(－1,0,2)，故选D.11.【答案】C【解析】设直线方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，由直线与圆x2＋y2＝1相切可得，圆心(0,0)到直线的距离等于半径，即＝1，∴k＝±，故选C.12.【答案】D【解析】由ac＜0，bc>0，∴abc2<0，∴ab<0，∴斜率k＝－>0，又纵截距－<0，故选D.13.【答案】－或不存在【解析】当a＝0时，直线l2无斜率，当a≠0时，直线l 2的斜率是a的负倒数即－.14.【答案】6【解析】由x2＋y2－4x－4y－10＝0配方得(x－2)2＋(y－2)2＝18，即圆心为C(2,2)，半径r＝3，则圆心到直线的距离d＝＝5，所以圆上的点到直线的最大距离为d＋r＝8，最小距离为d－r＝2，则圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差为8－2＝6.15.【答案】【解析】当m＝0时，不符合题意；当m≠0时，圆的半径和弦心距和半弦长满足勾股定理，解得实数m的值为.16.【答案】－3【解析】∵直线y＝kx－7的斜率为k，直线y＝－3x＋4的斜率为－3，∴当直线y＝kx－7与y＝－3x＋4平行时，两条直线的斜率相等，即k＝－3.17.【答案】方法一设直线的方程为y－1＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋1＝0，由解得k＝0或k＝.故所求直线方程为y＝1或x＋2y＝0.当直线的斜率不存在时，符合题意的直线不存在．方法二当所求直线l∥AB或l过AB中点时，满足题意．若l∥AB，由于kAB＝，则直线l的方程为x＋2y＝0，当直线l过AB的中点N(1,1)时，则直线l的方程为y＝1.故所求直线的方程为y＝1或x＋2y＝0.【解析】18.【答案】由截距式可得直线AB：＋＝1，直线CP：＋＝1，点F为直线AB与直线CP的交点，故过F点的直线系方程可设为l：＋－1＋λ(＋－1)＝0.又直线l过原点(0,0)，代入方程得λ＝－1，故所求直线OF的方程为(－)x＋(－)y＝0.【解析】19.【答案】(1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x＝－1，x＝0，它们在x轴上截距之差的绝对值为1，符合题意；(2)当直线的斜率存在时，设其斜率为k，则两条直线的方程分别为y＝k(x＋1)，y－2＝kx，令y＝0，得x＝－1与x＝－.由题意得|－1＋|＝1，即k＝1.∴两条直线的方程分别为y＝x＋1，y＝x＋2.即为x－y＋1＝0，x－y＋2＝0.综上可知，所求的直线方程为x＝－1，x＝0或x－y＋1＝0，x－y＋2＝0.【解析】20.【答案】设点D的坐标为(x，y)，由已知得，直线AB的斜率kAB＝3，直线CD的斜率kCD＝，直线CB的斜率kCB＝－2，直线AD的斜率kAD＝.由CD⊥AB，且CB∥AD，得⇒所以点D的坐标是(0,1)．【解析】21.【答案】解方程组得x＝－，y＝3，所以l 1与l2的交点坐标为(－，3)．【解析】22.【答案】(1)由题意知线段AB的垂直平分线方程为3x＋2y－15＝0.∴由解得∴圆心C(7，－3)，半径r＝|AC|＝.∴所求圆的方程为(x－7)2＋(y＋3)2＝65.(2)设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝10，∵圆心C(a，b)在直线y＝2x上，∴b＝2a.由圆被直线x－y＝0截得的弦长为4.将y＝x代入(x－a)2＋(y－b)2＝10，得2x2－2(a＋b)x＋a2＋b2－10＝0.设直线y＝x交圆C于A(x1，y1)，B(x2，y2)．则|AB|＝＝＝4，∴(x1＋x2)2－4x1x2＝16.∵x 1＋x2＝a＋b，x1x2＝，∴(a＋b)2－2(a2＋b2－10)＝16，即a－b＝±2，又∵b＝2a，∴或∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.【解析】。
2018届人教A版直线与圆单元测试14
2017-2018学年度xx学校xx月考卷一、选择题(共12小题,每小题5.0分,共60分)1.经过点D(0,2)，且斜率为2的直线方程是()A．y－2＝－2(x－0)B．y－2＝－2(x－0)C．y＋2＝2(x－0)D．y－2＝2(x－0)2.两圆x2＋y2－6x＋16y－48＝0与x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线条数为()A． 4B． 3C． 2D． 13.两条直线ax＋y＋1＝0与3x－2y＋1＝0垂直，则a的值为()A．B．C．D．4.已知0＜k＜4时直线L：kx－2y－2k＋8＝0和直线M：2x＋k2y－4k2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则这个四边形面积取最小值时k的值为()A． 2B．C．D．5.两条直线mx＋2ny＋3＝0与2nx－my＋4＝0(mn≠0)的位置关系是()A．平行B．垂直C．相交且不垂直D．不确定，与m、n的取值有关6.已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是() A．－2B．－4C．－6D．－87.已知点A(1,2)，B(2,1)，则线段AB的垂直平分线的方程是()A．x＋y－3＝0B．x－y＋1＝0C．x－y＝0D．x＋y＝08.过点(－1,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为()A． 2x＋y－1＝0B． 2x＋y－5＝0C．x＋2y－5＝0D．x－2y＋7＝09.已知圆C：x2＋(y－3)2＝4，过A(－1,0)的直线l与圆C相交于P，Q两点，若|PQ|＝2，则直线l的方程为()A．x＝－1或4x＋3y－4＝0B．x＝－1或4x－3y＋4＝0C．x＝1或4x－3y＋4＝0D．x＝1或4x＋3y－4＝010.直线7x＋3y－21＝0上到两坐标轴距离相等的点的个数为()A． 3B． 2C． 1D． 011.已知圆M方程：x2＋(y＋1)2＝4，圆N的圆心(2,1)，若圆M与圆N交于A，B两点，且|AB|＝2，则圆N的方程为()A． (x－2)2＋(y－1)2＝4B． (x－2)2＋(y－1)2＝20C． (x－2)2＋(y－1)2＝12D． (x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝2012.下列直线中倾斜角为45°的是()A．y＝xB．y＝－xC．x＝1D．y＝1二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分)13.两平行直线x＋3y－5＝0与x＋3y－10＝0的距离是________．14.已知直线l过点A(－3,4)，倾斜角为60°，则直线l的方程为________．15.已知直线l1：ax＋y＋2a＝0，直线l2：ax－y＋3a＝0.若l1⊥l2，则a＝________.16.直线l1、l2的斜率k1、k2是关于k的方程2k2－3k－b＝0的两根，若l1∥l2，则b＝________.三、解答题(共6小题,每小题12.0分,共72分)17.已知点A(3,6)，在y轴上的点P与点A的距离等于，求点P的坐标．18.求函数y＝|－|的最大值与最小值，并求取最大值或最小值时x的值．19.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，|CF|＝|AB|＝2|CE|，|AB|∶|AD|∶|AA1|＝1∶2∶4.试建立适当的坐标系，写出E，F点的坐标．20.已知坐标平面上点M(x，y)与两个定点M1(26,1)，M2(2,1)的距离之比等于5.(1)求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；(2)记(1)中的轨迹为C，过点A(－2,3)的直线l被C所截得的线段的长为8，求直线l的方程．21.已知圆C1：(x＋1)2＋(y＋4)2＝25，圆C2：(x－2)2＋(y－2)2＝10，两圆的交点为A，B两点，求：(1)直线AB的方程；(2)A，B两点间的距离|AB|；(3)直线AB的垂直平分线的方程．22.已知圆心为C的圆经过点A(1,6)和B(0，－1)，圆心C在直线l：x－3y＋2＝0上，求圆心为C 的圆的标准方程．答案解析1.【答案】D【解析】∵直线经过点D(0,2)，且斜率为2，∴直线的点斜率式方程为y－2＝2(x－0)，故选D.2.【答案】C【解析】x2＋y2－6x＋16y－48＝0⇔(x－3)2＋(y＋8)2＝121，x2＋y2＋4x－8y－44＝0⇔(x＋2)2＋(y －4)2＝64，两圆圆心距为＝13,11－8＜13＜11＋8，所以两圆相交，公切线有2条．3.【答案】A【解析】∵ax＋y＋1＝0与3x－2y＋1＝0垂直，∴3a－2＝0，∴a＝.故选A.4.【答案】D【解析】如图所示：直线L：kx－2y－2k＋8＝0，即k(x－2)－2y＋8＝0，过定点B(2,4)，与y轴的交点C(0,4－k)，直线M：2x＋k2y－4k2－4＝0，即2x＋k2(y－4)－4＝0，过定点(2,4)，与x轴的交点A(2k2＋2,0)，由题意，四边形的面积等于三角形ABD的面积和梯形OCBD的面积之和，∴所求四边形的面积为×4×(2k2＋2－2)＋×(4－k＋4)×2＝4k2－k＋8，∴当k＝时，所求四边形的面积最小，故选D.5.【答案】B【解析】两条直线mx＋2ny＋3＝0与2nx－my＋4＝0的斜率分别为－、，它们的斜率互为负倒数，故这两条直线垂直，故选B.6.【答案】B【解析】圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，圆心C(－1,1)，半径长r满足r2＝2－a，则圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离d＝＝，所以r2＝4＋2＝2－a⇒a＝－4.7.【答案】C【解析】设线段AB的垂直平分线为l，∵点A(1,2)，B(2,1)，∴AB的斜率k＝＝－1，AB的中点坐标为(，)，即(，)．∵直线l经过AB的中点与AB垂直，∴直线l的斜率k 1＝＝1，可得l的方程为y－＝1×(x－)，化简得x－y＝0.即线段AB的垂直平分线的方程是x－y＝0.故选C.8.【答案】A【解析】根据题意，易得直线x－2y＋3＝0的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为－2，又知其过点(－1,3)，由点斜式得所求直线方程为2x＋y－1＝0.故选A.9.【答案】B【解析】当直线l与x轴垂直时，易知x＝－1符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，过圆C作CM⊥PQ，垂足为M，由于|PQ|＝2，可求得|CM|＝1.由|CM|＝＝1，解得k＝，此时直线l的方程为y＝(x＋1)．故所求直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋4＝0.故选B.10.【答案】B【解析】设直线7x＋3y－21＝0上到两坐标轴距离相等的点为P(x0，y0)，依题意有|x0|＝|y0|，即y0＝±x0，又7x0＋3y0－21＝0，显然y0＝x0与7x0＋3y0－21＝0和y0＝－x0与7x0＋3y0－21＝0都有解，故直线上有两个点适合题意．11.【答案】D【解析】设圆N的方程为2＋(y－1)2＝R2，则圆M与圆N的公共弦所在的直线方程为4x＋4y－8＋R2＝0，圆心M(0，－1)到公共弦的距离d＝，又d2＋()2＝4，解得R2＝4或R2＝20，故选D.12.【答案】A【解析】由于直线的倾斜角为45°，故直线斜率为1，结合所给的选项，只有A满足条件，故选A.13.【答案】【解析】根据题意，得两平行直线x＋3y－5＝0与x＋3y－10＝0的距离为d＝＝.14.【答案】y－4＝(x＋3)【解析】由于直线的倾斜角为60°，故斜率为tan 60°＝，由点斜式求得直线l的方程为y－4＝(x＋3)．15.【答案】±1【解析】∵两条直线的斜率都存在，且l1⊥l2，∴kl1·kl2＝－1，即(－a)·a＝－1，∴a＝±1.16.【答案】－【解析】由根与系数的关系可知k 1＋k2＝，k1·k2＝－，则当l 1∥l2时，k1＝k2＝，解得b＝－2k 1·k2＝－.17.【答案】设点P的坐标为(0，y)，由|PA|＝，得，解得y＝0或y＝12.所以点P的坐标为(0,0)或(0,12)．【解析】18.【答案】将已知条件变形为y＝|－|＝|－|.故设M(x,0)，A(1,2)，B(2,1)，∴原函数变为y＝||MA|－|MB||.则上式的几何意义为：x轴上的点M(x,0)到定点A(1,2)与B(2,1)的距离的差的绝对值，由图可知，当|AM|＝|BM|时，y取最小值0.即＝，解得x＝0，此时点M在坐标原点，y最小＝0.又由三角形性质可知||MA|－|MB||≤|AB|，即当||MA|－|MB||＝|AB|，也即当A、B、M三点共线时，y取最大值．由已知得AB的方程为y－2＝－(x－1)，即y＝－x＋3，令y＝0得x＝3，∴当x＝3时，y最大＝|AB|＝＝.【解析】19.【答案】以A为坐标原点，射线AB，AD，AA1的方向分别为正方向建立空间直角坐标系Axyz，如图所示．分别设|AB|＝1，|AD|＝2，|AA1|＝4，则|CF|＝|AB|＝1，|CE|＝|AB|＝，所以|BE|＝|BC|－|CE|＝2－＝.所以点E的坐标为(1，，0)，点F的坐标为(1,2,1)．【解析】20.【答案】(1)由题意坐标平面上点M(x，y)与两个定点M1(26,1)，M2(2,1)的距离之比等于5，得＝5⇒＝5，化简得x2＋y2－2x－2y－23＝0.即(x－1)2＋(y－1)2＝25，∴点M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－1)2＝25，所求轨迹是以(1,1)为圆心，以5为半径的圆．(2)当直线l的斜率不存在时，过点A(－2,3)的直线l：x＝－2，此时过点A(－2,3)的直线l被圆所截得的线段的长为2＝8，∴l：x＝－2符合题意．当直线l的斜率存在时，设过点A(－2,3)的直线l的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，圆心到l的距离d＝，由题意，得()2＋42＝52，解得k＝.∴直线l的方程为x－y＋＝0，即5x－12y＋46＝0.综上，直线l的方程为x＝－2或5x－12y＋46＝0.【解析】21.【答案】两圆方程联立，解方程组，可得A(3，－1)，B(－1,1)．(1)直线AB的方程为y＋1＝(x－3)，即x＋2y－1＝0.(2)A，B两点间的距离|AB|＝＝2.(3)AB的中点坐标为(1,0)，直线AB的斜率为－，∴直线AB的垂直平分线的方程为2x－y－2＝0.【解析】22.【答案】设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)．由题设，得解得所以所求圆的标准方程是(x－4)2＋(y－2)2＝25.【解析】。
直线与圆的方程单元测试题含答案
掌握直线与圆的位置关系判断是解决直线与圆相关问题的基础，对于提高解题能力和数学思 维能力有很大的帮助。
定义：直线方程的基本形式是y=kx+b，其中k是斜率，b是截距。
斜率：表示直线与x轴的夹角，当k>0时，夹角为锐角；当k<0时，夹角为钝角。 截距：表示直线与y轴的交点，当b>0时，交点在正半轴上；当b<0时，交点在负半轴 上。
圆的一般方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，其中D、E、F为常数
圆的参数方程：x=a+r*cosθ，y=b+r*sinθ，其中(a,b)为圆心，r为半径，θ为参数
圆的切线方程：在已知圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0上，切线的方程可表示为：D*x*x0+E*y*y0+F*x+E*y+C=0， 其中(x0,y0)为切点
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圆的直径的方程：$(x-\frac{x1+x2}{2})^2+(y\frac{y1+y2}{2})^2=(\frac{\sqrt{(x1-x2)^2+(y1-y2)^2}}{2})^2$，其中 $(x1,y1)$和$(x2,y2)$为直径的两个端点
联立方程法：通过将直线方程与圆方程联立，消元求解交点坐标
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02.
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定义：表示直线上的点与固定点之间的距离始终等于一个常数 形式：Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A和B不同时为0 分类：一般式、点斜式、斜截式、两点式和截距式 适用范围：适用于所有直线方程，是直线方程的基本形式
直线与圆单元测试题(含答案)
《直线与圆》单元测试题（1）班级 学号 姓名一、选择题：1. 直线20x y --=的倾斜角为( )A ．30︒B ．45︒ C. 60︒ D. 90︒2.将直线3y x =绕原点逆时针旋转90︒，再向右平移1个单位，所取得的直线为（ ） A.1133y x =-+ B. 113y x =-+ C.33y x =- D.31y x =+30y m -+=与圆22220x y x +--=相切，那么实数m 等于（ ）A ．-B ．- D ．或4．过点(0,1)的直线与圆224x y +=相交于A ，B 两点，那么AB 的最小值为（ ）A ．2B ．C ．3D ．5.假设圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线034=-y x 和x 轴都相切，那么该圆的标准 方程是（ ）A. 1)37()3(22=-+-y x B. 1)1()2(22=-+-y x C. 1)3()1(22=-+-y x D. 1)1()23(22=-+-y x6.已知圆1C ：2(1)x ++2(1)y -=1，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，那么圆2C 的方程为（ ）A.2(2)x ++2(2)y -=1 B.2(2)x -+2(2)y +=1 C.2(2)x ++2(2)y +=1 D.2(2)x -+2(2)y -=17.已知圆C 与直线0=-y x 及04=--y x 都相切，圆心在直线0=+y x 上，那么圆C 的方程为（ ）A.22(1)(1)2x y ++-= B. 22(1)(1)2x y -++= C. 22(1)(1)2x y -+-= D. 22(1)(1)2x y +++=8．设A 在x 轴上，它到点P 的距离等于到点(0,1,1)Q -的距离的两倍，那么A 点的坐标是( )A.（1，0，0）和（ -1，0，0）B.（2，0，0）和（-2，0，0）C.（12，0，0）和（12-，0，0） D.（，0，00，0）9．直线012=--y x 被圆2)1(22=+-y x 所截得的弦长为( )B D10.假设直线y x b =+与曲线3y =有公共点，那么b 的取值范围是（ ）A.[1-1+1-，3] C.[-1，1+1-3] 二、填空题：11.设假设圆422=+y x 与圆)0(06222>=-++a ay y x 的公共弦长为32，那么a =______.12.已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线1:-=x y l 被该圆所截得的弦长为C 的标准方程为_________ ___．13．已知圆C 的圆心与点(21)P -，关于直线1y x =+对称．直线34110x y +-=与圆C 相交于A B ，两点，且6AB =，那么圆C 的方程为 ． 14．已知直线2310x y +-=与直线40x ay += 平行，那么a = ．15.直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为22，那么m 的 倾斜角能够是①15；②30；③45；④60；⑤75. 其中正确答案的序号是 .三、解答题：16(1).已知圆C 通过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，求圆C 的方程.．(2)求与圆014222=++-+y x y x 同心，且与直线012=+-y x 相切的圆的方程.17.已知圆22:(3)(4)4C x y -+-=，（Ⅰ）假设直线1l 过定点A (1，0)，且与圆C 相切，求1l 的方程；(Ⅱ) 假设圆D 的半径为3，圆心在直线2l ：20x y +-=上，且与圆C 外切，求圆D 的方程．18.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝9. (1)判定两圆的位置关系;(2)求直线m 的方程，使直线m 被圆C 1截得的弦长为4，与圆C 2截得的弦长是6.19.已知圆C ：,25)2()1(22=-+-y x 直线)(47)1()12(:R m m y m x m l ∈+=+++ （1）证明：不论m 取何实数，直线l 与圆C 恒相交；（2）求直线l 被圆C 所截得的弦长的最小值及现在直线l 的方程；20．已知以点C ⎝⎛⎭⎪⎫t ，2t (t ∈R，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点．(1)求证：△AOB 的面积为定值；(2)设直线2x ＋y －4＝0与圆C 交于点M 、N ，假设OM ＝ON ，求圆C 的方程；21.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆2212320x y x +-+= 的圆心为Q ，过点(02)P ，且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A B ，．（Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）以OA,OB 为邻边作平行四边形OADB,是不是存在常数k ，使得直线OD 与PQ 平行若是存在，求k 值；若是不存在，请说明理由．参考答案：一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B AABBBBADD二、填空题11. _1__. 12.4)3(22=+-y x ． 13．18)1(22=++y x ． 14. 6 15. ①⑤ .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解许诺写出文字说明.证明进程或演算步骤） 16.解：(1)(x －2)2＋y 2＝10 ;(2)5)2()1(22=++-y x ;17.（Ⅰ）①假设直线1l 的斜率不存在，即直线是1x =，符合题意．②若直线1l 斜率存在，设直线1l 为(1)y k x =-，即0kx y k --=． 由题意知，圆心（3，4）到已知直线1l 的距离等于半径2，即2= 解之得 34k =．所求直线方程是1x =，3430x y --=． （Ⅱ）依题意设(,2)D a a -，又已知圆的圆心(3,4),2C r =， 由两圆外切，可知5CD =∴可知5， 解得 2,3-==a a 或， ∴ (3,1)D -或(2,4)D －， ∴ 所求圆的方程为 9)4()29)1()32222=-++=++-y x y x 或（（． 18.解 (1)圆C 1的圆心C 1(－3,1)，半径r 1＝2；圆C 2的圆心C 2(4,5)，半径r 2＝2.∴C 1C 2＝72＋42＝65>r 1＋r 2， ∴两圆相离；（2）由题意得，所求的直线过两圆的圆心，即为连心线所在直线，易患连心线所在直线方程为：4x －7y ＋19＝0.19.解:（1）证明：直线)(47)1()12(:R m m y m x m l ∈+=+++可化为：04)72(=-++-+y x y x m ，由此明白直线必通过直线072=-+y x 与04=-+y x 的交点，解得：⎩⎨⎧==13y x ，那么两直线的交点为A （3，1），而此点在圆的内部，故不论m 为任何实数，直线l 与圆C 恒相交。
直线与圆单元测试题及答案
直线与圆单元测试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 直线与圆相切时，直线与圆心的距离等于（）。
A. 圆的半径B. 圆的直径C. 圆的周长D. 圆的面积2. 圆的方程为 \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \)，其中 \( a \) 和\( b \) 分别代表（）。
A. 圆的半径和直径B. 圆的中心坐标C. 圆的周长和面积D. 圆的直径和面积3. 如果直线 \( y = mx + c \) 与圆 \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \) 相切，则直线到圆心的距离是（）。
A. \( \sqrt{m^2 + 1} \cdot r \)B. \( \frac{|ma - mb + c|}{\sqrt{m^2 + 1}} \)C. \( \frac{|ma + mb + c|}{\sqrt{m^2 + 1}} \)D. \( \frac{|ma - mb - c|}{\sqrt{m^2 + 1}} \)4. 直线 \( x = 3 \) 与圆 \( (x-2)^2 + (y-1)^2 = 5 \) 的位置关系是（）。
A. 相切B. 相交C. 相离D. 无法确定5. 圆心在原点，半径为 \( \sqrt{5} \) 的圆的方程是（）。
A. \( x^2 + y^2 = 5 \)B. \( x^2 + y^2 = 3 \)C. \( x^2 + y^2 = 4 \)D. \( x^2 + y^2 = 2 \)二、填空题（每题3分，共15分）6. 若直线 \( y = kx + 1 \) 与圆 \( x^2 + y^2 = 9 \) 相切，则\( k \) 的值为________。
7. 圆 \( x^2 + y^2 - 6x - 8y + 16 = 0 \) 的圆心坐标是________。
8. 若直线 \( x - 2y + 3 = 0 \) 与圆 \( x^2 + y^2 = 25 \) 相切，则圆心到直线的距离是________。
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1.【2016高考新课标2理数】圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=（ ）（A ）43- （B ）34- （C（D ）2 【答案】A 【解析】试题分析：圆的方程可化为22(x 1)(y 4)4-+-=，所以圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得：d ，解得43a =-，故选A ．考点： 圆的方程、点到直线的距离公式. 【名师点睛】直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d 与半径长r 的大小关系来判断． 若d >r ，则直线与圆相离； 若d ＝r ，则直线与圆相切； 若d <r ，则直线与圆相交．2.【2015高考山东，理9】一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-=错误！未找到引用源。
相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）（A ）53-或35- （B ）32- 错误！未找到引用源。
或23- 错误！未找到引用源。
（C ）54-或45- （D ）43-或34-【答案】D【解析】由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点()2,3- ，设反射光线所在直线的斜率为k ，则反身光线所在直线方程为：()32y k x +=- ，即：230kx y k ---=. 又因为光线与圆相切，()()22321x y ++-=,整理：21225120k k ++= ，解得：43k =-，或34k =- ,故选D ．3. 【2015高考广东，理5】平行于直线012=++y x 且与圆522=+y x 相切的直线的方程是（ ）A ．052=+-y x 或052=--y x B. 052=++y x 或052=-+y x C. 052=+-y x 或052=--y x D. 052=++y x 或052=-+y x 【答案】D ．【解析】依题可设所求切线方程为20x y c ++=5c =±，所以所求切线的直线方程为250x y ++=或250x y +-=，故选D ． 【考点定位】直线与圆的位置关系，直线的方程．【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，利用点到直线距离求直线的方程及转化与化归思想的应用和运算求解能力，根据题意可设所求直线方程为20x y c ++=，然后可用代数方法即联立直线与圆的方程有且只有一解求得，也可以利用几何法转化为圆心与直线的距离等于半径求得，属于容易题．4.【2015高考新课标2，理7】过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =( )A ．26B ．8C ．46D ．10 【答案】C【解析】由已知得321143AB k -==--，27341CB k +==--，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC ∆为直角三角形，其外接圆圆心为(1,2)-，半径为5，所以外接圆方程为22(1)(2)25x y -++=，令0x =，得2y =±，所以MN =，故选C ．【考点定位】圆的方程．【名师点睛】本题考查三角形的外接圆方程，要注意边之间斜率的关系，得出ABC ∆是直角三角形，可以简洁快速地求出外接圆方程，进而求弦MN 的长，属于中档题． 5. 【2015高考重庆，理8】已知直线l ：x +ay -1=0（a ∈R ）是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴.过点A （-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |= （ ）A 、2B 、C 、6D 、 【答案】C【解析】圆C 标准方程为22(2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)C ，半径为2r =，因此2110a +⨯-=，1a =-，即(4,1)A --，6==.选C .【考点定位】直线与圆的位置关系.6. 【2015江苏高考，10】在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为【答案】22(1) 2.x y -+===≤≤当1m =时取等号，所以半径最大为r =22(1) 2.x y -+= 【考点定位】直线与圆位置关系【名师点晴】利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题．当半径表示为关于m 的函数后，利用基本不等式求最值，需注意一正二定三相等的条件. 7. 【2015高考陕西，理15】设曲线xy e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为 ． 【答案】()1,1【解析】因为xy e =，所以xy e '=，所以曲线xy e =在点()0,1处的切线的斜率0101x k y e ='===，设P 的坐标为()00,x y （00x >），则001y x =，因为1y x =，所以21y x '=-，所以曲线1y x=在点P 处的切线的斜率02201x x k y x ='==-，因为121k k ⋅=-，所以2011x -=-，即21x =，解得01x =±，因为00x >，所以01x =，所以01y =，即P 的坐标是()1,1，所以答案应填：()1,1．8.【2017江苏，13】在平面直角坐标系xOy 中,(12,0),(0,6),A B -点P 在圆2250O x y +=：上,若20,PA PB ⋅≤则点P 的横坐标的取值范围是【答案】[-【解析】设(,)P x y ，由20PA PB ⋅≤ ，易得250x y -+≤，由2225050x y x y -+=⎧⎨+=⎩，可得5:5x A y =-⎧⎨=-⎩或1:7x B y =⎧⎨=⎩，由250x y -+≤得P 点在圆左边弧 AB 上,结合限制条件x -≤≤ ，可得点P横坐标的取值范围为[-.【考点】直线与圆，线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.9.【2015高考湖北，理14】如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上方）， 且2AB =． （Ⅰ）圆C 的标准．．方程为 ；（Ⅱ）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论： ①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=；③NB MA NAMB+=其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）【答案】（Ⅰ）22(1)(2x y -+-=；（Ⅱ）①②③【解析】（Ⅰ）依题意，设),1(r C （r 为圆的半径），因为2||=AB ，所以21122=+=r ，所以圆心)2,1(C ，故圆的标准方程为2)2()1(22=-+-y x .（Ⅱ）联立方程组⎩⎨⎧=-+-=2)2()1(022y x x ，解得⎩⎨⎧-==120y x 或⎩⎨⎧+==120y x ，因为B 在A 的上方，所以)12,0(-A ，)12,0(+B ，令直线MN 的方程为0=x ，此时M )1,0(-M ，)1,0(N ， 所以2||=MA ，22||+=MB ，22||-=NA ，2||=NB因为221222||||-=-=NB NA ，12222||||-=+=MB MA ，所以NA MA NB MB =.所以11)2NB MA NAMB-==--=，11NB MA NAMB+==-++=，正确结论的序号是①②③.10.【2016高考新课标3理数】已知直线l ：30mx y m ++-=错误！未找到引用源。
与圆2212x y +=错误！未找到引用源。
交于,A B 两点，过,A B分别做l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，若AB =错误！未找到引用源。
，则||CD =错误！未找到引用源。
__________________. 【答案】4 【解析】试题分析：因为||AB =，且圆的半径为，所以圆心(0,0)到直线30mx y m ++=的距离为3=，则由3=，解得m =，代入直线l 的方程，得y x =+，所以直线l 的倾斜角为30︒，由平面几何知识知在梯形ABDC 中，||||4cos30AB CD ==︒．考点：直线与圆的位置关系．11.【2016高考上海理数】已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离___________.11.【2017课标3，理20】已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 与A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆. （1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点()4,2P -，求直线l 与圆M 的方程. 【答案】(1)证明略；(2)直线l 的方程为20x y --= ，圆M 的方程为()()223110x y -+-= .或直线l 的方程为240x y +-= ，圆M 的方程为2291854216x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .【解析】试题分析：(1)设出点的坐标，联立直线与圆的方程，由斜率之积为1- 可得OA OB ⊥，即得结论；(2)结合(1)的结论求得实数m 的值，分类讨论即可求得直线l 的方程和圆M 的方程. 试题解析：(1)设()()1122,,,A x y B x y ，:2l x my =+ . 由22,2x my y x=+⎧⎨=⎩ 可得2240y my --= ，则124y y = . 又221212,22y y x x ==，故()2121244y y x x == . 因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为1212414y y x x -⋅==- ，所以OA OB ⊥ . 故坐标原点O 在圆M 上.(2)由(1)可得()21212122,424y y m x x m y y m +=+=++=+ .故圆心M 的坐标为()22,m m + ，圆M 的半径r = .由于圆M 过点()4,2P - ，因此AP BP ⋅=，故()()()()121244220x x y y --+++= ，即()()1212121242200x x x x y y y y ++++++= . 由(1)可得12124,4y y x x =-= .所以2210m m --= ，解得1m = 或12m =-. 当1m = 时，直线l 的方程为20x y --= ，圆心M 的坐标为()3,1 ，圆M 的半径为，圆M 的方程为()()223110x y -+-= .当12m =-时，直线l 的方程为240x y +-= ，圆心M 的坐标为91,42⎛⎫- ⎪⎝⎭，圆M 的，圆M 的方程为2291854216x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.12.【2017课标1，理20】已知椭圆C ：2222=1x y a b+（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1），P 4（1）中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点. 【解析】试题解析：（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点. 又由222211134a b a b+>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上. 因此222111314b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩.故C 的方程为2214x y +=.（2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知0t ≠，且||2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t，（t，.则121k k +==-，得2t =，不符合题设.从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）.将y kx m =+代入2214x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=由题设可知22=16(41)0k m ∆-+>.设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841kmk -+，x 1x 2=224441m k -+.而12121211y y k k x x --+=+ 121211kx m kx m x x +-+-=+ 1212122(1)()kx x m x x x x +-+=.由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=.即222448(21)(1)04141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++. 解得12m k +=-.当且仅当1m >-时，0∆>，欲使l ：12m y x m +=-+，即11(2)2m y x ++=--， 所以l 过定点（2，1-）【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系.13.【2015高考广东，理20】已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ．（1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ，使得直线:(4)L y k x =-与曲线C 只有一个交点：若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）()3,0；（2）223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）33,44k ⎡⎧⎫∈-⎨⎬⎢⎩⎭⎣ ． 【解析】（1）由22650x y x +-+=得()2234x y -+=， ∴ 圆1C 的圆心坐标为()3,0； （2）设(),M x y ，则∵ 点M 为弦AB 中点即1C M AB ⊥， ∴ 11C M AB k k ⋅=-即13y yx x⋅=--， ∴ 线段AB 的中点M 的轨迹的方程为223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）由（2）知点M 的轨迹是以3,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心32r =为半径的部分圆弧EF （如下图所示，不包括两端点），且53E ⎛ ⎝，5,3F ⎛ ⎝，又直线L ：()4y k x =-过定点()4,0D ，当直线L 与圆C 相切时，由32得34k =±，又0543DE DFk k ⎛- ⎝⎭=-=-=-，结合上图可知当33,44k ⎡⎧⎫∈-⎨⎬⎢⎩⎭⎣ 时，直线L ：()4y k x =-与曲线C 只有一个交点．14.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆22:1214600M x y x y +--+=及其上一点(2,4)A（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =,求直线l 的方程；（3）设点(,0)T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,TA TP TQ += ,求实数t 的取值范围。