第10章：极小值原理及其应用
极小值原理及其应用
假设同定理5-1。
若 u* (t) 和 t f * 是使性能指标取最小值的最优解，x* (t)
为相应的最优轨线，则必存在n 维向量函数
，
使得 (t )
x*(t)和, u*(t), t f满* 足如(下t)必要条件：
① x(t) 及 (t)满足下述正则方程：
x(t) H
(t) H
x
式中哈密顿函数
③ 哈密顿函数相对最优控制取绝对极小值
H[x* (t), (t), u* (t), t]
min
u (t )
H[x* (t
x(t f
)
（5-4）
③ 哈密顿函数相对最优控制为极小值
H (x*, u*, ) min H (x*, u, ) （5-5） u (t )
④ 哈密顿函数沿最优轨线保持为常数
当 t f 固定时
H[x* (t), u* (t), (t)]
（5-6）
H[x* (t f ), u* (t f ), (t f )] const
x为* (为t) 为相应的最优轨线，则必存在非零常向量 及 n 维向量函数 (t) ，使得 x*(t), u*(t), t f * 和 (t) 满足如下必要条件：
① x(t) 及 (t)满足下述正则方程：
x(t) H
式中哈密顿函数
(t) H
x
H (x, ,u) T (t) f (x,u)
H (x, ,u) L(x,u) T (t) f (x,u)
② x(t) 及 (t)满足边界条件：
x(t0 ) x0
(t f ) 0
③ 哈密顿函数相对最优控制取绝对极小值
H[x*(t), (t), u*(t)] min H[x*(t), (t), u(t)] u (t )
极小极大原理
极小极大原理极小极大原理是一种在数学、物理、经济学等领域中常见的优化方法，它通过寻找一个函数的最小值和最大值来解决各种问题。
在数学中，极小极大原理被广泛应用于求解最优化问题，如寻找函数的最小值或最大值，以及解决约束条件下的最优化问题。
在物理学中，极小极大原理可以用来描述系统的稳定状态和动力学行为。
在经济学中，极小极大原理可以帮助我们理解市场行为和决策制定。
在数学中，极小极大原理可以用来解决各种最优化问题。
例如，对于一个函数，我们可以通过求解其导数为零的点来找到函数的极小值或极大值。
这些极值点可以帮助我们确定函数的局部最优解。
另外，极小极大原理也可以应用于多元函数的最优化问题，通过求解梯度为零的点，我们可以找到多元函数的极小值或极大值，从而解决各种复杂的优化问题。
在物理学中，极小极大原理可以用来描述系统的稳定状态和动力学行为。
例如，在力学中，我们可以通过极小极大原理来求解系统的平衡状态，找到系统的稳定点。
在动力学系统中，极小极大原理可以帮助我们理解系统的演化规律，找到系统的稳定轨道和周期解。
另外，在统计物理学中，极小极大原理也被广泛应用于描述系统的热力学行为和相变现象。
在经济学中，极小极大原理可以帮助我们理解市场行为和决策制定。
例如，在微观经济学中，我们可以通过极小极大原理来分析企业的生产决策和消费者的最优选择。
在宏观经济学中，极小极大原理可以帮助我们理解市场的均衡状态和宏观经济政策的效果。
另外，极小极大原理也可以应用于金融领域，帮助我们理解资产定价和风险管理。
总之，极小极大原理是一种强大的优化方法，它在数学、物理、经济学等领域都有着广泛的应用。
通过寻找函数的最小值和最大值，极小极大原理可以帮助我们解决各种优化问题，理解系统的稳定状态和动力学行为，以及分析市场行为和决策制定。
因此，深入理解极小极大原理对于我们解决各种实际问题具有重要的意义。
最优控制理论及应用
的控制律，使被控对象按预定要求运行，并使给
定的某一性能指标达到极小值（或极大值）
2019年3月10日
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最优控制理论与应用
二 最优控制问题 1 例子 飞船软着陆问题 宇宙飞船在月球表面着陆
时速度必须为零，即软着陆，这要靠发动机的推
力变化来完成。问题是如何选择一个推力方案，
使燃料消耗最小。
m 飞船的质量，h 高度，v 垂直速度， g 月球重力加速度常数，M 飞船自身质量 F 燃料的质量
最优控制理论与应用
最优控制理论与应用
第一章 最优控制问题的一般概念 第二章 最优控制的变分方法 第三章 极小值原理及其应用 第四章 线性二次型问题的最优控制 第五章 动态规划
2019年3月10日
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最优控制理论与应用
第一章 最优控制问题的一般概念
一 基本概念
最优控制理论中心问题：
给定一个控制系统（
已建立的被控对象的数学模型），选择一个容许
2019年3月10日
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最优控制理论与应用
2.2 欧拉方程
(2)有等式约束泛函极值的必要条件 定理2.4 设有如下泛函极值问题：
min J ( x( )) g( x, x, t )dt
x(t ) t0 tf
s.t.
f ( x, x, t ) 0
其中， f=0为系统运动的微分方程，g(x,x,t)及x(t)在[t 0 ,t f ] 上连续可微，t 0 及t f 给定。 x，x，f R n 已知x(t 0 ) x 0 , x(t f ) x f , x(t) n , 则极值轨线x * (t) 满足如下欧拉方程
控制约束
0 u(t ) umax
任务：满足控制约束条件下，求发动机推力的 最优变化律，使登月舱由初始出发点到达目标处 （末态），并使性能指标达到极值（燃耗量最小）
第十章电位分析
玻璃电极
待测液┇┇KCl(饱和)│Hg2Cl2│Hg (+) 甘汞电极
25℃，电池电动势ECell为: ECell = SCE- 玻 = SCE – ( AgCl/Ag+ 膜)
在测定条件下， SCE及 AgCl/Ag，可视为常数，合并 为K，于是上式写为:
，
实际 位电 Ox/极 Red电 为纵
坐标，则得到一 ，条 其直 斜S线 率 RT，当aOx 1时， nF aRed
截距 Ox/Red O x/Red。
三、实验中电极性质和名称
1. 指示电极和工作电极
在零电流条件下，能反映溶液中待测离子的活度或 浓度的电极，在测试过程中，溶液主体浓度不发生变化 的电极称为指示电极。
玻璃膜内、外表面的性质基本相同，则k1=k2 ， a’1 = a’2
膜 = 外 - 内 = 0.059 lg( a1 / a2）
由式可知，如果a1= a2 ，则理论上膜=0，但实际上 膜≠0，此时的电位称为不对称电位不对称。
产生的原因: 玻璃膜内、外表面含钠量、表面张力及 机械 和化学损伤的细微差异所引起的(玻璃膜内、外表面 的性质不完全相同)。长时间浸泡后恒定(1～30mV)。
水化层表面可视作阳离子交换剂。溶液中H+经水化层扩 散至干玻璃层，干玻璃层的阳离子向外扩散以补偿溶出的离 子，离子的相对移动产生扩散电位。 两者之和构成膜电位。
放入待测溶液，玻璃膜两侧电解质的浓度或组成不同， 因此在膜与溶液的界面上，离子选择性和强制性的扩散，膜 两边交换、扩散离子数目不同，破坏电荷分布的均匀性，形 成双电层，在膜的两侧产生两个相界电位： 外、内，产生 电位差 。
第04章：极小值原理及其应用
H U
存在，且
H 0 U
得出的
H 0 U
绝对极小，如图4-1（a）所示时， 即为条件（4-21）式。所以极小值原理可以解决变 分法所能解决的问题，还能解决变分法不能解决的 问题。如何应用条件（4-21）式，这是一个关键， 我们将用具体例子来说明。
4.3 最短时间控制问题
节省时间意味着提高生产率或先发制人取得军事 行动的胜利。所以人们很早就开始了对最短时间控 制的研究，这方面的研究结果很多，这里先就简单 的重积分系统的最短时间控制展开讨论。 在前面的绪论中列举了火车快速行驶问题。设火车质 量m=1，把运动方程写成状态方程形式，令 x1 x, x2 x 可化为下面的最短时间控制问题。
T H f |U U ( ) |U U X X
（4-10）
（4பைடு நூலகம்11）
T G (t f ) X (t f ) X (t f )
（4-12）
显然，方程（4-9）和（4-11）为共轭方程，立即 求得积分
1
t
当 U U U 时，
X (t ) X (t1 )
t
t1
f ( X ,U U , t )dt
两式相减可得这一段的 X (t )
X (t ) [ f ( X ,U U , t ) f ( X ,U , t )]dt （4-6） t
这时又有系统的状态方程为而状态变量的变分满足方程49引入变量及哈密顿函数410411412显然方程49和411为共轭方程立即求得积分即最终求得了由于的有限改变而引起的最优轨线的变化特别是末值状态的变化下面研究由引起的最优性能指标的改变由于故有414综合48412413和414等式可以建立与有限改变量之间的关已知中的任意时刻并以表示或用哈密顿函数的表达式410表示可得415于是定常系统末值型性能指标固定末端受约束情况下极小值原理得以证明
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（2）变分和变分法
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t
tx t dt
试求：
（1）δJ 的表达式；
（2）当 x（t）＝t2，δx＝0.1t 和 δx＝0.2t 时的变分 δJ 的值。
解：（1）由泛函变分规则可知：
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（2）由（1）可知，δx＝0.1t 时：
δx＝0.2t 时：
10-6 试求下列性能指标的变分 δJ。
J tf t2 x2 x&2 dt t0
解：由泛函变分规则，求得：
10-7 已知性能指标为： 求 J 在约束条件 t2＋x12＝R2 和边界条件 x1（0）＝－R，x2（0）＝0，x1（R）＝0，x2 （R）＝π 下的极值。 解：构造广义泛函为：
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第 10 章 动态系统的最优控制方法
10.1 复习笔记
考研初试一般不考查本章内容，下文为最优控制问题的基础理论部分。
一、最优控制的基本概念 （1）最优控制 概念：在系统状态方程和约束条件给定的情况下，寻找最优控制律，使衡量系统的某一 性能指标达到最优（最小或最大）。 （2）最优控制问题 任何一个最优控制问题均应包含四方面内容：①系统数学模型；②边界条件与目标集； ③容许控制；④性能指标。 （3）最优控制的研究方法 包括：解析法；数值计算法；梯度型法。
第十章 动态系统的最优控制方法
其中 x Rn , u R p ，求 u* J min max
构造Harmilton函数：
H x, u,,t L x, u,t T t f x, u,t
式中： Rn ——拉格朗日乘子分量
Modern Control Theory
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变分法求解最优控制问题
求 最 优 解 的 必要条 件
Page: 21
变末分法端求固解定最终优端控制自问由题
现
代
控
一、末端时刻 t f 固定, x t f 任意(终端自由)
制 理
定理:对于最优控制问题
论
min J x
tf
tf L x, u,t dt
t0
s.t. xt f x,u,t, xt0 x0
最优解的必要条件:
1. xt t 满足正则方程
t0 x
x
Modern Control Theory
Page: 8
最优控制中的变分法
现
代
控
制 理 论
[例] J tf x2 (t)dt J ? t0
解: J[x] 1 x2 (t)dt 0
J
1
[
F
x]dt
0 x
1
[2x x]dx
0
Modern Control Theory
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记作J x t
(2)函数的变分
泛函J x t 的变量x t 变分 x : x x t x0 t , 它表示x t 与x0 t 之间的差
Modern Control Theory
Page: 5
线性泛函
现
代 (3)泛函的连续性： 控
制 理
对 于 任 意 给 定 的 0, 存 在 0， 当 x x0 时 ，
高等教育《最优控制理论》课件 第一章
& xL xL & x M xM
x = xL − xM
则拦截器与目标的相对运动方程为：
& & v = xL − xM
F (t ) m(t ) F (t ) & m=− c & x=v
& v = a (t ) +
其中a(t)是除控制加速度外的固有相对加速度，是已知的。 初始条件为： x (t 0 ) = x 0
1-2 最优控制问题的实例
例1．1月球上的软着陆问题 飞船靠其发动机产生一与月球重力方向相反的推力 u(t)，以使飞船在月球表面实现软着陆，要寻求发动 机推力的最优控制规律，以便使燃料的消耗为最少。 设飞船质量为m(t)，高度为h(t)，垂直速度为v(t)，发 动机推力为u(t)，月球表面的重力加速度为常数g。设 不带燃料的飞船质量为M， 初始燃料的总质量为 F．初始高度为h0，初始的垂直速度为v0，那么飞船的 运动方程式可以表示为：
5：最优控制的提法 已知受控系统的状态方程及给定的初态
& X (t ) = f ( X (t ), u (t ), t )
X (t 0 ) = X (0)
规定的目标集为M，求一容许控制u(t)∈U,t∈ [t0,tf],使系统从给定的初态出发， 在tf >t0时刻转移到目标集M，并使性能指标
J = θ（x (t f ), t f ） ∫ F（x(t ), u (t ), t ) dt +
3：容许控制 在实际控制问题中，大多数控制量受客观条件的限制，只能在一定范围内取 值，这种限制通常可以用如下不等式约束来表示：
0 ≤ u (t ) ≤ u max
或 ui ≤ α
i = 1,2L p
基于古典变分法和极小值原理推导最优控制的解析求解条件
基于古典变分法和极小值原理推导最优控制的解析求解条件基于古典变分法和极小值原理推导最优控制的解析求解条件引言：最优控制理论是数学和工程学交叉的一个重要领域，在各个工程领域都有广泛的应用。
它的目标是通过优化方法寻找使系统指标达到极值的控制策略。
在这个领域中，变分法和极小值原理是两个重要的数学工具。
本文将介绍古典变分法和极小值原理，以及如何利用它们推导最优控制的解析求解条件。
一、古典变分法的基本原理古典变分法是研究极值问题的一种有效数学方法。
它的核心思想是将待求函数看作一族函数的极限形式，然后通过对这族函数进行泛函求导来获得包含待求函数的微分方程。
在最优控制问题中，我们希望找到一个控制策略，使系统的目标函数达到最小值或最大值。
通过应用古典变分法，我们可以将这个极值问题转化为一个泛函极值问题，并通过求解泛函极值问题来得到最优控制。
在使用古典变分法进行最优控制问题的分析时，我们需要定义一个泛函，即系统的目标函数。
泛函通常形式如下：\[ J[y,u] = \int_{t_0}^{t_f} L(t, y(t), u(t)) dt \]其中，\[y(t)\] 是状态变量，\[u(t)\] 是控制变量，\[L(t, y(t), u(t))\] 是泛函的被积表达式，它描述了系统的动力学以及待求函数的影响因素。
二、极小值原理极小值原理是古典变分法中的一个基本概念，用于推导变分问题的最优性条件。
对于一个给定的泛函\[J[y,u]\]，如果它的极小值存在且为唯一解，那么这个极小值必须满足极小值原理的条件。
极小值原理的一般形式可以表示为：\[ \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}\right) -\frac{\partial L}{\partial y} = 0 \]\[ \frac{\partial L}{\partial u} = 0 \]这两个条件是极小值原理的必要条件。
结构力学教案 第10章 影响线及其应用
第十章 影响线及其应用10．1 影响线的概念一、移动荷载对结构的作用1、移动荷载对结构的动力作用:启动、刹车、机械振动等.2、由于荷载位置变化，而引起的结构各处的反力、内力、位移等各量值的变化及产生最大量值时的荷载位置。
二、解决移动荷载作用的途径1、利用以前的方法解决移动荷载对结构的作用时，难度较大。
例如吊车在吊车梁上移动时，R B 、M C2、影响线是研究移动荷载作用问题的工具。
根据叠加原理，首先研究一系列荷载中的一个，而且该荷载取为方向不变的单位荷载。
10.2 用静力法绘制静定结构的影响线一、静力法把荷载Ｐ＝１放在结构的任意位置，以x 表示该荷载至所选坐标原点的距离，由静力平衡方程求出所研究的量值与x 之间的关系（影响线方程）。
根据该关系作出影响线。
二、简支梁的影响线1、支座反力的影响线∑M B =0：∑M A =0：2、弯矩影响线1M C影响线弯矩图（1）当P=1作用在AC段时，研究CB：∑M C=0：（2）当P=1作用在CB段时，研究CB：∑M C=0：3、剪力影响线（1）当P=1作用在AC段时，研究CB：（2）当P=1作用在CB段时，研究CB：三、影响线与量布图的关系1、影响线：表示当单位荷载沿结构移动时，结构某指定截面某一量值的变化情况（分析左图）。
2、量布图（内力图或位移图）：表示当荷载位置固定时，某量值在结构所有截面的分布情况（分析右图）。
四、伸臂梁的影响线例10−1 试作图10−4（a）所示外伸梁的反力R A、R B的影响线，C、D截面弯矩和剪力的影响线以及支座B截面的剪力影响线。
10.3 用机动法作影响线一、基本原理机动法是以虚位移原理为依据把作影响线的问题转化为作位移图的几何问题。
二、优点 不需要计算就能绘出影响线的轮廓。
以X 代替A 支座作用，结构仍能维 持平衡。
使其发生虚位移，依虚位移原理： X ·δX +P · δP =0 X=－P δP /δX =－ δP /δX 令 δX =1， 则 X=－δP 结论：为作某量值的影响线，只需将与该量值相应的联系去掉，并以未知量X 代替；Q C 影响线)而后令所得的机构沿X的正方向发生单位位移，则由此所得的虚位移图即为所求量值的影响线。
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f ( x1 , u ) f ( x2 , u ) a x1 x2
u (t ) 和 则对于最优解
轨线
x (t )，必存在非零的n维向量函数λ(t)，
t f ，以及相应的最优
使得： (1) x(t)及λ(t)满足下述正则方程： H x (t ) (t ) H x
u ( t )
（4）哈密顿函数相对最优轨线保持为常数。 当 t f 固定时
H [ x(t ), u (t ), (t )] H [ x(t f ), u (t f ), (t f )] const
当 t f 自由时
H [ x (t ), u (t ), (t )] 0
古典变分法存在的问题
10.2 连续系统的极小值原理
由于可以利用扩充变量的方法将各类最优 控制问题化为定常系统，末值型性能指标情况 下的标准形式。我们这里只就定常系统、末值 型性能指标、t f 固定、末端受约束情况下给出 极小值原理的简单证明。
连续系统的极小值原理
最优控制问题的具体形式是多种多样的， 由于可以利用扩充变量的方法将各类最优 控制问题化为定常系统，末值型性能指标 情况下的标准形式，故先研究定常系统、 末值型指标、末端自由控制问题的极小值 原理。
定理10-8 对于如下定常系统、末值型性能 指标、末端自由、控制受约束的最优控制 问题
u ( t )
min J (u ) [ x(t f )]
x(t ) f ( x, u )
x(t0 ) x0 , t [t0 , t f ]
x(t ) R n , 为系统状态向量；Ω为容许 式中
式中哈密顿函数
H ( x , u , ) f ( x, u )
T
（2）x(t)及λ(t)满足边界条件与横截条件
x(t0 ) x0 (t f ) x(t f )
（3）极小值条件：哈密顿函数相对最优控制 为极小值
H ( x , u , ) min H ( x , u , )
第十章 极小值原理及其应用
10.1 经典变分法的局限性Biblioteka 10.2 连续系统的极小值原理
古典变分法存在的问题
10.1 经典变分法的局限性
上面我们用经典变分法解最优控制问题时，得出了 最优性的必要条件
H 0 U
在得出这个条件时，作了下面的假定： 是一个开集； 是存在的。
1 U 是任意的，即不受限制，它遍及整个向量空间，
J
tf t0
F ( X ,U , t )dt
tf t0
U dt
H ( X ,U , , t ) F ( X ,U , t ) T f ( X ,U , t ) 对U的一 这时 阶偏导数不连续。
经典变分法无法处理上面的情况，必须另辟新 的途径。极小值原理就是解决这类问题的有力工具。 用极小值原理求解控制无约束的最优控制问题和古 典变分法是完全一样的。1956年前苏联学者庞特里 雅金提出这个原理时，把它称为极大值原理，目前 较多地采用极小值原理这个名字。
在实际工程问题中，控制作用常常是有界的。 如飞机舵面的偏角有限制，火箭的推力有限制，生 产过程中的生产能力有限制等等。一般，我们可用 下面的不等式来表示
u i (t ) M i
i 1,2,, m
这时 U (t ) u1 (t ), u2 (t ),, um (t )T 属于一个有界的闭集， 写成 U (t ) ， 为闭集。更一般的情况可用下面 的不等式约束来表示。 g U (t ), t 0
控制域；u(t)是在Ω内取值的任何分段连续 函数；末端时刻 t f 未知；末态 x (t f ) 自由。假设 函数f(x,u)和 (x ) 都是其自变量的连续 函数； 函数f(x,u)和 (x ) 对于x是连续可微的；
函数f(x,u)在任意有界集上对变量x满足李卜 希茨条件：当 1 为有界集时，存在一常 数ɑ>0,使得只要 x1 , x2 1 ，有
当 U (t ) 属于有界闭集，U (t ) 在边界上取值时，U 就不是任意的了，因为无法向边界外取值，这时 就不一定是最优解的必要条件。考察由 图10-1所表示的几种情况，图中横轴上每一点都表 示一个标量控制函数 u ，其容许取值范围为 。
H 0 U
H
H
H
u*
u
u*
u0
u
(b )
u*
u
(c )
(a)
图10-1有界闭集内函数的几种形状
对于图10-1（a） H / u 0 仍对应最优解u 。对于 图10-1(b)H / u 0 所对应的解u 0 不是最优解，最优 解 u 在边界上。对于图10-1（c） / U 常数，由这 H u 来（这种情况称为奇异情 个方程解不出最优控制 况），最优解 u 在边界上。另外，H / U 也不一定是 存在的。例如状态方程的右端 f ( X ,U , t ) 对U的一阶偏 导数可能不连续，或由于有些指标函数，如燃料最优 控制问题中，具有下面的形式
f f f
极小值原理与经典变分法相比：控制输入 受约束；最优控制使哈密顿函数取全局极 小值；极小值原理不要求哈密顿函数对控 制的可微性。
古典变分法存在的问题
例1