离散系统的极小值原理
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高中数学竞赛专题讲座---离散极值
离 散 极 值一. 知识与方法所谓离散极值，就是指以整数、集合、点、线、圆等离散对象为背景，求它们满足某些约束条件的极大值或极小值。
这类问题的解法与一般函数（连续变量）极值的解法有很大的差异。
对于这类非常规的极值问题，要针对具体问题，认真分析，细心观察，选用灵活的策略与方法，通常可以从论证与构造两方面予以考虑。
先论证或求得该变量的上界或下界，然后构造一个实例说明此上界或下界可以达到，这样便求得了该离散量的极大值或极小值。
在论证或求解离散量的上界或下界时，通常要对离散量做出估计，在估计的过程中，构造法、分类讨论法、数学归纳法、反证法、极端原理、抽屉原理等起着重要的作用。
二. 范例选讲例1. m 个互不相同的正偶数和n 个互不相同的正奇数的总和为1987，对于所有这样的m 与n ，问3m+4n 的最大值是多少？请证明你的结论。
（1987年第二届全国数学冬令营试题）思路分析：先根据题设条件求得3m+4n 的一个上界，然后举例说明此上界可以达到，从而得到3m+4n 的最大值。
解：设a 1,a 2,…,a m 是互不相同的正偶数，b 1,b 2,…,b n 是互不相同的正奇数，使得a 1+a 2+…+a m +b 1+b 2+… +b n =1987 ①，这时分别有：a 1+a 2+…+a m ≥2+4+…+2m=m(m+1) ②，b 1+b 2+…+b n ≥1+3+…+(2n -1)=n 2 ③，由①,②,③得m²+m+n 2≤1987,因而有（m+21）2+n 2≤119874+ ④，由④及柯西不等式，得3（m+21）+4n≤4119875)21(.432222+≤+++n m ,由于3m+4n 为整数，所以3m+4n 221≤ ⑤，另一方面，当m=27,n=35时，m 2+m+n 2=1981<1987,且3m+4n=221。
故3m+4n 的最大值为221。
评注：在论证过程中用到了柯西不等式与一般二元一次不定方程的求解方法。
最优控制课件第3章
第三章 极小值原理及应用
经典变分法局限性： 1、应用前提： a ）控制量 u(t)的取值无约束。 b ） f、L、Φ等函数对其自变量二次连续可微，要求哈密 尔顿函数关于控制变量的偏导数存在 。 2、实际控制要求：
a ）控制量u受不等式约束，如：M i (u ) 0 ，i=1,2,3……
b ）性能指标有时关于u并不可微，要求哈密尔顿函数 关于控制变量的偏导数不存在 。
一般:对于实际系统根据物理意义有最优解 极小值原理 有唯一解－－ 最优解
－－－－－－－－
－－－－－－－－
但是，对于线性系统可以证明极小值原理既是泛函取最小 值的必要条件，也是充分条件。
Optimal Control Theory
Dong Jie 2014. All rights reserved.
Date: File:
05.04.2015 OC_CH3.6
Optimal Control Theory & its Application
②在最优轨线上，与最优控制u*相对应的H函数取绝对极小 值，即 或 沿最优轨线
③H函数在最优轨线终点满足
Optimal Control Theory
Dong Jie 2014. All rights reserved.
Optimal Control Theory & its Application
取哈密尔顿函数为
则实现最优控制的必要条件是，最优控制u*、最优轨线x* 和最优协态矢量λ*满足下列关系式： ①沿最优轨线满足正则方程
当g中不含x时
Optimal Control Theory
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经典变分法局限性： 1、应用前提： a ）控制量 u(t)的取值无约束。 b ） f、L、Φ等函数对其自变量二次连续可微，要求哈密 尔顿函数关于控制变量的偏导数存在 。 2、实际控制要求：
a ）控制量u受不等式约束，如：M i (u ) 0 ，i=1,2,3……
b ）性能指标有时关于u并不可微，要求哈密尔顿函数 关于控制变量的偏导数不存在 。
一般:对于实际系统根据物理意义有最优解 极小值原理 有唯一解－－ 最优解
－－－－－－－－
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但是，对于线性系统可以证明极小值原理既是泛函取最小 值的必要条件，也是充分条件。
Optimal Control Theory
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Optimal Control Theory & its Application
②在最优轨线上，与最优控制u*相对应的H函数取绝对极小 值，即 或 沿最优轨线
③H函数在最优轨线终点满足
Optimal Control Theory
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Optimal Control Theory & its Application
取哈密尔顿函数为
则实现最优控制的必要条件是，最优控制u*、最优轨线x* 和最优协态矢量λ*满足下列关系式： ①沿最优轨线满足正则方程
当g中不含x时
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第7章 极小值原理
−1≤ u ≤1
求最优控制和最优轨迹，使如下性能指标取得极小值。
T H = L(x,u,t) +λ f (x,u, t) 解：哈密尔顿函数为 − x1 +u = [λ λ2] 1 1 = λ (−x1 +u) +λ2x1 x1 & λ* = λ* −λ* 2 1 1 & = − ∂H −(∂g )T γ 协状态方程： λ & ∂x ∂x λ* = 0 2
m H[x*， *， ， ] = H[x*， *， *， ] in λ u t λ u t
u∈ U
∂H ∂g = −( )T γ ∂u ∂u
§7－1 极小值原理
3) H 函数在最优轨线终点处的值决定于
∂Φ T ∂N +µ =0 H + ∂t f ∂t f t =t f
J = x1(1 )
§7－1 极小值原理
* * 运用极小值原理： H[x*,u*, λ ] = m H[x*, u, λ ] in u≤ 1 * * * * = m {λ (u − x1 ) +λ2x1} in 1 u≤ 1 * * * * = −λ x1 +λ2x* + m {λ u} in 1 1 1 u≤ 1
求满足如下不等式约束条件
u ≤1
t ∈[0, t f ]
x0 = [x10 x20]T
tf
的控制 u(t) ，使系统自某一初始状态
转移到状态空间原点的时间最短。即使如下性能指标取极小值：
J = ∫ dt
0
§7－2 时间最优控制问题
哈密尔顿函数为：
H[x(t)， (t)， (t)] =1+λ (t)x2(t) +λ2(t)u(t) u λ 1
最优控制第2章 极小值原理
(1) 最优状态x*和最优协态 λ* 满足正则方程:
x&(t) =
∂H ∂λ
=
f [ x(t), u(t), t]
λ& = − ∂H
∂x
2015-03-24
10
(2) 在最优状态x*和最优控制u*上哈密顿函数取极小值：
H
(
x
*
(t ),
u
*
(t ),
λ*(t),
t)
=
min
u∈U
H[x
*
(t ),
u(t ),
2015-03-24
20
u
*
(t
)
=
⎧ −1, ⎪⎨−0.5λ2
(t
λ2 (t ), | λ2
)> (t)
2 |≤
2
(∗)
⎪⎩ 1, λ2 (t) < −2
由伴随方程 λ& = −∂H / ∂x 得到：
求解得到：
λ&1(t) = 0, λ&2 (t) = −λ1(t)
λ1(t) = c1, λ2 (t) = −c1t + c2 本例tf自由，因此H函数在最优终端时刻 t*f满足横截条件:
e t −1 H
=
λT
f
(.)
=
λ1(− x1
+
u)
+
λ2 x1
由极小值原理，最优控制应使哈密顿函数取极小值：
H ( x* , u* , λ* , t ) = min H[ x* , u, λ* , t] u∈U
= -m1≤uin≤1{λ1(− x1* + u) + λ2 x1* }
2015-03-24
极小值原理(一)
极小值原理(一)极小值什么是极小值？•极小值是数学中的一个概念，用于描述函数的最小值或局部最小值。
•在函数的定义域中，如果一个点的函数值比其周围任意点的函数值都要小或相等，那么这个点就被称为极小值点。
•极小值点是函数图像中的一个相对低谷。
极小值定理•极小值定理是研究函数极值的一个重要定理，可以帮助我们判断函数的极值点。
•极小值定理可以分为费马定理和魏尔斯特拉斯定理两种。
–费马定理：如果函数在某一点处有极值，且该点处可导，则导数值为0。
–魏尔斯特拉斯定理：如果函数在某一闭区间内连续，那么一定会在该区间内取到最大值和最小值。
寻找极小值的方法1.导数法–对于可导函数，可以通过判断导数的零点来确定极值点。
–导数为0的点可能是函数的极小值点，但不一定。
–还需要通过二阶导数或其他方法来进行进一步的判断。
2.区间法–如果函数在某一闭区间内连续，那么一定会在该区间内取到最大值和最小值。
–可以通过将区间等分，逐个求函数值，找到最小值所在的区间。
3.迭代法–通过迭代计算，逐步接近极小值点。
–可以使用梯度下降等优化算法进行迭代计算。
4.其他方法–如果函数具有特殊的性质或特定的定义域，可以运用专门的方法来求解极小值。
极小值的应用•在数学领域中，极小值的研究是重要的。
–极小值可以帮助我们了解函数的性质和行为。
–极小值的存在性和唯一性问题是函数论和变分法中的关键问题。
•在其他领域中，极小值也具有广泛的应用。
–在优化问题中，求解极小值可以帮助我们寻找最优解。
–在经济学和管理学中，极小值可以帮助我们进行决策和优化资源分配。
–在机器学习和深度学习中，极小值是优化模型参数的目标。
总结•极小值是数学中的一个重要概念，用于描述函数的最小值或局部最小值。
•极小值定理可以帮助我们判断函数的极值点。
•寻找极小值的方法包括导数法、区间法、迭代法和其他方法。
•极小值具有广泛的应用，不仅在数学领域，还在其他领域中发挥着重要作用。
当我们研究函数的极值时，常常关注的是极小值。
4.3离散变分原理与离散极小值原理
其中H ( k ) H ( x , u, , k ) L x ( k ), u( k ), k T ( k 1) f x ( k ), u( k ), k
x ( N ), N 0
( x ( N ), N ) T ( x ( N ), N ) (N ) x ( N ) x ( N )
的最优控制，x * ( k )为相应的最优状态序列 ，则必存在非零的函数 向量 ( k ) 及常向量，使u* ( k )、x * ( k )、 ( k )和满足下列必要条件： 1)正则方程 x ( k 1) f x ( k ), u( k ), k H ( k ) ( k 0,1, , N 1) ( k 1) H ( k ) (k ) x ( k ) 2)边界条件 x ( 0) x 0
(N ) 0
( 4) ( 5)
12
2.用离散极小值原理求解 将状态方程和性能指标 用一阶差分近似，令T为采样周期，则 x(k 1) x(k ) Tf x(k ), u (k ), k x(0) x0 J T Lx(k ), u (k ), k
k 0 N 1
tf t0
f ( x, u , t )，x(t0 ) x0 , 求u * (t )， x
使性能指标J Lx(t ), u (t ), t dt取最小值。 1.用连续极小值原理求解 根据连续极小值原理， 最优解的必要条件为 H x (t ) f ( x, u, t ) T x(t ), u (t ), t (t ) H L x ( t ), u ( t ), t f (t )＝ x x x 其中H ( x, u , , t ) Lx(t ), u (t ), t T (t ) f ( x, u , t ) x(t0 ) x0
教材第3章极小值原理
（3—13） （3—14）
∫ δ J t f
=∂ ∂tf
⎢⎣⎡Φ + μ T N +
tf tf
+δ
tf
Ψdt
⎤ ⎥⎦
t=t f
δ
tf
=
⎡ ⎢ ⎢⎣
∂Φ ∂t f
+ ∂N T ∂t f
⎤ μ + Ψ⎥ δ t f
⎥⎦ t =t f
（3—15）
[ ] ∫ δ
Jx
=d
xT (t f
)∂ ∂x
Φ + μT N
dt
∫ δ
Jw
=
δ
wT
(t
f
)
∂Ψ ∂ w
t=t f
−
tf t0
δ
wT
d dt
∂Ψ ∂ w
dt
∫ δ
Jz
=δ
zT
(t f
)
∂Ψ ∂ z
t=t f
−
tf t0
δ
zT
d dt
∂Ψ ∂ z
dt
把式（3—15）～式（3—19）代入式（3—11）整理可得
（3—17） （3—18） （3—19）
δ J '=δ Jt f +δ Jx +δ Jw +δ Jz
x = f [x(t) , u(t) , t]
x(t) ∈ Rn
（3—44）
始端条件为
x(t0 ) = x0
终端约束为
（3—45）
N [x(t f ) , t f ] = 0 N ∈ Rm m ≤ n
控制约束为
，t f 待定
（3—46）
g[x(t) , u(t) , t] ≥ 0 u(t) ∈ Rr g ∈ Rl l ≤ r ≤ n
高等教育《最优控制理论》课件 第四章
即:
上式表明,沿最优轨线函数H相对最优控制u*(t)取绝对极小值,这是极小值原理的一 个重要结论.
由
∂Φ ∂H ∂G T ) Γ = 0 = 0 ⇒ + ( & & & ∂ω ∂ω ∂ω ∂H ∂G T ⇒ = −( ) Γ ∂u ∂u
∂H = 0 不再成立 上式表明,在有不等式约束的情况下,沿最优轨线 ∂u
初始条件
x (t 0 ) = x ( 0 ) , x ∈ Rn , u ∈ Ω ∈ R p ,
为有界闭集,不等式约束为
m≤ p
G [ x (t ), u (t ), t ] ≥ 0, G为m维连续可微的向量函数,
系统从x0转移到终端状态x(tf)，tf未给定,终端状态x(tf)满足等式约束
M [ x(t f ), t f ] = 0
M为q 维连续可微向量函数, q ≤ n 性能指标:
J = θ [ x ( t f ), t f ] +
∫
t
f
t0
F [ x ( t ), u ( t ), t ] dt
最优控制问题就是要寻找最优容许控制u(t)使J为极小
令
& ω (t ) = u (t ) ω (t 0 ) = 0
Z T (t ) = [ z1 (t ), z 2 (t ),L z m (t )] & 且 [ Z (t )]2 = G[ x(t ), u (t ), t ] Z (t0 ) = 0
设控制变量被限制在某一闭集内 即u(t)满足 G [ x ( t ), u ( t ), t ] ≥ 0
u ∈Ω
满足限制条件的u(t)称为容许控制，由于δu不能是任意的,
∂H = 0 的条件已不存在 ∂u
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u * (k ) = 0.2
x* (k ) = 1 − 0.2k
k = 0,1, 2,3, 4,
总结 应用离散欧拉方程求解等式约束和不等式约束 的离散极值问题比较麻烦，而用离散极小值原理处 理这种约束问题却很方便。特别是，当控制序列受 约束时，离散变分法不再适用，只能用离散极小值 原理或离散动态规划来求解离散极小值问题。
2 离散极小值原理
庞特里亚金发表极小值原理时，只讨论了连续系 统的情况。为了获得离散系统的极小值原理，有 人曾经从离散系统与连续系统比较接近这一事实 出发，设想把连续极小值原理直接推广到离散系 统中去，但除了采样周期足够小的情况外，结果 是失败的。 离散极小值原理的普遍论述比较复杂，证明过程 也十分冗长。为了简单起见，下面介绍控制向量 序列不受约束情况下的离散极小值原理，然后不 加证明地推广到控制向量序列受约束的情况。
因为： ∂Lk = λ (k + 1)
∂x(k )
∂Lk = u (k ) + λ (k + 1) ∂u (k )
∂Lk −1 = −λ ( k ) ∂x(k )
所以由离散欧拉方程（3-6）可得：
λ ( k + 1) = λ ( k ) = c
u ( k ) = −λ ( k + 1) = −c
其中 c为待定的常数。 将 u (k ) = −c 代入状态差分方程，有
离散极小值原理可以叙述如下： 定理3 [定理3-7] （关于离散系统末端状态受约束） [定理3-8] （关于离散系统末端状态自由） 定理3
[定理3-7] 定理3 7]（关于离散系统末端状态受约束） 设离散系统状态方程
x(k + 1) = f [ x(k ), u (k ), k ]
k = 0,1,L , N − 1 x(0) = x0
离散最优控制问题中，性能指标取为如下：
J = ∑ L [ x (k ), u ( k ), x (k + 1), k ] = ∑ Lk
k =0 k =0
k
N −1
N −1
（3-2）
式中 L = L [ x(k ), u(k ), x(k + 1), k ] 是第 k 个采样周期 内性能指标 J 的增量。
x (k + 1) = x (k ) − c
用迭代法求解上述差分方程，有：
x (1) = x (0) − c
x (2) = x (1) − c = c(0) − 2c
M
x( k ) = x(0) − kc
代入已知边界条件 x(0) = 1, x(5) = 0 ，解得：
c = 0.2
因此，该离散系统的最优控制与最优轨线 分别为：
λ (2) = 2 x(2) λ (1) = 2( x(1) + x(2)) λ (0) = 2( x(0) + x(1) + x(2))
因此： u (0) = − x(1) − x(2)
u (1) = − x(2) u (2) = 0
根据状态方程
∂u (k )
[定理3-8] 定理3 8]（关于离散系统末端状态自由） 设离散系统状态方程
x(k + 1) = f [ x(k ), u (k ), k ]
k = 0,1,L , N − 1 x(0) = x0
性能指标
J = ϕ [ x( N ), N ] + ∑ L [ x(k ), u ( k ), k ]
H x* (k ), u * ( k ), λ (k + 1), k = min H x* (k ), u (k ), λ ( k + 1), k u ( k )∈Ω
（3-17） 若控制变量不受约束，即u (k )可以在整个控制空 间 R m中取值，则极值条件为 ∂H (k ) （3-18） =0
式中 ψ (•) ∈ R r , r ≤ n
若 u * (k )是使性能指标（3-9）为最小的最优控 x 制序列，* (k )是相应的最优状态序列，则必存 在 r 维非零常向量 γ 和 n 维向量函数 λ (k ) ，使 u (k ) 、 * ( k ) 和 λ ( k ) 满足如下必要条件： x 得
（3-5）
……
可得离散泛函极值的必要条件：
∂Lk −1 ∂Lk ∂x(k ) + ∂x(k ) = 0 ∂Lk =0 ∂u (k )
（3-6）
以及
∂Lk −1 ∂Lk −1 δ x( N ) + δ x(0) = 0 ∂x (k ) k =N ∂x( k ) k =0
4
则原泛函在状态差分方程等式约束下的条件极 小问题化为广义泛函的无条件极小问题。这时：
1 2 Lk = u (k ) + λ ( k + 1) [ − x(k + 1) + x(k ) + u (k ) ] 2
1 2 Lk −1 = u ( k − 1) + λ (k ) [ − x(k ) + x(k − 1) + u (k − 1) ] 2
② x(k ) 和 λ ( k )满足边界条件
ψ [ x( N ), N ] = 0
∂ϕ [ x( N ), N ] ∂ψ T [ x( N ), N ] λ(N ) = γ + ∂x( N ) ∂x( N )
x(0) = x0
（3-14） （3-15） （3-16）
③ 离散哈密顿函数对最优控制 u * (k ) 取极小值
k =0 N −1
ϕ 式中 f (•) 、 (•) 和 L(•) 都是其自变量的连续可微函 u u x( 数，k) ∈Rn ， (k ) ∈ R m 。控制有不等式约束： (k ) ∈ Ω ， 其中 Ω 为容许控制域。末端状态 x( N ) 自由。
x 若 u * (k )是使性能指标为最小的最优控制序列， (k ) 是相应的最优状态序列，则必存在 n 维向量函 x 数 λ ( k ) ，使得 u* (k ) 、 * (k )和 λ ( k )满足如下必要条件：
k =0 N −1
（3-4）
当不考虑式（3-1）所示的等式约束时，为了求得上 述离散拉格朗日问题的极值解，对式（3-4）取离散 一次变分：
T T ∂L T ∂Lk ∂Lk k δ J = ∑ δ x( k ) + δ u (k ) + δ x(k + 1) k = 0 ∂x ( k ) ∂u (k ) ∂x(k + 1) N −1
*
①x(k ) 和λ ( k ) 满足下列差分方程
x(k + 1) = ∂H ( k ) ∂λ (k + 1)
λ (k ) =
∂H (t ) ∂x( k )
式中离散哈密顿函数
H (k ) = H [ x(k ), u (k ), λ (k + 1), k ]
= L [ x(k ), u (k ), k ] + λ T (k + 1) f [ x(k ), u (k ), k ]
② x(k )和 λ ( k )满足边界条件
x(0) = x0 ∂ϕ [ x( N ), N ] λ(N ) =
∂x( N )
③离散哈密顿函数对最优控制取极小值
H x* (k ), u * (k ), λ (k + 1), k = min H x* (k ), u (k ), λ (k + 1), k u ( k )∈Ω
（3-8） （3-9）
性能指标
J = ϕ [ x( N ), N ] + ∑ L [ x(k ), u ( k ), k ]
k =0 N −1
ϕ 式中 f (•) 、 (•) 和 L(•) 都是其自变量的连续可微函 u u x( 数，k) ∈Rn ， (k ) ∈ R m 。控制有不等式约束： (k ) ∈ Ω ， 其中 Ω 为容许控制域。末端状态受下列等式约束限 制： ψ [ x( N ), N ] = 0 （3-10）
设式（3-1）和式（3-2）构成的离散最优控制 问题存在极值解，记为x* (k )和 u (k ) ，则在极值解 附近的容许轨线和容许控制可以表示为
*
x ( k ) = x* ( k ) + δ x ( k ) u (k ) = u * (k ) + δ u (k ) x(k + 1) = x* (k + 1) + δ x(k + 1)
1 离散欧拉方程
当控制序列不受约束时，可以采用离散变分法求 解离散系统的最优控制问题，得到离散极值的必 要条件——离散欧拉方程。 设描述离散系统的状态差分方程为：
x(k + 1) = f [ x(k ), u (k ), k ]
（3-1）
式中 x(k ) 是离散时刻 tk 的 n 维状态；u (k ) 是 tk 的 m f 维控制向量； (•)是 n 维向量函数序列，对于等间 N 隔采样， = kT ， 为采样周期； 为数据窗口长度。 T k
极小值原理
离散系统的极小值原理
目录
离散欧拉公式 离散极小值原理
随着数字计算机日益普及，计算机控制系统日 益增多，因此，离散系统最优控制问题的研究 显的十分重要，其原因是，一方面许多实际问 题本身就是离散的，另一方面，即时实际系统 是连续的，但为了对连续系统采用计算机控制， 需要把时间整量化，从而得到一离散化系统。
*
① x(k )和λ ( k ) 满足下列差分方程
x(k + 1) = ∂H ( k ) ∂λ (பைடு நூலகம் + 1)
（3-11） （3-12）