人教版高中数学选择性必修第一册3.1.1第一课时椭圆及其标准方程 课件(共53张PPT)
人教A版高中数学选择性必修第一册精品课件 第3章 圆锥曲线的方程 3.1.1 椭圆及其标准方程
解:由已知,两定圆的圆心和半径分别为O1(-3,0),r1=1,O2(3,0),r2=9.
设动圆圆心为M(x,y),半径为R,则由题设有|MO1|=1+R,|MO2|=9-R,
∴|MO1|+|MO2|=10(10>|O1O2|),
∴M在以O1,O2为焦点的椭圆上,且a=5,c=3,
∴b2=a2-c2=25-9=16.
答案:C
二、椭圆的标准方程
1.椭圆的标准方程
焦点的位置
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
标准方程
x2
a2
y2
a2
焦点
F1(-c,0),F2(c,0)
焦距
a,b,c 的关系
|F1F2|=2c
c2=a2-b2
+
y2
=1(a>b>0)
b2
+
x2
=1(a>b>0)
b2
F1(0,-c),F2(0,c)
2.已知椭圆的焦点坐标为(-1,0)和(1,0),点P(2,0)在椭圆上,则椭圆的方程
第三章
3.1
3.1.1 椭圆及其标准方程
内
容
索
引
01
自主预习 新知导学
02
合作探究 释疑解惑
自主预习 新知导学
一、椭圆的定义
1.椭圆的定义
焦点
平面内与两个定点 F1,F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点
的轨迹叫做椭圆
两个定点叫做椭圆的焦点
焦距
两焦点间的距离叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距
|PF1|·|PF2|的值,最后利用三角形的面积公式求出△1 2 .
解:由椭圆方程知,a =25,b
3.1.1椭圆及其标准方程ppt课件新教材人教A版选择性必修第一册
半焦距
离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为______．
问题式预习
3.1.1 椭圆及其标准方程
任务型课堂
课后素养评价
[微训练]
1．到两定点F1(－2，0)和F2(2，0)的距离之和为4的点的轨迹是(
A．椭圆
B．线段
C．圆
D．直线
B
)
解析：因为|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|＝4，所以点M的轨迹是线段
圆的标准方程为(
)
2
A．
4
2
C．
4
A
+
2
＝1
3
2
B． ＋y2＝1
4
+
2
＝1
3
2
D． ＋x2＝1
4
解析：由题意知c＝1.因为椭圆的焦点在x轴上，所以，可设椭圆
2
的标准方程为 2
2
+ 2 ＝1(a>b>0)．
4
0
又点P(2，0)在椭圆上，所以 2 + 2 ＝1，所以a2＝4，b2＝a2－c2＝3.
)
3
A．2
B．4
C．8
D．
2
2
2
B 解析：由椭圆的方程 + ＝1，得a＝5.
25
9
由椭圆定义得|MF1|＋|MF2|＝2a＝2×5＝10.
又|MF1|＝2，所以|MF2|＝10－2＝8.
因为N为MF1的中点，O为F1F2的中点，所以线段ON为△MF1F2的中
1
位线．所以|ON|＝
2
1
2 ＝ ×8＝4.
问题式预习
3.1.1 椭圆及其标准方程
3-1-1椭圆及其标准方程课件-人教A版高中数学选择性必修第一册
P到另一个焦点的距离为
.
练习
贝
,c=3,
故椭圆的标准方程
例题
例1.已知椭圆的两焦点为F₁ (2,0)、F₂ (-2,0),并且椭圆过
点
,求椭圆的标准方程。
解：因为椭圆焦点在x轴上，可设其方程为 由椭圆得定义可知c=2
所以a=√ 10 所以b²=a²-c²=10-4=6 故椭圆得标准方程为
思考：你还能用其他 方法求它的标准方程 吗?试比较不同方法 的特点。
所以
所以椭圆的方程为5x²+4y²=1
故椭圆得标准方程为
归纳
求椭圆标准方程的方法 当焦点位置不确定时，
可设椭圆方程为mx ²+ny²=1(m>0,n>0,m≠n). 因为它包括焦点在x轴上(m<n)或焦点在y轴上(m>n)两类 情况，所以可以避免分类讨论，从而到达了简化运算的 目的 .
例题
例2 在圆x²+y²=4 上任取一点P, 过 点P向x轴作垂 线段PD,D 为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD中点
相交于点M, 且它们的斜率之积是 ,求点M的轨
迹方程。
解：设点M(x,y),因为点A(-5,0),B(5,0) 所以直线AM得斜率为
直线BM 得斜率为
所以
所以点M 得轨迹是除去(-5,0),(5,0)两点得椭圆
小结
标准方程
不同点
图形
V x
焦点坐标
共同点
定义
平面内与两定点F₁ 、F₂的距离的和等于常 数(大于|F₁F₂ I)的点的轨迹叫做椭圆.
新知
焦点在x 轴上，坐标为F(-c,0),F₂(c,0)
椭圆的标准方程
即
2
思考：如 何 推 导 焦 点 在y轴 上的椭圆的标准方程呢?
选择性必修第一册3.1.1椭圆及其标准方程课件(人教版)
当|MF1| |MF2| |F1F2|时，动点M没有轨迹 .
下面我们根据椭圆的几何特征, 选择适当的坐标系, 建立椭圆的方程.
下面我们根据椭圆的几何特征，选择适当的坐标系，推导椭圆方程，并通过方
程研究椭圆的性质.
如图示, 建立平面直角坐标系.设M(x,y)是椭圆上任一点, 椭圆的焦距为2c(c>0), M与
解得m 1 ,n 1 , 6 10
∴所求椭圆方程为 x2 y2 1. 6 10
椭圆方程的常用设法：
1.
若椭圆的焦点在x轴上,可设椭圆方程为
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0).
2.
若椭圆的焦点在y轴上,可设椭圆方程为
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0).
3. 若椭圆的焦点位置不确定时,可设椭圆方程为
y2 x2 a2 b2 1 (a b 0)
(焦点在y轴上)
椭圆的标准方程:
定义 焦点位置
图形
| MF1 | | MF2 | 2a 2c | F1F2 |
焦点在x轴上
焦点在y轴上
y M
y M •F2
F•1
O
F• 2
x
O
x
•F1
方程
共同点 特 点 不同点
x2 y2 a2 b2 1 (a b 0)
O1 O O2
故动圆圆心的轨迹方程为 x2 y2 1. 36 27
椭圆的参数方程： 椭圆的标准方程
椭圆的参数方程
x2 y2 a2 b2 1(a b 0)
x y
a b
cos sin
(
为参数)
说明：椭圆的参数方程是椭圆方程的另外一种表现情势，它的优越 性在于将曲线上点的横, 纵坐标 (两个变量) 用同一个参数θ表示，这 样就能将椭圆上点的很多问题转化为函数问题解决，很好地将几何 问题代数化.
高中数学选择性必修一(人教版)《3.1.1椭圆及其标准方程》课件
2．已知椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)，F1，F2 是它的焦点．过 F1 的直 线 AB 与椭圆交于 A，B 两点，求△ABF2 的周长．
解：如图，∵|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a， ∴△ABF2 的周长＝|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|BF1|＋ |AF2|＋|BF2|＝4a.
即 25＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|.
①
由椭圆的定义得 10＝|PF1|＋|PF2|，
所以 100＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|.2|＝75，
所以|PF1|·|PF2|＝25，
所以
S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|·sin
()
A．10
B．8
C．5
D．4
解析：∵a＝5，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝10. 答案：A 3．已知椭圆中 a＝5, c＝ 5， 焦点在 x 轴上，则椭圆的标准方 程为_________．
答案：2x52＋2y02 ＝1
题型一 椭圆的定义及应用
[学透用活]
[典例 1] (1)下列说法正确的是
()
[解] (1)由于椭圆的焦点在 x 轴上， ∴设它的标准方程为xa22＋by22＝1(a＞b＞0)． ∴a＝5，c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9. 故所求椭圆的标准方程为2x52 ＋y92＝1. (2)由于椭圆的焦点在 y 轴上， ∴设它的标准方程为ay22＋xb22＝1(a＞b＞0)． ∴a＝2，b＝1. 故所求椭圆的标准方程为y42＋x2＝1.
()
A．(5,0)，(－5,0)
B．(0,5)，(0，－5)
C．(0,12)，(0，－12)
人教A版高中数学选择性必修一3.1.1椭圆及其标准方程课件
标法研究直线与圆的基础上，猜想本章研究的大致思路与构架吗？
明确：采用坐标法研究圆锥曲线的最大好处是可以程序化地、精确
地计算.
本章研究的基本思路：现实背景一曲线的概念一曲线的方程一
曲线的性质一实际应用.
二、教学过程—归纳抽象，获得概念
引导语：椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生
结论：当截面与圆锥的轴所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别
是椭圆、抛物线和双曲线。我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线．
通过互联网阅读圆锥曲线的形成与发展
一、教学过程—立足全章，新知引入
问题2：历史上，古希腊人曾用纯几何的方法研究圆锥曲线．17世纪
后，人们开始用坐标法研究圆锥曲线．你能猜测这些变化的大致原
2 − 2 的线段吗？
由图3.1-3可知， 1 = 2 = , 1 = 2 = ，
令 = = 2 − 2
那么方程⑤就是
2
2
( > >0) ⑥
+ =1
2
2
2
= 2 − 2
思考3：为什么2 − 2 要用 2 表示？
简洁，美观，对称，和谐
设点M与焦点 1 ，2 的距离的和等于2.
(2)点满足的几何条件.由椭圆的定义可知，
椭圆可看作点集 = | 1 + 2 = 2 .
根据建立曲线方程的五个步骤，推导椭圆的标准方程：
(3)几何关系代数化.因为 1 = ( + )2 + 2 ,
2 = ( − )2 + 2 ,
将方程④两边同除以2 (2
人教版数学选择性必修一3.1.1椭圆及其标准方程课件
B．20
C．2 41
D．4 41
∵a>5，∴椭圆的焦点在x轴上．又c＝4，
∴a2－25＝42，∴a＝ 41.由椭圆的定义知△ABF2的周长＝|BA|＋|F2B|
＋|F2A|＝|BF1|＋|BF2|＋|AF1|＋|AF2|＝4a＝4 41.
2
(2)如图所示，已知椭圆的方程为
4
2
＋
3
＝1，若点P在第二象限，
①
由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，
即|PF2|＝4－|PF1|.
6
将②代入①解得|PF1|＝ .
1
2
5
②
1
2
6
5
所以S△PF F ＝ |PF1|·|F1F2|·sin 120°＝ × ×2×
1 2
3 3
即△PF1F2的面积是 .
5
3
3 3
＝
，
2
5
椭圆定义的应用技能
技
法
点
拨
①椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝
动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，
求C的方程．
由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；
圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.
设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.
动圆P与圆M外切并且与圆N内切，
所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.
由椭圆定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，
∴b2＝2，∴a2＝8.
又∵椭圆的焦点在x轴上，
2
∴椭圆的标准方程为
8
＋
2
2
＝1.
高二数学人教A版选择性必修第一册课件：3.1.1椭圆及其标准方程
解析：若 0 m 4 ，则 m 3 4 ，得 m 7 (舍去)；
若 m 4 ，则 m 3 2 m ，解得 mm 9 ，所以焦点坐标为 0, 5 .
x2
4. 设 F1 ，F2 分别为椭圆 y 2 1 的左右焦点，点 A ，B 在椭圆上，若
笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆.如
果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点1 ， 2 （如图
），套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？
在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？
把细绳的两端拉开一段距离，笔尖移动的过程中，细绳的长度保持
的距离的和等于 2a.
由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集 P {M | | MF1 | | MF2 | 2a} .
因为 | MF1 | ( x c)2 y 2 ，
| MF2 | ( x c)2 y 2 ，
所以 ( x c)2 y2 ( x c)2 y 2 2a .①
2
解析几何中求点的轨迹方程常用的方法：寻求点 M 的坐标 ，
中 ，与 0 ，0 之间的关系，然后消去0 ，0 ，得到点M的轨迹方
程.
例 3 如图，设 A，B 两点的坐标分别为 (5 ，
0) ，
(5 ，
0) .直线
4
AM，BM 相交于点 M，且它们的斜率之积是 ，求点 M 的轨迹
2
−
2.
令 = || =
2
−
2
2 ，那么方程⑤就是 2
+
2
2
= 1 ( >
> 0) .⑥
由于方程②③的两边都是非负实数，因此方程①到方程⑥的变形都
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
人教版高中数学选择性必修第一册3.1.1第一课时椭圆及其标准方程课件（共53张
PPT）
(共53张PPT)
希腊几何学家阿波罗尼奥斯(Apollonius)最重要的著作是《圆锥曲线论》．著作中将3种圆锥曲线命名为椭圆、抛物线、双曲线的做法便出自该书(分别出自第1卷的命题11,12,13)．《圆锥曲线论》的阿波罗尼奥斯是一位重量级人物．据公元6世纪的希腊数学家欧托修斯(Eutocius)“转发”的公元前1世纪的数学家杰米纽斯(Geminus)的记述，阿波罗尼奥斯被其同时代人称为“大几何学家”；美籍比利时裔科学史学家乔治·萨顿(George Sarton)则称阿波罗尼奥斯为
阿基米德之后一个时期里唯一可与阿基米德比肩的几何学家．《圆锥曲线论》的影响却是深远的．后世的知名数学家如吉拉德·笛沙格(Girard Desargues)、布莱兹·帕斯卡(Blaise Pascal)、皮埃尔·德·费马(Pierre de Fermat)、詹姆斯·格雷果里(James Gregory)等都直接间接地受过它的影响．著名天文学家约翰内斯·开普勒(Johannes Kepler)更是用圆锥曲线奠定了行星运动定律的基础，并为牛顿万有引力定律的发现埋下了伏笔．阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》虽久已淡出多数人的视野，却完成了很辉煌的历史使命.
1.加强对基础知识、基本方法的梳理，要在理解的基础上熟练掌握．虽
然高考对圆锥曲线的考查要求较高，但也不回避常规题型，因此必须熟练掌握解决有关圆锥曲线问题的通性通法.
2. 重视圆锥曲线的定义在解题中的应用，掌握推导圆锥曲线标准方程的方法.
3. 注意平面几何知识的应用．解析几何是用代数的方法解决几何问题，因此在解决有关圆锥曲线问题时，要注意数形转化思想的应用．具体应用时，要综合考虑数转化为形、形转化为数、数转化为数、形转化为形等多种角度，避免思维固化.
4. 加强运算能力的同时，关注一些常见的运算技巧．解决圆锥曲线问题的常规思路，一般从几何入手再转化为代数运算．这样最终主要体现在“算”上的功夫．所谓“算”，讲的主要是算理和算法，而不是“硬算”，因此要花一定功夫研究运算、训练运算能力.
3.1椭圆
3．1.1椭圆及其标准方程
第一课时椭圆及其标准方程
[学习目标] 1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程．
必备知识自主探究
关键能力互动探究
课时作业巩固提升
问题椭圆是如何定义的？要注意哪些问题？
[预习自测]
1．设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10，则动点M的轨迹是()
A．椭圆B．直线
C．圆D．线段
解析：∵|MF1|＋|MF2|＝10＞|F1F2|＝6，
由椭圆定义，动点M轨迹为椭圆．
A
解析：依题意a＝10，且|PF1|＋|PF2|＝6＋|PF2|＝2a＝20 |PF2|＝14. D
3．适合条件a＝4，b＝1，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为
_________________．
解析：由椭圆标准方程的含义知，m＞0，n＞0，且m≠n.
m＞0，n＞0，m≠n
椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的，间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为．
和
焦点
两焦点
半焦距
[例1](1)已知F1(－3,0)，F2(3,0)，|PF1|＋|PF2|＝8，则动点P的轨迹是
()
A．圆B．椭圆
C．直线D．线段
(2)已知F1(0，－3)，F2(0,3)，|PF1|＋|PF2|＝6，则动点P的轨迹是() A．圆B．椭圆
C．直线D．线段
分析：利用定义解决问题．
B
D
[解析](1)因为|PF1|＋|PF2|＝8＞6＝|F1F2|，
所以动点P的轨迹是椭圆．
(2)因为|PF1|＋|PF2|＝6＝|F1F2|，
所以动点P的轨迹是线段．
平面内动点M到两定点F1，F2的距离之和等于常数且常数大于|F1F2|，则M的轨迹是椭圆；
当常数等于|F1F2|时，点M的轨迹是线段F1F2；
当常数小于|F1F2|时，点M的轨迹不存在．
1.已知平面上两定点F1，F2及动点M，命题甲：|MF1|＋|MF2|＝2a(a为常数)，命题乙：点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，则甲是乙的()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B
解析：由椭圆的定义，乙甲，但甲/乙，
只有当2a＞|F1F2|＞0时，动点M的轨迹是椭圆．
椭圆的标准方程
(－c,0)，(c,0)
(0，－c)，(0，c)
a2＝b2＋c2
1.利用待定系数法求椭圆的标准方程步骤：
(1)定位，确定焦点在哪个轴上；
(2)定量，依据条件及a2＝b2＋c2确定a，b，c的值；
(3)写出标准方程．
1(m＞0，n＞0，m≠n)，再根据条件确定m，n的值．
3．当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)，将点的坐标代入，得到一个方程组，解方程组求得系数．4．已知椭圆上一点的坐标及焦点坐标求椭圆的标准方程常有两种方法：定义法、待定系数法．
2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
点P在椭圆内
点P在椭圆上
点P在椭圆外
分析：(1)根据椭圆焦点位置求椭圆方程中的参数范围时，考虑两个分式对应的分母都大于0，然后根据焦点所在坐标轴确定对应分母的大小．
C
B
解析：由题意可知7－k＞0，k－5＞0，且7－k≠k－5，解得5＜k＜7且k≠6，所以实数k的取值范围为(5,6)∵(6,7)．
D
ACD
焦点三角形
1．如图所示，椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成的∵PF1F2，通常称其为焦点三角形．
1.对于涉及椭圆上一点到其焦点的距离问题，常常考虑运用椭圆的定义，即椭圆上一点到两焦点的距离之和为定值2a.
2．与焦点三角形有关的问题，常考虑定义、余弦定理相结合求解，注意方程思想的应用．
1．知识清单：(1)椭圆的定义．
(2)椭圆的标准方程．
(3)点与椭圆的位置关系．
(4)焦点三角形．
2．方法归纳：坐标法、待定系数法．
3．常见误区：(1)忽略椭圆定义中的限制条件．
(2)不重视椭圆定义的应用．
(3)椭圆标准方程的推导过程中不会化简代数式．课时作业巩固提升。