高中数学一轮复习函数(带答案)

一轮函数（第二章） 函数的单调性

1．函数f (x )(x ∈R )的图象如右图所示，则函数g (x )＝f (log a x )(0

解析：∵0

2]时，g (x )为减函

数．

由0≤log a x ≤

1

2

a ≤x ≤1．答案：[a ，1](或(a ，1))

2．下列函数中，单调增区间是(－∞，0]的是________．

①y ＝－1

x

②y ＝－(x －1) ③y ＝x 2－2 ④y ＝－|x |

解析：由函数y ＝－|x |的图象可知其增区间为(－∞，0]．答案：④

3．若函数f (x )＝log 2(x 2－ax ＋3a )在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．

解析：令g (x )＝x 2－ax ＋3a ，由题知g (x )在[2，＋∞)上是增函数，且g (2)>0． ∴⎩⎪⎨⎪⎧

a 2≤2，4－2a ＋3a >0，

∴－40)在(3

4

，＋∞)上是单调增函数，则实数a 的取值范围__．

解析：∵f (x )＝x ＋a x (a >0)在(a ，＋∞)上为增函数，∴a ≤34，0

16．

答案：(0，9

16

]

5．定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)

x 2－x 1<0，则下列

结论正确的是________．

①f (3)

解析：由已知f (x 2)－f (x 1)

x 2－x 1

<0，得f (x )在x ∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f (2)＝

f (－2)，即f (3)

6．(20XX 年宁夏石嘴山模拟)函数f (x )的图象是如下图所示的折线

段OAB ，点A 的坐标为(1，2)，点B 的坐标为(3，0)，定义函数g (x )＝f (x )·(x －1)，则函数g (x )的最大值为________．

解析：g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

2x (x －1) (0≤x <1)，

(－x ＋3)(x －1) (1≤x ≤3)，

当0≤x <1时，最大值为0；当1≤x ≤3时， 在x ＝2取得最大值1．答案：1

6．已知f (x )＝log 3x ＋2，x ∈[1，9]，则函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值是________．

解析：∵函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域为

⎩

⎪⎨⎪⎧

1≤x ≤9，

1≤x 2

≤9，∴x ∈[1，3]，令log 3x ＝t ，t ∈[0，1]，

∴y ＝(t ＋2)2＋2t ＋2＝(t ＋3)2－3，∴当t ＝1时，y max ＝13．答案：13

7．若函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a >0，a ≠1)在区间(0，1

2)内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间

为__________．

解析：令μ＝2x 2＋x ，当x ∈(0，1

2)时，μ∈(0，1)，而此时f (x )>0恒成立，∴0

μ＝2(x ＋14)2－18，则减区间为(－∞，－14)．而必然有2x 2＋x >0，即x >0或x <－1

2．∴f (x )

的单调递增区间为(－∞，－12)．答案：(－∞，－1

2)

8．试讨论函数y ＝2(x 2

1log )2－2x 2

1log ＋1的单调性．

解：易知函数的定义域为(0，＋∞)．如果令u ＝g (x )＝log 1

2x ，y ＝f (u )＝2u 2－2u ＋1，那

么原函数y ＝f [g (x )]是由g (x )与f (u )复合而成的复合函数，而u ＝log 1

2x 在x ∈(0，＋∞)内是减

函数，y ＝2u 2－2u ＋1＝2(u －12)2＋12在u ∈(－∞，12)上是减函数，在u ∈(1

2，＋∞)上是增函

数．又u ≤12，即log 12x ≤12，得x ≥22；u >12，得0

2．由此，从下表讨论复合函数y ＝f [g (x )]

的单调性：

故函数y ＝2(log 12x )2－2log 12x ＋1在区间(0，22)上单调递减，在区间(2

2，＋∞)上单调递增．

9．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x 1

x 2

)＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0．

(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)<－2． 解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0． (2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1

x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0，

所以f (x 1

x 2)<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)

所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．

(3)由f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)得f (9

3)＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2．

由于函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数，

由f (|x |)9，∴x >9或x <－9．因此不等式的解集为{x |x >9或x <－9}． 10．已知函数()2f x x =，()1g x x =-．

(1)若存在x ∈R 使()()f x b g x

(2)设()()()2

1F x f x mg x m m =-+--，且()F x 在[0，1]上单调递增，求实数m 的

取值范围．

解：(1)x ∈R ，f (x )

x ∈R ，x 2－bx ＋b

＝(－b )2－4b

b <0或b >4．(2)F (x )

＝x 2－mx ＋1－m 2，Δ＝m 2－4(1－m 2)＝5m 2－4，

①当Δ≤0即－255≤m ≤25

5

时，则必需

⎩⎨⎧

m 2

≤0－25

5≤m ≤25

5

－255

≤m ≤0．

②当Δ>0即m <－255或m >255时，设方程F (x )＝0的根为x 1，x 2(x 1

2≥1，则

x 1≤0．