极小值原理及其应用(17).讲解学习
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极小值原理及其应用
假设同定理5-1。
若 u* (t) 和 t f * 是使性能指标取最小值的最优解，x* (t)
为相应的最优轨线，则必存在n 维向量函数
，
使得 (t )
x*(t)和, u*(t), t f满* 足如(下t)必要条件：
① x(t) 及 (t)满足下述正则方程：
x(t) H
(t) H
x
式中哈密顿函数
③ 哈密顿函数相对最优控制取绝对极小值
H[x* (t), (t), u* (t), t]
min
u (t )
H[x* (t
x(t f
)
（5-4）
③ 哈密顿函数相对最优控制为极小值
H (x*, u*, ) min H (x*, u, ) （5-5） u (t )
④ 哈密顿函数沿最优轨线保持为常数
当 t f 固定时
H[x* (t), u* (t), (t)]
（5-6）
H[x* (t f ), u* (t f ), (t f )] const
x为* (为t) 为相应的最优轨线，则必存在非零常向量 及 n 维向量函数 (t) ，使得 x*(t), u*(t), t f * 和 (t) 满足如下必要条件：
① x(t) 及 (t)满足下述正则方程：
x(t) H
式中哈密顿函数
(t) H
x
H (x, ,u) T (t) f (x,u)
H (x, ,u) L(x,u) T (t) f (x,u)
② x(t) 及 (t)满足边界条件：
x(t0 ) x0
(t f ) 0
③ 哈密顿函数相对最优控制取绝对极小值
H[x*(t), (t), u*(t)] min H[x*(t), (t), u(t)] u (t )
极小值原理及应用_2023年学习资料
定理3-2（积分型最优控制问题的极大值原理-给定系统的状态方程-Xt=f[xt,Ut,t]-初态-Xto= o2-终端时刻t固定，终端状态Xt自由以及控制变量U所受约-束条件是-Ut∈2，It∈[ttr]-则为将系 从给定的初态X转移到某个终态Xt，并使性-能泛函-J=∫L[X,U,小d-达到极小值的最优控制应满足的必要 件是：-10
说明：-1当控制函数U不受约束或只受开集性约束条件下，-OH-等价-aU-H[X*t,2t,Ut,t]=m nH[X*t,t,Ut,t]-ut-2在控制函数Ut受到闭集性约束Ut∈2CRm的条件下，控-制方程-H= 未必是最优控制问题的解的必要条件之一。-6x{-观1a-x-b.Hamilton函数H[X,2t,Ut,t 在闭子集2内可能-不存在极值点，以∂H/aU来求极小值点难以奏效。-结论：-6H-控制方程-=01-不是问 3-1所给定的最优控制问题解的-必要条件。
1设产是最优控制，X*t是对应于U*t的最优轨线，则必存-在一与U产和X*t相对应的n维协态变量t,使得X 和2t-满足规范方程：-aH-●-X=-=f[Xt,Ut,t]-0λ -0=--OX-H:哈密顿函数-H=H Xt,t,Ut,t]=-L[Xt,Ut,t]+'tfLXt,Ut,t]-2边界条件为-Xt=X。-2t=0 3哈密顿函数在最优控制U*和最优轨线X*上达到最大值，即-他层-H[X"t,t,U"t,t]=max H[ "t,At,Ut,t]-Ut2-11
如果不考虑约束条件-Ut∈Ω CRm-1,那么该最优控制-问题的解的必要条件可由定理2-10给出，现引述如下 -1设U*t是最优控制，X*是对应于U*t的最优轨线，则-必存在一与U*t和X*t相对应的n维协态变量2t 使得Xt与-λ t满足规范方程-OH-控制函数U不受约束-X=-=f[Xt,Ut,t]-02-或只受并集性的 束的-t=-情况下的最值原理-OX-其中-H=L[Xt,Ut,t]+2tf[Xt,Ut,t]-2边界条件为 X to=Xo-t=0-3哈密顿函数H对控制变量Utto≤t取极值，即-9是=0=→-H[X,20,U'0 ]=min H[X0,20,U0,15
极小极大原理的应用
极小极大原理的应用什么是极小极大原理极小极大原理，也称为极大极小原理或最大最小原理，是数学中一种非常重要的原理。
它广泛地应用于数学分析、优化理论、动态规划、概率统计等领域。
简单来说，极小极大原理指的是在多个决策者的决策过程中，每个决策者都会尽量追求自己的最大利益，而其他决策者则会尽量追求使其利益最小化的策略。
极小极大原理的应用举例极小极大原理在现实生活中有许多应用场景，以下是一些具体的例子：1.博弈论中的应用：在博弈论中，极小极大原理被用来分析博弈双方的最优策略。
对于每个决策者来说，他们都会尽量选择能够使自己获得最大利益的策略，而其他决策者则会尽量选择使其利益最小化的策略。
通过分析这种决策过程，可以确定最优策略。
2.最短路径算法中的应用：在最短路径算法中，极小极大原理被用来确定最短路径。
每个节点在选择下一步移动的时候，会考虑使其到目标节点的距离最短，而其他节点则会考虑使其到目标节点的距离最长。
通过使用极小极大原理，可以找到最短路径。
3.机器学习中的应用：在机器学习中，极小极大原理被用来寻找最优模型。
每个模型都会尽量选择能够最大化其预测准确率的参数，而其他模型则会尽量选择使其预测准确率最小化的参数。
通过使用极小极大原理，可以找到最优模型。
极小极大原理的优势极小极大原理具有以下优势：1.概念简单清晰：极小极大原理的概念十分简单清晰，容易理解和应用。
2.广泛适用性：极小极大原理可以应用于各个领域，例如博弈论、最短路径算法、机器学习等。
它具有广泛的适用性，可以解决各种不同类型的问题。
3.寻找最优解：极小极大原理可以帮助我们寻找最优解。
通过考虑各个决策者的最优策略，可以找到一个让每个决策者都能获得最大利益的解。
总结极小极大原理是数学中一种重要的原理，被广泛应用于数学分析、优化理论、动态规划、概率统计等领域。
它可以帮助我们分析博弈双方的最优策略、确定最短路径、寻找最优模型等。
极小极大原理的优势在于其概念简单清晰、广泛适用性强以及寻找最优解的能力。
最优控制第2章 极小值原理
(1) 最优状态x*和最优协态 λ* 满足正则方程:
x&(t) =
∂H ∂λ
=
f [ x(t), u(t), t]
λ& = − ∂H
∂x
2015-03-24
10
(2) 在最优状态x*和最优控制u*上哈密顿函数取极小值：
H
(
x
*
(t ),
u
*
(t ),
λ*(t),
t)
=
min
u∈U
H[x
*
(t ),
u(t ),
2015-03-24
20
u
*
(t
)
=
⎧ −1, ⎪⎨−0.5λ2
(t
λ2 (t ), | λ2
)> (t)
2 |≤
2
(∗)
⎪⎩ 1, λ2 (t) < −2
由伴随方程 λ& = −∂H / ∂x 得到：
求解得到：
λ&1(t) = 0, λ&2 (t) = −λ1(t)
λ1(t) = c1, λ2 (t) = −c1t + c2 本例tf自由，因此H函数在最优终端时刻 t*f满足横截条件:
e t −1 H
=
λT
f
(.)
=
λ1(− x1
+
u)
+
λ2 x1
由极小值原理，最优控制应使哈密顿函数取极小值：
H ( x* , u* , λ* , t ) = min H[ x* , u, λ* , t] u∈U
= -m1≤uin≤1{λ1(− x1* + u) + λ2 x1* }
2015-03-24
现代控制理论课件-第六章 极小值原理
⑴ 满足正则方程
x*
k
1
H
x*
k
，u* k ，* k 1
k
1，k
f x* k ，u* k ，k
*
k
H
x*
k
，u* k ，* xk
k
1，k
⑵ 相对于最优控制，哈密尔顿函数达极小值，即
H x* k ，u* k ，* k 1，k H x* k ，uk ，* k 1，k
⑶ 及满足以下边界条件及横截条件
x*
0
x0，*
N
x* N ，N x N
同理，对不同的边界情况，只需选取相应的边界条 件及横截条件，条件1、2不变。当控制变量不受限 制时，则条件2与控制方程
等效。
H
x*
k ，u* k ，* uk
k
1，kபைடு நூலகம்
0
§ 6.3 极小值原理解最短时间控制问题
一般情况下，非线性受控系统的最短时间控制问题的 解析解是很困难的，本节只讨论线性定常受控系统的 最短时间控制问题。
比较上述极小值原理与变分法所得的结果，可以发现 两者的差别仅在⑵。 极小值原理的严格证明很复杂，下面的证明将重于物 理概念的阐述，尽量避免烦琐的数学推导。 设系统动态方程为：
xt f xt，ut，t
边界条件为：xt0 x0 ，为简单起见，假设终端时刻 t f
及终端状态 x t f 均为自由。控制变量 ut 受有界闭集 约束，即 utU
性能指标为：
J x
tf
，t f
tf t0
F
xt，ut，t dt
则使性能指标 J 达到极小的最优控制 u* t 及最优状态 轨线 x* t 必须满足以下条件：
第七章极小值原理与典型最优控_...
N[ x(t f ), t f ] 0
N T H (t f ) ( )v, t t f t f t f
N T (t f ) ( )v, t t f x x
13
极小值原理与变分学
区别在于极值条件不同 极小值原理的极值条件是 Hamilton 函数
x - n 维向量, f - n 维向量函数
u – m 维控制向量函数
容许控制
u Rm
- 是一给定的有界集合
假定终端时间 t f 满足 N[ x(t f ), t f ] 0
4
假设 f 对于 x , u 具有连续的偏导数
这种光滑性假定，对于任何分段连续的函数 u 保证了存在唯一的属于式（1）的容许轨线 x 可定义容许控制函数集合是这类分段连续的函数 并假定对于一个容许的 u 和给定的初始条件 ， x(t 0 ) 在所考虑的控制区域内，式（ 1）确定了一个唯一 的容许解
T
8
特性指标为
J [ x(t ), t ] t t
tf
t t f
0
(t )}dt {H [ x(t ),u(t ), (t ), t ] (t ) x
T t0
9
积分可得
J { [ x(t ), t ] (t ) x(t )
T
t t f t t0
H 0 u(t ) R 1 (t ) BT (t ) (t ) u
A(t ) x B(t )u x
x(t 0 ) x 0
(t f ) Sx(t f )
27
确定闭环控制
假设 则得
N T H (t f ) ( )v, t t f t f t f
N T (t f ) ( )v, t t f x x
13
极小值原理与变分学
区别在于极值条件不同 极小值原理的极值条件是 Hamilton 函数
x - n 维向量, f - n 维向量函数
u – m 维控制向量函数
容许控制
u Rm
- 是一给定的有界集合
假定终端时间 t f 满足 N[ x(t f ), t f ] 0
4
假设 f 对于 x , u 具有连续的偏导数
这种光滑性假定，对于任何分段连续的函数 u 保证了存在唯一的属于式（1）的容许轨线 x 可定义容许控制函数集合是这类分段连续的函数 并假定对于一个容许的 u 和给定的初始条件 ， x(t 0 ) 在所考虑的控制区域内，式（ 1）确定了一个唯一 的容许解
T
8
特性指标为
J [ x(t ), t ] t t
tf
t t f
0
(t )}dt {H [ x(t ),u(t ), (t ), t ] (t ) x
T t0
9
积分可得
J { [ x(t ), t ] (t ) x(t )
T
t t f t t0
H 0 u(t ) R 1 (t ) BT (t ) (t ) u
A(t ) x B(t )u x
x(t 0 ) x 0
(t f ) Sx(t f )
27
确定闭环控制
假设 则得
极小值原理及其应用(17)
x2 (t ) t x20 1 2 x1 (t ) t x20t x10 2
（4-32）
从上面两式消去t，即可得相轨迹方程
1 2 x1 (t ) x 2 (t ) c 2
（4-33）
1 x2 x 2 u x
当 u 1 时，状态方程的解为
x2 (t ) t x20
u 可以通过非线性的状态
*
1
Z
1
1
u
1 s2
x1
1 x2 x2 2
x2
d dt
图4-5 重积分系统时间最优控制的框图
图4-5表示了重积分系统时间最优控制的工程实现。 由图可见 1
Z x1
Z 0 时，u 1 ，即满足（4-39）式；
Z 0 时，u 1 ，即满足（4-40）式。
2 (t ) c2 c1t
（4-31）
2 (t )
1 1
u (t )
t
2 (t )
1 1
t
u (t )
由图4-2可见，当 2 (t ) 为 t 的线性函数时 u(t ) 最 u(t ) 也相应有四种序列 多改变一次符号。
1
c1 0, c2 0
c1 0, c2 0
u*
u
(c )
(a)
图4-1有界闭集内函数的几种形状
对于图4-1（a） H / u 0 仍对应最优解 u 。对于 图4-1(b) H / u 0 所对应的解 u 0 不是最优解，最优 解 u 在边界上。对于图4-1（c） H / U 常数，由这个 方程解不出最优控制 u 来（这种情况称为奇异情 H / U 也不一定是 况），最优解 u 在边界上。另外， 存在的。例如状态方程的右端 f ( X ,U , t ) 对U的一阶偏 导数可能不连续，或由于有些指标函数，如燃料最优 控制问题中，具有下面的形式
（4-32）
从上面两式消去t，即可得相轨迹方程
1 2 x1 (t ) x 2 (t ) c 2
（4-33）
1 x2 x 2 u x
当 u 1 时，状态方程的解为
x2 (t ) t x20
u 可以通过非线性的状态
*
1
Z
1
1
u
1 s2
x1
1 x2 x2 2
x2
d dt
图4-5 重积分系统时间最优控制的框图
图4-5表示了重积分系统时间最优控制的工程实现。 由图可见 1
Z x1
Z 0 时，u 1 ，即满足（4-39）式；
Z 0 时，u 1 ，即满足（4-40）式。
2 (t ) c2 c1t
（4-31）
2 (t )
1 1
u (t )
t
2 (t )
1 1
t
u (t )
由图4-2可见，当 2 (t ) 为 t 的线性函数时 u(t ) 最 u(t ) 也相应有四种序列 多改变一次符号。
1
c1 0, c2 0
c1 0, c2 0
u*
u
(c )
(a)
图4-1有界闭集内函数的几种形状
对于图4-1（a） H / u 0 仍对应最优解 u 。对于 图4-1(b) H / u 0 所对应的解 u 0 不是最优解，最优 解 u 在边界上。对于图4-1（c） H / U 常数，由这个 方程解不出最优控制 u 来（这种情况称为奇异情 H / U 也不一定是 况），最优解 u 在边界上。另外， 存在的。例如状态方程的右端 f ( X ,U , t ) 对U的一阶偏 导数可能不连续，或由于有些指标函数，如燃料最优 控制问题中，具有下面的形式
极小值原理
极小值原理极小值原理是微积分中的一个重要概念，它在数学和物理学中都有着广泛的应用。
极小值原理的核心思想是在给定条件下，某个函数在局部最小值点处的导数为零。
在这篇文档中，我们将深入探讨极小值原理的定义、应用和相关概念。
首先，我们来了解一下极小值原理的定义。
在数学中，给定一个函数f(x)，如果存在一个数a，使得在a的某个邻域内，对任意的x，都有f(a)≤f(x)，那么称f(a)是函数f(x)在该邻域内的一个极小值。
而极小值原理则指出，如果函数f(x)在点a处可导，并且在该点的导数为零，那么a可能是f(x)的极小值点。
极小值原理在实际问题中有着广泛的应用。
在物理学中，许多自然现象都可以通过极小值原理来进行描述和解释。
例如，光的传播路径往往是使光程取极小值的路径，这就是光的折射定律的基础。
在工程学中，极小值原理也被广泛应用于优化问题的求解，例如最优化设计和控制系统的设计等。
除了极小值原理的基本概念外，我们还需要了解一些相关的概念和定理。
例如，极值定理指出，如果函数f(x)在点a处可导，并且在该点的导数为零，那么a可能是f(x)的极值点。
另外，拉格朗日乘数法是一种利用极小值原理求解约束条件下极值的方法，它在优化问题中有着重要的应用。
在实际问题中，我们常常需要利用极小值原理来求解最优化问题。
例如，在工程设计中，我们希望找到一个函数的极小值点，以获得最优的设计方案。
而在物理学中，我们也需要利用极小值原理来描述和解释各种自然现象。
因此，深入理解和掌握极小值原理对于解决实际问题具有重要意义。
总之，极小值原理是微积分中的重要概念，它在数学和物理学中都有着广泛的应用。
通过深入学习和理解极小值原理，我们可以更好地解决实际问题，提高问题求解的效率和准确性。
希望本文对您对极小值原理有更深入的了解和认识，谢谢阅读！。
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t（4-5）
要求选择最优控制 U (t) ，使 J 取极小值。
J 取极小值的必要条件是 X (t) 、U (t ) 、 (t)和
t f 满足下面的一组方程
1 正则方程
H
X X H
（协态方程） （状态方程）
（4-16） （4-17）
2 边界条件
X(t0)X0
GX(tf ),tf 0（4-18）
2(t)c2c1t （4-31）
2 (t) 1
u (t ) 1
t
t
2 (t)
1
1
u (t )
由图4c-1 2 可0,c2见 0，当 2 (t)为 t 的线性函数时 c1 0,c2 0 u (t )最多
改变一次符号。 u也(t) 相应有四种序列
况），最优解 u 在边界上。另外，H/U也不一定是 存在的。例如状态方程的右端 f(X,U,t) 对U的一阶偏 导数可能不连续，或由于有些指标函数，如燃料最优 控制问题中，具有下面的形式
J tf F(X,U ,t)d t tf Udt
t0
t0
这时 H ( X ,U ,,t) F ( X ,U ,t) T f( X ,U ,t)对U的
庞特里雅金极小值原理写为如下形式：
定理（极小值原理）：系统状态方程
X f(X,U ,t)
X(t)Rn （4-1）
初始条件 X(t0)X0
（4-2）
控制向量 U(t)Rm ，并受下面的约束
U
（4-3）
终端约束 GX(tf ),tf 0
（4-4）
指标函数
JX (tf)t,f
tf t0
F (X ,U ,t)d
1 U 是任意的，即不受限制，它遍及整个向量空间，
是一个开集； 2 H 是存在的。
U
在实际工程问题中，控制作用常常是有界的。 如飞机舵面的偏角有限制，火箭的推力有限制，生 产过程中的生产能力有限制等等。一般，我们可用 下面的不等式来表示
ui (t) M i
i1,2,,m
这时 U ( t) u 1 ( t)u 2 ,( t) ,,u m ( t) T 属于一个有界的闭集，
1(t)c1
（4-30）
2(t)c2c1t
其中，c 1 、c 2 是积分常数。
（4-31）
由表达式（4-27）可见，若要选择 u (t) 使 H 取极小，只要使 2(t)u(t) 越负越好，而 u(t) 1 ， 故当 u(t) 1 ，且 u (t ) 与 2(t) 反号时， H 取极 小，即最优控制为
第四章 极小值原理及其应用
4.1 经典变分法的局限性 4.2 连续系统的极小值原理 4.3 最短时间控制问题 4.4 最少燃料控制问题 4.5 离散系统的极小值原理 4.6 小结
4.1 经典变分法的局限性
上面我们用经典变分法解最优控制问题时，得出了 最优性的必要条件
H 0 U
在得出这个条件时，作了下面的假定：
写成 U(t) ， 为闭集。更一般的情况可用下面
的不等式约束来表示。
gU(t)t,0
当 U (t) 属于有界闭集，U (t) 在边界上取值时，U
就不是任意的了，因为无法向边界外取值，这时
H 0 就不一定是最优解的必要条件。考察由
U
图4-1所表示的几种情况，图中横轴上每一点都表
示一个标量控制函数 u，其容许取值范围为 。
应该指出，当
H U
存在，且 H 0 得出的
U
H 绝对极小，如图4-1（a）所示时， H 0
U
即为条件（4-21）式。所以极小值原理可以解决变
分法所能解决的问题，还能解决变分法不能解决的
问题。如何应用条件（4-21）式，这是一个关键，
我们将用具体例子来说明。
4.3 最短时间控制问题
节省时间意味着提高生产率或先发制人取得军事 行动的胜利。所以人们很早就开始了对最短时间控 制的研究，这方面的研究结果很多，这里先就简单 的重积分系统的最短时间控制展开讨论。
一阶偏导数不连续。
经典变分法无法处理上面的情况，必须另辟新 的途径。极小值原理就是解决这类问题的有力工具。 用极小值原理求解控制无约束的最优控制问题和古 典变分法是完全一样的。1956年前苏联学者庞特里 雅金提出这个原理时，把它称为极大值原理，目前 较多地采用极小值原理这个名字。
4.2 连续系统的极小值原理
3 横截条件
(tf
)
X(tf
GT ) X(tf
)
（4-19）
4 最优终端时刻条件
H(tf
)
tf
GT tf
5 在最优轨线 X * (t) 和最优控制 U * (t )
顿函数取n , ,U ,t) H (X , ,U ,t)（4-21）
U
将上面的结果与用古典变分法所得的结果对比可见， 只是将 H 0 这个条件用（4-21）代替，其它 无变化。 U
u (t) sg n 2(t) 1 1当 当 2 2( (tt) ) 0 0
H F T f 1 1 ( t ) x 2 ( t ) 2 ( t ) u ( t )（4-27）
由此可见，最优解 u (t) 取边界值+1或-1，是开关函 数的形式。什么时候发生开关转换，将取决于 2(t) 的符号。而由（4-31）式可见，2(t) 是 t 的线性函 数，它有四种可能的形状（见图4-2）
H
H
H
u*
u u* u0
u u*
u
(a)
(b)
(c)
图4-1有界闭集内函数的几种形状
对于图4-1（a） H/u0 仍对应最优解 u 。对于
图4-1(b) H/u0所对应的解 u 0 不是最优解，最优 解 u 在边界上。对于图4-1（c）H/U常数，由这个
方程解不出最优控制 u来（这种情况称为奇异情
例4-1 重积分系统的最短时间控制
状态方程
x1 x 2 x2 u
初始条件为
x1(t0) x10
（4-22）
x2(t0)x20 （4-23）
终端条件为
x1(tf ) 0
x2(tf ) 0
（4-24）
控制约束为
u(t) 1
t0 t tf
求出使性能指标
J
tf t0
dttf
t0
取极小的最优控制。
（4-25） （4-26）
解 因为控制作用有限制（属于有界闭集），故要
用极小值原理求解。取哈密顿函数
H F T f 1 1 ( t ) x 2 ( t ) 2 ( t ) u ( t ) （4-27）
协态方程为
1
H x1
0
2
H
x2
1
（4-28） （4-29）
积分上面两个方程可得